第五章 线性系统的频率分析法

传递函数可以分解为典型环节的串联： 传递函数可以分解为典型环节的串联：
比例环节： 比例环节： K 1 惯性环节： 惯性环节： Ts + 1 1 积分环节： 积分环节： s 微分环节： 微分环节： s
一阶微分： 一阶微分： τ s + 1 二阶微分： 二阶微分： τ 2 s 2 + 2 ζτ s + 1
ω=∞
0
ω =0
1
G(j ∞ ) = 0 ∠ - 90
3）画出幅相曲线： 画出幅相曲线：
2、对数频率特性曲线（又叫伯德图Bode） 对数频率特性曲线（又叫伯德图Bode） Bode 包含： 包含：对数幅频特性和对数相频特性两条曲线
1）对数频率特性曲线的横坐标： 对数频率特性曲线的横坐标： 标记ω 标记ω，按lgω对数分度，单位是弧度/秒（rad/s）； lgω对数分度，单位是弧度/ 对数分度 rad/s）； /s 2）对数幅频特性曲线的纵坐标： 对数幅频特性曲线的纵坐标： 以L(ω)=20lgA(ω)线性分度，单位是分贝（dB）； L(ω)=20lgA(ω 线性分度，单位是分贝（dB）； 3）对数相频特性曲线的纵坐标： 对数相频特性曲线的纵坐标： 按φ(ω)线性分度，单位是度（o）。 线性分度，单位是度（
(ω )
180
L(ω)dB
对数幅频特性
90
0
ω
十倍频程dec 十倍频程 十倍频程dec 十倍频程
90
180
对数分度：当变量每增大或减小10倍 对数分度：当变量每增大或减小10倍 10 （10倍频程），坐标距离变化一个单 10倍频程），坐标距离变化一个单 倍频程）， 位长度
对数相频特性
对数频率特性曲线的特点： 对数频率特性曲线的特点： 1）横轴按ω的对数lgω标尺分度，但标出的是ω本身 横轴按ω的对数lgω标尺分度，但标出的是ω lg 的数值，即刻度不均匀； 的数值，即刻度不均匀； 2）横轴压缩了高频段，扩展了低频段； 横轴压缩了高频段，扩展了低频段； 3）在ω轴上，十倍频程的长度相等； 轴上，十倍频程的长度相等； 4）可以将幅值的乘除化为加减L(ω)=20lgA(ω) ； 可以将幅值的乘除化为加减L(ω)=20lgA(ω L( 5）满足直线方程：斜率k 满足直线方程：斜率k
第五章 线性系统的频域分析法
本章主要内容: 本章主要内容: 5.I 频率特性 5.2 控制系统开环频率特性 5.3 频率域稳定判据 5.4 稳定裕度
5.1 频率特性
一、频率特性的定义： 频率特性的定义： 指线性系统或环节在正弦信号作用下， 指线性系统或环节在正弦信号作用下，系统输入 量的频率由0 量的频率由0变化到 ∞ 时，稳态输出量与输入量的振 幅之比和相位差的变化规律， G(jω 表示。 幅之比和相位差的变化规律，用G(jω) 表示。
2
五、典型环节的分解
最小相位环节和非最小相位环节的区别： 最小相位环节和非最小相位环节的区别： 最小相位环节：K>0,开环零极点在s左半平面； 最小相位环节：K>0,开环零极点在s左半平面； 开环零极点在 非最小相位环节：K<0开环零极点在s右半平面； 非最小相位环节：K<0开环零极点在s右半平面； 开环零极点在
1
j
ω=∞
ω
0
= 90 o
ω=0
0
箭头表示ω 箭头表示ω增大时辐相曲线的变化方向
实部： 实部：U (ω ) = A(ω ) cos (ω ) 虚部： 虚部：V (ω ) = A(ω ) sin (ω )
是常数， 由于 ∠G( jω ) = 90 是常数，而 | G ( jω ) | 随ω增大 而增大。因此， 而增大。因此，微分环节是一条与虚轴正段相重 合的直线。 相频范围： 合的直线。 相频范围：90 o ~ 90 o
1、比例环节 传递函数： 传递函数： G ( s ) = K 幅频： A(ω ) = K 幅频： 相频： 相频： (ω ) = tg
1
频率特性： 频率特性： G ( jω ) = K
j
0 = 0o K
0
K
比例环节是复平面实轴上的一个点， 比例环节是复平面实轴上的一个点，它到原点 的距离为K 相频范围： 的距离为K。相频范围：0 o~ 0 o
(ω ) = tg
-1
ImG ( jω ) ReG ( jω )
三、频率特性的求取 根据定义求取： 根据定义求取：
C(j ω ) G(j ω ) = R(j ω )
根据传递函数求取： 根据传递函数求取：
G(j ω ) = G(s)
s = jω
例如： 例如：求右图的频率特性 微分方程： 微分方程：RC duo + u = u o i
2、积分环节
1 传递函数： 传递函数： G ( s ) = s
1 频率特性： 频率特性：G ( jω ) = jω
ω
0
幅频： 幅频： (ω ) = A
1
相频： 相频： (ω ) = 0 tg
ω
ω=∞
= 90 o
0
j
1
箭头表示ω 箭头表示ω增大时辐相曲线的变化方向
实部： 实部：U (ω ) = A(ω ) cos (ω ) 虚部： 虚部：V (ω ) = A(ω ) sin (ω )
L(ω 2 ) L(ω 1 ) k= lgω 2 lgω 1
1 例如： 例如：G ( s ) = Ts + 1
的（对数频率特性曲线）伯德图 对数频率特性曲线）
1 1 G( jω ) = = ∠ tg 1ωT 频率特性： 1）频率特性： jωT + 1 ω 2T 2 + 1 对数频率特性： 2）对数频率特性：
x r ( t ) = xrm sin(ωt )
x c ( t ) = xcm sin(ωt + (ω ))
稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。 稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。
频率特性
C ( jω ) G ( jω ) = = G ( jω ) ∠ G ( jω ) R ( jω )
1 例如： 例如： G ( s ) = Ts + 1
的（幅相曲线）奈氏图： 幅相曲线）奈氏图：
1 1 1 频率特性： 1）频率特性： G( jω ) = = ∠ tg ωT 2 2 jωT + 1 ω T +1
2）取三个特殊点： 取三个特殊点：
j
G(j0) = 1 ∠ 0
1 G j = T 1 ∠ 45 2
o
5、一阶微分环节 传递函数： 传递函数：G ( s ) = Ts + 1 频率特性： G ( jω ) = jωT + 1 频率特性： 幅频： 幅频： A(ω ) = 相频： 相频： (ω ) = tg
ω 2T 2 + 1
1
ωT
1
= tg 1ωT
当ω从零变化到无穷时，相频从0°变化+90°， 从零变化到无穷时，相频从0 变化+90° +90 其幅相频率特性是通过（ 其幅相频率特性是通过（1， 0）点，且平行于 相频范围： 90 正虚轴的一条直线 相频范围：0 o~90 o
ω=0
由于∠G( jω ) = 90 是常数，而 | G ( jω ) | 随ω增大 是常数， 而减小。因此， 而减小。因此，积分环节是一条与虚轴负段相重 合的直线。 相频范围： 合的直线。 相频范围：-90 o ~ -90 o 90
o
3、微分环节 频率特性： 传递函数： 传递函数：G ( s ) = s 频率特性：G ( jω ) = jω 幅频： 幅频：A(ω ) = ω 相频： 相频： (ω ) = tg
频率对数分度,幅值/ 频率对数分度,幅值/相角线性分度
3)对数幅相曲线（又称：尼科尔斯曲线、Nichols 3)对数幅相曲线（又称：尼科尔斯曲线、Nichols） 对数幅相曲线
以频率为参变量表示对数幅值和相角关系： (ω)图 以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：L(ω) —(ω)图
请重点掌握前面两种！ 请重点掌握前面两种！
微分方程、传递函数、频率特性之间的关系： 微分方程、传递函数、频率特性之间的关系：
d s dt
传递函数
微分方程 系统
d jω dt
频率特性
s jω
四、 频率特性的几何表示法
常用频率特性的三种表示法： 常用频率特性的三种表示法： 1)幅相频率特性曲线 又称：幅相曲线、 幅相频率特性曲线（ 1)幅相频率特性曲线（又称：幅相曲线、奈奎斯 特图（Nyquist） 极坐标图） 特图（Nyquist）、极坐标图） 2)对数频率特性曲线（又称：伯德图 (Bode)） (Bode)） 2)对数频率特性曲线（又称： 对数频率特性曲线
6 、振荡环节
G 传递函数： 传递函数： (s) =
ωn2
s2 + 2ζωns + ωn2
0 B o d e D ia g r a m
L(ω ) = 201g
1 T ω +1
2 2
-1 0 -2 0 -3 0 -4 0 0
(ω ) = tg Tω
1
3）画出伯德图： 画出伯德图：
-4 5
-9 0 -1 10
10 F re q u e n c y
0
10 (r a d /s e c )
1
10
R
传递函数： 传递函数： G(s) = U o (s) = = U i (s) RCs + 1 Ts + 1
代入传递函数得频率特性： 令s=jω代入传递函数得频率特性： G( jω ) = 代入传递函数得频率特性
1 jTω + 1
频率特性是传递函数的特例， 频率特性是传递函数的特例，是定义在复平 是传递函数的特例 面虚轴上的传递函数， 面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分 方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。