高等数学(上册)重要知识点

{ xn}
lim f ( x)
x
x0
0
＝Ａ．如果
是一个在该去心领域取值的数列， xn
0

x （ｎ＝１,2,....)
且
lim x
n
n
则有
lim f ( x ) ＝Ａ．
n
５．如果
lim f ( x) A lim g ( x)
x
x0
，
x
x0
＝Ｂ，并且存在常数δ＞０，
使得当０＜｜ｘ－ x0 ｜＜δ，有 f ( x) g ( x) ，那么Ａ Ｂ。
lim g ( x) u
x
x0
0
，而函数 f 在点 u 0 连续 则有
0
lim f [ g ( x)] f (u )
x
x0
。
6.5 三个等价无穷小(当 x 0 时)
ln( 1 x) ~ x
e
x
-1 ~ x
(1 x)

- 1 ~ x
6.6 基本初等函数在其定义域内是连续的。 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 6.7 闭区间上的连续函数在该区间上有界，并且一定能取得最大值与最小 值。 6.8 介值定理 设函数 y f ( x) 在闭区间[a,b]上连续，在该区间的两端点处分别取值 A,B（A≠B,那么,对 A,B 之间的任意一个数 C，在该区间（a,b)内至少存 在一点§使得
f ( x x) f ( x0) x

存在， 称该单侧极限为 y f ( x) 在 x0 点的
f ( x ) ；类似地，称 右导数，记作
0
/
lim
x
f ( x x) f ( x0) x
0

为 y f ( x) 在点 x0 的左导数，记作 左导数和右导数统称为单侧导数。
３极限存在的准则与两个重要极限
３.１（夹逼准则）设数列
{ xn}
，
{y }
n
，
{ z n}
满足
（１）从某一项起，即存在正整数 N 0 ，当ｎ＞ N 0 时，恒有
{ xn}
≦
{y }
n
≦
{ z n}
n
； ．那么
（２）
lim x lim z
n n n
a
＝ａ ３.２ 单调有界数列必有界限。 ３.３ 两个重要的极限
5.4 函数 f ( x) 在点 x0 连续必须满足三个条件： （1） f ( x) 在点 x0 有定义；
（2）在
x x0
时， f ( x) 有极限；
f ( x0 )
（3）极限
lim f ( x)
x
x0
的值等于
。
5.5 两类间断点 极限存在的是第一类间断点，反之，为第二类间断点。
6 连续函数的性质与初等函数的连续性
x
x0

0
，则称 f ( x)
在 x0 点左连续； 5.2 f ( x) 在 x0 点连续 f ( x) 在 x0 点既右连续又左连续。 5.3 若函数在区间上每一点处都连续，称函数在该区间连续。
注意：如果区间包括端点，那么在端点讨论函数的连续性只 能是单侧连续。即在左端点右连续，在右端点左连续。
a
n
-a |<ε成立，则数列{ a n }以 a 为极限。记作:
lim a
n
n
a
, 或
{a n}
a
n
a a ( ). {a n}
此时称数列
收敛于常数 a，或简称数列收敛.反之数列
没有极
限，或称它为发散. 2.2 数列极限的性质 (1)（极限的唯一性）如果数列
{a n} {a n}
收敛，那么它的极限必唯一.
么它的反函数
在对应的区间 I y
{ y | y f ( x), x I x}
上单调增
加（或单调减少）且连续。 6.3 设函数 y f [ g ( x)] 是由函数 y f (u ) 与函数 u g ( x) 复合而成， 并且在 的某领域
U ( x0 )
x
0
内有定义。若
x x0
x cos y sin
{
{ y tan ( x 0) x

x y
2
2
1.4 几种特殊性质的函数 (1)有界函数 F(x)在 x 上有界的充分必要条件为:存在常数 M>0,使得| f(x) | ≦ M,对 任意 x 属于 X.这时称风 f(x)在 x 上有一个界. (2)奇偶函数
n
lim y
n
lim
x 0
sin x 1 x
1 lim (1 ) x
x
x
e
４ 无穷小量与无穷大量
４.１ 在自变量的某一变化过程中，ｆ（ｘ）＝Ａ的充分必有条件是 ｆ（ｘ）＝Ａ＋φ，其中φ是在自变量同一变化过程中的无穷小。 4.2 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。 4.3 设α,β为同一过程下的无穷小，且α≠0.如果
第二章
1 函数的导数的概念
一元函数微分学
U( ) 1.1 设函数 y f ( x) 在点 x0 的某领域 x0 内有定义，当自变量 x 在 x0 获得增
量 x （点 x x 仍在
U ( x0 )
内）时，相应的函数值有一个增量
y f ( x x) f ( x0)
，如果极限
x
数 值的增量能表示为
y A x (x) ，
则称 y f ( x) 在点 x0 可微 （分） ， 并称 A x 为 y f ( x) 在点 x0 的微分， 记作 dy 即
dy Ax 。
2.2 可导与可微的关系
函数在一点可导与可微是等价的。二者不加区别。
2.3 可微与连续的关系 若函数 y f ( x) 在点 x0 可微，那么它在点 x0 必连续 。 2.4 微分的几何意义 给自变量一个增量，那么纵坐标有一个增量（函数的微分）
f (x ) 。
0
/
y f ( x) 在点 x0 可导 y f ( x) 在点 x0 的左导数和右导数都存在，并且相
等。 1.4 导函数 （1）若函数在开区间内可导，在区间的端点处有相应的单侧导数，则函数 在该区间上可导。 （2）如果函数 f ( x) 在某区间 I 可导那么对于任意一点 x I 都对应一个确定 的导数值 f
6.1 若函数 f ( x) ， g ( x) 在点 x0 皆连续，那么函数
f g ( x) f ( x) , f g , g ( g ( x0) 0 )在点 x0 也是连续的。
6.2 若函数 y f ( x) 在区间 I x 上单调增加（或单调减少）且连续，那
x ( y)
1
l i mx l i m
x 0 x 0
y
f ( x x) f ( x0)
存在，则称 y f ( x) 在点 x0 可导，并称该极
限 值为 y f ( x) 在点 x0 处的导数（微商） ，记作
f ( x ) 。即
0
/
f ( x ) lim x lim
0 x 0 x 0
（1）函数 u g ( x) 在点
连续，且
g ( x0 ) u 0
；
u u0 （2）函数 y f (u ) 在点 连续
则复合函数 y f [ g ( x)] 在点 x0 也连续，既有
lim f [ g ( x)] f [ g ( x )]
x
x0
0
6.4 设有复合函数 y f [ g ( x)] ，函数 g ( x) 在点 x0 的某去心领域内有定义且
/
y
f ( x x) f ( x0) x
。
1.2 导数的几何意义
M ( x0, f ( x0)) 若函数 y f ( x) 在点 x0 处可导，那么曲线 y f ( x) 在点 处有切
( ) 线，并且导数 f x 就是该切线的斜率。
0
/
1.3 单侧导数 若单侧极限 x0
lim
lim
0 ，称β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α)（这时也称α是
比β低阶的无穷小） ；
lim
c0 ,称ɑ与β是同阶无穷小；
1 ，称ɑ与β是等价无穷小，记作α~β；
lim
lim
c0 k ，称是β关于α的 k 阶无穷小（其中 k 是正实数） 。
4.4 无穷小量与无穷大量是倒数关系。 4.5 几组无穷小等价
f ( ) c
6.9 零点定理 设函数 y f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续且 f (a) 和 f (b) 异号（即
f (a) f (b) 0 ）那么在开区间 (a, b) 内至少存在一点 使得
f ( ) 0
通常把满足方程 f ( x) 0 的 x 的值§称作函数 y f ( x) 的零点.
(2)（有界性）收敛数列必定有界. (3)（保号性）设有数列 ，
{bn}
分别收敛于 a,b,并且 b>a,那么存在
正整数 N，当 n>N 时，恒有 bn > a n . (4) 设有数列
{a n} {bn} ， 分别收敛于 a,b,并且存在正整数Ｎ，当ｎ＞Ｎ
时，恒有 bn
a
n
，那么 b a
（5）数列}收敛于 a 的充分必要条件是它的任何一个子集数列都收敛于 a. 2.3 函数极限 （1）设函数 f(x)在的某去心邻域有定义.若存在常数Ａ，使 对任给的ε>0，总存在δ＞０，当０＜｜ｘ－ x0 ｜＜δ时，恒有 ｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε恒成立，则称当 x x0 时，ｆ（ｘ）以Ａ 为极限．记作：