几何概型习题

合集下载

几何概型的经典例题

几何概型的经典例题
一、例题
在区间[ - 1,2]上随机取一个数x，则| x|≤slant1的概率为多少？
二、解析
1. 首先确定全部结果构成的区域长度
- 区间[ - 1,2]的长度为2-( - 1)=3。

2. 然后确定满足条件| x|≤slant1，即-1≤slant x≤slant1的区域长度
- 区间[ - 1,1]的长度为1-( - 1)=2。

3. 最后根据几何概型的概率公式P(A)=(构成事件A的区域长度(面积或体积))/(试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积))
- 这里是在数轴上的区间问题，属于长度型几何概型，所以P = (2)/(3)。

三、例题
已知正方形ABCD的边长为2，在正方形ABCD内随机取一点P，求点P到正方形各顶点的距离都大于1的概率。

四、解析
1. 首先确定全部结果构成的区域面积
- 正方形ABCD的边长为2，则其面积S = 2×2 = 4。

2. 然后确定满足条件的区域面积
- 点P到正方形各顶点的距离都大于1，那么点P在以正方形各顶点为圆心，1为半径的四个四分之一圆的外部（这些圆在正方形内部的部分）。

- 四个四分之一圆的面积之和相当于一个半径为1的圆的面积，即
S_1=π×1^2=π。

- 满足条件的区域面积S_2=4 - π。

3. 最后根据几何概型的概率公式
- 这里是平面区域问题，属于面积型几何概型，所以P=frac{S_2}{S}=(4 - π)/(4)。

几何概型例题及解析

几何概型例题及解析题目：在边长为2的正方形内随机取一个点，则该点到正方形四个顶点的距离都大于1的概率是( )。

A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 1/16解析：在边长为2的正方形内，到四个顶点距离都大于1的区域是一个边长为1的正方形。

因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即1/4。

题目：在半径为2的圆内随机取一条弦，则弦长小于等于2√3的概率为( )。

A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √3/2解析：在半径为2的圆内，弦长小于等于2√3的弦对应的圆心角为120°。

因此，所求概率为120°/360° = 1/3，但选项中并没有这个值，可能题目有误或选项不完整。

题目：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，则满足x^2 + y^2 ≤ 2的概率是( )。

A. π/4B. π/2C. 1 - π/4D. 1 - π/2解析：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，对应的平面区域是一个边长为2的正方形。

满足x^2 + y^2 ≤ 2的区域是一个半径为√2的圆在正方形内的部分。

所求概率为圆的面积与正方形面积之比，即π*(√2)^2 / (2*2) = π/2。

题目：在边长为1的正方形内随机取一个点，则该点到正方形中心的距离小于1/2的概率为( )。

A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √2/2解析：在边长为1的正方形内，到中心距离小于1/2的区域是一个边长为1/2的正方形。

因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即(1/2)^2 = 1/4。

题目：在三维坐标系中，随机取一个点P(x, y, z)，其中x, y, z ∈ [0, 1]，则点P到原点O的距离小于等于√2/2的概率为( )。

A. π/6B. π/4C. π/3D. π/2解析：在三维坐标系中，到原点距离小于等于√2/2的点构成一个半径为√2/2的球在[0, 1]^3内的部分。

所求概率为球的体积与[0, 1]^3的体积之比，即(π*(√2/2)^3) / 1^3 = π/6。

几何概型知识点及练习

3.3几何概型1、几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，称这样的概率模型为集合概率模型，简称集合概型。

备注：（1）几何概型的特点①无限性，即在一次实验中，基本事件的个数可以是无限的；②等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的。

2、几何概型的概率计算公式积）的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A )(A P 【典型例题】1、假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?2、在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm ，4cm ，6cm ，某人站在3m 之外向此版投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：(1) 投中大圆的内的概率是多少？（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？【练习】1、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ B ）A ．14B ．18C ．110D ．1122、在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_____________.3、已知地铁列车每10min 一班，在车站停１min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为___________.4、在线段[0,3]上任取一点,其坐标小于1的概率是_____________.5、在地球上海洋占70.9%的面积,陆地占29.1%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来,将落在地球的某一角.你认为陨石落在陆地的概率约为_____________,落在我国国土内的概率为________.(地球的面积约为 5.1亿平方千米)6、已知集合A={}9,7,5,3,1,0,2,4,6,8-----,在平面直角坐标系0x y中,点(),x y的坐标,x A y A∈∈,点(),x y正好在第二象限的概率是 ( )A. 13B.14C.15D.257、取一根长度为３m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１m的概率有多大？8、在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的,若取出1立方米的沙子.求取出的沙子中含有玻璃球的概率.。

高中几何概型试题及答案

高中几何概型试题及答案一、选择题1. 已知一个圆的半径为r，随机取圆内一点，该点落在半径为r/2的同心圆内的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/8D. 1/16答案：A2. 从长度为1的线段上随机取两点，将线段分为三段，求这三段能构成三角形的概率。

A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/6答案：C3. 在一个边长为1的正方形内随机投掷一个半径为1/2的圆盘，求圆盘完全落在正方形内的概率。

A. 1/4B. 1/2C. 1/8D. 1/16答案：A二、填空题4. 一个圆的面积为π，随机取圆内一点，该点落在半径为1的同心圆内的概率是______。

答案：1/45. 从长度为3的线段上随机取两点，将线段分为三段，这三段能构成三角形的概率是______。

答案：1/26. 在一个边长为2的正方形内随机投掷一个半径为1的圆盘，圆盘完全落在正方形内的概率是______。

答案：1/4三、解答题7. 一个圆的半径为2，随机取圆内一点，求该点到圆心的距离小于1的概率。

答案：设圆心为O，随机点为P，OP<1，则P点落在半径为1的同心圆内。

由于大圆面积为4π，小圆面积为π，所以概率为π/4π=1/4。

8. 从长度为4的线段上随机取两点，将线段分为三段，求这三段能构成三角形的概率。

答案：设线段为AB，随机取点C和D，使得AC+CD+DB=4。

要构成三角形，必须满足AC+CD>DB，AC+DB>CD，DB+CD>AC。

这等价于C和D位于线段AB的中点两侧，且不同时位于AB的中点。

因此，构成三角形的概率为1/2。

9. 在一个边长为3的正方形内随机投掷一个半径为1的圆盘，求圆盘完全落在正方形内的概率。

答案：设正方形为ABCD，圆心为O，圆盘完全落在正方形内，即O点到正方形任意一边的距离都小于1。

由于正方形的对角线长度为√(3²+3²)=3√2，半径为1的圆盘可以完全落在正方形内，因此概率为1。

几何概型

几何概型习题（含答案）一、单选题1．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π2．在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线与圆有交点的概率为，则a =A．B．C．1D．23．在区间上随机取两个数x，y，记P为事件“”的概率，则A．B．C．D．4．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率( )A．B．C．D．5．如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为.则阴影区域的面积约为( )A．B．C．D．无法计算6．在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A．B．C．D．7．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（）A．B．C．D．8．在上任取一个个实数，则事件“直线与圆”相交的概率为( )A．B．C．D．9．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A．B．C．D．二、填空题10．任取两个小于1的正数x、y，若x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________．11．已知，，，都在球面上，且在所在平面外，，，，，在球内任取一点,则该点落在三棱锥内的概率为__________．12．已知，点的坐标为，则当时，且满足的概率为__________．13．在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为_______。

几何概型典型例题

几何概型例1、取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率是多少？例2、等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM<AC 的概率。

例3、甲、乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人15分钟，过时即可离去。

求两人能会面的概率。

例4、将长为1的棒任意折成三段，求：三段的长度都不超过a （1132a ≤≤）的概率。

1、（2009，山东）在区间[-1,1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到12之间的概率是（）A 、13 B 、2πC 、12D 、23 2、（2009，辽宁）四边形ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 点的距离大于1的概率为（）A 、4πB 、14π-C 、8π D 、18π- 3、（2009，福建）点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为__________4、（2008，江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是_____________5、（2007，海南）设有关于x 的一元二次方程 2220x ax b ++=.（1）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率。

6、（2010，青岛）若区域M 为{(,)x y |||||2x y +≤}，在区域M 内的点的坐标为(,)x y ，则220x y -≥的概率是（）A 、14B 、13C 、12D 、347（2010，海口）点D 为正三角形ABC 的边BC 的中点，从点D 发出的光线到AC 边上每一点的概率相同，则由点D 发出的光线，先后经过AC 边、AB 边反射后仍落在BC 边上的概率为（）A 、12B 、13C 、14D 、158、（2010，深圳模拟题）一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，某时刻次蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A 、16π- B 、112π- C 、6π D 、12π 9、（2010，银川）设圆上的点是等可能分布的，作圆内接△ABC ，求△ABC 是锐角三角形的概率。

几何概型典型例题

解：(1)设集合 A 中的点(x，y)∈B 为事件 M，区域 A 的面积为 S1 ＝36，区域 B 的面积为 S2＝18，
∴P(M)＝SS21＝1386＝12.
(2)设点(x，y)在区域 B 为事件 N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x，y)的个数为 36 个，其中在区域 B 中的点(x，y)有 21 个，故 P(N)＝2316＝172.
几何概型典型例题
1．点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点 B，则劣弧的长度小于 1 的概率为________．
解析：设事件 M 为“劣弧的长度小于 1”，则满足事件 M 的点 B 可以在定点 A 的两侧与定点 A 构成的弧长小于 1 的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得：P(M)＝32.
6．将长为
1
的棒任意地折成三段，求：三段的长第一段的长度为 x，第二段的长度为 y，第三段的长度为 1－x－y，解：设第一段的长度为 x，第二段的长度为 y，第三段的长度为 1 －x－y，
则基本事件组所对应的几何区域可表示为 Ω＝{(x，y)|0＜x＜1,0 ＜y＜1,0＜x＋y＜1}，此区域面积为12.
事件“三段的长度都不超过 a(31≤a≤1)”所对应的几何区域可表示为 A＝{(x，y)|(x，y)∈Ω，x＜a，y＜a,1－x－y＜a}．
即图中六边形区域，此区域面积：当13≤a≤21时，
为(3a－1)2/2，此时事件“三段的长度都不超过
1 a(3
≤a≤1)”的概率为 P＝(3a－1/21)2/2＝(3a－1)2；
当21≤a≤1
时，为21－3(1－2 a)2.此时事件“三段的长度都不超过
1 a(3
≤a≤1)”的概率为 P＝1－3(1－a)2.

几何概型 - 简单 - 习题

几何概型一、选择题（共12小题；共60分）1. 下列关于几何概型的说法错误的是A. 几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B. 几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C. 几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D. 几何概型中每个结果的发生都具有等可能性2. 已知是长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于的概率为A. B. C. D.3. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，，则质点落在以为直径的半圆内的概率是A. B. C. D.4. 张卡片上分别写有数字，，，，从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为A. B. C. D.5. 设在上随机地取值，则关于的方程有实数根的概率为A. B. C. D.6. 如图，在半径为，弧长为的扇形中，以为直径作一个半圆．若在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A. B. C. D.7. 在中，，，，在边上任取一点，则为钝角三角形的概率为A. B. C. D.8. 如图，在边长为的正方形内有区域（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域的面积．若每次在正方形内随机产生个点，并记录落在区域内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域内点的个数的平均值为个，则区域的面积约为A. B. C. D.9. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则A. B. C. D.10. 某个路口交通指示灯，红灯时间为秒，黄灯时间为秒，绿灯时间为秒，黄灯时间可以通行，当你到达路口时，等待时间不超过秒就可以通行的概率为A. B. C. D.11. 在长为的线段上任取一点，则点与线段两端点的距离都大于的概率等于A. B. C. D.12. 在区间内随机取出一个数，使得的概率为A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 某路公共汽车每发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过的概率为．14. 在区间上随机选取一个数，则的概率为．15. 已知事件“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”发生的概率为，则．16. 在边长为的正三角形内任取一点，则使点到三个顶点的距离至少有一个小于的概率是．17. 已知一只蚂蚁在边长分别为，，的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于的地方的概率为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 设有一个等边三角形网格，其中各个等边三角形的边长都是，现将直径等于的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．19. 已知在等腰直角三角形中，．（1）在线段上任取一点，求使的概率；（2）在内任作射线，求使的概率．20. 在等腰的斜边上任取一点，求小于的概率．21. 如图，两盏路灯之间的距离是米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯、，问与，与之间的距离都不小于米的概率是多少?22. 在的水中有一个草履虫，现从中随机取出水放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．答案第一部分1. A 【解析】几何概型与古典概型是两种不同的概率模型，无包含关系．2. B3. B 【解析】长方形的面积，以为直径的半圆的面积，所以．4. C 【解析】采用列举法得所有的基本事件有，，，，，六种情况，其中两数字之和为奇数的有，，，四种情况，故所求概率为．5. C【解析】方程有实根，则，解得或（舍去）．由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为．6. B 【解析】阴影部分的面积为，扇形的面积为，所以在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率．7. C 【解析】过点作，垂足为，则；过点作，交于点，则，，易知当点在线段和上时（不包括线段端点，，），为钝角三角形，故所求概率为．8. B 【解析】设区域的面积约为，根据题意有，所以，，所以区域的面积约为．9. A10. A11. D 【解析】将线段平均分成段，设中间两点分别为，，则当点在线段上时符合题意，所以概率．12. D第二部分13.【解析】本题可以看成向区间内均匀投点，求点落入内的概率．设某乘客候车时间不超过，所以．14.15.【解析】如图，设，根据对称性，由题中条件知，点的活动范围为，即．当时，，解得，所以．16.【解析】分别以点，，为圆心，以为半径作圆，与构成三个扇形，如图中阴影部分所示，当点落在其内时符合要求．所以．17.【解析】由题意可知，三角形的三条边长的和为，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于的地方爬行，则它爬行的区域长度为，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为．第三部分18. 记事件为“硬币落下后与格线没有公共点”，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边的距离都为，则小等边三角形的边长为．由几何概型的概率计算公式得．19. （1）设，，则．若，则，故的概率．（2）设，则．若，则，故的概率．20. 在上截取，于是，．21. 记：“与，与之间的距离都不小于米”，把三等分，由于中间长度为米所以．22. 记事件在取出的水中有草履虫，由几何概型的概率计算公式得．。

几何概型作业含答案

几何概型作业（含答案）1．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710B．58C．38D．310答案：B解析：行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知，所求事件的概率P＝2540＝58，故选B.2．[2019吉林调研]如图，长方形的面积为1，将100个豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有20个豆子落在阴影部分，则用随机模拟的方法估计图中阴影部分的面积为()A.15B．45C．120D．1100答案：A解析：设阴影部分的面积为S，依题意，得S 1＝20 100，所以S＝15，故选A.3．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在到三个顶点的距离都大于1的地方的概率为()A.45B．35C ．π60 D ．π3答案：A解析：由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45.4．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB ＝( )A.12 B ．14 C ．32 D ．74答案：D解析：由已知，点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点，由勾股定理，可得AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB 2＋AD 2，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB 2＝716，即AD AB ＝74，故选D.5．已知单位圆的圆心为O ，A 是圆上的一个定点，点B 在圆上，则使∠AOB <π3的概率为( )A.16 B ．14 C ．13 D ．12 答案：C解析：如图，问题转化为劣弧的长与圆的周长的比，所以P ＝23π2π＝13.6．[2019石家庄模拟]如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是()A.15 B ．14 C ．13 D ．12答案：D解析：由题意知，当MN ＝2R 时，∠MON ＝π2，所以所求概率为1－2×π22π＝12.7．[2019广州模拟]在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是( ) A.12 B ．34 C ．38 D ．58答案：B解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，3π4.由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，得22≤sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，故要求的概率为π2－0π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝34.8．[2019河南濮阳一模]如图所示的长方形的长为2、宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为m 粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n 粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为()A.n m B ．2n m C ．m n D ．m 2n答案：B解析：长方形的面积为2，题图中飞鸟图案的面积与长方形的面积之比约为n m ，故图中飞鸟图案的面积约为2nm.故选B. 9．[2019山东烟台期末]在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥22”发生的概率为( )A.12B ．13123答案：C解析：由题意，可得⎩⎨⎧sin x ＋cos x ≥22，0≤x ≤π，即⎩⎨⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥12，0≤x ≤π，解得0≤x ≤7π12，故所求的概率为7π12π＝712.10．[2019河北衡水联考]2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm ，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A.363π10 mm 2 B ．363π5 mm 2 C.726π5 mm 2 D ．363π20 mm 2答案：A解析：向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S ＝30100×π×112＝363π10(mm 2)．11．[2019广东肇庆模拟]已知m ∈[1,7]，则函数f (x )＝x 33－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在实数集R 上是增函数的概率为( )A.14B ．1324答案：B解析：f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，依题意，知f ′(x )在R 上恒大于或等于0，所以Δ＝4(m 2－6m ＋8)≤0，得2≤m ≤4. 又m ∈[1,7]，所以所求的概率为4－27－1＝13.故选B.12．[2019河南新乡一模]若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则x 2＋y 2<1的概率为________．答案：π36解析：如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，0≤y ≤3表示的平面区域是正方形区域，面积为3×3＝9，其中满足x 2＋y 2<1的平面区域为阴影区域，其面积为14π·12＝π4，故所求的概率P ＝π49＝π36.13．[2019福建三明段考]在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2－y 2b 2＝1表示离心率小于5的双曲线的概率为________．答案：78解析：∵双曲线的离心率小于5， ∴1<e <5，∴1<ca <5， ∴1<1＋b 2a 2<5，∴0<b 2a 2<4，解得b <2a (1≤a ≤5,2≤b ≤4)．① ①式对应的平面区域如图中阴影部分所示，根据几何概型概率公式，得所求概率为 P ＝12×(3＋4)×24×2＝78.14．[2019福建漳州调研]在半径为2的圆C 内任取一点P ，则以点P 为中点的弦的弦长小于23的概率为________．答案：34解析：由题意可知，当且仅当弦心距d >22－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝1，即|CP |>1时，以点P 为中点的弦的弦长小于23，由几何概型的概率公式可得，所求概率为π×22－π×12π×22＝34.15．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF －BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F －AMCD 内的概率为________．答案：12解析：因为V F－AMCD＝13S四边形AMCD·DF＝14a3，V ADF－BCE＝12a3，所以蝴蝶飞入几何体F－AMCD内的概率为14a312a3＝12.16．[2019海南东方期末]已知在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，P A＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O－ABCD的体积不小于23的概率为________．答案：2764解析：当四棱锥O－ABCD的体积为23时，设O到平面ABCD的距离为h，则有13×22×h＝23，解得h＝12.如图所示，在四棱锥P－ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为12.因为P A⊥底面ABCD，且P A＝2，所以PH P A ＝34，所以四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率为 P ＝V 四棱锥P －EFGH V 四棱锥P －ABCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PH P A 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764.17．[2019大连模拟]在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．答案：34解析：若直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，则有圆心到直线的距离d ＝|5k |k 2＋1<3，即－34<k <34，所以所求概率P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－(－1)＝34.18．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．答案：18解析：根据几何概型知识，概率为体积之比，即P ＝(4－2)343＝18.19．[2019河北唐山五校联考]向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，该点落在x 轴下方的概率为________．答案：16－34π解析：如图，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB的长为2. 又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为12×23π×2－12×2×3＝23π－3，所以向圆(x－2)2＋(y－3)2＝4内随机投掷一点，该点落在x轴下方的概率P＝23π－34π＝16－34π.20．已知关于x的二次函数f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.(1)若a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次向上一面出现的点数，求y＝f(x)恰有一个零点的概率；(2)若a，b∈[1,6]，求满足y＝f(x)有零点的概率．解：(1)设(a，b)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6，6)，共36个．用A表示事件“y＝f(x)恰有一个零点”，令Δ＝[－(a＋1)]2－4b2＝0，则a＋1＝2b，则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个，所以P(A)＝336＝112.所以事件“y＝f(x)恰有一个零点”发生的概率为1 12.(2)用B表示事件“y＝f(x)有零点”，则B即为“a＋1≥2b”．试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|1≤a≤6，1≤b≤6}，构成事件B的区域为{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6，a－2b＋1≥0}，如图：所以所求的概率为P(B)＝12×5×525×5＝14.所以事件“y＝f(x)有零点”发生的概率为1 4.。

几何概型典型例题

典型例题【类型一】与(时间)长度有关的几何概型例1．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min 长的磁带上，从开始30s 处起，有l0s 长的一段内容含两间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？分析:包含两个间谋谈话录音的部分在30s 到40s 之间，当按错健的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错健的时刻在0到40s 之间时全部被擦掉，即在Os 到40s 之间，也即Omin 到32min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而Omin 到30min 之间的时间段内任一时刻按错健的可能性是相等的，所以按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．解析: 设事件A"按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”，事件A 发生就是在Omin 到32min 时间段内按错键，所以点评:此题有两个难点:一是等可能的判断;二是事件A 对应的区域是Omin 到32min 的时间段,而不是21min 到32min 的时间段. 【类型二】与面积有关的几何概型例2．射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内：白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122cm,靶心直径12.2cm ，运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？分析：由于箭都能中靶，且对中靶面的任一点是等可能的，因此符合几何极型的特征，可用几何概型的求概率公式求解．解：记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为41π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点满在面积为41π×12.22cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率:答：“射中靶心”的概率是0.01.点评: 在几何区域D 内随机取一点,记事件“该点落在其内部的一个区域d 内”为事件A,则事件A 发生的概率: 的度量的度量D d A P =)(. 【类型三】与体积有关的几何概型例3.在1L 高产下麦种子里中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随即取出10mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？点拨: 病种子在这1L 种子中的分布可以看作是随机的,取得10mL 种子可以看作区域d,所有种子可视为区域D.解：取出10mL 麦种，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为A ，则P （A ）=.1001100010==所有种子的体积取出种子的体积点评: 本题事件A 的度量是用种子的体积,应用问题的度量视具体情况而定. 创新应用型几何概型-------（会面问题）例4.甲、乙两人约定在7时到8时之间在某处见面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．解析：以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件是：|x-y|≤15，在平面上建立直角坐标系如图，则（x ，y ）的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示．这是一个几何概率问题，由等可能性知两人能会面的概率是 P （A ）=167604560222=-=S S A 几何概型中有无限多个试验结果，只要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件的概率计算公式，问题是不难解决的．几何概型中的三种基本度量为长度、面积和体积，在解题时要准确把握，要把问题向它们作合理地转化．y60 1515。

高考复习几何概型复习题(含答案)

几何概型试题汇编一、单选题（共27题；共54分）1.在区间上随机取一个数x，则事件“ ”不发生的概率为（）A. B. C. D.2.在区间内的所有实数中随机取一个实数，则这个实数满足的概率是（）A. B. C. D.3.在由不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是( )A. B. C. D.4.设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A. B. C. D.5.如图，矩形中，点的坐标为．点的坐标为．直线的方程为：且四边形为正方形，若在五边形内随机取一点，则该点取自三角形 (阴影部分)的概率等于（）A. B. C. D.6.如图，六边形是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则恰好取在图中阴影部分的概率是（）A. B. C. D.7.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影)。

设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A. 134B. 866C. 300D. 5008.我们可以用计算机产生随机数的方法估计的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（中用函数来产生的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计的近似值为（）A. 3.144B. 3.154C. 3.141D. 3.1429.如图，在矩形区域的两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A. B. C. D.10.在区间[0，1]上随机选取两个数x和y，则y＞2x的概率为（）A. B. C. D.11.用电脑每次可以从区间（0，1）内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为（）A. B. C. D.12.在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为（）A. B. C. D.13.设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A. +B. +C. ﹣D. ﹣14.如图一铜钱的直径为32毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为8毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为（）A. B. C. D.15.节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A. B. C. D.16.圆O内有一内接正三角形，向圆O内随机投一点，则该点落在正三角形内的概率为（）A. B. C. D.17.如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A. 1﹣B.C. 1﹣D. 与a的取值有关18.不等式6﹣5x﹣x2≥0的解集为D，在区间[﹣7，2]上随机取一个数x，则x∈D的概率为（）A. B. C. D.19.如图，在边长为2的正方形ABCD的内部随机取一点E，则△ABE的面积大于的概率为（）A. B. C. D.20.如图，点A为周长为3的圆周上的一定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为（）A. B. C. D.21.如图，在圆心角为90°的扇形中以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC与∠BOC都不小于30°的概率是（）A. B. C. D.22.在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A. B. C. D.23.某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（）A. 80mB. 100mC. 40mD. 50m24.在平面直角坐标系中，记抛物线y=x﹣x2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y=kx（k＞0）所围成的平面区域为N，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域N内的概率为，则k的值为（）A. B. C. D.25.在半径为1的圆O内任取一点M，过M且垂直OM与直线l与圆O交于圆A，B两点，则AB长度大于的概率为（）A. B. C. D.26.在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为（）A. B. C. D.27.如图，圆O内有一个内接三角形ABC，且直径AB=2，∠ABC=45°，在圆O内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形ABC内（阴影部分）的概率是（）A. B. C. D.二、填空题（共7题；共7分）28.已知Ω1是集合{（x，y）|x2+y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为________．29.在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a的值为________．30.某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～7:50之间到校，且每人在该时间段任何的时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________31.上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为________32.在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率________．33.如图所示，为了求出一个边长为10的正方形内的不规则图形的面积，小明设计模拟实验：向这个正方形内均匀的抛洒20粒芝麻，结果有8粒落在了不规则图形内，则不规则图形的面积为________．34.矩形区域ABCD 中，AB 长为2 千米，BC 长为1 千米，在A 点和C 点处各有一个通信基站，其覆盖范围均为方圆1 千米，若在该矩形区域内随意选取一地点，则该地点无信号的概率为________．三、解答题（共8题；共65分）35.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停．（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2，3，4，5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00～8:00到达，乙船将于早上7:30～8:30到达，请求出甲船先停靠的概率36.如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径，是的中点.（Ⅰ）问：上是否存在点使得平面？请说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若平面，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果小鱼游到四棱锥外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率.37.某同学在上学路上要经过A、B、C三个带有红绿灯的路口．已知他在A、B、C三个路口遇到红灯的概率依次是、、，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，（2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间．38.设关于x的一元二次方程x2+ax﹣+1=0．（1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程中有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．39.设事件A表示“关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有实根”，其中a，b为实常数．（Ⅰ）若a为区间[0，5]上的整数值随机数，b为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率；（Ⅱ）若a为区间[0，5]上的均匀随机数，b为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率．40.已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．41.已知正方形ABCD的边长为1，弧BD是以点A为圆心的圆弧．（1）在正方形内任取一点M，求事件“|AM|≤1”的概率；（2）用大豆将正方形均匀铺满，经清点，发现大豆一共28粒，其中有22粒落在圆中阴影部分内，请据此估计圆周率π的近似值（精确到0.01）．42.某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】几何概型【解析】【解答】解：区间上随机取一个数x，对应区间长度为，满足事件“ ”的x范围为x+1≤3，即≤x≤2，对应区间长度为2+ ，所以事件不发生的概率为1﹣= ；故选D．【分析】由题意，本题是几何概型，首先求出事件对应的区间长度，利用长度比求概率．2.【答案】C【考点】几何概型【解析】【解答】由题意可得，该问题为长度型几何概型，则所求问题的概率值为：.故答案为：C.【分析】根据题目中所给的条件的特点，分别计算出区间（15，25]的长度，区间（17，20）的长度，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．考查几何概型的概率计算．其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键．3.【答案】D【考点】几何概型【解析】【解答】画出关于的不等式组所构成的三角形区域，如图所示．的面积为离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为∴其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为故答案为：D．【分析】画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，求出三角形的面积；再求出距三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对立事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）=称为事件A的几何概率．4.【答案】D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，几何概型【解析】【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为=4﹣π，∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=故选：D．【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．5.【答案】D【考点】几何概型【解析】【解答】在中，令，得，即，则，所以，，由几何概型的概率公式，得在五边形内随机取一点，该点取自三角形 (阴影部分)的概率.故答案为：D.【分析】根据题意求出点D的坐标，再由两点间的距离公式代入数值求出结果，结合四边形的面积代入数值求出结果把数值代入到几何概型的概率公式求出结果即可。

几何概型经典练习题

几何概型题目选讲1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( ) A.16 B.13 C.23 D.45解析：设AC ＝x ，由题意知x (12－x )＜32⇒0＜x ＜4或8＜x ＜12，所求事件的概率P ＝4－0＋12－812＝23.2．已知圆C ：2212,:4325x y l x y +=+=在圆上任取一点P,设点P 到直线l 的距离小于2的事件为A 求P(A)的值。

解：P(A)=163．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤2表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是解析：坐标系中到原点距离不大于2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的区域D为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为4－π×444＝4－π4.4．在区间[0,9]上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式1≤log 2x ≤2的概率为__________．解析：由1≤log 2x ≤2，得2≤x ≤4，根据区间长度关系，得所求概率为29.5．在[－6,9]内任取一个实数m ，设f(x)＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率等于__________．解析：函数f(x)的图像与x 轴有公共点应满足Δ＝m 2＋4m ≥0，解得m ≤－4或m ≥0，又m ∈[－6,9]，故－6≤m ≤－4或0≤m ≤9，因此所求概率P ＝2＋915＝1115.6．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的． (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则0≤x ＜24,0≤y ＜24且y －x ≥4或y －x ≤－4. 作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＜24，0≤y ＜24，y －x ＞4或y －x ＜－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ，则P(A)＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y ≥2或y －x ≥4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＜24，0≤y ＜24，y －x ＞4或x －y ＞2.P(B)＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.7.知k ∈［－2,2］，则k 的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －错误!未找到引用源。

几何概型典型例题

几何概型1．(2009年高考福建卷)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．答案：23解析：设事件M 为“劣弧的长度小于1”，则满足事件M 的点B 可以在定点A 的两侧与定点A 构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得：P (M )＝23.2．(2010年苏、锡、常、镇四市调研)已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．答案：36解析：设所求的面积为S ，由题意得6001000＝S5×12，∴S ＝36.3．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．解析：P ＝18×43πa 3a 3＝π6.答案：π64．(2010年扬州调研)已知集合A {x |－1<x <5}，B ＝{x |x －23－x>0}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．解析：由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，由几何概型知：在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝16.答案：165．某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4分钟的概率是________．答案：256．如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长度超过2R的概率是________．答案：12解析：连结圆心O 与M 点，作弦MN 使∠MON ＝90°，这样的点有两个，分别记为N 1，N 2，仅当点N 在不包含点M 的半圆弧上取值时，满足MN >2R ，此时∠N 1ON 2＝180°，故所求的概率为180°360°＝12. 7．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，E ＝{(x ，y )|x －2y ≥0，x ≤4，y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落入区域E 的概率为________．解析：如图，区域Ω表示的平面区域为△AOB 边界及其内部的部分，区域E 表示的平面区域为△COD 边界及其内部的部分，所以点P 落入区域E 的概率为S △CODS △AOB＝12×2×412×6×6＝29.答案：298．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则f (1)＞0成立的概率是________．解析：f (1)＝－1＋a －b ＞0，即a －b ＞1，如图：A (1,0)，B (4,0)，C (4,3)，S △ABC ＝92，P ＝S △ABC S 矩＝924×4＝932.答案：9329．在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为________．解析：f ′(x )＝32x 2＋a ，故f (x )在x ∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f (－1)·f (1)<0成立，即(－12－a －b )(12＋a －b )<0，则(12＋a＋b )(12＋a －b )>0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b >012＋a ＋b >0或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1≤b ≤112＋a －b <0，12＋a ＋b <0由线性规划知识在平面直角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a ＝0，a ＝1，b ＝0，b ＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为78.答案：7810．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤60≤y ≤6表示的区域为A ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤6x －y ≥0表示的区域为B .(1)在区域A 中任取一点(x ，y )，求点(x ，y )∈B 的概率；(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y )在区域B 中的概率．解：(1)设集合A 中的点(x ，y )∈B 为事件M ，区域A 的面积为S 1＝36，区域B 的面积为S 2＝18，∴P (M )＝S 2S 1＝1836＝12.(2)设点(x ，y )在区域B 为事件N ，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x ，y )的个数为36个，其中在区域B 中的点(x ，y )有21个，故P (N )＝2136＝712.11．(2010年江苏南通模拟)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤0}，集合B ＝{x |ax ＋b ·2x －1＜0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}．(1)若a ，b ∈N ，求A ∩B ≠∅的概率； (2)若a ，b ∈R ，求A ∩B ＝∅的概率．解：(1)因为a ，b ∈N ，(a ，b )可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．令函数f (x )＝ax ＋b ·2x －1，x ∈[－1,0]，则f ′(x )＝a ＋b ln2·2x .因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以f ′(x )＞0，即f (x )在[－1,0]上是单调递增函数．f (x )在[－1,0]上的最小值为－a ＋b2－1.要使A ∩B ≠∅，只需－a ＋b2－1＜0，即2a －b ＋2＞0.所以(a ，b )只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)7组．所以A ∩B ≠∅的概率为79.(2)因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以(a ，b )对应的区域为边长为2的正方形(如图)，面积为4.由(1)可知，要使A ∩B ＝∅，只需f (x )min ＝－a ＋b2－1≥0⇒2a －b ＋2≤0，所以满足A ∩B ＝∅的(a ，b )对应的区域是如图阴影部分．所以S 阴影＝12×1×12＝14，所以A ∩B ＝∅的概率为P ＝144＝116.12．将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)的概率．解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为1－x －y ，则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x ，y )|0＜x ＜1,0＜y ＜1,0＜x ＋y ＜1}，此区域面积为12.事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”所对应的几何区域可表示为A ＝{(x ，y )|(x ，y )∈Ω，x ＜a ，y ＜a,1－x －y ＜a }．即图中六边形区域，此区域面积：当13≤a ≤12时，为(3a －1)2/2，此时事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”的概率为P＝(3a －1)2/21/2＝(3a －1)2；当12≤a ≤1时，为12－3(1－a )22.此时事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”的概率为P ＝1－3(1－a )2.。

几何概型练习题

第6课时7.3.1 几何概型(1)分层训练1、在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定2、在长为10cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,则正方形的面积介于236cm与281cm之间的概率是 ( )A．0.3 B.0.6 C．0.7 D．0.93、水面直径为0.5米的金鱼缸的水面上飘着一块面积为20.02米的浮萍,则向缸里随机洒鱼食时,鱼食掉在浮萍上的概率约为 ( )A. 0.1019B.0.2038C.0.4076D.0.02554、以假设△ABC为圆的内接三角形,AC=BC,AB为圆的直径,向该圆内随机投一点,则该点落在△ABC内的概率是 ( )A. 1πB.2πC.4πD.12π5、设标靶的半径为10cm，则中弹点与靶心的位置小于5cm的概率为．拓展延伸6、一海豚在水池中自由游弋,水池为长30m,宽20m的长方体.求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.7、如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是多少?8、平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．本节学习疑点：7.3.1 几何概型(1)1、C （提示：由于取水样的随机性，所求事件A ：“在取出2ml 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比5002=0.004） 2、A 3、A 4、A 5、2251104P ππ⋅==⋅ 6、整个区域面积为30×20=600(2m ),事件A 发生的区域面积为30×20-26×16=184(2m ), 所以18423()0.3160075P A ==≈. 7、如果在一个5万平方公里的海域里有表面积M 7、由于选点的随机性,可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的,因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比,即等于40/50000=0.0008.8、解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A ，为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，如图所示，这样线段OM 长度（记作OM ）的取值范围就是[o,a]，只有当r ＜OM ≤a 时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A 的概率就是P （A ）=的长度的长度],0[],(a a r =a ra。

几何概型习题附答案

1．在区间[0，2]上随机地取出一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A .34 B.23 C .13D ．14解析：选A .不等式－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A .16 B.13 C .23D ．45解析：选C .设AC ＝x (0<x <12)，则CB ＝12－x ，所以x (12－x )<32，解得0<x <4或8<x <12. 所以P ＝4＋412＝23.3.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－33πB.4－63πC .13－32πD ．23解析：选B .设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝⎛⎭⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－63π，故选B .4．已知平面区域D ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y ＝kx (k ∈R )下方的概率为( )A .12 B.13 C .23D ．34解析：选A .由题设知，区域D 是以原点为中心的正方形，直线y ＝kx 将其面积平分，如图，所求概率为12.5.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径的概率为( )A .12 B.32C .13D ．14解析：选C .当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C .6.某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ，则正三角形的面积为34a 2. 由正弦定理得2R ＝a sin 60°，即R ＝33a ，。

几何概型随堂练习(含答案)

几何概型一、选择题1. [2013·信阳模拟]如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )A. 15 B. 14 C. 13 D. 12答案：D解析：由题意知，当MN ＝2R 时，∠MON ＝π2，所以所求概率为2×π22π＝12.2. [2013·镇江模拟]某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全，模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米，则模型飞机“安全飞行”的概率为( )A. 127B. 116C. 38 D. 827 答案：D解析：依题意得，模型飞机“安全飞行”的概率为(6－26)3＝827，选D.3. 如图，是一个算法程序框图，在集合A ＝{x |－10≤x ≤10，x ∈R }中随机抽取一个数值做为x 输入，则输出的y 值落在区间(－5,3)内的概率为( )A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.8答案：D解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3(x <0)，x －5(x >0)，0(x ＝0)，当－5<x ＋3<3⇒－8<x <0，－5<x －5<3⇒0<x <8，所以有解的概率为P ＝8＋810－(－10)＝0.8.4. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A. 12 B. 16 C. 14 D. 13答案：D解析：依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于⎠⎛01(x －x 2)d x＝(23x 32－13x 3)⎪⎪⎪10＝13.因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13，选D . 5. [2013·郑州模拟]分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A . 4－π2 B. π－22 C .4－π4D. π－24答案：B解析：设AB ＝2，则S 阴影＝2π－4. ∴2π－44＝π－22，故选B 项． 6. [2012·四川资阳高三模拟]已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A. 316B. 38C. 34 D. 12答案：B解析：如图所示，(x ，y )在矩形ABCD 内取值，不等式组所表示的区域为△AEF ，由几何概型的概率公式，得所求概率为38，故选B .二、填空题7.[2013·大理模拟]如图，曲线OB 的方程为y 2＝x (0≤y ≤1)，为估计阴影部分的面积，采用随机模拟方式产生x ∈(0,1)，y ∈(0,1)的200个点(x ，y )，经统计，落在阴影部分的点共134个，则估计阴影部分的面积是________．答案：0.67解析：由落入阴影部分的点的个数与落入正方形区域的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为134200，又正方形的面积为1，所以阴影部分的面积为0.67.8. [2013·邵阳模拟]在[－6,9]内任取一个实数m ，设f(x )＝－x 2＋mx ＋m －54，则函数f(x )的图象与x 轴有公共点的概率等于________．答案：35解析：若函数f (x )＝－x 2＋mx ＋m －54的图象与x 轴有公共点，则Δ＝m 2＋4(m －54)≥0，又m ∈[－6,9]，得m ∈[－6，－5]或m ∈[1,9]，故所求的概率为P ＝[(－5)－(－6)]＋(9－1)9－(－6)＝35. 9. [2013·商丘模拟]已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈[12，2]，在区间[12，2]上任意一点x 0，使f(x 0)≥0的概率为________．答案：23解析：由f (x 0)≥0，得log 2x 0≥0. ∴x 0≥1，即使f (x 0)≥0的区域为[1,2]，故所求概率为P ＝2－12－12＝23.三、解答题10. [2013·伊春模拟]已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．分析：由题意画出图象可求面积之比．解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.11. 已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a ，b 是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．解：(1)基本事件(a ，b )共有36个，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S (Ω)＝16. 设“一元二次方程无实数根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为S (B )＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.12. [2013·锦州模拟]已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ，∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0≤x ≤30≤y ≤4内，属于几何概型，该平面区域的图形为右图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为 {(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0x ≥0y ≥0}，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，32)，∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.。

几何概型

0
yN，由此得到 N 个点(xi，yi)(i＝1,2，„，N)再数出其中满足 yi≤f(xi)(i＝1,2，„，N)的点数 N1，那么由随机模拟方法可得积分1f(x)dx 的近似值为________．
0
解析：如图所示 fxdx 0
1
S正方形OABC
0
＝
N1 N
N1 则1f(x)dx＝ . N Nhomakorabea N1 答案： N 三、解答题(共 3 小题，共 34 分) 10．(本小题满分 10 分)某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐 8 路、23 路，8 路车 10 分钟一班，23 路车 15 分钟一班，求这位同学等车不超过 8 分钟的概率．解：如图，记“8 分钟内乘坐 8 路车或 23 路车”为事件 A，则 A 所占区域面积为 8×10＋7×8＝136，整个区域的面积为 10×15＝ 136 150，由几何概型的概率公式，得 P(A)＝ ≈0.91.即这位同学等 150 车不超过 8 分钟的概率约为 0.91. 11．(本小题满分 12 分)设有一 4×4 正方形网格，其各个最小的正方形的边长为 4 cm，现用直径为 2 cm 的硬币投掷到此网格上；假设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点；求：(1)硬币落下后完全在最大的正方形内的概率； (2)硬币落下后与网格线没有公共点的概率．解：(1)硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为 14×14 196 P1＝＝ . 4×4×4×4＋4×4×4＋π 320＋π (2)硬币落下后与网格线没有公共点的概率为 2×2×16 64 P2＝＝ . 320＋π 320＋π 12．(本小题满分 12 分)已知关于 x 的二次函数 f(x)＝ax2－4bx＋1. (1)设集合 P＝{－1,1,2,3,4,5}和 Q＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b，求函数 y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率； x＋y－8≤0 (2)设点(a，b)是区域x＞0 y＞0 函数的概率．解：(1)∵函数 f(x)＝ax2－4bx＋1 的图象的对称轴为 x＝ 2b ，要使函数 f(x)＝ax2－4bx＋1 a 内的随机点，求函数 y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增