数字信号处理第七章2

（4）若不满足，则重新选择窗函数设计。
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三、矩形窗函数设计方法 下面以一个截止频率为 ωc的线性相位理 想低通滤波器为例，讨论FIR的设计问题。 给定的理想低通滤波器为
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下面是这个滤波器的理想频率特性
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第一步：，计算hd(n)
hd (n) = =
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（5）布拉克曼（Blackman）窗（又称二阶升余弦窗）
（6）凯泽（Kaiser）窗 参看课本p341-342和MATLAB Help文档。
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[例7-1] 设计一个线性相位FIR低通数字滤波器， 给定抽样频率为 Ω s = 2π ×1.5 ×10 4 rad / sec, （1）通带截止(边缘)频率
1 2π 1 2π
∫π
−
π
H d e jω e jω n d ω
− jτω
( )
e
∫ωe
−
c
ωc
jωn
sin(ωc (n − τ )) dω = π (n − τ )
理想特性的hd(n)如下：
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clear;clc;close all; N_half=20; tao=10; n=-N_half:N_half+tao; wc=0.2*pi; h_d=(sin(wc*(n-tao))+eps)./(pi*(ntao)+eps); h_d(N_half+1+tao)=wc/pi; stem(n,h_d,'.') 2011-9-11
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时域和频域波形：
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（3）汉宁（Hanning）窗（又称升余弦窗） 时域表达式和窗谱见课本P338 MATLAB指令：w = hann(n)
加窗后滤波器的性能指标 （a）过渡带宽3.1× 2π / N （b）阻带最小衰减-44dB
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汉宁（Hanning）窗时域和频域波形：
hd (n), 0 ≤ n ≤ N −1 h(n) = wR (n) ⋅ hd (n) = n为其它值 0,
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hd (n)
wR (n)
h(n)
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τ = ( N − 1) / 2
τ = ( N − 1) / 2
N −1
14 n
第三步，检验求hd(n)的频率特性
其线性相位部分
则是表示延时一半长度
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对频率响应起作用的是它的幅度函数
sin (ωN / 2) WR (ω ) = sin (ω / 2)
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主瓣宽度
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加窗处理对矩形频率响应的影响 （1）窗函数的频率特性使矩形频率响应 矩形频率响应产生带内和 矩形频率响应 带外波动 波动。在 ω = ωc ± 2π / N (在过渡带的两侧)波动 波动 最大，约为8.95%，与N无关，称为吉布斯效应。 （2）使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成过 过渡带宽等于窗函数频率响应的主瓣宽度。 渡带，过渡带宽等于窗函数频率响应的主瓣宽度 过渡带宽等于窗函数频率响应的主瓣宽度 （3）增加N，只能改变窗谱的主瓣宽度 只能改变窗谱的主瓣宽度、ω坐标的比 只能改变窗谱的主瓣宽度 例、 WR (ω ) 的绝对值大小等内容，但不能改变主瓣 但不能改变主瓣 与旁瓣的相对比例。 与旁瓣的相对比例
2πn sin[0.3π (n − τ )] • [0.54 − 0.46 cos( )]RN (n) 0 ≤ n ≤ 33, 但n ≠ 16 h ( n) = π (n − τ ) N −1 0.3 n = 16
⑥验证 h(n) 的频率特性。 将h(n)作傅立叶变换，比较它的频率特性是否 满足设计要求。
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（4）海明（Hamming）窗 时域表达式和窗谱见课本P338 w MATLAB指令： = hamming(n)
加窗后滤波器的性能指标 （a）过渡带宽3. 3× 2π / N （b）阻带最小衰减-53dB
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海明（Hamming）窗时域和频域波形：
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7.5、IIR和FIR数字滤波器的比较
IIR滤波器
h(n)无限长 极点位于z平面任意位置 滤波器阶次低 非线性相位 递归结构 不能用FFT计算 可用模拟滤波器设计 用于设计规格化的选频滤 2011-9-11 波器
FIR滤波器
h(n)有限长 极点固定在原点 滤波器阶次高得多 可严格的线性相位 一般采用非递归结构 可用FFT计算 设计借助于计算机 可设计各种幅频特性和 相频特性的滤波器 36
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0 ≤ n ≤ N −1
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窗函数设计法是从单位冲激响应序列着手， 使h(n)逼近理想的单位冲激响应序列hd(n)。 我们知道hd(n)可以从理想频率响应 通过傅立叶反变换获得
hd (n) =
1 2π
∫
2π
0
Hd e
( )e
jω
j ωn
dω
一般来说，理想频率响应 是分段常数型 的，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的理 想单位脉冲响应hd(n)往往都是无限长序列，而且是 非因果的。
π
sin[ωc (n − τ )] sin[0.3π (n − τ )] n ≠τ π (n − τ ) = π (n − τ ) hd (n) = ωc = 0.3 n =τ π 2011-9-11
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式中, τ = ( N − 1) / 2 N取奇数。 ④由阻带衰减 δ 2 = 50dB 确定窗函数，由过渡带宽确定 窗口长度N（附表见下页）。 查表7-3,比较后可选择海明窗，其最小阻带衰减 为-53dB,可满足要求。
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理想低通的hd(n)
hd (n)
τ
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n
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这是一个以为τ中心的偶对称的无限长 非因果序列，如果截取一段n=0～N-1的 hd(n)作为h(n) ，则为保证所得到的是线性 相位FIR滤波器，延时τ应怎样选择？ τ为h(n)长度N的一半,即 第二步：用窗函数截取hd(n)
τ = (N −1) / 2
2πn w(n) = [0.54 − 0.46 cos( )]R N (n) N −1 ' 2πD 2π × 3.3 N= = = 33 τ = ( N − 1) / 2 = 16 ∆ω 0.2π
若N不是整数，取大于它，且最接近它的奇数。
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⑤求 h(n)
WR (e jω ) = WR (ω )e Nω ω WR (ω ) = sin( 2 ) / sin( 2 )
− j(
N −1 )ω 2
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（2）巴特列特（Bartlett）窗（又称三角窗） 时域表达式和窗谱见课本P337 MATLAB指令：w = bartlett(n)
加窗后滤波器的性能指标 （a）过渡带宽2.1× 2π / N （b）阻带最小衰减-25dB
jω
jω
jω
n = −∞
∑w
∞
R
( n )e
− jω n
= ∑e
n=0
N −1
− jω n
1− e = 1 − e − jω
− jN ω
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WR (e ) = e
jω
N −1 − jω 2
sin(ωN / 2) sin(ω / 2)
用幅度函数和相位函数来表示，则有
W R ( e jω ) = W R (ω ) e − jτω
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二、窗函数设计法的步骤 已知理想频率响应
（）H d (e jω ) 1
傅立叶反变换
，求hd(n) 。
⇒
hd (n)
（2）hd (n) ⇒ hd (n)w(n) = h(n)
（3）检验 h( n)在误差指标内是否满足 理想频率特性。
窗函数截取
h ( n ) ⇒ H ( e jω ) ⇐ H d ( e jω )
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②确定线性相位的理想低通滤波器的频率特性 H d (e jω )
1 ⋅ e − jωτ H d ( e jω ) = 0
hd (n) =
π
− jωτ
| ω |≤ ωc 其它ω
− j ωn
③确定 hd (n) 并因果化。
1 2π
∫−π e
e
dω =
1 2π
e − jω ( n −τ ) dω ∫−π
第七章 FIR数字滤波器的设计
7.1 引言 7.2 线性相位FIR数字滤波器的特性 7.3 窗口设计法 7.4 频率取样法 7.5 FIR数字滤波器的最优化设计 7.5 FIR数字滤波器的硬件实现（见DSP 技术） 7.6 IIR与FIR数字滤器的比较
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7.3 窗函数设计法
一、窗函数设计法原理 一般先给出为理想频率响应 ，现要求 设计一个N点( 0 ≤ n ≤ N − 1 ) 的 FIR滤波器
去逼近 。 逼近方法有三种： 1、窗函数设计法（时域逼近） 2、频率采样法（频域逼近） 3、最优化设计（等波纹逼近）
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理想频率响应hd(n) 通过傅立叶反变换获得
hd ( n) =
1 π 2π −π
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∫
H d (e jω )e jωn dω