顺义区2016届高三一模数学(理)试题及答案(word版)

合集下载

北京市顺义区高三数学第一次统练(一模)试题文

北京市顺义区2016届高三数学第一次统练（一模）试题文第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设i 为虚数单位，则(1)+=i i ( ) （A ） 1-i （B ）1-+i （C ）1--i （D ）1+i2.已知集合2{|1}=<A x x ，{|21}=<x B x ，则A B =I （）（A ）(1,0)- （B ）(1,1)- （C ）(,0]-∞（D ）(,1)-∞3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）（A ）2-=x y （B ）3=+y x x （C ）1=-y x（D ）ln =y x 4.已知点(2,1)-P 为圆22(1)25-+=x y 的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为（）（A ）30--=x y（B ）230+-=x y（C ）10+-=x y（D ）250--=x y5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是 ( ) A. 15 B. 21 C. 24 D. 356.已知,∈a b R ，则“2≥ab ”是“224+≥a b ”成立的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件7.在平面直角坐标系中，若不等式组10,10,10+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩x y x ax y （a 为常数）表示的区域面积等于3，则a 的值为（）（A ） 5- （B ） 2- （C ）2 （D ）5 8.如图，矩形ABCD 与矩形ADEF 所在的平面互相垂直，将DEF V 沿FD 翻折，翻折后的点E (记为点P )恰好落在BC 上. 设1=AB ，=FA x (1)>x ，=AD y .则以下结论正确的是（）（A ）当2=x 时，y 有最小值433 （B ）当2=x 时，y 有最大值 433（C ）当2=x 时，y 有最小值 2 （D ）当2=x 时，y 有最大值 2第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知向量(2,1)=r a ，(1,)+=r ra b k ，若⊥r r a b ，则实数_________.=k10.抛物线28=y x 的准线与双曲线22:184-=x y C 的两条渐近线所围成的三角形面积为_________.11.在V ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin =a b A ，则___________.=B 12.已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是________（单位:2cm ）.13.国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售.据市场调查预测，某地区今年Q 型电动汽车的的销售将以每月10%的增长率增长；R 型电动汽车的销售将每月递增20辆.已知该地区今年1 月份销售Q 型和R 型车均为50辆，据此推测该地区今年Q 型汽车销售量约为_______辆；这两款车的销售总量约为_______辆.（参考数据：111.1 2.9,≈121.1 3.1,≈ 131.1 3.5≈）14.设集合3|12⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭b a b a 中的最大和最小元素分别是M m 、,则__,=M __=m . 三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()sin 22cos =-f x x x ，∈x R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值.16.（本小题满分13分）某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数，得到如下数据：日期 3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日昼夜温差()︒C 9 11 13 12 8 10 发芽数（粒）232530261624（Ⅰ）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率；（Ⅱ）从3月1日至3月6日这六天中,按照日期顺序从前往后任选2天，记发芽的种子数分别为,m n ，用(,)m n 的形式列出所有基本事件，并求满足25302530≤≤⎧⎨≤≤⎩m n 的事件A 的概率. 17.（本小题满分13分 )已知等差数列{}n a ，23=a ，59=a . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）令=n a n b c ，其中c 为常数，且0>c ，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分13分）如图，已知⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ， V ACD 是等边三角形，22===AD DE AB ， ,F G 分别为,AD DC 的中点. （Ⅰ）求证：⊥CF 平面ABED ；（Ⅱ）求四棱锥-C ABED 的体积；（Ⅲ）判断直线AG 与平面BCE 的位置关系，并加以证明.19.（本小题满分14分 )已知函数2()21=+++x f x xe ax x 在1=-x 处取得极值. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()1=--y f x m 在[2,2]-上恰有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分14分 )已知椭圆:E 22221x y a b+=(0)a b >>的一个焦点(2,0)F ，点A 为椭圆上一点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设,M N 为椭圆上两点，若直线AM 的斜率与直线AN 的斜率互为相反数. 求证：直线MN 的斜率为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,V AMN 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.顺义区2016届高三第一次统练数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. B ；2. A ；3. B ；4. A ；5. C ；6. A ；7. D ；8. C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 3； 10.22；11.6π或 56π ; 12. 43+π ； 13.1050,2970；14. 5,23 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知2()sin 22cos =-f x x x sin 2cos 212sin(2)14=--=--x x x π【4分】∴()f x 的最小正周期为π 【6分】（Ⅱ）02π≤≤Q x ，32444πππ∴-≤-≤x ，【7分】 ∴当244ππ-=-x ，即0=x 时， min ()2=-f x 【10分】当242ππ-=x ，即38π=x 时， max ()21=-f x 【13分】16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）这6天的平均发芽率为：232530261624100100100100100100100%24%6+++++⨯=，∴这6天的平均发芽率为 24% 【6分】（Ⅱ）(,)m n 的取值情况有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(23,24),(25,30),(25,26),(25,16),(25,24),(30,26),(30,16),(30,24),(26,16),(26,24),(16,24),事件数为15 【9分】设25302530≤≤⎧⎨≤≤⎩m n 为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30),(25,26)(30,26)∴所求概率31155==P 【13分】17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知11349+=⎧⎨+=⎩a d a d ，【2分】解得12,1==d a 【4分】∴数列{}n a 的通项公式为21=-n a n . 【6分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知21-==na n nb cc 【7分】当 1=c 时，1=n b ， ∴.=n S n 【9分】当 1≠c 时，Q121+-+==n n a a n nb c c b ， ∴{}n b 是1=b c ，公比为2c 的等比数列；【11分】 ∴22(1)1-=-n n c c S c 【13分】 18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）Q F 为等腰V ACD 的边AD 的中点，∴⊥CF AD Q ⊥AB 平面ACD ，⊂AB 平面ABED ∴ 平面⊥ACD 平面ABED ，且交线为AD .由⊂CF 平面ACD ， ⊥CF AD ，∴⊥CF 平面ABED 【4分】（Ⅱ）Q 1(21)232=⋅+⋅=V ABED S ，3=CF ∴133-=⋅=C ABEF ABEF V S CF 【8分】（Ⅲ）结论：直线AG ∥平面BCE . 证明：取CE 的中点H ，连结,GH BH ， Q G 是CD 的中点， ∴GH ∥DE ，且 GH =12DE 由已知⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ，∴GH ∥AB ，且GH =1=AB ，∴四边形ABHG 为平行四边形，【11分】∴AG ∥BH ，又⊄AG 平面BCE ，⊂BH 平面BCE∴AG ∥平面BCE . 【13分】19.解：（本小题满分14分）（Ⅰ）'()22=+++x xf x e xe ax ，Q ()f x 在处取得极值，∴'(1)0-=f ，解得1=a .经检验1=a 适合.【2分】∴2()21=+++x f x xe x x ，'()(1)(2)=++x f x x e当(,1)∈-∞-x 时， '()0<f x ，∴()f x 在(,1)-∞-递减；当(1)∈-+∞x 时， '()0>f x ，∴()f x 在(1,)-+∞递增. 【6分】（Ⅱ）函数()1=--y f x m 在[2,2]-上恰有两个不同的零点，等价于220++-=x xe x x m 在[2,2]-上恰有两个不同的实根，等价于22++=x xe x x m 在[2,2]-上恰有两个不同的实根. 【8分】令2()2=++x g x xe x x ，∴'()(1)(2)=++x g x x e ，由（Ⅰ）知()g x 在(,1)-∞-递减；在(1,)-+∞递增.()g x 在[2,2]-上的极小值也是最小值；min 1()(1)1=-=--g x g e . 【11分】又22(2),-=-g e2(2)82(2)=+>-g e g∴2121--<≤-m e e ，即212(1,]∈---m e e【14分】20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知2=C ，Q A 在椭圆上， ∴22421+=a b ，【2分】又 222=+a b c ，解得224,8==b a ，∴所求椭圆方程为22184+=x y 【4分】（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，直线AM 的斜率为k ，则直线AN 的斜率为-k ，∴22(2)184⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去y得2222(12)(8)840+--+--=k x k x kQ 曲线E 与直线l 只有两个公共点，∴0>V ，【6分】且1,2x是方程的二根，∴21284212--=+kxk，∴2124212--=+kxk，∴21124(2)12-==-+-++ky k xk【7分】同理2224212+-=+kxk，222412++=-kyk∴21212-===-MNy ykx x为定值. 【9分】( Ⅲ )不妨设过,M N的直线方程为：=+y x m由222184⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x mx y，消去y得2240+-=x m，由0>V，解得28<m，12,+=x x2124=-x x m，计算得：A点到直线MN的距离=d∴1||2=⋅⋅=V AMNS d MN12==∴当24,=m即2=±m时，max()=AMNSV【14分】。

顺义区2016届初三一模数学试题及答案(word版)

2
求 m 的取值范围．
y
1
O
1
x
8
28．已知：在△ABC 中，∠BAC=60° ．（1）如图 1，若 AB=AC，点 P 在△ABC 内，且∠APC=150° ，PA=3，PC=4，把△APC 绕着点 A 顺时针旋转，使点 C 旋转到点 B 处，得到△ADB，连接 DP ①依题意补全图 1； ②直接写出 PB 的长；（2）如图 2，若 AB=AC，点 P 在△ABC 外，且 PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC 的度数；（3）如图 3，若 AB=2AC，点 P 在△ABC 内，且 PA= 3 ，PB=5，∠APC=120° ，请直接写出 PC 的长．
P
A
A
P B
图1
C
B
图2
C
A
P B
图3
C
9
29．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（a，b）的“变换点”Q 的坐标定义如下；当 a b时， Q 点坐标为（b，-a）；当 a＜b 时，Q 点的坐标为（a，-b)．（1）求（-2，3），（6，-1）的变换点坐标；（2）已知直线 l 与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B（0，2）．若直线 l 上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形 W．请画出图形 W，并简要说明画图的思路；（3）若抛物线 y
A D
1
E
2
A
B
C
B E
14．如图，在⊙O 的半径为 5，正五边形 ABCD 内接于⊙O，则错误！未找到引用源。的长度为__________．
C
D
15．《算法统综》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大伟，在《算法统综》有一道“荡秋千”的问题:”平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地 1 尺，将它往前推送 10 尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为 5 尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？” 设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可列方程_____________________．

2016年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．974．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．811．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．==25﹣【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。

2016年北京市顺义区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2016年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知i为虚数单位，则i（2i+1）＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i2．（5分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2} 3．（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y＝2x B．y＝x3+x C．D．y＝﹣log2x 4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15B．21C．24D．355．（5分）已知向量，，其中x∈R．则“x＝2”是“”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．（5分）直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心7．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则a的值为（）A．B．C．D．18．（5分）如图，已知平面α∩平面β＝l，α⊥β．A、B是直线l上的两点，C、D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8．P是平面α上的一动点，且有∠APD＝∠BPC，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值是（）A．48B．16C．D．144二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（x2+）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）10．（5分）抛物线y2＝﹣8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为．11．（5分）已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位：cm2）．12．（5分）已知函数f（x）＝，则＝；f（x）的最小值为．13．（5分）某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是毫克，若该患者坚持长期服用此药明显副作用（此空填“有”或“无”）．14．（5分）设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点M的个数有个．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知函数，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的单调递增区间．16．（13分）在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了A，B两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题A可获得100分，答对问题B可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对A，B问题的概率分别为．（Ⅰ）记甲先回答问题A再回答问题B得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，等边△P AD所在的平面与正方形ABCD 所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD＝2．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣EB﹣A的余弦值；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△P AD所在平面成30°角．若存在，求出AM的长，若不存在，请说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝x2﹣x+t，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在上（这里e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．19．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．20．（14分）在数列{a n}中，a1＝0，，其中m∈R，n∈N*．（Ⅰ）当m＝1时，求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）是否存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）当m＞时，证明：存在k∈N*，使得a k＞2016．2016年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知i为虚数单位，则i（2i+1）＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【解答】解：由题意，i（2i+1）＝i×2i+i＝﹣2+i故选：C．2．（5分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2}【解答】解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝{x|0＜x＜1}，故选：B．3．（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y＝2x B．y＝x3+x C．D．y＝﹣log2x 【解答】解：A．y＝2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y＝x3+x的定义域为R，且（﹣x）3+（﹣x）＝﹣（x3+x）；∴该函数为奇函数；y＝x3和y＝x在R上都是增函数；∴y＝x3+x在R上是增函数，∴该选项正确；C．反比例函数在定义域上没有单调性，∴该选项错误；D．y＝﹣log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选：B．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15B．21C．24D．35【解答】解：模拟执行程序，可得S＝0，i＝1T＝3，S＝3，i＝2不满足i＞4，T＝5，S＝8，i＝3不满足i＞4，T＝7，S＝15，i＝4不满足i＞4，T＝9，S＝24，i＝5满足i＞4，退出循环，输出S的值为24．故选：C．5．（5分）已知向量，，其中x∈R．则“x＝2”是“”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵，∴x2﹣4＝0，解得x＝±2．∴“x＝2”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心【解答】解：把圆的参数方程化为普通方程得：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，∴圆心坐标为（2，1），半径r＝2，把直线的参数方程化为普通方程得：x﹣y+1＝0，∴圆心到直线的距离d＝＜r＝2，又圆心（2，1）不在直线x﹣y+1＝0上，则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心．故选：D．7．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则a的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：不等式组所围成的区域如图ABCD所示，∵其面积为1，A（2，2a+1），B（2，0），C（1，），D（1，a+1）∴S ABCD＝＝1，解得a＝．故选：B．8．（5分）如图，已知平面α∩平面β＝l，α⊥β．A、B是直线l上的两点，C、D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8．P是平面α上的一动点，且有∠APD＝∠BPC，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值是（）A．48B．16C．D．144【解答】解：∵平面α∩平面β＝l，α⊥β，DA⊥l，CB⊥l，DA⊂平面β，CB⊂平面β，∴DA⊥平面α，CB⊥平面α，∵P A⊂平面α，PB⊂平面α，∴DA⊥P A，CB⊥PB．∵∠APD＝∠BPC，∴，即，∴PB＝2P A．以直线l为x轴，AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（﹣3，0），B（3，0）．设P（x，y），则P A＝，PB＝，∴2＝，整理得（x+5）2+y2＝16（y＞0）．∴P点的轨迹为以（﹣5，0）为圆心，以4为半径的半圆．∴当P到直线l的距离h＝4时，四棱锥P﹣ABCD体积取得最大值．∴棱锥的体积最大值为V＝＝＝48．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（x2+）6的展开式中x3的系数是20．（用数字作答）【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣3r，令12﹣3r＝3，解得r＝3，故展开式中x3的系数是＝20，故答案为：20．10．（5分）抛物线y2＝﹣8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为2．【解答】解：抛物线y2＝﹣8x的准线为x＝2，双曲线的两条渐近线为y＝±x，可得两交点为（2，），（2，﹣），即有三角形的面积为×2×2＝2．故答案为：2．11．（5分）已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是3π+4（单位：cm2）．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面，∴底面圆的半径是1cm，母线长是2cm，∴几何体的表面积S＝π×12+π×1×2+2×2＝3π+4（cm2），故答案为：3π+4．12．（5分）已知函数f（x）＝，则＝1；f（x）的最小值为0．【解答】解：f（﹣）＝log33＝1，则f（1）＝1+2﹣2＝1，即＝1，当x≥1时，f（x）＝x+﹣2≥2﹣2＝2﹣2，当且仅当x＝，即x＝时取等号，当x＜1时，f（x）＝log3（x2+1）≥log31＝0；故函数f（x）的最小值为0，故答案为：1，0．13．（5分）某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是350毫克，若该患者坚持长期服用此药无明显副作用（此空填“有”或“无”）．【解答】解：设该生第n次服药后，药在他体内的残留量为a n毫克，则：a1＝200，a2＝200+a1×（1﹣50%）＝200×1.5＝300，a3＝200+a2×（1﹣50%）＝200+200×1.5×0.5＝350 （4分）故第二天早间，他第三次服空药后，药在他体内的残留量为350毫克．该运动员若长期服用此药，则此药在体内残留量为＝400（1﹣0.5n），当n→+∞时，药在体内残留量无限接近400∴长期服用此药，不会产生副作用，即该生长期服用该药，不会产生副作用．故答案为：350，无．14．（5分）设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点M的个数有1个．【解答】解：设A1（x1，y1，z1），A2（x2，y2，z2），A3（x3，y3，z3），A4（x4，y4，z4），A5（x5，y5，z5）；再设M（a，b，c），则可得＝（x1﹣a，y1﹣b，z1﹣c），＝（x2﹣a，y2﹣b，z2﹣c），＝（x3﹣a，y3﹣b，z3﹣c），＝（x4﹣a，y4﹣b，z4﹣c），＝（x5﹣a，y5﹣b，z5﹣c），∵＝成立，∴，解得，因此，存在唯一的点M，使＝成立．故答案为：1．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知函数，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得＝＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）当即，k∈z时，；（Ⅱ）∵当时，f（x）递增，即，令k＝0，且注意到，∴函数f（x）的递增区间为16．（13分）在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了A，B两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题A可获得100分，答对问题B可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对A，B问题的概率分别为．（Ⅰ）记甲先回答问题A再回答问题B得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）ξ的可能取值为0，100，300．（2分），，，（5分）∴ξ的分布列为：．（7分）（Ⅱ）设先回答问题B，再回答问题A得分为随机变量η，则η的可能取值为0，200，300．∴，，，（10分）η的分布列为：．（12分）∵Eξ＞Eη，∴应先回答A所得分的期望值较高．（13分）17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，等边△P AD所在的平面与正方形ABCD 所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD＝2．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣EB﹣A的余弦值；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△P AD所在平面成30°角．若存在，求出AM的长，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵△P AD是等边三角形，O为AD的中点，∴PO⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面P AD，∴PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）取BC的中点F，∵底面ABCD是正方形，∴OF⊥AD，∴PO，OF，AD两两垂直．以O为原点，以OA、OF、OP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则O（0，0，0），P（0，0，），B（1，2，0），E（﹣1，1，0），∴＝（1，﹣1，），＝（2，1，0），＝（0，0，）．显然平面EBA的法向量为＝（0，0，）．设平面PBE的法向量为＝（x，y，z），则，∴，令x＝1，得＝（1，﹣2，﹣）．∴＝﹣3，||＝2，||＝，∴cos＜＞＝﹣．∵二面角P﹣EB﹣A为锐角，∴二面角P﹣EB﹣A的余弦值为．（Ⅲ）设在线段AB上存在点M（1，x，0）（0＜x≤2）使线段PM与平面P AD 所在平面成30°角，∵平面P AD的法向量为＝（0，2，0），＝（1，x，﹣），∴cos＜，＞＝＝．∴sin30°＝＝，解得，符合题意．∴在线段AB上存在点M，当线段时，PM与平面P AD所在平面成30°角．18．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝x2﹣x+t，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在上（这里e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣，∴f′（1）＝1，又f（1）＝1，∴所求切线方程为y﹣1＝x﹣1，即：x﹣y＝0；（Ⅱ）函数h（x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣lnx+x﹣t在上恰有两个不同的零点，等价于﹣lnx+x﹣t＝0在上恰有两个不同的实根，等价于t＝x﹣lnx在上恰有两个不同的实根，令k（x）＝x﹣lnx，则，∴当时，k′（x）＜0，∴k（x）在递减；当x∈（1，e]时，k′（x）＞0，∴k（x）在（1，e]递增，故k min（x）＝k（1）＝1，又，∵，∴，∴，即．19．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，e＝＝，a2﹣b2＝c2，∵点在椭圆上，∴，解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的垂直平分线过点，∴AB的斜率k存在．当直线AB的斜率k＝0时，x1＝﹣x2，y1＝y2，＝•2|x1|•|y1|＝|x1|•∴S△AOB＝≤•＝1，当且仅当x12＝4﹣x12，取得等号，）max＝1；∴时，（S△AOB当直线AB的斜率k≠0时，设l：y＝kx+m（m≠0）．消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由△＞0可得4k2+1＞m2①，x1+x2＝﹣，x1x2＝，可得，，∴AB的中点为，由直线的垂直关系有，化简得1+4k2＝﹣6m②由①②得﹣6m＞m2，解得﹣6＜m＜0，又O（0，0）到直线y＝kx+m的距离为，，＝，∵﹣6＜m＜0，∴m＝﹣3时，．由m＝﹣3，∴1+4k2＝18，解得；即时，（S）max＝1；△AOB）max＝1．综上：（S△AOB20．（14分）在数列{a n}中，a1＝0，，其中m∈R，n∈N*．（Ⅰ）当m＝1时，求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）是否存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）当m＞时，证明：存在k∈N*，使得a k＞2016．【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝0，，其中m∈R，n∈N*．当m＝1时，a2＝0+1＝1，同理可得a3＝2，a4＝5．（Ⅱ）假设存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列，则a3﹣a2＝a4﹣a3，即﹣a2＝+m﹣a3，∴，即（a3﹣a2）（a3+a2﹣1）＝0．∵a3﹣a2≠0，∴a3+a2﹣1＝0．将a2＝m，a3＝m2+m代入上式，解得m＝﹣1．经检验，此时a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．∴存在得m＝﹣1，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．（Ⅲ）∵a n+1﹣a n＝+m﹣a n＝+≥m﹣，又，∴令d＝m﹣＞0．≥d，由a n﹣a n﹣1a n﹣1﹣a n﹣2≥d，…a2﹣a1≥d，将上述不等式相加，得a n﹣a1≥（n﹣1）d，即a n≥（n﹣1）d．取正整数，就有a k≥（k﹣1）d＞＝2016．。

(全优试卷)北京市顺义区高三数学第一次模拟考试试卷理(含解析)

北京市顺义区2016届高三第一次模拟考试理科数学试卷一、单选题1.设为虚数单位，则（）A． B． C． D．【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】故答案为：C【答案】C2.已知集合，，则（）A．B．C．D．【知识点】集合的运算【试题解析】所以。

故答案为：B【答案】B3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A． B． C． D．【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A、D；对C：在（-和（上单调递增，但在定义域上不单调，故C错；故答案为：B【答案】B4.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．35【知识点】算法和程序框图【试题解析】否，否，否，是，则输出S=24．故答案为：C【答案】C5.已知向量，，其中．则“”是“”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若，则成立；反过来，若，则或所以“”是“”成立的充分而不必要条件。

故答案为：A【答案】A6.直线：（为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：圆：圆心（2,1），半径2．圆心到直线的距离为：，所以直线与圆相交。

又圆心不在直线上，所以直线不过圆心。

故答案为：D【答案】D7.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于，则的值为（）A． B． C． D．【知识点】线性规划【试题解析】作可行域：由题知：所以故答案为：B【答案】B8.如图，已知平面=，．是直线上的两点，是平面内的两点，且，，，．是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（）A． B． C． D．【知识点】空间几何体的表面积与体积【试题解析】由题知：是直角三角形，又，所以。

2016北京市顺义区高三(一模)数学(理)

2016北京市顺义区高三（一模）数学（理）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知i为虚数单位，则i（2i+1）=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i2．（5分）已知集合A={x|x2＜1}，B={x|log2x＜1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜2}3．（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2x B．y=x3+x C．D．y=﹣log2x4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．355．（5分）已知向量，，其中x∈R．则“x=2”是“”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．（5分）直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）的位置关系是（）A．相离 B．相切C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心7．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则a的值为（）A．B．C．D．18．（5分）如图，已知平面α∩平面β=l，α⊥β．A、B是直线l上的两点，C、D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA=4，AB=6，CB=8．P是平面α上的一动点，且有∠APD=∠BPC，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值是（）A．48 B．16 C．D．144二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（x2+）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）10．（5分）抛物线y2=﹣8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为．11．（5分）已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位：cm2）．12．（5分）已知函数f（x）=，则= ；f（x）的最小值为．13．（5分）某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是毫克，若该患者坚持长期服用此药明显副作用（此空填“有”或“无”）．14．（5分）设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点M的个数有个．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的单调递增区间．16．（13分）在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了A，B两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题A可获得100分，答对问题B可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对A，B问题的概率分别为．（Ⅰ）记甲先回答问题A再回答问题B得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，等边△PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣EB﹣A的余弦值；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△PAD所在平面成30°角．若存在，求出AM的长，若不存在，请说明理由．18．（13分）已知函数f（x）=x2﹣lnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x+t，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在上（这里e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．19．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．20．（14分）在数列{a n}中，a1=0，，其中m∈R，n∈N*．（Ⅰ）当m=1时，求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）是否存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）当m＞时，证明：存在k∈N*，使得a k＞2016．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．【解答】由题意，i（2i+1）=i×2i+i=﹣2+i故选C．2．【解答】集合A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|0＜x＜1}，故选：B．3．【解答】A．y=2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x3+x的定义域为R，且（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）；∴该函数为奇函数；y=x3和y=x在R上都是增函数；∴y=x3+x在R上是增函数，∴该选项正确；C．反比例函数在定义域上没有单调性，∴该选项错误；D．y=﹣log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选：B．4．【解答】模拟执行程序，可得S=0，i=1T=3，S=3，i=2不满足i＞4，T=5，S=8，i=3不满足i＞4，T=7，S=15，i=4不满足i＞4，T=9，S=24，i=5满足i＞4，退出循环，输出S的值为24．故选：C．5．【解答】∵，∴x2﹣4=0，解得x=±2．∴“x=2”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．6．【解答】把圆的参数方程化为普通方程得：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，∴圆心坐标为（2，1），半径r=2，把直线的参数方程化为普通方程得：x﹣y+1=0，∴圆心到直线的距离d=＜r=2，又圆心（2，1）不在直线x﹣y+1=0上，则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心．故选：D．7．【解答】不等式组所围成的区域如图ABCD所示，∵其面积为1，A（2，2a+1），B（2，0），C（1，），D（1，a+1）∴S ABCD==1，解得a=．故选：B．8．【解答】∵平面α∩平面β=l，α⊥β，DA⊥l，CB⊥l，DA⊂平面β，CB⊂平面β，∴DA⊥平面α，CB⊥平面α，∵PA⊂平面α，PB⊂平面α，∴DA⊥PA，CB⊥PB．∵∠APD=∠BPC，∴，即，∴PB=2PA．以直线l为x轴，AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（﹣3，0），B（3，0）．设P（x，y），则PA=，PB=，∴2=，整理得（x+5）2+y2=16（y＞0）．∴P点的轨迹为以（﹣5，0）为圆心，以4为半径的半圆．∴当P到直线l的距离h=4时，四棱锥P﹣ABCD体积取得最大值．∴棱锥的体积最大值为V===48．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】由于（x2+）6的展开式的通项公式为 T r+1=•x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20．10．【解答】抛物线y2=﹣8x的准线为x=2，双曲线的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（2，），（2，﹣），即有三角形的面积为×2×2=2．故答案为：2．11．【解答】根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面，∴底面圆的半径是1cm，母线长是2cm，∴几何体的表面积S=π×12+π×1×2+2×2=3π+4（cm2），故答案为：3π+4．12．【解答】f（﹣）=log33=1，则f（1）=1+2﹣2=1，即=1，当x≥1时，f（x）=x+﹣2≥2﹣2=2﹣2，当且仅当x=，即x=时取等号，当x＜1时，f（x）=log3（x2+1）≥log31=0；故函数f（x）的最小值为0，故答案为：1，0．13．【解答】设该生第n次服药后，药在他体内的残留量为a n毫克，则：a1=200，a2=200+a1×（1﹣50%）=200×1.5=300，a3=200+a2×（1﹣50%）=200+200×1.5×0.5=350 （4分）故第二天早间，他第三次服空药后，药在他体内的残留量为350毫克．该运动员若长期服用此药，则此药在体内残留量为=400（1﹣0.5n），当n→+∞时，药在体内残留量无限接近400∴长期服用此药，不会产生副作用，即该生长期服用该药，不会产生副作用．故答案为：350，无．14．【解答】设A1（x1，y1，z1），A2（x2，y2，z2），A3（x3，y3，z3），A4（x4，y4，z4），A5（x5，y5，z5）；再设M（a，b，c），则可得=（x1﹣a，y1﹣b，z1﹣c），=（x2﹣a，y2﹣b，z2﹣c），=（x3﹣a，y3﹣b，z3﹣c），=（x4﹣a，y4﹣b，z4﹣c），=（x5﹣a，y5﹣b，z5﹣c），∵=成立，∴，解得，因此，存在唯一的点M，使=成立．故答案为：1．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．【解答】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得==sin2x+cos2x=sin（2x+）当即，k∈z时，；（Ⅱ）∵当时，f（x）递增，即，令k=0，且注意到，∴函数f（x）的递增区间为16．【解答】（Ⅰ）ξ的可能取值为0，100，300．（2分），，，（5分）∴ξ的分布列为：ξ 0 100 300 P．（7分）（Ⅱ）设先回答问题B，再回答问题A得分为随机变量η，则η的可能取值为0，200，300．∴，，，（10分）η的分布列为：η 0 200 300 P．（12分）∵Eξ＞Eη，∴应先回答A所得分的期望值较高．（13分）17．【解答】（Ⅰ）∵△PAD是等边三角形，O为AD的中点，∴PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）取BC的中点F，∵底面ABCD是正方形，∴OF⊥AD，∴PO，OF，AD两两垂直．以O为原点，以OA、OF、OP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则O（0，0，0），P（0，0，），B（1，2，0），E（﹣1，1，0），∴=（1，﹣1，），=（2，1，0），=（0，0，）．显然平面EBA的法向量为=（0，0，）．设平面PBE的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1，得=（1，﹣2，﹣）．∴=﹣3，||=2，||=，∴cos＜＞=﹣．∵二面角P﹣EB﹣A为锐角，∴二面角P﹣EB﹣A的余弦值为．（Ⅲ）设在线段AB上存在点M（1，x，0）（0＜x≤2）使线段PM与平面PAD所在平面成30°角，∵平面PAD的法向量为=（0，2，0），=（1，x，﹣），∴cos＜，＞==．∴sin30°==，解得，符合题意．∴在线段AB上存在点M，当线段时，PM与平面PAD所在平面成30°角．18．【解答】（Ⅰ）函数定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣，∴f′（1）=1，又f（1）=1，∴所求切线方程为y﹣1=x﹣1，即：x﹣y=0；（Ⅱ）函数h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣lnx+x﹣t在上恰有两个不同的零点，等价于﹣lnx+x﹣t=0在上恰有两个不同的实根，等价于t=x﹣lnx在上恰有两个不同的实根，令k（x）=x﹣lnx，则，∴当时，k′（x）＜0，∴k（x）在递减；当x∈（1，e]时，k′（x）＞0，∴k（x）在（1，e]递增，故k min（x）=k（1）=1，又，∵，∴，∴，即．19．【解答】（Ⅰ）由已知，e==，a2﹣b2=c2，∵点在椭圆上，∴，解得a=2，b=1．∴椭圆方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的垂直平分线过点，∴AB的斜率k存在．当直线AB的斜率k=0时，x1=﹣x2，y1=y2，∴S△AOB=•2|x1|•|y1|=|x1|•=≤•=1，当且仅当x12=4﹣x12，取得等号，∴时，（S △AOB）max=1；当直线AB的斜率k≠0时，设l：y=kx+m（m≠0）．消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△＞0可得4k2+1＞m2①，x1+x2=﹣，x1x2=，可得，，∴AB的中点为，由直线的垂直关系有，化简得1+4k2=﹣6m②由①②得﹣6m＞m2，解得﹣6＜m＜0，又O（0，0）到直线y=kx+m的距离为，，=，∵﹣6＜m＜0，∴m=﹣3时，．由m=﹣3，∴1+4k2=18，解得；即时，（S△AOB）max=1；综上：（S△AOB）max=1．20．【解答】（Ⅰ）∵a1=0，，其中m∈R，n∈N*．当m=1时，a2=0+1=1，同理可得a3=2，a4=5．（Ⅱ）假设存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列，则a3﹣a2=a4﹣a3，即﹣a2=+m﹣a3，∴，即（a3﹣a2）（a3+a2﹣1）=0．∵a3﹣a2≠0，∴a3+a2﹣1=0．将a2=m，a3=m2+m代入上式，解得m=﹣1．经检验，此时a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．∴存在得m=﹣1，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．（Ⅲ）∵a n+1﹣a n=+m﹣a n=+≥m﹣，又，∴令d=m﹣＞0．由 a n﹣a n﹣1≥d，a n﹣1﹣a n﹣2≥d，…a2﹣a1≥d，将上述不等式相加，得 a n﹣a1≥（n﹣1）d，即a n≥（n﹣1）d．取正整数，就有a k≥（k﹣1）d＞=2016．。

高考数学一模试卷理(含解析)-人教版高三全册数学试题

2016年某某省某某实验中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1．设全集I=R，集合A={y|y=log3x，x＞3}，B={x|y=}，则（）A．A⊆BB．A∪B=AC．A∩B=∅D．A∩（∁I B）≠∅2．设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3iB．﹣4+3iC．4+3iD．4﹣3i3．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°则S=2，则b等于（）A． B． C．25D．54．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种5．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假6．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．47．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值X围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）8．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A． B． C． D．9．如图，在由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内任取一点，则该点落在x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A．1﹣B．﹣1C． D．3﹣210．若A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，O是圆心，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（）A．λ2+μ2=1B． C．λ•μ=1D．λ+μ=111．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则a n=（）A． B． C． D．12．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（）A． B．a＞1或a＜﹣3C．a＞1D．3二、填空题：：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是．14．已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值．15．双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为．16．在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n 的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=．（1）求角C的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为6，求边c的值．18．如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．（1）求k1k2的值；（2）记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ=λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q．21．已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3﹣；（2）若对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，某某数a的取值X围；（3）当a=时，证明： f（i）＞2（n+1﹣）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y ﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值X围．2016年某某省某某实验中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1．设全集I=R，集合A={y|y=log3x，x＞3}，B={x|y=}，则（）A．A⊆BB．A∪B=AC．A∩B=∅D．A∩（∁I B）≠∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据对数函数的单调性便可解出A={x|x＞1}，利用被开方数大于等于0，求出B，从而找出正确选项．【解答】解：A={y|y=log3x，x＞3}={y|y＞1}，B={x|y=}={x|x≥1}，∴A⊆B，故选：A．2．设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3iB．﹣4+3iC．4+3iD．4﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式==﹣4﹣3i，故选：A．3．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°则S=2，则b等于（）A． B． C．25D．5【考点】解三角形．【分析】由S==2，得a=1，再直接利用余弦定理求得b．【解答】解：由S===2，得a=1又由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=1+32﹣2×=25，所以b=5故选D4．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种【考点】计数原理的应用．【分析】先不考虑学生甲，乙不能同时参加同一学科竞赛，从4人中选出两个人作为一个元素，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即甲乙两人在同一位置，去掉即可．【解答】解：从4人中选出两个人作为一个元素有C42种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C42A33=36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有 36﹣6=30，故选：B5．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】根据平面平行的判断方法，我们对已知中的两个命题p，q进行判断，根据判断结合和复合命题真值表，我们对四个答案逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：∵当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行与可能垂直故命题p为假命题又∵若α上不共线的三点到β的距离相等时α与β可能平行也可能相交，故命题q也为假命题故命题“p且q”为假，命题“p或¬q”为真，命题“p或q”为假，命题“¬p且¬q”为真故选C6．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】简单线性规划．【分析】首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出k．【解答】解：作出其平面区域如右图：A（1，2），B（1，﹣1），C（3，0），∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0，∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；∴①若在A上取得，则k﹣2=0，则k=2，此时，z=2x﹣y在C点有最大值，z=2×3﹣0=6，成立；②若在B上取得，则k+1=0，则k=﹣1，此时，z=﹣x﹣y，在B点取得的应是最大值，故不成立，故选B．7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值X围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据题意，首先求出X=1、2、3时的概率，进而可得EX的表达式，由题意EX＞1.75，可得p2﹣3p+3＞1.75，解可得p的X围，结合p的实际意义，对求得的X围可得答案．【解答】解：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p，即P（X=1）=p，发球次数为2即二次发球成功的概率P（X=2）=p（1﹣p），发球次数为3的概率P（X=3）=（1﹣p）2，则Ex=p+2p（1﹣p）+3（1﹣p）2=p2﹣3p+3，依题意有EX＞1.75，则p2﹣3p+3＞1.75，解可得，p＞或p＜，结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈（0，）故选C．8．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】画出几何体的图形，根据三视图的特征，推出左视图的形状，然后求解即可．【解答】解：在三棱锥C﹣ABD中，C在平面ABD上的射影为BD的中点，左视图的面积等于，故选：D．9．如图，在由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内任取一点，则该点落在x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A．1﹣B．﹣1C． D．3﹣2【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型．【分析】根据积分的几何意义求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由x=0，y=0，x=及y=cosx围成区域内围成的区域面积S==sinx|，由x=0，y=sinx及y=cosx围成的区域面积S==（sinx+cosx）|=，∴根据根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=，故选：B．10．若A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，O是圆心，且，存在实数λ，μ使得=，实数λ，μ的关系为（）A．λ2+μ2=1B． C．λ•μ=1D．λ+μ=1【考点】直线和圆的方程的应用；向量的共线定理；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由A，B，C是圆x2+y2=1上不同的三个点，可得，又，所以对两边平方即可得到结论．【解答】解：∵，两边平方得：∵∴λ2+μ2=1故选A11．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则a n=（）A． B． C． D．【考点】数列递推式．【分析】设b n=nS n+（n+2）a n，由已知得b1=4，b2=8，从而b n=nS n+（n+2）a n=4n，进而得到是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出．【解答】解：设b n=nS n+（n+2）a n，∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，∴b1=4，b2=8，∴b n=b1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，即b n=nS n+（n+2）a n=4n当n≥2时，∴，即，∴是以为公比，1为首项的等比数列，∴，∴．故选：A．12．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（）A． B．a＞1或a＜﹣3C．a＞1D．3【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】得出，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根得出mn=，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，a＞1或a＜﹣3，利用函数求解n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，【解答】解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数f（x）=﹣在[m，n]上单调递增，则，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根∵mn=∴m，n同号，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，∴a＞1或a＜﹣3，n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，故选：D二、填空题：：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是12 ．【考点】程序框图．【分析】从程序框图中得到实验数的定义，找出区间中被3整除的数；找出被12整除的数；找出不能被6整除的数得到答案．【解答】解：由程序框图知实验数是满足：能被3整除不能被6整除或能被12整除的数，在[30，80]内的所有整数中，所有的能被3整除数有：30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78共有17个数，在这17个数中能被12 整除的有36，48，60，72，共4个数，在这17个数中不能被6 整除的有33，39，45，51，57，63，69，75，共计8个数，所以在[30，80]内的所有整数中“试验数”的个数是12个．故答案为：12．14．已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值\frac{9}{2} ．【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由∥，可得：n+2m=4．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵∥，∴4﹣n﹣2m=0，即n+2m=4．∵m＞0，n＞0，∴+=（n+2m）=≥=，当且仅当n=4m=时取等号．∴+的最小值是．故答案为：．15．双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为\sqrt{7} ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，由此可得双曲线C的离心率e==故答案为：16．在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n 的值为12 ．【考点】等比数列的前n项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n 项和．【分析】设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的X围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=．（1）求角C的大小；（2）若b=4，△A BC的面积为6，求边c的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用降幂公式，两角和与差的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式，可求cosC的值，结合C的X围可求C的值．（2）利用三角形面积公式可求a的值，结合余弦定理即可求得c的值．【解答】解：（1）sin2+sinAsinB=．⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，（2）∵，，∴，∵c2=a2+b2﹣2abcosC=10，∴．18．如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（1）设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”依题意知p（A i）=，设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12，由此能求出此人到达当日空气质量重度污染的概率．（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和ξ的期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”（i=1，2，…，12）．依题意知，p（A i）=，且A i∩A j=Φ（i≠j）．设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12，所以P（B）=（A1∪A2∪A3∪A7∪A12）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A7）+P（A12）=．即此人到达当日空气质量重度污染的概率为．（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=P（A4∪A8∪A9）=P（A4）+P（A8）+P（A9）=，P（ξ=2）=P（A2∪A11）=P（A2）+P（A11）=，P（ξ=3）=P（A1∪A12）=P（A1）+P（A12）=，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=1﹣=，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P故ξ的期望Eξ=．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【分析】（1）由余弦定理得BD=，由勾股定理，得BD⊥AD，由线线面垂直得BD⊥PD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明PA⊥BD．（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面APB的法向量和平面PBC的法向量，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2，AD=1，由余弦定理得BD==，∴BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，∵PD⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PD，又AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，∴PA⊥BD．（2）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得A（1，0，0），P（0，0，1），B（0，，0），C（﹣1，，0），=（1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（﹣1，，﹣1），设平面APB的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，，3），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取b=，得=（0，，3），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，由图象知θ为钝角，∴cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣||=﹣．∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，椭圆C：，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中．设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．（1）求k1k2的值；（2）记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ=λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC必过点Q．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值；（2）联立直线AB的方程和圆方程，求得P的坐标；联立直线AB的方程和椭圆方程，求得B 的坐标，再求直线PQ，和直线BC的斜率，即可得到结论；（3）讨论直线PQ的斜率不存在和存在，联立直线PQ的方程和椭圆方程，求得Q的坐标，可得AQ的斜率，即可得证．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），，所以；（2）联立得，解得，联立得，解得，所以，，所以，故存在常数，使得．（3）证明：当直线PQ与x轴垂直时，，则，所以直线AC必过点Q．当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：，联立，解得，所以，故直线AC必过点Q．21．已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3﹣；（2）若对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，某某数a的取值X围；（3）当a=时，证明： f（i）＞2（n+1﹣）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）当a=1且x＞1时，构造函数m（x）=lnx+﹣2，利用函数单调性和导数之间的关系即可证明：f（x）＞3﹣；（2）根据函数最值和函数导数之间的关系将不等式恒成立问题进行转化，某某数a的取值X 围；（3）根据函数的单调性的性质，利用放缩法即可证明不等式．【解答】（1）证明：要证f（x）＞3﹣，即证lnx+﹣2＞0，令m（x）=lnx+﹣2，则m'（x）=，∴m（x）在（1，+∞）单调递增，m（x）＞m（1）=0，∴lnx+﹣2＞0，即f（x）＞3﹣成立．（2）解法一：由f（x）＞x且x∈（1，e），可得a，令h（x）=，则h'（x）=，由（1）知lnx﹣1+＞1+=，∴h'（x）＞0函数，h（x）在（1，e）单调递增，当x∈（1，e）时，h（x）＜h（e）=e﹣1，即a≥e﹣1．解法二：令h（x）=alnx+1﹣x，则h'（x）=，当a＞e时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，e）上是增函数，有h（x）＞h（1）=0，当1＜a≤e时，∵函数h（x）在（1，a）上递增，在（a，e）上递减，对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，即a≥e﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a≤1时，函数h（x）在（1，e）上递减，对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，而h（e）=a+1﹣e＜0，不合题意，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上得对∀x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，a≥e﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣】【解法三：由f（x）＞x且x∈（1，e）可得由于表示两点A（x，lnx），B（1，0）的连线斜率，由图象可知y=在（1，e）单调递减，故当x∈（1，e）时，，∴0，即a≥e﹣1．（3）当a=时，f（x）=，则f（i）=ln（n+1）!+n，要证f（i）＞2（n+1﹣），即证lni＞2n+4﹣4，由（1）可知ln（n+1）＞2﹣，又n+2=（n+1）+1＞2＞，∴，∴ln（n+1）＞2﹣，∴ln2+ln3+…+ln（n+1）=2n+4﹣4，故f（i）＞2（n+1﹣）．得证．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论．（Ⅱ）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所给的条件，得到要求线段的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB因为OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN∴PM2=PN2=PA•PC（Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4∵BM•MN=CM•MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y ﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【考点】直线的参数方程；点到直线的距离公式；柱坐标刻画点的位置．【分析】（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，求出t1+t2和t1•t2，根据|AB|=•|t1﹣t2|=5，运算求得结果．（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=．由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，设A，B对应的参数分别为 t1和t2，则 t1+t2=，t1•t2 =﹣．所以|AB|=•|t1﹣t2|=5 =．（Ⅱ）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=．所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||=．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值X围．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…。

北京市顺义区届高三第一次统练考试数学(理)试题.pdf

n
（A）若 n 为偶数，则集合 M 的个数为 22 个；
n
（B）若 n 为偶数，则集合 M 的个数为 22 −1个；
n−1
（C）若 n 为奇数，则）若 n 为奇数，则集合 M 的个数为 2 2 个.
二.填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)
9. 已知 i 为虚数单位，在复平面内复数 2i 对应点的坐标为 __________. 1+ i
10.一个几何体的三视图如图所示，
则这个几何体的体积是___________．
3
4 主视图
侧（左）视图
俯视图
2
11. ( x − 1)6 的展开式中，常数项是______________. x
12.已知抛物线 y2 = 2 px（ p 0）的焦点为 F ，准线为 l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥ l ，垂足为 A .如果 APF 是边长为 4 的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为__________, 点 P 的横坐标 xP = ______.
0)
满足对任意实数
x1
x2
，都有
f (x2 ) − f (x1) 0 成立，则 a 的取值范围是 x2 − x1
（A） (0,1) （B） (1, +)
（
C）
1,
5 3
8.设非空集合 M 同时满足下列两个条件：
① M 1, 2,3,, n −1 ；
（
D）
5 3
,
2
②若 a M ，则 n − a M ， (n 2, n N + ) .则下列结论正确的是
4x − 3y + 4 0
13.
设
x,
y
满足约束条件

2016年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2016年北京，理1，5分】已知集合{}|2A x x =<<，{}1,0,1,2,3=-，则A B =（）（A ）{}0,1 （B ）{}0,1,2 （C ）{}1,0,1- （D ）{}1,0,1,2- 【答案】C【解析】集合{}22A x x =-<<，集合{}1,0,1,2,3B x =-，所以{}1,0,1AB =-，故选C ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．（2）【2016年北京，理2，5分】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2x y +的最大值为（）（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=，故选C ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．（3）【2016年北京，理3，5分】执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（）（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B 【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =，故选B ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．（4）【2016年北京，理4，5分】设a ，b 是向量，则“a b =”是“a b a b +=-”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若=a b 成立，则以a ，b 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b ，a b -表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -成立，则以a ，b 为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b 不一定成立，从而不是必要条件，故选D ．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“a b =”与“a b a b +=-”表示的几何意义，是解答的关键．（5）【2016年北京，理5，5分】已知x y ∈R ，，且0x y >>，则（）（A ）110x y -> （B ）sin sin 0x y ->_ （C ）11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）ln ln 0x y +>【答案】C【解析】A ．考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B ．考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C ．考查的是指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错，故选C ．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（6）【2016年北京，理6，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）1【答案】A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==，故选A ．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．（7）【2016年北京，理7，5分】将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移()0s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图象上，则（）（A ）12t =，s 的最小值为6π （B ）32t =，s 的最小值为6π（C ）12t =，s 的最小值为3π （D ）32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移s 个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以s 的最小值为π6，故选A ．【点评】本题考查的知识点是函数()()sin 0,0y x A ωϕω=+>>的图象和性质，难度中档．（8）【2016年北京，理8，5分】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．故选B ．【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题．二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

顺义区届高三第一次统练 (2)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作顺义区2016届高三第一次统练数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设i 为虚数单位，则(1)+=i i ( )（A ） 1-i （B ）1-+i （C ）1--i （D ）1+i2.已知集合2{|1}=<A x x ，{|21}=<x B x ，则A B = （）（A ）(1,0)- （B ）(1,1)- （C ）(,0]-∞（D ）(,1)-∞3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）（A ）2-=x y （B ）3=+y x x （C ）1=-y x（D ）ln =y x 4.已知点(2,1)-P 为圆22(1)25-+=x y 的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为（）（A ）30--=x y（B ）230+-=x y（C ）10+-=x y（D ）250--=x y5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是 ( )A. 15B. 21C. 24D. 356.已知,∈a b R ，则“2≥ab ”是“224+≥a b ”成立的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件7.在平面直角坐标系中，若不等式组10,10,10+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩x y x ax y （a 为常数）表示的区域面积等于3，则a 的值为（）（A ） 5- （B ） 2- （C ）2 （D ）5 8.如图，矩形ABCD 与矩形ADEF 所在的平面互相垂直，将DEF V 沿FD 翻折，翻折后的点E (记为点P )恰好落在BC 上. 设1=AB ，=FA x (1)>x ，=AD y .则以下结论正确的是（）（A ）当2=x 时，y 有最小值433（B ）当2=x 时，y 有最大值 433（C ）当2=x 时，y 有最小值 2 （D ）当2=x 时，y 有最大值 2第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知向量(2,1)=a ，(1,)+=a b k ，若⊥a b ，则实数_________.=k10.抛物线28=y x 的准线与双曲线22:184-=x y C 的两条渐近线所围成的三角形面积为_________.11.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin =a b A ，则___________.=B12.已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是________（单位:2cm ）.13.国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售.据市场调查预测，某地区今年Q 型电动汽车的的销售将以每月10%的增长率增长；R 型电动汽车的销售将每月递增20辆.已知该地区今年1 月份销售Q 型和R 型车均为50辆，据此推测该地区今年Q 型汽车销售量约为_______辆；这两款车的销售总量约为_______辆.（参考数据：111.1 2.9,≈121.1 3.1,≈131.1 3.5≈）14.设集合3|12⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭b a b a 中的最大和最小元素分别是M m 、,则__,=M __=m . 三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()sin 22cos =-f x x x ，∈x R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值.16.（本小题满分13分）某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数，得到如下数据：日期 3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日昼夜温差()︒C 9 11 13 12 8 10 发芽数（粒）232530261624（Ⅰ）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率；（Ⅱ）从3月1日至3月6日这六天中,按照日期顺序从前往后任选2天，记发芽的种子数分别为,m n ，用(,)m n 的形式列出所有基本事件，并求满足25302530≤≤⎧⎨≤≤⎩m n 的事件A 的概率.17.（本小题满分13分 )已知等差数列{}n a ，23=a ，59=a . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）令=n a n b c ，其中c 为常数，且0>c ，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分13分）如图，已知⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ， ACD 是等边三角形，22===AD DE AB ， ,F G 分别为,AD DC 的中点. （Ⅰ）求证：⊥CF 平面ABED ；（Ⅱ）求四棱锥-C ABED 的体积；（Ⅲ）判断直线AG 与平面BCE 的位置关系，并加以证明.19.（本小题满分14分 )已知函数2()21=+++x f x xe ax x 在1=-x 处取得极值. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()1=--y f x m 在[2,2]-上恰有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分14分 )已知椭圆:E 22221x y a b+=(0)a b >>的一个焦点(2,0)F ，点(2,2)A 为椭圆上一点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设,M N 为椭圆上两点，若直线AM 的斜率与直线AN 的斜率互为相反数. 求证：直线MN 的斜率为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,AMN 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.顺义区2016届高三第一次统练数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. B ；2. A ；3. B ；4. A ；5. C ；6. A ；7. D ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 3； 10.22；11.6π或 56π ; 12. 43+π ； 13.1050,2970；14. 5,23 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知2()sin 22cos =-f x x x sin 2cos 212sin(2)14=--=--x x x π【4分】∴()f x 的最小正周期为π 【6分】（Ⅱ）02π≤≤x ，32444πππ∴-≤-≤x ，【7分】∴当244ππ-=-x ，即0=x 时， min ()2=-f x 【10分】当242ππ-=x ，即38π=x 时， max ()21=-f x 【13分】16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）这6天的平均发芽率为：232530261624100100100100100100100%24%6+++++⨯=， ∴这6天的平均发芽率为 24% 【6分】（Ⅱ）(,)m n 的取值情况有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(23,24),(25,30),(25,26),(25,16),(25,24),(30,26),(30,16),(30,24),(26,16),(26,24),(16,24),事件数为15 【9分】设25302530≤≤⎧⎨≤≤⎩m n 为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30),(25,26)(30,26)∴所求概率31155==P 【13分】17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知11349+=⎧⎨+=⎩a d a d ，【2分】解得12,1==d a 【4分】∴数列{}n a 的通项公式为21=-n a n . 【6分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知21-==na n nb cc 【7分】当 1=c 时，1=n b ， ∴.=n S n 【9分】当 1≠c 时，121+-+==n n a a n nb c c b ， ∴{}n b 是1=b c ，公比为2c 的等比数列；【11分】 ∴22(1)1-=-n n c c S c 【13分】 18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）F 为等腰ACD 的边AD 的中点，∴⊥CF AD⊥AB 平面ACD ，⊂AB 平面ABED∴ 平面⊥ACD 平面ABED ，且交线为AD .由⊂CF 平面ACD ， ⊥CF AD ，∴⊥CF 平面ABED 【4分】（Ⅱ）1(21)232=⋅+⋅=ABEDS，3=CF ∴133-=⋅=C ABEF ABEF V S CF 【8分】（Ⅲ）结论：直线AG ∥平面BCE . 证明：取CE 的中点H ，连结,GH BH ，G 是CD 的中点， ∴GH ∥DE ，且 GH =12DE 由已知⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ，∴GH ∥AB ，且GH =1=AB ，∴四边形ABHG 为平行四边形，【11分】∴AG ∥BH ，又⊄AG 平面BCE ，⊂BH 平面BCE∴AG ∥平面BCE . 【13分】19.解：（本小题满分14分）（Ⅰ）'()22=+++x xf x e xe ax ，Q ()f x 在处取得极值，∴'(1)0-=f ，解得1=a .经检验1=a 适合.【2分】∴2()21=+++x f x xe x x ，'()(1)(2)=++x f x x e当(,1)∈-∞-x 时， '()0<f x ，∴()f x 在(,1)-∞-递减；当(1)∈-+∞x 时， '()0>f x ，∴()f x 在(1,)-+∞递增. 【6分】（Ⅱ）函数()1=--y f x m 在[2,2]-上恰有两个不同的零点，等价于220++-=x xe x x m 在[2,2]-上恰有两个不同的实根，等价于22++=x xe x x m 在[2,2]-上恰有两个不同的实根. 【8分】令2()2=++x g x xe x x ，∴'()(1)(2)=++x g x x e ，由（Ⅰ）知()g x 在(,1)-∞-递减；在(1,)-+∞递增.()g x 在[2,2]-上的极小值也是最小值；min 1()(1)1=-=--g x g e . 【11分】又22(2),-=-g e2(2)82(2)=+>-g e g∴2121--<≤-m e e ，即212(1,]∈---m e e【14分】20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知2=C ，Q (2,2)A 在椭圆上，∴22421+=a b，【2分】又 222=+a b c ，解得224,8==b a ，∴所求椭圆方程为22184+=x y 【4分】（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，直线AM 的斜率为k ，则直线AN 的斜率为-k ，∴222(2)184⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去y 得2222(12)(842)88240+--+--=k x k k x k kQ 曲线E 与直线l 只有两个公共点，∴0>，【6分】且1,2x 是方程的二根，∴2128824212--=+k k x k ，∴212442212--=+k k x k， ∴21122242(2)212-==-+-++k k y k x k ，【7分】同理222442212+-=+k k x k ，222224212++=-+k k y k∴ 212182282-===-MN y y k k x x k 为定值. 【9分】 ( Ⅲ )不妨设过,M N 的直线方程为：22=+y x m 由2222184⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x m x y ，消去y 得22240++-=x mx m ，由0>，解得28<m ，122,+=-x x m 2124=-x x m ，计算得：(2,2)A 点到直线MN 的距离|2|6=m d∴2121211|2|1||1()42226=⋅⋅=++-AMNm Sd MN x x x x4222112162(4)3222=⋅-+=--+m m m ∴当24,=m 即2=±m 时，max ()22=AMN S V 【14分】。

2016年海淀区第一次模拟考试理科数学

药时，药在其体内的残留量是 _______ 毫克，若该患者坚持长期服用此药 ________ 明显．．副作用（此空填“有”或“无”）.
【答案】350,无【考查方向】等比数列【易错点】等比数列的通项公式求错【解题思路】先根据题意求出数列 an 的钱几项，找到规律，进而求出 an 的值。【解析】设该病人第 n 次服药后，药在体内的残留量为 an 毫克，所以
顺义区 2016 届高三第一次统练
数
学
试
卷（理科）
共 40 分）
2016.3
第Ⅰ卷（选择题
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.设 i 为虚数单位，则 i (2i 1) （A） 2 i
【答案】C 【考查方向】复数的概念【易错点】忽略 i 1 这一等式
4.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（A）15 （B）21 （C）24 （D） 35
【答案】C 【考查方向】流程图【易错点】循环语句理解错误，判断条件看错【解题思路】顺序结构循环结构判断结构【解析】
(
)
T=3,S=3,i=2,不满足判断框中的条件； T=5,S=8,i=3,不满足判断框中的条件； T=7,S=15,i=4,不满足判断框中的条件； T=9,S=24,i=5,满足判断框中的条件；输出 S,输出结果为 35，所以选 C r r r 5.已知向量 a ( x, 1) ， b ( x, 4) ，其中 x R .则“ x 2 ”是“ a b ”成立的（（A）充分而不必要条件（C）充要条件（B）必要而不充分条件（D）既不充分又不必要条件
【解析】设 A1 ( x1 , y1 , z1 ), A2 ( x2 , y2 , z2 ), A3 ( x3 , y3 , z3 ), A4 ( x4 , y4 , z4 ), A5 ( x5 , y5 , z5 )

2016届高三诊断性大联考(一)数学(理)试卷(含解析)

绝密★启用前数学(理科）班级姓名注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

考试时间120分钟，总共150分。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。

4.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

第I 卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={X ∣X-1>0},集合 B={X ∣∣X ∣≤2}，则A ∩B= A. (-1,2) B. [-2,2] C. (1,2] D.[-2，+∞)2.复数Z 满足（1-2i)z =(1+i)2，则z 对应复平面上的点的坐标为 A.（-54 ，52 ） B.（-52 ，53 ） C.（54，-52） D.（52，53） 3.已知向量a 、b ，其中a=（-2，-6），b= ，a •b=-10 ，则a 与b 的夹角为A.1500B.-300C.-600D.12004.设a ， b 表示两条不同的直线， α、β、γ表示三个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若a 丄α,且a 丄b,则b ∥aB.若γ丄α且γ丄β,则α∥βC.若a ∥α且a ∥β, 则α∥βD.若γ∥α且γ∥β,则α∥β5.函数f(x)=asin3x+bx 3+4,其中 a ，b ∈R ，f'(x)为f(x)的导函数，则f( 2014 )+f(-2014 ) +f'( 2015 )-f'(-2015) = A. 0B. 2014C. 8D. 20156.已知右边程序框图（如图）,若输入a 、b 分别为10、4,则输出的a 的值为A.0B.2C.4D.147.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，若asinA+bsinB=2sinC,则cosC 的最小值为A. B.C.21 D. -21 8.有如下几种说法：①若pVq 为真命题，则p 、q 均为真命题； ②命题“∃x 0∈R ，2x0≤ 0”的否定是∀x ∈R,2X>0；③直线l:y=kx+l 与圆O:x 2+y 2=1相交于A 、B 两点，则“k =l”是△OAB 的面积为21的充分而不必要条件；④随机变量ξ-N(0,1)，已知φ (-1.96)=0.025，则 P( ξ∣f ∣< 1.96 )=0.975. 其中正确的为A. ①④B.②③C. ②③④D.②④ 9.将函数f(x)=Sin(2x+3π)的图象向右平移2π个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则dx x g ⎰π)(A. 0B. πC.2D.110.任取k ∈[-1，1],直线 L:y=kx+3 与圆 C:(x-2)2+(y-3) 2=4 相交于M 、N 两点，则∣MN ∣≥的概率为A. 33B. 23 C. 32 D. 2111.已知函数f （x ）g(x)= 54-f(1-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点的个数为 A.2 B.3 C.4 D.512.多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位cm 2) A.28+B. 30+C. 28+D. 28+第Ⅱ卷(非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.二项式(2x+x1)6的展开式中的常数项是 .14.实数x 、y 满足条件的最小值为 .15.已知sina=53 ，α∈(0, 2π)，tan β=41，则 tan(α+β))= . 16.已知AB 是圆C:（x+2)2+(y-l)2=52的一条直径，若楠圆 x 2+4y 2=4b 2(b ∈R)经过 A 、B 两点，则该椭圆的方程是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）已知各项均为正数的等差数列{a n }，且a 2+b 2=20,a 1+a 2=64. (I)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =nX 42an,求数列的前n 项和.18.(本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，△ABC 是边长为2的等边三角形， AD 丄DC ，AD=DC ，E 、F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD, DF 丄平面ABCD ，且DF=1. (I)若AE 丄CF ，求 BE 的值；(Ⅱ)求当BE 为何值时，二面角E-AC-F 的大小是60°. 19. (本小题满分12分）2015年10月4日，强台风“彩虹”登陆广东省湛江市，“彩虹”是1949年以来登陆中国陆地的最强台风。

2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)

绝密 ★ 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)数学(理科）注意事项： 1。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。

2。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3。

全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合{}2430A x x x =-+< ，{}230x x ->,则A B =（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D)3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题，一般以基础题形式出现，属得分题。

解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，常借助数轴进行运算。

(2）设(1i)1i x y +=+，其中x ,y 实数,则i =x y + (A ）1 （B 2 （3 （D ）2 【答案】B 【解析】试题分析：因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=故选B 。

考点:复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现，属得分题。

高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等，复数的几何意义，共轭复数，复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误，特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性。

(3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =，则100a = (A ）100 （B ）99 （C ）98 （D)97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C 。

北京市顺义区2016届高三3月一模理科数学试题 Word版含答案

北京顺义区2016届高三一模数学试卷（理科） 2016.3第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设i 为虚数单位，则(21)i i += ( ) （A ） 2i + （B ） 2i - （C ）2i -+ （D ）2i --2.已知集合2{|1}=<A x x ，2{|log 1}=<B x x ，则= A B （）（A ）{|11}-<<x x（B ）{|01}<<x x（C ）{|02}<<x x （D ）{|12}-<<x x3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）（A ）2=x y （B ）3=+y x x（C ）1=-y x（D) 2log =-y x4.执行如图所示的程序框图，输出的结果是 ( )（A ）15 （B ）21 （C ）24 （D ） 355.已知向量(,1)=-a x ，(,4)=b x r ，其中∈x R .则“2=x ”是“⊥a b r r”成立的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件6.直线l：122⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y （t 为参数）与圆C ：22cos 12sin =+⎧⎨=+⎩x y θθ（θ为参数）的位置关系是 ( ) （A ）相离（B ）相切（C) 相交且过圆心（D ）相交但不过圆心7.在平面直角坐标系中，若不等式组22,12,10+≥⎧⎪≤≤⎨⎪-+≥⎩x y x ax y （a 为常数）表示的区域面积等于1，则a 的值为( )（A ） 16- （B ） 16 （C ）12 （D ）18.如图，已知平面αI 平面β=l ，⊥αβ.A B 、是直线l 上的两点，D C 、是平面β内的两点，且⊥DA l ，⊥CB l ，4,=DA 6=AB ，8=CB .P 是平面α上的一动点，且有∠=∠APD BPC ，则四棱锥-P ABCD 体积的最大值是（）（A ）48 （B ） 16 （C）（D ）144第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.261()+x x的展开式中3x 的系数为______（用数字作答).10.抛物线28=-y x 的准线与双曲线22:184-=x y C 的两条渐近线所围成的三角形面积为_________.11.已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是________（单位:2cm ）.12.已知函数2322,1()log (1).1⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩x x f x xx x则((______;=f f ()f x 的最小值为．13.某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时．．．．，药在其体内的残留量是_______毫克，若该患者坚持长期服用此药________明显副作用（此空填“有”或“无”）.14..设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点，则使510==∑k k MA 成立的点M 的个数有_________ 个.三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数21()cos()cos sin 22=--+f x x x x π，∈x R .（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）若[,]63∈-x ππ，求函数()f x 的单调递增区间. 16.（本小题满分13分）在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了A B ，两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题A 可获得100分，答对问题B 可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题.答题终止后，获得的总分决定获奖的等次.若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对A B ，问题的概率分别为 1124， .（Ⅰ）记甲先回答问题A 再回答问题B 得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，等边 PAD 所在的平面与正方形ABCD 所在的平面互相垂直,O 为AD 的中点，E 为DC 的中点，且 2.=AD（Ⅰ）求证：⊥PO 平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角--P EB A 的余弦值；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在点M ，使线段PM 与 PAD 所在平面成30︒角.若存在，求出AM 的长,若不存在，请说明理由. 18.（本小题满分13分）已知函数2()ln =-f x x x .（Ⅰ）求曲线()=y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）设2()=-+g x x x t ，若函数()()()=-h x f x g x 在1[,]e e上(这里 2.718≈e ）恰有两个不同的零点,求实数t 的取值范围. 19.（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221x y a b +=(0)a b >>的离心率e ，且点在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；(Ⅱ)直线l 与椭圆E 交于A 、B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2.求 AOB （O 为坐标原点)面积的最大值.20.（本小题满分14分）在数列{}n a 中，10=a ，21+=+n n a a m ，其中∈m R ，*∈n N .（Ⅰ）当1=m 时，求234,,a a a 的值；（Ⅱ）是否存在实数m ，使234,,a a a 构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）当14>m 时，证明：存在*∈k N ，使得2016>k a .顺义区2016届高三第一次统练数学试卷（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. B ；3. B ；4. C ；5. A ；6. D ；7. B ； 8 . A .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 20; 10.; 11. 43+π; 12.1,0 ； 13.350 , 无. 14. 1. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知21()cos()cos sin 22=--+f x x x x π1cos 21sin cos 22-=-+x x x 【3分】11sin 2cos 2)224=+=+x x x π 【6分】当 2242+=+x k πππ ，即8=+x k ππ，∈k z 时，max ()=f x 【7分】（Ⅱ) 当222242-≤+≤+k x k πππππ时，()f x 递增【9分】即388-≤≤+k x k ππππ，令0=k ，且注意到[,]63∈-x ππ ∴函数()f x 的递增区间为[,]68-ππ【13分】16.（本小题满分13分）（Ⅰ）ξ的可能取值为0,100.300. 【2分】∴0111(0=()(1)222=⋅-=P ξ），113(100=(1)248=⋅-=P ξ），111(300=248=⋅=P ξ）【5分】分布列为：758==E ξ. 【7分】（Ⅱ）设先回答问题B ，再回答问题A 得分为随机变量η，则η的可能取值为0,200.300.∴13(0=(1)44=-=P η）， 111(200=(1)428=⋅-=P ξ）， 111(300=428=⋅=P ξ），【10分】分布列为：62.58==E η. 【12分】>E E ξη∴应先回答A 所得分的期望值较高. 【13分】17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ） PAD 是等边三角形，O 为AD 的中点, ∴⊥PO AD平面⊥PAD 平面ABCD ，AD 是交线，⊂PO 平面PAD∴⊥PO 平面ABCD . 【4分】（Ⅱ）取BC 的中点F ，底面ABCD 是正方形，∴⊥OF AD ，∴,PO OF AD ，两两垂直.分别以OA OF OP 、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(1,2,0),(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0)---P B C D A E 【5分】(1,0,= PA ，(2,1,0,)=- AE ，(1,1=- EP ，(2,1,0,)=EB设平面PBE 的法向量为(,,)= n x y z ，∴00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n PE n EB ，∴(,,)(1,0(,,)(2,1,0)0⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩x y z x y z∴020⎧-=⎪⎨+=⎪⎩x y x y ，∴12⎧=⎪=-⎨⎪=⎩x y z ，∴(1,2,=- n 平面EBA 的法向量即为平面ABCD的法向量=OP .由图形可知所求二面角为锐角，∴cos ,||||||⋅<>==n OP n OP n OP 【9分】 (Ⅲ)方法1：设在线段AB 上存在点(1,,0)M x ，(02)<≤x ，使线段PM 与 PAD 所在平面成030角，平面PAD 的法向量为(0,2,0)，(1,,=PM x ，∴01sin 30|2===，解得=x∴在线段AB 上存在点M ，当线段=AM 时，与 PAD 所在平PM 面成030角. 【13分】方法2：由（Ⅰ）知⊥PO 平面ABCD ， ⊥BA AD ，⊥BA PO ,= PO AD O∴⊥BA 平面POD .设在线段AB 上存在点M 使线段PM 与 PAD 所在平面成030角，连结PM ，由线面成角定义知：∠MPA 即为PM 与 PAD 所在平面所成的角,0tan 30=⋅=AM PA ,当线段=AM PAD 所在平PM 面成030角.18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数定义域为(0,)+∞ 【1分】1'()2=-f x x x，∴'(1)1=f 【2分】又(1)1=f ，∴所求切线方程为11-=-y x ，即0-=x y 【5分】（Ⅱ）函数()()()ln =-=-+-h x f x g x x x t 在1[,]e e上恰有两个不同的零点，等价于ln 0-+-=x x t 在1[,]e e上恰有两个不同的实根，【8分】等价于ln =-t x x 在1[,]e e上恰有两个不同的实根，令()ln ,=-k x x x 则11'()1-=-=x k x x x∴当1(,1)∈x e 时，'()0<k x ，∴()k x 在1(,1)e递减；当(1,]∈x e 时，'()0>k x ，∴()k x 在(1,]e 递增. 故min ()(1)1==k x k ，又11()1,()1=+=-k k e e e e. 【11分】 11()()20-=-+<k k e e e e ，∴1()()<k k e e ，∴1(1)()<≤k t k e即1(1,1]∈+t e【13分】 19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知 221314=-=e a ，∴24=a 【2分】点在椭圆上，∴221314+=a b，解得2,1==a b . ∴所求椭圆方程为2214+=x y 【4分】(Ⅱ)设11(,)A x y ，22(,)B x y ， AB 的垂直平分线过点1(0,2）, ∴AB 的斜率k 存在. 当直线AB 的斜率0=k 时， ∴1212,=-=x x y y∴12|||||||||2=⋅==AOBS x y x y xV 2214122+-=⋅=x x ""=当且仅当22114,=-x x∴1=x max ()1=AOB S V 【6分】当直线AB 的斜率0≠k 时，设:=+AB l y kx m (0)≠m .∴2214=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx mx y 消去y 得：222(14)8440+++-=k x kmx m 由0∆>.2241+>k m ① 【8分】∴2121222844,1414-+=-=++km m x x x x k k ， ∴1224,214+=-+x x kmk ∴121222214++=+=+y y x x m k m k，∴AB 的中点为224(,)1414-++km mk k 由直线的垂直关系有211421414-+⋅=--+m k k km k ，化简得2146+=-k m ② 由①②得26,60->∴-<<m m m 【10分】又(0,0)O 到直线=+y kx m的距离为=d ，12|||4=-=AB x x 【12分】1||42==AOBS AB dV |==m 60-<<m Q ，∴3=-m 时，max 1()313=⨯=AOB S V .由3=-m ，∴21418+=k，解得=k即=k max ()1=AOB S V ；综上：max ()1=AOB S V ；【14分】 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）21=a ，32=a ，45=a . 【3分】（Ⅱ） 234,,a a a 成等差数列，∴3243-=-a a a a ，即 222233+-=+-a m a a m a ，∴ 223232()()0---=a a a a ，即()()323210-+-=a a a a . 320-≠a a ，∴3210+-=a a .将2=a m ，23=+a m m 代入上式，解得1=-m 【7分】经检验，此时234,,a a a 的公差不为0.∴存在1=-m 234,,a a a 构成公差不为0的等差数列. 【8分】（Ⅲ） 221111()()244+-=+-=-+-≥-n n n n n a a a m a a m m , 又 14>m ，∴ 令104=->d m . 【10分】由 1--≥n n a a d ， 12---≥n n a a d ，…… 21-≥a a d ，将上述不等式相加，得 1(1)-≥-n a a n d ，即(1)≥-n a n d . 【12分】取正整数20161>+k d ，就有2016(1)()2016≥->⋅=k a k d d d. 【14分】。

顺义区高三期末统一测试

顺义区2016届高三期末统一测试数学试卷（文科）2016.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{|210}A x x =+<，{|10}B x x =-<<，那么A B =I （）（A ）1{|1}2x x -<<- （B ）{|0}x x < （C ）1{|}2x x <-（D ）1{|0}2x x -<<2.下列函数中为奇函数的是（）（A ）sin y x x =⋅（B ）cos y x x =⋅（C ）ln ||y x =（D ）21x y =-3.某学校共有师生4000人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为200的样本，调查师生对学校食堂就餐问题的建议.已知从学生中抽取的人数为190人，那么该校的教师人数为（）（A ）100人（B ）150人（C ）200人（D ）250人4.若,x y 满足约束条件0100x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-+的最大值为（）（A ）1（B ）32（C ）2（D ）35.已知某三棱锥的三视图尺寸（单位cm ）如图，则这个三棱锥的体积是（）（A ）383cm （B ）343cm （C ）323cm （D ）313cm6.对于非零向量,a b r r，“230a b +=r r r ”是“a r ∥b r ”成立的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件7.如下程序框图中，当*(1)n N n ∈>时，函数()n f x 表示函数1()n f x -的导函数，即1()'()n n f x f x -=.若输入函数1()sin cos f x x x =+ 则输出的函数()n f x 为() （A ）2sin()4x π+（B ）2sin()4x π-+（C ）2sin()4x π-（D ）2sin()4x π--8.设函数()|21|,x f x c b a =-<<，且()()()f c f a f b >>，则22a c+与2的大小关系是（）（A ）222a c +>（B ）222a c +≥（C ）222a c +≤（D ）222a c +<第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9.若(1)1()i i xix R +⋅=-+∈则___________.x =10．123123,2,log 3-三个数中最大的数是_________.11.已知函数2,0()(1),0x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，则(2)(2)____________.f f +-= 12.在ABC V 中，若16,4,cos 3BC AB B ===，那么_________.AC = 13.过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点垂直于x 轴的弦长为a .则双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为___________.14.某辆汽车购买时的费用是10万元，每年使用的保险费、高速公路费、汽油费等约为2万元，年维修保养费用第一年0.1万元，以后逐年递增0.2万元.设这辆汽车使用*()n n N ∈年的年平均费用为()f n .+(=买车费用每年用车产生的费用年平均费用）使用年数则()f n 与n 的函数关系式()f n =______________;这辆汽车报废的最佳年限约为___________年.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数21()sin222x f x x =+-．（Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间5[,]66ππ-上的最大值和最小值．16.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+*()n N ∈（Ⅰ）求证：数列{1}n a 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S . 17.（本小题满分13分）某中学一名高三数学教师，对其所教的文科班50名同学的一次数学成绩进行了统计，全年级文科数学平均分是100分，这个班数学成绩的频率分布直方图如下：（总分150分）（Ⅰ）试估算这个班的数学平均分是否超过年级文科数学平均分？（Ⅱ）从这个班中任取1人，其数学成绩达到或超过年级文科平均分的概率是多少？18.（本小题满分13分）如图PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，1,2PA AB AD ===，点F 是PB 的中点，点E 是BC 边上的任意一点.（Ⅰ）求三棱锥E —PAD 的体积；（Ⅱ）当E 是BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）证明：AF PE ⊥. 19.（本小题满分14分)已知椭圆:E 22221x y a b +=(0)a b >>的一个顶点(0,3)A ，离心率12e =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 相切于点P ，且与直线4x =相交于点Q . 求证：以PQ 为直径的圆过定点(1,0)N . 20.（本小题满分14分）已知函数()ln f x x mx =-.（Ⅰ）若2m =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在[1,]e 上的最大值；（Ⅲ）若()0f x m +≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数m 的值.顺义区2016届高三期末统一测试（文科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A；2.B；3.C；4.C；5.B；6.A；7.C；8.Ｄ.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.，10.，11.，12.，13.，14..三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知【2分】【4分】【6分】（Ⅱ），，【9分】当，即时，【11分】当，即时，【13分】16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由得【4分】数列是首项为3公比为3的等比数列.【6分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知【9分】【13分】17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由频率分布表知这个班的数学平均分至少是，这个班的数学平均分超过年级平均分.【6分】（Ⅱ）此班在分数段的共有人所求概率【13分】18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）平面，底面是矩形，【4分】（Ⅱ）当为的中点时，是的中点，∥，平面平面∥平面.【8分】（Ⅲ），是的中点，底面，，又平面【11分】平面，又，平面，平面，【13分】19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由（Ⅰ）由已知，【2分】解得，所求椭圆方程为【4分】（Ⅱ）消去得曲线与直线只有一个公共点，，可得（*）故设，，.【8分】又由，，，【10分】，以为直径的圆过定点【14分】20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）时切线方程为：，即【4分】（Ⅱ）当时，在恒成立，在上单调递增，故在。