八年级数学利用平方差公式进行因式分解
4.3 公式法 (解析版)-八年级数学下
4.3公式法考点：因式分解公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a 2－b 2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a 2＋2ab＋b 2＝（a＋b）2a 2－2ab＋b 2＝（a－b）2题型一：判断是否能用公式法因式分解1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A ．229x y -+B ．229x y +C ．2221x y -+D ．229x y --【答案】A【分析】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断．【详解】解：A.229x y -+是x 与3y 的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，符合题意；B.229x y +两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；C.2221x y -+是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；D.229x y --两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差是解题的关键．2．（2023春·八年级课时练习）下列多项式，能用公式法分解因式的有（）个．①2233+x y ②22x y -+③22x y --④22x xy y ++⑤222x xy y +-⑥2244x xy y -+-A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】根据完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+，平方差公式()()22a b a b a b +-=-进行判断即可．【详解】解：①2233+x y 不能用公式法分解因式，不符合题意；②()()22x y y x y x -+=+-，可以用平方差公式分解因式，符合题意；③()2222x y x y --=-+不能用公式法分解因式，不符合题意；④22x xy y ++不能用公式法分解因式，不符合题意；⑤222x xy y +-不能用公式法分解因式，不符合题意；⑥()()2222244442x xy y x xy y x y-+-=--+=--，可以用完全平方公式分解因式，符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知公式法分解因式是解题的关键．3．（2022秋·山东威海·八年级统考期中）下列多项式：①2216x y -+，②()222812()a ab b a b -+-+，③222139m mn n -+，④22x y --能用公式法因式分解的有个（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据公式法因式分解的方法，逐一进行判断即可．【详解】解：()()221644x y x y x y -+=-++①，符合题意；()222812()a ab b a b -+-+②2281()()a b a b =--+()()()()99a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=-++--+⎣⎦⎣⎦()()45445a b a b =--，符合题意；22221393n m mn n m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭③，符合题意；22x y --④，不能用公式法进行因式分解，不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查公式法因式分解．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．题型二：运用平方差公式因式分解4．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：41x -，请问正确的结果为（）A ．()()2211x x -+B ．()()2211x x +-C ．()()()2111x x x +-+D ．()()311x x -+【答案】C【分析】根据平方差公式分解因式即可．【详解】解：()()()()()4222111111x x x x x x =-+--+=+，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式，注意分解因式要分解到最后结果．5．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解的是（）A ．22x y -+B ．224()a a b -+C ．228a b -D ．221x y -【答案】C【分析】利用平方差公式的结果特征判断即可，能用平方差因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．【详解】在有理数范围内不能用平方差公式分解的是228a b -，A 、2222()()()x y x y x y x y -+=--=-+-，B 、[][]224()2()2()(3)()a a b a a b a a b a b a b -+=++-+=+-，D 、22221()1(1)(1)x y xy xy xy -=-=+-，故选：C ．【点睛】本题考查了公式法分解因式，不仅要掌握平方差公式的特点，还要对有理数的范围把握好．6．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A ．22x y -B ．22x y -+C ．22x y --D ．2281x y -【答案】C【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，根据平方差公式分解因式的特点进行分析即可．【详解】A.22x y -能用平方差公式因式分解，故不符合题意；B.22x y -+能用平方差公式因式分解，故不符合题意；C.22x y --不能用平方差公式因式分解，故符合题意；D.2281x y -能用平方差公式因式分解，故不符合题意；故选择：C【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式分解因式的特点．题型三：运用完全平方公式因式分解7．（2023春·全国·八年级期中）下列各式：①269x x -+；②225101a a +-；③244x x --；④2144x x -+，其中不能用完全平方公式因式分解的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】能利用完全平方公式因式分解的整式需满足：整式是“两数平方和与这两个数积的2倍”．利用完全平方公式的结构特点逐个分析得结论．【详解】解：()22693x x x -+=-，故①能用完全平方公式因式分解；整式225101a a +-与244x x --不满足两数平方和，故②③不能用完全平方公式因式分解；整式2144x x -+的中间项x 不是2x 与12积的2倍，故④不能用完全平方公式因式分解．故选：C ．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握完全平方公式的结构特点是解决本题的关键．8．（2023春·浙江·八年级阶段练习）已知23,23x y =-=+，则代数式2224x xy y x y +++--的值为（）A ．32B ．34C ．31-D ．512-【答案】C【分析】根据已知，得到232322,232323x y x y +=-++=-=---=-，整体思想带入求值即可．【详解】解：∵23,23x y =-=+，∴232322,232323x y x y +=-++=-=---=-，∴()()222244x xy y x y x y x y +++--=++--()222234=--8234=--423=-()23231=-+()231=-31=-．故选C ．【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．9．（2023秋·山东威海·八年级统考期末）下列多项式，不能用完全平方公式分解的是（）A ．214x x -+B ．22441a b ab -+C ．21025y y +-D ．22111934a ab b++【答案】C【分析】对每个选项进行因式分解即可做出判断．【详解】解：A ．221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，故选项不符合题意；B ．()22244121a b ab ab -+=-，故选项不符合题意；C ．21025y y +-不能用完全平方公式分解，故选项符合题意；D ．2221911321134a b a ab b ⎛⎫=+ ⎝+⎪⎭+，故选项不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．题型四：综合运行公式法因式分解10．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（）A ．26(2)(3)x x x -=-+B ．2221(1)--=-x x xC ．222()x y x y -=-D ．2244(2)x x x ++=+【答案】D【分析】根据公式法分别判断即可．【详解】A ．26(6)(6)x x x -=-+，故原选项错误；B ．22)221(1)(12)(12x x x x x -=--=--+--，故原选项错误；C ．22()()x y x y x y -=+-，故原选项错误；D ．2244(2)x x x ++=+，故原选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．11．（2023秋·湖北荆门·八年级统考期末）因式分解(1)()222224x y x y +-(2)22369xy x y y --【答案】(1)()()22x y x y +-(2)()23y x y --【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()222224x y x y +-()()222222x y xy xy xy=+++-()()22x y x y =+-（2）解：22369xy x y y --()2296y x xy y =--+()23y x y =--【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．12．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）分解因式：(1)()69x x -+；(2)()()2xx y y x -+-；(3)()22214x x +-．【答案】(1)()23x -(2)()()()11x y x x -+-(3)()()2211x x -+【分析】（1）先计算整式的乘法，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先提取公因式x y -，再利用平方差公式分解因式即可；（3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：()69x x -+269x x =-+()23x =-；（2）()()2xx y y x -+-()()2x x y x y =---()()21x y x =--()()()11x y x x =-+-；（3）()22214x x +-()()221212x x x x =+++-()()2211x x =+-．【点睛】本题考查的是因式分解，掌握“利用提取公因式与利用公式法分解因式”是解本题的关键．题型五：因式分解在有理数简算的应用13．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）计算22222111111111123456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）．A ．512B ．12C ．712D ．1130【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式111111111111111111112233445566⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13243546572233445566=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，1726=⨯，712=，故选：C ．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．14．（2022秋·八年级单元测试）利用因式分解简便计算(1)22124252576⨯-⨯(2)2382438144+⨯+【答案】(1)240000(2)2500【分析】（1）先提取公因数25，然后利用平方差公式进行计算即可；（2）根据完全平方公式进行求解即可．【详解】（1）解：22124252576⨯-⨯()222512476=⨯-()()251247612476=⨯+⨯-2520048=⨯⨯500048=⨯240000=；（2）解：2382438144+⨯+22382123812=+⨯⨯+()23812=+250=2500=．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键．15．（2022秋·重庆合川·八年级校考期末）（1）先化简，再求值：()()()22a b a b a b +-++，其中1a =，2b =-；（2）已知()249x y -=，6xy =-，求32232x y x y xy ++的值．【答案】254a ab +，3-；150-【分析】（1）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行同类项的合并，最后代入1a =，2b =-计算即可；（2）先提取公因式，再根据完全平方公式将原式进行因式分解，将原式转换为()24xy x y xy ⎡⎤-+⎣⎦，再将()249x y -=，6xy =-代入计算即可．【详解】解：（1）()()()22a b a b a b +-++=222244a b a ab b -+++=254a ab +，当12a b ==-，时，原式=()542+⨯-=58-=3-；（2）32232x y x y xy ++=()222xy x xy y ++ =()2224xy x xy y xy -++ =()24xy x y xy ⎡⎤-+⎣⎦=()(6)4924-⨯-=150-．一、单选题16．（2023春·全国·八年级专题练习）下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（）A ．22a b -+B ．221625m n -C ．2292016p pq q -+D ．()214a b a b ++++【答案】C【分析】根据平方差公式和完全平方公式因式分解，逐项分析即可．【详解】因为2222()()a b b a b a b a -+=-=+-，能因式分解，所以A 不符合题意；因为221625(45)(45)m n m n m n -=+-，能因式分解，所以B 不符合题意；因为2292016p pq q -+不能因式分解，所以C 不符合题意；因为222111()()()()442a b a b a b a b a b ++++=++++=++，能因式分解，所以D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了公式法因式分解，掌握公式法因式分解的方法是解题的关键．17．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）下列因式分解：①()322412412m m m m -+=--；②()()()421111x x x x -=++-；③()()224a b ab a b -+=+；④()23222a a b ab a a b -+=-，其中结果正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】根据因式分解逐项分析判断即可求解．【详解】解：①()32241243m m m m -+=--，故①不正确；②()()()()()4222111111x x x x x x -=+-=++-，故②正确；③()()222242a b ab a ab b a b -+=++=+，故③正确；④()()23222222a a b ab a a ab b a a b -+=-+=-，故④正确,∴正确的有3个，故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．18．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）下列因式分解正确的是（）A ．2222444(4)4(2)(2)x y x y x y x -+=--=-+-B ．323123(4)a a a a -=-C ．4222241274(3)7x y x y x y x y -+=-+D ．2425(25)(25)a a a -=+-【答案】D【分析】利用提公因式法，公式法进行分解，逐一判断即可解答．【详解】解：A 、2222444()4()()x y x y x y x y -+=--=-+-，故本选项不符合题意；B 、323123(4)3(2)(2)a a a a a a -=-=+-，故本选项不符合题意；C 、4222241274(3)7x y x y x y x y -+=-+，不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、2425(25)(25)a a a -=+-，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了提公因式法与公因式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．19．（2023秋·福建福州·八年级福州三牧中学校考期末）已知a b c 、、是ABC 的三边，且满足()222220a b c b a c ++-+=，则此三角形的形状一定是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形或等腰三角形D ．以上都不对【答案】B【分析】将原式整理为完全平方式，然后根据平方式的非负性即可得出答案．【详解】解：∵()222220a b c b a c ++-+=，∴2222220a b b ab bc c -+++-=，即22()()0a b b c -+-=，∴0a b -=，0b c -=，∴a b c ==，∴此三角形的形状一定是等边三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式及其非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．20．（2023春·全国·八年级专题练习）分解因式(1)211025t t ++；(2)21449m m -+；(3)214y y ++；(4)()()2244m n m m n m +-++；(5)2258064a a -+；(6)()()222a a b c b c ++++．【答案】(1)()215t +(2)()27m -(3)212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(4)()2n m -(5)()258a -(6)()2a b c ++【分析】利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：()221102515t t t ++=+；（2）解：()2214497m m m -+=-；（3）解：221142y y y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭；（4）解：()()()()2222442m n m m n m m n m n m +-++=+-=-；（5）解：()2225806458a a a -+=-；（6）解：()()()2222a a b c b c a b c ++++=++．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．21．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期末）发现与探索．(1)根据小明的解答将21220a a -+因式分解；(2)根据小丽的思考，求代数式21220a a -+的最小值．【答案】(1)()()102a a --(2)16-【分析】（1）将21220a a -+改写为212363620a a -+-+，再根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解；（2）根据题意，将21220a a -+化为()2616a --，即可进行解答．【详解】（1）解：21220a a -+212363620a a =-+-+()2264a =--()()102a a =--；（2）解：21220a a -+212363620a a =-+-+()2616a =--，无论a 取何值()26a -都大于等于0，再加上16-，则代数式()2616a --大于等于16-，则21220a a -+的最小值为16-．【点睛】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握()2222a b a ab b ±=±+，()()22a b a b a b -=+-．一、单选题22．（2023春·山东济南·八年级统考期末）下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（）A ．244x x -+B ．21x x ++C ．2441x x +-D ．221x x +-【答案】A【分析】利用完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±，进而判断得出答案．【详解】解：A 、()22442x x x -+=-，能用完全平方公式进行因式分解；B 、21x x ++，不能用完全平方公式进行因式分解；C 、2441x x +-，不能用完全平方公式进行因式分解；D 、221x x +-，不能用完全平方公式进行因式分解；故选：A ．【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式．23．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）已知a 、b 、c 是ABC 三条边的长，且满足条件()222220a b c b a c ++-+=，则ABC 的形状是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据非负数的性质得到a b c ==，从而得到答案．【详解】解：∵()222220a b c b a c ++-+=，∴2222220a b c ab bc ++--=，∴()()2222220a ab b b bc c -++-+=，∴()()220a b b c -+-=，∵()()2200a b b c -≥-≥，，∴()()2200a b b c -=-=，，∴00a b b c -=-=，，∴a b c ==，∴ABC 是等边三角形，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断，解题的关键在于灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．24．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：1x -，a b -，3，21x +，a ，1x +分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将()()223131a x b x ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A ．我爱数学B ．爱河南C ．河南数学D ．我爱河南【答案】D【分析】先把代数式分解因式，再对照密码手册求解．【详解】解：()()()()()223131311a x b x x x a b ---=+--，所以，结果呈现的密码信息可能是：我爱河南故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，分解因式是解题的关键．25．（2023秋·重庆永川·八年级统考期末）下列分解因式正确的是（）A ．()231x x x x -=-B ．()()22x y x y x y +=+-C ．()()22x y x y x y -=--+－D ．2244121)x x x -+=-（【答案】D【分析】根据提公因式法和公式法分别分解因式，从而可判断求解．【详解】解：A 、应为()()()32111x x x x x x x -=-=+-，故选项错误，不符合题意；B 、22xy +不能分解，故选项错误，不符合题意；C 、22x y --不能分解，故选项错误，不符合题意；D 、()2244121x x x -+=-，故选项正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服．26．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）已知120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，那么，代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（）A ．2022-B ．2022C ．3-D ．3【答案】D【分析】先求解1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，再把原式化为()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦，再代入求值即可．【详解】解：∵120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，∴1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，∴222a b c ab bc ac++---()=++---22212222222a b c ab bc ac ()()()22212a b b c a c =-+-+-⎡⎤⎣⎦()11142=++3=；故选D ．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．27．（2023秋·河北廊坊·八年级统考期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a b -，3x -，3x +，a b +，29x -，22a b -分别对应下列六个字：河，爱，我，香，游，美，现将()()222299x a x b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A ．我爱美B ．香河游C ．我爱香河D ．美我香河【答案】C【分析】将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息．【详解】解：∵()()222299x a x b---()()2229x a b =--()()()()33x x a b a b =+-+-又∵a b -，3x -，3x +，a b +，分别对应下列四个个字：河，爱，我，香，∴结果呈现的密码信息是：我爱香河．故选：C ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用．解题的关键是将多项式因式分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止．28．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）若+=3,+=1a b x y ，则代数式22+2++2 015a ab b x y －－的值是（）A ．2019B ．2017C ．2024D ．2023【答案】D【分析】把所给代数式变形后把+=3,+=1a b x y 代入计算即可．【详解】解：∵+=3,+=1a b x y ，∴22+2++2 015a ab b x y －－()()2+2 015a b x y =+-+231+2 015=-2023=．故选D ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．29．（2022秋·八年级单元测试）已知1x y +=，则2212x y 1xy+2+的值是（）A ．12B ．1C ．2-D ．2【答案】A【分析】首先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，然后将1x y +=代入计算即可．【详解】解：∵1x y +=，∴2212x y 1xy+2+()2212x xy y =+2+()212x y =+2112=⨯12=，故选A ．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，代数式的求值，熟悉相关运算法则是解题的关键．二、填空题30．（2023春·全国·八年级期中）在实数范围内分解因式：28a b b -=______【答案】()()2222b a a +-【分析】首先提取公因式b ，再利用平方差公式分解即可求得答案．【详解】解：原式()28b a =-()()2222b a a =+-．故答案为：()()2222b a a +-．【点睛】本题考查了实数范围内的因式分解，掌握因式分解的步骤是关键．31．（2023春·全国·八年级期中）Rt ABC △的面积为5，斜边长为6，两直角边长分别为a ，b ，则代数式33a b ab +的值为___________．【答案】360【分析】根据两直角边乘积的一半表示出Rt ABC △的面积，把已知面积代入求出ab 的值，利用勾股定理得到2226a b +=，将代数式33a b ab +变形，把22a b +与ab 的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵Rt ABC △的面积为5，∴152ab =，解得10ab =，根据勾股定理得：222636a b +==，则代数式332210363()60a b ab ab a b +=+=⨯=．故答案为：360．【点睛】此题考查了勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．32．（2023春·河北保定·八年级统考阶段练习）已知()222x =+，642y =-．（1）x 的值为______；22x y -的值为______；（2）若22160x nxy y ++=，则n 的值为______．【答案】642+##426+9626【分析】（1）利用完全平方公式求x 的值；利用平方差公式法因式分解求解即可；（2）利用完全平方公式和提公因式法因式分解，将等式分组因式分解成含有x y +、xy 的等式，将x y +、xy 的值代入等式即可求出n 的值．【详解】（1）解：()222x =+()222222+2=+⨯⨯=2+42+4=6+42；()()22=-+-x y x y x y ()()642642642642=++-+-+1282962=⨯=；故答案为：642+；962；（2）22160x nxy y ++= ，2222160x xy y xy nxy ∴++-+=，()()22160x y n xy ++-=，64264212x y +=++-= ，()()642642xy ∴=+-()22642=-3632=-4=；()()22160x y n xy ∴++-=，()21224160n +-⋅=，()2416014416n -⋅=-=，21644n ∴-=÷=，解得6n =，故答案为：6．【点睛】本题考查二次根式的运算、完全平方公式与平方差公式，由于直接代入计算复杂容易出错，因此可以考虑整体代入是解题的关键．33．（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）若3x y +=，5xy =，则22x y xy +的值为______．【答案】15【分析】先提取公因式分解因式，在把3x y +=，5xy =，代入原式计算即可．【详解】解：22x y xy + ()xy x y =+，把3x y +=，5xy =，代入，原式5315=⨯=，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握取公因式分解因式的方法是解题关键．34．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）已知7,2ab a b =+=，则多项式222008a b ab ++的值为_______．【答案】2022【分析】将多项式中含有字母的式子因式分解，然后整体代入可得结果．【详解】解：()2220082008a ab a b b ab =++++，∵7,2ab a b =+=，∴原式7220081420082022=⨯+=+=．故答案为：2022．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是利用整体代入思想解决问题．35．（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）若2463,5,7555m x n x k x =+=+=-，则代数式222222m n k mn mk nk +++--的值为___________．【答案】225【分析】根据完全平方公式因式分解进而即可求解．【详解】解：∵2463,5,7555m x n x k x =+=+=-∴24635715555m n k x x x +-=+++-+=∴222222m n k mn mk nk +++--()2m n k =+-215225==，故答案为：225．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++是解题的关键．三、解答题36．（2023春·广东深圳·八年级期中）分解因式：(1)321025a a a ++；(2)()()224a b a b --+．【答案】(1)()25a a +(2)()()33a b a b --【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可；（2）利用平方差法进行因式分解即可．【详解】（1）解：原式()21025a a a =++()25a a =+；（2）解：原式()()()()22a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=-++--+⎣⎦⎣⎦()()2222a b a b a b a b =-++---()()33a b a b =--．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式和公式法分解因式是解题的关键．37．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）因式分解：(1)()()2222221x x x x -+-+(2)()()22x m n y n m -+-；【答案】(1)4(1)x -(2)()()()m n x y x y -+-【分析】（1）把22x x -看作整体，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式即可；（2）先提取公因式()m n -，再利用平方差公式分解即可．【详解】（1）()()2222221x x x x -+-+()2221x x =-+22(1)x ⎡⎤=-⎣⎦()41x =-（2）()()22x m n y n m -+-()()22m n x y =--()()()m n x y x y =-+-【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．38．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）把一个多项式写成两数和（或差）的平方的形式叫做配方法．阅读下列有配方法分解因式的过程：222210925559a a a a ++=+⨯+-+()2254a =+-()()5454a a =+++-()()91a a =++仿照上面方法，将下式因式分解2627x x --；（2）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：()()2111x x x x x +++++()()111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦()()211x x =++()31x =+①上述分解因式的方法是，共应用了次．②若分解()()()220041111x x x x x x x ++++++⋯++，则需应用上述方法次，结果是．③分解因式：()()()21111nx x x x x x x ++++++⋯++(n 为正整数)．【答案】（1）()()39x x +-；（2）①提取公因式，3；②2005，()20051x +；③()11n x ++【分析】（1）仿照材料中的方法，利用配方法、平方差公式进行因式分解；（2）观察可知，材料中采用了提取公因式法分解因式，()()()21111nx x x x x x x ++++++⋯++经过()1n +次提取公因式，可得()11n x ++．【详解】解：（1）2222627233327x x x x --=-⨯+--()2236x =--()()3636x x =-+--()()39x x =+-；（2）①上述分解因式的方法是提取公因式，共应用了3次；故答案为：提取公因式，3；②若分解()()()220041111x x x x x x x ++++++⋯++，则需应用上述方法2005次，结果是()20051x +，故答案为：2005，()20051x +；③由题意知：()()()21111nx x x x x x x ++++++⋯++()()()11111n x x x x x x -⎡⎤=+++++⋯++⎣⎦()()()221111n x x x x x x -⎡⎤=+++++⋯++⎣⎦()()11n x x =++()11n x +=+．【点睛】本题主要考查分解因式，解题的关键是看懂材料，能够仿照材料中的方法求解．39．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）已知对于任意实数x 代数式2x 的最小值是0，代数式2(3)x -，当3x =时的最小值是0．(1)求代数式21236x x ++的值是最小值时x 的值．(2)判断代数式2123x x -+-的值是有最大值，还是最小值，并求出代数式2123x x -+-的最大值或者最小值【答案】(1)6x =-(2)有最大值，最大值为7136-【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，得出()26x +，即可求解；（2）根据完全平方公式因式分解，进而得出2171636x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，根据2106x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，即可求解．【详解】（1）解：∵21236x x ++()26x =+∴6x =-时，最小值为0；（2）解：∵2123x x -+-2112636x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭2171636x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∵2106x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭∴2123x x -+-7136≤-，有最大值，最大值为7136-【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意凑出平方项是解题的关键．40．（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法，求代数式223x x +-的最小值．22222232113(1)4x x x x x +-=++--=+-，∵2(1)0x +≥，∴当=1x -时，223x x +-有最小值4-．请根据上述方法，解答下列问题：(1)22222610233310()x x x x x a b ++=+⨯+-+=++，则=a ________，b =___________；(2)求证：无论x 取何值，代数式2235x x ++的值都是正数；(3)若代数式227x kx -+的最小值为3，求k 的值．【答案】(1)3，1(2)见解析(3)2k =或2-．【分析】（1）将2610x x ++配方，然后与22610()x x x a b ++=++比较，可得a 与b 的值，则问题得解；（2）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解；（3）二次项系数为1的二次三项式配方时，常数项为一次项系数一半的平方，故先将代数式配方，然后根据代数式227x kx -+的最小值为3，可得关于k 的方程，求解即可．【详解】（1）2610x x ++222233310x x =+⨯+-+=2(3)1x ++∴22(3)1=()x a bx ++++∴3,1a b ==故答案为：3，1（2）证明：2235x x ++22223(3)(3)5x x =+⨯+-+2(3)2x =++，∵2(3)0x +≥∴22350x x ++>∴无论x 取何值，代数式2235x x ++的值都是正数；（3）2222222727()7x kx x kx k k x k k -+=-+-+=--+，∵2()0x k -≥，∴227x kx -+的最小值为27k -+，又∵代数式227x kx -+的最小值为3，∴273k -+=，解得2k =或2-．。
运用平方差公式分解因式
运用平方差公式分解因式平方差公式是一个非常有用的分解因式的工具，它适用于任何两个数的平方差。
平方差公式表示为：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$这个公式的由来非常简单。
如果我们有两个数，a和b，它们的平方差为$a^2-b^2$。
我们可以通过将这个平方差写成乘积的形式，进而分解因式。
让我们通过一个具体的例子来说明平方差公式的使用。
假设我们要分解因式$16x^2-4$。
首先，我们可以发现这个平方差式的第一项是$16x^2$，它是$x^2$的平方，而第二项是$4$，它是$2$的平方。
所以，我们可以将这个平方差式写成$(4x)^2-2^2$的形式。
然后，根据平方差公式，我们可以将平方差式分解为$(4x+2)(4x-2)$。
我们可以验证一下分解是否正确。
将$(4x+2)(4x-2)$乘起来：$(4x+2)(4x-2)=16x^2-4$正好等于原来的平方差式。
另一个例子是$25-a^4$。
我们可以将$25$写成$5^2$的形式，将$a^4$写成$(a^2)^2$的形式。
然后，根据平方差公式，我们可以将平方差式分解为$(5+a^2)(5-a^2)$。
我们可以验证一下分解是否正确。
将$(5+a^2)(5-a^2)$乘起来：$(5+a^2)(5-a^2)=25-a^4$等于原来的平方差式。
可以看出，平方差公式非常方便。
它可以帮助我们将一个平方差式分解为两个因式的乘积，从而更容易处理和计算。
现在让我们来解决一个稍微复杂一些的例子，例如$9x^2-4y^2$。
这个平方差式的第一项是$9x^2$，它是$3x$的平方，而第二项是$4y^2$，它是$2y$的平方。
所以我们可以将这个平方差式写成$(3x)^2-(2y)^2$的形式。
然后，根据平方差公式，我们可以将平方差式分解为$(3x+2y)(3x-2y)$。
我们可以验证一下分解是否正确。
将$(3x+2y)(3x-2y)$乘起来：$(3x+2y)(3x-2y) = 9x^2 - 6xy + 6xy - 4y^2$合并同类项：$=9x^2-4y^2$等于原来的平方差式。
人教版八年级数学 利用平方差公式因式分解PPT课件
–
+
）（
-
）
问题：观察平方差公式：a2－b2=（a+b） （a－b）的项、指数、符号有什么特点？
【练一练】一： 4a2=（ ）2
0.16a4=（ x4 y2=（ ） ）2
25b2=（ ）2
2
a b =（
2
2
）
2
【练一练】二：
下列多项式可以用平方差公式去分 解因式吗？ 为什么？
(1) 4x2+y2
(2) a b–ab=____________________
特殊说明：平方差公式中的字母a、b，可以表示数、含字母的 代数式（单项式、多项式）．
4
4
3
小结：
平方差公式：
a b
2
2
(a b)(a b)
平方差公式因式分解特征： (1)两部分相减
(2)两部分都可写成某数（式）的平方
(3)结果是两数之和与这两数之差的积
公式法因式分解（一）
1.理解平方差公式的意义，弄清平方差 公式的形式和特点；
2.掌握运用平方差公式分解因式的方法， 能正确运用平方差公式把多项式分解 因式（直接用公式不超过两次）
情景导入:
1、同学们，你能很快知道992-1是100 b）（a-b）=__________ 3.你能将a2－b2 分解因式吗？ 你是如 何思考的？
注意:
1.因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考 虑用公式.
2.因式分解进行到每一个因式不能分解为止. 3.计算中应用因式分解,可使计算简便.
(3) －4x2－y2
(2) 4x2－(－y)2
(4) －4x2+y2
(5) a2－4
利用平方差公式进行因式分解
利用平方差公式进行因式分解平方差公式是代数学中的一个重要公式，用于将一个数或表达式的平方差拆分成两个平方的和或差。
利用平方差公式进行因式分解，我们可以简化复杂的表达式，使其更易于计算和理解。
平方差公式的一般形式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)其中，a和b可以是任意实数或变量。
根据这个公式，我们可以将一个平方差的表达式(a^2-b^2)因式分解成两个因子的乘积(a+b)和(a-b)。
下面我们通过一些例子来具体说明如何利用平方差公式进行因式分解。
例子1：将表达式x^2-4因式分解。
根据平方差公式，我们可以将x^2-4写成两个因子的乘积形式：x^2-4=(x+2)(x-2)这样，我们就成功地将x^2-4因式分解成了(x+2)和(x-2)两个因子的乘积。
例子2：将表达式9a^2-16因式分解。
同样地，我们可以利用平方差公式将表达式9a^2-16因式分解：9a^2-16=(3a+4)(3a-4)这里，我们得到了(3a+4)和(3a-4)两个因子的乘积形式。
例子3：将表达式4x^2y^2-25因式分解。
对于这个表达式，我们需要注意到其中的变量有两个，即x和y。
根据平方差公式，我们可以看到4x^2y^2可以看作(2xy)^2，而25可以看作5^2所以，我们可以将表达式4x^2y^2-25因式分解为：4x^2y^2 - 25 = (2xy + 5)(2xy - 5)这样，我们将表达式成功地因式分解成了(2xy + 5)和(2xy - 5)两个因子的乘积。
以上是针对一些简单的表达式的因式分解示例。
实际上，平方差公式可适用于更加复杂的表达式。
通过应用平方差公式，我们可以将多项式、多变量的表达式或更多项的表达式因式分解成更简单的形式，从而更好地理解和计算。
在实际应用中，利用平方差公式进行因式分解也十分常见，特别是在解决方程、化简代数表达式或进行变量替换时。
总结起来，通过利用平方差公式进行因式分解，我们可以将一个数或表达式的平方差拆分成两个平方的和或差，从而简化复杂的代数表达式，使其更易于计算和理解。
华师大版数学八年级上册《用平方差公式进行因式分解》说课稿2
华师大版数学八年级上册《用平方差公式进行因式分解》说课稿2一. 教材分析华师大版数学八年级上册《用平方差公式进行因式分解》这一节，是在学生已经掌握了有理数的乘法、平方根的基础上进行学习的。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它不仅可以简化运算，还可以把一些复杂的代数式进行因式分解。
这一节内容既有理论性，又有实践性，通过学习，让学生体会数学的简洁美，提高他们学习数学的兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和运算能力，他们已经学习过了有理数的乘法、平方根等知识，对代数式有一定的认识。
但是，学生对平方差公式的理解和运用还需要加强，因此，在教学过程中，我们需要引导学生理解平方差公式的推导过程，掌握公式的运用方法。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握平方差公式，学会运用平方差公式进行因式分解。
2.过程与方法：通过学生的自主学习、合作交流，培养学生的探究能力和团队协作能力。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学的简洁美，提高学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的理解和运用，以及因式分解的方法。
2.教学难点：平方差公式的推导过程，以及如何把复杂的代数式进行因式分解。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用自主学习、合作交流的教学方法，让学生在探究中发现问题、解决问题。
同时，我会利用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解和掌握平方差公式。
六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数的乘法、平方根等知识，为学生引入平方差公式。
2.探究：让学生自主探究平方差公式的推导过程，引导学生发现公式的特点。
3.讲解：讲解平方差公式的运用方法，以及如何把复杂的代数式进行因式分解。
4.练习：让学生进行相关的练习，巩固所学知识。
5.总结：对本节课的内容进行总结，让学生明确学习的重点和难点。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出平方差公式的特点和运用方法。
人教版八年级数学上册精品教学课件14.3.2第1课时运用平方差公式因式分解
(2) a3 b ab.
分解因式后，一定要检查是 否还有能继续分解的因式， 若有，则需继续分解.
＝(x2+y2)(x2-y2) ＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1) ＝ab(a+1)(a-1).
分解因式时，一般先用提公 因式法进行分解，然后再用 公式法.最后进行检查.
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ A ） A．-21 B．21 D．10 C．-10
4.把下列各式分解因式：
(4a+3b)(4a-3b) (1) 16a2-9b2=_________________; (2) (a+b)2-(a-b)2=_________________; 4ab 9xy(y+2x)(y-2x) (3) 9xy3-36x3y=_________________; (4) -a4+16=_________________. (4+a2)(2+a)(2-a) 5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值 4 是_____________.
所以，(2n+1)2-25能被4整除.
课堂小结
公
式
a2-b2=(a+b)(a-b)
平方差 公式分 解因式
一提：公因式；
步 骤 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分 解到不能再分解为止.
＝10×3.6
＝36 (cm2) 答：剩余部分的面积为36 cm2.
8. (1)992-1能否被100整除吗？ (2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？ 解：(1)因为 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
北师大版数学八年级下册《利用平方差公式进行因式分解》教学设计
北师大版数学八年级下册《利用平方差公式进行因式分解》教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册《利用平方差公式进行因式分解》这一节，是在学生已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式的基础上进行学习的。
平方差公式的引入，既是对前面所学知识的巩固，又是进一步学习因式分解的重要工具。
本节课的内容主要包括平方差公式的推导、理解和应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握平方差公式的结构特征，学会运用平方差公式进行因式分解，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法和完全平方公式，对因式分解有一定的了解。
但学生在运用平方差公式进行因式分解时，可能会对公式的结构特征和运用方法产生困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，引导学生理解平方差公式的本质，并通过大量的练习，让学生熟练运用平方差公式进行因式分解。
三. 教学目标1.理解平方差公式的结构特征和推导过程。
2.学会运用平方差公式进行因式分解。
3.提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：平方差公式的推导和运用。
2.重点：引导学生理解平方差公式的结构特征，学会运用平方差公式进行因式分解。
3.难点：对平方差公式的灵活运用，解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：讲解平方差公式的推导过程，解释公式的作用。
2.引导法：引导学生通过观察、思考，发现平方差公式的结构特征。
3.练习法：布置适量的练习题，让学生在实践中掌握平方差公式的运用。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示平方差公式的推导过程和应用实例。
2.准备一些练习题，用于课堂练习和巩固知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的数学问题，引入平方差公式的概念。
例如：已知一个正方形的面积是36，求这个正方形的边长。
让学生尝试解决这个问题，从而引出平方差公式。
2.呈现（10分钟）讲解平方差公式的推导过程，解释公式的作用。
通过PPT展示平方差公式的推导过程，让学生直观地理解平方差公式的来源。
初中八年级因式分解常用方法
初中八年级因式分解常用方法因式分解是初中数学中的一个重要概念，对于解决一些数学问题非常有帮助。
以下是初中八年级因式分解的一些常用方法：1. 提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成积的形式。
例如：$3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$2. 公式法：利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ 和完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ 和 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ 进行因式分解。
例如：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$3. 十字相乘法：对于形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的二次方程，如果 $ac <0$，则该方程有两个不相等的实根。
此时，可以将二次项和常数项的乘积与一次项的系数进行十字相乘，从而得到两个一次因式的乘积。
例如：$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$4. 分组分解法：对于一些比较复杂的多项式，可以先分组，然后分别提取各组中的公因式。
例如：$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$5. 双十字相乘法：对于形如 $ax^4 + bx^2 + c = 0$ 的四次方程，如果$ac < 0$，则该方程有两个不相等的实根。
此时，可以将四次项和常数项的乘积与二次项的系数进行双十字相乘，从而得到两个二次因式的乘积。
例如：$x^4 + x^2 - 6 = (x^2 - 3)(x^2 + 2)$以上是初中八年级因式分解的一些常用方法。
通过这些方法，可以有效地将多项式化简，从而更好地解决一些数学问题。
2023八年级数学下册第四章因式分解3公式法第1课时用平方差公式进行因式分解教案(新版)北师大版
- 通过例题，展示平方差公式的应用过程，分析解题思路。
- 对不同类型的题目进行分类解析，让学生掌握各类题型的解题方法。
8. 练习题设计与解析：
- 设计不同难度的练习题，涵盖平方差公式的各种应用场景。
- 对练习题进行详细解析，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。
9. 小组讨论与交流：
3. 成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
五、总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方差公式的概念、推导、应用以及在实际问题中的运用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对平方差公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
重点题型整理
题型一：应用平方差公式进行因式分解
例1：对多项式x^2 - 4进行因式分解。
解答：观察多项式x^2 - 4，符合平方差公式的结构特点，即a^2 - b^2的形式。这里a是x，b是2。因此，应用平方差公式，得到：
x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)。
题型二：解决实际问题中的平方差问题
x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)。
进一步，注意到x^2 - 4可以继续分解，得到：
x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)。
题型五：综合应用平方差公式
例5：对多项式4x^2 - 9y^2进行因式分解。
解答：观察多项式4x^2 - 9y^2，可以看出它是两个平方项的差，即a^2 - b^2的形式。这里a是2x，b是3y。因此，应用平方差公式，得到：
北师大版八年级数学下册4.运用平方差公式因式分解精品课件
2 平方差公式与提公因式法综合运用
例3 计算下列各题：
(1)1012－992；
(2)53.52×4-46.52×4.
解：1012－992
解：53.52×4-46.52×4
＝(101＋99)(101－99) ＝400
＝4×(53.52－46.52) ＝4×(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800.
＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n) ＝4(2m＋n)(m＋2n)．
若用平方差公式分解后的结果中有 公因式，一定要再用提公因式法继 续分解.
பைடு நூலகம்
课程讲授
2 平方差公式与提公因式法综合运用
(2)2x3-8x.
(2)原式＝2x(x2－4) ＝2x(x2－22) ＝2x(x＋2)(x－2)
示数、单项式、还是多项式， 只要被分解的多项式能转化成 平方差的情势，就能用平方差
公式因式分解.
课程讲授
2 平方差公式与提公因式法综合运用
例1 把下列各式因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2;
(2)2x3-8x.
解：(1)原式＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝[3(m＋n)+(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]
课堂小结
运用平方差公 式因式分解
根据
两个数的平方差，等于这两个数的和 与这两个数的差的乘积。
a2-b2=(a+b)(a-b)
与提公因式 法综合运用
①提取公因式；
②运用平方差公式；
③检查多项式的因式分解是否完全，有没
有分解到不能再分解为止.
＝ab(a2-1) ＝ab(a+1)(a-1).
利用平方差公式进行因式分解
利用平方差公式进行因式分解平方差公式是求两个数的差的平方的公式，可以用来进行因式分解。
因式分解是将一个多项式表达式写成一个或多个因子的乘积形式的过程。
平方差公式可以表示为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2接下来，我们可以通过平方差公式进行因式分解的例子。
例子1：将多项式x^2-9进行因式分解。
这个多项式可以写成差的平方的形式：x^2-3^2根据平方差公式，我们知道：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
将x^2-9写成(a+b)(a-b)的形式：x^2-9=(x+3)(x-3)。
例子2：将多项式4x^2-16进行因式分解。
这个多项式可以写成差的平方的形式：4x^2-4^2根据平方差公式，我们知道：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
将4x^2-16写成(a+b)(a-b)的形式：4x^2-16=(2x+4)(2x-4)。
可以看出，通过平方差公式进行因式分解，我们可以将一个多项式写成两个因子的乘积形式。
这在计算和简化表达式时非常有用。
例子3：将多项式x^2+9进行因式分解。
这个多项式不能写成差的平方的形式。
因此，无法使用平方差公式进行因式分解。
需要注意的是，在进行因式分解时，我们需要将多项式写成最简形式。
这意味着我们需要将多项式中的每一项都写成最简形式，并将其合并。
这样才能得到正确的因式分解。
平方差公式可以应用于更复杂的多项式。
只需要将多项式写成差的平方的形式，然后使用平方差公式进行因式分解即可。
总结起来，平方差公式是一种非常有用的工具，可以用来进行因式分解。
通过将多项式写成差的平方的形式，并应用平方差公式，我们可以得到多项式的因子形式，从而简化计算和理解多项式。
4.3.利用平方差公式进行因式分解(教案)-
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平方差公式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，通过分解不同的二次多项式来演示平方差公式的应用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方差公式的概念、重要性及应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平方差公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
不过，我也注意到，对于一些学生来说，将理论知识应用到具体问题中仍然是一个挑战。在实践活动和小组讨论中，我观察到有的小组在解决问题时还是显得有些犹豫不决。这让我意识到，我需要在未来的教学中，更多地设计一些循序渐进的练习，帮助学生巩固知识，提高他们解决实际问题的能力。
此外，我也在思考如何让总结回顾环节更加高效。今天的教学结束时，虽然我邀请学生提问，但响应并不热烈。我考虑在下次课中，尝试让学生自己来总结今天的学习内容，或许这样可以提高他们的参与度和思考的积极性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《利用平方差公式进行因式分解》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在解数学题时是否遇到过需要将一个二次多项式分解成两个一次多项式的乘积的情况？”（如x² - 4）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方差公式的奥秘。
八年级数学下册《利用平方差公式进行因式分解》教案、教学设计
c.各小组展示解题过程和答案，其他小组进行评价和反馈。
（四）课堂练习，500字
1.教学内容：设计不同难度的练习题，让学生在课堂上即时巩固所学知识。
2.教学步骤：
a.教师出示练习题，学生独立完成。
b.教师针对学生的答案进行讲解，分析解题思路和注意事项。
5.教学拓展：
-结合数学史，介绍平方差公式的发现过程，激发学生的学习兴趣。
-引导学生探索平方差公式在其他领域的应用，如物理、几何等，培养学生的跨学科思维能力。
-组织课后研究性学习活动，让学生在更广泛的范围内运用平方差公式，提高学生的实践能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动：教师出示两个连续整数的平方差计算题目，如（a+1）^2 - a^2，让学生尝试计算并思考是否有简化的方法。
5.培养学生具备良好的团队合作精神，学会尊重他人、倾听他人意见。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的代数运算和因式分解方法。在此基础上，他们对平方差公式的学习有以下特点：
1.学生对平方差概念的理解较为模糊，需要通过具体实例和形象生动的教学手段来帮助学生理解。
2.学生在运用平方差公式进行因式分解时，可能存在一定的困难，如对公式的记忆、运用不熟练等，需要教师耐心引导和反复练习。
3.教学过程：
（1）导入新课：通过一个简单的实际例子，如计算两个连续整数的平方差，引出平方差公式。
（2）新课讲解：详细讲解平方差公式的推导过程，强调公式中各部分的含义，以便学生理解。
（3）例题解析：选择具有代表性的例题，引导学生运用平方差公式进行因式分解，并对解题过程进行详细讲解。
利用平方差公式进行因式分解
利用平方差公式进行因式分解平方差公式是一种进行因式分解的重要工具，可以将一个完全平方二项式分解成两个因数的平方差。
平方差公式的表述为：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$在代数学中，平方差公式可以用于因式分解、求解方程、证明恒等式等。
在这篇文章中，我们将详细介绍平方差公式的应用和相关的套路。
首先，让我们从一个简单的例子开始，以便更好地理解平方差公式的原理和用法。
考虑一个完全平方二项式$x^2-9$，我们可以使用平方差公式将其因式分解成两个因数的平方差：$$x^2-9=(x+3)(x-3)$$这里，我们选择$a=x$和$b=3$，然后应用平方差公式得到等式右边的结果。
平方差公式的应用并不限于二次方程，它同样适用于任何次数的多项式。
无论是一个三次方程、四次方程还是更高次数的方程，只要是完全平方的形式，都可以使用平方差公式进行因式分解。
下面，我们通过一个更具体的例子来演示平方差公式的应用。
考虑一个三次方程$x^3-8$，我们可以使用平方差公式将其因式分解成两个因数的平方差：$$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$$这里，我们选择$a=x$和$b=2$，然后应用平方差公式得到等式右边的结果。
通过这个例子，我们可以看到平方差公式的应用范围很广，并不仅限于二次方程。
无论是三次方程、四次方程，或者更高次数的方程，只要是以完全平方的形式出现，都可以使用平方差公式进行因式分解。
除了纯粹的代数运算，平方差公式还可以在解决实际问题中发挥重要的作用。
例如，在物理学中，我们经常会遇到表示速度和加速度的方程，而这些方程往往可以通过因式分解和平方差公式来简化和求解。
总结一下，平方差公式是一种非常重要的工具，可以用于进行代数运算、因式分解、求解方程、解决实际问题等。
通过选择合适的$a$和$b$，应用平方差公式可以将一个完全平方二项式分解成两个因数的平方差。
无论是二次方程、三次方程还是更高次数的方程，只要是完全平方的形式出现，都可以使用平方差公式进行因式分解。
华师大版数学八年级上册《用平方差公式进行因式分解》说课稿
华师大版数学八年级上册《用平方差公式进行因式分解》说课稿一. 教材分析华师大版数学八年级上册《用平方差公式进行因式分解》这一节的内容，是在学生已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式的基础上进行学习的。
平方差公式的引入，既是对完全平方公式的扩展，又是为后续学习多项式的乘法、因式分解等知识打下基础。
在这一节中，学生需要理解平方差公式的含义，并能够运用平方差公式进行因式分解。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生掌握平方差公式的应用，从而提高学生的数学解题能力。
二. 学情分析在八年级的学生中，大部分学生已经掌握了有理数的乘法和完全平方公式，但他们对平方差公式的理解和运用还存在一定的困难。
另外，学生在学习过程中，可能受到之前学习习惯的影响，对于新的学习内容，需要一定的时间去适应和理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解平方差公式的含义，并能够运用平方差公式进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生发现问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握平方差公式的含义，能够运用平方差公式进行因式分解。
2.教学难点：学生对平方差公式的灵活运用，能够解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用讲授法、引导法、实践法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握平方差公式的运用。
同时，利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，丰富教学内容，提高学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何进行因式分解，激发学生的学习兴趣。
2.讲解新课：讲解平方差公式的含义和运用，通过例题和练习题，让学生理解和掌握平方差公式。
3.实践环节：学生自主完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.小组讨论：学生分组讨论，分享各自的学习心得，互相学习和交流。
初中数学：平方差公式法因式分解怎么做？三步观察,一个套路
因式分解就是把一个多项式分解成几个整式相乘的形式。
而公式法因式分解是因式分解法里运用最广泛最灵活的一个。
一个多项式，能够迅速的看出怎么套用乘法公式进行因式分解，这是我们必须具备的数学能力。
今天，方老师就和同学们讲解，怎么运用平方差公式来因式分解。
依据：平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2。
利用平方差公式的逆运算，将多项式a2-b2 变为了两个整式式相乘的形式， a2-b2=(a+b)(a-b)。
这个过程为因式分解，这种因式分解的方法叫平方差公式法。
首先观察和判定，一个二项式具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式？具备以下三个特征条件：
①系数都是平方数，(系数是完全平方数)；②字母指数都要成双，(指数是偶数次方)；
③两项符号相反．(两项符号要一正一负)
总结：如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.
例1、最基础的题型，观察多项式，是否符合条件里的①②③。
然后根据平方差公式的逆运算套用公式，就好。
例2、因式分解的步骤，一般来说，都是一提二套。
先提出公因式2x来，然后再套用平方差公式。
例3、把m+n和m-n看做是一个整体，然后再观察题目，是否符合条件①②③。
计算到最后，需要再提公因式，一定要分解到不能再分为止。
例4、仔细观察题目，多项式也是符合条件①②③的，此题再仿照例3，细心计算，去括号的时候注意符号，别搞错了。
平方差公式法因式分解，其实没有难度，只要平时多练习，多总结，熟能生巧。
北师大版数学八年级下册《利用平方差公式进行因式分解》说课稿7
北师大版数学八年级下册《利用平方差公式进行因式分解》说课稿7一. 教材分析北师大版数学八年级下册《利用平方差公式进行因式分解》这一节，是在学生已经掌握了有理数的乘方、平方差公式、多项式的乘法等知识的基础上进行讲解的。
通过这一节课的学习，让学生能够理解并掌握平方差公式的结构特征，能够运用平方差公式进行因式分解，进一步培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经有了一定的数学基础，对于有理数的乘方、平方差公式、多项式的乘法等知识有一定的了解。
但是，对于平方差公式的灵活运用和因式分解的方法还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，要注重学生对平方差公式的理解，以及让学生通过实践操作，掌握因式分解的方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解平方差公式的结构特征，能够运用平方差公式进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在解决数学问题的过程中，体验到数学的乐趣，增强对数学学习的信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的结构特征，以及运用平方差公式进行因式分解的方法。
2.教学难点：平方差公式的灵活运用，以及因式分解的方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作交流法等，引导学生自主探究，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件，进行直观演示，帮助学生理解平方差公式的结构特征，以及因式分解的方法。
六. 说教学过程1.导入：通过一个具体的例子，让学生尝试进行因式分解，引出平方差公式。
2.自主探究：让学生通过小组合作，探讨平方差公式的结构特征，以及如何运用平方差公式进行因式分解。
3.讲解与演示：教师对学生的探究结果进行讲解和演示，让学生进一步理解平方差公式，以及因式分解的方法。
4.实践操作：让学生进行实际的练习，运用平方差公式进行因式分解。
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(5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法
两个数的平 方差，等于 这两个数的 和与这两个 数的差的积
a²- b² (a+b)(a-b) =
因式分解
例1 ：把下列各式分解因式 (1)1 25b 2 ( 2) x 2 y 2 z 2 4 2 2 2 (3) m 0.01n ( 4) 9 16a 9
1、运用简便方法计算：
1 、 20032 – 9
1 1 1 1 1 2、（1 - 2 ）（1 - 2）（1- 2）×·· （1- 2 ）（1- 2 ） ·× 2 3 4 9 10
3、设n为整数，用因式分解说明(2n+1)2 - 25 能被4整除。
4、若a、b、c是三角形的三边长且满足 (a+b)2-(a-c)2=0，则此三角形是（ A、等腰三角形 C、直角三角形 ）
(1) (2) 1-25b2 x2y2-z2 =12-(5b)2 =(1+5b)(1-5b) =(xy)2-z2 =(xy+z)(xy-z)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 2 2 4 2 2 2 2 （ m） (0.1n) ( m 0.1n)( m 0.1n) (3) m 0.01n 3 3 3 9
(4) -9+16a2 =16a2-9 =(4a)2-32 =(4a+3)(4a-3)
下列多项式能否用平方差公式来分 解因式？
(1) x2 + y2
(2) x2 - y2
(3) -x2+y2 (4) -x2 - y2
(2)(3)能，(1)(4)不能
因式分解： １、 – a4 + 16
2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2
3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
4、 (a-b)n+2 - (a-b)n
新人教版数学八年级上学期多媒体课件
15.5.2.1：利用平方差分解因式
问题:
什么叫多项式的因式分解? 判断下列变形过程，哪个是因式分解？
(1) (x-2)(x-2)=x2- 4
(2) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x
(3) 7m-7n-7=7(m-n-1)
(4)
2- 1 4x
9y2
=(2x+
B、等边三角形 D、不能确定
观察下列各式：1–9 = - 8, 4-16= -12, 9-25=-16, 16-36= -20 ··· ··· （1）把以上各式所含的规律用含n(n为正整数） 的等式表示出来。
（2）按照（1）中的规律，请写出第 10个等式。
本节课你有什么收获？有何 疑惑？你对老师又有何建议 呢？
把下列各式分解因式 ⑴ x2－y2 ⑵ 1－m2 ⑶ －a2＋b2 ⑷ x2－y2 ⑸ －9＋16x2 ⑹ x2－9y2 ⑺ 4x2－9y2 ⑻ 0.09a2－4b2 ⑼ 0.36x2－y2 ⑽ x4－y2 ⑾ x2y2－z2 (12) x2－(x－y)2 (13) 9(x－y)2－y2 (14) (x＋2y)2－(2x－y)2 (15) 16(a＋b)2－9(a－b)2 (16) (a2＋b2)2－a2b2
1 3y
)(2x-
1 ) 3y
问题：你学了什么方法进行分解 因式？ 提公因式法
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y )
(2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1)
(3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a)