1 5.2.1 三角函数的概念 学生版

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5.2.1 三角函数的概念(教学设计)

5.2.1 三角函数的概念(教学设计)

5.2.1 三角函数的概念课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.3.掌握公式一并会应用.数学学科素养1.数学抽象:理解任意角三角函数的定义;2.逻辑推理:利用诱导公式一求三角函数值;3.直观想象:任意角三角函数在各象限的符号;4.数学运算:诱导公式一的运用.重点:①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点:理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.教学方法:以学生为主体,采用诱思探究式教学,精讲多练。

教学工具:多媒体。

一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数,那么锐角三角函数是如何定义的?若将锐角放入直角坐标系中,你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?若以单位圆的圆心O为原点,你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗?那么,角的概念推广之后,三角函数的概念又该怎样定义呢?要求:让学生自由发言,教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本,引入新课阅读课本177-180页,思考并完成以下问题1.任意角三角函数的定义?2.任意角三角函数在各象限的符号?3.诱导公式一?要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1.单位圆在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. 2.任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么:图1-2-1 (2)结论①y 叫做α的正弦,记作sin_α,即sin α=y ; ②x 叫做α的余弦,记作cos_α,即cos α=x ; ③y x 叫做α的正切,记作tan_α,即tan α=yx (x ≠0). (3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.思考:若已知α的终边上任意一点P 的坐标是(x ,y ),则其三角函数定义为?在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ,y ),它与原点O 的距离是r (r =x 2+y 2>0). 三角函数定义定义域 名称 sinα yr R 正弦 cosα x r R余弦tanαy x⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠k π+π2,k ∈Z正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数. 3.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数 定义域 sin α R cos αRtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π+π2,k ∈Z4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示:图1-2-2(2)口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.四、典例分析、举一反三题型一 三角函数的定义及应用例1:求53π的正弦、余弦和正切值.例2 在平面直角坐标系中,角α的终边在直线y =-2x 上,求sin α,cos α,tan α的值. 【解析】当α的终边在第二象限时,在α终边上取一点P (-1,2),则r =-12+22=5,所以sin α=25=255,cos α=-15=-55,tan α=2-1=-2.当α的终边在第四象限时, 在α终边上取一点P ′(1,-2), 则r =12+-22=5,所以sin α=-25=-255,cos α=15=55,tan α=-21=-2.基础练习题 1、求π4、3π2、7π6的三角函数值.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 本节课我们主要学习了哪些内容? 1.三角函数的定义.2.运用三角函数数学思想解决问题.六、板书设计七、作业课本179页练习及182页练习.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法,借助单位圆探究任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的概念,且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号,并会灵活运用.。

5.2.1 三角函数的概念-新人教版高中数学第一册

5.2.1 三角函数的概念-新人教版高中数学第一册

新知探究
如图,建立平面直角坐标系,当射线OA从x轴非负
y
1
半轴开始,绕原点O按逆时针方向旋转角 ,终止
位置为P.
-1
x
新知探究
【分析】利用勾股定理可以发现,当
时,点P的坐标是
;当

时,点P的坐标分别是

,它们都是唯一确定的(如图).
思考:该结论能否推广到任意角,即任意给定一个角,它与单位圆的交点坐 标是否唯一确定呢?
【结论】一般地,任意给定一个角α,它的终边OP与单位圆的交点P的坐标, 无论是横坐标 ,还是纵坐标 ,都是唯一确定的.
新知探究
y
1
-1
x
新知探究
【总结】我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函

数,通常记为
(1)正弦函数:
(2)余弦函数: (3)正切函数:
实数 (角的弧度)
三角 函数值
【注意】(1)在任意角的三角函数定义中,α是一个使函数有意义的实数 (2) 是自变量,离开自变量 的sin,cos,tan是没有意义的
r
=- 4 5
cos = x = - 3
r
5
tan =
4 3
课堂
小结
一、知识(任意角三角函数的概念) 二、数学思想方法(数形结合) 三、数学核心素养(数学建模)
作业布置
课后作业:
课本P184 1、2、3
谢谢大家!
(3)三角函数值是实数,是一个比值,这个实数的大小和点P在终边上 的位置无关,终边确定了,三角函数就确定了.
新知应用
例1 求 的正弦、余弦和正切值.
【解】在坐标系中作出∠AOB= ,易知∠AOB的
终边与单位圆的 交点坐标为

高中数学必修一(人教版)《5.2.1 三角函数的概念》课件

高中数学必修一(人教版)《5.2.1 三角函数的概念》课件
答案:负
题型三 诱导公式一的应用 【学透用活】
对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等. (2)公式一的结构特征: ①左、右为同一三角函数; ②公式左边的角为α+k·2π,右边的角为α. 注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏. (3)公式一的作用:把求任意角的三角函数值转化为求0~2π(或0°~360°) 范围内的角的三角函数值.
[方法技巧] 利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型
(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各 三角函数值.
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x,y)(x≠0)为单位圆上的点,则 sin α=y,cos α=x,tan α=xy.
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x,y)(x≠0)不是单位圆上一点,则 sin α=yr, cos α=xr,tan α=xy(r= x2+y2).
(2)若sin α=sin β,则α=β.
答案:(1)√ (2)×
2.sin(-315°)的值是
A.-
2 2
B.-12
C.
2 2
D.12
解析:sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin
45°=
2 2.
答案:C
() ()
()
3.tan235π=________. 解析:tan235π=tan8π+π3=tanπ3= 3. 答案: 3
sin
α=
2 =2 5
5
5,cos
α=
1= 5
55,tan
α=21=2.
当角 α 的终边在第三象限时,在角 α 的终边上取点 Q(-1,-2),由 r=|OQ|
= -12+-22= 5,

5.2.1三角函数的概念

5.2.1三角函数的概念
限相同,结果不同。定义不同不好
研究。


sin =
=




cos =
=




tan =
=


设P(a,b)是终边上任意点
这种定义法称为终边定义法
思考3:为了使sinα ,cosα的表示式更简单,你认为点P的位置选
在何处最好?为什么有如此一问?那是因为我们人是追求简单与
美的。把复杂问题简单化是人不懈的追求。
求不出来怎办?
求不出来,求不出来不要求,就用sin这个符号表示
这个对应法则,即f=sin。所以,y=f(A)=sinA
同理,cos、tan也与
sin一样
上述定义只限于直角三角形中的锐角,
而现在角的定义已经拓广到任意角,如:
°
120 =?
cos150° =?
°
tan315 =?
一、任意角的三角函数
按章建跃老师的−
,tan

=



同学们,疑问:那四个象限岂不是三角函
数值都一样了?
sin在第一、二象限是正,在第三、四
象限是负。cos在第一、四象限是正,
在二、三象限是负。tan在第一、三象
限是正,在二、四象限是负,并且终边
不能落在y轴。
同学们以为定义是四个象限不同,
但结果相同。正确的是定义四个象
跟这节课讲的内容有关。
同学们,初中我们学过锐角三角函数正弦sinA、余弦cosA、正切tanA,我想问
sin、cos、tan是什么意思?这个问题在初中很难讲清楚,但在高中可以讲清楚。

sinA=

=

1 5.2.1 三角函数的概念

1 5.2.1 三角函数的概念

5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念教材考点学习目标核心素养三角函数的概念理解三角函数的概念,会求给定角的三角函数值数学抽象、数学运算三角函数值的符号判断掌握各象限角的三角函数值的符号规律逻辑推理诱导公式一及应用掌握三角函数诱导公式一的简单应用逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P177-P181,并思考以下问题:1.任意角的三角函数的定义是什么?2.如何判断三角函数值在各象限内的符号?3.诱导公式一是什么?1.任意角的三角函数的定义前提如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)定义正弦纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sin α,即sin α=y余弦横坐标x叫做α的余弦函数,记作cos α,即cos α=x正切比值yx叫做α的正切,记作tan α,即tan α=yx (x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数,将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(1)初中学习的锐角三角函数的定义是什么?提示:如图,在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则:sin B=bc=对边斜边,cos B=ac=邻边斜边,tan B=ba=对边邻边.(2)对于确定的角α,请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗?提示:根据相似三角形的知识,只要点P不与原点重合,三角函数值不会随P点在终边上的位置的改变而改变.2.三角函数值的符号如图所示:正弦:一二象限正,三四象限负;余弦:一四象限正,二三象限负;正切:一三象限正,二四象限负.简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.■微思考2三角函数值在各象限的符号由什么决定?提示:三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值.因此,三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定.3.公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等,由此得到一组公式(公式一):sin(α+k·2π)=sin__α,cos(α+k·2π)=cos__α,tan(α+k·2π)=tan__α,其中k∈Z.■微思考3根据公式一,终边相同的角的同一三角函数的值相等,反过来,同一三角函数值相等时,角是否一定为终边相同的角呢?提示:不一定,如sin α=12,则α=π6+2kπ或α=5π6+2kπ(k∈Z).1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)已知α是三角形的内角,则必有sin α>0,cos α≥0.()(2)若sin α·cos α>0,则角α为第一象限角.()(3)对于任意角α,三角函数sin α、cos α、tan α都有意义.()(4)三角函数值的大小与点P (x ,y )在终边上的位置无关. ( ) (5)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.已知sin α=35,cos α=-45,则角α所在的象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限答案:B3.已知角α的终边经过P (-b ,4),且cos α=-35,则b 的值为( ) A .3 B .-3 C .±3D .5解析:选A.由x =-b ,y =4,得r =b 2+16,所以cos α=-bb 2+16=-35,解得b =3(b =-3舍去).4.sin 780°=________,cos 9π4=________. 答案:32 22探究点1 求任意角的三角函数值(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35,y (y <0),求tan α的值.(2)已知角α的终边落在射线y =2x (x ≥0)上,求sin α,cos α的值. 【解】 (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35,y (y <0)在单位圆上,则925+y 2=1,所以y =-45, 所以tan α=-43.(2)设射线y =2x (x ≥0)与单位圆的交点为P (x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧y =2x ,x 2+y 2=1,x ≥0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =55,y=255,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55,255, 所以sin α=y =255,cos α=x =55.1.(变条件,变问法)本例(2)中条件“角α的终边落在射线y =2x (x ≥0)上”变为“角α的终边为射线y =-34x (x ≥0)”,求角α的正弦、余弦和正切值.解:由⎩⎨⎧y =-34x ,x 2+y 2=1,得x 2+916x 2=1,即25x 2=16,即x =45或x =-45.因为x ≥0,所以x =45,从而y =-35.所以角α的终边与单位圆的交点坐标为(45,-35). 所以sin α=y =-35,cos α=x =45,tan α=y x =-34.2.(变条件)本例(2)中条件“α的终边落在射线y =2x (x ≥0)上”变为“α的终边落在直线y =2x 上”,其他条件不变,其结论又如何呢?解:(1)若α终边在第一象限内,解答过程同本例(2).(2)若α终边在第三象限内,设点P (x ,2x )(x <0)是其终边上任意一点, 因为r =|OP |=x 2+4x 2=-5x (x <0),所以sin α=y r =2x -5x =-255,cos α=x r =x -5x=-55.综上可知,sin α=±255,cos α=±55.已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法(1)先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.(2)在α的终边上任选一点P (x ,y ),P 到原点的距离为r (r >0),则sin α=yr ,cos α=xr .已知α的终边求α的三角函数值时,用这几个公式更方便.(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边与单位圆交于点A ,点A 的纵坐标为23,则tan α=________.解析:设点A 的横坐标为x ,则由x 2+49=1,解得x =±53,因为角α为第二象限角,所以x =-53,cos α=-53,所以tan α=23-53=-255. 答案:-255探究点2 三角函数值符号的判定判断下列各式的符号: (1)tan 120°sin 269°; (2)cos 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫-23π4.【解】 (1)因为120°角是第二象限角, 所以tan 120°<0.因为269°角是第三象限角, 所以sin 269°<0. 所以tan 120°sin 269°>0. (2)因为π<4<3π2,所以4弧度角是第三象限角, 所以cos 4<0,因为-23π4=-6π+π4, 所以-23π4是第一象限角, 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-23π4>0, 所以cos 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫-23π4<0.正弦、余弦函数值的正负规律1.若-π2<α<0,则点(tan α,cos α)位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:选B.由-π2<α<0知α为第四象限角, 则tan α<0,cos α>0,点在第二象限.2.已知sin θcos θ<0,且|cos θ|=cos θ,则角θ是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角D .第四象限角解析:选D.由|cos θ|=cos θ,可知cos θ≥0,结合sin θcos θ<0,得sin θ<0,cos θ>0,所以角θ是第四象限角,故选D.探究点3 公式一的简单应用求下列各式的值: (1)cos 25π3+tan ⎝⎛⎭⎪⎫-15π4; (2)sin 810°+tan 1 125°+cos 420°. 【解】 (1)原式=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π+π3+tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-4π+π4=cos π3+tan π4=12+1=32.(2)原式=sin(2×360°+90°)+tan(3×360°+45°)+cos(360°+60°) =sin 90°+tan 45°+cos 60° =1+1+12=52.利用公式一求解任意角的三角函数的步骤1.sin 585°的值为( ) A .-22 B.22 C .-32D.32解析:选A.sin 585°=sin(360°+225°)=sin 225°.由于225°是第三象限角,且终边与单位圆的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,-22,所以sin225°=-22.2.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-23π6的值为( ) A. 3 B.33 C.32D .1解析:选B.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-23π6= tan ⎝⎛⎭⎪⎫-4π+π6=tan π6=33.3.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-11π6+cos 12π5·tan 4π=________. 解析:原式=sin ⎝⎛⎭⎪⎫-2π+π6+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π+2π5·tan(4π+0)=sin π6+cos 2π5×0=12.答案:121.若角α是第三象限角,则点P (2,sin α)所在象限为( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:选D.由α是第三象限角知,sin α<0,因此P (2,sin α)在第四象限,故选D.2.若cos α=-32,且角α的终边经过点P (x ,2),则P 点的横坐标x 是( ) A .2 3 B .±2 3 C .-2 2 D .-2 3 解析:选D.r =x 2+22,由题意得x x 2+22=-32, 所以x =-2 3.故选D.3.给出下列函数值:①sin(-1 000°);②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4;③tan 2,其中符号为负的个数为( ) A .0 B .1 C .2D .3解析:选B.因为-1 000°=-3×360°+80°,所以-1 000°是第一象限角, 则sin(-1 000°)>0;因为-π4是第四象限角,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4>0;因为2 rad ≈2×57°18′=114°36′是第二象限角,所以tan 2<0.故符号为负的个数为1.4.cos 1 470°=____________.解析:cos 1 470°=cos(4×360°+30°)=cos 30°=32. 答案:325.求下列三角函数值: (1)sin 256π+cos 193π;(2)sin 217π4+tan 2⎝⎛⎭⎪⎫-11π6tan 9π4.解:(1)sin 256π+cos 193π =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π+π6+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π+π3=sin π6+cos π3=12+12=1.(2)原式=sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+4π+tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-2π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+2π =sin 2π4+tan 2π6·tan π4=⎝ ⎛⎭⎪⎫222+⎝ ⎛⎭⎪⎫332×1=12+13=56.[A 基础达标]1.(2020·保定高一检测)若45°角的终边上有一点(4-a ,a +1),则a =( ) A .3 B .-32 C .1D.32解析:选D.当a =4时,该点为(0,5),不在45°角的终边上,舍去; 当a ≠4时, 因为tan 45°=a +14-a=1,所以a =32.2.如果α的终边过点(2sin 30°,-2cos 30°),那么sin α=( ) A.12 B .-12 C.32D .-32解析:选 D.依题意可知点(2sin 30°,-2cos 30°),即(1,-3),则r =12+(-3)2=2,因此sin α=y r =-32.3.已知角α的终边经过点P (m ,-6),且cos α=-45,则m =( ) A .8 B .-8 C .4D .-4解析:选 B.由题意得r =|OP |=m 2+(-6)2=m 2+36,故cos α=mm 2+36=-45,解得m =-8. 4.sin 3·cos 5·tan 4的值是( ) A .正数 B .负数 C .0D .不存在解析:选A.因为π2<3<π,π<4<3π2,3π2<5<2π, 所以sin 3>0,cos 5>0,tan 4>0, 所以sin 3·cos 5·tan 4>0.故选A.5.“点P (tan α,cos α)在第三象限”是“角α为第二象限角”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C.因为P (tan α,cos α)在第三象限, 所以tan α<0,cos α<0,所以α为第二象限角,反之也成立,故选C. 6.计算sin(-1 410°)=________.解析:sin(-1 410°)=sin(-4×360°+30°)=sin 30°=12. 答案:127.若sin α·cos α<0,则α在第________象限.解析:由sin α·cos α<0,知sin α>0且cos α<0或sin α<0且cos α>0.若sin α>0且cos α<0,则α在第二象限,若sin α<0且cos α>0,则α在第四象限.答案:二或四8.已知角α的终边经过点P (3,-4t ),且sin(2k π+α)=-35,其中k ∈Z ,则t 的值为____________.解析:因为sin(2k π+α)=-35(k ∈Z ),所以sin α=-35.又角α的终边过点P (3,-4t ),故sin α=-4t9+16t 2=-35,解得t =916⎝ ⎛⎭⎪⎫t =-916舍去.答案:916 9.计算:(1)sin 390°+cos(-660°)+3tan 405°-cos 540°; (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫-7π2+tan π-2cos 0+tan 9π4-sin 7π3.解:(1)原式=sin(360°+30°)+cos(-2×360°+60°)+3tan(360°+45°)-cos(360°+180°)=sin 30°+cos 60°+3tan 45°-cos 180° =12+12+3×1-(-1)=5.(2)原式=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-4π+π2+tan π-2cos 0+tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π+π4-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π+π3=sin π2+tan π-2cos 0+tan π4-sin π3=1+0-2+1-32=-32.10.已知角α的终边上一点P (m ,3),且cos α=104,求sin α,tan α的值.解:由题意得x =m ,y =3, 所以r =|OP |=m 2+3, 所以cos α=xr =mm 2+3=104, 解得m =5(负值舍去),则r =22,所以sin α=y r =322=64,tan α=y x =35=155.[B 能力提升]11.(多选)函数y =sin x |sin x |+|cos x |cos x +tan x|tan x |的值可能为( ) A .-1 B .0 C .1D .3解析:选AD.当x 是第一象限角时,y =3; 当x 是第二象限角时,y =-1; 当x 是第三象限角时,y =-1; 当x 是第四象限角时,y =-1.故函数y =sin x |sin x |+|cos x |cos x +tan x|tan x |的值域是{-1,3}. 12.“θ是第二象限角”是“tan θ2>0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 解析:选A.因为θ是第二象限角, 所以2k π+π2<θ<2k π+π(k ∈Z ),所以k π+π4<θ2<k π+π2(k ∈Z ), 所以θ2是第一或第三象限角, 所以tan θ2>0.反之,当tan θ2>0时,k π<θ2<k π+π2,k ∈Z , 所以2k π<θ<2k π+π,k ∈Z ,所以θ是第一象限角或第二象限角,故选A. 13.(一题两空)已知角α的终边经过点P (3,4),则 (1)tan(-6π+α)的值为________; (2)sin (α-4π)cos (6π+α)·sin(α-2π)·cos(2π+α)的值为________.解析:设x =3,y =4则r =32+42=5,所以sin α=y r =45,cos α=x r =35,tan α=y x =43, (1)tan(-6π+α)=tan α=43.(2)原式=sin αcos α·sin α·cos α=sin 2α=⎝ ⎛⎭⎪⎫452=1625.答案:(1)43 (2)1625 14.已知1|sin α|=-1sin α,且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α的终边所在的象限;(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35,m ,求m 的值及sin α的值.解:(1)由1|sin α|=-1sin α,可知sin α<0, 由lg(cos α)有意义可知cos α>0,综上可知角α的终边在第四象限内. (2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35,m 在单位圆上,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352+m 2=1,解得m =±45. 又由(1)知α是第四象限角,所以m <0,所以m =-45. 由正弦函数的定义可知sin α=-45.[C 拓展探究]15.已知角α的终边上的点P 与点A (a ,b )关于x 轴对称(a ≠0,b ≠0),角β的终边上的点Q 与点A 关于直线y =x 对称,求sin αcos β+tan αtan β+1cos αsin β的值. 解:由题意可知P (a ,-b ),则sin α=-b a 2+(-b )2,cos α=a a 2+(-b )2,tan α=-ba ;由题意可知Q (b ,a ),则sin β=aa 2+b 2,cos β=ba 2+b 2,tan β=ab ,所以sin αcos β+tan αtan β+1cos αsin β=-1-b 2a 2+a 2+b2a 2=0.。

5.2.1 三角函数的概念-(新教材人教版必修第一册) 课件

5.2.1 三角函数的概念-(新教材人教版必修第一册) 课件

当x=1 时 ,P(1,3), 此时 sin
t ,
当 x=-1 时 ,P(-1,3),
此时 si
【例2】已知角α的终边在直线y=-3x 上,求10sin α

值. 解:由题意知, cosα≠0.
设角a 的终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0), 则
x=k,y=-3k,r=√k²+(-3K)³=√ 10K.
数学(人教版)
必修第一册 第五章 三角函数
5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
课前自学质疑
必备知识深化预习
1. 任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角,α∈R, 它的终边OP 与单位圆相交于点
P(x,y).
(1)把点P 的纵坐标y 叫做a 的正弦函数,记作sina, 即 y=sin a; (2)把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数,记作cosa, 即x=cosα;
2 . 求函数 解:由题意得cosx≠0 也不在y 轴上.
的值域. 且 tanx≠0, ∴
角 x 的终边不在x 轴上,
当 x 是第一象限角时, cosx|=cosx,tan x|=tan x, ∴
当x 是第二象限角时, cosx|=-cos
x,tanx|=—tan
x, ∴y=
当x 是第三象限角时, cosx|=—cosx,tan
sin(a+k ·2π)=sin a, cos(a+k ·2π)=cos a, tan(a+k ·2π)=tan a, 其中k∈Z.
预习验收衔接课堂 1. 已知角a 的终边与单位圆交于
A.
B.
C.
D.
, 则 sin a 的值为 (B)
2. 已知 cosθ ·tanθ>0, 那么角θ是(A)

第5章-5.2.1-任意角三角函数的定义高中数学必修第一册湘教版

第5章-5.2.1-任意角三角函数的定义高中数学必修第一册湘教版
位圆上,所以
+ 2
2
3
cos sin = ± .
4
1
− ,
2
=−
= 1,解得 = ±
3
,即cos
2
3
,即sin
2
=

1
1
− .因为点 ,
2
2
3
,所以
2
在单
题型2 三角函数值的符号的判断
例7 判断下列各式的符号:
(1)tan 120∘ sin 269∘ ;
【解析】∵ 120∘ 是第二象限角,∴ tan 120∘ < 0.
方法帮丨关键能力构建
题型1 利用定义求三角函数值
例4 已知角 的终边经过点 2, −3 ,则sin


____.


=_______,cos



=_____,tan

=

【解析】因为 = 2, = −3,所以点到原点的距离 =
sin =


=
−3
13
=
3 13
(2)tan >
3
.
3
【解析】如图5.2.1-8,过单位圆与轴正半轴的交点作轴的
3
,过点和作一条直线,
3
3
此时终边落在直线上的角的正切值为 .在[0,2π)内,
3
π

3
tan = tan = ,
6
6
3
垂线,在垂线上取一点,使得 =
由图可知,满足条件的角的终边在图中阴影部分(不包括边
π
由题意,知−
2
D.sin 2 < 0

2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.2.1三角函数的概念

2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.2.1三角函数的概念

[思路导引] 利用三角函数在各象限的符号判断.
[解] (1)因为 105°,230°分别为第二、三象限角,所以 sin105°>0,cos230°<0.
于是 sin105°·cos230°<0.
π

(2)因为 2 <3<π,所以 3 是第二象限角,所以 cos3<0,又因为- 3 是第三象限角,
( ) ( ) 2π



所以 tan 3 >0,所以 cos3·tan 3 <0.
判断三角函数值正负的 2 个步骤 (1)定象限:确定角 α 所在的象限. (2)定符号:利用三角函数值的符号规律,即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”来 判断. 注意:若 sinα>0,则 α 的终边不一定落在第一象限或第二象限内,有可能终边落在 y 轴的非负半轴上.
[答案] D
( )π
- 5.给出下列函数值:①sin(-1000°);②cos 4 ;③tan2,其中符号为负的个数
为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
[解析] ①sin(-1000°)=sin(-1080°+80°)
=sin80°>0
( )π
- ②cos 4 >0
π ③∵ 2 <2<π,∴tan2<0,只有③符合,∴选 B.
一、选择题
( ) 3 4
-, 1.已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点 5 5 ,则
tanα 的值为( )
4 A.-3
3 B.-4
4 C.-5
3 D.-5
4 5 34 - [解析] 由正切函数的定义可得,tanα= 5=-3.

高中数学5-2三角函数的概念5-2-1三角函数的概念第2课时三角函数值的符号及公式一课件新人教A版必

高中数学5-2三角函数的概念5-2-1三角函数的概念第2课时三角函数值的符号及公式一课件新人教A版必

π
3
3
2
3
2
π
6
+tan
1
2
3
3
= .
2
2
π
−4π +
4
5
4
=sin cos +tan cos = × +1× = .
cos 4π +
π
3




反思领悟 利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形:将已知的任意角写成2kπ+α的形式,其中α∈[0,2π),k∈Z.
(2)转化:根据诱导公式,转化为求角α的某个三角函数值.
• =a2sin 90°+b2tan 45°-2ab cos 0°
• =a2+b2-2ab=(a-b)2.
• 3.化简下列各式:
• (2)sin
[解]
11π

6
sin
11
− π
6
=sin −2π
=sin
+cos
π
+
6
π
1
+0= .
6
2
12
π·tan
5
+cos
+cos
4π.
12
π·tan
5
2
π·tan
5
0

03
学习效果·课堂评估夯基础
1.已知sin α>0,cos α<0,则角α是(
)
A.第一象限角
B.第二象限角

C.第三象限角
D.第四象限角
B
[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知,角α是第二象限
角.故选B.]
1
2
3
4
2.sin (-315°)的值是(

1 5.2.1 三角函数的概念ppt课件

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第五章 三角函数
■名师点拨
(1)在任意角的三角函数的定义中,应该明确:α
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第五章 三角函数
1.任意角的三角函数的定义 如图,设 α 是一个任意
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5.2.1三角函数的概念-高一数学新教材配套课件

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13
13
∴点 P-1123,153.
2.已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α 等于
A.45
B.35
√ C.-35
D.-45
解析 设点 P(-4,3),则|OP|= (-4)2+32=5,
∴cos α=|-OP4|=-45.
3.(多选)若sin θ·cos θ>0,则θ在
√A.第一象限
A.第一象限角
√C.第三象限角
B.第二象限角 D.第四象限角
解析 由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而α是第二或第三象限角.
由cos tan
αα<0
可知
cos
α,tan
α异号,
从而α是第三或第四象限角.
综上可知,α是第三象限角.
(2)(多选)下列选项中,符号为负的是
√A.sin(-100°)
跟踪训练1 角θ的终边落在直线y=2x上,求sin θ,cos θ的值.
解 方法一 设角θ的终边与单位圆交于点P(x,y),
联立yx=2+2yx2,=1,
解得x= 55, y=2 5 5
或x=- 55, y=-2 5 5,
即点
P
坐标为
55,2
5
5或-
55,-2
5
5,
当点
P
坐标为
55,2
5
值越大.( × ) 3.终边相同的角的同一三角函数值相等.( √ ) 4.终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( × )
经典例题
题型一 三角函数的定义及应用
例 1 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为 P 35,y (y<0),则 tan α=-43 . 解析 因为点 P 35,y (y<0)在单位圆上, 则295+y2=1, 所以 y=-45,所以 tan α=-43.

数学人教A版必修第一册5.2.1三角函数的概念课件

数学人教A版必修第一册5.2.1三角函数的概念课件

作业
1、完成练习册第130-131页
必做:例1、例2、跟踪2、3、4,A级1-5、9
选做:6-8、10
2、在导学案完成表格数据
谢谢大家,欢迎批评指正
T H A N K
Y O U
A L L
r
x
0

O
y
又 y0与y同号,
y0
r
0
M
0
M
新知探索 —— 三角函数第二定义
设α是一个任意角,Px, y 是终边上的任意一点,
点P与原点的距离为:r x 2 y 2 >0
y
sin α
r
x
cos α
r
y
tan α x 0
x
比较三角函数第一定义:设α是一个任意
7

的正弦值、余
2
6
y
x
探究二

(, ),把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为 ,并把按

设 ∈
本节三角函数定义求得的锐角x记为 。 和 相等吗?对于余弦和正
切也有相同的结论吗?
1
AB
OA
1
sin x
z
1
A
OA
A1 B1 y sin x
1
1
AB
O
由三角函数的性质得: 1
角,它的终边与单位圆相交于点P(x,y)
sinα=y cosα=x tanα =
(x≠0)
05 课堂探究 -例题讲授
例3、已知角α的终边过点P(-12,5),求角α
的三角函数值。
课堂小结
1、三角函数的第一定义
2、三角函数的第二定义
3、求任意角的三角函数值的方法:先寻求

教学设计1:5.2.1 三角函数的概念

教学设计1:5.2.1  三角函数的概念

5.2.1三角函数的概念【课标要求】课程标准:1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.教学重点:三角函数的定义;三角函数在各象限内的符号.教学难点:任意角的三角函数的定义的建构过程.【知识导学】知识点一三角函数的概念(1)单位圆中三角函数的定义(2)三角函数的定义域知识点二三角函数值的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.知识点三诱导公式(一)【新知拓展】(1)三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.(2)终边相同的角的同名三角函数值相等.【基础自测】1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若α=β+720°,则cosα=cosβ.()(2)若sinα=sinβ,则α=β.()(3)已知α是三角形的内角,则必有sinα>0.()答案(1)√(2)×(3)√2.做一做(1)若sinα<0,且tanα<0,则α在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)若角α的终边经过点P(5,-12),则sinα=________,cosα=________,tanα=________.(3)tan405°-sin450°+cos750°=________.(4)sin2·cos3·tan4的值的符号为________.答案 (1)D (2)-1213 513 -125 (3)32(4)负 【题型探究】题型一 三角函数的定义例1 已知角α的终边经过点P (-4a,3a )(a ≠0),求sin α,cos α,tan α的值.[解] r =(-4a )2+(3a )2=5|a |,若a >0,则r =5a ,角α在第二象限,sin α=y r =3a 5a =35,cos α=x r =-4a 5a =-45,tan α=y x =3a -4a =-34; 若a <0,则r =-5a ,角α在第四象限,sin α=-35,cos α=45,tan α=-34. [条件探究] 在本例中,若将题设条件改为:已知角α的终边在直线y =3x 上,问题不变,怎样求解?解 因为角α的终边在直线y =3x 上,所以可设P (a ,3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点.则r = a 2+(3a )2=2|a |(a ≠0).若a >0,则α为第一象限角,r =2a ,sin α=3a 2a =32, cos α=a 2a =12,tan α=3a a= 3. 若a <0,则α为第三象限角,r =-2a ,sin α=3a -2a =-32,cos α=a -2a=-12,tan α=3a a = 3. 金版点睛利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种:方法一:先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.方法二:在α的终边上任选一点P (x ,y ),P 到原点的距离为r (r >0).则sin α=y r ,cos α=x r.已知α的终边求α的三角函数值时,用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(3)若终边在直线上时,因为角的终边是射线,应分两种情况处理.[跟踪训练1] (1)设a <0,角α的终边与单位圆的交点为P (-3a,4a ),那么sin α+2cos α的值等于( )A.25 B .-25 C.15 D .-15(2)已知角α终边上的点P (4,3m ),且sin α=22m ,求m 的值. 答案 (1)A (2)见解析解析 (1)∵点P 在单位圆上,则|OP |=1.即(-3a )2+(4a )2=1,解得a =±15. ∵a <0,∴a =-15,∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35,-45, ∴sin α=-45,cos α=35, ∴sin α+2cos α=-45+2×35=25. (2)∵P (4,3m ),∴r =16+9m 2,∴sin α=y r =3m 16+9m 2=22m , 两边平方,得9m 216+9m 2=12m 2. ∴m 2(9m 2-2)=0,∴m =0或m =±23. 题型二 三角函数值的符号例2 (1)若sin αtan α<0,且cos αtan α<0,则角α是( ) A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角(2)判断下列各式的符号:①tan120°·sin269°;②cos4·tan ⎝⎛⎭⎫-23π4. [解析] (1)由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二、三象限角.由cos αtan α<0可知cos α,tan α异号,从而α为第三、四象限角. 综上可知,α为第三象限角.(2)①∵120°是第二象限角,∴tan120°<0.∵269°是第三象限角,∴sin269°<0,∴tan120°·sin269°>0.②∵π<4<3π2,∴4弧度是第三象限角,∴cos4<0. ∵-23π4=-6π+π4,∴-23π4是第一象限角, ∴tan ⎝⎛⎭⎫-23π4>0,∴cos4·tan ⎝⎛⎭⎫-23π4<0. [答案] (1)C (2)见解析金版点睛判断给定角的三角函数值正负的步骤(1)确定α的终边所在的象限;(2)利用三角函数值的符号规律,即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断.[跟踪训练2] (1)若三角形的两内角A ,B 满足sin A ·cos B <0,则此三角形必为( )A .锐角三角形B .钝角三角形C .直角三角形D .以上三种情况都有可能(2)点P (tan α,cos α)在第三象限,则α是第________象限角.答案 (1)B (2)二解析 (1)三角形内角的取值范围是(0,π),故sin A >0.因为sin A cos B <0,所以cos B <0,所以B 是钝角,故三角形是钝角三角形.(2)因为点P (tan α,cos α)在第三象限,所以tan α<0,cos α<0,则角α的终边在第二象限. 题型三 与三角函数有关的定义域问题例3 求下列函数的定义域:(1)y =sin x +cos x tan x; (2)y =-cos x +sin x .[解] (1)要使函数有意义,需tan x ≠0,∴x ≠k π+π2,且x ≠k π,k ∈Z ,∴x ≠k π2,k ∈Z . 于是函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R ,x ≠k π2,k ∈Z . (2)要使函数有意义,需⎩⎪⎨⎪⎧-cos x ≥0,sin x ≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π+π2≤x ≤2k π+3π2(k ∈Z ),2k π≤x ≤2k π+π(k ∈Z ),解得2k π+π2≤x ≤2k π+π(k ∈Z ), ∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π+π2≤x ≤2k π+π,k ∈Z . 金版点睛求解函数定义域的解题策略(1)求函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值范围,一般通过解不等式或不等式组求得,对于与三角函数有关的函数定义域问题,还要考虑三角函数自身定义域的限制.(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.[跟踪训练3] 求下列函数的定义域:(1)y =sin x +tan x ;(2)y =sin x +tan x .解 (1)依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ x ∈R ,x ≠k π+π2(k ∈Z ), ∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ,x ≠k π+π2,k ∈Z . (2)当sin x ≥0且tan x 有意义时,函数才有意义,∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤(2k +1)π,x ≠k π+π2(k ∈Z ). ∴函数的定义域为{ x | 2k π≤x <2k π+π2或2k π+π2<x ≤2k π+π,k ∈Z }. 题型四 诱导公式(一)的应用例4 计算:(1)sin ⎝⎛⎭⎫-11π6+cos 12π5tan4π; (2)sin1140°cos(-690°)+tan1845°.[解] (1)原式=sin ⎝⎛⎭⎫-2π+π6+cos 12π5tan0=sin π6+0=12. (2)原式=sin(3×360°+60°)cos(-2×360°+30°)+tan(5×360°+45°)=sin60°cos30°+tan45°=32×32+1=74. 金版点睛利用诱导公式化简的步骤(1)将已知角化为k ·360°+α(k 为整数,0°≤α<360°)或2k π+β(k 为整数,0≤β<2π)的形式.(2)将原三角函数值化为角α的同名三角函数值.(3)借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的.[跟踪训练4] 求下列各式的值: (1)cos 25π3+tan(-15π4)); (2)sin810°+tan1125°+cos420°.解 (1)原式=cos ⎝⎛⎭⎫8π+π3+tan ⎝⎛⎭⎫-4π+π4 =cos π3+tan π4=12+1=32. (2)原式=sin(2×360°+90°)+tan(3×360°+45°)+cos(360°+60°)=sin90°+tan45°+cos60°=1+1+12=52. 【随堂达标】1.如果角α的终边过点P (2sin30°,-2cos30°),则sin α的值等于( ) A.12B .-12C .-32D .-33 答案 C解析 由题意得P (1,-3),它与原点的距离r =12+(-3)2=2,所以sin α=-32. 2.当α为第二象限角时,|sin α|sin α-cos α|cos α|的值是( ) A .1B .0C .2D .-2 答案 C解析 ∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,∴|sin α|sin α-cos α|cos α|=sin αsin α-cos α-cos α=2. 3.在△ABC 中,若sin A cos B tan C <0,则△ABC 是( )A .锐角三角形B .直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形答案C解析因为sin A>0,所以cos B,tan C中一定有一个小于0,即B,C中有一个钝角.4.若750°角的终边上有一点(4,a),则a=________.答案43 3解析tan750°=tan(360°×2+30°)=tan30°=33=a4,解得a=433.5.计算sin810°+tan765°+tan1125°+cos360°.解原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(360°+0°)=sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=1+1+1+1=4.。

高中数学第一册5.2.1三角函数的概念课件

高中数学第一册5.2.1三角函数的概念课件
5.2 三角函数的概念
5.2.1三角函数的概念
复习导入
在上节课的学习中,我们实现了角度制与弧度制间的转化.并且利用弧度制,
已经将角的范围扩展到了全体实数.
° =

≈ .

° =

= (
)° ≈ . °

正角
正实数
零角
0
负角
系,点的坐标为(1,0),点的坐标为(, ).射线从轴的非负半轴开始,绕
点按逆时针方向旋转角,终止位置为.
(, )

(, )


新知探索
Q1:当 =

时,点的坐标是什么?
6
Q2:当 =
2
或 时,点的坐标又是什么?它们是唯一确定的吗?
2
3
Q3:一般地,任意给定一个角,它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗?
的定义域填入下表,再将这三种函数的值在各象限的符号填入图中的括号.

三角函数
定义域






≠ + ( ∈ )


+
( + )

(
-
)
(

-
(

)
(
-

)
( + )


( + )
)

(
-
)
( + )


)
( + )
(
-

三角函数值在各象限内的符号,我们可以简记为:“一全正二正弦三正切四余弦.”

利用勾股定理可以发现,当 =

5.2.1 三角函数的概念

5.2.1 三角函数的概念



答案:-

-




,tan α=

α= .


,
,则 sin α=
.

二、正弦函数、余弦函数、正切函数值在各象限的符号
1.在平面直角坐标系Oxy中,设α是一个任意角,它的终边与单
位圆相交于点P(x,y).
(1)根据三角函数的定义,三角函数值的符号与什么有关系?
提示:与点P的纵坐标和横坐标的符号有关.
(2)当|OP|=r时,sin α,cos α,tan α的值怎样表示?

提示:sin α=,cos


α=,tan α=.
(3)对确定的锐角α,sin α,cos α,tan α的值是否随点P在终边上
的位置的改变而改变?
提示:不会.因为三角函数值是比值,其大小与点P(x,y)在终边
上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大



即=tan α(x≠0).=tan α(x≠0)也是以角为自变量,以单位
圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数,称为正切
函数.

(2)将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,
记为:正弦函数 y=sin x,x∈R ;余弦函数 y=cos x,x∈R ;

正切函数 y=tan x, x≠ +kπ(k∈Z) .
的实际情况对参数进行分类讨论.

【变式训练1】 (1)求角π的正弦值、余弦值和正切值;
(2)已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α的值.
解:(1)因为角π的终边与单位圆的交点坐标为(-1,0),

5.2.1三角函数的概念

5.2.1三角函数的概念

5.2.1三角函数的概念知识点一三角函数的定义(一)教材梳理填空(1)任意角的三角函数的定义条件如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y )定义正弦函数把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数,记作sin α,即y =sin_α余弦函数把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数,记作cos α,即x =cos_α正切函数把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x 叫做α的正切函数,记作tan α,即yx=tan_α(x ≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将它们统称为三角函数(2)三角函数值的符号如图所示:正弦一、二正,三、四负;余弦一、四正,二、三负;正切一、三正,二、四负.(二)基本知能小试1.判断正误(1)若α是三角形的内角,则必有sin α>0.()(2)若α是第二象限角,且P (x ,y )是其终边与单位圆的交点,则cos α=-x .()(3)若sin α>0,则α是第一或第二象限角.()2.已知角α的终边与单位圆的交点为tan α=()A.3B .-3C.33D .-333.若角α是第三象限角,则点P (2,sin α)所在象限为()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限知识点二诱导公式一(一)教材梳理填空终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等.(2)公式:sin(α+k ·2π)=sin_α,cos(α+k ·2π)=cos_α,tan(α+k ·2π)=tan_α,其中k ∈Z .(二)基本知能小试1.判断正误(1)若α=β+720°,则cos α=cos β.()(2)sin α=sin β,则α=β.()(3)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.()2.sin 25π3=________.3.tan25π4=________.题型一三角函数的定义及应用[学透用活][典例1](1)如果角θ的终边经过点-32,则sin α=________,cos α=________,tan α=________.(2)已知角θ的终边上有一点P (x,3)(x ≠0),且cos θ=1010x ,则sin θ+tan θ的值为________.[对点练清]1.[变条件]若本例(1)中的条件变为“已知角α的终边落在直线y =2x 上”,则sin α,cos α,tan α的值如何?2.[变条件]若本例(1)变为“已知角α的终边过点P (-3m ,m )(m ≠0)”,则sin α的值如何?题型二三角函数值符号的应用[学透用活](1)由三角函数的定义知sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=yx (r >0),可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点(除原点)P (x ,y )的坐标确定的,则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键.(2)为了便于记忆,我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面的口诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”,意思为:第一象限各三角函数值均为正;第二象限只有正弦值为正,其余均为负;第三象限只有正切值为正,其余均为负;第四象限只有余弦值为正,其余均为负.[典例2](1)若sin αtan α<0,且cos αtan α<0,则角α是()A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角(2)确定下列各三角函数值的符号:①cos 260°;②tan 10π3.[对点练清]1.若三角形的两内角α,β满足sin α·cos β<0,则此三角形必为()A .锐角三角形B .钝角三角形C .直角三角形D .以上三种情况都有可能2.若sin 2α>0,且cos α<0,试确定角α的终边所在的象限.题型三诱导公式一的应用[学透用活](1)诱导公式一的实质是:终边相同的角的三角函数值相等.(2)利用诱导公式一可把任意角的三角函数化为0到2π间的三角函数,即实现了“负化正,大化小”.(3)解题时应先变化角,再运用公式化简,若得到的角是锐角,则可直接求值.[典例3]求下列各式的值:(1)sin (-1395°)cos 1110°+cos(-1020°)sin 750°;cos 12π5·tan 4π.[对点练清]1.计算:(1)cos 9π4=________;________.2.求下列各式的值:(1)tan 405°-sin 450°+cos 750°;(2)sin 7π3cos cos13π3.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1.若角α的终边经过P (-1,-1),则()A .tan α=1B .sin α=-1C .cos α=22D .sin α=222.有下列说法,其中正确的个数是()①终边相同的角的同名三角函数值相等;②同名三角函数值相等的角也相等;③终边不相同,它们的同名三角函数值一定不相等;④不相等的角,同名三角函数值也不相等.A .0B .1C .2D .33.已知角α的终边经过点P (m ,-6),且cos α=-45,则m =()A .8B .-8C .4D .-44.sin ()A.12B .-12C.32D .-32二、创新应用题5.已知角α的终边在直线3x +4y =0上,求2sin α+cos α的值.[课下双层级演练过关]A 级——学考水平达标练1.sin 780°的值为()A .-32 B.32C .-12D.122.若α=2π3,则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是()-12,-32,3.已知角α的终边过点P (-4,3),则2sin α+tan(2π+α)的值是()A .-920B .920C .-25D .254.若角α的终边在直线y =-2x 上,则sin α等于()A .±15B .±55C .±255D .±125.已知角α的终边经过点(3a -9,a +2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a 的取值范围是()A .(-2,3]B .(-2,3)C .[-2,3)D .[-2,3]6.若角420°的终边上有一点(4,-a ),则a 的值是________.7.(2018·北京海淀育英学校高二期中)sin 810°+tan 765°+tan 1125°+cos 360°=________.8.若点(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,则角θ是第________象限的角. 9.(1)确定tan(-3)cos8·tan5的符号;(2)已知α∈(0,π),且sinα+cosα=m(0<m<1),试判断式子sinα-cosα的符号.10.已知1|sinα|=-1sinα,且lg(cosα)有意义.(1)试判断角α所在的象限;(2)若角α的终边上一点是且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sinα的值.B级——高考水平高分练1.已知x为终边不在坐标轴上的角,则函数f(x)=|sin x|sin x+cos x|cos x|+|tan x|tan x的值域是()A.{-3,-1,1,3}B.{-3,-1}C.{1,3}D.{-1,3}2.已知角α的终边经过点P(3,4t),且sin(2kπ+α)=-35k∈Z),则t=________.3.已知sinα2=35,cosα2=-45,试确定α是第几象限角.4.已知角α的终边上的点P与点A(a,b)关于x轴对称(a≠0,b≠0),角β的终边上的点Q与点A关于直线y=x对称,求sinαcosβ+tanαtanβ+1cosαsinβ的值.5.若α,β是关于x的一元二次方程x2+2(cosθ+1)x+cos2θ=0的两实根,且|α-β|≤22,求θ的范围。

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5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念
问题导学
预习教材P177-P181,并思考以下问题: 1.任意角的三角函数的定义是什么? 2.如何判断三角函数值在各象限内的符号? 3.诱导公式一是什么?
1.任意角的三角函数的定义
(1)在任意角的三角函数的定义中,应该明确:α是一个任意角,其范围是使函数有意义的实数集.
(2)要明确sin α是一个整体,不是sin与α的乘积,它是“正弦函数”的一个记号,就如f(x)表示自变量为x的函数一样,离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的.2.三角函数值的符号
如图所示:
正弦:一二象限正,三四象限负;
余弦:一四象限正,二三象限负;
正切:一三象限正,二四象限负.
简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
3.公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等,由此得到一组公式(公式一):
sin(α+k·2π)=sin α,
cos(α+k·2π)=cos α,
tan(α+k·2π)=tan α,
其中k∈Z.
■名师点拨
(1)公式一的实质
公式一的实质是终边相同的角,其同名三角函数值相等.因为这些角的终边是同一条射线,所以根据三角函数的定义可知,这些角的三角函数值相等.
(2)公式一的作用
利用公式一可以把任意角的三角函数值化为0°~360°范围内与其终边相同的角的三角函数值(方法是先在0°~360°的范围内找出与所给角终边相同的角,再把它写成公式一的形式,最后得出结果).
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知α是三角形的内角,则必有sin α>0,cos α≥0.()
(2)若sin α·cos α>0,则角α为第一象限角.()
(3)对于任意角α,三角函数sin α、cos α、tan α都有意义.()
(4)三角函数值的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关.()
(5)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.( )
已知sin α=3
5,cos α=-4
5,则角α所在的象限是( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
已知角α的终边经过P (-b ,4),且cos α=-3
5,则b 的值为( )
A .3
B .-3
C .±3
D .5
sin 780°=________.cos 9π
4
=________.
求任意角的三角函数值
(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫
35,y (y <0),求tan α的值. (2)已知角α的终边落在射线y =2x (x ≥0)上,求sin α,cos α的值.
1.(变条件)本例(2)中条件“角α的终边落在射线y =2x (x ≥0)上”变为“角α的终边为射线y =-3
4
x (x ≥0)”,求角α的正弦、余弦和正切值.
2.(变条件)本例(2)中条件“α的终边落在射线y =2x (x ≥0)上”变为“α的终边落在直线y =2x 上”,其他条件不变,其结论又如何呢?
已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
(2)在α的终边上任选一点P (x ,y ),P 到原点的距离为r (r >0),则sin α=y
r ,cos α=
x
r
.已知α的终边求α的三角函数值时,用这几个公式更方便. (3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边与单位圆交于点A ,
点A 的纵坐标为2
3
,则tan α=________.
三角函数值符号的判定
判断下列各式的符号: (1)tan 120°sin 269°; (2)cos 4tan ⎝⎛⎭⎫
-23π4.
正弦、余弦函数值的正负规律
1.若-π
2<α<0,则点(tan α,cos α)位于( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
2.(2019·安徽太和中学第一次教学质量检测)已知sin θcos θ<0,且|cos θ|=cos θ,则角θ是( )
A .第一象限角
B .第二象限角
C .第三象限角
D .第四象限角
公式一的简单应用
求下列各式的值: (1)cos 25π3+tan ⎝⎛⎭⎫-15π4;
(2)sin 810°+tan 1 125°+cos 420°.
利用公式一求解任意角的三角函数的步骤
1.sin 585°的值为( ) A .-22 B.22 C .-32
D.32
2.tan ⎝⎛⎭⎫
-23π6的值为( )
A. 3
B.33
C.32
D .1
3.sin ⎝
⎛⎭⎫
-11π6+cos 12π5·tan 4π=________.
1.若角α是第三象限角,则点P (2,sin α)所在象限为( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限
2.若cos α=-
3
2
,且角α的终边经过点P (x ,2),则P 点的横坐标x 是( ) A .23 B .±2 3 C .-22 D .-2 3
3.cos 1 470°=____________.
4.求下列三角函数值: (1)sin
256π+cos 19
3
π; (2)sin 2
17π4+tan 2⎝
⎛⎭⎫
-11π6tan 9π4.
[A 基础达标]
1.(2019·陕西山阳中学期末考试)点A (x ,y )是60°角的终边与单位圆的交点,则y
x 的值
为( )
A.3 B .- 3 C.33
D .-
33
2.如果α的终边过点(2sin 30°,-2cos 30°),那么sin α=( ) A.12 B .-12
C.32
D .-
32
3.已知角α的终边经过点P (m ,-6),且cos α=-4
5,则m =( )
A .8
B .-8
C .4
D .-4
4.给出下列函数值:①sin(-1 000°);②cos ⎝⎛⎭⎫-π
4;③tan 2,
其中符号为负的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3
5.若tan α<0,且sin α>cos α,则α的终边在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限
6.计算sin(-1 410°)=________.
7.若sin α·cos α<0,则α在第________象限.
8.已知角α的终边经过点P (3,-4t ),且sin(2k π+α)=-3
5,其中k ∈Z ,则t 的值为
____________.
9.计算:
(1)sin 390°+cos(-660°)+3tan 405°-cos 540°; (2)sin ⎝⎛⎭⎫-7π
2+tan π-2cos 0+tan 9π4-sin 7π3.
10.已知角α的终边上一点P (m ,3),且cos α=
10
4
,求sin α,tan α的值.
[B 能力提升]
11.函数y =sin x |sin x |+|cos x |cos x +tan x
|tan x |的值域是( )
A .{-1,0,1,3}
B .{-1,0,3}
C .{-1,3}
D .{-1,1}
12.(2019·重庆一中期末)已知α是第三象限角,且cos α2>0,则α
2的终边所在的象限是
( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
13.(2019·四川南充期末考试)已知角α的终边经过点P (3,4). (1)求tan(-6π+α)的值; (2)求sin (α-4π)
cos (6π+α)
·sin(α-2π)·cos(2π+α)的值.
14.已知1|sin α|=-1sin α,且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α的终边所在的象限;
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35,m ,求m 的值及sin α的值.
[C 拓展探究]
15.已知角α的终边上的点P 与点A (a ,b )关于x 轴对称(a ≠0,b ≠0),角β的终边上的点Q 与点A 关于直线y =x 对称,求sin αcos β+tan αtan β+1
cos αsin β的值.。

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