10-2平面简谐波函数

y
0.1m
t t0
u x
o
y0 0.1cos(t )
解:
ห้องสมุดไป่ตู้
y0 0.1cos(t )

2
t 0

2
y
t 0
y0 0.1 cos[ (t t0 )
0.1m
t t0

2
]
u
t t0
A o

2
o x
x
x y ( x, t ) 0.1cos[ (t t0 ) ] u 2
推广至三维空间
2 2 2

2
——波函数
2
1 2 2 2 2 2 x y z u t
任何物理量 ，不管是力学量、电学量、热 普遍 意义 学量或其它的量，只要它与时间和坐标的关 系满足上述方程，这一物理量就以波的形式 传播，而偏导数 2 t 2的系数的倒数的平 方根就是这种波的传播速度。
u
M

o
x t 0 2
x
x

点P在 t 时刻的位移为
y P A cos[ t 0 2
x

]
沿OX轴正向传播的平面简谐波的波函数
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
沿OX轴负向传播的平面简谐波的波函数
y
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
*§10.2 平面简谐波的波函数
平面简谐波：在均匀、无吸收的介质中，当波 源作简谐振动时，在介质中所形成的平面波。 一、波的表达式（波函数）
数学上如何描述简谐波？？
目标：若知道任意时刻 t ,波线上任一点 x 的位 移 y ，那么就掌握了波的全部运动过程，也即 描述了波，很显然， y y ( x, t ) 波函数
方法：由某点振动方程
波函数
o
y
x
§2.平面简谐波的波函数 / 一.波的表达式
推导： 设OX轴正方向传播的简谐波 , O点振动方程为 y0 A cos(t 0 )
在OX轴正方向任取一点 P, OP x
点O振动t时间， 相位为( t 0 )
x 点P只振动( t )时间， u x 相位为[ ( t ) 0 ] u
设OX轴传播的简谐波，且已 知距点O距离为 x0

x0
x
x
P
§2.平面简谐波的波函数 / 一.波的表达式
x x0 x x0 y A cos[ (t ) 0 ] A cos( t 2 0 ] u 1、x一定，y y( t ),表示x点的振动方程。
§2.平面简谐波的波函数 / 求波函数方法
基本题型
x x0 y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
1.已知波函数求各物理量(教材P52例1）
*2.已知各物理量求波函数
（1）已知一点的振动曲线 和波速，求波函数 （2）已知某时刻的波形曲线 和波速，求波函数
§2.平面简谐波的波函数 / 基本题型

t x A cos[2 ( ) 0 ] T
§2.平面简谐波的波函数 / 一.波的表达式

波函数的 标准式
波函数的 标准式
例：如图已知某点Q距点O为X0，它的振动方程 可以写成：
yQ A cos( t )
求波函数
解：任取一点P，到Q点的距离 为 x x0 ， 所以P点的相位要落后于Q点： y x x0 2 Q
分析：波函数的物理意义
初相：0 2
12 2
x x0

任意两点相差：
2
2

x

x12 (负向)或12

x21 (正向)
2、t一定，y y( x), 表示某时刻波线上各点 对 平衡位置的位移 .
——t时刻的波形
3、t和x都变化，y y( x, t ), 表达了所有质点的 位移随时间变化的整体 情况 一列向x方向传播的平面简谐波
u
x x0 y A cos( t 2 0 ) o x0 x x0 A cos[ ( t ) 0 ] u
所以P点的振动方程可写成：
x
x
P
一般情况：
的点Q的振动规律为 yQ A cost 0 。 x x0 ) 0 ] 则相应的波函数为 y A cos[ (t u y x x0 y A cos( t 2 0 ) Q
y
P
u
x x
o
§2.平面简谐波的波函数 / 一.波的表达式
x 点P在 t 时刻的位移为 y P A cos[ (t ) 0 ] u
也可以这样理解：如果波从O传播到M时，所需的时间为 T，M点的相位比O点落后 2 所以，P点的相位 比O点落后：
y
P
2
P在t时刻 的相位为：
x
y x 2 A cos[ (t ) 0 ] 2 t u 2 2 y A x 2 cos[ (t ) 0 ] 2 x u u 2 2 y 1 y 2 2 2 一维波动微分方程 x u t
2

§2.平面简谐波的波函数 / 三、波动微分方程
250 Hz 且点P 例1、图为平面波在 t 0 时的波形图， 的振动方向向上，求（1）波动方程（2）在距原点 为7.5m 处质点的运动方程与 t 0 时该点的振动速度。
解： 由波形可求出 y0 (t ) 波动方程y( x, t ) 思路：
（1）由P 点振动方向可判断波向左传播
20 3
)
（2）7.5m处质点振动方程 和t=0时该点振动速度
y
0.10
0.05
y(t ) y( x, t ) |x7.5
y t
t 0 , x 7.5
P
10.0m
x
§2.平面简谐波的波函数 / 例题1
思考：若已知非零时刻的波形曲线，如何求原点 O的振动方程以及波函数？设波沿X正向传播 （已知ω）。
§2.平面简谐波的波函数 / 三、波动微分方程
1 2 2 u t
2
L2 L1 P ) （2） 2处质点的振动方程为 y A cos2 (t （3）与 P1 振动状态相同的那些点的位置 L1 k (k 1、 2、 3......)
L1 L2
P1
o
P2
x
三、波动（微分）方程
x 将y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] 分别对 t 和 x求 u 二阶导数，则有
§2.平面简谐波的波函数 / 一.波的表达式
波函数为 y A cos[ t
t时刻x处的相位在
x

2 0 ]
t t时刻出现在 x x处
2 2 x u t x t 2 0
x ut x u t
那么 ( t t )
0 3

3
y
0.10
0.05
P
o
§2.平面简谐波的波函数 / 例题1
10.0m
x
原点的振动方程为： y0 (t ) 0.1 cos( 2t

3 x 波动方程为： y( x ,t ) 0.1 cos[ 2t 2 ] 3 x 0.1cos[2 (250 t ) ]
y0 0.1cos(t )
y
2 T t T 4 2
0.1m
o
T t 4
u x
t
A o
T 4
t0
A
x
0
y0 0.1cost
x y ( x, t ) 0.1cos (t ) u
y
0.1m
o
T t 4
u x
思考：再经过T/4的波形图？
§2.平面简谐波的波函数 / 一.波的表达式
u
P
o
x
x
2 T 2 , u T
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u x A cos[t 2 0 ]

t x A cos[2 ( ) 0 ] T x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u x A cos[t 2 0 ]
x x

2 0 t
x
2 0
进一步说明波的传播 就是相位的传播！
x y A cos[ (t ) 0 ] u
二、波动中振动的速度和加速度
y x A sin[ (t ) 0 ] t u
y x 2 a 2 A cos[ (t ) 0 ] t u
2
注意：波的振动速度与传播速度的区别。
§2.平面简谐波的波函数 / 二、波动中振动的速度和加速度
求波函数的方法：
某点x0的振动方程 y(t ) A cost 0
波函数
x x0 y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
选定坐标并明确波的传播方向。 选取参考点的位置，写出其振动方程。 比较位于 x 处的任一点和参考点（振源 或波源）位相的领先或落后关系。由参 考点的 振动表达式得出波的表达式
o
5 .0
t0
§2.平面简谐波的波函数 / 例题2
t
故 x 1.0m 处质点的振动方程
y1.0 0.4 cos(

6
t

3
)

x 1 . 0 所以，波函数为： y 0.4 cos( t 2 ) 6 12 3