2018年高中数学第一章空间几何体第二章点、直线、平面之间的位置关系滚动检测新人教A版必修2
近年高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系1平面的基本性质及推论习题苏教版必修2(
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平面的基本性质及推论（答题时间:40分钟）＊1。
（福州检测）下列说法正确的是________。
①三点可以确定一个平面②一条直线和一个点可以确定一个平面 ③四边形是平面图形④两条相交直线可以确定一个平面*2.(扬州检测）经过空间任意三点可以作________个平面.＊＊3.（1）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定______个平面。
(2)共点的三条直线可以确定________个平面. ＊4。
（宿迁检测)空间中可以确定一个平面的条件是________.（填序号） ①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形;④三个点 ＊＊5。
（梅州检测)如图所示的正方体中，P 、Q 、M 、N 分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________。
（把正确图形的序号都填上）＊＊6。
（福建师大附中检测)三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有________条. **7。
证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.*＊8. 如图所示，已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ,H 分别是BC ，CD 上的点,且HCDHGC BG＝2。
2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.2第2课时平面与平面平行学案含解析
1.2.2 第2课时平面与平面平行1.掌握空间两个平面的位置关系，并会判断.(重点)2.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题.(重点))3.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用.(难点[基础·初探]教材整理1 两个平面的位置关系阅读教材P44～P44“倒数第4行”以上内容，完成下列问题.如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？【解】如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行.教材整理2 平面与平面平行的判定与性质阅读教材P44“倒数第4行”以下～P45“例4”以上内容，完成下列问题.1.平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(2)符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.(3)图形语言：如图1226所示.图1226推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.2.平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(3)图形语言：如图1227所示.图1227(4)作用：证明两直线平行.3.三个平面平行的性质两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.如图1228所示，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点.求证：四边形BED1F是平行四边形.【导学号：45722047】图1228【证明】取D1D的中点G，连接EG，GC，∵E是A1A的中点，G是D1D的中点，∴EG═∥AD.由正方体性质知AD═∥BC，∴EG═∥BC，∴四边形EGCB是平行四边形，∴EB═∥GC. ①又∵G，F分别是D1D，C1C的中点，∴D1G═∥FC，∴四边形D1GCF为平行四边形，∴D1F═∥GC，②由①②知EB═∥D1F，∴四边形BED1F是平行四边形.[小组合作型]①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上).【精彩点拨】由平面间的位置关系逐一判断.【自主解答】①错.a与b也可能异面；②错.a与b也可能平行；③对.∵α∥β，∴α与β无公共点.又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点；④对.由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；⑤错.a与β也可能平行.【答案】③④两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交.熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键.[再练一题]1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )A.平行B.相交C.平行或相交D.不能确定【解析】如图所示，由图可知C正确.【答案】 C如图1229，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点.图1229求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.【精彩点拨】(1)欲证E、F、B、D四点共面，需证BD∥EF即可.(2)要证平面MAN∥平面EFDB，只需证MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE即可.【自主解答】(1)连接B1D1，∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面.(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD且MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.1.要证明面面平行，关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行，而要证明线面平行，还要通过线线平行来证明，注意这三种平行之间的转化.2.解决此类问题有时还需添加适当的辅助线(或辅助面)使问题能够顺利转化.[再练一题]2.如图1230所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形.点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.图1230【证明】∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.又∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.∵四边形ABCD为平行四边形.∴BC∥AD，∴MQ∥BC.又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC.[探究共研型]探究1 111111，G分别是BC，DC，SC的中点.你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？图1231【提示】如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1.∴直线EG∥平面BDD1B1.探究2 上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1.【提示】连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置.【精彩点拨】解答本题应抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC，再确定F的位置.【自主解答】如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G.∴平面BGF∥平面AEC.∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点.又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点.而GF∥CE，∴F为PC中点.综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.解决线线平行与面面平行的综合问题的策略1.立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的.2.线线平行判定性质线面平行判定性质面面平行所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.[再练一题]3.如图1232，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA 的中点，N为BC的中点.证明：直线MN∥平面OCD.图1232【证明】如图，取OB中点E，连接ME，NE，则ME∥AB.又∵AB∥CD，∴ME∥CD.又∵ME⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，∴ME∥平面OCD.又∵NE∥OC，且NE⊄平面OCD，OC⊂平面OCD，∴NE∥平面OCD.又∵ME∩NE＝E，且ME，NE⊂平面MNE，∴平面MNE∥平面OCD.∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面OCD.1.已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( )A.若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bB.若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βC.a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b【解析】A错误，a与b也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知B、C 错误；由平面与平面平行的性质定理知，D正确.【答案】 D2.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )A.一定平行B.一定相交C.平行或相交D.以上判断都不对【解析】 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交. 【答案】 C3.a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题. ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c α∥c ⇒a ∥α；⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α，其中正确的命题是________.(填序号)【解析】 ①是平行公理，正确；②中a ，b 还可能异面或相交；③中α、β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能a ⊂α；⑥也是忽略了a ⊂α的情形.【答案】 ①④4.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α的位置关系是________.【解析】 因为AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD ∥α. 【答案】 CD ∥α5.如图1233所示，在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD .E ，F ，G 分别为线段PC ，PD ，BC 的中点，现将△PDC 折起，使点P ∉平面ABCD .求证：平面PAB ∥平面EFG .图1233【证明】 ∵PE ＝EC ，PF ＝FD ，∴EF ∥CD ， 又∵CD ∥AB ，∴EF ∥AB ，又EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB ，同理可证EG ∥平面PAB . 又∵EF ∩EG ＝E ， ∴平面PAB ∥平面EFG .。
立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题(含详细答案解析)
第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（）A．5B．4C．9D．1［答案] D[解析］由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!（)A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对;当直尺平行于地面时,C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案］ D［解析]A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n,m∥n，则m∥β，故错误;D项，假设m、n垂直于同一平面,则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面,直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有错误!（)A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③;②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β,即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在导学号 92180601（)A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC的内部[答案] B[解析］∵∠BAC＝90°,∴BA⊥AC．又∵BC1⊥AC,∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有错误!（) A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B［解析］如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．（2016·浙江文）已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则错误!(）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n[答案］ C[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时,m∥l；选项B,只有当m⊥β时,m∥n；选项C,由于l⊂β,∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n,故选C．8．（2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为错误!（）A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] C[解析］如图，连接A1C1、BC1、A1B．∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴MN∥BC1。
2018版高中数学第一章立体几何初步1_2_2空间两条直线的位置关系学案苏教版必修2
- 让每一个人同等地提高自我空间两条直线的地点关系学习目标 1. 认识两条直线的三种地点关系.2. 理解异面直线的定义及判断，能判断两条直线能否是异面直线.3. 理解公义 4 和等角定理，并会用公义 4 证明线线平行.4. 理解异面直线所成的角的观点.知识点一空间两条直线的地点关系思虑在同一平面内，两条直线有几种地点关系？察看下边两个图形，你能找出既不平行又不订交的两条直线吗？梳理地点关系共面状况公共点个数订交直线在____平面内有且只有 __个平行直线在____平面内没有异面直线不一样在 ________平面内没有知识点二异面直线的判断思虑分别在两个平面内的两条直线必定是异面直线吗？梳理判断异面直线的方法方法内容定义法不一样在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线定理法过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线反证法判断两条直线既不平行也不订交，那么这两条直线就是异面直线知识点三平行公义 ( 公义 4)- 让每一个人同等地提高自我思虑在平面内有直线 a ， b ， c ，若 a ∥b ， b ∥ c ，则 a ∥c ，该结论在空间中能否建立？梳理 平行公义(1) 文字表述：平行于同一条直线的两条直线相互平行.(2) 符号表示：a ∥b ? a ∥c .b ∥ c知识点四等角定理及异面直线所成的角思虑 1察看图象，在长方体—′′′′中，∠ADC 与∠′′′，∠ADC 与ABCDA B C D A D C∠D ′ A ′ B ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系怎样？思虑 2在长方体 A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，BC 1∥ AD 1，则“直线 BC 1与直线 BC 所成的角”与“直线AD 1与直线 BC 所成的角”能否相等？梳理 (1) 等角定理假如一个角的两边和另一个角的两边分别 ________ 而且方向 ________ ，那么这两个角________.(2) 异面直线所成的角前提 两条异面直线 a ， b作法经过空间随意一点 O ，作直线 a ′∥ a ， b ′∥ b定义我们把 a ′和 ′所成的 ______________ 叫做异面直线， b 所成结论ba的角范围 记异面直线 a 与 b 所成的角为 θ，则 ________特别状况当 θ＝ ________时，异面直线a ，b 相互垂直，记作 ________种类一公义 4 与等角定理的应用例 1如图，已知在棱长为 a 的正方体 ABCD— A1B1C1D1中， M， N分别是棱 CD， AD的中点.求证：(1)四边形 MNA1C1是梯形；(2)∠ DNM＝∠ D1A1C1.反省与感悟(1) 空间两条直线平行的证明①定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点.②利用公义 4 找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.(2)等角定理的结论是相等，在实质应用时，一般是借助于图形判断两角的两边方向能否相同.追踪训练1如下图，在正方体ABCD— A1B1C1D1中， M，M1分别是棱 AD和 A1D1的中点.求证：(1)四边形 BB1M1M为平行四边形；(2)∠ BMC＝∠ B1M1C1.种类二异面直线的判断例 2 (1) 在四棱锥P— ABCD中，各棱所在的直线互为异面的有________对 .(2) 如图是一个正方体的睁开图，假如将它复原成正方体，那么AB ，CD ，EF ，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？反省与感悟判断异面直线的方法(1) 定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不订交，即不行能同在同一个平面内 .(2) 利用异面直线的判断定理 .(3) 反证法：假定两条直线不是异面直线，依据空间两条直线的地点关系，这两条直线必定共面，即可能订交或平行，而后推出矛盾即可.追踪训练 2如下图，在三棱锥— 中， ， F 是棱上异于 ， D 的不一样两点，，A BCD E AD A G H是棱 BC 上异于 B ， C 的不一样两点，给出以下说法：①AB 与 CD 互为异面直线；②FH 分别与 DC ， DB 互为异面直线；③EG 与 FH 互为异面直线；④EG 与 AB 互为异面直线 .此中说法正确的选项是________.( 填序号 )1. 若 a 和 b 是异面直线， b 和 c 是异面直线，则 a 和 c 的地点关系是 ______________.2. 以下四个结论中错误命题的个数是________.( 填序号 )①垂直于同向来线的两条直线相互平行；②平行于同向来线的两直线平行；- 让每一个人同等地提高自我④若直线 l 1，l 2是异面直线，则与l 1， l 2都订交的两条直线是异面直线.3.在三棱锥的全部棱中，互为异面直线的有________对 .4.如下图，在三棱锥 A— BCD中， E，F，G，H分别是棱 AB，BC，CD，DA的中点，则当 AC，BD知足________时，四边形EFGH为菱形；当AC，BD知足________时，四边形EFGH是正方形.5.如下图，已知 E， F， G，H分别是空间四边形 ABCD的边 AB， BC， CD， DA的中点.(1)求证： E， F， G，H四点共面；(2)若 AC⊥BD，求证：四边形 EFGH是矩形.1. 判断两直线的地点关系的依照就在于两直线平行、订交、异面的定义. 好多状况下，定义就是一种常用的判断方法. 关于异面直线的判断，常用判断定理和反证法.2.在研究异面直线所成角的大小时，往常把两条异面直线所成的角转变为两条订交直线所成的角 . 将空间问题向平面问题转变，这是我们学习立体几何的一条重要的思想门路 . 需要重申的是，两条异面直线所成角的范围为 (0 °， 90°] ，在解题时常常联合这一点去求异面直线所成角的大小 .作异面直线所成的角，可经过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法( 可利用图中已有的平行线) ；②中位线平移法；③补形平移法( 在已知图形中，补作一个同样的几何体，以便找到平行线).- 让每一个人同等地提高自我答案精析问题导学知识点一思虑平行与订交．教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右双侧所在的直线；六角螺母中直线AB与 CD. 梳理同一一同一任何一个知识点二思虑不必定，可能平行、订交或异面．知识点三思虑建立．知识点四思虑 1从图中能够看出，∠ADC＝∠ A′D′ C′，∠ ADC＋∠ D′ A′ B′＝180°.思虑 2相等．梳理(1) 平行同样相等(2)锐角 ( 或直角 ) 0°<θ≤90° 90°a⊥ b题型研究例 1证明(1) 如图，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ ACD的中位线，1∴MN∥ AC，MN＝2AC.由正方体的性质，得AC∥ A1C1， AC＝A1C1.1∴MN∥ A1C1，且 MN＝2A1C1，即 MN≠ A1C1，∴四边形 MNA1C1是梯形．(2)由 (1) 可知，MN∥A1C1.又 ND∥ A1D1，且∠ DNM与∠ D1A1C1的两边的方向同样，∴∠ DNM＝∠ D1A1C1.追踪训练1证明(1) 在正方形ADD1A1中， M， M1分别为 AD， A1D1的中点，∴ A1M1綊 AM，∴四边形 AMM11为平行四边形，∴A1A 綊 M1M.又∵ A1A 綊 B1B，∴ M1M綊 B1B，∴四边形 BB1M1M为平行四边形．(2)由 (1) 知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠ B1M1C1都是锐角．∴∠ BMC＝∠ B1M1C1.例 2 (1)8(2)解三对，分别为 AB与 CD， AB与 GH， EF与 GH.复原的正方体如下图．追踪训练2①②③④分析由于直线 DC?平面 BCD，直线 AB?平面 BCD，点 B?直线 DC，因此由异面直线的判断定理可知，①正确；同理，②③④正确．当堂训练1．订交、平行或异面4．AC＝BD A C＝ BD且 AC⊥ BD5．证明(1) 如下图，连接EF， FG， GH， HE，在△ ABD中，∵E， H分别是 AB， AD的中点，∴EH∥ BD，1EH＝2BD.同理 FG∥ BD，1FG＝2BD，∴EH綊 FG，∴ E， F， G， H四点共面．(2)由 (1) 知EH綊FG，∴四边形 EFGH为平行四边形．∵HG是△ ADC的中位线，∴ HG∥AC.又 EH∥ BD， AC⊥ BD，∴ EH⊥ HG，∴四边形 EFGH为矩形．。
点、直线、平面之间点位置关系测试题(含答案)
第二章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析由垂直同一直线的两平面平行知，B正确．答案 B2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交解析由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选B.答案 B3．一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是()A．1个B．3个C．1个或3个D．1个或3个或4个解析当A，B，C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当A，B，C共线且与l异面时，可确定3个平面；当A，B，C三点不共线时，可确定4个平面．答案 D4．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是()A．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点答案 D5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是()A．5 B．8C．10 D．6解析这些直角三角形是：△P AB，△P AD，△P AC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8个．答案 B6．下列命题正确的有()①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条平行线a，b，c都与直线l相交，则这四条直线共面；③三条直线两两相交，则这三条直线共面．A．0个B．1个C．2个D．3个解析易知①与②正确，③不正确．答案 C7．若平面α⊥平面β，α∩β＝l，且点P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题是()A．过点P且垂直于α的直线平行于βB．过点P且垂直于l的直线在α内C．过点P且垂直于β的直线在α内D．过点P且垂直于l的平面垂直于β答案 B8．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM()A．与AC，MN均垂直相交B．与AC垂直，与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC，MN均不垂直解析易证AC⊥面BB1D1D，OM⊂面BB1D1D，∴AC⊥OM.计算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN.答案 A9．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是()A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③解析将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误，排除A，B，D.答案 C10．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是()A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必不垂直于αC．平面ABC必与α相交D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内解析排除A、B、C，故选D.答案 D11．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 答案 D12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E ，F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等解析 易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥BE .∵EF 在直线B 1D 1上，易知B 1D 1∥面ABCD ，∴EF ∥面ABCD ，V A －BEF ＝13×12×12×1×22＝224.∴A 、B 、C 选项都正确，由排除法即选D.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知A，B，C，D为空间四个点，且A，B，C，D不共面，则直线AB与CD的位置关系是________．解析如图所示：由图知，AB与CD为异面直线．答案异面14．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，如果EH，FG相交于一点M，那么M一定在直线________上．答案BD15．如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD与CD的关系为________；(2)∠BAC＝________.解析 (1)AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，∴∠BDC 为二面角的平面角，∠BDC ＝90°，∴BD ⊥DC .(2)设等腰直角三角形的直角边长为a ，则斜边长为2a .∴BD ＝CD ＝22a .∴折叠后BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝a . ∴折叠后△ABC 为等边三角形．∴∠BAC ＝60°.答案 (1)BD ⊥CD (2)60°16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则：①四边形BFD ′E 一定是平行四边形；②四边形BFD ′E 有可能是正方形；③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形；④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D .以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)解析 如图所示：∵BE ＝FD ′，ED ′＝BF ，∴四边形BFD ′E 为平行四边形．∴①正确．②不正确(∠BFD ′不可能为直角)．③正确(其射影是正方形ABCD)．④正确．当E，F分别是AA′，CC′中点时正确．答案①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，求证：EF，HG，DC三线共点．证明∵点E，F，G，H分别为所在棱的中点，连接BC1，GF，如图．∴GF是△BCC1的中位线，∴GF∥BC1.∵BE∥C1H，且BE＝C1H，∴四边形EBC1H是平行四边形．∴EH∥BC1，∴GF∥EH.∴E，F，G，H四点共面．∵GF≠EH，故EF与HG必相交．设EF∩HG＝I.∵I∈GH，GH⊂平面CC1D1D，∴I∈平面CC1D1D.同理可证I∈平面ABCD.∴点I在交线DC上．即EF，HG，DC三线共点．18．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM.(1)试确定点M的位置，并说明理由；(2)求四棱锥P－ABCD的表面积．解 (1)点M 为PD 的中点．理由如下：连接BD ，设BD ∩AC ＝O ，则点O 为BD 的中点，连接OM ，∵PB ∥平面ACM ，∴PB ∥OM .∴OM 为△PBD 的中位线，故点M 为PD 的中点．(2)∵P A ⊥底面ABCD ，又底面是边长为1的正方形，∴S 正方形ABCD ＝1，S △P AB ＝S △P AD ＝12×1×1＝12，S △PBC ＝12×1×2＝22，S △PCD ＝12×1×2＝22.故四棱锥P －ABCD 的表面积为S ＝1＋2×12＋22＋22＝2＋ 2.19．(12分)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，如图．(1)求证：MN ∥面BB 1C 1C ；(2)求MN 的长．解 (1)证明：作NP ⊥AB 于P ，连接MP .NP ∥BC ，∴AP AB ＝AN AC ＝A 1M A 1B ，∴MP ∥AA 1∥BB 1， ∴面MPN ∥面BB 1C 1C . MN ⊂面MPN ， ∴MN ∥面BB 1C 1C .(2)NP BC ＝AN AC ＝23a2a ＝13，NP ＝13a ，同理MP ＝23a . 又MP ∥BB 1，∴MP ⊥面ABCD ，MP ⊥PN . 在Rt △MPN 中MN ＝49a 2＋19a 2＝53a .20．(12分)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．解(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ， 所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ .因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角， 在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55，因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55.21．(12分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD . 证明 (1)在△ABD 中，∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点， ∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ， ∴直线EF ∥平面ACD .(2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.22．(12分)已知四棱锥P－ABCD(图1)的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，P A垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P－ABCD的体积；(3)求证：AC⊥平面P AB.解(1)过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1.又∵△PBC 为正三角形， ∴BC ＝PB ＝PC ＝2，且PE ⊥BC ， ∴PE 2＝PC 2－CE 2＝3.∵P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AE . ∴P A 2＝PE 2－AE 2＝2，即P A ＝ 2. 正视图的面积为S ＝12×2×2＝ 2.(2)由(1)可知，四棱锥P －ABCD 的高P A ＝2，底面积为S ＝AD ＋BC 2·CD ＝1＋22×1＝32，∴四棱锥P －ABCD 的体积为V P －ABCD ＝13S ·P A ＝13×32×2＝22. (3)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AC . ∵在直角三角形ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2＝2， 在直角三角形ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝2， ∴BC 2＝AA 2＋AC 2＝4，∴△BAC 是直角三角形． ∴AC ⊥AB .又∵AB ∩P A ＝A ，∴AC ⊥平面P AB .。
2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.3第2课时直线与平面垂直学案
1.2.3 第2课时直线与平面垂直1．能正确判断直线与平面垂直的位置关系．(重点)2．了解点到平面的距离和直线与平面间的距离．(难点)3．理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理．(重点、难点)4．了解直线与平面垂直的概念及直线与平面所成角的概念．(重点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面垂直的定义阅读教材P35～P36思考以上的部分，完成以下问题．如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线a与平面α互相垂直，符号表示：a⊥α.直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．图形表示：图1－2－54判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.(×)(2)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(×)(3)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b.(√)(4)若l⊥平面ABCD，则l⊥BC.(√)教材整理2 直线与平面垂直的判定阅读教材P 36～P 37第5行，完成下列问题． 直线与平面垂直的判定定理1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 能判定直线与此平面垂直的有________．【解析】 由线面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中线面可能平行、相交、还可能线在平面内，④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直．【答案】 ①③2．下列条件中，能判定直线l ⊥平面α的有________． ①l 与平面α内的两条直线垂直； ②l 与平面α内的无数条直线垂直； ③l 与平面α内的某一条直线垂直； ④l 与平面α内的任意一条直线垂直．【解析】 由直线与平面垂直的定义及判定定理知④正确． 【答案】 ④教材整理3 直线与平面垂直的性质阅读教材P 37第8行～第13行，完成下列问题． 直线与平面垂直的性质定理已知α是平面，a ，b 是直线，且a ∥b ，a ⊥平面α，则b 与平面α的位置关系是________． 【解析】 由线面垂直的性质可知，若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α. 【答案】 垂直教材整理4 距离及直线与平面所成的角阅读教材P 36第13,14行及P 38第4,5行和P 39例3以上部分内容，完成下列问题． 1．距离(1)点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离． (2)直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．2．直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝1，则点C 到平面B 1BDD 1的距离为________，AB 到平面A 1B 1CD 的距离为________.【导学号：41292031】【解析】 连结AC ，则AC ⊥BD ，又BB 1⊥AC ，故AC ⊥平面B 1BDD 1，所以点C 到平面B 1BDD 1的距离为12AC ＝22，AB 到平面A 1B 1CD 距离等于A 到该平面的距离，等于22.【答案】22 222．如图1－2－55所示，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ，则直线PB 与平面ABC 所成的角等于________．图1－2－55【解析】 ∵PA ⊥平面ABC ，∴∠PBA 即为直线PB 与平面ABC 所成的角， 在Rt △PAB 中，PA ＝AB ，∴∠PBA ＝45°.【答案】45°[小组合作型]线面垂直判定定理的应用如图1－2－56所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.图1－2－56【精彩点拨】只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE ⊥BC，即转为证BC垂直于平面PAC即可．【自主解答】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．2．线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直线面垂直[再练一题]1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.图1－2－57【证明】∵E，F分别是棱AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO，又∵BB1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，∴EF⊥BB1，又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.线面垂直性质定理的应用如图1－2－58，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF ⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.图1－2－58【精彩点拨】利用线面垂直的性质定理证明EF，BD1垂直于平面AB1C可得结论．【自主解答】如图所示，连结AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD 1⊥B 1C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C . ∵EF ⊥AC ，EF ⊥A 1D ， 又A 1D ∥B 1C ，∴EF ⊥B 1C . ∴EF ⊥平面AB 1C ，∴EF ∥BD 1.空间中证明两条直线平行的方法： (1)利用线线平行定义证两线无公共点； (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c (公理4)；(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行； (4)若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b (线面垂直的性质定理)．[再练一题]2．如图1－2－59，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．图1－2－59(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .【证明】 (1)取PD 中点E ，又N 为PC 中点，连结NE ，AE ，则NE ∥CD ，NE ＝12CD .又∵AM ∥CD ，AM ＝12CD ，∴AM 綊NE ，∴四边形AMNE 为平行四边形． ∴MN ∥AE .∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥PA .又∵CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面ADP . ∵AE ⊂平面ADP ， ∴CD ⊥AE ， ∴MN ⊥CD .(2)当∠PDA ＝45°时，Rt △PAD 为等腰直角三角形，则AE ⊥PD . 又MN ∥AE ， ∴MN ⊥PD ，由(1)知MN ⊥CD ，PD ∩CD ＝D . ∴MN ⊥平面PCD .[探究共研型]距离问题及直线与平面所成角的求法探究1 如图1－2－60，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1.点B 与D 1到平面A 1C 1CA 的距离分别是多少 ？BC 1到平面ADD 1A 1的距离是多少？图1－2－60【提示】 由题意知BD ＝B 1D 1＝22，B ，D 1到平面AC 1的距离分别为BD 2和B 1D 12，都为2；BC 1到平面AD 1的距离等于AB 的长，为2.探究2 如图1－2－61，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，图1－2－61(1)直线BD 1与平面AC 及平面A 1C 1所成的角相等吗？ (2)A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角是多少度？【提示】(1)因为平面AC 与平面A 1C 1平行，所以BD 1与两平面所成的角相等．(2)A 1B 与平面A 1C 所成的角为30°， 连结BC 1交B 1C 于点O ，连结A 1O .设正方体的棱长为a ，因为A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1B ， 所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1. 所以A 1B 1⊥BC 1.又因为BC 1⊥B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1， 所以BC 1⊥平面A 1B 1CD .所以A 1O 为斜线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，即∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角． 在Rt △A 1BO 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22a ， 所以BO ＝12A 1B ，∠BA 1O ＝30°.因此，直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°.如图1－2－62所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1，M ，N分别是A 1B ，B 1C 1的中点．图1－2－62(1)求证：MN ⊥平面A 1BC ；(2)求直线BC 1和平面A 1BC 所成的角的大小．【精彩点拨】 (1)证明MN ∥AC 1，(2)C 1点在平面A 1BC 上的射影为A 1C 中点． 【自主解答】 (1)证明：如图所示，由已知BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，AC ∩CC 1＝C ，得BC ⊥平面ACC 1A 1.连结AC 1， 则BC ⊥AC 1.由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC.因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连结AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.(2)因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连结BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝22a，BC1＝2a.在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝C1DBC1＝12，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．[再练一题]3．如图1－2－63，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E，F，G分别为CC1，DD1，AA1的中点．图1－2－63(1)求证：A1F⊥平面BEF；(2)求证：GC1∥平面BEF；(3)求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值．【解】(1)证明：连结AF.∵E，F分别为CC1，DD1的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，∴四边形ABEF为平行四边形．又在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，A1F⊂平面AA1D1D，∴AB⊥A1F，∴EF⊥A1F.由已知，得AF＝2，A1F＝2，AA1＝2，∴A1F2＋AF2＝AA21，∴AF⊥A1F.又AF∩EF＝F.∴A1F⊥平面ABEF，即A1F⊥平面BEF.(2)证明：∵G，F分别为AA1，DD1的中点，连结AE.∴AG∥EC1且AG＝EC1，∴四边形AEC1G为平行四边形，∴AE∥GC1.而AE⊂平面ABEF，GC1⊄平面ABEF，∴GC1∥平面ABEF，即GC1∥平面BEF.(3)∵A1F⊥平面BEF.∴A1B在平面BEF上的射影为BF，∴∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角．由已知，得A1F＝2，A1B＝5，∴sin∠A1BF＝105，即A1B与平面BEF所成角的正弦值为105.1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能______(填序号)．①平行；②相交；③异面；④垂直．【答案】①2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是________．【解析】∵l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，∴l⊥平面ABC，又∵AB⊂平面ABC，∴l⊥AB.11 【答案】 垂直3．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABC ，则图1－2－64中直角三角形的个数为________．图1－2－64【解析】 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，AB ∩PA ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB .综上可知，△PAB ，△PAC ，△ABC ，△PBC 均为直角三角形．【答案】 44．已知平面α外两点A ，B 到平面α的距离分别是2和4，则A ，B 的中点P 到平面α的距离是______.【解析】A ，B 在α同一侧时P 到α的距离为3，A ，B 在α异侧时P 到α的距离为1.【答案】 1或35．如图1－2－65，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝BC ，且∠BAC ＝90°，求PA 与底面ABC 所成角的大小．图1－2－65【解】 ∵PA ＝PB ＝PC ，∴P 在底面的射影O 是△ABC 的外心．又∠BAC ＝90°，∴O 在BC 上且为BC 的中点，∴AO 为PA 在底面的射影，∠PAO 即为所求的角．在Rt △PAO 中，PO ＝32PB ＝32PA . ∴sin ∠PAO ＝POPA ＝32，∴∠PAO ＝60°.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3 直线与平面的位置关系教
高中数学第一章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.3 直线与平面的位置关系教案2 苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.3 直线与平面的位置关系教案2 苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.2 点、线、面之间的位置关系 1。
2.3 直线与平面的位置关系教学目标 理解直线和平面垂直的定义及相关概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；能初步应用这两个定理． 重点难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究．引入新课1．观察:①圆锥的轴与底面半径都垂直吗？为什么？②圆锥的轴与底面所有直线都垂直吗？为什么？ ③圆锥的轴与底面垂直吗？2．直线与平面垂直的定义：如果一条直线a 与一个平面α内 的 直线都 ,那么直线a 与平面α互相垂直， 记作 ．直线a 叫做平面α ；平面α 叫做直线a 的 ;垂线和平面的交点称为 ． 思考：①正投影的投影线与投影面垂直吗？斜投影呢？②在空间过一点有几条直线与已知平面垂直？ ③在空间过一点有几个平面与已知直线垂直？3．从平面外一点引平面的垂线， ,叫做这个点到这个平面的距离． 4．直线和平面垂直的判定定理 语言表示：符号表示：4．直线和平面垂直的性质定理 语言表示：符号表示：例题剖析例1 求证： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．图形表示：图形表示:例 2 已知直线l // 平面α，求证：直线l 各点到平面α的距离相等．根据例2给出直线和平面的距离定义： ．巩固练习1．已知直线l ，m ，n 与平面α，指出下列命题是否正确，并说明理由: （1）若l ⊥α,则l 与α相交;(2）若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α;（3）若l //m ，m ⊥α,n ⊥α，则l //n ．2．如图,在正方体1111D C B A ABCD -中， 则1BD 与AC 的位置关系_________．1BD 与C B 1的位置关系_________．进而可得BD 1与平面ACB 1的关系 ．3．某空间图形的三视图如图所示,试画出它的直观图，并指出其中的线面垂直关系．4．如图,已知PA ⊥α,PB ⊥β,垂足分别为A ，B ，且α∩β=l ，求证：l ⊥平面APB ．课堂小结直线与平面垂直的定义，直线与平面平行的判定定理和性质定理．αβlABPCDA 1B 1课后训练一 基础题1．已知a ⊥平面α,b ⊂α，则a 与b 的位置关系是 （ ） A 、a //b B 、a ⊥b C 、a 与b 垂直相交 D 、a 与b 垂直且异面 2．下列命题中正确的是(其中c b a ，，为不相重合的直线,α为平面) ( ) ①若b //a ，c //a ，则b //c ②若b ⊥a ，c ⊥a ，则b //c ③若a //b ,b //α，则a //b ④若a ⊥α，b ⊥α，则a //b A ．①②③④ B ．①④ C ．① D ．④ 3．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中,求证1BD ⊥AC ．4．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在平面，C 是圆上不同于B A ，的任一点，求证：BC ⊥平面PAC ．二 提高题5．已知，直线a //平面α,直线α⊥b ，求证：a ⊥b ．6．在三棱锥ABC P -中，顶点P 在平面ABC 内的射影是ABC ∆外心O， 求证：PC PB PA ==．abαOBCABCDD 1A 1C 1B 1APB三能力题7．证明：过一点和已知平面垂直的直线只有一条．。
人教版高中数学第一章空间几何体练习题及答案(全)
第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构一、选择题1、下列各组几何体中是多面体的一组是（）A 三棱柱四棱台球圆锥B 三棱柱四棱台正方体圆台C 三棱柱四棱台正方体六棱锥D 圆锥圆台球半球2、下列说法正确的是（）A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形3、下面多面体是五面体的是（）A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥4、下列说法错误的是（）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成5、下面多面体中有12条棱的是（）A 四棱柱B 四棱锥C 五棱锥D 五棱柱6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（）A 1 个B 2 个C 3个D 4个二、填空题7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。
8、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为————————————9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是——————10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。
图中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面。
则“祝”“你”“前”分别表示正方体的—————祝你前程似锦三、解答题：11、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，BB 1＝1，由A 到C 1在长方体表面上的最短距离为多少？AA 1B 1BCC 1D 1D12、说出下列几何体的主要结构特征（1）（2）（3）1.2空间几何体的三视图和直观图一、选择题1、两条相交直线的平行投影是（ ） A 两条相交直线 B 一条直线C 一条折线D 两条相交直线或一条直线 2、如图中甲、乙、丙所示，下面是三个几何体的三视图，相应的标号是（ ）① 长方体 ② 圆锥 ③ 三棱锥 ④ 圆柱 A ②①③ B ①②③ C ③②④ D ④③②正视图侧视图俯视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图甲 乙 丙3、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，则这个几何体可能是（ ）A 长方体或圆柱B 正方体或圆柱C 长方体或圆台D 正方体或四棱锥 4、下列说法正确的是（ ）A 水平放置的正方形的直观图可能是梯形B 两条相交直线的直观图可能是平行直线C 平行四边形的直观图仍然是平行四边形D 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直5、若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A 21倍 B42倍 C 2倍 D 2倍 6、如图（１）所示的一个几何体，，在图中是该几何体的俯视图的是（ ）（１） 二、选择题7、当圆锥的三视图中的正视图是一个圆时，侧视图与俯视图是两个全等的———————三角形。
高中数学必修2--第一章《空间几何体》知识点总结与练习
高中数学必修2__第一章《空间几何体》知识点总结与练习第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图[知识能否忆起]一、多面体的结构特征多面体棱柱棱锥棱台结构特征有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分二、旋转体的形成几何体圆柱圆锥圆台球旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆旋转轴任一边所在的直线一条直角边所在的直线垂直于底边的腰所在的直线直径所在的直线三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．五、三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中 “正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．2．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．3．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于 x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图＝ 2 4S 原图形，S 原图形＝2 2S 直观图．空间几何体的结构特征典题导入[例 1] (2012· 哈师大附中月考)下列结论正确的是()A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线[自主解答] A 错误，如图 1 是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图△2，若ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；图1图2C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．[答案]D由题悟法解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．以题试法1．(2012·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选B如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．几何体的三视图典题导入[例2](2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()[自主解答]根据几何体的三视图知识求解．由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.[答案]C由题悟法三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．[注意]画三视图时，要注意虚、实线的区别．以题试法2．(1)(2012·莆田模拟)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析：选D由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A.＝ ，所以 OC ′＝sin 120° a ＝ 6a ，(2)(2012· 济南模拟)如图，正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的各棱长均为 2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()A ．2 2C. 3B ．4D ．2 3解析：选 D 依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为 2， 3的矩形，故其面积是2 3.几何体的直观图典题导入[例 3] 已知△ABC 的直观图 A ′B ′C ′是边长为 a 的正三角形，求原△ABC 的面积．[自主解答]建立如图所示的坐标系 xOy ′， △A ′B ′C ′的顶点 C ′在 y ′轴上，A ′B ′边在 x 轴上，OC 为△ABC 的高．把 y ′轴绕原点逆时针旋转 45°得 y 轴，则点 C ′变为点 C ，且 OC ＝2OC ′，A ，B 点即为 A ′，B ′点，长度不变．已知 A ′B ′＝A ′C ′＝△a ，在 OA ′C ′中，由正弦定理得OC ′ A ′C ′sin ∠OA ′C ′ sin 45°sin 45° 2所以原三角形 ABC 的高 OC ＝ 6a.2 2 2S ＝ (1＋ 2＋1)×2＝2＋ 2.V ＝ Sh ＝ πr 2h ＝ πr 2 l 2－r 2所以 △S ABC ＝1×a ×6a ＝ 26a 2.由题悟法用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”．⎧⎪坐标轴的夹角改变，“三变”⎨与y 轴平行线段的长度改变，⎪⎩图形改变；⎧⎪平行性不变，“三不变”⎨与x 轴平行的线段长度不变，⎪⎩相对位置不变.以题试法3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°，腰和上底均为 1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A ．2＋ 22＋ 2 C. 1＋ 2 B.D ．1＋ 2解析：选 A 恢复后的原图形为一直角梯形1 2第二节空间几何体的表面积和体积[知识能否忆起]柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱圆锥S 侧＝2πrlS 侧＝πrlV ＝Sh ＝πr 2h1 1 13 3 31 V ＝ ShV ＝ πR 3圆台S 侧＝π(r 1＋r 2)l1V ＝3(S 上＋S 下＋ S 上· S 下)h1＝3π(r 2＋r 2＋r 1r 2)h直棱柱正棱锥 正棱台球S 侧＝Ch1S 侧＝2Ch ′1S 侧＝2(C ＋C ′)h ′S 球面＝4πR 2V ＝Sh1 31V ＝3(S 上＋S 下＋ S 上· S 下)h431.几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．2．求体积时应注意的几点：(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．几何体的表面积典题导入[例 1] (2012· 安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．[自主解答] 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱 (如图所示)．所以其表面积为2×1×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92. 视图、侧视图都是面积为 3，且一个内角为 60°的菱形，俯视图为正方面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为 8×⎝2×1×1⎭＝4.在四边形 ABCD 中，作 DE ⊥AB ，垂足为 E ，则 DE ＝4，AE ＝3，则 AD ＝5.2[答案] 92由题悟法1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．以题试法1．(2012· 河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正2形，那么该饰物的表面积为()A. 3B ．2 3C ．4 3D ．4解析：选 D 依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底⎛1 ⎫几何体的体积典题导入[例 2](1)(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()V ＝V 半球＋V 圆锥＝ · π·33＋ ·π·32·4＝30π. [答案](1)C (2)＝π×32×4－1π×32×4＝24π.3A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π(2)(2012· 山东高考)如图，正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，E为线段 B 1C 上的一点，则三棱锥 A －DED 1 的体积为________．[自主解答] (1)由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为 3，高为 4，半球的半径为 3.14 1 23 31 1 1 1(2)V A －DED 1＝VE －ADD 1＝3×△S ADD 1×CD ＝3×2×1＝6.16本例(1)中几何体的三视图若变为：其体积为________．解析：由三视图还原几何体知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V ＝V 圆柱－V圆锥答案：24π由题悟法1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”．3 32 2 32 1 ＝ .33和 2 个直角边分别为 3,1 的直角三角形，其底面积 S ＝9＋2× ×3×1＝12，以题试法2．(1)(2012·长春调研)四棱锥 P －ABCD 的底面 ABCD 为正方形，且 PD 垂直于底面ABCD ，N 为 PB 中点，则三棱锥 P －ANC 与四棱锥 P －ABCD 的体积比为()A ．1∶2C ．1∶4B ．1∶3D ．1∶8解析：选 C 设正方形 ABCD 面积为 S ，PD ＝h ，则体积比为1 11 1 11Sh － · S · h － · Sh1 4Sh(2012· 浙江模拟)如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A ．32C ．8B ．2432 D.解析：选 B 此几何体是高为 2 的棱柱，底面四边形可切割成为一个边长为 3 的正方形12所以几何体体积 V ＝12×2＝24.与球有关的几何体的表面积与体积问题典题导入[例 3] (2012·新课标全国卷)已知三棱锥 S －ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ABC是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC ＝2，则此棱锥的体积为()A.C. 2 62 3B.D. 3 62 2×AB 2＝4 41 3 6＝2 ＝2V O －ABC ＝2× ×34 3 6 × . b c A ．2 3π8πB.[自主解答 ] 由于三棱锥 S －ABC 与三棱锥 O －ABC 底面都是△ABC ，O 是 SC 的中点，因此三棱锥 S －ABC 的高是三棱锥 O －ABC 高的 2 倍，所以三棱锥 S －ABC 的体积也是三棱锥 O －ABC 体积的 2 倍．在三棱锥 O －ABC 中，其棱长都是 1，如图所示，△S ABC ＝ 3 3，高 OD ＝12－⎛ 3⎫2＝ 6，⎝ 3 ⎭ 3∴V S －ABC[答案] A由题悟法1．解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．2．记住几个常用的结论：(1)正方体的棱长为 a ，球的半径为 R ，①正方体的外接球，则 2R ＝ 3a ；②正方体的内切球，则 2R ＝a ；③球与正方体的各棱相切，则 2R ＝ 2a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a ，，，外接球的半径为 R ，则 2R ＝ a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 1∶3.以题试法3．(1)(2012·琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()3C ．4 316πD. B 2＝16π.2 故球 O 的体积 V ＝ ＝ 6π.3(2)(2012· 潍坊模拟)如图所示，已知球 O 的面上有四点 A 、 、C 、D ，DA ⊥平面 ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝ 2，则球 O 的体积等于________．解析：(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示．其中侧面 DBC ⊥底面 ABC ，取 BC 的中点 O 1，连接 AO 1，DO 1 知 DO 1⊥底面 ABC 且 DO 1＝ 3，AO 1＝1，BO 1＝O 1C ＝1.在 △Rt ABO 1 和 Rt △ACO 1 中，AB ＝AC ＝ 2，又∵BC ＝2，∴∠BAC ＝90°.∴BC 为底面 ABC 外接圆的直径，O 1 为圆心， 又∵DO 1⊥底面 ABC ，∴球心在 DO 1 上，即△BCD 的外接圆为球大圆，设球半径为 R ，则( 3－R)2＋12＝R 2，∴R ＝ 2 3.⎛ 2 ⎫∴S 球＝4πR 2＝4π×⎝ 3⎭3(2)如图，以 DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球 球 O 的半径为 R ，则正方体的体对角线长即为球 O 的直径，所以|CD|＝ ( 2)2＋( 2)2＋( 2)2＝2R ，所以 R ＝6 .4πR 33答案：(1)D (2) 6π某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法.常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题.33＝3×π×12×4＝3π.1．对称补形[典例 1] (2012· 湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )8π A.10π C.B ．3πD ．6π[解析]由三视图可知，此几何体是底面半径为 1，高为 4 的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的1，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积 V44[答案] B[题后悟道] “对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助．2．联系补形(2012· 辽宁高考)已知点 P ，A ，B ，C ，D 是球 O 表面上的点，PA ⊥平面 ABCD ，四边形ABCD 是边长为 2 3的正方形．若 P A ＝2 △6，则 OAB 的面积为________．[解析] 由 P A ⊥底面 ABCD ，且 ABCD 为正方形，故可补形为长方体如图，知球心 O 为 PC 的中点，又 PA ＝2 6，AB ＝BC ＝2 3，∴AC ＝2 6，∴PC ＝4 3，∴OA ＝OB ＝2 △3，即 AOB 为正三角形，∴S ＝3 3.[答案] 3 3[题后悟道] 三条侧棱两两互相垂直，或一侧棱垂直于底面，底面为正方形或长方形，则此几何体可补形为正方体或长方体，使所解决的问题更直观易求．练习题1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：选A B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中俯视图是两个同心圆．2．(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱C．球体B．圆锥D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．3．下列三种叙述，其中正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个C．2个B．1个D．3个解析：选A①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③不正确．4．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的：①正方形的直观图一定是菱形；②菱形的直观图一定是菱形；③三角形的直观图一定是三角形．以上结论正确的是________．解析：①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确．答案：③5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.答案：③1．(2012·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()A．②③④C．①③④B．①②③D．①②④解析：选A①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．(其中真命题的个数是() A ．1C ．3B ．2D ．4解析：选 A 命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形 非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直 四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选 C C 选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选 C.4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()解析：选 B 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面 P AD ，且 EC投影在面 P AD 上，故 B 正确．△5.如图 A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，那么△ABC 是()A ．等腰三角形B ．直角三角形解析：选 D 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于 22＋ ×2× 3＝4＋ 3.为 ，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)角形；如图 2 所示，直三棱柱ABC －AB C 符合题设要求，此时俯视图△ABC 是直角三角形；－A B C D 符合题设要求，此时俯视图(四边形 ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选 B 由斜二测画法知 B 正确．6．(2012· 东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A ．2＋ 3C ．2＋2 3B ．1＋ 3D ．4＋ 3127．(2012· 昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积12①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．解析：如图 1 所示，直三棱柱 ABE －A 1B 1E 1 符合题设要求，此时俯视图△ABE 是锐角三1 1 1如图 3 所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱 ABCD1 1 1 1积中会含有 π，故排除④⑤.答案：①②③8．(2013· 安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．何体的体积为1×2×2sin 60°×2－1×1×2×2sin 60°×1＝5 3.3解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为 2、高为 2 的正三棱柱除去上面的一个高为 1 的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几2 3 2 35 3答案：9．正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长均为 3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全 等的等腰三角形，则正视图的周长为________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中 E 、F分别是 AD 、BC 的中点，连接 AO ，易得 AO ＝ 2，而 P A ＝ 3，于是解得 PO ＝1，所以 PE ＝ 2，故其正视图的周长为 2＋2 2.答案：2＋2 210．已知：图 1 是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2 是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图 1 几何体的三视图为：图 2 所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．11．(2012· 银川调研)正四棱锥的高为 3，侧棱长为 7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形在△Rt SOE 中，∵OE ＝1BC ＝ 2，SO ＝ 3，42－⎝ × ×2 3⎭2 2的高)．解：如图所示，正四棱锥 S －ABCD 中，高 OS ＝ 3，侧棱 SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝ 7，在 △Rt SOA 中，OA ＝ SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2.作 OE ⊥AB 于 E ，则 E 为 AB 中点．连接 SE ，则 SE 即为斜高，2∴SE ＝ 5，即棱锥的斜高为 5.12．(2012· 四平模拟)已知正三棱锥 V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积．解：(1)三棱锥的直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得 BC ＝2 3， ∴侧视图中V A ＝⎛2 3 3 2⎫＝ 12＝2 3，∴△S VBC ＝1×2 3×2 3＝6. 1．(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该三棱锥的全 面积是()A. a 242 4 a 2＋3× ×⎝ 2 a ⎭2＝ a 2.(3 2)2－⎝2×6⎭2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于 3，所以该四棱锥的外接球的棱锥的高是 5，可由锥体的体积公式得 V ＝ ×8×6×5＝80.3＋ 3 3 B. a 2 43＋ 36＋ 3 C.a 2D.a 2解析：选 A ∵侧面都是直角三角形，故侧棱长等于31 ⎛2 ⎫ 3＋ 3∴S 全＝42422a ，2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 2，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A ．12πC ．72π B ．36πD ．108π解析： 选 B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为 3 2 × 2 ＝ 6 ，高为⎛1⎫球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3，所以其外接球的表面积等于 4π×32＝36π.3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为 5 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6，高为 5 的等腰三角形，则该几何体的体积为()A ．24C ．64 B ．80D ．240解析：选 B 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为 8 和 6 的矩形，1 34．(教材习题改编)表面积为 3π 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的母线为 l ，圆锥底面半径为 r ，则 πrl ＋πr 2＝3π，πl ＝2πr.解得 r ＝1，即直径为 2.答案：25.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为 2 的等20/2733××2×2×2＝.形42－⎝232＋22⎭2＝，所以棱锥O－A BCD的体积等于×(3×2)×51＝51.________．解析：由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋3)．答案：2(π＋3)1．(2012·北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A．8 C．48 B.4 D.解析：选D将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底11面为正方形(对角线长为2)，高为2的四棱锥，其体积V＝3S正方ABCD×P A＝314232．(2012·山西模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝3，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为()A.51 C．251B．351 D．651解析：选A依题意得，球心O在底面ABCD上的射影是矩形ABCD的中心，因此棱锥O－A BCD的高等于⎛1⎫5112323．(2012·马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为()4 4 解析：选 D 由三视图可知该几何体是半径为 1 的球被挖出了 部分得到的几何体，故·4π·12＋3· ·π·12＝ π.22只需求出底面积即可．由俯视图和主视图可知，底面面积为1×2＋2× ×2×1＝4，所以该A ．4πC ．5π15 B. π17 D. π18表面积为7 1 178 44 4．(2012· 济南模拟)用若干个大小相同，棱长为 1 的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为()A ．24C ．22B ．23D ．21解析：选 C 这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体，上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为 22.5． (2012· 江西高考)若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为()11 A.9 C.B ．5D ．4解析：选 D 由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形，高为1 的直棱柱，因此12几何体的体积为 4×1＝4.6.如图，正方体 ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为 4，动点 E ，F 在棱 AB 上，且 EF ＝2，动点 Q 在棱 D ′C ′上，则三棱锥 A ′－EFQ 的体积()解析：选 D 因为 V A ′－EFQ ＝V Q －A ′EF ＝ ×⎝2×2×4⎭×4＝ ，故三棱锥 A ′－EFQ 的高为 3，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为 2，所以体积 V ＝1×1×1× 2＝ 2.3答案： 3π⎧⎪a ＋b ＝6 ，A ．与点 E ，F 位置有关B ．与点 Q 位置有关C ．与点 E ，F ，Q 位置都有关D ．与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值1 ⎛1 ⎫ 163 3体积与点 E ，F ，Q 的位置均无关，是定值．7．(2012· 湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 1，侧棱长为 1，斜2 23 2 6答案：2 68．(2012· 上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析：因为半圆的面积为 2π，所以半圆的半径为 2，圆锥的母线长为 2.底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为 1，所以圆锥的高为 3，体积为 3π.39．(2013· 郑州模拟)在三棱锥 A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，2 2 2 设该长方体的长、宽、高分别为 a 、b 、c ，且其外接球的半径为 R ，则⎨b 2＋c 2＝52，⎪⎩c 2＋a 2＝52，得 a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R)2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知 R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为 4πR 2＝43π.答案：43π10．(2012· 江西八校模拟)如图，把边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 折起，使 AC ＝ 6.。
高中数学《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题(含答案)
高中数学《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a,b是异面直线,直线c∥a,则c与b的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.异面或相交2.下列命题正确的是( )A.一直线与一个平面内的无数条直线垂直,则此直线与平面垂直B.两条异面直线不能同时垂直于一个平面C.直线与平面所成的角的取值范围是:0°<θ≤180°D.两异面直线所成的角的取值范围是:0°<θ<90°3.棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是( )A.平行B.相交词C.平行或相交D.不相交4.设a,b是空间两条垂直的直线,且b∥平面α,则在“a∥α”“a α”“a∩α”这三种情况中,能够出现的情况有( )A.0个B.1个C.2个D.3个5.已知一平面平行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂直,那么这个平面与这条直线的位置关系是( )A.平行B.垂直C.斜交D.不能确定6.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥β[来C.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l7.BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC于D点,则图中共有直角三角形的个数是( )A.8个B.7个C.6个D.5个8.以下说法中,正确的个数为( )①已知直线a,b和平面α.若a∥b,a∥α,则b∥α;②已知直线a,b,c和平面α.a是斜线,与平面α相交,b是射影所在直线,c α,且c⊥b,则c⊥a;③三个平面两两相交,且它们的交线各不相同,则这三条交线互相平行;④已知平面α,β,若α∩β=a,b⊥a,则b⊥α或b⊥β.A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知点O为正方体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列结论正确的是( )A.直线OA1⊥平面AB1C1B.直线OA1∥平面CB1D1C.直线OA1⊥直线ADD.直线OA1∥直线BD110.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )A.4B.C.D.611.已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD= ( )A.2B.C.D.112.如图所示,在正四棱锥S-ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中,E是BC的中点,P点在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE ⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的( )二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,侧棱长AA1=,则异面直线A1B1与BD1所成的角大小等于.14.如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的点,PA垂直于☉O所在的平面,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,因此, ⊥平面PBC.(填图中的一条直线)15.四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,AC与BD相交于点O,且SO⊥平面ABCD,若四棱锥S-ABCD的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角等于.16.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<时,S为四边形;②当CQ=时,S为等腰梯形;③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=;④当<CQ<1时,S为六边形;⑤当CQ=1时,S的面积为.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点,求证:CE,D1F,DA三线交于一点.18.(12分)如图,圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=2,P为SB的中点.(1)求证:SA∥平面PCD.(2)求异面直线SA与PD所成角的正切值.19.(12分)如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC.(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.20.(12分)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.(1)求证:EF∥平面ABC1D1 .(2)求证:EF⊥B1C.(3)求三棱锥B1-EFC的体积.21.(12分)(能力挑战题)在正三棱柱ABC-A1B1C1(底面三角形ABC是正三角形的直棱柱)中,点D,E分别是BC,B1C1的中点,BC1∩B1D=F,BC1⊥B1D.求证:(1)平面A1EC∥平面AB1D.(2)平面A1BC1⊥平面AB1D.22.(12分)(能力挑战题)如图,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,∠BAC=∠ACD=90°,∠EAC=60°,AB=AC=AE.(1)在直线BC上是否存在一点P,使得DP∥平面EAB?请证明你的结论.(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.高中数学《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题参考答案1.【解析】选D.根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交,但不可能平行.2.【解析】选B.A.错误.一直线与一个平面内的无数条直线垂直,并不意味着和平面内的任意直线垂直,所以此直线与平面不一定垂直.B.正确.由线面垂直的性质定理可知,两条异面直线不能同时垂直于一个平面.C.错误.直线与平面所成的角的取值范围是:0°≤θ≤90°.D.错误.两异面直线所成的角的取值范围是:0°<θ≤90°.3.【解析】选A.因为棱柱的侧棱是互相平行的,所以由直线与平面平行的判定定理可知,侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面平行.4.【解析】选D.如图正方体中,b∥平面α,直线a是在直线b的垂面内的任意直线(与b异面).由图可知,“a∥α”“a α”“a∩α”三种情况都有可能.5.【解析】选B.根据线面平行的性质,在已知平面内可以作出两条相交直线与已知两条异面直线分别平行.因此,一直线与两异面直线都垂直,一定与这个平面垂直.6.【解析】选D.因为m,n为异面直线,所以过空间内一点P,作m′∥m,n′∥n,则l⊥m′,l⊥n′,即l垂直于m′与n′确定的平面γ,又m⊥平面α,n⊥平面β,所以m′⊥平面α,n′⊥平面β,所以平面γ既垂直于平面α,又垂直于平面β,所以α与β相交,且交线垂直于平面γ,故交线平行于l,故选D.7.【解析】选A.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,因为PD⊥BC,PA∩PD=P,所以BC⊥平面PAD,所以AD⊥BC,图中直角三角形有△PAC,△PAD,△PAB,△ABC,△PDC,△PDB,△ADC,△ADB,共8个.8.【解析】选A.①错误.直线b的位置不确定,直线b可以在α内,也可以平行于α.②正确.c同时垂直于斜线和射影.③错误.例如,长方体同一顶点的三个面.④错误.没有说明b是否在平面α或β内,则b可以在这两个平面外.9.【解析】选B.可证平面A1BD∥平面CB1D1.10.【解析】选B.四棱台的上下底面均为正方形,两底面边长和高分别为1,2,2, V棱台=(S上+S下+)h=(1+4+)×2=.11.【解析】选C.根据题意,直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,可得AC⊥平面β,则AC⊥CB,△ACB为直角三角形,且AB=2,AC=1,由勾股定理可得,BC=;在Rt△BCD中,BC=,BD=1,由勾股定理可得,CD=.12.【解析】选A.如图所示,连接BD与AC相交于点O,连接SO,取SC的中点F,取CD的中点G,连接EF,EG,FG,因为E,F分别是BC,SC的中点,所以EF∥SB,EF⊄平面SBD,SB 平面SBD,所以EF∥平面SBD,同理可证EG∥平面SBD,又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面SBD,由题意得SO⊥平面ABCD,AC⊥SO,因为AC⊥BD,又SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD,所以AC⊥平面EFG,所以AC⊥GF,所以点P在直线GF上.【变式备选】如图,点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个结论:①三棱锥A-D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.①正确.易证BC 1∥平面ACD 1,所以点P 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动时,点P 到平面ACD 1的距离不变.又因为11A D PC P ACD V V ,--=所以三棱锥A-D 1PC 的体积不变.②正确.易证平面A 1BC 1∥平面ACD 1,所以A 1P ∥平面ACD 1;③错误.因为DB=DC 1,所以当点P 是BC 1的中点时,DP ⊥BC 1;④正确.因为B 1D ⊥平面ACD 1,所以平面PDB 1⊥平面ACD 113.【解析】因为A 1B 1∥AB,所以∠ABD 1是异面直线A 1B 1与BD 1所成的角,在Rt △ABD 1中,∠BAD 1=90°,AB=1,AD 1===, 所以tan ∠ABD 1==,所以∠ABD 1=60°.答案:60°14.【解析】因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的点,所以BC⊥AC,因为PA垂直于☉O所在的平面,所以BC⊥PA,又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,又AF 平面PAC,所以AF⊥BC,又AF⊥PC,BC∩PC=C,所以AF⊥平面PBC.答案:AF15.【解析】取BC的中点E,连接OE,SE,因为OB=OC,所以OE⊥BC,因为SO⊥平面ABCD,所以SO⊥BC,所以BC⊥平面SOE,所以∠SEO是侧面SBC与底面ABCD所成的二面角,因为正方形ABCD的对角线长为2,所以正方形ABCD的边长为2,OE=,由题意得×(2)2×SO=12,所以SO=3,所以tan∠SEO===,所以∠SEO=60°.答案:60°16.【解析】(1)当0<CQ<时,截面如图1所示,截面是四边形APQM,故①正确.(2)当CQ=时,截面如图2所示,易知PQ∥AD1且PQ=AD1,S是等腰梯形,故②正确.(3)当CQ=时,截面如图3所示,易得C1R=,截面是五边形,故③正确.(4)当<CQ<1时,如图4是五边形,故④不正确.(5)当CQ=1时,截面是边长相等的菱形如图5所示,由勾股定理易求得AC1=,MP=,故其面积为S=×AC1×MP=,故⑤正确.答案:①②③⑤17.【解题指南】可证D1F与CE的交点P在直线AD上.【证明】连接EF,D1C,A1B,因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EF∥A1B,EF=A1B,又因为A1B∥D1C,所以EF∥D1C,所以E,F,D1,C四点共面,且EF=D1C,设D1F与CE相交于点P.又D1F⊂平面A1D1DA,CE⊂平面ABCD,所以P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点, 又平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,根据公理3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三线交于一点.18.【解析】(1)连接PO,因为P,O分别为SB,AB的中点,所以PO∥SA, 因为PO⊂平面PCD,SA⊄平面PCD,所以SA∥平面PCD.(2)因为PO∥SA,所以∠DPO为异面直线SA与PD所成的角,因为AB⊥CD,SO⊥CD,AB∩SO=O,所以CD⊥平面SOB.因为PO⊂平面SOB,所以OD⊥PO,在Rt△DOP中,OD=2,O P=SA=SB=,所以tan∠DPO===,所以异面直线SA与PD所成角的正切值为.19.【证明】(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC;由PA垂直于圆所在的平面,得PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC,得PA⊥BC. 又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.(2)连接OG并延长交AC于M,连接QM,QO.由G为△AOC的重心,知M为AC的中点,由Q为PA的中点,得QM∥PC,又因为QM⊄平面PBC,PC⊂平面PBC,所以QM∥平面PBC.又由O为AB的中点,得OM∥BC.同理可证,OM∥平面PBC.因为QM∩OM=M,QM⊂平面QMO,OM⊂平面QMO,所以,据面面平行的判定定理得,平面QMO∥平面PBC.又QG⊂平面QMO,故QG∥平面PBC.20.【解析】(1)连接BD1,在△DD1B中,E,F分别为D1D,DB的中点,则EF∥D1B,因为EF∥D1B,D1B⊂平面ABC1D1,EF⊄平面ABC1D1,所以EF∥平面ABC1D1.(2)因为B1C⊥AB,B1C⊥BC1,AB,BC1⊂平面ABC1D1,AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1D1,又B D1⊂平面ABC1D1,所以B1C⊥BD1,又因为EF∥BD1,所以EF⊥B1C.(3)因为CF⊥平面BDD1B1,所以CF⊥平面EFB1且CF=BF=,因为EF=BD1=,B 1F===,B 1E===3,所以EF 2+B 1F 2=B 1E 2,即∠EFB 1=90°, 所以111B EFC C B EF B EF 1V V S CF 3--===×·EF ·B 1F ·CF=××××=1. 21.【证明】(1)因为点D,E 分别是BC,B 1C 1的中点,所以A 1E ∥AD,EC ∥B 1D,故A 1E ∥平面AB 1D,EC ∥平面AB 1D,又A 1E ∩EC=E,所以平面A 1EC ∥平面AB 1D.(2)因为△ABC 是正三角形,点D 是BC 的中点,所以AD ⊥BC,又因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1,所以AD ⊥平面BCC 1B 1,所以AD ⊥BC 1,又BC 1⊥B 1D,AD ∩B 1D=D,从而BC 1⊥平面AB 1D.又BC 1⊂平面A 1BC 1,所以平面A 1BC 1⊥平面AB 1D.22.【解题指南】(1)通过线面平行的判定定理,利用平行四边形的性质作辅助线来证明.。
人教版高中数学必修二(全)教材配套章末检测题 附答案解析
人教版高一数学必修二教材配套检测题目录第一章空间几何体教材配套检测题 (2)第一章空间几何体章末检测题参考答案 (5)第二章点、直线、平面之间的位置关系教材配套检测题 (6)第二章点、直线、平面之间的位置关系章末检测题参考答案 (9)第三章直线与方程教材配套检测题 (11)第三章直线与方程检章末测题参考答案 (13)第四章圆与方程教材配套检测题 (16)第四章圆与方程章末检测题参考答案 (18)人教版高一数学必修二第一章 空间几何体 教材配套检测题一、选择题1. 下列命题中正确的是.A 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 .B 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台2. 如下图所示，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的截面图形可能是.A （1）（2） .B （1）（3） .C （1）（4） .D （1）（5） 3. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等 的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边的长为1，那么 这个几何体的体积为1.6A .B 12.C 13.D 14. 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比为.A 3π .B 4π .C 2π .D π 5. 如下图所示的正方体中，M 、N 分别是1AA 、1CC 的中点，作四边形1D MBN ，则四边形1D MBN 在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是AC MN 1A （1）（2）（3）（5）AB CD6. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，4AD =，13AA =，分别过BC 、11A D 的两个平 行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111AEA DFD V V -=，11112EBE A FCF D V V -=，11113B E B C F C V V -=. 若123::1:4:1V V V =，则截面11A EFD 的面积为 .A .B .C .D 二、填空题7. 从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E 、F 、G ，过此三点作长方体的截面，那么截 去的几何体是 。
2018版高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.2 第1课时 平行直线、直线与平面平行 新人教B版必修2
相交
平行
l∥α，
l⊂β ，
⇒l∥m
下列条件中能确定直线 a 与平面 α 平行的是( ) A.a⊄α，b⊂α，a∥b B.b⊂α，a∥b C.b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥c D.b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且 AC＝BD
【解析】 由直线与平面平行的判定定理知选 A.
(2)法一 由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形， ∴B1M1∥BM. 同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形， ∴C1M1∥CM. ∵∠BMC 和∠B1M1C1 方向相同， ∴∠BMC＝∠B1M1C1.
法二 由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形， ∴B1M1＝BM. 同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形， ∴C1M1＝CM. 又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1， ∴∠BMC＝∠B1M1C1.
图 1-2-18
【精彩点拨】 要证 MN∥平面 SBC，只需证明 MN 与平面 SBC 内的一条 直线平行即可，证明时注意平行线分线段成比例定理及其逆定理的应用.
【自主解答】 法一 连接 AN 并延长交 BC 于 G，连接 SG，由题意 AD∥BC， 所以DNNB＝NANG.
因为DNBN＝ASMM，所以NANG＝ASMM，则 MN∥SG. 又因为 MN⊄平面 SBC，SG⊂平面 SBC， 所以 MN∥平面 SBC.
【自主解答】 (1)∵ABCD-A1B1C1D1 为正方体. ∴AD＝A1D1，且 AD∥A1D1， 又 M、M1 分别为棱 AD、A1D1 的中点， ∴AM＝A1M1 且 AM∥A1M1， ∴四边形 AMM1A1 为平行四边形， ∴MM1＝AA1 且 MM1∥AA1. 又 AA1＝BB1 且 AA1∥BB1， ∴MM1＝BB1 且 MM1∥BB1， ∴四边形 BB1M1M 为平行四边形.
2018年高中数学第一章空间几何体第二章点、直线、平面之间的位置关系滚动检测新人教A版必修2
，则因为SB ＝AC ＝2，，所以△EFM 为等腰直角三角形，所以．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为．圆锥的高伸长为原来的2倍，底面半径缩小为原来的12，则它的体积是原来体积的a，则O′C′＝34a.d＝O′C′sin45°＝68a.×a×68a＝616a2.ABCD－A1B1C1D1，E是DD1的中点，F是BB，则正方体被平面α所截的截面的形状为(，连接AE，C1F易发现AE∥C1F，所以平面，根据勾股定理易求得AE＝EC1＝C1F＝AF＝5 2两两平行且不共面，这三条直线可以确定)⊥平面ABC，AB⊥BC，将四棱锥展开，在平面中求解．ABCDEF的底面是正六边形，所成的角为45°AB不垂直，所以A项不成立；又平面BC∥AD∥平面PAD，也不成立；在Rt△PAD中，PA＝AD满足AB＝AC＝10，BC＝分别沿DF，DE，EF折起使得(2)，则三棱锥P－DEF的体积为( )－12PE 2＝S △PEG ＋13FG ·二、填空题：本大题共2如图在．已知长方体ABCD －A 图所示，则三棱锥A 1－ADE 的体积为________．×12×2×4×2＝83.平行，则a 和b 的位置关系是为不重合的两个平面，给出下列命题：内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则AC . ＝ 6.·2·2·1＝23.V E －ACD ＝8－23＝223.剩：V 223：23＝：1.如图，在侧棱垂直于底面ABC 的三棱柱ABC C )，且AD ⊥DE ，F 是； ，又AD ⊂平面ABC ，所以BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ，所以的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1.平面A B C ，所以CC ⊥不要求写画法)；求这个几何体的表面积和体积．这个几何体的直观图如图所示．这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为底面半径为1 cm，母线长为2 cm，高为＋2π×1×2＋π×1×2＝7π(cm×12×3＝2π＋33π(cm3)．－BCD，在棱AC上有一点F.AB、CD平行；求证该截面为平行四边形．作FG∥AB交BC于点G，在平面ACD中，过点E作EH∥AB交BD于点H，则截面EF⊄平面BCD，又∵EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BCD ＝GH ， ∴EF ∥GH .∴四边形EFGH 为平行四边形．21．(12分)一圆台上底半径为5 cm ，下底半径为10 cm ，母线AB 长为20 cm ，其中A 在上底面上，B 在下底面上．(1)求该圆台的体积；(2)从母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台的侧面一周转到B 点，求这条绳子的最短长度．解：(1)作出圆台的轴截面，为一等腰梯形，过点A 作下底的垂线AE ，垂足为E .在Rt △AEB 中，AE ＝202－52＝515.故圆台的体积为V ＝13·π·5 15(52＋5×10＋102)＝875153π. (2)画出圆台所在圆锥的侧面展开图如下：沿母线AB 展开，在扇形BOB 1中，设OA ＝l ，圆心角为θ，则l θ＝10π，(l ＋20)θ＝20π.代换后知，θ＝π2，l ＝20，连接MB 1，即为这条绳子最短长度．在Rt △MOB 1中，MB 1＝302＋402＝50，所以这条绳子的最短长度为50 cm.22．(12分)如图所示，已知四棱锥V —ABCD 中，ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，VA ＝AB ＝1，E 是VC 中点，截面ADEF 交VB 于点F .(1)求二面角V —AD —F 的大小； (2)求V —ADEF 的体积．解：(1)∵ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，而BC ⊂平面VBC ， ∴AD ∥平面VBC .∵AD ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面VBC ＝EF . ∴EF ∥AD ，∵E 是VC 的中点． ∴F 是VB 的中点．∵VA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD . ∴VA ⊥AD ，又∵AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面ABV ，而AF ⊂平面VAB . ∴AD ⊥AF ，∴∠VAF 为二面角V —AD —F 的平面角． ∵VA ＝AB ＝1，VA ⊥AB ，。
高中数学 第一章 空间几何体 1.2.3 空间几何体的直观图学业分层测评(含解析)新人教A版必修2(
2017-2018学年高中数学第一章空间几何体1.2.3 空间几何体的直观图学业分层测评（含解析）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章空间几何体1.2.3 空间几何体的直观图学业分层测评（含解析）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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空间几何体的直观图(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于（）A．45°B．135°C．45°或135°D．90°【解析】在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.【答案】C2．由斜二测画法得到:①相等的线段和角在直观图中仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④菱形的直观图仍然是菱形．上述结论正确的个数是（)A．0 B．1C．2 D．3【解析】只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°,故①错,由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A。
【答案】A3．如图12。
32为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是（)图1。
高中数学第一章空间几何体1.21.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图学案新人教A
（浙江专用）2018版高中数学第一章空间几何体1.2 1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图学案新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专用）2018版高中数学第一章空间几何体1.2 1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图学案新人教A 版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
2.1 中心投影与平行投影1。
2.2 空间几何体的三视图目标定位 1.了解中心投影和平行投影的意义。
2.理解三视图画法的规则，能画简单几何体的三视图.3。
能识别三视图所表示的空间几何体。
自主预习1。
投影（1)投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影。
其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。
（2)投影的分类(3)当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质:①直线或线段的平行投影仍是直线或线段;②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比。
2.三视图(1)定义：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图;光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图,这种投影图叫做几何体的俯视图。
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，则因为SB ＝AC ＝2，
，所以△EFM 为等腰直角三角形，所以．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为
．圆锥的高伸长为原来的2倍，底面半径缩小为原来的1
2
，则它的体积是原来体积的
a，则O′C′＝
3
4
a.
d＝O′C′sin45°＝
6
8
a.
×a×
6
8
a＝
6
16
a2.
ABCD－A1B1C1D1，E是DD1的中点，F是BB
，则正方体被平面α所截的截面的形状为(
，连接AE，C1F易发现AE∥C1F，所以平面
，根据勾股定理易求得AE＝EC1＝C1F＝AF＝
5 2
两两平行且不共面，这三条直线可以确定)
⊥平面ABC，AB⊥BC，
将四棱锥展开，在平面中求解．
ABCDEF的底面是正六边形，
所成的角为45°
AB不垂直，所以A项不成立；又平面
BC∥AD∥平面PAD，
也不成立；在Rt△PAD中，PA＝AD
满足AB＝AC＝10，BC＝
分别沿DF，DE，EF折起使得
(2)，则三棱锥P－DEF的体积为( )
－12PE 2＝S △PEG ＋13FG ·二、填空题：本大题共2
如图在．已知长方体ABCD －A 图所示，则三棱锥A 1－ADE 的体积为________．
×12×2×4×2＝8
3
.
平行，则a 和b 的位置关系是为不重合的两个平面，给出下列命题：
内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则
AC . ＝ 6.
·2·2·1＝2
3.
V E －ACD ＝8－23＝223
.
剩：V 223：2
3
＝：1.
如图，在侧棱垂直于底面ABC 的三棱柱ABC C )，且AD ⊥DE ，F 是； ，又AD ⊂平面ABC ，所以BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ，所以的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1.
平面A B C ，所以CC ⊥
不要求写画法)；
求这个几何体的表面积和体积．
这个几何体的直观图如图所示．
这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为底面半径为1 cm，母线长为2 cm，高为
＋2π×1×2＋π×1×2＝7π(cm
×12×3＝2π＋
3
3
π(cm3)．
－BCD，在棱AC上有一点F.
AB、CD平行；
求证该截面为平行四边形．
作FG∥AB交BC于点G，在平面ACD
中，过点E作EH∥AB交BD于点H，则截面
EF⊄平面BCD，
又∵EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BCD ＝GH ， ∴EF ∥GH .
∴四边形EFGH 为平行四边形．
21．(12分)一圆台上底半径为5 cm ，下底半径为10 cm ，母线AB 长为20 cm ，其中A 在上底面上，B 在下底面上．
(1)求该圆台的体积；
(2)从母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台的侧面一周转到B 点，求这条绳子的最短长度．
解：(1)作出圆台的轴截面，为一等腰梯形，过点A 作下底的垂线AE ，垂足为E .
在Rt △AEB 中，AE ＝202－52
＝515.
故圆台的体积为V ＝13·π·5 15(52＋5×10＋102
)
＝
87515
3
π. (2)画出圆台所在圆锥的侧面展开图如下：
沿母线AB 展开，在扇形BOB 1中，设OA ＝l ，圆心角为θ，则l θ＝10π，(l ＋20)θ＝20π.
代换后知，θ＝π
2，l ＝20，连接MB 1，即为这条绳子最短长度．
在Rt △MOB 1中，MB 1＝302
＋402
＝50，所以这条绳子的最短长度为50 cm.
22．(12分)如图所示，已知四棱锥V —ABCD 中，ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，VA ＝AB ＝1，E 是VC 中点，截面ADEF 交VB 于点F .
(1)求二面角V —AD —F 的大小； (2)求V —ADEF 的体积．
解：(1)∵ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，而BC ⊂平面VBC ， ∴AD ∥平面VBC .
∵AD ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面VBC ＝EF . ∴EF ∥AD ，
∵E 是VC 的中点． ∴F 是VB 的中点．
∵VA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD . ∴VA ⊥AD ，又∵AD ⊥AB ，
∴AD ⊥平面ABV ，而AF ⊂平面VAB . ∴AD ⊥AF ，
∴∠VAF 为二面角V —AD —F 的平面角． ∵VA ＝AB ＝1，VA ⊥AB ，。