稳衡磁场

4. 说明
v Idl
v r
v P dB
电流元Idl 的方向即为电流的方向； 电流元 的方向即为电流的方向； 右手螺旋法则确定 dB的方向由 和r的方向确定，即用右手螺旋法则确定； 的方向由Idl 的方向确定， 的方向由 的方向确定 即用右手螺旋法则确定； 毕奥－萨伐尔定律是求解电流磁场的基本公式 利用该定律， 求解电流磁场的基本公式， 毕奥－萨伐尔定律是求解电流磁场的基本公式，利用该定律， 原则上可以求解任何稳恒载流导线产生的磁感应强度。 原则上可以求解任何稳恒载流导线产生的磁感应强度。
[例] 直电流的磁场。 例 直电流的磁场。 解： 每个电流元产生磁场同方向
z
D
θ2
µ 0 Idz sin θ B = ∫ dB = ∫ 2 4π r
r
v dB
* y P
dz θ v
I
z = −d cot θ
d dz = dθ 2 sin θ d r= sin θ
z
θ1
x
C
d o
µ0 B= 4π
z
应用举例
解题步骤: 解题步骤
1.选取合适的电流元 选取合适的电流元——根据已知电流的分布与待求场点的位 选取合适的电流元 根据已知电流的分布与待求场点的位 置； 2.选取合适的坐标系 选取合适的坐标系——要根据电流的分布与磁场分布的的特 选取合适的坐标系 要根据电流的分布与磁场分布的的特 点来选取坐标系，其目的是要使数学运算简单； 点来选取坐标系，其目的是要使数学运算简单； 3.写出电流元产生的磁感应强度 写出电流元产生的磁感应强度——根据毕奥－萨伐尔定律； 根据毕奥－ 写出电流元产生的磁感应强度 根据毕奥 萨伐尔定律； 4.计算磁感应强度的分布 计算磁感应强度的分布——叠加原理； 叠加原理； 计算磁感应强度的分布 叠加原理 5.一般说来，需要将磁感应强度的矢量积分变为标量积分，并 一般说来，需要将磁感应强度的矢量积分变为标量积分， 一般说来 标量积分 选取合适的积分变量， 统一积分变量。 选取合适的积分变量，来统一积分变量。
β1 = 0, β2 = π / 2 或 β1 = π / 2, β2 = π
x
-L/2 O L/2 只要L>>R， 轴线上 的磁场就 ， 只要 是均匀的。 是均匀的。
B = µ0nI / 2
在管端口处， 在管端口处，磁场 等于中心处的一半。 等于中心处的一半。
[例] 无限长薄铜片，宽为 ，电流 ，求 例 宽为a，电流I， 铜片中心线上方之 B 。 解： 一个细窄条相当于一个直电流
2、磁感应强度B 磁感应强度
（反映了磁场在某点的方向特征和强弱特征） 反映了磁场在某点的方向特征和强弱特征） 方向特征和强弱特征 ：（1）在磁场中的任一点存在一个特殊的方向 特殊的方向， 方向：（ ）在磁场中的任一点存在一个特殊的方向，当电荷 沿此方向或其反方向运动时所受的磁场力为零。 沿此方向或其反方向运动时所受的磁场力为零。 垂直的方向运动时 （2）当电荷沿与上述方向垂直的方向运动时，电荷所 ）当电荷沿与上述方向垂直的方向运动时， 受到的磁场力最大 计为F 磁场力最大（ 受到的磁场力最大（计为 max）
a 2 a − 2
y p y
r dB
θ θ r
x
µ0 I a = arctan πa 2y
y << a ⇒B=
o x dx
µ0 I
2a
对应于无限大面电流产生的磁场！ 对应于无限大面电流产生的磁场！
[例] 圆盘半径 R，带电 q , 以 ω 旋转， 例 旋转， ， r 求圆心处B 求圆心处 与 m 。 解： 一个圆环相当于一个圆电流
所作的功为零 ，所以F所作的功为零。 所以 所作的功为零。
F不改变 的大小，只改变 方向，动能不变。 不改变V的大小 只改变V方向 动能不变。 方向， 不改变 的大小，
四、带电粒子在磁场中的运动 1、V//B 速度方向与磁场方向平行
f =0
匀速直线运动。
2 、 ⊥ B 速度方向与磁场方向垂直 V × 大小： 大小： f = qvB
r Idl
y
B=
µ 0 IR
2
2 2 3 2
z
dB z
p
2( R + z )
B=
α
r dB
(1) z = 0,
µ0I
2R
r dB⊥ z α r
o R
(2) z >> R,
定义磁矩： 定义磁矩：
B=
µ0IR2
2z
3
r Idl
y
x
r r m = NISen
r r µ0m B= 3 2π z
[例] 螺线管产生的磁场。 例 螺线管产生的磁场。 R
§ 11-1 磁场描述
一、磁性现象
磁性——磁铁矿吸引铁 磁铁矿吸引铁(Fe)，钴( Co)，镍(Ni)的性质 磁性 磁铁矿吸引铁 ， ， 的性质 磁极——条形磁铁两端磁性最强的部分 条形磁铁两端磁性最强的部分 磁极
二、磁场和磁感应强度 1、磁场的特性
对运动电荷有力的作用---磁场力 运动电荷有 的作用 磁场力
I n B=
µ 0 IR
2
2 2 3 2
解： 一个薄片相当于一个圆电流
2( R + z )
dB p =
µ 0 R nI d x
2
2( R + x )
2 2
3
2
=
B= 2
µ0nI
2
sin βdβ
sin βdβ
x = Rctgβ
dx = Rcsc2 βdβ
R2 + x2 = R2 csc2 β
µ0nI
∫β
µ0 I
z
D
θ2
v B
θ2 →π
B=
I
2πd
o
x
C
θ1
P y
+
[例] 圆电流轴线上的磁场。 例 圆电流轴线上的磁场。
z
dB z
p
µ 0 Idl o 解 ： dB = sin 90 2 4π r
垂直Z轴分量抵消！ 垂直 轴分量抵B⊥ z αr
o R
B = ∫ dBz
µ 0 I dl sin α = x ∫ r2 4π 2 2π R µ 0 IR µ0 I = sin α ∫ dl = 3 2 0 2 2 4π r 2( R + z ) 2
1、5 点 ： d B 、
=0
7
v Idl
R
6 5 4
3、7点 ： dB 、 点
3
=
µ 0 Id l
4π R
2
2、4、6、8 点 ： 、 、 、
dB =
µ 0 Idl
4π R
sin 450 2
3. 叠加原理 任一载流导线产生的磁场： 任一载流导线产生的磁场：
v v v v µ 0 Idl × r B = ∫ dB = ∫ 4π r 3
第十一章
稳衡磁场
电现象： 静止电荷—— ——静电场 电现象： 静止电荷——静电场 磁现象： 运动电荷——磁场 磁现象： 运动电荷——磁场 —— （洛伦兹力） 洛伦兹力） 稳恒电流—— ——稳恒磁场 稳恒电流——稳恒磁场 （安培力） 安培力） 基本内容： 、磁场B 2、洛伦兹力 基本内容： 1、磁场 、 3、稳恒磁场 比奥.萨法尔定律 、稳恒磁场B-----比奥 萨法尔定律 比奥 4 、安培定律 5 、磁高斯定理 安培环路定理
理论解释： 理论解释： F洛 = F电
U AA/
quB = q 1 IB a ⇒ U AA/ = nq b I I = abnqu ⇒ u = abnq 霍耳系数
u是载流子的平均定向速率。 是载流子的平均定向速率。 是载流子的平均定向速率 n是载流子的浓度。 是载流子的浓度。 是载流子的浓度
2π m d = v //T = v cosθ qB
r B
五、霍尔效应
I
S2
r + F
r r qE v
b
1、霍耳效应: 霍耳效应: 2、霍耳电压
U AA/ = K IB b
a I
S1
在磁场不太强时，霍耳电压与电流 和 在磁场不太强时，霍耳电压与电流I和 磁感应强度B成正比 成正比， 磁感应强度 成正比，而与导电板的厚 成反比。 度b 成反比。
ω dI = σ 2π rdr 2π = ωσ rdr µ 0 dI
2r
r R
dr
dB =
B = ∫ dB =
µ 0ωσ
2
∫
R
0
1 dr = µ 0σωR 2
一个圆环之磁矩
r 2 r dm = πr dIen
m = ∫ dm
= ∫ π r ωσ rdr
2 0 R
r R dr
1 2 = ω qR 4
3、V方向与B方向有夹角 方向与B
v// = v cos θ v⊥ = v sin θ
平行于磁场的方向： F//=0 ， 平行于磁场的方向： 匀速直线运动 垂直于磁场的方向： ⊥ 垂直于磁场的方向： F⊥=qvBsinθ， 匀速圆周运动 ，
合运动：螺旋运动，轨迹是螺旋线。 合运动：螺旋运动，轨迹是螺旋线。 螺距——粒子回转一周所前进的距离 粒子回转一周所前进的距离 螺距
β2
1
=
µ 0 nI
2
(cos β 2 − cos β1 )
B=
µ0nI
2
(cos β2 − cos β1)
= 0, β2 = π，
B
B0
磁场方向与电流满足右手螺旋法则。 磁场方向与电流满足右手螺旋法则。 1)无限长： β1 无限长： 无限长
B0 = µ0nI
2)半无限长的一端处： 半无限长的一端处： 半无限长的一端处