数值分析(04)内积空间
内积空间基本概念
内积空间基本概念内积空间是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍内积空间的基本概念，包括内积的定义、内积空间的性质以及常见的内积空间。
一、内积的定义内积是定义在向量空间上的一种运算，用于度量向量之间的夹角和长度。
在内积空间中，向量的内积满足以下四个性质：1. 正定性：对于任意非零向量x，有(x, x) > 0，且只有当x=0时，有(x, x) = 0。
2. 对称性：对于任意向量x和y，有(x, y) = (y, x)。
3. 线性性：对于任意向量x、y和标量a，有(a*x, y) = a*(x, y)和(x+y, z) = (x, z) + (y, z)。
4. 共轭对称性：当内积空间为复数域时，对于任意向量x和y，有(x, y) = conj(y, x)，其中conj表示复共轭。
二、内积空间的性质在内积空间中，除了满足内积的定义性质外，还具有以下重要性质：1. 内积空间是一个实数或复数域上的向量空间。
它包含了一组向量以及定义在这组向量之间的内积运算。
2. 内积空间具有加法和数乘运算，满足向量空间的定义。
3. 内积空间中的向量可以进行正交和投影运算。
正交是指两个向量的内积为零，而投影则是将一个向量分解为另一个向量的线性组合，使得两向量正交。
4. 内积空间中的向量可以通过内积的概念定义长度和夹角。
长度定义为向量自身与自身的内积开方，夹角定义为向量之间的夹角的余弦值。
三、常见的内积空间1. 实数内积空间：在实数域上定义内积运算，满足内积的定义及性质。
常见的实数内积空间包括欧几里得空间和函数空间。
2. 复数内积空间：在复数域上定义内积运算，满足内积的定义及性质。
复数内积空间常用于量子力学和信号处理等领域。
3. 内积空间的子空间：内积空间中的子集也可以构成一个内积空间，称为内积空间的子空间。
子空间具有与内积空间相同的内积定义及性质。
四、总结内积空间是线性代数中的重要概念，它不仅能够度量向量的长度和夹角，还能够进行正交和投影运算，并在许多领域中发挥着重要作用。
内积空间及其性质与应用
内积空间及其性质与应用内积空间是线性代数中非常重要的一个概念。
它是指一个向量空间，其中每个向量都有一个与其它向量的内积，该内积遵循某些规则和性质，并能够为向量空间提供额外的结构和属性。
在这篇文章中，我们将探讨内积空间的一些性质、应用和重要性。
一、内积空间的定义和性质内积空间是向量空间的扩展，其中每个向量x和y之间有一个内积。
内积是将两个向量映射到一个标量或实数的函数，通常使用符号< x, y >表示。
内积是一个满足以下四个性质的函数：1.对称性： < x, y > = < y, x >2.线性性： < ax + by, z > = a< x, z > + b< y, z >3.正定性（或非负性）： < x, x > >= 0，且 < x, x > = 0 当且仅当 x = 04.非退化性：如果 < x, y > = 0 对于所有y，那么 x = 0这四个性质使得内积空间在很多方面都有用处。
它们确保了内积的对称性、线性组合的性质以及长度的概念。
除此之外，内积空间还有其他有用的性质，例如加权Cauchy-Schwarz不等式和向量正交的概念等。
二、内积空间的应用内积空间的应用非常广泛，许多重要的数学和物理学概念都可以表示为内积空间。
以下是一些内积空间的应用：1.傅里叶分析：傅里叶分析是一种分解周期信号的方法，它使用内积来定义信号中的频率和幅度。
傅里叶变换可以看作是内积空间中的一种变换。
2.量子力学：量子力学的基础是量子态空间，它是一个内积空间。
这个空间中的向量表示量子态，而它们之间的内积表示量子态之间的相似性。
3.最小二乘法：最小二乘法是一种用来拟合数据的方法。
在内积空间中，最小二乘法可以看成是找出一个向量在一个子空间上的最佳逼近。
4.图像处理：图像处理中的许多算法可以看成使用内积来度量像素之间的相似性。
数值分析(04)内积空间
x T Ax
i , j 1
xa
i
ij
xj
特别，A为n阶对角阵, x的A范数,定义为 x
A
x T Ax
2 a x ii i i 1
n
数值分析
数值分析
( 3) f ( x ) C [a , b],
b 2 f f ( x ), f ( x ) f ( x ) a 称 f 为[a , b]上 连 续 函 数 f ( x )的 内 积 范 数 。 1 2
（由x Ax 0, x 0证明） T T T 证明：x A Ax ( Ax ) ( Ax ) x 0, A可逆， Ax 0
T
1
xT AT Ax ( Ax )T ( Ax) 0
数值分析
(2) A为对称正定矩阵, x与y的内积可定义为 ( x , y ) x Ay
3. C [a , b], f ( x ), g( x ) C [a , b], 对于给定的权函数 ( x ) 0, x [a , b] 称为在C [a , b]中带权 ( x )的内积. ( f , g ) ( x ) f ( x ) g( x )dx
a b
i , j 1
定义 在内积空间V n中取一组基S {v1 , v2 , , vn } i j 0 若 (vi , v j ) 0 i j n 则称基S是V 中的正交基.
定义 在内积空间V 中取一组基 { 1 , 2 ,
n
, n },
0 i j 若 ( i , j ) ij ( i , j 1, 1 i j n 则称基 是V 中的标准正交基.
n n
数值分析(04)内积空间
数值分析
成 立, 则 , 必 线 性 相 关 为 若 , 线 性 无 关则k R, .因 , 非 零, 都 有 k 0.从 而( k , k ) 0 所 以 等 号 不 成 立 盾. ,矛
数值分析
数值分析
在不同的空间中 , Cauchy Schwarz不 等 式 有 不同的表达形式 .
x T Ax
i , j 1
xa
i
ij
xj
特别，A为n阶对角阵, x的A范数,定义为 x
A
x T Ax
aii xi2
i 1
n
数值分析
数值分析
( 3) f ( x ) C[a , b],
f f ( x ), f ( x ) f ( x ) dx 称 f 为[a , b]上连续函数f ( x )的内积范数。
数值分析
数值分析
前述三种空间关系
线性空间
(,)
内积 空间
|| ||
赋范线性空间
(,) || ||
1 2
数值分析
数值分析
三、内积空间中的正交系
定理1 若1 , 2 , , r是一组两两正交的非零向量, 则1 , 2 , , r 线性无关.
证明
设有 1 , 2 ,, r 使 11 2 2 r r 0
证明 : 任取实数k , 考虑内积 ( k , k ) ( , ) 2k ( , ) k 2 ( , ) 0 利用一元二次方程根的判别式, 有4( , )2 4( , )( , ) 0 所以有( , )2 ( , )( , ) 当 k ( k R, 非 零), 显 然 定 理 中 等 号 成 立 之, 如 果 等 号 ;反
欧几里得空间与内积空间
欧几里得空间与内积空间欧几里得空间是数学上一个重要的概念，它是指具有欧几里得度量的空间。
欧几里得度量是指通过直线距离来衡量空间中两个点之间的距离的一种度量方式。
而内积空间则是另一种数学概念，它是指一个向量空间上定义了内积运算的空间。
欧几里得空间的概念最早由古希腊数学家欧几里得提出，他将空间中的点用坐标表示，并利用坐标上的距离概念来研究几何性质。
欧几里得空间的特征是具有三角不等式、正向可加性、线性可加性以及满足直线距离公式等性质。
在欧几里得空间中，我们可以定义向量、向量的长度、向量的夹角等概念，并通过这些概念来研究几何中的问题。
而内积空间则是在向量空间的基础上引入了内积的概念。
内积是一种将两个向量映射为一个实数的运算，它具有线性性、对称性和正定性等性质。
通过内积的定义，我们可以引入向量的长度、向量的夹角以及正交等概念，并进一步研究向量空间中的性质和问题。
内积空间是线性代数中一个重要的概念，在物理学、工程学以及计算机科学等领域都有广泛的应用。
虽然欧几里得空间和内积空间都是数学上的概念，但它们有着不同的定义和性质。
欧几里得空间主要关注点在于距离和长度的概念，而内积空间则更加注重向量的夹角和正交性质。
在欧几里得空间中，我们可以通过距离公式来计算两个点之间的距离，而在内积空间中，我们可以通过内积的定义来计算向量的夹角和长度。
此外，欧几里得空间和内积空间还有一些重要的定理和性质。
比如在欧几里得空间中，我们有三角不等式定理、柯西-施瓦茨不等式等；在内积空间中，我们有勾股定理、平行四边形法则等。
这些定理和性质为我们解决具体问题提供了数学工具和方法。
综上所述，欧几里得空间和内积空间是数学中重要的概念，它们在几何学、线性代数以及其他相关领域都有广泛的应用。
通过对这两个概念的研究和理解，我们可以更好地理解空间中的几何性质，并能够运用数学工具解决实际问题。
欧几里得空间和内积空间的研究不仅在基础学科中有重要地位，也对于应用科学和工程技术的发展起着重要的推动作用。
泛函分析第4章内积空间
泛函分析第4章内积空间第四章介绍的是内积空间，是泛函分析中非常重要的一个概念。
内积空间是在向量空间上赋予了内积运算的结构，它将几何空间的概念引入到向量空间中，从而使得我们能够定义向量的长度、角度等几何概念。
在内积空间中，我们首先需要定义内积的概念。
内积是一个数学结构，它将两个向量映射到一个实数上。
在内积空间中，内积满足一系列性质，如线性性、对称性和正定性等，这些性质保证了内积的合理性和实用性。
比如，线性性保证了内积对于向量的加法和标量乘法是线性的，对称性保证了内积的对换性质。
通过内积，我们能够定义向量的长度和角度。
向量的长度可以通过内积定义一个标准，即向量与自身的内积的平方根。
这个定义与我们熟悉的欧氏几何空间中的向量长度一致。
而向量的角度可以通过内积定义出余弦值，从而表示两个向量之间的夹角。
这个定义使得我们能够对向量的方向进行描述。
内积空间还引入了正交的概念。
在内积空间中，两个向量相互垂直时称为正交。
正交向量在几何空间中有很重要的应用，比如可以作为一组基底，并且正交向量之间的内积为零，这使得我们能够对向量进行分解和投影等操作。
内积空间还引入了内积的连续性概念。
通过内积的连续性，我们可以定义向量的极限、收敛等概念。
这使得内积空间成为了一个完备的空间，即任何一个柯西序列都存在一个极限。
内积空间是泛函分析中非常有用的一个概念。
它不仅能够将几何概念应用到向量空间中，还能够定义向量的长度和角度等概念，从而使得向量空间具有了更强的几何性质。
在泛函分析中，内积空间是研究函数空间、傅里叶变换等问题的基础。
因此，对于内积空间的理解和掌握是非常重要的。
总之，第四章介绍的内积空间是泛函分析中非常重要的一个概念。
它通过引入内积的概念，使得向量空间具有了几何性质，定义了向量的长度、角度等几何概念。
内积空间是泛函分析中非常有用的一个工具，对于研究函数空间、傅里叶变换等问题具有重要的意义。
因此，对于内积空间的理解和掌握是泛函分析学习的重点。
内积空间与赋范空间的关系
内积空间（Inner Product Space）和赋范空间（Normed Vector Space）是两个重要的数学概念，通常用于研究向量空间以及线性代数中的不同方面。
它们之间有密切的关系，但并不相同。
内积空间：内积空间是一个向量空间，其中定义了一个称为内积的二元操作，通常表示为⟨x, y⟨，其中x 和y 是该空间中的向量。
内积满足一些特定性质，如对称性、线性性和正定性。
具体来说，对于所有的向量x, y 和z，内积满足以下条件：对称性：⟨x, y⟨ = ⟨y, x⟨线性性：⟨ax + by, z⟨ = a⟨x, z⟨ + b⟨y, z⟨正定性：⟨x, x⟨ ≥0，且只有当x = 0 时才等于0，其中0 表示零向量。
赋范空间：赋范空间是一个向量空间，其中定义了一个范数（或赋范）函数，通常表示为||x||，它将每个向量映射到非负的实数，并满足一些性质。
范数函数用于度量向量的长度（或大小），通常包括欧几里得范数（L2范数）和曼哈顿范数（L1范数）等。
范数函数需要满足一些性质，如非负性、齐次性和三角不等式。
关系：内积空间是赋范空间的一种特例。
具体而言，内积空间中的内积可以用来定义一个范数，通常称为内积范数（Inner Product Norm），因此，内积空间中的向量空间也可以视为赋范空间，其中范数由内积给出。
但不是所有的赋范空间都是内积空间。
内积空间中的内积具有更多的结构性质，例如角度和正交性等，而赋范空间仅要求满足范数的性质。
总之，内积空间和赋范空间都是研究向量空间的有用工具，内积空间提供了更多的结构和性质，赋范空间则更一般，适用于更广泛的数学和应用领域。
内积范数是将内积空间和赋范空间联系起来的方式之一。
内积空间——精选推荐
内积空间⼀向量空间与内积空间向量空间也称作线性空间，向量空间对向量线性组合封闭。
如果为向量空间 V 的⼀组基，则仍在向量空间 V 中。
在向量空间中，仅定义了数乘与向量加法运算。
在此基础上，定义内积运算，通过内积运算，可以求解向量长度，向量间⾓度等概念，这就定义了内积空间。
设向量为X, Y，X 长度定义为， X,Y 间⾓度定义为。
⼆内积定义在空间上，有如下⽮量和，在⼏何中，⽮量长度表⽰原点到其端点的距离，根据 Pythagorean 定理，有。
定义内积，则⽮量 X 长度等于，这样建⽴其内积与长度关系。
在复⽮量空间中，有如下⽮量和，定义内积。
如何理解复⽮量内积？⾸先，针对单个复数，有，使⽤共轭乘法可求解复数长度。
当两个不同复数共轭乘法时，，其结果仍然为⼀个复数，可分解为实数分类与虚数分量。
复⽮量内积就是对所得复数相加得到⼀个结果，最终结果⼀般包括实数分量与虚数分量部分，即⼀般结果为形式。
内积满⾜如下性质：1）正性：如果 v 为⾮零向量， <v, v> > 0，该性质对实⽮量与复⽮量均成⽴；2）共轭对称性：，针对复⽮量，该等式成⽴，针对实⽮量，共轭运算等于本⾝，则内积运算对称；3）均匀性：，针对复⽮量时 c 为复数，实⽮量时 c 为实数；4）线性：<u + v, w> = <u, w> + <v, w>, <u, v + w> = <u, v> + <u, w>, 针对复⽮量与实⽮量均成⽴。
三空间与空间⼀个信号可表⽰为 f(t) 的函数，在区间上，空间表⽰所有平⽅可积函数组成的空间，即函数 f(t) 可以存在⽆穷多个间断点，使⽤ Lebesgue 观点，即不考虑测度为零的集合时，在区间上的积分和有限。
在 N 维向量空间中，空间维度为 N，向量长度也为 N。
类⽐ N 维向量空间，空间是⽆限维的（即⽆限个 f(t) 满⾜以上条件），区间可以被⽆限细分，类似向量长度可以⽆限长。
内积空间
内积空间(2012-06-17 20:13:58)▼内积空间内积的几何解释在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。
这个额外的结构叫做内积或标量积。
这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。
内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。
关于内积空间的例子，请参看希尔伯特空间。
内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert Space)，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。
在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。
在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数／不可数）的欧几里德空间。
定义下文中的数量域F是实数域或复数域。
域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是[[实数域]]时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）：满足以下公理：∙共轭对称；这个设定蕴含着对于所有, 因为.(共轭也写成加星号：，如同共轭转置。
)∙对第一个元素是线性算子；由前两条可以得到：因此实际上是一个半双线性形式。
∙非负性：(这样就定义了对于所有。
说明内积是从点积抽象而来。
)∙非退化：从V到对偶空间V*的映射：是同构映射。
在有限维的矢量空间中，只需要验证它是单射。
当且仅当。
因此，内积空间是一个Hermitian形式。
V满足可加性：对所有的，，如果F是实数域R那么共轭对称性质就是对称性。
共轭双线性变成了一般的双线性。
备注。
多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的，本文接受这种约定。
很多物理学家接受相反的约定。
这种改变是非实质性的，但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接，现在也偶尔被数学家使用。
某些作者接受约定< , > 在第一个分量是线性的而< | > 在第二个分量上是线性的，尽管不普遍。
内积空间
内积空间(2012-06-17 20:13:58)▼内积空间内积的几何解释在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。
这个额外的结构叫做内积或标量积。
这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。
内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。
关于内积空间的例子，请参看希尔伯特空间。
内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert Space)，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。
在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。
在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数／不可数）的欧几里德空间。
定义下文中的数量域F是实数域或复数域。
域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是[[实数域]]时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）：满足以下公理：•共轭对称；这个设定蕴含着对于所有, 因为.(共轭也写成加星号：，如同共轭转置。
)•对第一个元素是线性算子；由前两条可以得到：因此实际上是一个半双线性形式。
•非负性：(这样就定义了对于所有。
说明内积是从点积抽象而来。
)•非退化：从V到对偶空间V*的映射：是同构映射。
在有限维的矢量空间中，只需要验证它是单射。
当且仅当。
因此，内积空间是一个Hermitian形式。
V满足可加性：对所有的，，如果F是实数域R那么共轭对称性质就是对称性。
共轭双线性变成了一般的双线性。
备注。
多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的，本文接受这种约定。
很多物理学家接受相反的约定。
这种改变是非实质性的，但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接，现在也偶尔被数学家使用。
某些作者接受约定< , > 在第一个分量是线性的而< | > 在第二个分量上是线性的，尽管不普遍。
内积空间的基本概念
第四章Hilbert 空间一 内积空间的根本概念设H 是域K 上的线性空间，对任意H y ,x ∈，有一个中K 数),(y x 与之对应，使得对任意H z ,y ,x ∈；K ∈α满足1） 0)y ,x (≥；)y ,x (＝0，当且仅当 0x =； 2） )y ,x (＝___________)x ,y (；3） )y ,x ()y ,x (αα=；4）)z ,y x (+＝)z ,x (＋)z ,y (；称)(,是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。
定理1.1设H 是内积空间，那么对任意H y x ∈,有：|)y ,x (|2)y ,y )(x ,x (≤。
设H 是内积空间，对任意H x ∈，命),(||||x x x =那么||||⋅是H 上的一个范数。
例 设H 是区间],[b a 上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意H y x ∈,，定义dt t y t x y x ba⎰=________)()(),(那么与],[2b a L 类似，),(y x 是一个内积，由内积产生的范数为212)|)(|(||||⎰=badt t x x上一个内积介不是Hilbert 空间。
定理 1.2 设H 是内积空间，那么内积),(y x 是y x ,的连续函数，即时x x n→，y y n→，),(),(y x y x nn→。
定理1.3 设H 是内积空间，对任意H y x ∈,，有以下关系式成立，1） 平行四边形法那么：2||||y x +＋2||||y x -＝2)||||||(||22y x +；2） 极化恒等式：),(y x ＝41〔2||||y x +－2||||y x -＋2||||iy x i +－)||||2iy x i -定理1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法那么，那么可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数。
二 正交性，正交系 1 正交性设H 是内积空间，H y x ∈,，如果0),(=y x ，称x 与y 正交，记为y x⊥。
第二章-数值分析(04)内积空间
证明：以二阶矩阵为例证明 10 取x ee2 得x T Ax 11 22 0 0 x 1 , 得x T Ax a a 取 , 01
数值分析
数值分析
(2) A是正定阵, A 也是正定阵； （由i 0证明） (3) A R nn , 若A是非奇异的, 则AT A是n 阶实对称正定阵；
数值分析
成 立, 则 , 必 线 性 相 关因 为 若 , 线 性 无 关 则k R, . , 非 零, 都 有 k 0.从 而( k , k ) 0 所 以 等 号 不 成 立矛 盾. ,
数值分析
数值分析
在不同的空间中Cauchy Schwarz不等式有 ,
证明
设有 1 , 2 ,, r 使 11 2 2 r r 0
用 1 与上式作内积得 ,
(1 , 11 r r ) 1 (1 , 1 ) 0
由 1 0 ( 1 , 1 ) 1
2
0, 从而有1 0 .
数值分析
数值分析
二、 内积范数
由内积定义的范数称为内积范数： ( , )
(1) x R n , x
x, x
2 2 2 x1 x 2 x n ,
称 x 为 n 维向量 x 的内积范数 .
(2) x R n , A为n阶对称正定矩阵, x的A范数定义为 x
a b
n
ij ij
若 ( x ) 1, 则 b ( f , g ) f ( x ) g ( x )dx
a
数值分析
定义 设[a , b]是有限或无限区间, ( x )是定义 在[a , b]上的非负可积函数, 若其满足 (1) ( x )dx 0,
线性代数中内积空间与正交性
线性代数中内积空间与正交性内积空间是线性代数中一个重要的概念，它是向量空间上定义了一个内积运算的结构。
内积空间的重要性在于它使得我们可以定义向量之间的夹角和长度，同时也为后续讨论正交性提供了基础。
一、内积空间的定义与性质内积空间的定义：设V为一个n维线性空间，对于任意的u、v、w ∈ V和任意的实数a，满足以下条件的运算称为内积：1. u·v = v·u （对称性）2. (au)·v = a(u·v) （齐次性）3. (u+v)·w = u·w + v·w （加法性）4. u·u ≥ 0，当且仅当u为零向量时，u·u = 0。
（正定性）内积空间的性质：1. 内积的线性性：对于任意的u、v ∈ V和任意的实数a、b，有(au+bv)·w = a(u·w) + b(v·w)。
2. 内积的非负性：对于任意的u ∈ V，有u·u ≥ 0，并且当且仅当u 为零向量时，u·u = 0。
3. 内积的正定性：对于非零向量u ∈ V，有u·u > 0。
二、向量间的夹角与正交性1. 夹角：在内积空间中，可以利用内积的定义计算向量之间的夹角。
设有u和v为非零向量，则它们的夹角θ可由以下公式计算得出：cosθ = (u·v) / (||u|| ||v||)其中，||u||表示向量u的长度（模）。
2. 正交性：若向量u和v的内积为零，则称它们为正交向量。
即，若u·v = 0，则称u与v正交。
另外，若向量空间中的每一对非零向量都是正交的，则称该向量空间为正交向量空间。
正交向量空间的一个重要性质是：任意向量空间都可以通过正交化的方法，将其转化为正交向量空间。
三、内积空间的应用1. 几何学中的内积：在几何学中，内积可以用于计算向量之间的夹角、判断向量之间的正交性等问题。
内积空间
主要内容
一、欧氏空间与酉空间
二、内积空间的度量
三、正交变换 四、正交子空间与正交投影 五、最小二乘问题
第一节
欧氏空间与酉空间
在线性空间中，向量之间仅有加法与数乘两种代数运算， 而无向量长度、向量夹角等度量概念。向量内积正是适应 这种要求而引入的。内积空间是3维向量空间的自然推广， 故称实内积空间为欧氏空间，称复内积空间为酉空间。
n n
则 ,
i 1 j 1
x i y j i , j x 1 , x 2 , , x n A
y1 y2 H x Ay yn
定理4：设 1 , 2 , , n 与 1 , 2 , , n 为n维酉空间V的基，它们
定理2：设 1 , 2 , , n 与 1 , 2 , , n 为n维欧氏空间V的基，它们
的度量矩阵为A和B，，C是 1 , 2 , , n 到 1 , 2 , , n 的过渡 （证明详见P26-27） 矩阵，则 即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。
2
解：设基1，x,x2的度量矩阵为 A ( a ij ) 3 3 ,
a 11 (1,1)
a 13 a 31
1 1 dx
1
1
2 , a 12 a 21 (1, x )
2
1 xdx
1
1
0,
2 3 , 2 5 ,
(1, x ) 1 x dx
2
2
故
1 , n 2 , n
矩阵A也常常称为度量矩阵（或Gram矩阵），因为许多 与向量度量有关的量可以用A来描述。
内积空间的基本概念
Hilbert 空间一 内积空间的基本概念设H 是域K 上的线性空间，对任意H y ,x ∈，有一个中K 数),(y x 与之对应，使得对任意H z ,y ,x ∈；K ∈α满足1） 0)y ,x (≥；)y ,x (＝0，当且仅当 0x =； 2） )y ,x (＝___________)x ,y (；3） )y ,x ()y ,x (αα=；4）)z ,y x (+＝)z ,x (＋)z ,y (；称)(,是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。
定理1.1设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有：|)y ,x (|2)y ,y )(x ,x (≤。
设H 是内积空间，对任意H x ∈，命),(||||x x x =则||||⋅是H 上的一个范数。
例 设H 是区间],[b a 上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意H y x ∈,，定义dt t y t x y x ba⎰=________)()(),(则与],[2b a L 类似，),(y x 是一个内积，由内积产生的范数为212)|)(|(||||⎰=badt t x x上一个内积介不是Hilbert 空间。
1.2 设H 是内积空间，则内积),(y x 是y x ,的连续函数，即时x x n→，y y n→，),(),(y x y x nn→。
定理1.3 设H 是内积空间，对任意H y x ∈,，有以下关系式成立，1） 平行四边形法则：2||||y x +＋2||||y x -＝2)||||||(||22y x +；2） 极化恒等式：),(y x ＝41（2||||y x +－2||||y x -＋2||||iy x i +－)||||2iy x i -定理1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数。
二 正交性，正交系 1 正交性设H 是内积空间，H y x ∈,，如果0),(=y x ，称x 与y 正交，记为y x⊥。
《内积空间》课件
混合积运算结果是一个标量，记作 $mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c})$。混合积可以用来判断三 个向量的共面情况：若混合积为零， 则三个向量共面。
05
内积空间中的正交与投影
正交的定义与性质
总结词
正交是内积空间中两个非零向量的特殊关系，具有方向无关性、正交性质和几何 意义。
01 线性映射的定义
线性映射是从一个向量空间到另一个向量空间的 映射，满足加法、数乘等线性性质。
02 线性映射的性质
线性映射保持向量的加法、数乘等基本性质，即 对于任意向量x、y和任意实数k，有 L(x+y)=L(x)+L(y)和L(kx)=kL(x)。
03 线性映射的例子
矩阵表示的线性变换、投影变换等都是线性映射 的例子。
矩阵的范数
矩阵范数的定义
矩阵的范数是定义在矩阵上的一个非负实数，表示矩阵的“大小 ”或“强度”。常用的矩阵范数包括谱范数、Frobenius范数和无
穷范数等。
范数的性质
矩阵范数具有与向量范数类似的性质，如非负性、正齐性 、三角不等式和归一化等。
范数的应用
矩阵范数在数值分析、线性代数、控制理论和机器学习等领域 都有应用，如求解线性方程组、矩阵分解和特征值计算等。
在机器学习中的应用
特征提取
内积空间中的向量可以用来表示机器学习中 的特征，通过计算特征向量之间的内积，可 以得出特征之间的相似性和关联性，从而实 现特征的提取和降维处理。
分类器设计
在机器学习中，分类器的设计往往需要用到 内积空间中的向量表示，通过计算样本向量 与分类器向量之间的内积，可以得出样本所
向量的加法与数乘
向量的加法
第4讲内积空间
一、内积空间的概念 二、 内积空间的性质 三、 标准正交基 四、 正交变换与对称变换 五、Schur定理与正规矩阵
一、内积空间的定义
定义： 设 V 是实数域 R 上的 n维线性空 间，对于 V 中的任意两个向量 α , β 按照某 一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 α 与 β 的内积，记为 (α , β ) ，并且要 求内积满足下列运算条件：
例
⎡3 0 8⎤ ⎢ 3 −1 6 ⎥ A= ⎢ ⎥ ⎢ −2 0 −5⎥ ⎣ ⎦
H
试求酉矩阵 U 使得 U
AU 为上三角矩阵.
定义: 设
A∈C
n ×n
, 如果
H
AA = A A
H
A 满足
那么称矩阵 设
A 为一个正规矩阵.
, 如果同样满足
A∈ R
n ×n
AA = A A
H H
那么称矩阵
A 为一个实正规矩阵.
α α
总是单位向量，称此过程为单位化。
三、标准正交基
n
{ 定义：设 V 是 n 维酉空间， α i } 为其一组 基，对于 V 中的任意两个向量
α = ∑ xiαi , β = ∑ y jα j
那么 α 与 β 的内积
n n i =1 j =1 i =1 j =1 n
(α , β ) = ( ∑ xiαi , ∑ yiα i ) =
+ nxn yn
( , ) 2 也是 R n 上的一个内积 容易验证 n ，这样 R 又成为另外一个欧氏空间。
例 在 nm 维线性空间 R n×m 中，规定
( A, B ) := Tr( AB )
T
容易验证这是 R 上的一个内积，这样 R 对于这个内积成为一个欧氏空间。 例 在线性空间 C[a , b] 中，规定
内积空间与正交补空间的定义与性质
内积空间与正交补空间的定义与性质内积空间是线性代数中的一个重要概念，它在许多数学和物理问题中都具有广泛的应用。
正交补空间是内积空间中一个特殊的子空间，它与给定子空间的向量互相垂直。
本文将介绍内积空间与正交补空间的定义与性质。
一、内积空间的定义与性质内积空间是一个向量空间，其中定义了一个特殊的二元运算——内积。
内积又称为点积或数量积，用来衡量两个向量之间的夹角和长度。
对于内积空间V，其定义需要满足以下几个性质：1. 正定性：对于任意非零向量v∈V，有(v, v)>0，其中(v, v)表示向量v与自身的内积。
2. 线性性：对于任意向量v, w, u∈V和数域F的任意标量a，b，有(a⋅v+b⋅w, u)=a⋅(v, u)+b⋅(w, u)，其中⋅表示数域F中的乘法运算。
3. 共轭对称性：对于任意向量v, w∈V，有(v, w)=(w, v)。
4. 可加性：对于任意向量v，w, u∈V和数域F的任意标量a，b，有(a⋅v+b⋅w, u)=a⋅(v, u)+b⋅(w, u)。
5. 整体唯一性：对于内积空间V，其内积具有唯一性，即对于每一对向量v, w∈V，(v, w)的值是唯一确定的。
内积空间的定义与性质为我们后续讨论正交补空间提供了基础。
二、正交补空间的定义与性质给定内积空间V及其子空间U，U的正交补空间记作U⊥，它由与U中所有向量都正交的向量构成。
具体定义如下：U⊥={v∈V|(v, u)=0, ∀u∈U}正交补空间U⊥与U有以下重要性质：1. U⊥是V的一个子空间：U⊥包含于V，且对于任意向量v,w∈U⊥，以及任意标量a∈F，有av+w∈U⊥。
2. U与U⊥的交集为零向量：U∩U⊥={0}。
3. U和U⊥的维度之和等于V的维度：dim(U)+dim(U⊥)=dim(V)。
4. U⊥的补空间即为U的向量补：(U⊥)⊥=U。
正交补空间的定义与性质在许多数学和物理问题中都具有重要意义。
它为我们提供了一个将一个向量空间分解为两个正交的子空间的方法，从而使问题的求解更加简化。
内积空间的应用
内积空间的应用
内积空间是数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用。
内积空间是一个向量空间，其中定义了一个内积运算，它将两个向量映射为一个标量。
内积空间的应用非常广泛，下面我们来看一些例子。
1. 几何学中的应用
内积空间在几何学中有着广泛的应用。
例如，我们可以使用内积空间来计算两个向量之间的夹角。
如果我们有两个向量a和b，它们的内积为a·b，那么它们之间的夹角可以通过以下公式计算：
cosθ = (a·b) / (||a|| ||b||)
其中，||a||和||b||分别表示向量a和b的模长。
这个公式可以用来计算两个向量之间的夹角，从而帮助我们理解几何学中的许多问题。
2. 物理学中的应用
内积空间在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在量子力学中，内积空间被用来描述量子态之间的关系。
量子态可以看作是一个向量，而内积空间中的内积运算可以用来计算两个量子态之间的相似度。
这个概念在量子力学中非常重要，因为它可以帮助我们理解量子态之间的相互作用。
3. 信号处理中的应用
内积空间在信号处理中也有着广泛的应用。
例如，在数字信号处理中，我们可以使用内积空间来计算信号之间的相似度。
这个概念可以用来识别信号中的模式，从而帮助我们理解信号的特征。
内积空间在许多领域中都有着广泛的应用。
它可以帮助我们理解几何学、物理学和信号处理等领域中的许多问题。
因此，学习内积空间的概念和应用是非常重要的。
内积空间
第21页
1) 正交系及规范正交系
（1） 定义 点列）{en } ，
设在 H 空间中有一组非零的元素列（或
………………………………. 由此得到{e1 , e2 ,, en ,}为 U 中的一个规范正交系。
n1
第26页
例4 （勒让德 Legendre 多项式）[-1, 1]上连续函数的全体
C[-1, 1]按内积
( x, y) x(t ) y(t )dt
1 1
构成一实内积空间 U， 而 U 的完备化空间为实 Hilbert 空 间 L2 [-1, 1]。
证： x y x x0 x0 y
2
2 2
2
x x0 x0 y x x0
2
x y x x0 , y M
第18页
问题：当 U、M 满足什么条件时，x U 在 M 中有投影？
投影定理
设 M 是 Hilbert 空间中闭（完备）线性子空间，
取
x, y y, y
2
设 y
2
代入上式
x, y x, x 则 y, y
0 x, y x, x y, y
x, y
x y
第5页
内积空间的性质
性质2
内积可诱导范数
在内积空间 U 中，若令
x ( x, x) ，即 x ( x, x)
x ( x, y ) ( y , x ) y
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数值分析
证 : (1)
( x , y ) xT Ay
i , j 1
xa
i i ij
n i , j 1
xa
i
ij
n
ij
yj
yj
i , j 1
xa
j
n
ji
yi
( 2)
( x z, y)
i , j 1xain源自ijyj T
i , j 1
z a
i
i , j 1 n
数值分析
成 立, 则 , 必 线 性 相 关 为 若 , 线 性 无 关则k R, .因 , 非 零, 都 有 k 0.从 而( k , k ) 0 所 以 等 号 不 成 立 盾. ,矛
数值分析
数值分析
在不同的空间中 , Cauchy Schwarz不 等 式 有 不同的表达形式 .
证明 : 任取实数k , 考虑内积 ( k , k ) ( , ) 2k ( , ) k 2 ( , ) 0 利用一元二次方程根的判别式, 有4( , )2 4( , )( , ) 0 所以有( , )2 ( , )( , ) 当 k ( k R, 非 零), 显 然 定 理 中 等 号 成 立 之, 如 果 等 号 ;反
证明
设有 1 , 2 ,, r 使 11 2 2 r r 0
用 1 与上式作内积 ,得
(1 , 11 r r ) 1 (1 ,1 ) 0
由 1 0 (1 , 1 ) 1 0, 从而有1 0 .
2
同理可得2 r 0. 故1 , 2 ,, r 线性无关.
证明：三角不等式
证：在内积空间V中, , V , 有 2 ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 2 2 2 ( )2 所以
b b 2 a a
2
1 2
1 2
思考 : ( f , g ) ( x ) f ( x ) g( x )dx
a
b
写出Cauchy Schwarz不等式的表达形式.
数值分析
数值分析
用内积范数表示 Schwarz不 等 式 的 形 式 是 ( , )
由Schwarz 不等式可以证明内积范数公理中的 三角不等式.
A n
x T Ax
i , j 1
xa
i
ij
xj
特别，A为n阶对角阵, x的A范数,定义为 x
A
x T Ax
aii xi2
i 1
n
数值分析
数值分析
( 3) f ( x ) C [a , b], b f ( x )2 f f ( x ), f ( x ) a 称 f 为[a , b]上 连 续 函 数 ( x )的 内 积 范 数 。 f (4) f ( x ) C [a , b],
(1) R 中, x , y R ,
n n
( x, y )
x y
i 1 i
n
i
( x i ) ( yi ) x y
i 1 i 1
n
1 2 2
n
1 2 2
(2)C[a , b]中, f ( x ), g( x ) C[a , b]
b
a
f ( x ) g( x )dx ( f ( x ) dx ) ( g( x ) dx )
n a
b
则称 ( x )是[a , b]上的一个权函数. 常见的权函数有 :
(1) ( x ) 1
1 x 1 1 ( 2) ( x ) 1 x 1 1 x2 x ( 3) ( x ) e 0 x x2 ( 4) ( x ) e x
(2) A为对称正定矩阵 ( x , y ) x Ay
T i , j 1
xa
n
i ij
yj
a11 a12 y1 x Ay x1 x2 y a21 a22 2 a11 x1 y1 a12 x1 y2 a21 x2 y1 a22 x2 y2
证明：以二阶矩阵为例证明 10 取x ee2 得xT Ax 11 22 0 0 1 , 得xT Ax a a 取x , 01
数值分析
数值分析
(2) A是正定阵, A 也是正定阵； （由i 0证明） (3) A Rnn , 若A是非奇异的, 则AT A是n 阶实对称正定阵；
数值分析
数值分析
由Schwarz不 等 式 当 , 不 是 零 向 量 时 , ( , )
1,
即
1
( , )
1
定 义 内 积 空 间 中 任 意 两 个 向 量和的 夹 角 V ( , ) arccos ， 且 [0, ]
3. C [a , b], f ( x ), g( x ) C [a , b], 对于给定的权函数 ( x ) 0, x [a , b] 称为在C [a , b]中带权 ( x )的内积. ( f , g ) ( x ) f ( x ) g( x )dx
b a
i , j 1
3 2 0 例 A 2 4 2 , 0 2 5 3 2 3 0, 0, A 40 2 4
数值分析
数值分析
x Ax 0,
T T
x 0
正定矩阵的性质 (1) 正定阵主对角元恒正；
a11 a12 x1 二次型：x Ax x1 x2 x a21 a22 2 2 2 a11 x1 a12 x1 x2 a21 x1 x2 a22 x2 1 2 x1 2 2 x1 4 x1 x2 5 x2 x1 x2 2 5 x 2
a b
n
ij ij
若 ( x ) 1, 则 b ( f , g ) f ( x ) g( x )dx
a
数值分析
定义 设[a , b]是有限或无限区间, ( x )是定义 在[a , b]上的非负可积函数, 若其满足 (1) ( x )dx 0,
a b
数值分析
(2) x ( x )dx存在, n 0,1...
定义了内积的线性空间称为内积空间
数值分析
数值分析
内积的基本性质:
(1)( , k ) k ( , )
证 : ( , k ) (k , ) k ( , ) k( , )
(2)( , ) ( , ) ( , )
(3)( ,0) (0, ) 0
(x
i , j 1 n
ya
i
n
x j ( y, x )
z i )aij y j y j ( x, y) ( z, y)
i ij
ij
(4)
( x, x ) x Ax
i , j 1
xa
n
xj 0
数值分析
数值分析
几种线性空间中内积的定义:
2. R nn , A, B R nn , 定义内积 ( A, B )
（由x Ax 0, x 0证明） T T T 证明：x A Ax ( Ax ) ( Ax ) x 0, A可逆， Ax 0
T
1
xT AT Ax ( Ax )T ( Ax) 0
数值分析
(2) A为对称正定矩阵, x与y的内积可定义为 ( x , y ) x Ay
数值分析
数值分析
二、 内积范数
由内积定义的范数称为内积范数： ( , )
(1) x R n , x
x, x
2 2 2 x1 x 2 x n ,
称 x 为n 维向量x的内积范数 .
(2) x R n , A为n阶对称正定矩阵, x的A范数定义为 x
数值分析
数值分析
内积空间 Vn中的标准正交基
定义 在内积空间V n中取一组基S {v1 , v2 , , vn } i j 0 若 (vi , v j ) 0 i j n 则称基S是V 中的正交基.
定义 在内积空间V 中取一组基 { 1 , 2 , , n },
数值分析
数值分析
几种线性空间中定义的内积: n n 1. R 中,x, y R ,
定义内积 (1) ( x , y ) x T y x i yi
i 1 n
x1 x2 x , x n
y1 y2 y , y n
n
0 i j 若 ( i , j ) ij ( i , j 1, , n) 1 i j n 则称基 是V 中的标准正交基.
数值分析
数值分析
1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 e1 , e 2 0 , e 3 1 2 , e4 1 2 . 0 1 2 1 2 0 0
T
数值分析
数值分析
(2) A为对称正定矩阵 ( x , y ) x Ay
T i , j 1
xa
n
i ij
yj
( x , y ) x T Ay x i a i yi
i 1 n
a1 特别取 A an