3.2.2复数代数形式的乘除运算
复数代数形式的乘除运算课件
即
-2 = 4( + 2),
3 + 8 = -2.
解得
= -2,
或 = -4,
= -1,
= 2.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(2)∵f(z)=2z+-3i,∴f(+i)=2(+i)+( + i)-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.
1
例 3 设 z 是虚数,ω=z+ 是实数,且-1<ω<2,
(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围;
1-
(2)设 u=1+,求证:u 为纯虚数.
1
思路分析:(1)按常规解法,设 z=x+yi(x,y∈R),化简 ω=z+ ,找出实部、
虚部可以列出等量关系式求解;(2)证明 u 为纯虚数,可按定义证明实部
为零,虚部不为零,或证明 u+=0,且 u≠0.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(1)解:∵z 是虚数,
∴可设 z=x+yi,x,y∈R,且 y≠0.
1
-i
1
∴ω=z+ =x+yi++i =x+yi+2 +2=x+2 +2 + - 2 +2 i.
∵ω 是实数且 y≠0,∴y-2 +2 =0.∴x2+y2=1,即|z|=1.此时 ω=2x.
若 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
(2)共轭复数的性质
①z·
=|z|2=||2;②||=|z|;③z+=2a,z-=2bi;④1 ± 2 = 1 ±
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
+
������������2������+-���������������2��� i(c+di≠0).
名师点拨复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以直
接约分、化简得出结果;而复数的除法是先将两复数的商写成分式,
然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数).
【做一做 3】 计算:24+-33ii.
集.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
一题多解(变)——复数的综合问题
典例
(1)已知复数
z=(1-
3+i 3i)2
,
������是
z
的共轭复数,则
z·������等于(
)
A.1
B.1
4
2
C.1
D.2
(2)已知复数 z 满足|z|= 5,且(1-2i)z 是实数,求������.
3 4
−
4i ,∴z·������
=
14.
法二:∵z=(1-3+3ii)2,
3.实数范围内整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对 复数z,z1,z2和自然数n,m,有:
zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=������1������ ·������2������ .
课前篇自主预习
【做一做1】 (1)(4-i)(3+2i)=
.
(2)(-3+2i)2=
=0×504+i2 016=1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟利用i幂值的周期性解题的技巧 1.熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时, 相应的幂值分别为1,i,-1,-i. 2.对于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0.
第三章3.2.2复数代数形式的乘除运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算 课时目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3．理解共轭复数的概念．1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝________________.2．复数乘法的运算律对任意z 1、23交换律 z 1·z 2＝____________ 结合律 (z 1·z 2)·z 3＝__________乘法对加法的分配律 z 1(z 2＋z 3)＝____________3．设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则z ＝___________叫z 的共轭复数．若b ≠0，则z 叫虚数z 的________虚数，且z ＋z ＝______，z －z ＝________，两共轭复数在复平面内所对应点关于________对称．4．a ＋b i c ＋d i＝_____________________________. 5．设i 为虚数单位，则i 1＝______，i 2＝______，i 3＝_______，i 4＝______.一、选择题1．复数i 3(1＋i)2等于( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i2．已知a ＋2i i＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．33．设i 是虚数单位，则i 3(i ＋1)i －1等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i4．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( )A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝5，y ＝1C ．x ＝－1，y ＝－1D ．x ＝－1，y ＝15．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z 等于( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±i二、填空题 6．已知复数z ＝1＋i ，则2z－z ＝________. 7．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．8．若21－i＝a ＋b i (a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ＋b ＝________.三、解答题9．计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i.10．已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y 的值．能力提升11．复数z ＝i 1＋i在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，求这个实根以及实数k 的值．1．复数的乘法与多项式乘法是类似的，在所得结果中把i 2换成－1.2．复数除法的实质是“分母实数化”，一般可以分子分母同乘以分母的共轭复数．3．解决复数问题时，可以将问题转化为复数的实虚部满足的条件，即实数化思想．3．2.2 复数代数形式的乘除运算答案知识梳理1．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i2．3．a －b i 共轭 2a 2b i x 轴4．ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i (c ＋d i ≠0) 5．i －1 －i 1作业设计1．A [i 3(1＋i)2＝i 3·2i ＝2i 4＝2，选A.]2．B [∵a ＋2i i＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1. ∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.]3．A [∵i ＋1i －1＝(1＋i )2－(1－i )(1＋i )＝2i －2＝－i ， ∴i 3(i ＋1)i －1＝i 3·(－i)＝－i 4＝－1.] 4．D [x －2＝3x ，y ＝－(－1)，即x ＝－1，y ＝1.]5．D [设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ， 依题意2x ＝4且x 2＋y 2＝8，解之得x ＝2，y ＝±2.∴z z ＝z 2z ·z ＝(2±2i )28＝±i.] 6．－2i解析 2z －z ＝21＋i －1－i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－1－i ＝－2i.7．2解析 方法一 ∵z (2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i ＝26i 13＝2i ，∴|z |＝2. 方法二 由z (2－3i)＝6＋4i ，得z ＝6＋4i 2－3i. 则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4i 2－3i ＝|6＋4i||2－3i|＝62＋4222＋32＝2. 8．2解析 由21－i＝a ＋b i ，得2＝(a ＋b i)·(1－i)， ∴2＝a ＋b ＋(b －a )i ，(a ，b ∈R )，由复数相等的定义，知a ＋b ＝2.9．解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.(3)方法一 原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.方法二 (技巧解法)原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )i (3－2i )i＝i 6＋(2＋3i )i 2＋3i＝－1＋i. 10．解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i.又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋i ，y ＝1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－i ，y ＝1＋i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋i ，y ＝－1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1－i ，y ＝－1＋i. 11．A [∵z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ， ∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．]12．解 设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝02x 0＋k ＝0， 解得⎩⎨⎧ x 0＝2k ＝－22或⎩⎨⎧ x 0＝－2k ＝22， ∴方程的实根为x ＝2或x ＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第三章 3.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
z2 · z1 z1· z2＝________ z1 ( z2 · z3 ) (z 1 · z2)· z3＝________
1 z2 ＋ z1 z3 z1(z2＋z3)＝z ________
栏 目 链 接
基 础 梳 理
例：(1) (2＋i)i＝__________________； (2)(1－2i)(3＋i)＝________________.
解析：(1)原式＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
3 3 3 1 (2)原式＝－ － ＋4－4i(1＋i) 4 4 3 1 ＝－ ＋ i(1＋i) 2 2 3 1 1 3 ＝－ － ＋ － i 2 2 2 2
栏 目 链 接
1＋ 3 1－ 3 ＝－ ＋ i. 2 2
－2＋3i －2＋3i1－2i (3)原式＝ ＝ 1＋2i 1＋2i1－2i －2＋6＋3＋4i 4 7 ＝ ＝ ＋ i. 5 5 12＋22 5－29 5 i 5－29 5 i7＋3 5 i (4)原式＝ ＝ 7－3 5 i 7－3 5 i7＋3 5 i 35＋29×15＋15 5－29×7 5i 470－188 5 i ＝ ＝ 2 2 94 7 ＋3 5 ＝5－2 5 i.
2 2 2 2
栏 目 链 接
基 础 梳 理
例：i＋2 的共轭复数是( A．2＋i C．－2＋i
答案：B
)
B．2－i D．－2－i
栏 目 链 接
＋ 2
4 ． i
4n ＋ 1
4n i － 1 － i 1 ＝ ______________ ， i
＝
i －1 －i 1 ， ____________
i －1 －i 1， i4n ＋ 3 ＝ ____________
3.2.2复数代数形式的乘除运算
容易得到，对任意z1,z2,z3 C,有 (z1 z2) z3= z1 (z2 z3) z1 (z2+z3) = z1z2+z1z3 （同学们课后证明）
1.计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).
解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)
=(11-2i)(-2+i) =-20+15i. 2. 计算:(1) (3+4i)(3-4i); 解:(1) (3+4i)(3-4i) (2) (1+i)2
2、复数乘法满足交换律、结合律的证明
设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i. (1)因为 z1 z2=(a1+b1i)(a2+b2i) =(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,
所以
z2 z1= (a2+b2i)(a1+b1i) =(a2a1-b2b1)+(a2b1+b2a1)i, z1 z2=z2 z1
探究：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规 定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数 除法的法则. 复数除法的法则是:
( a bi ) ( c di ) ac bd c d
2 2
bc ad c d
2 2
i ( c di 0 ).
方法:在进行复数除法运算时,通常先把 a bi 的形式,再把分子与 ( a bi ) ( c di ) 写成
(2) (1+i)2
=32-(4i)2
=9-(-16)
=1+2i+i2
=1+2i-1
=25.
3.2.2复数代数形式的乘除运算(1)
∴ z z 2a R
∴ z 1 是实数. z
2.设 z 为复数,且| z || z 1 | 1，求 | z 1 | 的值.
解：设 z a bi(a，b R) z 1 (a 1) bi，且| z || z 1| 1
a2 (a
b2 1)2
1 b2
1
a2
a2
b2 b2
1 2a
⑵z1·z2是一个怎样的数？
解：⑴作图
y
y
y
⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi
(a,b)
o
x
(a,-b)
(0,b)
则z1·z2=(a+bi)(a-bi)
o
x
o
x
(a,o)
(0,-b)
=a2-abi+abi-bi2
z1=a+bi
z1=bi
z1=a
=a2+b2
得出结论：在复平面内，共
轭复数z1 ,z2 所对应的点
解方程组,得
a
1 2
0
b2
3 4
| z 1|| (a 1) bi | (a 1)2 b2 ( 1 1)2 3 3 24
注：一般地，欲求一个复数，通常先设出复数的代数 形式 a＋bi（a，b∈R），而后利用已知条件列出关于 a，b 的方程组，求解出 a，b，也即求得了这个复数，在这里， 方程的思想方法得到了充分运用.
(
12 212
23 232i
2
i1)2
4
(3i
2
1 2
2
3
4
23 i) 2
2
( 10; 3 i)( 1 3 i) ( 1)2 ( 3 i)2
3.2.2复数代数形式的乘除运算(学、教案)
3. 2.2复数代数形式的乘除运算（学案）预习目标： 1.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念2.掌握复数的代数形式的乘、除运算。
预习内容：1.虚数单位i :----------------------------------2. i 与－1的关系: ---------------------------------------3. i 的周期性：----------------------------------------------------4.复数的定义------------------------------------------------------------ 3. 复数的代数形式: -------------------------------------------------------------------4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：-------------------------- --5. 两个复数相等的定义：-------------------------------------------------6. 复平面、实轴、虚轴：-------------------------------------------------------8．复数z 1与z 2的和的定义：-----------------------------9. 复数z 1与z 2的差的定义：----------------------------------------- 10. 复数的加法运算满足交换律: ------------------------------------ 11. 复数的加法运算满足结合律:-----------------------------------------------------提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
原创3：3.2.2复数的乘除运算
记法：复数 = + 的共轭复数记作
z
= −
z
口答：说出下列复数的共轭复数
⑴z=2+3
(2-3)
⑵z= -6
( 6)
⑶z= 3
(3)
注意：⑴当虚部不为0时的共轭复数称为共轭虚数
⑵实数的共轭复数是它本身
思考：若z1 ,z2是共轭复数，那么
⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
分母实数化
+ = +
2、复数乘法满足交换律、结合律的证明
设 = + , = + , = + .
(1)因为 ∙ = ( + )( + )
= ( − ) + ( + ),
(事实上可以把它推广到 ∈ .）
1
1 i
1 i
2
i;
i.
② (1 i ) 2i; i;
i
1 i
1 i
2复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把
换成－1，然后实、虚部分别合并.
3 除法：先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母
的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即
化简等.
z1 1 i , z 2 2 i
（2）已知
求
+
,
,
-4
∙
8+6
（3）
1 ± 2 = ±2
1
=−
1+
=
1−
1−
= −
1+
高中数学《3.2.2复数代数形式的乘除运算》教案 新人教A版选修1-2
1 3.2.2 复数的代数形式的乘除运算教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算教学过程：一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2⨯ （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
=，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
2022版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算课件新人教A版选修2_
复数z,z1,z2和自然数n,m,有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·
=z2)n
1 ·2 .
知识梳理
【做一做1-1】 复数z1=2+i,z2=1-i,那么z=z1·z2在复平面内对
应的点位于(
)
A.第一象限 B.第二象限
=(-8-8 3i)(2-2
=-16+16 3i-16
(4)(方法 1)
=
2i 4
-2i
3 − i)2]3=(2-2 3i)3
3i)
3i)
3i-48=-64.
1+i 8
1-i
=
4
1+i 2
1-i
= (-1)4=1.
1+i
(1+i)2
(方法 2)因为 1-i = (1-i)(1+i) =
所以
1+i 8
=
21-28i+3i-4i 2
25
(i-2)(i-1)
(4)
=
(1+i)(i-1)+i
-2-i+6i+3i 2
5
(5)原式 =
=
=
=
25-25i
= 1-i.
25
2
i -i-2i+2
i-1+i 2 -i+i
-5+5i
=
1-3i
-2+i
=
(1-3i)(-2-i)
(-2+i)(-2-i)
= −1+i.
5
(-1+ 3i)2 (-1+ 3i)
课件12：3.2.2 复数代数形式的乘除运算
点评：复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，即先进行 高级运算(乘方、开方)，再进行次高级运算(乘、除)，最后 进行低级运算(加、减)．如含有i的幂运算，先利用i的幂的 周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算．
练习1：若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数 单位，则复数(z1－z2)i的实部为________． 【解析】本题主要考查复数的概念及运算．
(2)原式＝[(1＋i)2]311＋－ii＋[(1－i)2]311－＋ii －8(3－4i)4(＋1＋3ii)2(1＋i) ＝(2i)3i＋(－2i)3(－i)－8(3－4(i3)－－4(2i)ii)(1＋i) ＝8＋8－16i(1i ＋i) ＝8＋8－16－16i＝－16i.
(3)原式＝－i( 2)5[(1＋i)2]2(1＋i)＋(1＋1 i)22＋i7
【答案】D
4．已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0， 则复数z＝________. 【解析】∵z·z0＝3z＋z0，∴z＝z0－z0 3， ∵z0＝3＋2i，∴z＝3＋2i2i＝1－32i.
【答案】1－32i
5．设 x、y 为实数，且1－x i＋1－y 2i＝1－5 3i，求 x＋y. 解：1－x i＋1－y 2i＝1－5 3i可化为x(12＋i)＋y(1＋5 2i)＝5(11＋0 3i)
1 (3) i (
2＋
2i)5＋(1＋1 i)4＋11－＋ii7.
【解析】对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外， 对于一些简单的要知道其结果，这样起点就高，计算过 程就可以简化，达到快速简捷出错少的目的．
解：(1)(3＋4i)÷(4－3i)＝34＋－43ii ＝((34＋－43ii))((44＋＋33ii)) ＝(12－1422)＋＋3(92 ＋16)i ＝i.
复数代数形式的乘除运算总结
z
＝3－i i＝－1－3i.
例 3 已知 1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根(b，c∈R)． (1)求 b，c 的值； (2)试证明 1－i 也是方程的根．
解：(1)∵1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即 b＋c＋(2＋b)i＝0，
∴2b＋＋bc＝＝00，， 解得bc＝＝2－. 2， (2)证明：由(1)知方程为 x2－2x＋2＝0， 把 1－i 代入方程左边得 左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立， ∴1－i 也是方程的根．
[思考] 实数集内乘法、乘方的一些重要结论和一些运算 法则，在复数集内一定成立吗？
解：不一定，如：(1)当 z∈R 时，|z|2＝z2；当 z∈C 时， |z|2∈R，而 z2∈C，所以|z|2≠z2.(2)当 z∈R 时， z21＋z22＝0⇔z1 ＝0 且 z2＝0；当 z∈C 时， z21＋z22＝0≠＞ z1＝0 且 z2＝0，但 z1＝0，z2＝0⇒z21＋z22＝0.
【变式巩固】 求－16＋30i 的平方根．
[分析] 由于复数的平方根仍然是复数，设出该复数的平 方根的复数形式，再结合复数乘法与除法的关系，利用复数 相等的充要条件求得．
解：设－16＋30i 的平方根为 x＋yi(x，y∈R)， 则(x＋yi)2＝－16＋30i， 即 x2－y2＋2xyi＝－16＋30i，由复数相等的条件，得 x2－y2＝－16，① xy＝15，② 解得 x＝±3，y＝±5，又由方程②可知 x、y 同号， 所以－16＋30i 的平方根为 3＋5i，－3－5i.
2．共轭复数的常用性质
①z·z
＝ z
＝ 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
选修1-2第三章3-3-2-2复数代数式的乘除运算
. z 1 ·( z 2 · z 3 )
． z1 z2 ＋z1 z3
课堂讲练互动
(3)乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝
课前探究学习
.
活页规范训练
想一想：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？ 提示 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在
所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
－ － 2 ②z· z ＝|z| ∈R(因为 z· z ＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝|z|2)； － － ③z＋ z ＝2a 为实数；z－ z ＝2bi(b≠0)为纯虚数； － ④z 为实数⇔z＝ z ； － ⑤z 为纯虚数⇔z＋ z ＝0 且 z≠0.
课前探究学习
课堂讲练互动
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3．复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分 化简，得出结论，但复数的除法中分母为复数，一般不能直接 约分化简．复数的除法的一般做法是，由于两个共轭复数的积 是一个实数，因此，两个复数相除，可以先把它们的商写成分 式的形式，然后把分子分母都乘以分母的共轭复数(注意是分 母的共轭复数)，并把结果化简即可． a＋bi a＋bic－di ac＋bd＋bc－adi ac＋bd 也就是说 ＝ ＝ ＝ 2 2 2 c＋di c＋dic－di c ＋d c ＋d2 bc－ad ＋ 2 i(c＋di≠0)． c ＋d2
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3．共轭复数 如果两个复数满足 实部相等、虚部互为相反数 时，称这
－ 两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用 z 表示，即 z＝a＋bi(a， － b∈R)，则 z ＝ 4．复数的除法法则 z1 设 z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c＋di≠0 且 c，d∈R)，则z 2 a＋bi ac＋bd bc－ad ＝ ＝ 2 2＋ 2 2 i(c＋di≠0)． c＋di c ＋d c ＋d
高中数学教学课例《3.2.2复数代数形式的乘除运算》课程思政核心素养教学设计及总结反思
同实践和探讨。
课例研究综 责任心，有求实、创新的工作作风；面对参差不齐的知
述
识水平，教师还应善于理解、分析学生，善于做学生的
思想工作，使学生在愉快中接受分层，在分层中提高学
习兴趣，从而达到缩小两极分化，大面积提高教学质量
的目的。高中教学实行分层教学是一种新的尝试，仍有
待于在实践中不断探索、总结，更有待于广大同行的共
步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下基础，通
教材分析 过本章学习，要使学生在问题情景中了解数系扩充的过
程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，
体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
2、教学重难点
重点：复数代数形式的除法运算
Байду номын сангаас
难点：对复数除法法则的运用
(1)知识目标：理解并掌握复数的代数形式的乘法
点。但是学生学习基础太差，学习习惯不好，厌学思想
普遍，缺乏学习信心，焦虑不安的消极情绪。以至于对 学生学习能
数学学习提不起兴趣，没有明确的学习目标，没有科学 力分析
的学习方法。独立思考问题有一定难度，语言表达、动
手能力均相对较差；接受相对较慢且不求甚解，对知识
缺乏系统性。
数学是思维的科学，培养学生数学思维能力是高中
教学过程
已知两复数,（a,b,c,d 是实数） （1）加法法则：
（2）减法法则：
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚
部分别相加(减). （二）探求新知： 探究一： 设 a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？ (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 思考： 复数，，其中 a，b，c，d∈R，则 z1·z2＝(a＋bi)(c
＋di)等于什么 1.复数的乘法法则： 说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在
复数乘除运算
z z zz a b
2
思考:
若z1 , z2是共轭复数，那么 ⑵ z 1· z2是一个怎样的数？
解：⑴作图
y
？
⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
y (a,b)
y
⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi
(a,o)
x
(0,b) o
(0,-b)
o
x
x
则 z1 · z2=(a+bi)(a-bi)
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 .
例题剖析：
例1 计算
(1 2i)(3 4i)(2 i)
解： 原式= (11 2i)(2 i)
20 15i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,
类似地,
复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
四
探究
1 2 3 4 5 6 7 8 n
例(1)求i , i , i ,i ,i ,i ,i ,i 的值； （2）由（1）推测i (n N )的值有何 规律？并把这个规律用式子表示出来。 1 2 3 4 (1)i i; i 1; i i; i 1; （1）周期性 （2）等比数 5 6 7 8 列求和 i i; i 1; i i; i 1
(ace bde adf bcf ) (ade bce acf bdf )i
z1 ( z2 z3 ) (a bi) (c di)(e fi)
(a bi)(ce df ) (ed cf )i
(ace bde adf bcf ) (ade bce acf bdf )i ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) 结合侓
复数代数形式的乘除运算
3.乘法运算律 对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C. 有
z 1· z2=z2· z1
(z1· z 2) · z3= z1· (z2· z 3) z1(z2+z3)=z1· z2+z1· z3
(交换律)
(结合律) (分配律)
例2.计算：
(1) (3+4i)(3-4i)
(2) (1+i)2 解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2 =9-(-16)=25; (2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i. 点评：实数集中的完全平方公式、平方差 等公式在复数集中仍然适用.
§3.2.2 复数代数形式的 乘除运算
教学目标： 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法 与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质 是分母实数化问题 情感、态度与价值观：让学生体会自主学习 自主探究提高运算能力的过程。 教学重点：复数代数形式的除法运算。 教学难点：对复数除法法则的运用
变式：计算： （1）(-3+4i)(3+4i) （2）(1-i)2 （3） i(2-i)(1-2i) 解：（1）(-3+4i)(3+4i)=(4i)2-32=-16-9=-25 （2）(1-i)2=1-2i+i2=-2i （3） i(2-i)(1-2i)=(2i+1)(1-2i)=1-(4i)2=17
z1 z2 z2 z1
即对于任意z1 , z2 ,z3 ∈C,有
,
( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ),
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 .
人教A选修二第3章3.2.2
解：因为 2x＋(5－y)i 和 3x－1－(y＋1)i ＋ － － － ＋ 是共轭复数， 是共轭复数，
2x＝3x－1， x＝1， ＝ － ， ＝ ， 解得 所以 － ＝ ＋ ， ＝ y＝2. 5－y＝y＋1，
所以 z＝1＋2i， z ＝1－2i. ＝ ＋ ， －
i的运算性质及应用 的运算性质及应用 虚数单位i的周期性： 虚数单位 的周期性： 的周期性 ＋ (1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－ ，i4n＋3＝－ ，i4n＝ ， ＋ ＝－1， ＋ ＝－i， 1(n∈N)． ∈ ． ＋ ＋ ＋ (2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)． ∈ ． n也可以推广到整数集． 也可以推广到整数集． 也可以推广到整数集
变式训练 1 值．
1 计算(1－ 计算 －i) ＋2i＋(3＋i )＋ 的 ＋ ＋ ＋ i
2 3
解：原式＝－ ＋2i＋3－i－i＝3－2i. 原式＝－2i＋ ＋ － － ＝ － ＝－
共轭复数
z· z ＝|z|2，体现了复数与实数的转化． 体现了复数与实数的转化． z∈R⇔z＝ z ；若 z≠0，z＋ z ＝0，则 z 为纯 ∈ ⇔＝ ≠ ，＋ ， 虚数． 虚数．
【思维总结】 本题充分利用了共轭复数的有关 思维总结】 性质，使问题直接化简为2x＋ ＝ 而不是直接把 而不是直接把z 性质，使问题直接化简为 ＋1＝0而不是直接把 代入等式． ＝x＋yi代入等式． ＋ 代入等式
变式训练 2 已知 x、y∈R，若 2x＋(5－y)i 、 ∈ ， ＋ － 和 3x－1－(y＋1)i 是共轭复数， － － ＋ 是共轭复数， 求复数 z＝x ＝ ＋yi 和 z .
变式训练3 变式训练 值．
计算： ＋ ＋ 计算：1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010的 ＋
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高中数学选修2-2
3.2.2 复数代数形式的乘除运算（导学案）
温宿县第一中学热汗古丽·热依木
【学习目标】
1.
理解并掌握复数代数形式的乘、除的运算法则、运算律. 2. 深刻理解复数除法是其乘法的逆运算.
【学习重点】
复数代数形式的乘除的运算法则、运算律.
【学习难点】
复数除法的运算法则.
【学习指导】 由复数的几何意义，可用向量表示函数，复数的乘法运算类比于多项式的乘法运算。
【课堂练习】
知识点一：复数代数形式的乘法运算。
计算（学生独立完成）：
(1)(12＋32i)(4i －6)； （2）i(5-7i); （3） (1-2i)(3+4i)(-2+i)
【知识梳理】
(1)复数的乘法法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝
.
(2)复数乘法的运算律对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有
【知识拓展】
(1)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝____.
知识点二：共轭复数
当两个复数的 ， 时，这两个复数叫做互为 ，z 的共轭复数用z 表示.即z ＝a ＋bi ，则 ＝ . 探究：类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝＋3
＋2－
2＋2，你能写出复数的除法法则吗？
(2)计算：已知i 是虚数单位，则复数=（ ）
（3）若复数z ＝21－i
，其中i 为虚数单位，则z 等于（ ）
注意： (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 (2)常用公式
①首先将除式写为分式；
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.
①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i
＝－i.。