激光原理第三讲

受激辐射 − dn2 (ν ) = B21n2 ρν f (ν )dν 受激吸收 dn2 (ν ) = B12 n1 ρν f (ν )dν
单位时间内总原子数密度与外来光的单色能量密度及光谱 的线型函数有关 ∞ 总的自发辐射原子数密度 = ∫ dn2 (ν )dν = A21n2
∫ 总的受激吸收原子数密度 = ∫
dn z f D (ν ) dν = n
因而
dnz m 12 f D (ν )dν = =( ) e n 2πkT
m v2 z − 2 kT
d vz
19
多普勒增宽的线型函数、 多普勒增宽的线型函数、高斯线型函数
由多普勒效应可以导出速度和光源静止时光的频率、 由多普勒效应可以导出速度和光源静止时光的频率、光源 运动时光的频率之间的关系
总的受激辐射原子数密度 =
0 ∞ 0 ∞
B21n2 ρν f (ν )dν B12 n1 ρν f (ν )dν
5
0
入射光比被激原子发光谱线宽度小很多
单位时间内
总的受激辐射原子数密度
= ∫ B21n2 ρν ′ f (ν ′)dν ′
0
∞
= n2 B21 f (ν 0 ) ∫ ρν ′ dν ′
0
∆ν N = ν 2 −ν 1 = 1 2πτ
1
一般原子发光平均寿命为10 一般原子发光平均寿命为 -5 -10-8 秒， 自然增宽在十分之几兆到几百兆
f N (ν ) = ∆ν N 2π (ν − ν 0 ) 2 + (∆ν N 2) 2
图（1-13）洛仑兹线型函数
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三种增宽之二： 三种增宽之二：碰撞增宽
多普勒增宽： 多普勒增宽：作为光源的每个发光原子的运动速率和方向 都不同造成的发光光波频率变化也不同， 都不同造成的发光光波频率变化也不同，因而发光的谱线 被增宽。 被增宽。
14
光的多普勒效应
纵向多普勒效应： 纵向多普勒效应：设光源与接收器在两者连线方向的相对 速度为v，则光的频率为 速度为 ，
ν=
U (t ) = U 0 e
− t 2τ
e −i 2πν 0t
查数学手册可得其傅里叶变换（当然可以积分， 查数学手册可得其傅里叶变换（当然可以积分，但要学会 查手册） 查手册） U0 U (ν ) = F { (t )} = U i 2π (ν −ν 0 ) + 1 2τ 对应光强分布为
U 02 I (ν ) ∝ U (ν ) 2 = 4π 2 (ν − ν 0 ) 2 + (1 2τ ) 2
1+ v c ν0 1− v c
式中 ν 0 为光源与接收器相对静止时的频率。一般情况下 为光源与接收器相对静止时的频率。一般情况下v 远小于真空光速，并且光源与接收器相对趋近时， 取正 远小于真空光速，并且光源与接收器相对趋近时，v取正 两者背离时， 取负值 取负值。 值；两者背离时，v取负值。上式取一级近似可得
光谱曲线是可以用实验方法测量的
4
光谱线型对光与物质的作用的影响
考虑光谱线线型的影响后，在单位时间内， 考虑光谱线线型的影响后，在单位时间内，对应于频率 间隔，自发辐射、受激辐射、 间隔，自发辐射、受激辐射、受激吸收 ν ~ ν + dν 的原子跃迁数密度公式分别为 自发辐射 − dn2 (ν ) = A21n2 f (ν ) dν
vz ν ≈ ν 0 (1 + ) c
图(1-16) 发光原子相对接收器的运动
要得到接受器收到光的线型函数就要知道发光原子的速度 分布规律， 分布规律，即不同速度原子的概率分布
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气体运动的麦克斯韦分布
麦克斯韦分布律：单位体积内的原子 或分子 数为n， 或分子)数为 麦克斯韦分布律：单位体积内的原子(或分子 数为 ，则在 沿某方向（朝向接收器方向）具有速度分量在区间为(v 沿某方向（朝向接收器方向）具有速度分量在区间为 z， vz+ dvz)的原子 或分子 数为 的原子(或分子 的原子 或分子)数为
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洛仑兹线型函数
线形函数是相对光强分布， 线形函数是相对光强分布，可写成
f N (ν ) = A 4π 2 (ν −ν 0 ) 2 + (1 2τ ) 2
由归一化条件可计算出（也可查数学手册的积分表） 由归一化条件可计算出（也可查数学手册的积分表）
∫
∞
0
f N (ν )dν = Aτ = 1 ⇒ A = 1 τ
同理， 同理，可由傅立叶变换求出由碰撞增宽引起的谱线线型函数
f c (ν ) = ∆ν c 2π (ν − ν 0 ) 2 + (∆ν c 2) 2
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三种增宽之二： 三种增宽之二：碰撞增宽
成正比） 当发光原子同时具有碰撞增宽 ∆ν（与气体压强 成正比） c 与气体压强P成正比 可以证明所得的线型仍为洛仑兹线型， 和自然增宽 ∆ν N 时，可以证明所得的线型仍为洛仑兹线型， 其线宽为两者之和
v⊥ 2 ) ν0 c
式中
v⊥
为垂直于光源与接收器连线方向的相对速度
一般光的横向多普勒效应量值更小， 一般光的横向多普勒效应量值更小，予以忽略
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气体发光的多普勒增宽
气体放电管中一个静止原子的发光频率为 ν 0 ，原子的运 动速度为v， 方向的分量为 方向的分量为v 一般有v 动速度为 ，在z方向的分量为 z，一般有 z<<c，则接收器 ， 接收到的光频率为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
洛仑兹线型函数用原子辐射的平均寿命表达的形式 1τ f N (ν ) = 4π 2 (ν −ν 0 ) 2 + (1 2τ ) 2 自然增宽: 作为电偶极子看待的原子作衰减振动而造成的 自然增宽: 谱线增宽。 谱线增宽。
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自然增宽的线形分布函数
当 ν = ν 0 时，f N (ν 0 ) = 4τ 当 ν =ν1 =ν 0 ± 时， f N (ν ) = f N (ν 1 ) = f N (ν 2 ) = 2τ = 1 f N (ν 0 ) 4πτ 2 因而洛仑兹 洛仑兹半宽度即自然增宽 因而洛仑兹半宽度即自然增宽 为
1.4 光谱线增宽 1.5 激光形成条件
1
光谱线的线型和宽度
用分辨率极高的摄谱仪拍摄出的每一条原子发光谱线都具 有有限宽度， 有有限宽度，决不是单一频率的光
光谱片
就每一条光谱线而言，在有限宽度的频率范围内， 就每一条光谱线而言，在有限宽度的频率范围内，光强的 相对强度也不一样。设某一条光谱线的总光强为I 相对强度也不一样。设某一条光谱线的总光强为 0，频率 ν 附近单位频率间隔的光强为 I (ν )，则频率 ν 附近单位频率 间隔的相对光强 I (ν ) I 0 表示为
∆ν H = ∆ν N + ∆ν c
固体、气体发光都会造成碰撞增宽， 固体、气体发光都会造成碰撞增宽，一般气体发光时碰撞 增宽大于自然增宽 ，固体发光的碰撞增宽是由相邻原子 之间作用力
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三种增宽之三： 三种增宽之三：多普勒增宽
由于光的多普勒效应，光源或接收器之间存在相对运动时， 由于光的多普勒效应，光源或接收器之间存在相对运动时， 接收器接受到的光波频率不等于光源与接收器相对静止时 的频率。 的频率。
m 12 dnz = n( ) e 2πkT
m v2 z − 2 kT
d vz
式中m为原子 或分子 质量， 为绝对温度 为绝对温度， 为波尔兹曼 式中 为原子(或分子 质量，T为绝对温度，k为波尔兹曼 为原子 或分子)质量 常数。 常数。 速度分量为v 速度分量为 z～vz+ dv z的原子数占总数的百分比为
∞
0
I (ν ) 1 dν = I0 I0
∫
∞
0
I (ν )dν = 1
3
谱线宽度
光谱线宽度 ∆ν 定义为相对光强为最大值的一半处的频率 间隔， 间隔，即：
∆ν = ν 2 − ν 1
式中各频率处光强满足： 式中各频率处光强满足：
f (ν 1 ) = f (ν 2 ) = 1 f (ν 0 ) 2
U 0 = I 0 为 t =0时的振幅 时的振幅 时的
I 0 为t =0时的光强 时的光强
如不衰减线宽为零 如不衰减线宽为零
图(1-12) 电偶极子辐射场的衰减振动 8
衰减振动（阻尼振荡） 衰减振动（阻尼振荡）的频谱分析
衰减的阻尼振荡可以分解成无数余弦振动的叠加， 衰减的阻尼振荡可以分解成无数余弦振动的叠加，每一组 阻尼振荡可以分解成无数余弦振动的叠加 余弦振动都有其特征频率 用傅里叶变换可导出其频谱的数学表达式， 用傅里叶变换可导出其频谱的数学表达式，但首先要把它 表示为复指数函数的形式
ν = ν 0 (1 + ν −ν 0 vz ) ⇒ vz = ( )c c ν0
dν
以及速度微分和频率微分之间的关系
d vz = c
ν0
代入前式可得高斯型线型函数表 达式： 达式：
m 12 f D (ν ) = ( ) e 2πkT
mc 2 ν −ν 0 2 − ( ) 2 kT ν 0
c
ν0
图(1-17)高斯线型函数 20
在入射光线宽度远大于原子光谱线宽的情况下， 在入射光线宽度远大于原子光谱线宽的情况下，受激跃迁 与原子谱线中心频率处的外来光单色能量密度有关， 与原子谱线中心频率处的外来光单色能量密度有关，跃迁 几率与被激发原子光谱线型函数无关。 几率与被激发原子光谱线型函数无关。
7
三种增宽之一： 三种增宽之一：自然增宽
v ν ≈ ν 0 (1 + ) c
若在介质中传播时， 若在介质中传播时，光速应为 c µ ，则此时的频率可写 v 成 ) ν ≈ ν 0 (1 + cµ
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光的横向多普勒效应
当光源与接收器之间的相对速度在垂直于两者连线方向时， 当光源与接收器之间的相对速度在垂直于两者连线方向时， 此时的频率为
ν = 1− (
碰撞增宽是考虑了发光原子间的相互作用造成的。 碰撞增宽是考虑了发光原子间的相互作用造成的。这种碰 撞会使原子发光中断或光波位相发生突变， 撞会使原子发光中断或光波位相发生突变，即使发光波列 缩短，这样引起谱线的增宽叫碰撞增宽， 缩短，这样引起谱线的增宽叫碰撞增宽，用 ∆ν c 表示
图（1-15）碰撞增宽的形成机理 ）
W12 = B12 ρ f (ν 0 )
6
入射光比被激原子发光谱线宽度大很多
单位时间内
总的受激辐射原子数密度
= n2 B21 ρν 0 ∫ f (ν ′)dν ′
0 ∞
= n2 B21 ρν 0
此时受激辐射的跃迁几率为: W21 = B21 ρν 0 此时受激辐射的跃迁几率为 同理，受激吸收跃迁几率为： 同理，受激吸收跃迁几率为： W12 = B12 ρν 0
f (ν ) = I (ν ) I0
2
光谱线的线型函数
线型函数定义： 线型函数定义： 单位频率间隔的 相对光强分布f( 。 相对光强分布 ν)。 理想线型为矩形
图(1-10) 光谱的线型函数
线型函数的归一化条件：相对光强之和（积分） 线型函数的归一化条件：相对光强之和（积分）为1
∫
∞
0
f (ν )dν = ∫
高斯线型函数的半宽度
在光源静止时达到线型函数最大值
f D (ν 0 ) = c
ν0
(
m 12 ) 2πkT
2 2kTν 0 ν 2 =ν 0 + ( ln 2)1 2 mc 2
在半极大值时对应的频率为
2 2kTν 0 ν1 =ν 0 − ( ln 2)1 2 mc 2
∞
= n2 B21 f (ν 0 ) ρ
的外来光， 这种情况表明总能量密度为 ρ 的外来光，只能使频率为ν 0 附近原子造成受激辐射， 附近原子造成受激辐射，跃迁几率与被激原子发光线形函 数有关 此时受激辐射跃迁几率为: 此时受激辐射跃迁几率为 同理受激吸收跃迁几率为: 同理受激吸收跃迁几率为
W21 = B21 ρ f (ν 0 )
dnz m 12 =( ) e n 2πkT
m v2 z − 2 kT
d vz
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气体发光的线型函数
大量同类原子的发光，由于原子的运动速度各不相同， 大量同类原子的发光，由于原子的运动速度各不相同，不 同速度的原子所发出的光被接收时的频率也各不相同。 同速度的原子所发出的光被接收时的频率也各不相同。频 率在 (ν ,ν + ∆ ν ) 之间的光强与总光强之比与速度分量为 vz-vz+dv z的原子数占总数的百分比相等
工程光学2》 中讲过， 《物理光学》（ 《工程光学 》 ）中讲过，原子发光形成 物理光学》 的电磁波是有一定长度的振幅按指数规律衰减的波列： 的电磁波是有一定长度的振幅按指数规律衰减的波列：
U = U 0 e cos 2πν 0 t
−t 2τ
t>0
式中 τ 为原子自发辐射的平均寿命，ν 0为余弦函数频率 为原子自发辐射的平均寿命，