2012-2013学年湖南师大附中高一上期期末考试数学 Word版含答案

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2023-2024学年湖南师大附中高一数学上学期期末试卷附答案解析

2023-2024学年湖南师大附中高一数学上学期期末试卷2024年1月时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分﹐共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）1．tan 390︒的值为（）．A．B．C．2．已知全集为U，集合M，N 满足M NU ，则下列运算结果为U 的是（）．A．M N⋃B．()()U UN M ⋃痧C．()U M N ⋃ðD．()U N M ⋃ð3．下列命题为真命题的是（）．A．若0a b <<，则22a ab b <<B．若0a b >>，则22ac bc>C．若0a b <<，则11a b<D．若0a b >>，则22a b>4．下列命题正确的是（）．A．小于90︒的角是锐角B．第二象限的角一定大于第一象限的角C．与2024-︒终边相同的最小正角是136︒D．若2α=-，则α是第四象限角5．函数242xy x =+的图象大致为（）A．B．C．D．6．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]1,2上是减函数，则()f x （）．A．在区间[]0,1上是增函数﹐在区间[]3,4上是增函数B．在区间[]0,1上是增函数，在区间[]3,4上是减函数C．在区间[]0,1上是减函数，在区间[]3,4上是增函数D．在区间[]0,1上是减函数，在区间[]3,4上是减函数7．若2233x y x y---<-，则（）A．ln(1)0y x -+>B．ln(1)0y x -+<C．ln ||0x y ->D．ln ||0x y -<8．设方程21log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，121log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的根分别为1x ，2x ，则（）A．121=x x B．1201x x <<C．1212x x <<D．122x x ≥二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．下列选项中，下列说法正确的是（）．A．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B．“A B =”是“sin sin A B =”的必要不充分条件C．“,x y ∀∈R ，220≥+x y ”的否定是“00,x y ∃∈R ，22000x y +<”D．12y x =与24y x =是同一函数10．下列不等式恒成立的是（）．A．()1128x x -≤B．e e 2-+≥x xC．log log 2a b b a +≥D．221122x x +>+11．已知函数()221tan 2sin cos 1tan xf x x x x -=-+．下列结论是假命题的是（）．A．函数()f x 的最小正周期是πB．函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数C．函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D．函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称12．已知53a =，85b=，则（）A．a b <B．112a b +>C．11a b a b +<+D．b aa ab b+<+三、填空题（本大题共4个小题﹐每小题5分﹐共20分．）13．将函数()πsin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0m m >个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为．14．若函数()2202412023x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间D 上单调递增，请写出一个满足条件的区间D 为．15．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf =．16．已知函数()f x 的定义域为R，且满足()()()()2log 1,012,0x x f x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨--->⎪⎩，则()f x 在[]2024,2024-上的整数值零点的个数为．四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设全集U =R ，集合{}12A x x =-≤，206x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭．(1)求A B ⋂；(2)已知集合{}1021C x a x a =-<<+，若() U B C ⋂=∅ð，求a 的取值范围．18．已知()34sin 2,sin 55a ββ-==-，且πππ,022αβ<<-<<．(1)求cos(2)αβ-的值；(2)求cos α的值；(3)求角αβ-的大小．19．已知关于x的不等式2104b x x -+≤．(1)当1,4a b ==时，求不等式的解集；(2)若不等式仅有一个解，求4b a +的最小值．20．已知函数()()()log 24log 5a a f x x x =-+-（0a >且1a ≠）的图象过点()3,2P -．(1)求a 的值及()f x 的定义域；(2)求()f x 的单调区间；(3)若523,32m n t ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，比较()2f m 与()3f n 的大小．21．某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转﹐旋转一周所需时间为24T =分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为t分钟．(1)求1号座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系()h t 的解析式；(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t 的值；(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H 米，若在00t t ≤≤这段时间内，H 恰有三次取得最大值，求0t的取值范围．22．已知函数3()()31x x af x a R -=∈+.（1）若函数()f x 为奇函数，求a 的值，并求此时函数()f x 的值域；（2）若存在120x x <<，使()()120f x f x +=，求实数a 的取值范围.1．B【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数求解.【详解】()tan 390tan 36030tan 30︒=︒+︒=︒=，故选：B 2．D【分析】根据M N U ，结合交并补的运算即可判断选项【详解】如图，因为M NU ，所以M N N U =≠ ，故A 错误；因为()()() U UU UN M M N M U⋃==≠ 痧痧，故B 错误；因为M N U ，所以() U M N U ⋃≠ð，故C 错误；因为M NU ，所以() U N M U ⋃=ð，故D 正确.故选：D 3．D【分析】由题意结合作差法逐一判断每一选项即可，特别的对于C，令0c =即可判断.【详解】对于AC，若0a b <<，则()2110,0b aa ab a a b a b ab --=->-=>，故AC 错误；对于B，令0a b c >>=，则220ac bc ==，故B 错误；对于D，若0a b >>，则()()220a b a b a b -=+->，即22a b >，故D 正确.故选：D.4．C【分析】根据锐角定义判断A，取特殊角判断B，根据终边相同的角判断C，确定α所在象限判断D.【详解】1090-︒<︒，但是由锐角的定义知10-︒不是锐角，故A 错误；100︒是第二象限的角，400︒是第一象限的角，但100400︒<︒，故B 错误；因为20246360136-︒=-⨯︒+︒，所以与2024-︒终边相同的最小正角是136︒，故C 正确；π22α=-<-且2πα=->-，所以α是第三象限角，故D 错误.故选：C 5．A【分析】分析函数的奇偶性，并结合函数的解析式知：当0x >时()0f x >，即可确定大概函数图象.【详解】根据题意，设()242x y f x x ==+，其定义域为R ，有()()242xf x f x x -=-=-+，则()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除C ､D，当0x >时，40x >，220x +>，必有()0f x >，排除B，故选：A.【点睛】关键点点睛：分析函数的奇偶性与函数值符号，应用间接法确定函数图象.6．B【分析】根据函数关于y 轴和1x =轴对称，利用已知区间的单调性求解.【详解】因为()()2f x f x =-，所以函数()f x 关于1x =成轴对称，所以区间[0,1]与区间[]1,2，区间[2,1]--与[]3,4关于1x =对称，由函数()f x 在区间[]1,2上是减函数，可知函数在[0,1]上是增函数，又函数()f x 是偶函数，所以函数()f x 在[2,1]--上是增函数，所以函数()f x 在[]3,4上是减函数，故选：B 7．A【分析】将不等式变为2323x x y y---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y---<-，令()23t tf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y-Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.8．B【分析】由方程21log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得212log xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，121log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：1212log xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，分别画出左右两边函数的图象，即可得出结论.【详解】解：由方程21log 02x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得212log xx ⎛⎫⎪⎝⎭=，121log 02x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：1212log xx ⎛⎫⎪⎝⎭=，分别画出左右两边函数的图象，如图所示.由指数与对数函数的图象知：1210x x >>>，于是有122112211log log 22xxx x ⎛⎫⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得121x x <，所以1201x x <<，故选：B.9．AC【分析】根据不等式性质及反例可判断A，由正弦函数性质及反例判断B，由全称命题的否定C，由函数的定义域判断D.【详解】当1a >时，由不等式性质可知21a >成立，而当21a >时，1a >不一定成立，如2a =-，故“1a >”是“21a >”的充分不必要条件，故A 正确；因为A B =时，sin sin A B =成立，而sin sin A B =时，A B =不一定成立，如π2π,33A B ==，故“A B =”是“sin sin A B =”的充分不必要条件，故B 错误；由全称命题的否定知，“,x y ∀∈R ，220≥+x y ”的否定是“00,x y ∃∈R ，22000x y +<”，故C 正确；因为12y x =[0,)+∞，24y x ==x ∈R ，故函数不是同一函数，故D 错误.故选：AC 10．AB【分析】根据均值不等式判断AB，根据特例可判断CD.【详解】()21121212(12)222812x x x x x x +-⎛⎫⨯-≤=⎪-⎝⎭=，当且仅当212x x =-，即14x =时等号成立，故A正确；e e 2-+≥=x x ，当且仅当e e x x -=，即0x =时等号成立，故B 正确；当1,22a b ==时，1221log log log 2log 222a b b a +=+=-<，故C 错误；因为0x =时，221122x x +=+，所以221122x x +>+不成立，故D 错误.故选：AB 11．BCD【分析】首先根据同角三角函数关系式，二倍角公式和辅助角公式对函数()f x 的解析式进行化简，然后利用函数的周期判断A，利用单调性判断B，根据对称中心、对称轴判断CD.【详解】222222s 1tan ()2sin co in 1cos 2sin cos sin 1co tan s s 1x f x x x x x x x x xx -=--+-=+222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos cos 2sin 2cos sin x x x x x x x x x x x x-=-=--=-+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ,Z 2x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭，因为2π2ππ2T ω===，函数()f x 的最小正周期是π，选项A 正确；由()ππ2π22πZ 4k x k k -+≤+≤∈，得()5ππππZ 88k x k k -+≤≤-+∈，所以区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是函数的单调递增区间，选项B 错误；由()ππ2πZ 42x k k +=+∈，得()ππZ 82k x k =+∈，所以点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数的对称中心，选项C 错误；由()π2πZ 4x k k +=∈，得()ππZ 82k x k =-+∈，当0k =时，π8x =-，当取函数图象上点3π,14M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，M 关于π8x =-的对称点π,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭'，但由于函数定义域为ππ,2x k k ≠+∈Z，故π,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭'不在函数图象上，所以π8x =-不是函数的对称轴，选项D 错误.故选：BCD.12．ABD【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．【详解】解：∵53a =，85b=，∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=，又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确；35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab >，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b +>+，故选项C 不正确；由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()xg x b =均递减，再由a ，b 的大小关系知b b a b a b aa b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．13．π18【分析】根据图象平移与伸缩变换得出函数()g x 解析式，再由奇函数及诱导公式求解.【详解】由题意可得11π()()sin 3626g x f x m x m ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，因为()g x 为奇函数，所以π3π,Z 6m k k -+=∈，即ππ183k m =-，Z k ∈，所以0k =时，正数m 有最小值π18.故答案为：π1814．[1,2]（答案不唯一）【分析】根据指数型函数的单调性判断方法，将指数取为t ，分别判断外函数1()2023ty =和内函数22024t x x =-的单调性，再由“同增异减”的方法即得函数的单调区间，再取其任意子集即得.【详解】对于函数()2202412023x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，不妨设22024t x x =-，则1()2023ty =在R 上递减，而2222024(1012)1012t x x x =-=--的对称轴为直线1012x =，故当(,1012)x ∈-∞时，函数t 为减函数，当(1012,)x ∈+∞时，函数t 为增函数.根据复合函数的“同增异减原则”可得：函数()2202412023x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,1012)-∞上递增，在(1012,)+∞上递减.故依题意可知，区间D 可取区间(],1012∞-的任何子集，如[1,2].故答案为：[1,2].（答案不唯一）15．【分析】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题可得，21π6x x -=，结合1sin 2x =的解可得，()212π3x x ω-=，从而得到ω的值，再根据2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭以及()00f <，即可得2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而求得()πf ．【详解】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x -=，由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，Z k ∈，由图可知，()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()212π3x x ω-=，4ω∴=．因为28ππsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8ππ3k ϕ+=，即8ππ3k ϕ=-+，Z k ∈．所以82()sin 4ππsin 4ππ33f x x k x k ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又因为()00f <，所以2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2πsin 4ππ32f ⎛⎫∴=-=-⎪⎝⎭．故答案为：．【点睛】本题主要考查根据图象求出ω以及函数()f x 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．16．674【分析】根据函数当0x >时的周期，及(3)()f x f x +=-，即可求出整数值零点.【详解】当0x >时，由()(1)(2)f x f x f x =---可得(2)(1)()f x f x f x +=+-，(3)(2)(1)f x f x f x +=+-+，所以(3)()f x f x +=-，所以(6)(3)()f x f x f x +=-+=，即0x >时，周期为6.当0x <时，11x ->，()2()log 10f x x =->，此时函数无零点，由于2(0)log 10f ==，则(6)(5)(4)(4)(3)(4)(3)f f f f f f f =-=--=-，(3)(2)(1)(1)(0)(1)(0)0f f f f f f f -=-+=-++==，所以(3)0f =，所以(0)(3)(6)(9)(12)(2022)f f f f f f ====== ，由于20223674=⨯，故()f x 在[]2024,2024-上的整数值零点个数为674.故答案为：67417．(1)[1,2]-(2)8a ≤【分析】（1）化简集合,A B 根据集合的交集运算得解；（2）讨论,C C =∅≠∅，由()U B C ⋂=∅ð建立不等式求解即可.【详解】（1）{}12[1,3]A x x =-≤=-，20(6)[2,)6x B x x ∞∞⎧⎫-=≥=--⋃+⎨⎬+⎩⎭，所以[2,3]A B ⋂=.（2）由（1）知U [6,2)B =-ð，因为()U B C ⋂=∅ð，当C =∅时，1021a a -≥+，解得3a ≤，当C ≠∅时，则2103a a ≤-⎧⎨>⎩或2163a a +≤-⎧⎨>⎩，解得38a <≤，综上，实数a 的取值范围为8a ≤.18．(1)45(2)7210-(3)5π4【分析】（1）根据同角平方关系即可求解；（2）根据和角余弦公式求解cos 2cos[(2)]ααββ=-+，再根据倍角余弦公式即可求解；（3）先根据差角正弦公式求解sin()sin[(2)]αβαβα-=--，再结合角的范围即可求解.【详解】（1）因为ππ2α<<，所以π22πα<<.又π02β-<<，所以π02β<-<，所以5ππ22αβ<-<.而3sin(2)05αβ-=>，所以5π2π22αβ<-<，所以4cos(2)5αβ-==.（2）由π02β-<<且4sin 5β=-，得3cos 5β=，所以cos 2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin ααββαββαββ=-+=---433424555525⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭.又ππ2α<<，所以cos α==.（3）由（2）知π72π,cos 210αα<<=-，所以2sin 10α=，所以sin()sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin αβαβααβααβα-=--=---3724225105102⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭.又πππ,022αβ<<<-<，所以π3π22αβ<-<，所以5π4αβ-=.19．(1)13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)9【分析】（1）把1,4a b ==代入，解不等式即可；（2）根据条件可得Δ0=，可得11a b +=，0ab >，再利用基本不等式1的妙用求解即可.【详解】（1）当1,4a b ==时，不等式可化为23204x x -+≤，即24830x x -+≤，(23)(21)0x x --≤，解得1322x ≤≤，故不等式的解集为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）若不等式2104b x x --+≤仅有一个解，则2Δ((1)0b =--=，即110,0ab b b ab a =-⇒=+>>，由10ab b -+=，两边除以b 得11a b +=，则4414()()559b b a ab a a b ab +=++=++≥+=，当且仅当4ab ab =，即2,33a b ==时，等号成立，故4b a +的最小值为9.20．(1)12a =，(2,5)(2)单调增区间为7,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(2)(3)f m f n <【分析】（1）由(3)2f =-求得a ，由对数函数的定义得定义域；（2）根据二次函数、对数函数的单调性及复合函数的“同增异减”求函数的单调区间；（3）指数式改写为对数式，然后比较2,3m n 的大小，并由已知得出2,3m n 的范围，在此范围内由()f x 的单调性得大小关系．【详解】（1）因为()3,2P -在函数()()()log 24log 5a a f x x x =-+-的图象上，所以(3)log 2log 22log 22a a a f =+==-，即log 21a =-，解得12a =.由24050x x ->⎧⎨->⎩，解得25x <<，所以()f x 的定义域为(2,5).（2）由()()()111222log 24log 5log (24)(5)f x x x x x =-+-=--，令2(24)(5)21420s x x x x =--=-+-，当72,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，221420s x x =-+-单调递增，7,52x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，221420s x x =-+-单调递减，又12log y s=单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在72,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，在7,52x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 的单调增区间为7,52⎛⎫⎪⎝⎭，单调减区间为72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）52332m n t t ⎛⎫==<< ⎪⎝⎭，23m n t ==，2m t=，3n =，=1=>=>，所以23m n >，532<<t ，则22log log 3m t =<，222log 3m <，因为7423>，所以274log 3>，27log 34<，即722m <，335log log 2n t =>，333512533log log log 9228n >=>=，所以72(2,)2m ∈，73(2,)2n ∈，由（2）知，()f x 在7(2,)2上是减函数，所以(2)(3)f m f n <．21．(1)π()30sin3212h t t =+()0t ≥(2)14或22(3)0[32,44)t ∈【分析】（1）设1号座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系的解析式为()sin()(0h t A t b A ωϕ=++>，0)ω>，根据所给条件求出A 、b 、ω、ϕ，即可得到函数解析；（2）由（1）中的解析式得出()17h t =，结合正弦函数的性质计算可得；（3）依题意可得1h ，5h ，从而得到高度差函数()ππ30sin 3230sin 8321212H t t ⎛⎫⎡⎤=+-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时t 的值，即可得解；【详解】（1）设1号座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系的解析式为()sin()(0h t A t b A ωϕ=++>，0ω>，0)t ≥，则30A =，32b =，所以()30sin()32(0)h t t ωϕω=++>依题意24min T =，所以2ππ(/min)12rad T ω==，当0=t 时()32h t =，所以0ϕ=，故π()30sin3212h t t =+()0t ≥；（2）令()17h t =，即π30sin321712t +=，所以π1sin 122t =-，又024t ≤≤，所以π02π12t ≤≤，所以π7π126t =或π11π126t =，解得14t =或22t =，即14t =或22t =时1号座舱与地面的距离为17米；（3）依题意130sin32π12t h +=，()5π30sin 83212h t =++，所以()ππ30sin 3230sin 8321212H t t ⎛⎫⎡⎤=+-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()ππ30sin30sin 81212t t =-+ππ2π30sinsin 12123t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3π3π30sin cos 212212t t =ππ126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令πππ,N π1262k k t -=+∈，解812,N t k k =+∈，所以当812,N t k k =+∈时H 取得最大值，故081228123t +⨯≤<+⨯，解得03244t ≤<，所以0[32,44)t ∈.22．（1）1a =，(1,1)-；（2）133a <<.【分析】（1）利用(0)0f =可求1a =，分离常数后可求函数的值域.（2）由题设可得故()f x 在()0,∞+上的取值集合与()f x -在(),0∞-的取值集合有交集，考虑它们无公共元素时实数a 的取值范围，该范围在实数集上的补集即为所求的取值范围.【详解】（1）因为3()31x x a f x -=+为奇函数，所以1(0)02a f -==，所以1a =，又当1a =时，31()31x x f x -=+，此时()3131()3131x x x x f x f x -----==-=-++，满足奇函数的定义，故1a =符合.此时312()13131x x xf x -==-++，又2231102()1(1,1)3131x x x f x +>⇒<<⇒=-∈-++，故函数()f x 的值域为(1,1)-.（2）3111()13131x xxa a f x +--+==-++.①当10a +≤时，()1f a ≥，故不成立；②当10a +>即1a ≥-时，因为存在120x x <<，使()()120f x f x +=，故()f x在()0,∞+上的取值集合与()f x-在(),0∞-的取值集合有交集，因为()f x在R上为增函数，故()f x在()0,∞+上的取值区间为1,12a-⎛⎫⎪⎝⎭，() f x在(),0∞-上的取值区间为1,2aa-⎛⎫-⎪⎝⎭，故()f x-在(),0∞-上的取值区间为1,2a a-⎛⎫⎪⎝⎭，若区间1,2a a-⎛⎫⎪⎝⎭与1,12a-⎛⎫⎪⎝⎭无公共元素，则12aa-≤或112a-≥，也就是13a≤或3a≥，故区间1,2a a-⎛⎫⎪⎝⎭与1,12a-⎛⎫⎪⎝⎭有公共元素时，必有133a<<.综上，13 3a<<.【点睛】方法点睛：（1）含参数的奇函数或偶函数，利用赋值法求出参数值后应加以检验；（2）多元方程解的存在性问题，一般转化为不同函数在对应范围中的值域的关系，注意合理转化.。

湖南师范大学附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题含解析

湖南师大附中2019—2020学年度高一第一学期期末考试一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合(){}lg 1A x y x ==+,{}24xB x =>，则()A B =R（ )A. ()2,+∞B. (]1,2- C 。

()1,2- D. ()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数的性质以及指数函数的单调性求出集合A 、B,然后再利用集合的交补运算即可求解。

【详解】由题知()1,A =-+∞，()2,B =+∞,从而得到()(]1,2R A B =-. 故选：B 。

【点睛】本题考查了集合的交补运算,同时考查了对数型函数的定义域以及利用指数函数的单调性解不等式，属于基础题。

2.已知扇形的弧长是4，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ) A 。

1 B 。

2 C 。

4 D 。

1或4【答案】C 【解析】因为扇形弧长为4,面积为2，所以扇形的半径为：12×4×r=2，解得：r=1，则扇形的圆心角的弧度数为41=4．故选C ．3。

已知ABC ∆中,5BC =,4AC =，6C π=，则BC CA ⋅=（ )【解析】【分析】利用向量数量积的定义直接进行求解即可.【详解】5cos 6a BC CA b π⋅=⨯⨯542⎛=⨯⨯-=- ⎝⎭。

故选：B .【点睛】本题考查了向量的数量积，解题的关键是求出向量的夹角,属于基础题。

4。

在平面直角坐标系中，角β的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点)P a，若300β=︒，则a =（）A.1B. 3-C.13D 。

12【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的定义1cos 2β==即可求解。

【详解】由三角函数的定义得1cos 2β==,解得3a =±,从而3a =-。

故选：B .【点睛】本题考查了三角函数的定义，解题的关键是确定终边所在的象限，属于基础题.5。

湖南师大附中2011-2012学年高一上期期末考试试题

一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线l 的倾斜角为600，则直线l 的斜率为A ．3B ．－3C ．3D ．3-2．下列命题中，错误的是 A ．平行于同一个平面的两个平面平行 B ．平行于同一条直线的两个平面平行 C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交3. 正方体1111D C B A ABCD -的对角线1AC 的长为3cm ，则它的体积为A ．34cmB ． 38cmC ．372112cm D ．333cm4．下列直线中，斜率为43-，且不经过第一象限的是A ．0743=++y xB ．0734=++y xC ．0234=-+y xD ．0243=-+y x 5. 直线01343=-+y x 与圆1)2()1(22=++-y x 的位置关系是A. 相离B. 相交C. 相切D. 无法判定 6. 如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与原长方体的体积之比为A. 1﹕3B. 1﹕4C. 1﹕5D. 1﹕67．设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若γα⊥，γβ⊥，则//αβ；②若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβ；③若//αβ，α⊂l ，则//l β； ④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，//l γ，则//m n ．其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 8．若直线b x y +=与曲线21yx -=有且只有一个交点，则b 的取值范围是A ．2||=b B ．11≤<-bC ．211-=≤<-b b 或D ．以上答案都不对选择题答题卡二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案的最简形式填在横线上9．若经过点(-２, a )和点(a ,４)的直线斜率不存在,则a = ．10. 在z 轴上与点A （－4，1，7）和点B （1，5，－2）等距离的点C 的坐标为_________．11．垂直于直线053=-+y x 且经过点P(—1，0)的直线的一般式方程是______________． 12. 用一平面去截球所得截面的面积为π2cm 2，已知球心到该截面的距离为1 cm ，则该球的体积是 cm 3.13．圆心在x 的圆C 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆C 的标准方程是 ___．14．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 成60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD ．其中正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共4个小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．(本小题满分10分)如图为一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积和体积．16. (本小题满分10分)求过点A（5，2），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.17. (本题满分12分)如图，正方体1111D C B A ABCD -中， E 是1DD 的中点．（1）求证：1BD ∥平面AEC ；（2）求1BC 与平面11A ACC 所成的角.18. (本小题满分12分)已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=. 当直线l 被圆C 截得的弦长为（1）求a 的值；（2）求过点（3，5）并与圆C 相切的直线方程.第Ⅱ卷（选考部分：共50分）19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB．（1）若AB=AD=a,直线PB与CD所成角为45，①求四棱锥P－ABCD的体积；②求二面角P－CD－B的大小；（2）若E为线段PC上一点，试确定E点的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD，并说明理由．Array20．(本小题满分12分)如图，A，B两地相距10km，A（–5，0），B（5，0）．有一种商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的3倍．问该地居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑).21．(本小题满分13分)已知方程22240x y x y m +--+=．（1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点），求m 的值；（3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．22．(本小题满分13分)如图，在平面直角坐标系中，方程为022=++++F Ey Dx y x 的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 互相垂直，且AC 和BD 分别在x 轴和y 轴上．（1）求证：F ＜0；（2）若四边形ABCD 的面积为8，对角线AC 的长为2，且AB ⊥AD ，求224D E F +- 的值；（3）设四边形ABCD 的一条边CD 的中点为G ，OH ⊥AB ，垂足为H ，试用平面解析几何的研究方法判断点O 、G 、H 是否共线，并说明理由.数学参考答案一、选择题()232321332V V V V cm ππ===⨯⨯⨯=柱柱锥－…………………………10分则圆心到直线:30l x y -+=的距离21)1(13222+=-++-=a a d .…………………2分②当过)5,3(斜率不存在，易知直线3=x 与圆相切．…………………………11分理由如下：连AC 、BD 交于O 点，连EO.由△AOB ∽△COD ，且CD=2AB ∴CO=2AO∴PE:EC=AO:CO =1:2∴PA ∥EO …………………………10分 ∵PA ⊥底面ABCD ， ∴EO ⊥底面ABCD. 又EO 在平面EBD 内，∴平面EBD 垂直于平面ABCD …………………………12分21.解：（1）22240x y x y m +--+= ， 2D =-，4E =-，F m =．2242040D E F m +-=->， 5<m ，则m 的取值范围是(,5)-∞．…………2分（2）22240(1)240(2)x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩由（1）得y x 24-=代入（2）并整理得： 081652=++-m y y ．……4分……………………3分（2）四边形ABCD的面积S=1||||2A CB D,因为S=8，|AC|=2，可得|BD|=8.……………………4分。

5.湖南师大附中高一第一学期期末考试

5.湖南师大附中高一第一学期期末考试教学(本试卷满分150分，考试时间120分钟）第I 卷(满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若直线过点()(1,22,2+，，则此直线的倾斜角是（ ) A.30︒ B.45︒ C.60︒ D.90︒2.已知直线1:20l ax y --=和直线()2:210l a x y +-+=，若12l l ⊥，则a 的值为（） A.2 B.l C.0 D.-13.若,a b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为（ ) ①,//;a b a b αα⊥⇒⊥ ②,//;a a b b αα⊥⊥⇒ ③//,a a b b αα⊥⇒⊥. A.l B.2 C.3 D.04.在空间直角坐标系中，点B 是()1,2,3A 在xOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则OB 等于（）A.14B.13C.5D.105.两圆2222104240x y x y x y +-=+-+-=和的位置关系是（） A.内切 B.相交 C.外切 D.外离6.如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是（）7.已知圆22:450C x y x +--=，则过点()1,2P 的最短弦所在直线l 的方程是（）A.3270x y +-= B.240x y +-= C.230x y --= D.230x y -+=8.直三棱柱111ABC A B C -中，若190,BAC AB AC AA ︒∠===，则异面直线1BA 与1AC ,所成的角等于( )A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒9.从直线30x y -+=上的点向圆224470x y x y +--+=引切线，则切线长的最小值为（）32A.2 14B.232C.432D.12- 10.如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ,已知'A ED ∆是AED ∆绕DE 旋转过程中的一个图形,下列命题中，错误的是( ) A.恒有'DE A F ⊥B.异面直线'A E 与BD 不可能垂直C.恒有平面'AGF⊥平面BCED D.动点'A 在平面ABC 上的射影在线段AF 上二、填空题(本大题共3小题,每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上）11.如图，'''O A B ∆是水平放置的AOB ∆的直观图，''''3,4O A O B ==，则AOB ∆的面积是_____.12.在三棱锥A BCD -中，,,AB AC AB AD AC AD ⊥⊥⊥，若3,4,AB AC ==5AD =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为_____.13.如图所示，已知矩形ABCD 中，3,AB BC a ==，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE DE ⊥，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是_____.三、解答题(本大题共3小题，共35分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)14.(本小题满分10分)已知直线l 经过点()2,5P -，且斜率为34-.(I)求直线l 的方程；(II)求与直线l 切于点()2,2，圆心在直线110x y +-=上的圆的方程. 15.(本小题满分12分）已知坐标平面上动点(),M x y 与两个定点()()26,1,2,1A B 的距离之比等于5. (I)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(II)记(I)中的轨迹为C ，过点()2,3P -的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程.16.(本小题满分13分）如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点. (I)求证://PA 平面BDE ;(II)求证:平面PAC ⊥平面BDE ;(III)若二面角E BD C --为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积.第II 卷(满分50分)一、选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)17.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”问题，若正整数N 除以正整数m 后的余数为,n 则记为()mod N n m =，例如()112mod3=.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（）A.21B.22C.23D.2418.在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PAB ，BC ⊥平面PAB ，底面ABCD 为梯形，4,8,6,AD BC AB APD CPB ===∠=∠,满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（） A.直线的一部分 B.半圆的一部分 C.圆的一部分 D.球的一部分二、填空题(本大题共1小题，每小题5分.把答案填在题中的横线上）19.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()()[)[)12log 1,0,1,13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()20172018F x f x =-的所有零点之和为_____. 三、解答题(本大题共3小题，共35分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）20.（本小题满分10分）如图，在正方体中1111ABCD A B C D -.(I)求证:1AC BD ⊥(II)是否存在直线与直线111,,AA CC BD 都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线(不必说明画法及理由)；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分12分）平面直角坐标系中，在x 轴的上方作半径为1的圆Γ，与x 轴相切于坐标原点O .平行于x 轴的直线1l ,与y 轴交点的纵坐标为-l ，(),A x y 是圆Γ外一动点，A 与圆Γ上的点的最小距离比A 到1l 的距离小1. (I)求动点A 的轨迹方程；(II)设2l 是圆Γ平行于x 轴的切线，试探究在y 轴上是否存在一定点B ，使得以AB 为直径的圆截直线2l 所得的弦长不变. 22.(本小题满分13分）已知函数()()2log 1f x x =+.(I)若()()10f x f x +->成立，求x 的取值范围；(II)若定义在R 上奇函数()g x 满足()()2g x g x +=-，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 在[]3,1--上的解析式，并写出()g x 在[]3,3-上的单调区间(不必证明）；(III)对于(II)中的()g x ，若关于x 的不等式321822x x t g g +⎛⎫-⎛⎫≥- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭在R 上恒成立，求实数t的取值范围.参考答案 1.答案：C解析：由斜率公式可得该直线的斜率tan k θ==，则倾斜角60θ︒=,故选C. 2.答案：D解析：由题知()210a a ++=,即()222110,1a a a a ++=+=∴=-(也可以将选项中的值代入检验），故选D. 3.答案：A解析：①正确；对于②，//b α或;b a ⊂对于③，b a ⊂或//b α或b 与α相交，故选A. 4.答案：D解析：点()1,2,3A 在xOz 坐标平面内的射影为()1,0,3B ，则OB ==，故选D. 5.答案：B解析：将两圆方程化成标准方程分别为221x y +=,()()22219x y -++=，可知圆心距d =，由于24d <<，所以两圆相交，故选B.6.答案：C解析：当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12高为1的圆柱，体积为;4π当俯视图为C 中三角形时，几何体为底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的三棱柱，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，体积为4π，故选C. 7.答案：D解析：圆C 的标准方程为()2229x y -+=，过点()1,2P 的最短弦所在直线l 应与PC 垂直，故有1l pc k k ⋅=-，由2pc k =-得12l k =，进而得直线l 的方程为230x y -+=，故选D.答案：C解析：将直三棱柱111ABC A B C -,补形成正方体1111ABCD A B C D -，则异面直线1BA ,与1AC ,所成的角等于1BA 与1BD 所成的角，即为60︒，故选C. 9.答案：B解析：当圆心到直线距离最短时，切线长最短.圆224470x y x y +--+=的标准方程为()()22221x y -+-=，则圆心为()2,2，半径为1，圆心到直线30x y -+=的距离d =2=，故选B. 10.答案：B解析：在旋转的过程中，',DE AGDE FG ⊥⊥，又'AG FG G =，则DE ⊥平面'',AGF DE A F ∴⊥，A 选项正确；,E F 为线段,AC BC 的中点，'//,EF AB A EF ∴∴∠就是异面直线'A E 与BD 所成的角，当()()22'2'A E EF A F +=时，直线'A E 与BD 垂直，B 选项不正确；已证得DE ⊥平面'AGF，又DE ⊂平面,BCED ∴平面'AGF ⊥平面BCDE ，C 选项正确；已证得平面'AGF⊥平面BCDE ，且两平面的交线为',AF A ∴在平面ABC 上的射影在线段AF 上，D 选项正确.综上所述,故选B.11.答案：见解析解析：由斜二测画法可知OAN ∆为直角三角形，两直角边分别为4和6，12AOB S ∆∴=.12.答案：见解析解析：三棱锥A BCD -的外接球即为长、宽、高分别为4，3，5的长方体的外接球,所以外接球的半径R 满足2R ==所以三棱锥A BCD -的外接球的表面积2450S R ππ==. 13.答案：见解析解析：由PA ⊥平面AC ，得PA DE ⊥，又PE DE ⊥，AP PE P =，则DE ⊥平面PAE ，得AE DE ⊥.问题转化为以AD 为直径的圆与BC 有两个交点，所以32a>，解得6a >. 14.答案：见解析解析：解:（I)直线l 经过点()2,5P -，且斜率为34-，∴直线l 的方程为()3524y x -=-+,即34140x y +-=.(4分）(II)解法一:过点()2,2且与直线l 垂直的直线方程为4320x y --=，由110,4320,x y x y +-=⎧⎨--=⎩得5,6,x y =⎧⎨=⎩ 即圆心为()5,6，半径为5=，故所求圆的方程为()()225625x y -+-=.（10分）解法二：圆心在110x y +-=上，∴设圆心坐标为(),11a a -，由题意，=解得5a =，∴5=.∴所求圆的方程为()()225625x y -+-=.（10分）15.答案：见解析解析：解:(I)由题意，得5MA MB=.5=化简，得2222230x y x y +---=.即()()221125x y -+-=.∴点M 的轨迹方程是()()221125x y -+-=,轨迹是以()1,1为圆心，以5为半径的圆.（6分) (II)当直线l 的斜率不存在时，:2l x =-，此时所截得的线段的长为222538-=，:2l x ∴=-符合题意. 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为()32y k x -=+，即230kx y k -++=，圆心到l 的距离2321k d k +=+由题意，得222232451k k ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭, 解得512k =.∴直线l 的方程为5230126x y -+=.即512460x y -+=.综上，直线l 的方程为2x =或512460x y -+=.(12分) 16.答案：见解析解析：解：(I)证明：连接OE ，如图所示.,O E 分别为,AC PC 中点，//OE PA ∴.OE ⊂平面,BDE PA ⊄平面BDE, //PA ∴平面BDE .(4分)(II)证明：PO ⊥平面,ABCD PO BD ∴⊥. 在正方形ABCD 中，BD AC ⊥，又,POAC O BD =∴⊥平面PAC .又BD ⊂平面,BDE ∴平面PAC ⊥平面BDE E.(8分) (III)取OC 中点F ，连接EF .E 为PC 中点，EF ∴为POC ∆的中位线，//EF PO ∴. 又PO ⊥平面ABCD ,EF ∴⊥平面ABCD , ,.OF BD OE BD ⊥∴⊥EOF ∴∠为二面角E BD C --的平面角，30EOF ︒∴∠=.在Rt OEF ∆中，112,2466tan 30,2.126OF OC AC a EF OF a OP EF a ︒===∴=⋅=∴==231663618P ABCD V a a a -∴=⨯⨯=.（13分）17.答案：C解析：执行该程序框图，初始值20.2137n =÷=，执行“否”；22371÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，执行“否”；23372÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，执行“是”，23543÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，执行“是”，输出23n =,故选C. 18.答案：C解析：因为AD ⊥平面.PAB BC 平面PAB ，所以//AD BC ，且90DAP CBP ︒∠=∠=.又,4,8,APD CPN AD BC ∠=∠==可得tan AD CBAPD CPB PA PB∠=∠=,即得2PB CBPA AD==，在平面PAB 内，以AB 中点O 为坐标原点，所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则()()3,0,3,0A B -.设点(),P x y ，则有23PB PAx y ==++，整理得221090x y x +++=.由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个圆(不含直线AB 上两点），故选C. 19.答案：见解析解析：当0x ≥时，()()[)[)12log 1,0,1,13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩即[)0,1x ∈时，()()[)12log 1,0,1f x x x =+∈；[]1,3x ∈时，()[]21,1f x x =-∈-；()3,x ∈+∞时，()()4,1f x x =-∈-∞；画出0x ≥时()f x 的图象，再利用奇函数的对称性,画出0x <时()f x 的图象,如图所示.则直线20172018y =与()y f x =图象有5个交点，则方程()201702018f x -=共5个实根，即函数()F x 有5个零点，分别为1234,,,,p x x x x x ，由图象可知，()34126,6,1,0x x x x x +=-+=∈-时，()0,1x -∈，()()12log 1f x x ∴-=-+，又()()()()()11122,log 1log 1f x f x f x x x --=-∴=--+=-()2log 1,x =-P x ∴满足()22017log 12018x -=，即2017201812x -=，解得2017201812,x =-∴所有零点的和为2017201812-.20.答案:见解析解析：解:(I)证明:如图，连接BD . 正方体1111ABCD A B C D -,1DD ∴⊥平面ABCD .AC ⊂平面ABCD ,1D D AC ∴⊥. 四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥.1,BDD D D AC =∴⊥平面1BDD .1BD ⊂平面11,BDD AC BD ∴⊥.(5分)(II)存在.答案不唯一，作出满足条件的直线一定在平面11ACC A 中，且过1BD 的中点并与直线11,A A C C 相交. 下面给出答案中的两种情况，(10分)其他答案只要合理就可以给满分. 21.答案：见解析解析：解:(I)设圆Γ的圆心为1O ，显然圆Γ上距A 距离最小的点在1AO 上,于是依题意知1AO 的长度等于A 到1l 的距离.显然A 不能在1l 的下方，不然A 到1l 的距离小于1AO 的长度，故有()()2211y x y -+=--,即()2104y x x =≠.（5分）(II)若存在这样的点B ，设其坐标为()0,t ，以AB 为直径的圆的圆心为C ，过点C 作2l 的垂线,垂足为D .则C 点坐标为,22x y t +⎛⎫⎪⎝⎭，于是42y t CD +-=， ()()2224AB x y t y y t =+-=+-.设所截弦长为l ，则22242l AB CD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()()22481644y y t y t y t +---++=-，于是()2124816l t y t =-+-，（10分）弦长不变即l 不随y 的变化而变化，故1240t -=,即3t =.即存在点()0,3B ，满足以AB 为直径的圆截直线2l 所得的弦长不变.（12分） 22.答案：见解析解析：解:（I)由()()10f x f x +->得()22log 1log 0x x ++>，得21,0,10,x x x x ⎧+>⎪>⎨⎪+>⎩解得x >，所以x的取值范围是x x x ⎧⎪∈>⎨⎪⎪⎩⎭.（5分）(II)当32x -≤≤-时，()()()()()()22222log 21log 1,g x g x g x f x x x =-+=--=--=--+=-- 当21x -<≤-时，()()()()22=2=log 3g x g x f x x =-+--+-+,综上可得()()()()()22log 132,log 321.x x g x x x ---≤≤-⎧⎪=⎨-+-<≤-⎪⎩()g x 在[]3,1--和[]1,3上单调递减； ()g x 在[]1,1-上单调递增.(III)因为21113log ,2222g g f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由(II)知，若()23log 2g x =-，得32x =-或52x =，由函数()g x 的图象可知若321822x x t g g +⎛⎫-⎛⎫≥- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭在R 上恒成立. 设()3211828812x x xt t u +-+==-+++，当10t +≥时，()11111,8888812x t t u ++⎛⎫=-+∈--+ ⎪+⎝⎭，则11115,,,88822t u +⎛⎫⎡⎤∈--+⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦则115882t +-+≤，解得120t -≤≤. 当10t +<时，()11111,8888812x t t u ++⎛⎫=-+∈-+- ⎪+⎝⎭ 则111882t +-+≥-，解得4 1.t -≤<-综上，故420t -≤≤.（13分）。

【高一】湖南师大附中高一上学期期末考试试题数学

【高一】湖南师大附中高一上学期期末考试试题数学试卷说明：时量 120分钟总分100+50分命题：高一数学备课组审题：高一数学备课组备课组长：吴锦坤必考Ⅰ部分一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知过点和的直线与直线平行，则的值为（ A ） A． B． C． D．2、过点且垂直于直线的直线方程为（ B ） A． B． C． D．3、下列四个结论：⑴两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为（ A ）A． B． C． D．4、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积是（ B ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5、圆上的点到点的距离的最小值是（ B ）A．1 B．4 C．5 D．6 6、若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ D ） A. B. C. D. 7、把正方形沿对角线折起,当以四点为和平面所成的角的大小为（ C ）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分；把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．8、在空间直角坐标系中，点与点的距离为.9、方程表示一个圆，则的取值范围是.10、如图，正方体中，，点为的中点，点在上，若，则线段的长度等于12、一个底面为正三角形，侧棱与底面垂直的棱柱，其三视图如图所示，则这个棱柱的体积为. 【第12题图】【第13题图】13、如图，二面角的大小是60°，线段在平面EFGH上，在EF上，与EF所成的角为30°，则与平面所成的角的正弦值是三．解答题：本大题共3小题，共35分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14、(满分11分）某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图（如图），其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆，三视图尺寸如图所示（单位cm）；（1）求出这个工件的体积；（2）工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米1元，现要制作10个这样的工件，请计算喷漆总费用（精确到整数部分）.【解析】（1）由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为4，母线长为3，.........................................2分设圆锥高为，则........................4分则 ...6分（2）圆锥的侧面积，.........8分则表面积=侧面积+底面积=（平方厘米）喷漆总费用=元...............11分15、（满分12分）如图，在正方体中，（1）求证：;（2）求直线与直线BD所成的角【解析】(1)在正方体中，又，且, 则, 而在平面内，且相交故；...........................................6分（2）连接，因为BD平行，则即为所求的角，而三角形为正三角形，故，则直线与直线BD所成的角为.......................................12分16、（满分12分）已知圆C:=0（1）已知不过原点的直线与圆C相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线的方程；（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程。

湖南省师大附中高一数学上学期期末试卷(含解析)

湖南师大附中2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共35分）1．（5分）已知直线l经过点A（4，1），B（6，3），则直线l的倾斜角是（）A．0°B．30°C．45°D．60°2．（5分）若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离4．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m⊂α，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥m，则m⊥αD．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α5．（5分）直线x+y﹣1=0与直线x+y+1=0的距离为（）A．2 B．C．D．16．（5分）将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+3=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y+3=07．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC二、填空题（每小题5分，共15分）8．（5分）空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为．9．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为．10．（5分）过点P（﹣3，1）且与直线2x+3y﹣5=0垂直的直线方程为．三、解答题11．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，AB=3，BC=BD=4，点E，F 分别是AC，AD的中点（1）判断直线EF与平面BCD的位置关系，并说明理由（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．12．（12分）三角形ABC的三个顶点A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程．13．（13分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点（1）求证：AC⊥平面BDD1（2）求EA与平面BDD1所成角的正弦值．14．（13分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0（1）写出圆C的圆心坐标及半径；（2）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；（3）过点P的圆C的弦的中点D的轨迹方程．四、选择题（每小题5分，共15分）15．（5分）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1B．C．D．16．（5分）已知0＜a＜1，则方程a x﹣|log a x|=0的实根个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．（5分）在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱的长都为1，则二面角A﹣CD ﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．五、填空题（每小题5分，共10分）18．（5分）圆C：x2+y2=4关于直线x+2y﹣5=0对称的圆的方程为．19．（5分）一座圆形拱桥，当水面在如图所示位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后水面宽为米．六、解答题20．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．21．（13分）已知函数f（x）=2|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+2m﹣8，其中m为参数，且满足m≤5．（1）若m=2，写出函数g（x）的单调区间（无需证明）；（2）若方程f（x）=2|m|在x∈，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围．湖南师大附中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共35分）1．（5分）已知直线l经过点A（4，1），B（6，3），则直线l的倾斜角是（）A．0°B．30°C．45°D．60°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：根据直线过点A、B，求出它的斜率，由斜率得出对应的倾斜角．解答：解：直线l经过点A（4，1），B（6，3），∴直线l的斜率是k==1，∴直线l的倾斜角是45°．故选：C．点评：本题考查了利用两点的坐标求直线的倾斜角与斜率的问题，是基础题目．2．（5分）若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等．解答：解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为等腰直角三角形且形状都相同；C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．故选D．点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．解答：解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．4．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m⊂α，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥m，则m⊥αD．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：分别根据线面平行和线面垂直的性质和定义进行判断即可．解答：解：A．根据线面平行的性质可知，若l∥α，m⊂α，则l∥m或者l与m是异面直线，所以A错误．B．平行于同一个平面的两条直线，可能平行，可能相交，可能是异面直线，所以B错误．C．根据线面垂直和直线平行的性质可知，若l⊥α，l∥m，则m⊥α，所以C正确．D．根据线面垂直的判定定理可知，要使直线l⊥α，则必须有l垂直平面α内的两条直线，所以D错误．故选C．点评：本题主要考查线面平行和线面垂直的位置关系的判断和应用，要求熟练掌握相应的定义和判断定理．5．（5分）直线x+y﹣1=0与直线x+y+1=0的距离为（）A．2 B．C．D．1考点：两条平行直线间的距离．专题：计算题．分析：由已知中直线x+y﹣1=0与直线x+y+1=0的方程，代入两条平行直线距离公式d=，即可得到答案．解答：解：直线x+y﹣1=0与直线x+y+1=0中a=1，b=1，c1=﹣1，c2=1∵两条平行直线距离公式d==故选B点评：本题考查的知识点是两条平行直线间的距离，其中熟练掌握两条平行直线距离公式d=，是解答本题的关键．6．（5分）将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+3=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y+3=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程．解答：解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，可得出圆心坐标为（1，2），将x=1，y=2代入A选项得：x+y﹣1=1+2﹣1=2≠0，故圆心不在此直线上；将x=1，y=2代入B选项得：x+y+3=1+2+3=6≠0，故圆心不在此直线上；将x=1，y=2代入C选项得：x﹣y+1=1﹣2+1=0，故圆心在此直线上；将x=1，y=2代入D选项得：x﹣y+3=1﹣2+3=2≠0，故圆心不在此直线上，则直线x﹣y+1=0将圆平分．故选C点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键．7．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC考点：平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，从而得到AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，可得平面ABC⊥平面ADC．解答：解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．故选D．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查逻辑思维能力，是中档题．二、填空题（每小题5分，共15分）8．（5分）空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为．考点：空间两点间的距离公式．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据空间两点之间的距离公式，将A、B两点坐标直接代入，可得本题答案．解答：解：∵点A（0，0，1），点B（0，1，0），∴根据空间两点之间的距离公式，可得线段AB长|AB|==故答案为：点评：本题给出空间两个定点，求它们之间的距离，着重考查了空间两点之间距离求法的知识，属于基础题．9．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可．解答：解：由得，所以S=4πR2=12π．点评：本题考查学生对公式的利用，是基础题．10．（5分）过点P（﹣3，1）且与直线2x+3y﹣5=0垂直的直线方程为3x﹣2y+11=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题．分析：由方程可得已知直线的斜率，进而由垂直关系可得所求直线的斜率，由点斜式可得方程，化为一般式即可．解答：解：可得直线2x+3y﹣5=0的斜率为，由垂直关系可得所求直线的斜率为，故可得所求方程为y﹣1=（x+3），化为一般式可得3x﹣2y+11=0故答案为：3x﹣2y+11=0点评：本题考查直线的一般式方程，以及直线的垂直关系，属基础题．三、解答题11．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，AB=3，BC=BD=4，点E，F分别是AC，AD的中点（1）判断直线EF与平面BCD的位置关系，并说明理由（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）在△ACD中，点E，F分别是AC，AD的中点，由三角形中位线定理可得EF∥CD，然后利用线面平行的判定得答案；（2）直接由三棱锥的体积公式结合已知条件求得三棱锥A﹣BCD的体积．解答：解：（1）EF∥平面BCD．事实上，∵在△ACD中，点E，F分别是AC，AD的中点，∴EF∥CD，又∵EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD；（2）∵AB⊥平面BCD，∴AB为三棱锥A﹣BCD的高，又BC⊥BD，BC=BD=4，∴，又AB=3，∴．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．12．（12分）三角形ABC的三个顶点A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：（1）直接根据两点式公式写出直线方程即可；（2）先由中点坐标求出点D的坐标，再根据两点式公式写出直线方程即可．解答：解：（1）BC边所在直线的方程为：即x+2y﹣4=0（2）∵BC边上的中点D的坐标为（0，2）∴BC边上中线AD所在直线的方程为：即2x﹣3y+6=0点评：此题考查了中点坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法，属于基础题．13．（13分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点（1）求证：AC⊥平面BDD1（2）求EA与平面BDD1所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，可证DD1⊥AC，又AC⊥BD，即可证明AC⊥平面BDD1．（2）设AC∩BD=O，连接EO，由AC⊥平面DD1B，可得∠AEO为EA与平面BDD1所成角．不妨设正方形的边长为2，AO=，AE=，即可由s in∠AEO=求值．解答：本题满分为12分解：（1）证明：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥AC又∵在正方向ABCD中，AC⊥BD∴AC⊥平面BDD1…6分（2）设AC∩BD=O，连接EO，∵AC⊥平面DD1B，∴∠AEO为EA与平面BDD1所成角．不妨设正方形的边长为2，AO=，AE=，可得：sin∠AEO===…12分．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力和推论论证能力，属于中档题．14．（13分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0（1）写出圆C的圆心坐标及半径；（2）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；（3）过点P的圆C的弦的中点D的轨迹方程．考点：圆的一般方程；轨迹方程．专题：综合题．分析：（1）整理出圆C的标准方程，确定圆的圆心与半径；（2）分类讨论，利用直线ι被圆C截得的线段长为4，可得直线ι与圆心的距离为2，由此可得结论；（23）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），利用CD⊥PD，可得方程．解答：解：（1）整理圆的方程得（x+2）2+（y﹣6）2=16，圆心（﹣2，6），半径r=4；（3分）（2）由圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0得圆心坐标为（﹣2，6），半径为4又∵直线ι被圆C截得的线段长为4，∴直线ι与圆心的距离为2，当直线斜率存在时，设L的斜率是k，过P（0，5），设直线ι：y=kx+5，即kx﹣y+5=0；∵直线ι与圆C的圆心相距为2，∴d==2，解得k=，此时直线的方程为3x﹣4y+20=0；当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，也符合题意．故所求直线的方程为3x﹣4y+20=0或x=0．（8分）（2）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），则∵CD⊥PD，∴（x+2）•x+（y﹣6）•（y﹣5）=0化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x﹣11y+30=0．（14分）点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．四、选择题（每小题5分，共15分）15．（5分）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1B．C．D．考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率．专题：计算题；压轴题．分析：首先根据已知圆判断其圆心与半径，然后解构成的直角三角形，求出夹角，继而求出倾斜角，解出斜率即可．解答：解：∵直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切由圆得：圆心为（0，0），半径为1∴构成的三角形的三边为：，解得直线与x轴夹角为30°的角∴x的倾斜角为30°或150°∴k=故选C．点评：本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，通过解直角三角形完成求直线l的斜率，属于基础题．16．（5分）已知0＜a＜1，则方程a x﹣|log a x|=0的实根个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：根的存在性及根的个数判断；函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由a x﹣|log a x|=0得a x=|log a x|，作出两个函数y=a x与y=|log a x|的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由a x﹣|log a x|=0得a x=|log a x|，∵0＜a＜1，∴作出两个函数y=a x与y=|log a x|的图象如图：由图象知，两个图象的交点个数为2个，即方程a x﹣|log a x|=0的实根个数为2个，故选：B．点评：本题主要考查方程根的个数的判断，根据函数和方程之间的关系转化为两个函数交点问题是解决本题的关键．17．（5分）在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱的长都为1，则二面角A﹣CD ﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．考点：二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间角．分析：先作出二面角A﹣CD﹣B的平面角，再利用余弦定理求解即可．解答：解：由已知可得AD⊥DC又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角∵EF=（三角形ACD的中位线），BE=（正三角形BCD的高），BF=（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）∴cos∠BEF===故选C．点评：本题考查二面角的平面角，考查余弦定理，正确作出二面角的平面角是关键．五、填空题（每小题5分，共10分）18．（5分）圆C：x2+y2=4关于直线x+2y﹣5=0对称的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=4．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出已知圆的圆心关于直线x+2y﹣5=00对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果．解答：解：圆C：x2+y2=4的圆心C（0，0），半径为2，设圆心C关于直线l：x+2y﹣5=0对称的圆的圆心的坐标为（a，b），则，解得a=2，b=4，∴圆C：x2+y2=4关于直线x+2y﹣5=0对称的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣4）2=4．点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标和半径，注意垂直、平分的应用是解决对称问题的基本方法．19．（5分）一座圆形拱桥，当水面在如图所示位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后水面宽为2米．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：先根据题目条件建立适当的直角坐标系，得到各点的坐标，通过设圆的半径，可得圆的方程，然后将点的坐标代入确定圆的方程，设当水面下降1米后可设A′的坐标为（x0，﹣3）（x0＞0）根据点在圆上，可求得x0的值，从而得到问题的结果．解答：解：以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得：A（6，﹣2），设圆的半径为r，则C（0，﹣r），即圆的方程为x2+（y+r）2=r2，将A的坐标代入圆的方程可得r=10，所以圆的方程是：x2+（y+10）2=100则当水面下降1米后可设A′的坐标为（x0，﹣3）（x0＞0）代入圆的方程可得x0=，所以当水面下降1米后，水面宽为2米．故答案为：2．点评：本题考查了圆的方程的综合应用，以及点在圆上的条件的转化，圆的对称性的体现，是个基础题．六、解答题20．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用；圆的标准方程．专题：综合题；直线与圆．分析：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，由此能求了圆的方程．（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0代入圆的方程，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，由此能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，由此推导出存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．解答：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25．…（4分）（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a＞，所以实数a的取值范围是（）．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…（14分）点评：本题考查圆的方程的求法，考查实数的取值范围的求法，探索满足条件的实数是否存在．对数学思维要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（13分）已知函数f（x）=2|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+2m﹣8，其中m为参数，且满足m≤5．（1）若m=2，写出函数g（x）的单调区间（无需证明）；（2）若方程f（x）=2|m|在x∈，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由二次函数性质可知函数g（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）；（2）方程f（x）=2|m|可化为（x﹣m）2=m2，解得x=0或x=2m，根据题意可得2m=0或2m＜﹣2，从而可知实数m的取值范围；（3）由题意可知g（x）的值域应是f（x）的值域的子集．分情况讨论f（x）和g（x）的值域，即可确定实数m的取值范围．解答：解：（1）m=2时，，∴函数g（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（2）由f（x）=2|m|在x∈上单调递增，∴f（x）≥f（m）=1．g（x）在上单调递减，故f（x）≥f（4）=2m﹣4，g（x）在上单调递减，综上，m的取值范围是点评：本题考查导数在函数单调性中的应用，方程根的存在定理，以及存在性问题的转化，属于难题．。

学年秋学期(上学期)湖南师范大学附属中学高一期末考试试卷数学 Word版含答案

2016-2017学年上学期湖南师范大学附属中学高一期末考试试卷数学第I 卷一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知两点A （a ，3），B （1，－2），若直线AB 的倾斜角为135°，则a 的值为（） A ．6B ．－6C ．4D ．－42．对于给定的直线l 和平面a ，在平面a 内总存在直线m 与直线l （） A ．平行B ．相交C ．垂直D ．异面3．已知直线l 1：2x ＋3my －m ＋2＝0和l 2：mx ＋6y －4＝0，若l 1∥l 2，则l 1与l 2之间的距离为（） A ．55B ．105C ．255D ．21054．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱P A 、PB 、PC 两两互相垂直，且P A ＝2，PB ＝3，PC ＝3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（） A ．16πB ．32πC ．36πD ．64π5．圆C 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆C 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是（） A ．内含B ．相交C ．内切D ．外切6．设α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（） A ．若m ∥n ，m ⊂β，则n ∥β B ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n C ．若m ⊥β，α⊥β，则m ∥αD ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β7．在空间直角坐标系O －xyz 中，一个四面体的四个顶点坐标分别为A （0，0，2），B （2，2，0），C （0，2，0），D （2，2，2），画该四面体三视图中的正视图时，以xOz 平面为投影面，则四面体ABCD的正视图为（）8．若点P （3，1）为圆（x －2）2＋y 2＝16的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（） A ．x －3y ＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．x ＋y －4＝0D ．x －2y －1＝09．已知四棱锥P －ABCD 的底面为菱形，∠BAD ＝60°，侧面P AD 为正三角形，且平面P AD ⊥平面ABCD ，则下列说法中错误的是（）A ．异面直线P A 与BC 的夹角为60°B ．若M 为AD 的中点，则AD ⊥平面PMBC ．二面角P －BC －A 的大小为45°D ．BD ⊥平面P AC10．已知直线l 过点P （2，4），且与圆O ：x 2＋y 2＝4相切，则直线l 的方程为（） A ．x ＝2或3x －4y ＋10＝0 B ．x ＝2或x ＋2y －10＝0 C ．y ＝4或3x －4y ＋10＝0D ．y ＝4或x ＋2y －10＝011．在直角梯形BCEF 中，∠CBF ＝∠BCE ＝90°，A 、D 分别是BF 、CE 上的，AD ∥BC ，且AB ＝DE ＝2BC ＝2AF ，如图1．将四边形ADEF 沿AD 折起，连结BE 、BF 、CE ，如图2．则在折起的过程中，下列说法中错误的是（）A ．AC ∥平面BEFB ．直线BC 与EF 是异面直线C ．若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD D ．平面BCE 与平面BEF 可能垂直二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．若直线l ：x －y ＋1＝0与圆C ：（x －a ）2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是____________． 13．已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V 1，球的体积为V 2，则V 1V 2＝________．14．已知三棱锥P －ABC 的体积为10，其三视图如图所示，则这个三棱锥最长的一条侧棱长等于________．三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分8分）已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （3，0），B （4，6），C （0，8）．（1）求BC 边上的高所在直线l 的方程；（2）求△ABC 的面积．16．（本小题满分10分）已知圆C 经过A （－2，1），B （5，0）两点，且圆心C 在直线y ＝2x 上．（1）求圆C 的标准方程；（2）设动直线l ：（m ＋2）x ＋（2m ＋1）y －7m －8＝0与圆C 相交于P ，Q 两点，求|PQ |的最小值．17．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AA 1，D 为BC 的中点．（1）证明：A 1B ⊥平面AB 1C ;（2）求直线A 1D 与平面AB 1C 所成的角的大小．第II 卷一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．18．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2x <1，N ＝{y |y ＝lg （x 2＋1）}，则N ∩∁R M ＝______．19．已知函数f （x ）在定义域R 上单调递减，且函数y ＝f （x －1）的图象关于点A （1，0）对称．若实数t 满足f （t 2－2t ）＋f （－3）>0，则t －1t －3的取值范围是（）A ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．⎝⎛⎭⎫0，23D ．⎝⎛⎭⎫12，1∪（1，＋∞）二、本大题共3个大题，共38分．20．（本小题满分12分）如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．（1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．21．（本小题满分13分）设函数f （x ）＝mx 2－mx －1，g （x ）＝f （x ）x －1．（1）若对任意x ∈[1，3]，不等式f （x ）<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围；（2）当m ＝－14时，确定函数g （x ）在区间（3，＋∞）上的单调性．22．（本小题满分13分）已知圆C ：（x －a ）2＋（y －a －2）2＝9，其中a 为实常数．（1）若直线l ：x ＋y －4＝0被圆C 截得的弦长为2，求a 的值；（2）设点A （3，0），O 为坐标原点，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求a 的取值范围．2016-2017学年上学期湖南师范大学附属中学高一期末考试试卷数学答案一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．12．[－3，1]13．3214．34三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）因为点B （4，6），C （0，8），则k BC ＝8－60－4＝－12．（1分）因为l ⊥BC ，则l 的斜率为2．（2分）又直线l 过点A ，所以直线l 的方程为y ＝2（x －3），即2x －y －6＝0．（4分）（2）因为点A （3，0），C （0，8），则|AC |＝9＋64＝73．（5分）又直线AC 的方程为x 3＋y8＝1，即8x ＋3y －24＝0，（6分）则点B 到直线AC 的距离d ＝32＋18－2464＋9＝2673．（7分）所以△ABC 的面积S ＝12|AC |×d ＝13．（8分）16．【解析】（1）方法一：因为线段AB 的中点为⎝⎛⎭⎫32，12，k AB ＝－17，则线段AB 的垂直平分线方程为 y －12＝7⎝⎛⎭⎫x －32，即y ＝7x －10．（2分）联立y ＝2x ，得x ＝2，y ＝4．所以圆心C （2，4），半径r ＝|AC |＝16＋9＝5．（4分）所以圆C 的标准方程是（x －2）2＋（y －4）2＝25．（5分）方法二：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－2D ＋E ＋F ＋5＝0，5D ＋F ＋25＝0，E ＝2D ，解得D ＝－4，E ＝－8，F ＝－5．（3分）所以圆C 的方程是x 2＋y 2－4x －8y －5＝0，即（x －2）2＋（y －4）2＝25．（5分）（2）直线l 的方程化为（2x ＋y －8）＋m （x ＋2y －7）＝0．令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －8＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，所以直线l 过定点M （3，2）．（7分）由圆的几何性质可知，当l ⊥CM 时，弦长|PQ |最短．因为|CM |＝（3－2）2＋（2－4）2＝5，则|PQ |min ＝2r 2－||CM 2＝225－5＝45．（10分）17．【解析】（1）因为A 1A ⊥平面ABC ，则A 1A ⊥AC ．又AC ⊥AB ，则AC ⊥平面AA 1B 1B ，所以AC ⊥A 1B ．（3分）由已知，侧面AA 1B 1B 是正方形，则AB 1⊥A 1B ．因为AB 1∩AC ＝A ，所以A 1B ⊥平面AB 1C ．（5分）（2）方法一：连结A 1C ，设AB 1∩A 1B ＝O ，连CO ，交A 1D 于G ．因为O 为A 1B 的中点，D 为BC 的中点，则G 为△A 1BC 的重心．因为A 1O ⊥平面AB 1C ，则∠A 1GO 是A 1D 与平面AB 1C 所成的角．（8分）设AB ＝AC ＝AA 1＝1，则A 1B ＝BC ＝A 1C ＝2．得A 1O ＝22，A 1G ＝23A 1D ＝23×2sin 60°＝63．在Rt △A 1OG 中，sin ∠A 1GO ＝A 1O A 1G ＝32，则∠A 1GO ＝60°．所以直线A 1D 与平面AB 1C 所成的角为60°．（12分）方法二：分别取AB ，B 1B 的中点E ，F ，连DE ，EF ，DF ，则ED ∥AC ，EF ∥AB 1，所以平面DEF ∥平面AB 1C ．因为A 1B ⊥平面AB 1C ，则A 1B ⊥平面DEF ．设A 1B 与EF 的交点为G ，连DG ，则∠A 1DG 是直线A 1D 与平面DEF 所成的角．（8分）设AB ＝AC ＝AA 1＝1，则A 1B ＝BC ＝A 1C ＝2．。

湖南省师大附中2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题

湖南省湖南师大附中2012-2013学年高一第一学期期中考试数学试题时量：120分钟满分：100 分（必考试卷Ⅰ） 50分（必考试卷Ⅱ）命题人：高一备课组试卷Ⅰ一、选择题:本大题共7个小题,每小题5分,满分35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{1,3,5,7},{2,5,8}M N ==，则()U M N = ð( ) A.{5} B. {2,8} C. {1,3,7} D. {4,6}2. 函数()312f x ax a =+-在区间(1,1)-上存在一个零点，则a 的取值范围是（） A. 115a -<<B. 15a >C. 115a a ><-或 D. 1a <- 3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（） A. 2y x -= B. 1y x -= C.22y x =- D.12log y x =4．下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是（）A. 2xy = B. 14xy -= C. 222y x x =++ D. |lg |y x =5．设322555223(),(),()555a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A. a b c >>B. c a b >>C. a b c <<D. b c a >>6．函数lg(2)y x =-的定义域是（）A. [0,2)B. [0.1)(1,2)C. (1,2)D. [0,1)7．已知函数3()|log |f x x =，若a b ≠时，有()()f a f b =，则（）A. 1a b <<B. 1a b >>C. 3ab =D. 1ab =二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8.计算 421log 36log 92-= . 9.若幂函数()y f x =的图像经过点(27,3)，则(8)f 的值是 .10.函数2()21f x x ax =-+在区间[1,2]-上的最小值是(2)f ，则a 的取值范围是 . 11.用二分法求方程ln 20x x -+=在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点32c =，则下一个含根的区间是 .12.给出下列四个命题：①函数()1,f x x R =∈是偶函数；②函数()f x x =与2()1x xg x x -=-是相同的函数；③函数)(3N x x y ∈=的图像是一条直线； ④已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意实数1x ，2x ，当≠1x 2x 时，都有1212()()0f x f x x x -<-，则)(x f 在R 上是减函数．其中正确命题的序号是．（写出你认为正确的所有命题序号）13. 设函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，则()f x 是函数(填奇、偶、非奇非偶)，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是 .三、解答题:本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14．（本小题满分11分）解关于x 的不等式：623(0,xx a a a -+>>且1)a ≠.15．（本小题满分12分）已知函数2()21xf x m =-+是R 上的奇函数，（1）求m 的值；（2）先判断()f x 的单调性，再证明之. 16．（本小题满分12分）已知函数23()log (82)f x x x =--，设其值域是M ，（1）求函数()f x 的值域M ；（2）若函数1()42xxg x m +=--在M 内有零点，求m 的取值范围.试卷Ⅱ一、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,满分5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数41()2x xf x -=在区间[,](0)a a a ->上的最大值与最小值分别是,M m ，则m M +的值为 .A.0B. 1C. 2D. 因a 的变化而变化二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2. 已知二次函数2()f x ax bx =+（a ，b 是常数，且0a ≠）有零点2，且方程()f x x =有两个相等的实数根．则()f x 的解析式是 .三、解答题:本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 3.（本小题满分13分）已知函数212(),03()11,02x x f x x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩ .（1）请在直角坐标系中画出函数()f x 的图象，并写出该函数的单调区间；（2）若函数()()g x f x m =-恰有3个不同零点，求实数m 的取值范围。

湖南省湖南师大附中2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题答案

湖南省湖南师大附中2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题答案必考试卷一1 C2 B3 B余弦定理： cosB a2c2b21, B(0o ,180 o ) B 60o2ac24 A易知A2，5)22，对比五点法有T 2(12122 (2)22，故函数解析式是 y2sin(2 x2) .133 5 D由已知有 a3a83, S105(a1a10 )5(a3a8 ) 15 ，6 Cr r rr r rr r(a2b)a02由已知有| a |r r r a b且 | a || b |，(b2a) b02r r r rr r r r2 a b1cos a,b r r2， a, b[0, ] ，故 a, b3| a || b |7 D记打 n天工三种方案所得报酬分别是S n ,T n , H n，则 S n50n,T n15n5n2 , H n2n 1，计算 n5,10, 7,14时 S n ,T n , H n的值，10再比较，故选 D[来源 :学,科,网 Z,X,X,K]8 解：cos 2sin 2cos(2) 2 88829 方法 1： Q S 6, S 12 S 6,S 18 S 12 成等差，可求得 S 1221方法 2：由 S 66a 1 15d 10a 1115求得72再求 S 122133S1818a 1 153d d13610 解tan(2)sintan 1 11 9cos(3)( cos ) cos 2sin 28) sin(22uuuruuur uur 1 uuur 2 uur 1 uuur11 据题意有 | CB |3 ,CM CA3 ABCACB ，3 3uuur uuur2 uuur uur 1 uuur 21CB CMCB CA3 CB312 ①②13 数列 {a n } 是等差数列易求得 a nn ，即f (n)n ，6cos6注意到余弦函数的周期性和对称性，又f (1) f (2)f (12) 0f (1) f (2)f (2013)f (1) f (2)f (9)f (6) f (7) f (8)f (9)coscos7cos8cos96 663 321415f ( x)3 k ,k],kZ 6[882 f ( x)21 纵坐标不变2sin( x1 sin(2 x)横坐标伸长为原来的 2 倍f 1 ( x))24 224212向下平移个单位) 2g (x)sin( x249x [0, 3],x[ . ] sin( x)[0,1]4444112sin( x) [0,2]g( x)242[0, 2].12 2161B, b2acsin2 B sin A sinC33sin Asin(2A)3sin A cosA1sin2 A432213sin 2 A 11(2cos2 A)422sin(2A)12 A(6,7)2 A2A36666cosB a2c2b2a2c2ac1(a c)20a c ,B3 2ac2ac2A.2a12, a24,a37,a411,a n an 1n ( n 2)n( n2)n1n1 nn a n a n 1 n (n2)a2a12a3a23n1a n an 1na n a1 23nn( n1)n2n2 122uuur uuur uuur uuur43(2,(5,AC(31AB1), AC4,3) ,| AC |uuur,)|AC|55 3uuur uuur uuur uuurAC(2,1)4311AB AC AB uuur(, )5|AC |556uuuruuur6)8(2). D( x, y)AD( x, y 3),CD( x 4, yuuur uuuruuur uuur , 2( y 3) x 0ABいAB CDAD2( x 4) ( y 6)11x225D (22 265,5 )13y2654ADCACD75o ,ADC105o 45o60o ,DAC 45o CD6ACDC sin ADC 6 sin60 o3sinDAC sin45 o4BDC BCD 75o45o30o ,BDC 105o75o30o , DBC120o CD6BCDC sin BDC6 sin 30o 2sin DBCsin120o8ABCACB45oAB 2 AC 2 BC 22AC BC cos ACB 9 26 2 cos45o 512A B5km1351n1( p 1)a 1p 9 a 1a 1p 8 01( p1)S n p 2 a n ( p 1)( S n 1 S n )a n a n 1p 1( p 1)S n 1 p 2 a n 1a n 11a n {a n}p81pp.4a np8 ( 1 )n 1p9n5p2 b n9 1 9 116log p a n log p p 9 nnb nbn 111) 1 1 7n(n nn1T n b 1b 2 b 2b 3 b 3 b 4b n b n 1 [ : _ _ ]1 11111111 1 n.（8分）22334n n 1n 1 n 1（3）c n log2 a2n 1log2p102n(10 2n)log 2p （9分）Q c n 1 c n2log2p，∴ {n } 是一个首项是12p ，公差是d2log2p的等差数c c8log列（ 10 分）方法一：当 0p 1 时log2p 0，此时 H n是存在最小值，没有最大值；当 p 1 时log2p0 ，此时 H n存在最大值，（11 分）由大值，a n(102n)log 2p得 4 n5，则H4H5且为最a n1(82n)log 2p0H 448log2 p 4(41)( 2log2 p)20log 2p 2（14 分）方法二： H n n[8log2p(102n)log2 p](9n n2 )(log2p)2981(log2p)[( n) 2]24由上式可知：当0p1时 log2p0 ，此时 H n是存在最小值，没有最大值；当 p 1 时log2p0 ，此时 H n存在最大值，且 H 4H 5且为最大值，H4(9442 )log2p20log2p故当 p 1时H n存在最大值， H 4 H 5且为最大值是 20log2p。

湖南师大附中高一数学上学期期末考试试卷(含解析)

2012-2013学年湖南师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共7个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（）A．正三角形的直观图仍然是正三角形．B．平行四边形的直观图一定是平行四边形．C．正方形的直观图是正方形．D．圆的直观图是圆考点：斜二测法画直观图．专题：空间位置关系与距离．分析：根据斜二侧画法画水平放置的平面图形时的画法原则，可得正三角形的直观图是一个钝角三角形，正方形的直观图是平行四边形，圆的直观图是椭圆，进而得到答案．解答：解：利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图中正三角形的直观图是一个钝角非等腰三角形，故A错误；由于直观图中平行四边形的对边还是平行的，故直观图一定还是平行四边形，故B正确；正方形的直观图是平行四边形，故C错误；圆的直观图是椭圆，故D错误；故选B点评：本题考查的知识点是斜二侧画法，熟练掌握斜二侧画法的作图步骤及实质是解答的关键．2．（5分）已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为2，则此直线方程为（）A．y=x+2 B．y=x﹣2 C．y=﹣x+2 D．y=﹣x﹣2考点：直线的斜截式方程．专题：计算题．分析：由题意可得直线的斜率和截距，由斜截式可得答案．解答：解：∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为k=tan45°=1，由斜截式可得方程为：y=x+2，故选A点评：本题考查直线的斜截式方程，属基础题．3．（5分）已知直线l1：（m﹣1）x+2y﹣1=0，l2：mx﹣y+3=0，若l1⊥l2，则m的值为（）A．2B．﹣1 C．2或﹣1 D．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可知两条直线的斜率存在，通过斜率乘积为﹣1，求出m的值即可．解答：解：因为直线l1：（m﹣1）x+2y﹣1=0，l2：mx﹣y+3=0，l1⊥l2，所以，解得m=2或﹣1，故选C．点评：本题考查直线垂直条件的应用，直线的斜率的应用，基本知识的考查．4．（5分）已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积等于（）A．4πB．6πC．8πD．9π考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：由正方体的棱长，求出正方体的体对角线长，即球的直径，然后求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：正方体的棱长为正方体的体对角线为=3，即为球的直径，所以半径为，球的表面积为4π （）2=9π．故选D点评：本题考查的知识点是球的表面积，球内接多面体，其中正确理解正方体的体对角线长，即球的直径是解答的关键．5．（5分）已知圆与圆相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为（）A．x+2y+1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x﹣2y+1=0 D．x﹣2y﹣1=0考点：相交弦所在直线的方程．专题：计算题；直线与圆．分析：对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程．解答：解：由题意，∵圆与圆相交，∴两圆的方程作差得6x+12y﹣6=0，即公式弦所在直线方程为x+2y﹣1=0故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系，两圆相交弦所在直线方程的求法，注意x，y的二次项的系数必须相同，属于基础题．6．（5分）若a、b表示两条不同直线，α、β表示两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．a∥α，B．a∥α，C．a∥α，D．α⊥β，b⊥α⇒a⊥b b∥α⇒a∥b b⊂α⇒a∥b a⊂α⇒a⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面平行与垂直的性质判断A是否正确；借助图形判断平行于同一平面的二直线的位置关系来判断B是否正确；根据线面平行的性质定理的条件判断C是否正确；根据面面垂直的性质定理的条件判断D是否正确．解答：解：∵过a作平面β交平面α于直线c，∵a∥α，∴a∥c，又∵b⊥α，c⊂α，∴b⊥c，∴a⊥b，故A正确；∵a∥α，b∥α，a、b的位置关系不确定，∴B错误；∵a∥α，b⊂α，a、b有可能异面，∴C错误；∵α⊥β，a⊂α，a与β的位置关系不确定，∴D错误．故选A点评：本题考查直线与直线的平行与垂直关系的判定与线面垂直的判定．7．（5分）已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面母线，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．解答：解：圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，所以圆锥的底面周长为：2π，圆锥的母线长为：2，圆锥的高为：；圆锥的体积为：π×12×=．故选A．点评：本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．8．（5分）直线x﹣y=2被圆（x﹣4）2+y2=4所截得的弦长为（）A．B．2C．D．4考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：先求出圆心和半径，以及圆心到直线x﹣y=2的距离d的值，再利用弦长公式求得弦长．解答：解：由于圆（x﹣4）2+y2=4的圆心为（4，0），半径等于2，圆心到直线x﹣y=2的距离为 d==，故弦长为 2=2，故选B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.9．（5分）若球的表面积为36π，则该球的体积等于36π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：通过球的表面积求出球的半径，然后求出球的体积．解答：解：因为球的表面积为36π，所以4πr2=36π，球的半径为：r=3，所以球的体积为：=36π．故答案为：36π点评：本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力．10．（5分）如图，直四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：根据异面直线所成角的定义，证明已知角为异面直线所成的角，再解三角形求角即可．解答：解：连接BC1，∵A1B1∥C1D1，∴∠BD1C1为异面直线A1B1与BD1所成的角，∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，∴C1D1⊥平面BCC1B1，∴C1D1⊥BC1，在Rt△BC1D1中，BC1=，tan∠BD1C1=，∠BD1C1=．故答案是点评：本题考查异面直线所成的角．异面直线所成的角的求法是：1、作角（作平行线）；2、证角（符合定义）；3、求角（解三角形）．11．（5分）与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4关于y轴对称的圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出关于y轴对称的圆的圆心坐标为（﹣1，2），半径还是2，从而求得所求的圆的方程．解答：解：已知圆关于y轴对称的圆的圆心坐标为（﹣1，2），半径不变，还是2，故对称圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4，故答案为（x+1）2+（y﹣2）2=4．点评：本题主要考查求圆的标准方程，求出关于y轴对称的圆的圆心坐标为（﹣1，2），是解题的关键，属于基础题．12．（5分）已知点A，B到平面α的距离分别为4cm和6cm，当线段AB与平面α相交时，线段AB的中点M到α平面的距离等于 1 ．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，利用相似三角形的性质、中点的性质、三角函数、线面垂直的判定与性质、点M到α平面的距离的定义即可得出．解答：解：如图所示：BD⊥α，AC⊥α，C、D为垂足．设线段AB与平面α相交于点O，点E为线段AB的中点，过点E作EF⊥DO，垂足为F 点，则EF⊥平面α．又∵∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴==．∵OE+OA=BE=OB﹣OE，∴==．在Rt△OBD中，．在Rt△OBD中，EF=OEsin∠EOF==1．∴线段AB的中点M到α平面的距离等于1．故答案为1．点评：熟练掌握相似三角形的性质、三角函数、线面垂直的判定与性质、点M到α平面的距离的定义事件他的关键．13．（5分）无论m为何值，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过一定点P，则点P的坐标为（3，1）．考点：恒过定点的直线．分析：直线l即：m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，一定经过直线2x+y﹣7=0和 x+y﹣4=0的交点，解方程组，求得定点P的坐标．解答：解：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0 即 m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，故直线l一定经过直线2x+y﹣7=0和 x+y﹣4=0的交点．由求得，∴点P的坐标为（3，1），故答案为（3，1）．点评：本题主要考查过定点问题，判断直线l一定经过直线2x+y﹣7=0和 x+y﹣4=0的交点，是解题的关键，属于中档题．14．（5分）直线y=k（x﹣1）与以A（3，2）、B（2，3）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是[1，3] ．考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：求出直线恒过的定点，画出图形，求出PA，PB的斜率即可得到k的范围．解答：解：因为直线y=k（x﹣1）恒过P（1，0），画出图形，直线y=k（x﹣1）与以A（3，2）、B（2，3）为端点的线段有公共点，就是直线落在阴影区域内，所以k PA==1；k PB==3；所求k的范围是[1，3]．故答案为：[1，3]．点评：本题是基础题，考查直线的斜率的应用，斜率的求法，考查数形结合的思想，计算能力．15．（5分）若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则它的体积等于．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，可得圆柱的高和底面周长均为4，求出底面半径，代入圆柱体积公式可得答案．解答：解：由圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，可得圆柱的高H=4，底面周长也为4故底面半径R=故底面面积S=πR2=故圆柱的体积V=SH=．故答案为：点评：本题考查的知识点是圆柱的展开图，圆柱的体积，其中根据已知分析出圆柱的高和底面周长均为4，是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（11分）如图示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆．试求这个几何体的侧面积与体积．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可以分析出该几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆锥，进而可得到圆锥的高为，代入圆锥的体积公式和表面积公式，可得答案．解答：解：根据几何体的三视图知，原几何体是以半径为1的圆为底面，母线长为2的圆锥则圆锥的高为的圆锥．…3分则它的侧面积S侧=πrl=2π，…7分体积．…11分点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据已知的三视图判断出几何体的形状及底面半径，母线长等几何量是解答的关键．17．（12分）已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+（a﹣2）y+a=0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：（1）由垂直可得a+3（a﹣2）=0，解之即可；（2）由平行可得a=3，进而可得直线方程，代入距离公式可得答案．解答：解：（1）由l1⊥l2可得：a+3（a﹣2）=0，…4分解得；…6分（2）当l1∥l2时，有，…8分解得a=3，…9分此时，l1，l2的方程分别为：3x+3y+1=0，x+y+3=0即3x+3y+9=0，故它们之间的距离为．…12分．点评：本题考查直线的一般式方程的平行和垂直关系，涉及平行线间的距离公式，属基础题．18．（12分）如图示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E 是AC中点，且AB=BC=2，∠CBD=45°．（1）求证：CD⊥面ABC；（2）求直线BD与面ACD所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）利用圆的直径所对圆周角的性质、圆柱的性质、线面垂直的判定定理即可得出；（2）利用线面垂直的判定和性质、线面角的定义即可得出．解答：（1）证明：∵BD是底面圆的直径，∴∠BCD=90°，∴CD⊥BC；由圆柱可得：母线AB⊥底面BCD，∴AB⊥CD；又AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．（2）连接DE，由（1）可知：CD⊥BE．∵E是AC的中点，AB=BC，∠ABC=90°．∴BE⊥AC，又AC∩CD=C，∴BE⊥平面ACD．∴∠BDE是直线BD与面ACD所成的角．在Rt△ABC中，AB=BC=2，AE=EC，∴BE==，在Rt△BCD中，BC=2，∠CBD=45°，∴．由BE⊥平面ACD，∴BE⊥ED，即∠BED=90°．∴，又∠BDE是锐角，∴∠BDE=30°．点评：熟练掌握圆的直径所对圆周角的性质、圆柱的性质、线面垂直的判定定理、线面垂直的判定和性质、线面角的定义是解题的关键．19．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=a，E是A1C1的中点，F是AB中点．（1）求证：EF∥面BB1C1C；（2）求直线EF与直线CC1所成角的正切值；（3）设二面角E﹣AB﹣C的平面角为θ，求tanθ的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）通过面面平行⇒线面平行；（2）根据线面垂直关系，判定直线在平面内的射影，证角符合线面角定义，再求角．（3）可根据三垂线定理作二面角的平面角，再通过解三角形求角．解答：解：（1）证明：取AC的中点G，连接EG、FG，∵EG∥CC1，CC1⊄平面EFG，∴CC1∥平面EFG，同理：BC∥平面EFG，又∵BC、CC1⊂平面BCC1B1，∴平面EFG∥平面BCC1B1．（2）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴EG⊥平面ABC∵EG∥CC1，∠FEG为直线EF与CC1所成的角△EFG为Rt△，∴tan∠FEG===．（3）取AF的中点H，连接GH、EH，∵AC=BC，∴CF⊥AB，又∵GH∥CF，∴GH⊥AB，有（2）知EG⊥平面ABC，∴GH为EH在平面ABC中的射影，∴∠EHG为二面角E﹣AB﹣C的平面角，又△EHG是直角三角形，且∠HGE=90°，，EG=CC1=a，则．点评：本题考查线面平行的判定、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角．空间角的求法：1、作角（作平行线或垂线）；2、证角（符合定义）；3、求角（解三角形）．20．（13分）已知⊙C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣2=0上．（1）求⊙C的方程；（2）若直线y=kx+3与⊙C总有公共点，求实数k的取值范围．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由⊙C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣2=0上，构造关于D，E，F的三元一次方程组，解方程组后可得⊙C的方程；（2）若直线y=kx+3与⊙C总有公共点，则联立直线和圆的方程后，所得方程有根，即对应的△≥0，解不等式可得实数k的取值范围解答：解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，…5分所以⊙C方程为x2+y2﹣6x﹣8y+24=0．…6分（2）：由， (8)分因为直线y=kx+3与⊙C总有公共点，则△=（6+2k）2﹣36（1+k2）≥0，…10分解得．…12分点评：本题考查的知识点是圆的标准方程，直线与圆的位置关系，（1）的关键是根据已知构造方程组，（2）的关键是分析出联立方程后，消元得到的方程有根．21．（14分）（2008•湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．考点：解三角形的实际应用．专题：综合题．分析：（1）先根据题意画出简图确定AB、AC、∠BAC的值，根据sinθ=求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，从而可得到船的行驶速度．（2）先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q，根据余弦定理求出cos∠ABC的值，进而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的长度，从而可确定Q在点A和点E之间，根据QE=AE﹣AQ求出QE的长度，然后过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E 到直线BC的距离，进而在Rt△QPE中求出PE的值在于7进行比较即可得到答案．解答：解：（I）如图，AB=40，AC=10，．由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=．由余弦定理得BC=．所以船的行驶速度为（海里/小时）．（II）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．在△ABC中，由余弦定理得，==．从而．在△ABQ中，由正弦定理得，AQ=．由于AE=55＞40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE﹣AQ=15．过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．在Rt△QPE中，PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°﹣∠ABC）=．所以船会进入警戒水域．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用．考查学生的运算能力、综合考虑问题的能力．。

湖南师大附中高一数学上学期期末考试试卷(含解析)

2012-2013学年湖南师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共7个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是1212，解得：正方体的棱长为=3即为球的直径，所以半径为）5．（5分）已知圆与圆相交，则12与圆7．（5分）已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为，圆锥的高为：π×=222=，二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.9．（5分）若球的表面积为36π，则该球的体积等于36π．所以球的体积为：10．（5分）如图，直四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于．，tan∠BD，．故答案是11．（5分）与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4关于y轴对称的圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4 ．12．（5分）已知点A，B到平面α的距离分别为4cm和6cm，当线段AB与平面α相交时，线段AB的中点M到α平面的距离等于 1 ．=．==中，EF=OEsin∠EOF=13．（5分）无论m为何值，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过一定点P，则点P 的坐标为（3，1）．，求得定点，14．（5分）直线y=k（x﹣1）与以A（3，2）、B（2，3）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是[1，3] ．=1=315．（5分）若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则它的体积等于．=V=SH=故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（11分）如图示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆．试求这个几何体的侧面积与体积．，代入圆锥的体积公式和表面积公式，可得答案．的圆锥． (3)． (11)17．（12分）已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+（a﹣2）y+a=0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．； (6)时，有故它们之间的距离为18．（12分）如图示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E 是AC中点，且AB=BC=2，∠CBD=45°．（1）求证：CD⊥面ABC；（2）求直线BD与面ACD所成角的大小．，∴BE=，19．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=a，E是A1C1的中点，F是AB中点．（1）求证：EF∥面BB1C1C；（2）求直线EF与直线CC1所成角的正切值；（3）设二面角E﹣AB﹣C的平面角为θ，求tanθ的值．=．．20．（13分）已知⊙C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣2=0上．（1）求⊙C的方程；（2）若直线y=kx+3与⊙C总有公共点，求实数k的取值范围．：由． (12)21．（14分）（2008•湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．求出AB=40，AC=10．BC=所以船的行驶速度为．．。

湖南师大附中2012-2013学年高三第一次月考数学试卷(文科)

2012-2013学年湖南师大附中高三第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．﹣ ﹣﹣﹣=2．（5分）（2012•北京模拟）当a=3时，下面的程序段输出的结果是（） IF a ＜10 THEN y=2+a ELSE y=a*a4．（5分）设函数，且函数f （x ）为偶函数，则g （﹣2）=（）解：∵6．（5分）函数，g （x ）=3x﹣1，则不等式f[g （x ）]≥0的解集为（）①②，解得7．（5分）点，则x 2+y 2的取值范围是（）解：约束条件==，的取值范围∠ADC=30°，则斜坡AD 的长为（）C |AC|=|AC|====|AD|=a 半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．现在请你研究：如果对正10．（5分）（2012•湖北）设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ．若（a+b ﹣c ）（a+b+c ）=ab ，则角C=．cosC==C=．故答案为：11．（5分）（2012•上海）已知y=f （x ）+x 2是奇函数，且f （1）=1，若g （x ）=f （x ）+2，则g （﹣1）=13．（5分）已知函数f （x ）=x 2+ax+b ﹣3，f （x ）的图象恒过点（2，0），则a 2+b 2的最小值为．a++，﹣，﹣时，的最小值为．故答案为：．14．（5分）（2012•黑龙江）已知向量夹角为45°，且，则= 3．解：∵，=1∴=|2|====解得3下列关于函数f （x ）的命题； ①函数f （x ）的值域为[1，2]；②函数f （x ）在[0，2]上是减函数；③如果当x ∈[﹣1，t ]时，f （x ）的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1＜a ＜2时，函数y=f （x ）﹣a 有4个零点．其中真命题为 ② （填写序号）16．（12分）已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+2sinxcosx （1）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）求f （x ）在[﹣，]上的值域．=cos2x+sin2x=sin 2x+﹣≤2x+≤+﹣≤+﹣]）∵﹣，∴﹣≤2x+≤，∴≤2x+，]1111（1）证明：BC⊥AC1；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．AM=2，，所成角的正弦值为18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，Sn是其前n项的和，且a3=5，S3=9（1）求首项a1和公差d；（2）若存在数列{b n}，使a1b 1+a2b2+L+a n b n=5+（2n﹣3）2n+1对任意正整数n都成立，求数列{b n}的前n）由题意可得，解得==1+万件，则可获利﹣lnx+万美元，受美联货币政策影响，美元贬值，获利将因美元贬值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数，且m∈（0，1）．（1）若美元贬值指数m=，为使得企业生产获利随x的增加而增长，该企业生产数量应在什么范围？（2）若因运输等其他方面的影响，使得企业生产x万件产品需增加生产成本万美元，已知该企业生产能力为x∈[4，10]，试问美元贬值指数m在什么范围内取值才能使得该企业生产每件产品获得的平均利润m=，则企业获得利润是lnx+﹣时，都有﹣+﹣，﹣+﹣，则﹣+﹣﹣+﹣上的最小值为≤与椭圆相交于不同的两点代入椭圆，可得与椭圆相交于不同的两点﹣，= =+==x+﹣x+x+x+x+﹣+≥=，≥，∴。

湖南湖南师范大学附属中学高一数学上册期末试题

湖南湖南师范大学附属中学高一数学上册期末试题一、选择题1．设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-2．函数1()2f x x =+的定义域是（） A ．[3,)-+∞ B ．(3,)-+∞ C ．[3,2)(2,)---+∞ D ．[3,2)(2,)-⋃+∞3．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关； ④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同； ⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．如果角α的终边过点(1,，则sin α的值等于（）A ．12B ．12-C ．D ．5．对于,a b ∈R ，定义运算“⊗”：22,,a ab a ba b b ab a b ⎧-≤⊗=⎨->⎩，设()(21)(1)f x x x =-⊗-，且关于x 的方程()()f x t t R =∈恰有三个互不相等的实数根123,x x x ,，则123x x x ++的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,2)6．为净化水质，向游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：小时）的变化关系为220()t aC t t b+=+（,a b 为常数，0t ≥），当0t =时池水中药品的浓度为0mg /L ，当1t =小时池水中药品的浓度为4mg /L ，则池水中药品达到最大浓度需要（）A ．2小时B ．3小时C ．4小时D ．5小时7．设函数()21lg 111x x f x x x -=-++-，()()1212g x f x f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．若()g x 的值不小于0，则x 的取值范围是（）A ．3,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭B ．3111,,4224⎡⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1130,,224⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦8．设函数()4sin2xf x π=，若存在实数12,,,n x x x ，满足当12n x x x <<<时，()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=，则正整数n 的最小值为（）A ．505B ．506C ．507D ．508二、填空题9．下列说法正确的是（）A ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -=，则()f x 是偶函数B ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -≠，则()f x 不是偶函数C ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -<，则()f x 在R 上是增函数D ．若定义在R 上的函数()f x 满足()()11f f -<，则()f x 在R 上不是减函数 10．（多选）下列命题中正确的是（）A ．已知a 、b 是实数，则“1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的必要不充分条件B ．在ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若45A =，14a =，16b =，则ABC 有两解C ．在ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若cos cos a A b B =，则ABC 为直角三角形D ．已知A 、B 都是锐角，且2A B π+≠，()()1tan 1tan 2A B ++=，则4A B π+=11．已知,,,a b c d R ∈，则下列结论正确的是（） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若22ac bc >，则a b > C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若,a b c d >>，则a d b c ->-12．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(3,A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t 秒后，水斗旋转到P点，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()sin()0,0,2y f t R t t πωϕωϕ⎛⎫==+≥>< ⎪⎝⎭，则下列叙述正确的是（）A ．3πϕ=-B ．当[]0,60t ∈时，函数()y f t =单调递增C ．当[]0,60t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为33D ．当100t =时，6PA =三、多选题13．若命题“2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是真命题，则实数a 的取值范围是_____________.14．关于x 的方程sin 30x x +-=的唯一解在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，则k 的值为__________.15．已知a ，b 为正实数，且39ab a b ++=，则3a b +的最小值为_________.16．已知函数4,02,()3, 2.2x x xf x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若方程()()f x a a R =∈有两个不同的实根1x ，2x ，且满足124x x <，则实数a 的取值范围为______.四、解答题17．已知全集为R ，集合6|03x A x x -⎧⎫=∈>⎨⎬+⎩⎭R ，{}2|2(10)50B x x a x a =∈-++≤R . （1）若B A ⊆R，求实数a 的取值范围；（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是B A ⊆R的什么条件（充分必要性）.①[7,12)a ∈-；②(7,12]a ∈-；③(6,12]a ∈.18．已知函数()sin 6f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（0ϕπ<<，0>ω）图象的一条对称轴方程为12x π=，且()f x 相邻的两个零点间的距离为2π. （1）求()f x 的解析式；（2）求方程()34f x =在区间[]0,2π内的所有实数根之和. 19．已知函数()2,bf x x c x=++其中,b c 为常数且满足()()14,2 5.f f == （1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：函数()f x 在区间(0，1)上是减函数.20．已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =. （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）设函数()()()11g x f x f x =+--，试判断()g x 的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式()()42x xf t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.21．在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD 的三边AB ，BC ，CD 由长为8厘米的材料弯折而成，BC 边的长为2t 厘米（04t <<）；曲线AOD 是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为23x y =-，记窗户的高（点O 到BC 边的距离）为f t .（1）求函数f t 的解析式；（2）要使得窗户的高最小，BC 边应设计成多少厘米？（3）要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小，BC 边应设计成多少厘米？22．已知二次函数()()22033b af x ax bx a -=++≠.（1）a 、b 为整数且3b a =+，若函数()f x 在区间()1,1-上单调递增. ①求a 、b 的值； ②函数()23g x x k =+，已知在区间()1,1-上函数()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，求实数k 的取值范围；（2）函数()f x 在区间[]1,0-上是否存在零点，请证明你的结论.【参考答案】一、选择题 1．B 【分析】直接根据补集的概念进行运算可得解. 【详解】因为U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，所以UA{|12}x x -≤≤.故选：B2．C 【分析】根据函数解析式，列不等式组3020x x +≥⎧⎨+≠⎩求解即可.【详解】根据题意可得3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，所以[)()3,22,x ∈---+∞.故选：C. 3．A 【解析】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin =sin ,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,cosθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.4．C 【分析】利用三角函数的定义，直接求解. 【详解】点()1,3-到原点的距离()22312r =-+=，由定义知3sin 2y r α==-. 故选：C 5．A 【分析】由题设写出()f x 的解析式，222,0(),0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，再结合函数图像可知231x x +=，再求出1x 的范围，即可求得结果.【详解】由题设知22(21)(21)(1),211()(21)(1)(1)(21)(1),211x x x x x f x x x x x x x x ⎧-----≤-=-⊗-=⎨----->-⎩ 化简整理得：222,0(),0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，画出函数的图像，如下图由1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当关于x 的方程()()f x t t R =∈恰有三个互不相等的实数根时，t 的取值范围是10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设1230x x x <<<，则23x x ,是2x x t -+=的两个根，关于12x =对称，故231x x +=，下面求1x 的范围：211120x x t x ⎧-=⎨<⎩，解得：1x =10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()181,3t ∴+∈，()11∴，故1x ⎫∈⎪⎪⎝⎭所以123x x x ⎫∈⎝++⎪⎪⎭故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解. 6．A 【分析】由题意求出解析式，再由定义证明4,0y t t t=+>的单调性得出其最小值，进而得出池水中药品达到最大浓度需要的时间. 【详解】由题意可得02041a ba b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得0,4a b ==当0t =时，(0)0C =，当0t >时，22020()44t C t t t t==++令4,0y t t t=+>任取()12,0,t t ∈+∞，且12t t <，则()()121212121212444t t t t y y t t t t t t --⎛⎫-=+-+= ⎪⎝⎭ 当2t ≥时，12120,4t t t t -<>，即12y y <；当02t <<时，12120,4t t t t -<<，即12y y > 则函数4,0y t t t=+>在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，即min 4224t t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即当2t =时，max ()(2)5C t C == 故选：A 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由定义证明函数4,0y t t t=+>的单调性进而得出其最小值.7．D 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数进行化简，结合函数的单调性得到关于x 的不等式，再求出x 的范围. 【详解】由101xx->+，且110x +-≠，得11x -<<，且0x ≠，故函数的定义域为()()1,00,1-⋃，故函数()2112lg lg lg 111111x x x f x x x x x x x --⎛⎫=-=-=-+- ⎪++-++⎝⎭，在1,0和0,1单调递减，由()()12102g x f x f ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭得，()1212f x f ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以112112x -<-≤<且210x -≠，解得102x <<或1324x <≤，故选：D. 8．C 【分析】根据正弦函数的性质，确定()4sin2xf x π=的最值，根据题中条件，得到()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈尽可能多的取得最大值4，即可求解.【详解】因为()[]4sin0,42xf x π=∈，即()min 0f x =，()max 4f x =，所以()()124f x f x -≤，当()1f x 与()2f x 一个等于0，另一个为4时，()()12f x f x -取得最大值4；为使满足()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=的正整数n 最小，只需()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈尽可能多的取得最大值4，而505420202021⨯=<，所以至少需506个()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈，才能使()()()()()()231122021n n f x f x f x f x f x f x --+-+-=，此时1506n -=，即507n =. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据三角函数的性质，确定()f x 的最大值，得到()()()111,i i f x f x i n i N ++-≤≤-∈中有505项取得最大值4时，即可求解.二、填空题9．BD 【分析】取函数()()21f x x x =-，可判断A 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B 选项的正误；取函数()2f x x x =+，可判断C 选项的正误；利用反证法可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取函数()()21f x x x =-，则()()110f f -==，函数()f x 的定义域为R ，()()()21f x x x f x -=--=-，此时，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；对于B 选项，若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，必有()()f x f x -=，因为()()11f f -≠，所以，()f x 不是偶函数，B 选项正确；对于C 选项，取函数()2f x x x =+，则()10f -=，()12f =，()()11f f -<，但函数()2f x x x =+在R 上不单调，C 选项错误；对于D 选项，假设函数()f x 是定义在R 上的减函数，则()()11f f ->，这与题设矛盾，假设不成立，所以，函数()f x 在R 上不是减函数，D 选项正确. 故选：BD. 10．ABD 【分析】求出1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、33log log a b >的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义可判断A 选项的正误；比较sin b A 、a 、b 的大小关系，可判断B 选项的正误；利用余弦定理可判断C 选项的正误；利用两角和的正切公式可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，充分性：由1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得a b >，由33log log a b >可得0a b >>，所以，3311log log 33aba b ⎛⎫⎛⎫<⇒>/ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，充分性不成立.必要性：由1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得a b >，由33log log a b >可得0a b >>，所以，3311log log 33ab a b ⎛⎫⎛⎫<⇐> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，必要性成立.因此，“1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，sin 16sin 4582b A ==，所以，sin b A a b <<，如下图所示：所以，ABC 有两解，B 选项正确；对于C 选项，cos cos a A b B =，可得22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅，整理得2242240a c a b c b --+=，即()()222220a b c a b ---=，a b ∴=或222+=a b c ，因此，ABC 为等腰或直角三角形，C 选项错误；对于D 选项，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，可得()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-，由于()()1tan 1tan 2A B ++=可得tan tan tan tan 10A B A B ++-=，即()()()tan 1tan tan 1tan tan 0A B A B A B +---=，即()()tan 11tan tan 0A B A B +-⋅-=⎡⎤⎣⎦，由于A 、B 都是锐角，且2A B π+≠，则tan tan 1A B ≠，所以，()tan 1A B +=，02A π<<，02B π<<，0A B π∴<+<，可得4A B π+=，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A 、B 、C 的范围对三角函数值的影响．11．BD 【分析】举反例可判断选项A 、C 不正确，由不等式的性质可判断选项B 、D 正确，即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：举反例：3a =-，4b =-，0c ，2d =-满足,a b c d >>，但ac bd <，故选项A 不正确；对于选项B ：因为22ac bc >，则20c >，所以 a b >，故选项B 正确；对于选项C ：因为2a =，1b =，1c =-，满足0a b >>，但()0a b c -<，故选项C 不正确；对于选项D ：因为c d >，所以d c ->-，因为a b >，所以a d b c ->-，故选项D 正确，故选：BD. 12．AD 【分析】求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论. 【详解】由题意，R 6，T ＝120＝2πω，∴ω＝60π，当t ＝0时，y ＝f (t )＝-代入可得-6sin φ，∵2πϕ<，∴φ＝－3π.故A 正确；所以()6sin()603f t t ππ=-，当[]0,60t ∈时，260333t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，所以函数()y f t =在[]0,60不是单调递增的，故B 不正确；因为260333t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，max 66y ==，所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，故C 不正确；当100t =时，46033t πππ-=，此时y =-(3,P --，()336PA =--=，故D 正确，故选：AD ．【点睛】本题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角函数的相应的性质求得结果，属于中档题.三、多选题13．{1a a <-或}3a > 【分析】根据存在命题的定义，结合一元二次不等式的解集性质进行求解即可. 【详解】因为命题“2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”等价于200(1)10x a x +-+=有两个不等实数根，所以2(1)40a ∆=-->，即2230a a -->，解得1a <-或3a >.故答案为：{1a a <-或}3a >. 14．2 【分析】由题意转化为函数()sin 3f x x x =+-在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内有唯一零点，求导得()'cos 10f x x =+≥，从而()f x 在R 上递增，且()20f <，502f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由函数的零点存在定理可得结果. 【详解】由题意得，关于x 的方程sin 30x x +-=的唯一解转化为函数()sin 3f x x x =+-在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内有唯一零点， ()'cos 10f x x =+≥，()f x ∴在R 上递增，由()2sin 223sin 210f =+-=-<，且5555511sin 3sin302226222f π⎛⎫=+->+-=-= ⎪⎝⎭，由函数的零点存在定理可得()f x 在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点，又因为方程sin 30x x +-=的唯一解在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，所以2k =.故答案为：2 【点睛】关键点点睛：方程sin 30x x +-=的解转化为函数()sin 3f x x x =+-的零点问题，求导得()f x 的单调性，再结合函数的零点存在定理. 15．6 【分析】利用基本不等式得出3a b +的不等式，解之可得3a b +的最小值．【详解】∵0,0a b >>，∴211933(3)(3)(3)312ab a b a b a b a b a b =++=⋅++≤+++．(318)(36)0a b a b +++-≥，∴36a b +≥，当且仅当3a b =，即3,1a b ==时等号成立，故答案为：6．【点睛】方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，解题方法是用基本不等式得出关于3a b +的不等式，然后通过解不等式得出结论．不是直接由基本不等式得最小值，解题时也要注意基本不等式成立的条件．即最小值能否取到． 16．（4,5）【分析】分别作出(),y f x y a ==的图像，有两个交点得4a >，由2114=,32x x a a x ++=找到1x ，2x 的关系，把124x x <转化为2112684x x -+<解出1x 的范围，从而确定a 的范围.【详解】分别作出(),y f x y a ==的图像，如图示，∴4a >；方程()()f x a a R =∈有两个不同的实根1x ，2x 如图示，则有12x ≤，且2114=,32x x a a x ++=， ∴21211148=3=262x x x x x x +++-，∴ ∴124x x <可化为2112684x x -+<解得：112x <<，∴()114=4,5a x x +∈ 即实数a 的取值范围为（4,5）故答案为：（4,5）【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．四、解答题17．（1）612a -≤≤（2）选择①，则结论是不充分不必要条件；选择②，则结论是必要不充分条件；选择③，则结论是是充分不必要条件. 【分析】（1）解出集合A ，根据补集的定义求出A R，由B A ⊆R，得到关于a 的不等式，解得；（2）由（1）知B A ⊆R的充要条件为[6,12]a ∈-，再根据集合的包含关系判断即可.【详解】解：（1）集合6|0(3)(6,)3x A x x -⎧⎫=∈>=-∞-⋃+∞⎨⎬+⎩⎭R ，所以[3,6]A =-R，集合{}2|2(10)50{|(2)(5)0}B x x a x a x x a x =∈-++≤=∈--≤R R ，若B A ⊆R，且5[3,6]A ∈=-R，只需362a-≤≤，所以612a -≤≤. （2）由（1）可知B A ⊆R的充要条件是[6,12]a ∈-，选择①，[7,12)[6,12]-⊄-且[6,12][7,12)-⊄-，则结论是不充分不必要条件；选择②，[6,12]-(7,12]-，则结论是必要不充分条件；选择③，(6,12][6,12]-，则结论是充分不必要条件.【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，以及充分条件必要条件的判断，属于基础题.18．（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）133π.【分析】（1）依题意可得T π=，即可求出ω，再根据函数的对称轴求出ϕ，即可求出函数解析式；（2）作出()y f x =与34y =的大致图象，根据函数的对称性计算可得；【详解】（1）()f x 相邻的两个零点间的距离2π，∴()f x 的最小正周期222T πππω==⨯=，∴2ω=.又函数()f x 图象的一条对称轴方程为2x π=，∴21262k πππϕπ⨯+-=+()k Z ∈，即2k πϕπ=+()k Z ∈，而0ϕπ<<，∴2ϕπ=. 故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()f x 的最小正周期为π，所以()f x 在[]0,2π内恰有2个周期. 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈，即函数的对称轴为,122k x k Z ππ=+∈，因为3342<，作出()y f x =与34y =的大致图象如图.由图可知两个图象在[]0,2π内有4个交点，横坐标依次为1x ，2x ，3x ，4x ，且1x 与2x 关于712x π=对称，3x 与4x 关于1912x π=对称，所以1276x x π+=，34196x x π+=，故所有实数根之和为133π19．（1）()22f x x x=+；（2）证明见解析. 【分析】（1）由f （1）4=，f （2）5=可列出关于b 和c 的方程组，解之即可；（2）根据函数单调性的定义，运用“五步法”：任取、作差、变形、定号、下结论，进行证明即可．【详解】（1）解：()()14,25f f ==，24,452bb c c ∴++=++= 解得2,0b c ==，()f x ∴的解析式为()22f x x x=+（2）证明：任取1201x x ，则()()()()211212121212121222122221x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫--=+-+=-+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭121212101,?0,10x x x x x x <<<∴-<-< ()()120,f x f x ∴->即()()12f x f x >故函数()f x 在区间(0，1)上是减函数. 【点睛】利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数. 20．（1）3a =；0,；（2）奇函数；答案见解析；（3）2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）解方程()3log 31a f ==即得函数的解析式和定义域；（2）先求出函数()g x 的定义域，再利用奇函数的定义判断函数的奇偶性；（3）等价于2114122x x x xt ≥=++，令122xx y =+，利用函数的单调性求函数的最小值即得解. 【详解】（1）()3log 31a f ==，3a =；()()3log 0f x x x =>（2）()()()11g x f x f x =+--∴1010x x +>⎧⎨->⎩∴11x -<<()()()()11g x f x f x g x -=--+=-∴()g x 为奇函数；（3）()3log f x x =∴()f x 是单调递增函数()()42x x f t f t ⋅≥-∴420x x t t ⋅≥->∴()412x xt +≥∴2114122x x x xt ≥=++令122xxy =+，[]1,2x ∈时该函数为增函数， ∴min15222y =+=∴12552t ≥=又∵20x t ->∴()min22xt <=.综上2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判定，考查不等式的恒成立问题和函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．（1）()()24043t t f t t -+=<<（2）3厘米（3）【分析】（1）先求出点D 的坐标，再求出AB 的长，从而得出函数f t 的解析式；（2）由二次函数的性质求解即可；（3）先得出窗户的高与BC 长的比值为121()(04)62g t t t t =+-<<，再结合基本不等式得出答案. 【详解】（1）因为抛物线方程为23x y =-，所以2,3D t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭又因为8242t AB DC t -===-，所以点O 到AD 的距离为23t 所以点O 到BC 的距离为243t t +-，即()()24043t t f t t -+=<<（2）因为()13122304t t -=⨯<=<-，所以当32t =时有最小值 2min33333132()44232424f t f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭==-+=-+=⎪⎝⎭此时32t =，32232BC t ==⨯=，故BC 应设计为3厘米（3）窗户的高与BC 长的比值为241213()(04)262t t g t t t t t -+==+-<<因为1211211262622t tt t +-⋅=，当且仅当26t t =，即t = 所以要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小，2BC t == 【点睛】关键点睛：在解决第二问时，关键是利用二次函数的单调性求出该函数的最小值。

湖南省师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷含答案

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湖南师大附中12-13学年高一上期期末考试物理

湖南师大附中2012—2013学年度第一学期期考试题卷高一物理时量：90分钟满分：150分必考部分第I卷选择题一、单项选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，答案写在答卷上.）1、关于质点，下列各说法中正确的是A. 质点是一个很小的物体GkStK 高[考∴试﹤题∴库GkStK]B. 质点是一个小球C. 只有小物体才能被看做是质点D. 大物体有时也可以被看作质点2、以下关于力和运动的说法正确的是A．力是维持物体运动的原因B．力是改变物体运动状态的原因C．物体的速度越大，其惯性就越大D．作用在物体上的力消失后，物体的速度就消失3、下列关于力的说法中正确的是A．只有静止的物体才受重力B．两个相互接触的物体间一定有摩擦力C．摩擦力的方向一定和物体运动方向相反D．一个力被分解为两个分力，分力的大小可以都大于合力4、下列关于加速度的描述中，正确的是A．速度变化得越大，加速度就越大B．加速度方向保持不变，则速度方向也保持不变C．当加速度与速度方向相反但加速度在增加时，物体做加速运动D．当加速度与速度方向相同但加速度在减小时，物体做加速运动5、用手握住瓶子，使瓶子在竖直方向静止，如果握力加倍，则手对瓶子的摩擦力（）A．握力越大，摩擦力越大B．只要瓶子不动，摩擦力大小不变C．方向由向下变成向上D．手越干、越粗糙，摩擦力越大6、关于作用力和反作用力，下列说法中正确的是A．作用力和反作用力可以是不同性质的力B．一个作用力消失时，它的反作用力可仍然存在C．作用力和反作用力同时产生，同时消失D ．两物体处于相对静止时，它们之间的作用力和反作用力的大小才相等 7、一个物体的速度——时间图象如图如示，则A ．物体的速度方向在2s 末时改变B ．物体在3s 内速度的最大值为4m/sC ．物体在3s 内的位移为8mD ．物体在2s 内的位移达到最大8、一个物体受到三个共点力的作用，在下列给出的几组力中，能使物体处于平衡状态的是（）A ．F 1=3N F 2=4N F 3=2NB ．F l =3N F 2=1N F 3=5NC ．F 1=2N F 2=5N F 3=10ND ．F l =5N F 2=7N F 3=13N 9、静止放在光滑水平面上的木块受到一个方向不变，大小从某一数值逐渐变小的外力作用时，木块将作A ．匀减速运动B ．匀加速运动C ．加速度逐渐减小的变加速运动D ．加速度逐渐增大的变加速运动 10、下列哪一组物理量的单位全部是国际单位制中的基本单位A ．m 、kg 、N B. m 、kg 、s 学优高考 C. cm 、g 、s D. m 、N 、s 11、某人用大小为100N 的力竖直上提放在水平地面上的重120N 的物体，下列说法中正确的是A ．物体所受的合外力为20N ，方向竖直向下B ．地面所受的压力大小是20N ，方向竖直向下学优高考网GkStK]C ．物体所受的重力与地面给物体的支持力相平衡D ．物体所受的拉力和重力相平衡12、如图所示，木块放在粗糙的水平桌面上，外力F 1、F 2沿水平方向作用在木块上，木块处于静止状态，其中F 1=10N ，F 2=2N.若撤去力F 1，则木块受到的摩擦力是( ).A ．8N ，方向向右B ．8N ，方向向左C ．2N ，方向向右D ．2N ，方向向左二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分，全部选对得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分. 答案写在答卷上.）13、在一个封闭装置中，用弹簧秤称一物体的重力，如果读数与物体重力有下列偏差，则下列判断正确的是A ．读数偏大，则装置一定是在向上做加速运动B ．读数偏小，则装置一定是在向下做减速运动C ．读数为零，则装置可能在向上运动D ．读数准确，则装置可能静止，也可能在运动14、静止在光滑水平面上的物体受到一个水平拉力的作用，该力随时间变化的图象如图所示，则下列说法中正确的是t/s10F/NA ．物体在20s 内平均速度为零B ．物体在10s 末的速度为零C ．物体在20s 末的速度为零 D．物体在20s 末时离出发点最远15、如图所示，放置在水平地面上的物块受到斜向上的力F 的作用保持静止，现使力F 增大，物块仍然静止，则A ．物块受到的摩擦力一定不变B ．物块对地面的压力一定减小C ．物块受到的摩擦力一定减小D ．物块受到的外力之和一定不变16、物体从静止开始作匀加速直线运动，第3 s 内通过的位移是3 m ，则 ( )A ．第3 s 内的平均速度是3 m ／sB ．物体的加速度是1．2 m ／s 2C ．前3 s 内的位移是6 mD ．3 s 末的速度是3．6 m ／s第II 卷非选择题（共36分）三、实验题（本题共2小题，共16分.答案写在答卷上.） 17（4分）、在“验证力的平行四边形定则”实验中，需要将橡皮条的一端固定在水平木板上A 点，另一端系上两根细绳，细绳的另一端都有绳套。

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