第十章 动载荷
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第10章动载荷与交变载荷
3、交变应力：应力随时间作周期性变化，属疲劳问题。疲 劳破坏是指在反复载荷作用下，结构中裂纹形成、扩展乃至 断裂的过程。
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
材料力学 第十章 动载荷
a t
max
m
max 2 m 2 a
min 0
r0
a
t
（3）静应力：如拉压杆
max min m
a 0
r 1
（4）非对称循环：
a 0
max min m t
max min 0 max min a
第二节 交变应力的循环特性和应力幅值
应力循环:一点的应力由某一数值开始，经过一次完整的变 化又回到这一数值的一个过程。
a
m
T
1.最大应力： max
2.最小应力： min
min
max
t 5.循环特性：
3.平均应力：
m
max min
2
4.应力幅：
a
max min
疲劳极限或有限寿命持久极限：
材料在规定的应力循环次数N下，不发生疲劳破环的最大 应力值，记作 rN ( rN ) 。 无限寿命疲劳极限或持久极限 r ： 当 max 不超过某一极限值，材料可以经受“无数次”应力 循环而不发生破坏，此极限值称为无限寿命疲劳极限或持久极限。
疲劳失效特点 a、在交变应力下构件破坏时，最大应力不仅低于材料强 度极限和屈服极限，甚至低于比例极限； b、在交变应力作用下，构件破坏前，总是要经历若干次 应力重复；而且即使是塑性很好的材料，在经历若干次应力 重复后，也会像脆性材料一样突然断裂，断裂前没有明显的 塑性变形。 c、疲劳破坏的断口存在三个区域： 疲劳源区——在光滑区内有以微裂纹 起始点，又称为裂纹源（①区域）为中心 并逐渐扩展的弧形曲线； 疲劳扩展区——又称为光滑区（②区 域），有明显的纹条，类似被海浪冲击后 的海滩，它是由裂纹的传播所形成；
第十章-动载荷
2 动载荷问题分类
2
2 动载荷问题分类 1) 构件有加速度时旳应力计算; 2) 冲击问题； 3) 振动问题； 4) 交变载荷。
3
§10. 2 动静法旳应用
1 动静法
即为理论力学中简介旳达朗伯原理。
2 匀加速平动构件中旳动应力分析
例子 设杆以匀加速度a作平动，
b
R
aR
截面积为A，比重为 。
加上惯性力系。
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。 15
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧旳弹性
系数 k EA
l
16
l Pl EA
等价弹簧旳弹性系数 能量法
P EA l l
k EA l
工程实例 气缸
在满足刚度和强度要求旳前提下
28
冲击问题旳一般解题环节
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击；
2) 求 △st ； 3) 求 Kd ;
4) 计算静应力 st ； 5) 计算动应力 d = Kd st .
注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满 足条件（冲击前无应力和变形），则需要应
a g
)
记： 若忽视自重，则
对线性系统
a
Kd Kd
1 a
g
g
动荷系数
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
动载荷问题旳求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得成果乘以动荷系数 Kd 即可。 6
动载荷问题旳求解
1) 求出动荷系数；
2
2 动载荷问题分类 1) 构件有加速度时旳应力计算; 2) 冲击问题； 3) 振动问题； 4) 交变载荷。
3
§10. 2 动静法旳应用
1 动静法
即为理论力学中简介旳达朗伯原理。
2 匀加速平动构件中旳动应力分析
例子 设杆以匀加速度a作平动，
b
R
aR
截面积为A，比重为 。
加上惯性力系。
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。 15
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧旳弹性
系数 k EA
l
16
l Pl EA
等价弹簧旳弹性系数 能量法
P EA l l
k EA l
工程实例 气缸
在满足刚度和强度要求旳前提下
28
冲击问题旳一般解题环节
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击；
2) 求 △st ； 3) 求 Kd ;
4) 计算静应力 st ； 5) 计算动应力 d = Kd st .
注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满 足条件（冲击前无应力和变形），则需要应
a g
)
记： 若忽视自重，则
对线性系统
a
Kd Kd
1 a
g
g
动荷系数
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
动载荷问题旳求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得成果乘以动荷系数 Kd 即可。 6
动载荷问题旳求解
1) 求出动荷系数；
材料力学第10章(动载荷)
突加荷载 h 0,
Kd 2
二、水平冲击 mg v
d
Fd d ， Pst st
Pst mg 其中： mgl st EA
Fd
st
Pst
mv2 冲击前：动 T1 能 2
冲击后： 应变能Vε 2 Fd d 2
2 F 2 st mv d mg
h
P
h
解：
st
Pl 1.7 102 (mm) EA
2h K d 1 1 st
2 500 1 1 243 2 1.7 10
l
l
d 2 A 4
P 2 103 0.028(MPa) st 4 A 7.1 10 d Kd st
假设： (1)冲击物为刚体； (2)不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）；
(3)冲击过程中被冲击物的变形为线弹性变形过程。(保守计算)
一、自由落体冲击
P
冲击前： T 0
V P(h d )
B
h
A
冲击后：
1 Vε d Fd d 2
A
Δd
能量守恒： T V Vd
B
2h st
l
4 Pl 3 22mm st 3 EI
K d 1 1 2 50 3.35 22
40 C 30
d Kd st
M max Pl 50(MPa) st W W
d Kd st 161 MPa) (
A
Δd
Fd
B
1 P (h d ) Fd d 2 Fd d P st
2 Fd 1 Fd P (h st ) st P 2 P
Kd 2
二、水平冲击 mg v
d
Fd d ， Pst st
Pst mg 其中： mgl st EA
Fd
st
Pst
mv2 冲击前：动 T1 能 2
冲击后： 应变能Vε 2 Fd d 2
2 F 2 st mv d mg
h
P
h
解：
st
Pl 1.7 102 (mm) EA
2h K d 1 1 st
2 500 1 1 243 2 1.7 10
l
l
d 2 A 4
P 2 103 0.028(MPa) st 4 A 7.1 10 d Kd st
假设： (1)冲击物为刚体； (2)不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）；
(3)冲击过程中被冲击物的变形为线弹性变形过程。(保守计算)
一、自由落体冲击
P
冲击前： T 0
V P(h d )
B
h
A
冲击后：
1 Vε d Fd d 2
A
Δd
能量守恒： T V Vd
B
2h st
l
4 Pl 3 22mm st 3 EI
K d 1 1 2 50 3.35 22
40 C 30
d Kd st
M max Pl 50(MPa) st W W
d Kd st 161 MPa) (
A
Δd
Fd
B
1 P (h d ) Fd d 2 Fd d P st
2 Fd 1 Fd P (h st ) st P 2 P
动载荷
2. 求解冲击问题的能量法
冲击问题极其复杂,难以精确求解.工程中常采用一种 冲击问题极其复杂,难以精确求解. 较为简略但偏于安全的估算方法--能量法, --能量法 较为简略但偏于安全的估算方法--能量法,来近似估算构件 内的冲击载荷和冲击应力. 内的冲击载荷和冲击应力. 在冲击应力估算中作如下基本假定: 在冲击应力估算中作如下基本假定: ①不计冲击物的变形: 不计冲击物的变形: ②冲击物与构件接触后无回弹,二者合为一个运动系统; 冲击物与构件接触后无回弹,二者合为一个运动系统; ③构件的质量与冲击物相比很小,可略去不计,冲击应 构件的质量与冲击物相比很小,可略去不计, 力瞬时传遍整个构件 ④材料服从虎克定律; 材料服从虎克定律; ⑤冲击过程中,声,热等能量损耗很小,可略去不计. 冲击过程中, 热等能量损耗很小,可略去不计.
1. 工程中的冲击问题
锻锤与锻件的撞击,重锤打桩,用铆钉枪进行铆接, 锻锤与锻件的撞击,重锤打桩,用铆钉枪进行铆接, 高速转动的飞轮突然刹车等均为冲击问题,其特点是冲击 高速转动的飞轮突然刹车等均为冲击问题, 物在极短瞬间速度剧变为零, 物在极短瞬间速度剧变为零,被冲击物在此瞬间经受很大 的应力变化. 的应力变化.
Fd sd Dd = = P s st D st
可得: 可得:
Dd
2
2T D st - 2D stD d = 0 P
解得: 解得:
骣 1 + 1 + 2T ÷ ÷ D d = D st ÷ PD st ÷ 桫
引入冲击动荷系数K 引入冲击动荷系数Kd
Dd 2T Kd = = 1+ 1+ D st PD st
要保证圆环的强度,只能限制圆环的转速,增大横截面 要保证圆环的强度,只能限制圆环的转速, 积并不能提高圆环的强度. 积并不能提高圆环的强度.
《材料力学》第十章 动载荷
第十章 动 载 荷
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd
第十章 动载荷
在计算时作如下假设:
d
1.冲击物视为刚体，不考虑其变形;
2.被冲击物的质量可忽略不计;
3.冲击后冲击物与被冲击物附着在 一起运动;
4.不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系
统动能与势能的转化。
a b
设冲击物体与弹簧开始接触的瞬时动能为 T P
根据机械能守恒定律，冲击物的动能T和势能
V的变化应等于弹簧的变形能 ,即 Vd
FNd
➢ 按牛顿第二定律
或者说，按达朗伯原理（动静法）：质点上
所有外力同惯性力形成平衡力系。
a
惯性力大小为ma，方向与加速度a相反
F
FNd
F
F g
a
0
FNd
F (1
a) g
kd F
其中
kd
(1
a) g
——动荷系数
动应力
➢ 绳子动应力(动载荷下应力)为： d
FNd A
kd
F A
kd st
强度条件可以写成
d Kd st
由于在动荷系数Kd中已经包含了动载荷的影 响，所以[σ]即为静载许用应力。
[例1] 已知F1=20 kN，F2=40 kN，梁由2 根22 b的工字钢组成， a =2.5 m/s2，d =20 mm，[σ]=170 MPa ，试校核钢索与梁的强
度（不计钢索与梁的自重）。
F1
Kd
v2 g st
h
P
d
[例2] 等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯截面系数为 W，重物P
自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。
解：
Δst
4Pa3 3EI
t
在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。
第十章动载荷
M nd
L
材料力学
动载荷/动静法的应用
完成课本320页例10.1
思路：
计算惯性力
将惯性力以虚拟外力的形式作用于飞轮上 转变为平衡问题求解
材料力学
难点：计算惯性力 分析：
飞轮绕轴旋转，使轴产生扭转变形，因此飞
轮的惯性力实际上是一个惯性力偶M。
计算：
Md I x
I x为转动惯量；为角加速度。
qd
an D / 2
2
o
沿圆环轴线均匀分布的惯性 力集度为：
材料力学
A AD 2 qd an g 2g
动载荷/动静法的应用
(2)根据平衡问题求解 圆环横截面上的内力为：
qd
y
2 N d qd D
x
Nd
o
AD 2 2 Nd 4g
Nd
圆环横截面上的应力为：
Nd D 2 2 v 2 d A 4g g
动载荷/概述
§10.1 概述
一.基本概念
静载荷：
大小不变或变化缓慢的载荷。
动载荷： 使构件产生明显加速度的载荷或者 随时间变化的载荷。
材料力学
动载荷/概述
本章讨论的两类问题：
作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件； 冲击载荷作用下构件的应力和变形计算。
材料力学
动载荷/动静法的应用
§10.2 动静法的应用 一.惯性力
Q a
冲击物
3.冲击物受冲击力的作用得到一
个很大的负加速度a。
材料力学
受冲击 的构件
思考： 能否用动静法求冲击时的动应力和
动变形？ 冲击时的加速度接近无限大，因此无
法使用动静法。只能采用能量法近似的计
L
材料力学
动载荷/动静法的应用
完成课本320页例10.1
思路：
计算惯性力
将惯性力以虚拟外力的形式作用于飞轮上 转变为平衡问题求解
材料力学
难点：计算惯性力 分析：
飞轮绕轴旋转，使轴产生扭转变形，因此飞
轮的惯性力实际上是一个惯性力偶M。
计算：
Md I x
I x为转动惯量；为角加速度。
qd
an D / 2
2
o
沿圆环轴线均匀分布的惯性 力集度为：
材料力学
A AD 2 qd an g 2g
动载荷/动静法的应用
(2)根据平衡问题求解 圆环横截面上的内力为：
qd
y
2 N d qd D
x
Nd
o
AD 2 2 Nd 4g
Nd
圆环横截面上的应力为：
Nd D 2 2 v 2 d A 4g g
动载荷/概述
§10.1 概述
一.基本概念
静载荷：
大小不变或变化缓慢的载荷。
动载荷： 使构件产生明显加速度的载荷或者 随时间变化的载荷。
材料力学
动载荷/概述
本章讨论的两类问题：
作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件； 冲击载荷作用下构件的应力和变形计算。
材料力学
动载荷/动静法的应用
§10.2 动静法的应用 一.惯性力
Q a
冲击物
3.冲击物受冲击力的作用得到一
个很大的负加速度a。
材料力学
受冲击 的构件
思考： 能否用动静法求冲击时的动应力和
动变形？ 冲击时的加速度接近无限大，因此无
法使用动静法。只能采用能量法近似的计
第十章 动载荷
解：⑴计算惯性力矩
Mf
0
2 n
60
2 100
60
10
3
rad
/
s
A
a
t
0
0
10
3
rad
/ s2
t
10
3
Md
Ix
a
0.5
3
0.5 kNm
3
a
Md B
0
(Dynamic Loading)
⑵计算轴内的最大扭转动应力(切应力)
Mx
0M f
Md
0.5 kNm
3
Mf
Td
Md
0.5 kNm
的轴作等速转动.已知环的角速度为 ,环的横截面面积为A,材 料的单位体积质量为r.求圆环横截面上的正应力.
解： ⑴求qd 因圆环很薄,可认为圆环上各点的
向心加速度相同,等于圆环中线上 各点的向心加速度.
an
D 2
2
因为环是等截面的,所以相
同长度的任一段质量相等.
O r
(Dynamic Loading)
已知：一重量为P 的重物由高度为h的位置自由下落,与一块和直杆 AB 相连的平板发生冲击. 杆的横截面面积为A,求杆的冲击应力.
重物是冲击物,杆AB（包括圆盘）是被冲击物.
冲击物减少的势能
A
A
V DV P(h Dd )
P
动能无变化 T DT 0
AB 增加的应变能
1
Vd 2 Fd Dd
Fd
或短时间内，荷载值急剧
FP (t )
增大或急剧减小。如： FP
t
⑶惯性力
tr
核爆炸冲击波荷载曲线
FP (t )
第10章动载荷
a A a A 1 g g
2
M max
l 1 l 1 a l R b 1 A 1 b l 2 2 2 2 g 4
相应的应力(一般称为动应力)为
M A d W 2W a l 1 b l g 4
4Q B. d 2
4Q 1 1 2 d E
8Q 1 1 2 d E
Q
l
4Q C. d 2
4Q D. d 2
h
设重物Q静止作用于梁上截面C处时，截面C和D处 的静位移分别为(st)C和(st)D ，如图示。现考虑重 物Q由高度h处自由下落，则下列结论中哪些是正 确的? 答： 。
l QHl D. h 2 Ebh
10.5 冲击韧性(impact toughness)
工程上衡量材料抗冲击能力的标准，是冲断试 样所需能量的多少。
W k A
k称为冲击韧性，
其单位为焦耳/毫 米2 (J/mm2)。
试样 试样
50 FATT
100
0
0
60
120
J
R
R
qs A qd Aa g
M max
当加速度a等于零时，由上式求得杆件在静载 (static load)下的应力为
A st 2W l b l 4
故动应力可以表为
a d st 1 K d st g
Kd 1 a g
1 A. l
g
2 B. l
g
O
A
l 2
B
1 2 g C. l
材料力学第十章 动载荷
Pl / 4 st 6 MPa Wz
A C
1.5m 1.5m P h
B
z
C 截面的静位移为
Pl 3 Δst 0.2143mm 48EI
增加弹簧后
Pl 3 P/2 Δst 1.881 mm 48 EI 2k Kd 1 1 2 20 5.7 1.881
stC
Pl Pa l Pa a 3EI z1 GI p 3EI z 2
3 3
P
H h
b A d l B
C
a
64 Pl 32 Pa l 4 Pa 4 4 3Eπd Gπd Ebh 3
kd 1 1
3
2
3
2．动荷系数 3．危险点： 4．静应力
2h
st
st
动荷因数为
2h Kd 1 1 14.7 Δst
梁的最大动应力为 d K d st 14.7 6 88.2 MPa
d 5.7 6 34.2 MPa
例 水平面内AC杆绕A匀速转动。C端有重Q的集中质量。若因故 在B点卡住，试求AC杆的最大冲击应力。设AC杆质量不计。
FATT
0
T
一般把晶粒状断口面积占整个断口面积50％的温度规定为~， 并称为FATT(fracture appearance transition temperature) 不是所有金属都有冷脆现象 温度降低，b增
大，却发生低温 脆断，原因何在 ？
练习 重P的重物从高H处自由下落到钢质曲拐上，试按第三强度准 则写出危险点的相当应力。 解：1．静位移 叠加法：AB杆(弯、扭)＋BC杆(弯)
第10章 动载荷
10.1 概述 10.2 动静法的应用 10.3* 受迫振动的应力计算 10.4* 杆件受冲击时的应力和变形 10.5* 冲击韧性
A C
1.5m 1.5m P h
B
z
C 截面的静位移为
Pl 3 Δst 0.2143mm 48EI
增加弹簧后
Pl 3 P/2 Δst 1.881 mm 48 EI 2k Kd 1 1 2 20 5.7 1.881
stC
Pl Pa l Pa a 3EI z1 GI p 3EI z 2
3 3
P
H h
b A d l B
C
a
64 Pl 32 Pa l 4 Pa 4 4 3Eπd Gπd Ebh 3
kd 1 1
3
2
3
2．动荷系数 3．危险点： 4．静应力
2h
st
st
动荷因数为
2h Kd 1 1 14.7 Δst
梁的最大动应力为 d K d st 14.7 6 88.2 MPa
d 5.7 6 34.2 MPa
例 水平面内AC杆绕A匀速转动。C端有重Q的集中质量。若因故 在B点卡住，试求AC杆的最大冲击应力。设AC杆质量不计。
FATT
0
T
一般把晶粒状断口面积占整个断口面积50％的温度规定为~， 并称为FATT(fracture appearance transition temperature) 不是所有金属都有冷脆现象 温度降低，b增
大，却发生低温 脆断，原因何在 ？
练习 重P的重物从高H处自由下落到钢质曲拐上，试按第三强度准 则写出危险点的相当应力。 解：1．静位移 叠加法：AB杆(弯、扭)＋BC杆(弯)
第10章 动载荷
10.1 概述 10.2 动静法的应用 10.3* 受迫振动的应力计算 10.4* 杆件受冲击时的应力和变形 10.5* 冲击韧性
动载荷
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第十章 动载荷
例 6－4 已知梁为16号工字钢，吊索横截面面积 A＝108
mm2,等加速度a =10 m/s2 ，不计钢索质量。求：1,吊索的动应 力d ; 2,梁的最大动应力d, max 。 解： 1. 求吊索的d 16号工字钢单位长度的 重量为
qst20.5×9.81=201.1 N/m
2πn nπ 轴的角速度为 60 30 w nπ 1 000 π 10 472 .0 rad/s 2 角加速度为 t 30t 30 0.01 其转向与n的转向相反。
w
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材料力学
第十章 动载荷
飞轮的转动惯量为
PD 2 0.6 103 0.42 J0 1.223 N· m· s2 8g 8 9.81
河南理工大学土木工程学院
材料力学 由能量守恒定律
第十章 动载荷
1 1 P P ( d st ) P d d P st 2g 2 2 d P Pd st
2
2 st d
2 d
2
g
st 0
2 ) K d st d st ( 1 g st
①
② ③
不考虑冲击时能量的损失；
冲击物视为刚体，受冲构件不计质量; 冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动;
④
最大冲击应力小于材料的比例极限。
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第十章 动载荷
二、自由落体冲击
设弹性梁AB，有重量为P的物体自高度为h处自由下落冲击 在梁的中点，求梁的变形和应力。
根据能量守恒，有
变，构件内各质点加速度很小，可不考虑。
第10章动载荷解析
绳索中的动应力为
G
GGa g
d
FNd A
Kd
FNst A
K d st
Static 静态的 Dynamic 动态的
st 为静荷载下绳索中的静应力
强度条件为 d Kd st [ ]
10
N st
△d 表示动变形
mm
△s t 表示静变形 当材料中的应力不超过
A
x
比例极限时, 荷载与变形成正比
Nd A Aa
(qst
qG
)x
Ax(1
a g
)
a L
mn
x
2. 动应力
d
FNd A
x(1
a) g
a
FNd 动荷系数
Kd
1
a g
qst
x
qG 强度条件 dmax Kd stmax [ ]
12
例题3 起重机钢丝绳长 60m , 名义直径 28cm , 有效
横截面面积 A=2. 9cm2 , 单位长重量 q=25. 5N/m ,
A 2D2
4g
0
sin d A 2D2
2g
FNd
Rd 2
A
A2D22D2
4g4g 0
sidn
FddA22DD2
A 2g4g
2
园环轴A线 上2D点2 的线速度
2g
d
2
g
D v
2
强度条件
v2
d g [ ] FNd
y
Rd
d
o
q
d
(
D 2
d
)
qd
FNd
环内应力与横截面面积无关。
要保证强度, 应限制圆环的转速。
材料力学 第10章 动载荷
3
Ql 3 9.62 10 m EA
Q 15 10 st 12 MPa 2 A d 4 2h d Kd st 1 1 12 [ ] 120 st
h 0.385 m = 385 mm
材料力学
例10-4-4
2 v d st 1 g st
材料力学
第十章 动载荷
例10-4-5：重量为Q的物体以水平速度ｖ撞在等截面刚架的端 点C，刚架的EI已知，试求动荷系数。
CL14TU13
材料力学
解：
第十章 动载荷
4Qa st 3E I
Kd
3
v2 g st 3E I v 2 4g Q a
第十章 动载荷
图a，b所示简支梁均由20b号工字钢制成。E=210
GPa，P =2 kN，h=20 mm 。图b 中B支座弹簧的刚度系数 k
=300 kN/m 。试分别求图a，b所示梁的最大正应力。（不计梁 和弹簧的自重）
P h P h
A C
1.5m 1.5m
B
A
z
1.5m
B
C
1.5m z
(a)
(b)
材料力学
二 、水平冲击 解：
第十章 动载荷
已知：同截面杆AB在C处受一重量为 G，速度为v的物体沿水平 方向冲击 。 求：杆在危险点处的 d 。
1 1P 2 2 v （小球动能）B 冲击前U 1 mv 2 2 g
d
B
C
Fd
st
B
1 冲击后 V2 Fd d （杆应变能） 2
由能量守恒 U 1 U 2
l
下降，当吊索长度为l时，突然刹车
Ql 3 9.62 10 m EA
Q 15 10 st 12 MPa 2 A d 4 2h d Kd st 1 1 12 [ ] 120 st
h 0.385 m = 385 mm
材料力学
例10-4-4
2 v d st 1 g st
材料力学
第十章 动载荷
例10-4-5：重量为Q的物体以水平速度ｖ撞在等截面刚架的端 点C，刚架的EI已知，试求动荷系数。
CL14TU13
材料力学
解：
第十章 动载荷
4Qa st 3E I
Kd
3
v2 g st 3E I v 2 4g Q a
第十章 动载荷
图a，b所示简支梁均由20b号工字钢制成。E=210
GPa，P =2 kN，h=20 mm 。图b 中B支座弹簧的刚度系数 k
=300 kN/m 。试分别求图a，b所示梁的最大正应力。（不计梁 和弹簧的自重）
P h P h
A C
1.5m 1.5m
B
A
z
1.5m
B
C
1.5m z
(a)
(b)
材料力学
二 、水平冲击 解：
第十章 动载荷
已知：同截面杆AB在C处受一重量为 G，速度为v的物体沿水平 方向冲击 。 求：杆在危险点处的 d 。
1 1P 2 2 v （小球动能）B 冲击前U 1 mv 2 2 g
d
B
C
Fd
st
B
1 冲击后 V2 Fd d （杆应变能） 2
由能量守恒 U 1 U 2
l
下降，当吊索长度为l时，突然刹车
第10章 动载荷
第十章 动载荷
§10–1 概述 10–
静载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。这时， 静载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。这时， 构件内各点的加速度很小，可以忽略不计。 构件内各点的加速度很小，可以忽略不计。 在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。 动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。 作用下 构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。 构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。 动载荷而引起的应力称为动应力 实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不超过比例极限， 实验证明， 动载荷作用下，如构件的应力不超过比例极限， 作用下 胡克定律仍然适用。 胡克定律仍然适用。
∆d =
v2 ∆ st g∆ g∆ st
∆d Kd = = ∆ st
v2 g∆ st
∆ d = K d ∆ st
Pd = K d P
σ d = K dσ st
}
§10-4 构件受冲击时的应力和变形
一、自由落体的冲击应力
P
h
A
△d
B
根据能量守恒原理，有 根据能量守恒原理，
(T1 + V1 ) − (T2 + V2 ) = Vεd
Q T1 = T2 = 0, V1 − V2 = P (h + ∆ d ),
1 Vεd = Fd ∆ d 2
1 ∴ P(h + ∆ d ) = Fd ∆ d 2
[例10－2]已知 例 － 已知 已知P=4kN、h=10cm、b=8cm、h=12cm、 E=200GPa、c=0.8kN/mm，求图示两种支承下梁的最大应力。 、 ，求图示两种支承下梁的最大应力。
h b
P
A 1m
P
P
B A 1m B A
§10–1 概述 10–
静载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。这时， 静载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。这时， 构件内各点的加速度很小，可以忽略不计。 构件内各点的加速度很小，可以忽略不计。 在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。 动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。 作用下 构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。 构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。 动载荷而引起的应力称为动应力 实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不超过比例极限， 实验证明， 动载荷作用下，如构件的应力不超过比例极限， 作用下 胡克定律仍然适用。 胡克定律仍然适用。
∆d =
v2 ∆ st g∆ g∆ st
∆d Kd = = ∆ st
v2 g∆ st
∆ d = K d ∆ st
Pd = K d P
σ d = K dσ st
}
§10-4 构件受冲击时的应力和变形
一、自由落体的冲击应力
P
h
A
△d
B
根据能量守恒原理，有 根据能量守恒原理，
(T1 + V1 ) − (T2 + V2 ) = Vεd
Q T1 = T2 = 0, V1 − V2 = P (h + ∆ d ),
1 Vεd = Fd ∆ d 2
1 ∴ P(h + ∆ d ) = Fd ∆ d 2
[例10－2]已知 例 － 已知 已知P=4kN、h=10cm、b=8cm、h=12cm、 E=200GPa、c=0.8kN/mm，求图示两种支承下梁的最大应力。 、 ，求图示两种支承下梁的最大应力。
h b
P
A 1m
P
P
B A 1m B A
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P P
h
l/2 a
l/2
l/2 b
h l/2
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
解：1.计算两梁动荷因数 图 a : 静变形和动荷因数
(1103 N)(3m)3 Pl 3 5 8 . 27 10 m st 9 5 4 48EI z 48 (20010 Pa)(3.4 10 m )
当物体(冲击物)以一定的速度作用到
构件(受冲击构件)上时，构件在极短的时
间内使物体的速度减小，甚至变为零。构
件受到很大的作用力，这种现象称为冲击。
由于冲击持续的时间非常短，不易精
确测出，所以加速度值很难确定。这就不 能再用动静法。
工程上一般采用能量法求解。
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
计算假设： 1.不考虑冲击物与构件接触后的反弹。 2.不计冲击物的变形。 3.构件受冲击作用而引起的应力瞬时传遍构件，且 材料保持为线弹性。 4.不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗。
计算原理 根据机械能守恒定律。冲击物在冲击过程中，动能 和势能的减少等于受冲击作用的构件应变能的增加。即
T V Vεd
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
一、轴向自由落体冲击问题 动能变化 T 0 势能减少 V P(h d ) 1 P 应变能 Vεd Fd d 由能量守恒定律，得 2
杆件中央横截面上的弯矩为
2
q
a l 1 l 1 l 1 M F b q Ag b l 2 2 2 2 g 4
§10.2
动静法的应用
相应的应力(一般称为动应力)为
Ag a l M d 1 b l W 2W g 4
n 0 30
Md 在制动时，若匀减速转动
飞轮的惯性力偶矩
PD2 n M d J 8 g 30t
n 30t t PD2 n Td M d 8 g 30t
0
圆轴的最大动切应力为 Td PD2 n 16 600 0.42 1000 16 d,max 3 Pa 3 Wt 8 g 30t d 8 9.8 30 0.01 0.1
构件作匀速转动 设圆环以匀角速度 旋转。圆环厚度 远小于直径 D。以 A 表示圆环横截面面积， 表示单位体积的质量。
qd
D 2 qd Aan A 2
§10.2
qd
动静法的应用
2 FNd FNd
D qd sin d qd D 2
qd D AD 2 2 4 2
a 6qst 10 6 20.513 9.8 d,max Kd max 1 g W 1 9.8 21.2 106 Pa 115 MPa z
§10.3
受迫振动的应力计算
不讲
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
FN
4m 2m
a
2m
6qst 2qst 2qst
吊索的动应力为
a qst l 10 20.513 9.8 12 d Kd st 1 g 2 A 1 9.8 2 108106 Pa 22.6MPa
工字钢危险截面(中央截面)上危险点的动应力
圆环横截面上的应力为
FNd FNd
D 2 q d A 2
FNd D 2 2 d v2 A 4
D 式中 v 。 强度条件是 2 d v2
§10.2
动静法的应用
例：一钢索起吊重为P重物，以等加速度 a 上升。钢索横 截面为A，其重量可略去不计。试求钢索截面上动应力。 解：取重物为研究对象 加惯性力 Pa/g 由平衡方程，得
2h 2 0.05m 35 .8 1 1 Kd 1 1 5 8.27 10 m st
图 b : 静变形和动荷因数
3 10 Pl3 P 5 5 -5 st k 8.27 10 (10 ) m 508 . 27 10 m 48EIz 2 2 2 0.05m 2h 5.55 1 1 Kd 1 1 5 508.2710 m st
构件的载荷随时间作急剧变化，或构件各点作加速 运动而引起惯性力的情况。 实验结果表明：只要应力不超过比例极限，胡克定 律仍适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量也与 静载下的数值相同。
§10.1
概述
动荷因数 动荷因数为动载荷效应与不计动荷影响时的静载荷 效应的比值，即
Fd d d d Kd Fst st st st
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
2.计算静应力和动应力
梁内的最大静应力为
M max Pl (1103 N)(3m) max 2.43MPa -6 3 Wz 4Wz 4 (30910 m )
图 a 中梁内的最大动应力为
d,max Kd max 35.8 2.43MPa 87.0MPa
a
FNd
P
P
动应力
P FNd P a 0 g a P FNd P a P 1 g g
P a g
a P a FNd d 1 st 1 A A g g
§10.2
动静法的应用
动荷因数与动载荷的作用方式或构件的运动方式有关。 本章讨论下述三类问题： 1.构件有加速度时的应力计算， 2.冲击， 3.振动。
§10.2
动静法的应用
F a
b
l b
构件以匀加速度 a 作平动
设杆件横截面面积为 A ，
单位体积的质量为 。 均布载荷的集度为
F
F
F
a q Ag Aa Ag 1 g
d
v P
解：杆的最大静变形为 Pl 3 st 3EI 动荷因数
Kd v2 g st
st v 2 g Pl 3v 2 3 gEI
杆的最大动变形为
d Kd st
§10.5
冲击韧性
不讲
第十章 动载荷
结 束
2m
4m
4m
2m
y
Wz 21.2 106 m3
1 FN qst l 2
a 动荷因数 K d 1 g
假设静止，则
吊索的静应力为
FN qst l st A 2A
§10.2
FN qst
4m
动静法的应用
作弯矩图 工字钢危险截面(中央截面)上 危险点的静应力
M max 6qst max Wz Wz
1 Vεd Fd d 2
1 P 2 1 2d v P 2g 2 st
v2 g st
d 令 Kd st
Fd Kd P
d Kd st
d Kd st
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
例：两梁材料、尺寸相同。l =3m，h=0.05m，P=1kN， Iz=3400cm4，Wz=309cm3，E=200GPa，k=0.001cm/N。 试比较两梁内的冲击应力。
材料力学
第十章 动载荷
2015年1月29日
第十章
动载荷
§10.1 概述 §10.2 动静法的应用
§10.3 受迫振动的应力计算 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
§10.1
概述
静载荷 构件的载荷由零开始缓慢增至终值，且保持不变， 加载过程中，构件内各点加速度很小，可略去不计的情 况。 动载荷
例：d=100mm的圆轴，一端有重量 P=0.6kN、D=400mm 的飞轮，以匀转速 n=1000r/min转动。现因在轴的另一端 施加了制动的外力偶矩 Mf，而在 t=0.01s内停车。若轴的 质量与飞轮相比很小而可略去不计, 试求轴内最大动切应 力。
Mf
§10.2
Mf
动静法的应用
解：角速度为
65.3MPa
§10.2
动静法的应用
例：用面积 A=108mm2 的钢索，以等加速度 a =10m/s2 起 吊工字钢。若只考虑工字钢的重量而不计吊索自重, 试求 吊索的动应力，以及工字钢在危险点处的动应力 d ,max 。
FN
FN qst
16号工字钢
解：查表，得
z
a
qst 20.513kg/m
P
Δd
st
Fd
1 P (h d ) Fd d 2 Fd d d 又 P st st d d d st 有 Fd P st st
h
2d 2st d 2hst 0
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
2 h d st 1 1 st
当 a 等于零时，得杆件在静载下的应力为
Ag l st b l 2W 4
a d st 1 g
令
a Kd 1 g
称为动荷因数。
d Kd st
d Kd st
强度条件
§10.2
动静法的应用
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
v P
二、对水平置放的系统的冲击 动能变化
1P 2 T v 2g
V 0
势能改变 应变能
d
由能量守恒定律，得 1P 2 1 d v Fd d 将 Fd P 代入 st 2g 2 则 d
st v 2 g v2 st g st
2 h d st 1 1 st
h
l/2 a
l/2
l/2 b
h l/2
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
解：1.计算两梁动荷因数 图 a : 静变形和动荷因数
(1103 N)(3m)3 Pl 3 5 8 . 27 10 m st 9 5 4 48EI z 48 (20010 Pa)(3.4 10 m )
当物体(冲击物)以一定的速度作用到
构件(受冲击构件)上时，构件在极短的时
间内使物体的速度减小，甚至变为零。构
件受到很大的作用力，这种现象称为冲击。
由于冲击持续的时间非常短，不易精
确测出，所以加速度值很难确定。这就不 能再用动静法。
工程上一般采用能量法求解。
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
计算假设： 1.不考虑冲击物与构件接触后的反弹。 2.不计冲击物的变形。 3.构件受冲击作用而引起的应力瞬时传遍构件，且 材料保持为线弹性。 4.不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗。
计算原理 根据机械能守恒定律。冲击物在冲击过程中，动能 和势能的减少等于受冲击作用的构件应变能的增加。即
T V Vεd
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
一、轴向自由落体冲击问题 动能变化 T 0 势能减少 V P(h d ) 1 P 应变能 Vεd Fd d 由能量守恒定律，得 2
杆件中央横截面上的弯矩为
2
q
a l 1 l 1 l 1 M F b q Ag b l 2 2 2 2 g 4
§10.2
动静法的应用
相应的应力(一般称为动应力)为
Ag a l M d 1 b l W 2W g 4
n 0 30
Md 在制动时，若匀减速转动
飞轮的惯性力偶矩
PD2 n M d J 8 g 30t
n 30t t PD2 n Td M d 8 g 30t
0
圆轴的最大动切应力为 Td PD2 n 16 600 0.42 1000 16 d,max 3 Pa 3 Wt 8 g 30t d 8 9.8 30 0.01 0.1
构件作匀速转动 设圆环以匀角速度 旋转。圆环厚度 远小于直径 D。以 A 表示圆环横截面面积， 表示单位体积的质量。
qd
D 2 qd Aan A 2
§10.2
qd
动静法的应用
2 FNd FNd
D qd sin d qd D 2
qd D AD 2 2 4 2
a 6qst 10 6 20.513 9.8 d,max Kd max 1 g W 1 9.8 21.2 106 Pa 115 MPa z
§10.3
受迫振动的应力计算
不讲
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
FN
4m 2m
a
2m
6qst 2qst 2qst
吊索的动应力为
a qst l 10 20.513 9.8 12 d Kd st 1 g 2 A 1 9.8 2 108106 Pa 22.6MPa
工字钢危险截面(中央截面)上危险点的动应力
圆环横截面上的应力为
FNd FNd
D 2 q d A 2
FNd D 2 2 d v2 A 4
D 式中 v 。 强度条件是 2 d v2
§10.2
动静法的应用
例：一钢索起吊重为P重物，以等加速度 a 上升。钢索横 截面为A，其重量可略去不计。试求钢索截面上动应力。 解：取重物为研究对象 加惯性力 Pa/g 由平衡方程，得
2h 2 0.05m 35 .8 1 1 Kd 1 1 5 8.27 10 m st
图 b : 静变形和动荷因数
3 10 Pl3 P 5 5 -5 st k 8.27 10 (10 ) m 508 . 27 10 m 48EIz 2 2 2 0.05m 2h 5.55 1 1 Kd 1 1 5 508.2710 m st
构件的载荷随时间作急剧变化，或构件各点作加速 运动而引起惯性力的情况。 实验结果表明：只要应力不超过比例极限，胡克定 律仍适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量也与 静载下的数值相同。
§10.1
概述
动荷因数 动荷因数为动载荷效应与不计动荷影响时的静载荷 效应的比值，即
Fd d d d Kd Fst st st st
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
2.计算静应力和动应力
梁内的最大静应力为
M max Pl (1103 N)(3m) max 2.43MPa -6 3 Wz 4Wz 4 (30910 m )
图 a 中梁内的最大动应力为
d,max Kd max 35.8 2.43MPa 87.0MPa
a
FNd
P
P
动应力
P FNd P a 0 g a P FNd P a P 1 g g
P a g
a P a FNd d 1 st 1 A A g g
§10.2
动静法的应用
动荷因数与动载荷的作用方式或构件的运动方式有关。 本章讨论下述三类问题： 1.构件有加速度时的应力计算， 2.冲击， 3.振动。
§10.2
动静法的应用
F a
b
l b
构件以匀加速度 a 作平动
设杆件横截面面积为 A ，
单位体积的质量为 。 均布载荷的集度为
F
F
F
a q Ag Aa Ag 1 g
d
v P
解：杆的最大静变形为 Pl 3 st 3EI 动荷因数
Kd v2 g st
st v 2 g Pl 3v 2 3 gEI
杆的最大动变形为
d Kd st
§10.5
冲击韧性
不讲
第十章 动载荷
结 束
2m
4m
4m
2m
y
Wz 21.2 106 m3
1 FN qst l 2
a 动荷因数 K d 1 g
假设静止，则
吊索的静应力为
FN qst l st A 2A
§10.2
FN qst
4m
动静法的应用
作弯矩图 工字钢危险截面(中央截面)上 危险点的静应力
M max 6qst max Wz Wz
1 Vεd Fd d 2
1 P 2 1 2d v P 2g 2 st
v2 g st
d 令 Kd st
Fd Kd P
d Kd st
d Kd st
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
例：两梁材料、尺寸相同。l =3m，h=0.05m，P=1kN， Iz=3400cm4，Wz=309cm3，E=200GPa，k=0.001cm/N。 试比较两梁内的冲击应力。
材料力学
第十章 动载荷
2015年1月29日
第十章
动载荷
§10.1 概述 §10.2 动静法的应用
§10.3 受迫振动的应力计算 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
§10.1
概述
静载荷 构件的载荷由零开始缓慢增至终值，且保持不变， 加载过程中，构件内各点加速度很小，可略去不计的情 况。 动载荷
例：d=100mm的圆轴，一端有重量 P=0.6kN、D=400mm 的飞轮，以匀转速 n=1000r/min转动。现因在轴的另一端 施加了制动的外力偶矩 Mf，而在 t=0.01s内停车。若轴的 质量与飞轮相比很小而可略去不计, 试求轴内最大动切应 力。
Mf
§10.2
Mf
动静法的应用
解：角速度为
65.3MPa
§10.2
动静法的应用
例：用面积 A=108mm2 的钢索，以等加速度 a =10m/s2 起 吊工字钢。若只考虑工字钢的重量而不计吊索自重, 试求 吊索的动应力，以及工字钢在危险点处的动应力 d ,max 。
FN
FN qst
16号工字钢
解：查表，得
z
a
qst 20.513kg/m
P
Δd
st
Fd
1 P (h d ) Fd d 2 Fd d d 又 P st st d d d st 有 Fd P st st
h
2d 2st d 2hst 0
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
2 h d st 1 1 st
当 a 等于零时，得杆件在静载下的应力为
Ag l st b l 2W 4
a d st 1 g
令
a Kd 1 g
称为动荷因数。
d Kd st
d Kd st
强度条件
§10.2
动静法的应用
§10.4
杆件受冲击时的应力和变形
v P
二、对水平置放的系统的冲击 动能变化
1P 2 T v 2g
V 0
势能改变 应变能
d
由能量守恒定律，得 1P 2 1 d v Fd d 将 Fd P 代入 st 2g 2 则 d
st v 2 g v2 st g st
2 h d st 1 1 st