51基础_空间向量的坐标运算(理)126
空间向量的坐标与运算
空间向量的坐标与运算空间向量是向量的一种特殊形式，用于表示空间中的位置和方向。
在三维空间中，我们可以用三个坐标轴来表示空间向量的三个分量，分别是x、y和z轴的坐标。
通过对空间向量的坐标进行运算，我们可以进行各种有趣的空间几何计算。
首先，我们来看一下空间向量的表示。
一个三维向量可以表示为(Vx, Vy, Vz)，其中Vx、Vy和Vz分别是向量在x、y和z轴上的坐标。
如果我们在空间中有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，我们可以通过这两点的坐标求出空间向量AB的坐标。
坐标运算是对空间向量的坐标进行运算。
常用的坐标运算有加法、减法、数量乘法和点乘。
首先，让我们来看一下向量的加法和减法。
如果有两个向量A(x1,y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们的坐标和分别是(x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
也就是说，向量的坐标相加就是分别将对应坐标相加。
同样，向量的减法也是使用相同的方式。
接下来，我们来看一下向量的数量乘法。
向量的数量乘法是将向量的坐标分别乘以一个标量。
如果有一个向量A(x, y, z)和一个标量k，那么A乘以k的结果就是(kx, ky, kz)。
最后，我们来看一下向量的点乘。
向量的点乘也叫数量积，结果是一个标量。
如果有两个向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们的点乘结果等于x1*x2 + y1*y2 + z1*z2。
点乘的结果可以用来判断两个向量之间的夹角、平行性等。
除了以上的基本运算外，我们还可以进行其他更复杂的运算，如叉乘、模长计算等。
叉乘是两个向量的乘积，结果是一个新的向量。
叉乘的结果正交于原来的两个向量，并且模长与原向量之积等于原向量之间的夹角的正弦值。
空间向量的坐标和运算在几何学、物理学等许多学科中都有广泛的应用。
通过对坐标的运算，我们可以计算两点之间的距离、判断两个向量之间的关系等。
在计算机图形学、计算机游戏等领域，也经常使用空间向量的坐标和运算来表示和处理三维图形。
空间向量数量积及坐标运算
空间向量数量积及坐标运算在空间解析几何中，向量是研究的重要对象之一，而向量的数量积和坐标运算是向量运算中的基本概念。
本文将介绍空间向量的数量积及其坐标运算方法。
一、空间向量的数量积空间中的向量可以用其坐标表示，记作a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2,z2)，其中a、b分别是空间中的两个向量，xi、yi、zi为它们在笛卡尔坐标系中的坐标。
向量的数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应坐标的乘积之和，即：a ·b = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2其中·表示数量积运算。
性质：1.数量积是实数。
2.数量积的结果等于向量乘积和坐标乘积之和。
3.数量积满足交换律：a · b = b · a。
4.数量积满足分配率：(a + b) · c = a · c + b · c。
二、向量的坐标运算1. 向量的加法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的和记为c，则c的坐标为：x = x1 + x2y = y1 + y2z = z1 + z2即向量的和的每个坐标等于对应向量的坐标之和。
性质：1.向量的加法满足交换律：a + b = b + a。
2.向量的加法满足结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的减法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的差记为c，则c的坐标为：x = x1 - x2y = y1 - y2z = z1 - z2即向量的差的每个坐标等于对应向量的坐标之差。
3. 向量的数乘设k为实数，a = (x, y, z)是空间中的一个向量，ka为向量a的数乘，即ka 的坐标为：x' = k * xy' = k * yz' = k * z性质：1.数乘满足结合律：k(ka) = (k * k')a。
空间向量坐标运算
（1）向量的长度（模）公式
2 2 2 2 | a | a a a1 a2 a3
2 2 2 2 | b | b b b1 b2 b3
b3 b2 b1
注意：此公式的几何意义是表示长方体 的对角线的长度。
空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、
如图建立直角坐标系,长方体ABCD A1B1C1D1中, 已知AB=3,BC=5,AA1 =2, 则各顶点的坐标为:
( 0, 0, 0 ) ( 3, 0, 0 ) A________,B_________ ( 3, 5, 0 ) ( 0, 5, 0 ) C________,D_________
例3 如图，在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 1 中， 1E1 D1F1 A1B1 ， 求 DF1 与 BE1 所成的角 B 4 的余弦值。 解：设正方体的棱长为1，如图建
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则 3 1 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 4
由AP PB OP OA (OB OP)
1 OP (OA OB ) 1
O
z A P B
x1 x2 y1 y2 z1 z2 OP , , . 1 1 1
x
yห้องสมุดไป่ตู้
定比分点的坐标公式:
已知A( x1 , y1 , z1 )、B( x2 , y2 , z2 )、C ( x3 , y3 , z3 ), P是直线AB上的点，且 AP PB, ( R且 1), 则点P的坐标为： x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 . 1 1 1
空间向量运算的坐标表示优质示范课公开课一等奖课件省赛课获奖课件
工具
第三章 空间向量与立体几何
由题目可获取以下主要信息： ①A、B、C 三点坐标已知； ②向量运算的坐标表示； 解答本题可先求出A→B，A→C的坐标，再利用运算性质求解．
工具
第三章 空间向量与立体几何
[解题过程] A→B＝(1,1,0)，A→C＝(－1,0,2) (1)A→B＋A→C＝(1,1,0)＋(－1,0,2) ＝(1－1,1＋0,0＋2) ＝(0,1,2) A→B－A→C＝(1,1,0)－(－1,0,2) ＝(1－(－1)，1－0,0－2) ＝(2,1，－2) A→B·A→C＝(1,1,0)·(－1,0,2) ＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1
工具
第三章 空间向量与立体几何
(1) 根据c与B→C 共线，设c＝λB→C → 根据模列出关系式
→ 求λ (2) 写出ka＋b，ka－2b的坐标 → 利用垂直列关系式 → 求k
工具
第三章 空间向量与立体几何
[规范作答] (1)∵B→C＝(－2，－1,2)，且c∥B→C， ∴设c＝λB→C＝(－2λ，－λ，2λ).2分 ∴|c|＝ －2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3.4分 解得λ＝±1. ∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2).6分
问它们的合力有多大？
工具
第三章 空间向量与立体几何
1．空间向量运算的坐标表达 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量运算 a＋b a－b λa a·b
坐标表示
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3
(1)依题意得 B(0,1,0)，N(1,0,1)． ∴|B→N|＝ 1－02＋0－12＋1－02＝ 3， ∴BN 的长为 3.
空间向量的坐标运算
3.1 空间向量及其运算3.1.3 空间向量的正交分解及其坐标表示【基础知识在线】知识点一 空间向量基本定理★★★考点： 寻找合适的基底来表示题目中的向量 知识点二 单位正交基底★★★ 考点： 用坐标表示向量知识点三 空间直角坐标系★★★★ 考点： 选择合适的位置建系知识点四 空间向量的坐标表示★★★★★ 考点： 能在坐标系下用坐标表示空间向量 能够进行坐标运算【解密重点·难点·疑点】 问题一：空间向量基本定理若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．推论：设C B A O ,,,是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的一个有序实数组(z y x ,,}，使OC z OB y OA x OP ++=．注意：（1） 由定理可知，作为基底的三个向量不共面，因此，基底中不存在零向量. (2)一个基底是一组向量，一个基向量是说基底中的某一向量.(3)空间中三个向量只要不共面，即可作为基底，即空间中的基底是不唯一的；当选定一组基底后，空间中任一向量的表示却是唯一的.问题二:空间直角坐标系的建立和坐标表示空间直角坐标系的建立：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，如图，以点O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴．O —x y z 为空间直角坐标系，O 为坐标原点，向量i ，j ，k 为单位坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．在空间直角坐标系中，坐标平面xOy 上的点的竖坐标为0；坐标平面xOz 上的点的纵坐标为0；坐标平面yOz 上点的横坐标为0．x 轴上的点纵坐标、竖坐标为0，y 轴上的点横坐标、竖坐标为0，z 轴上的点横坐标、竖坐标为0．注意：（1）空间直角坐标系的建立，必须寻求两两垂直且交于一点的直线.（2）表示坐标的三个数据的位置是不能改变的.如若顺序变了，则对应的向量也随之改变.【点拨思维·方法技巧】 一.基底的概念例1已知向量{}c b a ,,是空间的一个基底，那么向量,,-+能构成空间的一个基底吗？为什么？【思维分析】解答该题适用反证法.假设不能构成基底，则共面，利用共面基本定理推出矛盾，从而假设不成立.【解析】 能构成空间一个基底．图3-1-28假设,,-+共面，则存在y x ,,使()()y x -++=,()()y x y x -++=∴.从而由共面向量定理知，c 与b a ,共面． 这与向量{},,是空间的一个基底矛盾． ∴c b a b a ,,-+不共面．【评析】 判断三个向量能否作为基底，关键是正确理解概念，只有空间中三个向量不共面才能构成空间向量的一个基底，常用反证法.变式训练１.有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底.其中正确的命题是（ ）.A.①②B.①③C.②③D.①②③ 答案：C.【解析】对于①“如果向量,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,的关系一定共线”；所以①错误.②③正确二.用基底表示向量例2如图，在三棱柱111C B A ABC -中，设===,,1，M 是B A 1的中点，点N 在CM 上，且4:1:=CM CN ，试用基底},,{表示N C 1.【思维分析】结合图形，利用空间向量的加减和数乘运算，把相关的向量均用基底表示. [解析]M 是B A 1的中点，点N 在CM 上，且4:1:=CM CN ，图3-1-29∴)(21)(21)(11AA BA b c BA AB CA BM CB CM +++-=++=+= .2121)(21c b a a b b c -+=+-++-=418187)2121(4141111-+-=+-+-=+=+=∴A C C .c【评析】(1)空间中的一组基底可以表示任意的向量，在选定的基底下，某一向量的表达形式是唯一的.(2)注意结合图形，灵活应用向量的基本运算和三角形、平行四边形法则. (3)用基底表示向量要彻底，不可在有其他向量，只含基底中的向量. 变式训练2．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，=a ，=b ，1=c ，P 是1CA 的中点，M 是1CD 的中点，N 是11D C 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1=QA CQ用基底{、、}表示以下向量：（1），（2），（3）．[解析]（１）()()c b a AD AB AA AC AA AP ++=++=+=21)(212111； （２）C D AA D D A AA ++=++=++=21211111111； （３）)(51511111AA A A AA -+=+=+= AA 545151515151)(511++=-++=-++=三.求点和向量的坐标例3如下图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标．图3-1-30【思维分析】分别以 AB 、AD 、AA 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，找出各顶点到x,y,z 轴的距离．[解析]分别以 A B 、AD 、AA 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，找出各顶点到x,y,z 轴的距离,这个距离恰是正方体的棱长，所以各顶点的坐标是：A （0,0,0），B （2,0,0），C （2,2,0），D （0,2,0），A 1（0,0,2），B 1（2,02，）C 1（2,2,2），D 1（0,2,2）．【评析】（1）建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量寻找三条互相垂直且交于一点的直线，如果找不到，要想办法构造．（2）找出各点在坐标轴上的射影，便于得到该点的坐标，但要注意符号． 变式训练3．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB ，PC 的三等分点且PN ＝2NC ，AM ＝2MB ，PA ＝AB ＝1，求 MN 的坐标．[解析] ∵PA=AB=AD=1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ， ∴可设 ,,,=== 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵MN ＝MA →＋AP →＋PN ＝－23 AB ＋AP →＋23PC →图3-1-31图3-1-32＝－23AB ＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB )=13AP ＋23AD → 3132+= .31,0,32⎪⎭⎫⎝⎛=∴【课后习题答案】 练习（第94页）1.答案：向量c 一定可以与q p ,一起构成空间的另一个基底. 解析：-=+=, 与,共面，只有c 不与,共面.2. 答案：点,,,O A B C 四点共面.解析：,, 不构成空间的一个基底，,,∴共面，C B A O ,,,∴四点共面.3.(1)答案：C B B O +-='-='++=',,; 解析： （2）答案：1122OG a b c =++ 解析：()B B 212121++='++=+=.【自主探究提升】夯实基础1.若向量{},,是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ） A.3,2, B.+++,, C.93,32,2-++ D.,,++ 答案：C.提示：在C 选项中()(),3232393c b b a c a +-+=-由共面定理知，此三个向量共面. 2.以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若{}c b a ,,为空间向量的一组基底，则c b a ,,全不是零向量 C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是0=⋅AC ABD ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 答案 B提示： 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是0=⋅AC AB ，可能是0=⋅BA BC ，也可能是0=⋅CB CA ，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B.3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G在线段MN 上，且2=，现用基组{},,表示向量，有=x z y ++，则= ．答案 :313161++.提示：313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 4. 设O-ABC 是四面体，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上的一点，且13GG OG =，若OG ＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则()z y x ,,为( ) A ．(14，14，14) B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)答案 A 提示：()114343AG OG +==()()()[]-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+=414321324343OC OB OA 414141++=.＝14OA →＋14OB →＋14OC →.故选A. 5．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，设===1,,，F E ,分别是BD AD ,1的中点．（1）用向量 c b a ,,，表示1,D B EF；（2）若c z b y a x F D ++=1，求实数.,,z y x解 （1）1D B =1D D +DB = - 1AA +EF =EA +AF =121D A +12AC ()()()AA +=+++-=2121211.(2) 1D F = 111()2AA AB AD -+-111()2AA AB D D =-+-c b a --=2121,.1,21,21-=-==∴z y x拓展延伸6．在以下3个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量,,不能构成空间的一个基底，则,,共面；②若两个非零向量b a ,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则b a ,共线； ③若,是两个不共线向量，而()0,≠∈+=λμμλμλ且R ，则{},,构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C 提示：命题①，②是真命题，命题③是假命题．7．若{}c b a ,,是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( ) A ．3,2,a,2b,3c B ．+++,, C ．93,32,2-++ D ．,,++AC1A1C图3-1-33答案 C提示：()()()09332323=-++++-c a c b b a 即三向量c a c b b a 93,32,2-++共面. ∴选C.8. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，点O 为1AC 与1BD 的交点，1CC z y x ++=，则x ＋y ＋z ＝________.答案 32,提示：()12121CC ++==． 9. 从空间一点P 引出三条射线PC PB PA ,,，在PC PB PA ,,上分别取,,,===，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝__________________. 答案: ().2132c b a ++-10.（2009.四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 .解析：不妨设棱长为2，选择基向量{},,1，则11121,BB BC BM BA BB AB -=-=()5222111-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=BB BB05220220=--+-=，故填写o 90.11.已知三棱锥A —BCD.1BAB 1AC1CM图3-1-34(1)化简()AD AC AB -+21并标出化简结果的向量； (2)设G 为△BCD 的重心，试用AD AC AB ,,表示向量.解析：设AB ，AC ，AD 中点为E ，F ，H ，BC 中点为P. (1)1(2AB ＋AC →－AD →)＝AE → ＋AF = AP －AH →＝HP →. （2）AG ＝AP →＋PG → = AP →＋13PD →= AP →＋13(AD →－AP →)＝23AP →＋13AD →＝()312132++⨯ ＝13( AB ＋AC →＋AD →)．12.在直三棱柱111O B A ABO -中，∠AOB=2π424===|，D 为11B A 的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求1,DO A B的坐标.解析：∵11(),DO OD OO O D =-=-+11111[()]222OO OA OB OO OA OB =-++=--- 又1||OO = 4，|OA →|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2， ∴DO →＝(－2，－1，－4)， ∴1A B ＝ (－4,2，－4)．13. 在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：异面直线BA 1与AC 所成的角. 解析：因为BC AB AC BB BA BA +=+=,11, 所以)()(11+∙+=∙ =BC BB AB BB BC BA AB BA ∙+∙+∙+∙11ABO1A1OD图3-1-35 图3-1-36因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， 所以BB ∙=∙1,0=0, AB BA BC BB ∙=∙,01=-a 2. 所以AC BA ∙1=-a 2.又,,cos 11><=∙BA .2122,cos 21-=⨯->=<a a a AC BA 所以〈AC BA ,1〉=120°. 所以异面直线BA 1与AC 所成的角为60°．图3-1-37。
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的知识点，它为我们解决空间几何问题提供了全新的思路和方法。
接下来，就让我们一起深入了解一下空间向量的相关知识。
一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量。
它与平面向量类似，但存在于三维空间中。
一个空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，若向量的起点坐标为\（（x_1,y_1,z_1)＼），终点坐标为\（（x_2,y_2,z_2)＼），则该向量的坐标为\（（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＼）。
零向量：长度为\（0\）的向量，其方向任意。
单位向量：长度为\（1\）的向量。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法运算遵循三角形法则和平行四边形法则。
若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1z_2)＼）2、数乘运算若\（＼lambda\）为实数，＼（＼overrightarrow{a} ＝（x,y,z)＼），则\（＼lambda\overrightarrow{a} ＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＼）数乘运算的规律：＼（＼lambda （＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b}）＝＼lambda\overrightarrow{a} ＋＼lambda\overrightarrow{b}＼）3、数量积空间向量的数量积\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼）若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ x_1x_2 ＋ y_1y_2 ＋ z_1z_2\）数量积的性质：＼（＼overrightarrow{a} ＼perp ＼overrightarrow{b} ＼Leftrightarrow ＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ 0\）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{a} ＝｜＼overrightarrow{a}｜＾2\）4、向量积空间向量的向量积\（＼overrightarrow{a} ＼times ＼overrightarrow{b}＼）是一个向量，其模长为\（｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼sin ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼），方向垂直于\（＼overrightarrow{a}＼）和\（＼overrightarrow{b}＼）所确定的平面，遵循右手定则。
空间向量及其运算的坐标表示
,
解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),
(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
2.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=
间坐标系的转换.
二、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代
数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐
标及其运算.
探究新知
一、空间直角坐标系与坐标表示
1.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底 , , ,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它
们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
解:(1)∵ =(-2,-1,2)且 c∥ ,
∴设 c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
∴|c|= (-2)2 + (-)2 + (2)2 =3|λ|=3,解得 λ=±1.
空间向量坐标运算
空间向量坐标运算空间向量是指具有大小和方向的直线段，在三维空间中通常用坐标表示。
空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。
下面将详细介绍这些运算。
1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 加法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的和的坐标为(u1+v1, u2+v2, u3+v3)；- 减法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的差的坐标为(u1-v1, u2-v2, u3-v3)。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 数量乘法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，实数k，则向量u 乘以k的坐标为(k*u1, k*u2, k*u3)。
3. 向量的点乘向量的点乘又称为内积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个标量（实数），其计算公式如下：- 点乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的点乘的结果为u1*v1 + u2*v2 + u3*v3。
4. 向量的叉乘向量的叉乘又称为外积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个新的向量，其计算公式如下：- 叉乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的叉乘的坐标为((u2*v3 - u3*v2), (u3*v1 -u1*v3), (u1*v2 - u2*v1))。
通过以上的描述可以看出，向量的加法、减法、数量乘法都是按照对应位置进行运算，只要对应坐标进行相加、相减或乘以相同的实数即可。
点乘和叉乘则需要对应坐标进行特定的运算。
需要注意的是，向量的坐标运算不关心向量的起点和终点，只关心向量的大小和方向。
空间向量运算的坐标表示(一)
10
a b 2 b2,a3 b3( R)
rr
rr
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a,b都不是零向量) 5
练习1:已知
a
(2,3,5),
b
(3,1,4),
求 a b, a b,8a, a b
1 4
,
1
,
xuuuur
DF1
0
,
1 4
，1
(0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1 .
uuuur uuuur BE1 gDF1
0
0
1 4
1 4
1
1
15 16
,
uuuur uuuur
15
uuuur | BE1 |
17 uuuur 4 , | DF1 |
17 . 4
cos
uuuur BE1
,
uuuur DF1
|
uuBuuEr 1 BE1 |
gDuFuu1ur | DF1
|
16 15 . 17 17 17
继续
44 8
（课本例 6）如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E ， F 分别是 BB1 ， D1B1 中点，求证： EF DA1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1， uuur uuur uuuur
空间向量运算的坐标表示
在空间恰当地选取基底,那么空间任一向量都可用基 向量来表示,这样处理不仅可以使解题的目标变得明确,思 考的方向性强,而且使问题的解决变得简洁(因为有关的运 算可完全转化为基向量的运算来处理).
还能不能使解题进一步简化呢？？？
我们知道，平面向量可用有序实数对 ( x, y) ─坐标来表 示，平面向量的运算就可以完全用坐标 ( x, y) 来进行，从而 使问题解决变得更简洁.试利用空间向量的单位正交基底,
空间向量坐标运算
——空间直角坐标系. 空间向量的直角坐标运算.
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位 向量 i 、 j作为基底 ， 任作一个向量a ，
y 由平面向量基本定理知 ， 有且只有一对实数x 、y 使得 a xi yj yj 我们把 ( x, y) 叫做 j 向量 a 的坐标
O
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1) a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
求 a b , a b ,8a, a b
解:
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40) a b (2, 3,5) (3,1, 4) 29
x
点 O 叫做原点 ,向量 i 、 j 、k 都叫做坐标向量 ， 通过每两个坐标轴的平 面叫做坐标平面 ，
分别称为 xOy 平面，yOz 平面， zOx 平面。
作空间直角坐标系 O xyz 时，
一般使 xOy 135 (或 45 ), yOz 90
在空间直角坐标系中 ， 让右手拇指
a
i
xi
x
如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直 ， 且长都为 1，则这个基底 叫做单位正交基底， z
常常用 i, j, k 来表示。
以点O 为原点， 分别以i 、 j 、k 的方向 为正方向建立三条数轴 ：x 轴、y 轴、 k z 轴， 它们都叫做坐标轴 。
这时我们说建立了一个
i
O
j
y
空间直角坐标系 O xyz，
结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
空间向量运算的坐标表示 课件
则有 E(0,0，12)、F(12，12，0)、C(0,1,0)、C1(0,1,1)、
B1(1,1,1，)、G(0，34，0)．
(1)E→F＝(12，12，0)－(0,0，12)＝(12，12，－12)， B→1C＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1，0，－1)． ∴E→F·B→1C＝12×(－1)＋12×0＋(－12)×(－1)＝0，∴E→F⊥B→1C，即 EF⊥B1C.
空间向量运算的坐标表示
1．空间向量运算的坐标表示 设{i，j，k}为单位正交基底，即i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)，在此基 底下，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，即a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋ b3k ， 根 据 向 量 线 性 运 数 与 数 量 积 运 算 的 定 义 及 运 算 律 ， 可 得 出 a±b ， λa ， a·b，a⊥b，a∥b，|a|及cos〈a，b〉的坐标表示．
(1)空间向量的线性运算及数量积的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①a＋b＝__(a_1_＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)_____________； ②a－b＝__(a_1_－__b_1_，__a_2－__b_2_，__a_3_－__b_3)_____________； ③λa＝__(_λa_1_，__λ_a_2_，__λ_a_3)_(_λ∈__R__) ________________； ④a·b＝__a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_____.
当图形中的点不方便用坐标表示时，可直接设出向量的基底，将各条件、结论 中涉及的向量表示为基底的线性组合，再运用向量线性运算及内积运算的规则 进行推理、计算，最后转化为相应几何结论． 3．已知两向量夹角为锐角或钝角，求参数取值范围时，要注意共线的情形．
空间向量的坐标和运算
空间向量的坐标和运算一、空间向量的坐标和运算1、空间直角坐标系在单位正方体$OABC$-$D$′$A$′$B$′$C$′中，以$O$点为原点，分别以射线$OA$，$OC$，$OD$′的方向为正方向，以线段$OA$，$OC$，$OD$′的长为单位长，建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴。
这时我们说建立了一个空间直角坐标系$Oxyz$，其中点$O$叫做坐标原点，$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$xOy$平面、$yOz$平面、$xOz$平面。
2、空间向量的坐标一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如$A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}$=$(x_2-x_1$,$y_2-y_1$,$z_2-z_1)$。
3、空间向量的坐标运算设$\boldsymbol a(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol b(x_2,y_2,z_2)$，则（1）$\boldsymbol a+\boldsymbol b$=$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。
（2）$\boldsymbol a-\boldsymbol b$=$(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。
（3）$\boldsymbol a·\boldsymbol b$=$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
（4）$|\boldsymbol a|=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$。
（5）$λ\boldsymbol a=（λx_1,λy_1,λz_1）$。
4、空间向量平行（共线）与垂直的充要条件设非零向量$\boldsymbol a(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol b(x_2,y_2,z_2)$，则$\boldsymbol a∥\boldsymbolb\Leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ(λ∈\mathbf {R})$。
空间向量及其运算的坐标表示
平面向量
平面向量的坐标运算： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 );
空间向量
空间向量的坐标运算： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 );
空间向量
空间向量的夹角： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) ab cos a,b | a || b | x1 x2 y1 y2 z1 z 2 2 2 2 2 2 x1 y1 z12 x2 y2 z 2
垂直与平行： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) x1 y1 z1 a // b (?) x2 y 2 z 2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2 0
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 （3）中点坐标公式： ( , , ) 2 2 2
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
垂直与平行： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a // b x1 y2 x2 y1 0 a b x1 x2 y1 y2 0
对比表4
平面向量
平面向量基本定理： 如果e1 , e 2是同一平面内的两个不 共线 的向量，那么对于这个 平面内的任一 向量a，有且仅有一对实数 x, y，使a xe1 ye 2 .
向量的坐标运算公式
向量的坐标运算公式向量的坐标运算是数学中的重要概念，它可以帮助我们描述和解决各种实际问题。
在这篇文章中，我们将深入探讨向量的坐标运算，从而更好地理解和应用它们。
让我们来了解一下什么是向量。
向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在二维空间中，一个向量可以由它在水平轴上的坐标和垂直轴上的坐标表示。
例如，向量v可以表示为(vx, vy)，其中vx 是水平方向上的坐标，vy是垂直方向上的坐标。
接下来，我们来看一下向量的加法运算。
当我们将两个向量相加时，只需要将它们对应的坐标相加即可。
例如，如果有两个向量a和b，它们的坐标分别为(ax, ay)和(bx, by)，那么它们的和向量c的坐标可以表示为(cx, cy)，其中cx = ax + bx，cy = ay + by。
除了加法运算，我们还可以进行向量的数乘运算。
数乘运算指的是将一个向量与一个标量相乘，即将向量的每个坐标都乘以这个标量。
例如，如果有一个向量a，它的坐标为(ax, ay)，而一个标量k，那么将向量a与标量k相乘得到的新向量b的坐标可以表示为(bx, by)，其中bx = k * ax，by = k * ay。
我们还可以进行向量的减法运算。
向量的减法运算可以看作是向量加法运算的逆运算。
当我们将一个向量b从另一个向量a中减去时，只需要将b的坐标的相反数加到a的坐标上即可。
例如，如果有两个向量a和b，它们的坐标分别为(ax, ay)和(bx, by)，那么它们的差向量c的坐标可以表示为(cx, cy)，其中cx = ax - bx，cy = ay - by。
我们来讨论一下向量的模。
向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算得到。
在二维空间中，一个向量的模等于它的坐标的平方和的平方根。
例如，如果有一个向量a，它的坐标为(ax, ay)，那么它的模表示为|a| = √(ax^2 + ay^2)。
通过以上的讨论，我们对向量的坐标运算有了更深入的了解。
空间向量及其坐标的运算(精讲) 讲义
1.3 空间向量及其坐标的运算1.空间向量的坐标表示(1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x，y，z)．(2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则OP的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.2．空间向量的坐标运算3．(1)空间向量a，b，其坐标形式为：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)a·a＝|a|2＝222 123 a a a++.3.空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则【题型精讲】考点一坐标的运算【例1】（1）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）设,x y R∈，向量(,1,1),b(1,,1),c(2,4,2)a x y===-，,ca c b⊥，则||a b+=（）A．B C．3D．4（2）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）已知空间向量()1,0,1a =，()1,1,b n =，3a b ⋅=则向量a 与bλ（0λ≠）的夹角为（ ）A ．6πB ．6π或56πC ．3πD ．3π或23π 【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列向量中与向量()010a =，，平行的向量是（ ）A ．()100b =，， B ．()010c =-，，C ．()111d =--，，D ．()001e =-，，2．（2020·全国高二课时练习）已知向量()1,0,1a =，()2,0,2b =-，若()()2ka b a kb +⋅+=，则k 的值等于（ ）A ．1B ．35C ．25D ．153．（2020·广西北流市实验中学高一期中）在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是( )A ．（2,1,3）B ．（﹣2,﹣1,3）C ．（2,1,﹣3）D ．（2,﹣1,﹣3）4．（2020·全国高二课时练习）已知(1,1,2),(6,21,2)a b m λλ=+=-.（1）若//a b ，分别求λ与m 的值；（2）若||5a =，且与(2,2,)c λλ=--垂直，求a .考点二 坐标运算在几何中的运用【例2】（2020·全国高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M ，N 分别是AA1，CB1的中点.（1）求BM ，BN 的长. （2）求△BMN 的面积.【玩转跟踪】1．（2020·天水市第一中学高二月考（理））如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，2CA CB=，13CC CB=，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）.A． B．C． D ．2352．（2020·全国高二课时练习） 在直三棱柱ABOA1B1 O1中，∠AOB ＝π2 ，AO ＝4，BO ＝2，AA1＝4，D 为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求1,DO A B 的坐标．考点三 最值问题【例3】（2020·全国高二课时练习）已知点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，则A ，B 两点的距离的最小值为（ ）B． C．D ．35【玩转跟踪】1．（2020·江西高安中学高一期中（理））已知()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．241,,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．58,1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．258,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知点(1,2,3)A ，(2,1,2)B ，(1,1,2)P ，(0,0,0)O ，点Q 在直线OP 上运动，当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为________________．。
空间向量及其运算(理科 )
空间向量及其运算（理科 ）一、 学习目标：1、知识与技能：了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示，用向量的数量积判断向量的共线与垂直2、过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。
3、情感、态度、价值观：增强数学学习信心，体会数学的科学价值，获得学习的快乐。
二、知识梳理：：已知向量111222(,,),(,,)x y z x y z ==a b1、±=a b2、λa =3、⋅a b =4、共线向量定理：（1）//a b ()≠⇔0b ⇔（2）//a b 222(0)x y z ≠⇔ （3）与)0(≠a a 共线的单位向量是5、共面向量定理：6、空间向量分解定理：7、空间向量b a ,的数量积（1）夹角 ；（2）两个向量b a ,数量积的定义： ；（3）两个向量b a ,数量积的性质 ， ， ， 。
（4）数量积满足的运算律： ， ， 。
8、两个向量的夹角及长度的计算：设),,(),,,(321321b b b b a a a a ==，= ________，cos<b a ,>= ____________三、基础训练： （1）在空间四边形OABC 中，,,,OA OB OC ===a b c 点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 是BC 的中点，则MN = .（2）已知,R λ∈a 为非零向量，则下列结论正确的是（ ）（A ）λa 与a 同向 （B ）|λa |=λ|a | （C ）（λa ）//a (D) |λa |=|λ|a（3）设非零向量a ，b ，c ，,||||||=++a b c p a b c 那么||p 的取值范围是（ ） （A ）[0,1] （B ）[1,2] （C ）[0,3] (D) [1,3]（4）在平行六体ABCD A B C D ''''-中,AB=4,AD=3,5,AA '=90BAD ∠=,BAA '∠=60DAA '∠=则AC '的长度为四、合作、探究、展示：例1、如图所示，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，,,AB AD ==a b ,AA '=c P 是CA '的中点，M 是CD '的中点，N 是C D ''的中点，点Q 在CA '上，且:4:1,CQ QA '=用基底{a ，b ，c }表示以下四个向量：（1）;AP （2）;AM （3）;AN （4）AQ例2、 棱长为1的正方体111111BB BD,,DD G F E 分别是，，中，D C B A ABCD -的中点。
空间向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直．3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．1．空间向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3．2．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )；a ⊥b ⇔a ·b|a |＝a ·a cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1122a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23. 3．空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则A ，B 两点间的距离d ＝|AB →|1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间向量a ＝(1，1，1)的长度为1.( )(2)若向量a·b ＝0，则向量a 与向量b 垂直．( )(3)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3.( ) (4)任给向量a ，b ，都有a·b ≤|a ||b |.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( )A ．a ＋b ＝(10，－5，－6)B ．a －b ＝(2，－1，－6)C ．a ·b ＝10D ．|a |＝6答案：D3．已知A (3，3，3)，B (6，6，6)，O 为原点，则OA→与BO →的夹角是( )A ．0B ．πC.3π2 D ．2π答案：B4．已知a ＝(2，1，3)，b ＝(－4，5，x )，若a ⊥b ，则x ＝________． 答案：1探究点一 空间向量的坐标运算已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为A (2，－4，1)，B (3，2，0)，C (－2，1，4)，D (6，3，2)．求满足下列条件的点P 的坐标．(1)OP→＝2(AB →－AC →)；(2)AP →＝AB →－DC →. [解] (1)AB→－AC →＝CB → ＝(3，2，0)－(－2，1，4)＝(5，1，－4)，所以OP→＝2(5，1，－4)＝(10，2，－8)， 所以点P 的坐标为(10，2，－8)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP→＝(x －2，y ＋4，z －1)． 又AB→＝(1，6，－1)，DC →＝(－8，－2，2)， 所以AB→－DC →＝(9，8，－3)， 所以(x －2，y ＋4，z －1)＝(9，8，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝9，y ＋4＝8，z －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝4，z ＝－2，所以点P 的坐标为(11，4，－2)．向量的坐标即终点坐标减去起点坐标所得的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．1.(1)设向量a ＝(2，1，6)，b ＝(－8，－3，2)，则①3a －4b ＝________；②12a ·b ＝________．(2)已知△ABC 中，A (2，－5，3)，AB→＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，求顶点B 、C 的坐标及CA →.解：(1)①3a －4b ＝3(2，1，6)－4(－8，－3，2)＝(6，3，18)－(－32，－12，8)＝(38，15，10)．故填(38，15，10)．②12a ·b ＝12[2×(－8)＋1×(－3)＋6×2]＝12×(－7)＝－72.故填－72.(2)设B (x ，y ，z )，C (x 1，y 1，z 1)，所以AB →＝(x －2，y ＋5，z －3)，BC →＝(x 1－x ，y 1－y ，z 1－z )．因为AB →＝(4，1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4，y ＋5＝1，z －3＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－4，z ＝5.所以B 的坐标为(6，－4，5)．因为BC →＝(3，－2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x1－6＝3，y 1＋4＝－2，z 1－5＝5解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9，y 1＝－6，z 1＝10.所以C 的坐标为(9，－6，10)，CA →＝(－7，1，－7).探究点二 坐标形式下的平行与垂直已知空间三点A (－2，0，2)、B (－1，1，2)、C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .[解] (1)因为BC →＝(－2，－1，2)且c ∥BC →，所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )，所以|c |＝ （－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1.所以c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)．(2)因为a ＝AB→＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)， 所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0.解得k ＝2或k ＝－52.将本例(2)中“若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直”改为“若k a ＋b 与a ＋k b 互相平行”，其他条件不变，求k 的值．解：a ＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)，b ＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)，所以k a ＋b ＝(k ，k ，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)． a ＋k b ＝(1，1，0)＋(－k ，0，2k )＝(1－k ，1，2k )，因为k a ＋b 与a ＋k b 平行，所以k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －1，k ，2)＝λ(1－k ，1，2k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1＝λ（1－k ），k ＝λ·1，2＝λ·2k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，λ＝1.(1)平行与垂直的判断①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线；②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用①适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程；②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．2.设a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .解：k a ＋b ＝(k －2，5k ＋3，－k ＋5)．a －3b ＝(1＋3×2，5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)因为(k a ＋b )∥(a －3b )，所以k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)因为(k a ＋b )⊥(a －3b )，所以(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063.探究点三 向量夹角与长度的计算如图所示，正四棱锥S -ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，O 为底面ABCD 的中心．(1)求CE 的长；(2)求异面直线BE 与SC 所成角的余弦值．[解] 如图，以O 为原点，以OA→，OB →，OS →所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．因为侧棱长为2，底面边长为3，E 为SA 的中点，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0，0，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，22， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫64，0，24. (1)CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫364，0，24， 所以|CE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3642＋02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫242 ＝142，即CE ＝142.⎝⎭SC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－62，0，－22， 所以cos 〈BE →，SC →〉＝BE →·SC →|BE →|·|SC →|＝－12×2＝－12， 故异面直线BE 与SC 所成角的余弦值为12.运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；(4)转化：转化为几何结论．3.(1)已知a ＋b ＝(2，2，23)，a －b ＝(0，2，0)，则cos 〈a ，b 〉＝( )A.13B.16C.63D.66(2)已知△ABC 的顶点分别为A (1，－1，2)，B (5，－6，2)，C (1，3，－1)，则边AC 上的高BD ＝( )A ．5 B.41C ．4D ．2 5解析：(1)选C.由已知得a ＝(1，2，3)，b ＝(1，0，3)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1＋0＋36×4＝63. (2)选A.设AD→＝λAC →(λ∈R )，因为AC →＝(0，4，－3)，所以AD →＝(0，4λ，－3λ)．又AB→＝(4，－5，0)， 所以BD→＝AD →－AB →＝(－4，4λ＋5，－3λ)． 由AC →·BD →＝0，得λ＝－45，所以BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，95，125，所以|BD→|＝5，即BD ＝5.1．判断空间两向量(直线)平行与垂直的思路(1)空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的．(2)判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直．2．特殊向量的坐标表示(1)当向量a 平行于x 轴时，纵坐标、竖坐标都为0，即a ＝(x ，0，0)(x ∈R )；(2)当向量a 平行于y 轴时，横坐标、竖坐标都为0，即a ＝(0，y ，0)(y ∈R )；(3)当向量a 平行于z 轴时，横坐标、纵坐标都为0，即a ＝(0，0，z )(z ∈R )；(4)当向量a 平行于xOy 平面时，竖坐标为0，即a ＝(x ，y ，0)(x ，y ∈R )；(5)当向量a 平行于yOz 平面时，横坐标为0，即a ＝(0，y ，z )(y ，z ∈R )；(6)当向量a 平行于xOz 平面时，纵坐标为0，即a ＝(x ，0，z )(x ，z ∈R )．1．已知a ＝(1，1，0)，b ＝(0，1，1)，c ＝(1，0，1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－2解析：选A.因为p ＝a －b ＝(1，0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0，3，1)，所以p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.2．已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a ·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( )A.5π6B.2π3C.π3D.π6解析：选D.因为a ·b ＝x ＋2＝3，所以x ＝1.所以b ＝(1，1，2)．所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |所以a 与b 的夹角为π6.3．已知点A (－1，3，1)，B (－1，3，4)，若AP→＝2PB →，则点P 的坐标是________．解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP→＝2PB →，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1，3，3)． 答案：(－1，3，3)4．已知向量a ＝(x ，4，1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，且a ∥b ，b ⊥c .(1)求向量a ，b ，c ；(2)求向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1， 解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2，4，1)，b ＝(－2，－4，－1)．又由b ⊥c 得b·c ＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z )＝－6＋8－z ＝0，得z ＝2，此时c ＝(3，－2，2)．(2)由(1)得，a ＋c ＝(5，2，3)，b ＋c ＝(1，－6，1)，因此向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角θ的余弦值为cos θ＝5－12＋338×38＝－219.[A 基础达标]1．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，则|3a ＋b |为( ) A.15 B ．4C ．5 D.17解析：选D.3a ＋b ＝3(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(3，3，0)＋(－1，0，2)＝(2，3，2)，故|3a ＋b |＝4＋9＋4＝17.2．若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x 的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．1解析：选A.因为c －a ＝(0，0，1－x )，2b ＝(2，4，2)， 所以(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝2－2x ＝－2.所以x ＝2.3．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1，2，－3k )，B (－2，1，0)，C (4，0，－2k )，则k 的值为( ) A.10 B ．－10C ．2 5D ．±10解析：选D.CB→＝(－6，1，2k )， CA→＝(－3，2，－k )， 则CB→·CA →＝(－6)×(－3)＋2＋2k ×(－k ) ＝－2k 2＋20＝0，所以k ＝±10.4．已知a ＝(x ，1，2)，b ＝(1，2，－y )，且(2a ＋b )∥(－a ＋2b )，则( )A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1解析：选B.2a ＋b ＝(2x ＋1，4，4－y )，－a ＋2b ＝(2－x ，3，－2y －2)，因为(2a ＋b )∥(－a ＋2b )，则存在非零实数λ，使得2a ＋b ＝λ(－a ＋2b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝（2－x ）λ，4＝3λ，4－y ＝（－2y －2）λ，所以⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－4. 5．若A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，则当|AB→|取最小值时，x 的值等于( )A ．19B ．－87C.87D.1914解析：选C.因为AB→＝(1－x ，2x －3，3－3x )， 所以|AB→|＝ （1－x ）2＋（2x －3）2＋（3－3x ）2 ＝ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57. 故当x ＝87时，|AB→|有最小值． 6．已知a ＝(1，m ，3)，b ＝(－2，4，n )，若a ∥b ，则m －n ＝________． 解析：因为a ∥b ，所以b ＝λa .所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，m λ＝4，3λ＝n .所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，m ＝－2，n ＝－6.所以m －n ＝4.答案：47．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________．解析：由题意，得|c |＝3，(2a ＋b )·c ＝0×1＋(－5)×(－2)＋10×(－2)＝－10，所以2a ·c ＋b ·c ＝－10.又a ·c ＝4，所以b ·c ＝－18，所以cos〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－12，所以〈b ，c 〉＝120°. 答案：120°8．若a ＝(x ，2，2)，b ＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________．解析：a·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝a·b |a ||b |＜0，又|a |＞0，|b |＞0，所以a·b ＜0，即2x ＋4＜0，所以x ＜－2.又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)． 答案：(－∞，－2)9．已知向量a ＝(6，－3，2)，b ＝(4，－2，－4)．求：(1)|a |；(2)(3a ＋2b )·(－2a ＋b )．解：(1)|a |＝a 2＝62＋（－3）2＋22＝7.(2)因为|b |＝b 2＝42＋（－2）2＋（－4）2＝6，a ·b ＝6×4＋(－3)×(－2)＋2×(－4)＝22，所以(3a ＋2b )·(－2a ＋b )＝－6a 2＋3a ·b －4a ·b ＋2b 2＝－244.10．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1，1，－3)，D (3，－5，3)，求证：四边形ABCD 是一个。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间向量的直角坐标运算【学习目标】1.理解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的坐标运算、夹角公式、距离公式。
3.能通过坐标运算判断向量的共线与垂直. 【要点梳理】要点一、空间向量的基本定理 1. 空间向量的基本定理： 如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p=xa+yb+zc ．2．基底、基向量概念：由空间向量的基本定理知，若三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc ，x 、y 、z ∈R}，这个集合可看做是由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a 、b 、c}称为空间的一个基底．a 、b 、c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．要点二、空间向量的坐标表示 （1）单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，常用{,,}i j k表示；（2）空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k都叫坐标向量。
通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；（3）空间直角坐标系中的坐标给定一个空间直角坐标系和向量a ，其坐标向量为i ，j ，k ，若a=a 1i+a 2j+a 3k ，则有序数组（a 1，a 2，a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a=（a 1，a 2，a 3）．在空间直角坐标系Oxyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若O A x i y j zk =++，则有序数xyzO k ji组（x ，y ，z ）叫点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A （x ，y ，z ），其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫点A 的纵坐标，z 叫点A 的竖坐标．写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒．要点诠释：（1）空间任一点P 的坐标的确定． 过P 作面xOy 的垂线，垂足为P ＇，在面xOy 中，过P ＇分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、C ，则x=|P ＇C|，y=|AP ＇|，z=|PP ＇|．如图．（2）空间相等向量的坐标是唯一的；另外，零向量记作0(0,0,0)=。
要点三、 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则①222111212121(,,)(,,)(,,)AB OB OA x y z x y z x x y y z z =-=-=---即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
②||AB == ，或,A B d =要点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量AB的坐标表示，然后再用模长公式推出。
（2）向量加减法、数乘的坐标运算若111(,,)a x y z = ，222(,,)b x y z =，则 ①121212(,,)a b x x y y z z +=+++； ②121212(,,)a b x x y y z z -=---； ③111(,,)()a x y z R λλλλλ=∈；（3）向量数量积的坐标运算若111(,,)a x y z = ，222(,,)b x y z =，则 121212a b x x y y z z ⋅=++；即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
（4）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，则①||a == ||b ==②cos 0,0)||||a b a b a b a b ⋅<⋅>==≠≠⋅．要点诠释：（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：a b a b |a||b|cos a b cos a b |a||b|⋅⋅=<⋅>⇒<⋅>=⋅，其中θ的范围是[0,]π(2) ,,,,.AC BD AC DB CA BD CA DB θπθπθθ<>=⇒<>=-⇒<>=-⇒<>=(3) 用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。
（5）空间向量平行和垂直的条件若111(,,)a x y z = ，222(,,)b x y z =，则①12//a b a b x x λλ⇔=⇔= ，12y y λ=，12()z z R λλ=∈⇔111222x y zx y z ==222(0)x y z ≠②12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=规定：0与任意空间向量平行或垂直作用：证明线线平行、线线垂直.【典型例题】类型一、 空间向量的坐标表示例1．已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A 、B 、C 、D 、A 1、B 1、C 1、D 1各点的坐标，并写出DA 、DB 、DC 、1DC、1DD 、1DA 、1DB 及DD 的坐标表示。
【思路点拨】一个向量的坐标等于表示这个向量的终点坐标减去起点坐标。
【解析】A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），D （0，0，0），A 1（1，0，1），B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），D 1（0，0，1）。
(1,0,0)DA = ，(1,1,0)DB = ，(0,1,0)DC =，1(0,1,1)DC = ， 1(0,0,1)DD = ，1(1,0,1)DA = ，1(1,1,1)DB = ，(0,0,0)DD ==0。
【总结升华】要求空间某一点M 的坐标，只要求出以原点O 为起点、M 为终点的向量OM的坐标即可．设i ，j ，k 分别是与x 轴、y 轴、z 轴的正方向模相同的单位坐标向量．举一反三：【变式1】已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中E 、F 点的坐标。
【答案】∵C （0，2，0），D （0，0，0）且F 为DC 的中点， ∴F （0，1，0）。
又∵B （2，2，0），B 1（2，2，2），且E 为BB 1的中点， ∴E （2，2，1）。
【变式2】（2015春 三峡区校级期中）如图所示，在空间直角坐标系中BC=2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是1(,0)22，点D 在平面yOz 上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，则向量AD的坐标为（ ）A ．1(,222-- B ．(1,)22--C ．1(,,222--D ．(22【答案】B【解析】因为在空间直角坐标系中BC=2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是1,0)2， 点D 在平面yOz 上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，BO=1，所以BD=1，∠DBC=60°，D 在平面yOz 上坐标1(2-所以D 的坐标为：1(0,2-，∴(AD =- ， 故选：B 。
类型二：空间向量的直角坐标运算【高清课堂：空间向量的坐标运算 399111 例题1】例2． 已知(1,1,0)a = ，(0,1,1)b = ，(1,0,1)c = ，p a b =-，2q a b c =+- ，求p ，q ，p q ⋅.【思路点拨】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。
【解析】(1,1,0)(0,1,1)(1,0,1)p a b =-=-=-2(1,1,0)2(0,1,1)(1,0,1)(0,3,1)q a b c =+-=+-=(1,0,1)(0,3,1)1003(1)11p q ⋅=-⋅=⨯+⨯+-⨯=-【总结升华】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。
举一反三：【变式】已知a =（1，0，1），b =（1，―2，2），c =（―2，3，―1），那么向量2-+a b c 等于（ ） A ．（0，1，2） B ．（4，―5，5） C ．（―4，8，―3） D ．（2，―5，4）【答案】C例3．已知(1,2,2)a = ，(1,0,1)b =（1）求||a ,||b；（2）求a b ⋅；（3）若6πα=，求,a b 〈〉 .【解析】（1）||3a ==，||b == （2）121212a b x x y y z z ⋅=++1120213=⨯+⨯+⨯= （3）cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉===， ∵0,a b π≤〈〉≤，∴,4a b π〈〉=【总结升华】空间向量求模的运算要注意公式的准确应用. 举一反三：【变式1】已知向量a =（4，－2，―4），b =（6，―3，2），求：（1）a ·b ； （2）|a |，|b |； （3）（2a +3b ）·（a －2b ）。
【答案】（1）a ·b =4×6+(―2)×(―3)+(―4)×2=22； （2）||6===a ；||7===b ；（3）2222(23)(2)2346262267244b +⋅-=+⋅-⋅-=⨯--⨯=-a a b a a b a b b 。
【变式2】 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，4111111B A F D E B ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．【答案】不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设＝i ，＝j ，1DD ＝k ．以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系D －xyz ，则点B 、 E 1、D 、F 1的坐标分别为B(1,1,0)，E 1(1,43,1)，D(0,0,0)，F 1(0,41,1) ∴1BE ＝(1,43,1)－(1,1,0)＝(0,－41,1)，1DF ＝(0,41,1)－(0,0,0)＝(0,41,1)．∴417||1=BE ，417||1=DF ，1BE ·1DF ＝1615．∴cos ＜1BE ,1DF 1715|DF |||1111=⋅BE ． 例4．已知空间三点A （—2，0，2），B （—1，1，2），C （—3，0，4）。