【新课教学过程(二)】 3.1.1空间向量及其线性运算

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高二数学教案 3.1.1 空间向量及其线性运算_苏教版_选修2-1

§3.1.1 空间向量及其线性运算编写：陶美霞审核：赵太田一、知识要点1.空间向量定义及其记法；2.空间向量的线性运算OB OA AB a b =+=+BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈3.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：⑴a b b a +=+；⑵()()a b c a b c ++=++；⑶()()a b a b R λλλλ+=+∈4.共线向量(平行向量)定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。

规定：零向量与任意向量共线。

5.共线向量定律：对空间任意两个向量,(0)a b a ≠，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b a λ=二、典型例题例 1.如图，在三棱柱__111ABC A B C 中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量。

⑴1CB BA +；⑵112AC CB AA ++；⑶1AA AC CB --例2.如图，在长方体__OADB CA D B '''中，3,4,2,1OA OB OC OI OJ OK ======，点E F 、分别是,DB D B ''的中点，设,,OI i OJ j OK k ===，试用向量,,i j k 表示OE 和OF 。

例3.设四面体ABCD 的三条棱,,AB b AC c AD d ===，求四面体其他各棱所对应的向量，以及面BCD ∆上的中线所对应的向量DM 和向量AQ ，其中M 是BC 的中点，Q 是三角形BCD 的重心。

三、巩固练习1.如图，在空间四边形ABCD 中，E 是线段AB 的中点，2CF FD =，连结,,,EF CE AF BF ，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量。

⑴AC CB BD ++；⑵ AF BF AC --；⑶1223AB BC CD ++。

高中数学选修2-1第三章教案3.1.1空间向量的线性运算

3.1.1空间向量的线性运算教学目标：1．知识与技能：（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示；（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；（3）能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。

2．过程与方法：运用类比的方法，经历平面向量及其运算向空间向量推广的过程；3．情感态度与价值观：培养学生严谨的学习态度；使学生深刻认识数学和现实世界的联系，领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。

教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律教学难点：应用向量解决立体几何中的问题教学过程一、复习检测：平面向量的概念，加法、减法和数乘运算二、引入新课1．空间向量的概念：在空间，我们同样把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）空间的一个平移就是一个向量。

（2）相等的向量：向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量（3）零向量：起点与终点重合的向量（或长度为零的向量）叫做零向量；（4）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

记作（5）基线：有向线段的方向表示向量的方向，有向线段所在的直线叫做向量的基线；（6）共线向量（或平行向量）：基线平行或重合的向量叫做共线向量或平行向量，如。

规定：零向量与任意向量共线。

2．空间向量的运算（1）类比平面向量运算，定义空间向量的加法、减法与数乘向量运算（2）运算律：①加法交换律：②加法结合律：③数乘分配律：（3）对空间向量的加法、减法的说明⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．⒉两个向量相加的平行四边形法则和三角形法则在空间仍然成立．⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加．表示相加的有向线段依次首尾相接，构成的折线从首到尾的向量就是这些相加向量的和，称之为“封口向量”。

4.有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变。

3、例题讲解：例1、已知平行六面体ABCD －化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量： ⑴；（2）；；（3）解：⑴=；（2）；⑶设M 是线段的中点，则///111()()222AB AD DD BC AC CC CB AC CB AC CM AM ++-=++=+=+=. 注：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.方法归纳：运用“封口向量”或转化为平面向量的运算来进行。

课件1：3.1.1空间向量的线性运算

1．化简空间向量式的常用思路 (1)统一成加法后利用三角形法则化简． (2)利用向量的减法法则，即利用O→A－O→B＝B→A化简． (3)利用A→B＝O→B－O→A，把各个向量转化成与空间的某一点有关的向量化简．
2．在几何体中用已知向量表示其他向量时的解答技巧灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路，多个向量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量使之结合，使用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”．
图3－1－6
有向线段的长度
，记作|a|
共线向有向线段所在的直线叫做向量的基线，如果
量或平空间中一些向量的基线互相平行或重合，
行向量则这些向量叫做共线向量或平行向量
空间向量的线性运算
【问题导思】 1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？【提示】平面向量的加法满足三角形法则与平行四边形法则，减法满足三角形法则． 2．平面向量中，数乘向量怎样定义的？【提示】平面中，实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 仍是一个向量，称为向量的数乘；当 λ＞0 时， λa 与 a 方向相同，当 λ＜0 时，λa 与 a 方向相反，λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍．
＝P→Q－12P→A－12P→C. 所以 x＝y＝－12.
(2)因为P→A＋P→C＝2P→O，所以P→A＝2P→O－P→C. 又因为P→C＋P→D＝2P→Q，所以P→C＝2P→Q－P→D，所以P→A＝2P→O－(2P→Q－P→D) ＝2P→O－2P→Q＋P→D. 所以 x＝2，y＝－2.
对向量的有关概念理解不清致误下列命题是真命题的序号是________． ①在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量 A→B 与 C→D 不是共线向量． ②若向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反． ③若向量A→B，C→D满足|A→B|＞|C→D|，且A→B与C→D同向，则A→B＞ C→D. ④若向量a＝b，则|a|＝|b|.

3.1空间向量及其运算教学设计教案

3.1空间向量及其运算教学设计教案第一篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。

2.教学重点/难点【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用3.教学用具多媒体4.标签3.1.1空间向量及其加减运算教学过程课堂小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算课后习题第二篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。

2.教学重点/难点重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；难点：理解空间向量基本定理；3.教学用具多媒体设备4.标签教学过程教学过程设计（一）.复习引入1、共线向量定理：2、共面向量定理：3、平面向量基本定理：4、平面向量的正交分解：（二）、新课探究：探究一.空间向量基本定理2、空间向量基本定理3、注意：对于基底{a,b,c},除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。

苏教版选修(2-1)3.1《空间向量及其运算》word教案

3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa ＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。

【新课教学过程】3.1.1空间向量及其线性运算Z

3.1.1空间向量及其线性运算（教学过程1）教学目标：1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件．教学难点：空间向量的线性运算及其性质．教学过程：一、创设情景1、平面向量的概念及其运算法则；2、物体的受力情况分析．二、建构数学1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量；⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示． 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）．b a+=+=，b a-=-=，)(R a ∈=λλ．运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+，⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++， ⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(．3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱． 4．共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理及其推论：O1/B 共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式tOAOP+=a．其中向量a叫做直线l的方向向量．三、数学运用1、例1 如图，在三棱柱111CBAABC-中，M是1BB的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1BA+，（2）121AACBAC++，（3）AA--1．解：（1）11CABACB=+（2）AA=++121（3）11BAAA=--2、如图，在长方体///BDCAOADB-中，1,2,4,3======OKOJOIOCOBOA，点E,F 分别是//,BDDB的中点，设===,,,试用向量,,表示OE和OF，解：423+=，2423++=．3、课堂练习已知空间四边形ABCD，连结,AC BD，设,M G分别是,BC CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD++；（2）1()2AB BD BC++；（3）1()2AG AB AC-+．BCDM GA四、回顾总结空间向量的定义与运算法则五、布置作业六、教学反思。

3.1.1空间向量的线性运算

3.1.1 空间向量的线性运算
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新课程标准
学习目标：
1.理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 2.会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3.能运用空间向量的运算法则及运算律，解决简单的立体几何中的问题 .
重点难点：
重点：类比平面向量知识掌握空间向量的有关概念及其运算. 难点：应用空间向量的运算解决立体几何中的问题.
注意：1.空间向量的两个要素：大小和方向. 2.向量与向量的基线的区别.
空间中任意两个向量一定能转化到同一个平面内吗？理由呢？
思考：空间中任意两个向量一定能转化到同一个平面内吗？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论1：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用
同一平面内的两条有向段表示.
口诀：首尾相接首尾连口诀：口诀：或反方向伸长共起点，对角为和共起点，指向被减或缩短
O
A
O
空间向量
转化
平面向量
空间向量加法的推广:
AB BC CC1 C1 B1 B1 D1 = AC1
空间向量的运算法则及运算律
运算法则加法
三角形法则：
运算律减法数乘向量
a b
B
平行四边形法则：
C
a b
B
三角形法则：
C
a b
O A A 几何意义： a b OA AB OB a b OA OC OB a b OA OB BA 沿着的方向
a
∥a
平面向量的运算法则及运算律

高中数学_3.1.1 空间向量的线性运算教学设计学情分析教材分析课后反思

本节课分为6个环节：引入概念，概念形成，概念深化，应用概念，归纳小结和布置作业。

其中重点是概念的形成和概念的深化，实际教学时间25分钟1。

引入概念在引入概念环节中，我以一个生活实例（学生从宿舍到操场上完操回到教室再由教室到餐厅就餐的过程）引出空间向量的问题，通过追问激发学生学习新概念的兴趣，并给出本节课具体的研究方向。

这节课作为《空间向量与立体几何》一章的第一节课，我希望让它也起到章节“导游图”的作用。

2。

概念形成首先我向学生展示预习学案当中学生复习巩固的平面向量的知识。

教师引导：接着我给出平面向量概念的PPT，由学生从定义、表示、方向刻画、大小刻画、特殊向量、向量间的特殊关系等方面探究空间向量的概念。

我想学生提出问题：在已知平面向量的基本概念情况下如何研究空间向量的基本概念？学生回答：将平面向量的相关知识推广到空间向量。

师生小结：我通过问题串帮助学生将概念梳理清楚，让他们体会到空间向量与平面向量的概念完全相同，只是所处的环境不同而已。

以前研究的向量都位于平面内，现在他们可以在空间中任意平移了。

在这个过程中让学生明确空间向量的研究方法，体会数学的严谨性。

接着我通过提问让学生类比平面向量去定义空间向量的加法，减法和数乘运算，同时得到多个空间向量求和的多边形法则，让学生进一步体会空间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点。

3。

概念深化为了简化运算就需要研究空间向量线性运算的运算律。

我向学生提出以下问题：平面向量中学习过哪些线性运算的运算律？这些运算律是不是也可以推广到空间中去呢？咱们先来看看哪些可以直接由平面结论得到？（PPT给出）学生通过探究发现由于加法交换律和分配律都只涉及到一个或两个向量，可以看作同一平面上的问题，可由平面结论直接得出；而空间中任意三个向量可能不共面，所以加法结合律还需要重新证明。

接着由学生自主完成对加法结合律的证明。

教师小结：通过结合律的证明能培养学生的空间观念，他们还能进一步体会空间向量中的某些问题与平面向量中相应问题的不同之处。

教学设计4：3.1.1空间向量的线性运算

3.1.1空间向量的线性运算教学目标（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力.教学重点：空间向量的概念和加减运算教学难点：空间向量的应用教学过程设计：空间向量的概念：在空间中，同样把具有大小和方向的量，叫做向量.例如，空间中点的一个位移就是一个向量.与平面向量一样，空间向量也是有向线段来表示，并且用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. 例如，图3-1中的位移向量a ，可以分别用同向且等长的有向线段`,`,`,`AA BB CC DD 来表示，即````AA BB CC DD a ====.在空间中，用有向线段AB →表示向量时，我们同样说向量AB →，A 为向量AB →的起点，B 为向量AB →的终点.起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0.应注意，在手写向量时，仍要在字母上方加箭头.与平面向量一样，表示向量a 的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作|a |.有向线段的方向表示向量的方向.有向线段所在的直线叫做向量的基线.如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.如图，a 平行于b ，记作a ∥b .我们规定零向量与任意向量共线.力.三．类比推广、探求新知（2）在平面图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四边形法则，同样对于空间任意两个向量ba,都看作同一平面内的向量，它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法和减法来进行，不需要补充任何新的知识，具体做法如下：如图，可以从空间任意一点O出发作,OA a OB b==，并且从A出发作AC b=，则,a b OC a b BA+=-=.当λ>0时，a QP OAλλ==；当λ=0时，0aλ=；当λ<0时，.a MN OAλλ==由此可见，平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则，对空间向量也同样成立.同样，我们也能把平面内多个向量的加法推广到空间，如图所示.````````.AB BC CC C D D A A B AB+++++=让学生知道，数学中研究的向量是自由向量，与向量的起点无关，这是数学中向量与物理中矢量的最大区别.空间三个或更多的向量相加，不能同时将这些向量都用同一个平面上的有限线段来表示，但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示，得到这就是说，表示相加向量的有向线段依次首尾相接，构成的折线从首到尾的向量就是这些相加向量的和.为了方便记忆，常把这个和向量叫做“封口向量”.空间向量的加法和数乘向量运算与平面向量一样，满足如下运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++ ⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(由向量加法的交换律和结合律可以推知：有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．例1已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)AB →＋AD →＋AA ′→； (2)DD ′→－AB →＋BC →； (3)AB →＋AD →＋12(DD ′→－BC →).它们的和.比如：三个向量的和ADCD BC AB =++,一般地,空间中多个依次用首尾相接的有向线段相加的结果等于起点和终点相连的有向线段.我们常常把向量的这种性质ADCD BC AB =++简称为“封口向量”.解：（1）AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→；（2）DD ′→－AB →＋BC →＝DD ′→－(AB →－AD →) ＝DD ′→－DB →＝BD ′→；（3） AB →＋AD →＋12(DD ′→－BC →)＝AC →＋12(CC ′→＋CB →)＝AC →＋12CB ′→.设M 是线段CB ′中点，则AB →＋AD →＋12(DD ′→－BC →)＝AC →＋CM →＝AM →.例2 如图，M ，N 分别是四面体ABCD 的棱AB ，CD 的中点，求证：MN →＝12(AD →＋BC →).证明显然MN →＝MA →＋AD →＋DN →， ① MN →＝MB →＋BC →＋CN →.②①＋②得2MN →＝AD →＋BC →. 因此MN →＝12(AD →＋BC →).四．练习巩固1．如图，在三棱柱111C B A ABC 中，M 是1BB 的中点，巩固知识，注意区别加减法的不同处.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1CB BA +; （2）1AC CB AA ++; （3）1AA AC CB -- 解：（1）11CB BA CA += （2）11AC CB AA AB ++= （3）11AA AC CB BA --=五．小结1．空间向量的概念：2．空间向量的加减运算反思归纳。

教学设计1：3.1.1 空间向量及其加减运算

3．1.1空间向量及其加减运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：一.复习引入在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？那么，空间中的向量应该如何表示呢？其定义及运算与平面向量又有什么关系呢？二.思考分析李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？提示：不是．问题2：如何刻画李老师行驶的位移？提示：借助于空间向量的运算．三.抽象概括空间向量表示法几何表示法空间向量用有向线段表示.字母表示法用一个字母表示，如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作AB，其模记为|a|或|AB―→|.几类特殊向量①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0.②单位向量：模为1的向量称为单位向量.③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为－a.④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB＝OA＋AB＝a＋b；CA＝OA－OC＝a－b.加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).1．向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比较大小，而方向无法比较大小．一般来说，向量不能比较大小．2．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．3．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．4．空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个向量是共面的．四.例题分析及练习[例1]下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC[思路点拨]根据向量的概念及运算律两方面辨析．[精解详析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定．对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有AB ＋AD＝AC，只有在平行四边形中才能成立．故A、C、D均不正确．[答案]B[感悟体会](1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．训练题组11．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 与b 的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．答案：D2．给出下列四个命题：(1)方向相反的两个向量是相反向量； (2)若a ，b 满足|a |>|b |且a ，b 同向，则a >b ； (3)不相等的两个空间向量的模必不相等； (4)对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为( )A ．(1)(2)(3)B ．(4)C ．(3)(4)D ．(1)(4)解析：对于(1)，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)，向量是不能比较大小的，故不正确；对于(3)，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确．答案：B3.如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)写出模为5的所有向量． (3)试写出AA 1―→的相反向量．解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量1AA ，1A A ，1BB ，1B B ，1DD ，1D D ，1CC ，1C C 共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有1AD ，1D A ，1C B ，1BC ，1B C ，1CB ，1A D ，1DA .(3)向量1AA 的相反向量为1AA ，1B B ，1C C ，1D D ，共4个. [例2] 化简(AB －CD )－(AC －BD )．[思路点拨] 根据向量加减运算的法则进行，注意向量的起点、终点． [精解详析] 法一：∵AB －CD ＝AB ＋DC ， ∴(AB －CD )－(AC －BD )＝AB ＋DC －AC ＋BD ＝AB ＋BD ＋DC ＋CA ＝AD ＋DA ＝0.法二：(AB －CD )－(AC －BD )＝AB －CD －AC ＋BD ＝(AB －CD )＋(DC －DB )＝CB ＋BC ＝0. [感悟体会](1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．训练题组24．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD －AB ＋BC 化简后的结果是( ) A ．1BD B ．1D B C ．1B D D ．1DB解析：由正方体的性质可得1DD －AB ＋BC ＝1DD －DC ＋BC ＝1CD ＋BC ＝1BD . 答案：A5．已知空间四边形ABCD 中，AB ＝a ，CB ＝b ，AD ＝c ，则CD 等于( ) A ．a ＋b －cB ．－a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：因为CD ＝CB ＋BA ＋AD ＝CB －AB ＋AD ＝b －a ＋c ，所以CD ＝－a ＋b ＋c . 答案：C6.如图所示，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1) 'AA －CB ； (2) 'AA ＋AB ＋''B C .解：(1) 'AA －CB ＝'AA －DA ＝'AA ＋AD ＝'AA ＋''A D ＝'AD . (2) 'AA ＋AB ＋''B C ＝('AA ＋AB )＋''B C ＝'AB ＋B ′C ′＝'AC . 向量'AD 、'AC 如图所示．五.课堂小结与归纳(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．(2)在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．如图，1OA ＋12A A ＋23A A ＋34A A ＋45A A ＋56A A ＝6OA .即首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．求若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．六.当堂训练1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD 相等的向量共有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：与AD 相等的向量有11A D ，BC ，11B C ，共3个．答案：C2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，模与向量A B ''的模相等的向量有( ) A ．7个B ．3个C ．5个D ．6个解析：|D C ''|＝|DC |＝|C D ''|＝|CD |＝|BA |＝|AB |＝|B A ''|＝|A B ''|. 答案：A3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为1BD 的是 ( )①(11A D －1A A )－AB ②(BC ＋1BB )－11D C ③(AD －AB )－1DD ④(11B D －1A A )＋1DDA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：①(11A D －1A A )－AB ＝1AD －AB ＝1BD； ②(BC ＋1BB )－11DC ＝1BC －MN ＝1BD ； ③(AD －AB )－1DD ＝BD －1DD ≠1BD ；④(11B D －1A A )＋1DD ＝1BD ＋1DD . 答案：A4．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA ＝a ，OB ＝b ，则BC ＝( ) A ．－a －b B ．a ＋b C.12a －bD ．2(a －b )解析：如图，∵OA ＝a ，OB ＝b ，∴BO ＝－b ，OC ＝－a ，∴BC ＝BO ＋OC ＝－b －a .答案：A5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，则1A B ＝________.解析：1A B ＝1B B －11B A ＝1B B －BA ＝1B B －(CA －CB ) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b6．化简AB －AC ＋BC －BD －DA ＝________.解析：AB －AC ＋BC －BD －DA ＝AB ＋BC ＋CA ＋AD ＋DB ＝AC ＋CA ＋AD ＋DB ＝AB .答案：AB7.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1) CB ＋1BA ； (2) AC ＋CB ＋121AA ；(3) 1AA －AC －CB . 解：(1) CB ＋1BA ＝1CA .(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM ＝121BB .又1AA ＝1BB ，所以AC ＋CB ＋121AA ＝AB ＋BM ＝AM .(3) 1AA －AC －CB ＝1CA －CB ＝1BA . 向量1CA ，AM ，1BA 如图所示．8．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′.求证：AC ＋AB '＋AD '＝2AC '.证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC ＝AB ＋AD ，AB '＝AB ＋AA '，AD '＝AD ＋AA '，∴AC ＋AB '＋AD '＝(AB ＋AD )＋(AB ＋AA ')＋(AD ＋AA ') ＝2(AB ＋AD ＋AA ')．又∵AA '＝CC '，AD ＝BC ，∴AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋BC ＋CC '＝AC ＋CC '＝AC '， ∴AC ＋AB '＋AD '＝2AC '.。

课件2：3.1.1 空间向量及其加减运算

叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
(2)与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示．起点是
A，终点是 B 的向量 a 也可以记作
→ AB
.其模记作 |a|或|A→B|
.
(3) 长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0；模为 1 的向量叫做单位向量． (4) 方向相同且模相等的向量称为相等向量．与向量 a___长__度__相__等__方__向_相__反___的向量称为 a 的相反向量，记为－a .
2．向量加减运算时，特别注意相反向量的应用，三角形法则的应用．
3．将一个向量用其他向量线性表示是重点，要特别注意加法“首尾相接”，减法必须同一起点，指向被减．
巩固训练
一、选择题
1．化简下列各式：(1)A→B＋B→C＋C→A；(2)A→B－A→C＋B→D－C→D；
(3)O→A－O→D＋A→D；(4)N→Q＋Q→P＋M→N－M→P.结果为零向量的个数
跟踪练习 3 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 BC，
A1B1 的中点，设D→A＝a，D→C＝b，D→D1＝c，用 a、b、c 表示向量B→1E，C→F.
[解析] B→1E＝B→1B＋B→E＝B→1B＋12B→C ＝－D→D1－12D→A＝－c－12a； C→F＝C→C1＋C→1F＝C→C1＋C→1B1＋12B→1A1 ＝D→D1＋D→A－12D→C＝c＋a－12b.
O→An＝O→A1＋A→1A2＋……An－1An＝a1＋a2＋……＋an. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点上，这时的和向量就为零向量． 2．向量减法满足三角形法则：“同始连终、指向被减”．即以同一点 O 作始点，作O→A＝a，O→B＝b，连结终点 A，B，则 A→B＝b－a，B→A＝a－b.

原创1：3.1.1 空间向量的线性运算

④空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确的命题序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．
[思路探索] 可根据向量相等的两个条件来进行判断，
任何一条不具备，则两向量不相等．
典例分析
【解析】命题①，
据向量相等的定义，要保证两个向量相等，
不仅模要相等，而且方向还要相同，故①错；
命题②符合两个向量相等的条件，②正确；
但不能把二者完全等同起来．
(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，
只要它们的方向不相同即可．
(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，
这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．
(4)真命题，与仅是方向相反，它们的长度是相等的．
典例分析
如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，
③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb
A．1
B．2
C．3
D．0
再见
另解： − − −
= − − +
=( − ) − +
= − +
= +
=0
同起点
跟踪训练
另解：设O为空间中任意一点
则 − − −
=
− − ( − ) −
− − ( − )
D′
并在图中标出化简结果的向量．
(1)ˊ －；(2)
ˊ ＋＋ˊ ˊ .
A′
[思路探索] 利用向量的加减法法则及运算律求解．
A
平行四边形法则
【解析】
ˊˊ
)
(2) (ˊ ＋＋
(1)ˊ － = ˊ +

学案1：3.1.1空间向量的线性运算

3.1.1空间向量的线性运算学习目标：1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；2.理解空间向量共线的充要条件 ;3.运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 学习过程：一.问题情境由于实际问题的需要,在必修4中,我们学习了平面向量,研究了平面向量的概念、运算及其性质,进而解决了平面上有关点,线的位置关系及度量问题. 但向量未必都在同一平面内,如下问题:已知物体受三个大小都为1000N 的力F 1 ，F 2，F 3，且这三个力两两之间的夹角都为60°，则物体所受的合力为多少？是否为F 1→+F 2→+F 3→?此问题中,三个向量不在同一平面内,问题不好直接用平面向量来解决,为此需要将向量由平面向空间推广! 二.数学理论1.平面向量与空间向量的有关概念(1)在平面上，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平面上的向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a 的相反向量记作－a ．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；记作：a ∥b ，0∥a ．由向量的实际背景,平面向量的有关概念都可以移植到空间中 (2)空间向量的有关概念：在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量.空间向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 在空间中，长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a 的相反向量记作－a ．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；记作：a ∥b ，0∥a ．2.平面向量与空间向量的线性运算我们现在研究的是自由向量,大小相等方向相同的向量是相等向量,而与它们的起点无关. 所以任意两个空间向量都可以平移到同一平面内因此,空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.这样,空间两个向量的线性运算的意义与平面向量完全一样.已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b .由O ，A ，B 三点确定一个平面或共线可得，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两个有向线段来表示.空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如下（如图）OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b （三角形法则） OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b （平行四边形法则） BA →＝OA →－OB →＝a －b OP →＝λa (λ∈R )平面向量的线性运算满足下列运算律运算律：⑴加法交换律：a ＋b ＝b ＋a⑵加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) ⑶数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R ) 那么,空间向量的运算是否仍满足上述规律?(1),(3)中只涉及两个向量,显然满足,但(2)中涉及三个向量,在空间中是否成立? 这一规律关系到空间中三个向量和的定义问题? 结合律的验证：三个向量中有共线向量时规律显然成立. 平面向量共线的充要条件在空间也是成立的 3．共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量a ,b (a ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 三.数学运用例1. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)CB →＋BA 1→; (2)AC →＋CB →＋12AA 1→;(3)AA 1→－AC →－CB → 【解】(1)CB →＋BA 1→＝CA 1→(2)因为M 是BB 1的中点, 所以BM →＝12BB 1→，AC →＋CB →＋12AA 1→又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→. 例2.如图，在长方体OADB -CA ’D’B’中，OA ＝3,OB ＝4,OC ＝2,OI ＝OJ ＝OK ＝1,，点E ,F 分别是DB ,D ’B ’的中点，设OI →＝i , OJ →＝j , OK →＝k , ,试用向量i , j , k 表示OE →和OF →.【解】∵BD →＝OA →＝3OI →＝3i ，∴BE →＝12BD →＝32 i .又OB →＝4OJ →＝4j ,∴OE →＝OB →＋BE →＝32i ＋4j .∵EF →＝ BB ’→＝OC →＝2k ，∴OF →＝OE →＋EF →＝32 i ＋4j ＋2k .例3.已知平行六面体ABCD -ABCD .求证：AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝2 AC ’→.证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →， AB ’→＝AB →＋ AA ’→， AD ’→＝AD →＋ AA ’→，∴AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋ AA ’→) +(AD →＋ AA ’→)＝2(AB →＋AD →＋ AA ’→). 又∵ AA ’→＝ CC ’→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋ AA ’→＝AB →＋BC →＋ CC ’→＝AC →＋ CC ’→＝ AC ’→， ∴AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝2 AC ’→. 【课堂练习】一、基础过关 1．下列说法正确的是( )A ．在平面内共线的向量在空间不一定共线B ．在空间共线的向量在平面内不一定共线C ．在平面内共线的向量在空间一定不共线D ．在空间共线的向量在平面内一定共线2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形3．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、MG ，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC →4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 5．如图，空间四边形OABC ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在 OA 上，且OM ＝2MA ，N 是BC 的中点，则MN →等于( ) A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c 6．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向7．化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________.8．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →＝____________. 9.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点．若 AE →＝12OD →＋xOB →－32OA →，则x ＝________.二、能力提升 10.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，设 AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .试用a ，b ，c 表示AE →.11．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 1为A 1B 1C 1D 1的中心．化简：A 1D 1→＋CC 1→－CD →＋12(CB →＋B 1A 1→)． 12.如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1且以八个顶点的两点为始点和终点的向量中， (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量； (4)试写出AA 1→的相反向量．三、探究与拓展13．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．答案1．D 2.B 3.A 4.A 5．B 6．D 7．08．－12a ＋12b ＋c9.1210．【解】 ∵E 是CC 1的中点，∴CE →＝12CC 1→＝12AA 1→＝12c .又AD →＝BC →＝b ，∴AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝a ＋b ＋12c .11．【解】如图所示．∵A 1D 1→＝BC →，－CD →＝AB →，CB →＝C 1B 1→，B 1A 1→＝C 1D 1→， ∴原式＝BC →＋CC 1→＋AB →＋12(C 1B 1→＋C 1D 1→)＝AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1O 1→＝AO 1→.12．【解】 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→3个．(4)向量AA 1→的相反向量有A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →共4个． 13．【解】 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点． ∴BE →＝EC →，EF →＝GD →. ∴AB →＋GD →＋EC → ＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →.故所求向量AD →，AF →如图所示．。

课件4：3.1.1空间向量的线性运算

a∥b.我们规定_零__向__量__与__任__意__向__量__共__线___．
想一想
向量的平行(共线)具有传递性吗？
【答案】不一定具有传递性，即若a∥b，a∥c，不一定有b∥c，但当a为非零向量时，平行(共线) 的传递性成立，即若a≠0，a∥b，a∥c，则b∥c.
3.空间向量的运算 (1)空间任意两个向量都是共面的，它们的加减法和数乘向量运算类似于平面向量的加减法和数乘向量运算．
3.向量的加减法法则空间任意两个向量都是共面的，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法，如图所示．
O→B＝O→A＋A→B＝a＋b
B→A＝O→A－O→B＝a－b
4．向量a与λa的关系.
λ的范围 λ>0 λ＝0 λ<0
方向关系方向相同 λa＝0，其方向是任意的方向相反
模的关系
λa的模是a的模的|λ|倍
证明显然
M→N＝M→A＋A→D＋D→N，
①
M→NN＝－C→N. ①＋②得 2M→N＝A→D＋B→C.
因此M→N＝21(A→D＋B→C).
课堂练习
1.已知在空间四边形 OABC 中，M，N 分别是对边 OA， BC 的中点，点 G 在 MN 上，且 MG＝2GN，如图所示，记O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用向量 a，b，c 表示向量O→G.

2.几类特殊向量 (1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，|0|＝0，单位向量e的模|e|＝1. (2)零向量不是没有方向，它的方向是任意的． (3)注意零向量的书写，必须是0这种形式． (4)两个向量不能比较大小，若两个向量的方向相同且模相等，称这两个向量为相等向量，与向量起点的选择无关．
自学导引
2.空间向量的有关概念 (1)_相__等__向__量__ ： _同__向__ 且 _等__长__ 的有向线段表示同一向量或相等向量． (2)_零__向__量__：_起__点__与__终__点__重__合__的向量叫做零向量，记作0.

空间向量的线性运算3.1.1版块式教案

3 空间向量的运算意义以及在立体几何中的应用
15
3. 结合图形，观察和构造三角形法则和平行四边形法则，引导学生验证理解加法结合律。
4. 课后作业
注释
教学重点
1. 空间向量的运算与运算律； 2. 空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。
教学难点
应用向量解决立体几何中的问题
内容提要
时间
关键项&策略&方法
反思评价
1．空间向量的含义与表示方法
10
1. 空间向量的定义、表示方法及其相等关系都与平面向量相同。 2 .以两个同向向量为对边可构成平行四边形，则这两个向量相等，在空间这两个结论仍然成立。
概况 1. 2. 3. 4.
学科：数学
内容：3.1.1 空间向量的线性运算
教学目标
理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；会用图形说明空间向量加义及运算律解决简单的立体几何中的问题；理解平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间中的平移。
1. 让学生对相关知识加以回顾与总结，加深对知识的理解。 2. 使学生对概念灵活性掌握。
2．空间向量加法、减法、数乘向量及运算律
15
3. 空间向量加法、减法、数乘向量的意 3. 在教学过程中，教师要充分调动学义及运算律与平面向量类似，强调直观生的学习积极性，一定要和学生保说理，结合式与图之间的互相转换，加持“沟通”和“合作”。以巩固与强化，进而加深理解。 4. 在教学过程中， 1 例 2 的难点是例分析思路，教师对学生的个性差异要充分认识，学生的个性差异是客观存在的，教师必须因人施教，因材施教，充分发挥学生的个性特长。

《3.1.1 空间向量及其线性运算》教案

《3.1.1 空间向量及其线性运算》教案一､教学目标:1.运用类比的方法,经历向量及其线性运算由平面向空间推广的过程;2.了解空间向量的概念,掌握空间向量的线性运算及其性质;3.理解空间向量共线(平行)的充要条件及共线向量定理.二､教学重难点:1.空间向量的线性运算及其性质.2.空间向量及其线性运算法则的运算.三､教学方法建议:新授课､启发式——引导发现､合作探究.四､教学过程:(A)类问题(学生自学)1､在平面内既有大小又有方向的量叫平面向量.2､在空间,既有大小又有方向的量叫空间向量.3､空间向量的加法和数乘运算满足的运算律.加法交换律: a b b a ＋＝＋;加法结合律:()() a b c a b c ＋＋＝＋＋;数乘分配律:(λλλ a b a b ＋)＝＋.4､共线向量定理:空间任意两个向量 a , b ( a ≠0 ), a //b 的充要条件是存在实数λ,使 b =λ a .(B)类问题(学生练习,教师点拨)1､如图,在三棱柱111ABC A B C -中,M 是1BB 的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量:(1)1 CB BA ＋; (2)112AC CB AA ＋＋; (3)1 AA AC CB －－.(C)类问题(学生思考,教师点拨)如图,在长方体111OADB CA D B 中,OA=3,OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=1,点E,F 分别是DB,D1B1的中点.设 OI i ＝, OJ j ＝, OK k ＝,试用向量 i , j , k 表示OE 和 OF.五､问题解决情况检测:(A)类问题检测(B)类问题检测正方体AC1中,点E,F 分别为棱BC 和A1D1的中点,求证:四边形DEB1F 为平行四边形.(C)类问题检测已知空间四边形ABCD,连结AC,BD,设M,G 分别是BC,CD 的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量:(1) AB BC CD ＋＋; (2)1()2AB BD BC ＋＋. 六､教学反思:。

(新教材)空间向量及其线性运算

（新教材）第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算课程标准学习目标1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算1.类比平面向量,能直接获得空间向量的概念,以及零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量的概念.2.结合立体几何与空间向量的特征,知道共面向量的概念.3.在平面向量的基础上,能应用平行四边形法则和三角形法则进行空间向量的加减运算.4.类比平面向量,能进行空间向量的数乘运算知识点一空间向量及有关概念名称定义表示空间向量在空间,具有和的量①几何表示法:空间向量用表示;②字母表示法:用字母a,b,c,…表示,若向量的起点是A,终点是B,也可记作AB⃗⃗⃗⃗⃗ ;③图形表示法:向量的模(长度)空间向量a的,也就是表示向量a的有向线段AB的或零向量长度为的向量单位向量模为的向量相反向量与向量a相等而方向的向量向量a的相反向量是共线(平行)向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或,那么这些向量叫作共线向量或平行向量相等向量相同且模相等的向量叫作相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或规定:零向量与任意向量,即对于任意向量a,都有.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)当有向线段的起点A与终点B重合时,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0.()(2)在空间中,单位向量唯一. ()(3)同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小. ()(4)若向量a与b都是单位向量,则a=b.()(5)在空间中,互为相反向量的两个向量必共线. ()知识点二空间向量的线性运算1.空间向量的自由性任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量,这样任意两个的运算就可以转化为的运算.2.空间向量的线性运算运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量的运算法则法则(1)加法交换律: a+b=;(2)加法结合律: (a+b)+c=减法减去一个向量相当于加上这个向量的法则a-b=数乘实数λ与向量a 的积是一个 ,这种运算叫作向量的 ,记作(1)|λa|= .(2)当λ>0时,λa 与a 的方向 ;当λ<0时,λa 与a 的方向 ;当λ=0时,λa=(1)对向量加法的分配律: λ(a+b )= ;(2)对实数加法的分配律: (λ+μ)a=【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ( )(2)有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变. ( )2.对于三个不共面的向量a ,b ,c ,在空间中取任意一点O ,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,以OA ,OB ,OC 为过同一顶点的三条棱作平行六面体,则a ,b ,c 的和等于以O 为起点的平行六面体的所表示的向量.3.空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同?平面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗?知识点三空间向量共线与共面的充要条件 1.空间两向量共线的充要条件对任意两个空间向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使 . 2.空间直线的确定 (1)直线的方向向量的定义在直线l 上取 ,把与向量a 的非零向量称为直线l 的方向向量. (2)空间直线的确定空间直线可以由其上一点和它的确定. 3.共面向量的定义 (1)向量与直线平行图1-1-1如图1-1-1,如果表示向量a 的有向线段OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线OA 与直线l 或 ,那么称向量a 平行于直线l. (2)向量与平面平行如图1-1-1,如果表示向量a 的有向线段OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线OA 或 ,那么称向量a 平行于平面α. (3)共面向量平行于同一个平面的向量,叫作 . 4.共面向量定理如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使 .【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若p=xa+yb ,则p 与a ,b 共面. ( ) (2)若p 与a ,b 共面,则p=xa+yb. ( ) (3)若MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则P ,M ,A ,B 共面. ( ) (4)若P ,M ,A ,B 共面,则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ( )2.一条直线的方向向量有多少个?探究点一空间向量的有关概念及应用例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是 ( ) A .若向量a ,b 平行,则a ,b 所在的直线平行 B .若|a|=|b|,则a ,b 的长度相等而方向相同或相反 C .若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >CD⃗⃗⃗⃗⃗ D .若两个非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足AB⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)如图1-1-2所示,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=4,AD=2,AA 1=1,以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中,单位向量共有个,模为√5的所有向量为 .图1-1-2变式 (多选题)在如图1-1-3所示的平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,下列各对向量是相反向量的是( )图1-1-3A .AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B .AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D .CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [素养小结]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点: (1)关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即大小和方向.(2)注意点:①零向量不是没有方向,它的方向是任意的.②单位向量方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1.③两个向量的模相等,不一定是相等向量;反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,而且方向相同.若两个向量的模相等,方向相反,则它们为相反向量. 探究点二空间向量的线性运算例2 (1)如图1-1-4所示,在三棱锥O-ABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )图1-1-4A .14a+13b+13c B .-14a+13b+13c C .-34a+12b+12c D .34a+12b+12c(2)(多选题)如图1-1-5所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,下列各式中运算的结果为AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的有( )图1-1-5A .(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D .(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗变式如图1-1-6所示,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 的中点. (1)化简:A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (2)用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .图1-1-6[素养小结]空间向量线性运算的技巧:(1)向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量的方向,必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果.(3)利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量.探究点三空间向量的共线、共面问题例3 (1)已知空间向量a ,b ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+6b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7a-2b ,则一定共线的三点是 ( ) A .A ,B ,D B .A ,B ,C C .B ,C ,D D .A ,C ,D(2)若非零空间向量e 1,e 2不共线,则使2ke 1-e 2与e 1+2(k+1)e 2共线的k 的值为 .例4 如图1-1-7所示,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直,点M ,N 分别在BD ,AE 上,且BM=13BD ,AN=13AE.证明:MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.图1-1-7变式1 如图1-1-8所示,四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形且不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点,判断CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否共线.图1-1-8变式2 已知A ,B ,C 三点不共线,点M 满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 三个向量是否共面? (2)点M 是否在平面ABC 内? [素养小结](1)判断向量共线的方法:利用已知条件找到实数λ,使a=λb (b ≠0)成立,同时要运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简得出a=λb (b ≠0),从而得出a ∥b.(2)证明空间三点共线的思路:对于空间三点P ,A ,B ,可通过证明下列结论来证明P ,A ,B 三点共线.①存在实数λ,使PA⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立. ②对空间任一点O ,有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (t ∈R). ③对空间任一点O ,有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (x+y=1). (3)证明空间三向量共面或四点共面的方法:①向量表示:证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb ,则向量p ,a ,b 共面.②若存在有序实数组(x ,y ,z )使得对于空间任一点O ,有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且x+y+z=1成立,则P ,A ,B ,C 四点共面.1.下列说法中正确的是 ( )A .若|a|=|b|,则a ,b 的长度相等,方向相同B .若向量a 是向量b 的相反向量,则|a|=|b|C .若向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则点A ,B ,C ,D 必在同一条直线上 D .有向线段就是向量,向量就是有向线段 2.在三棱锥O-ABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A .OA⃗⃗⃗⃗⃗ B .AB⃗⃗⃗⃗⃗ C .OC⃗⃗⃗⃗⃗ D .AC⃗⃗⃗⃗⃗ 3.(多选题)[2020·安庆高二月考] 下列结论正确的是 ( ) A .向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度与向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等 B .若向量a 与向量b 平行,则向量a 与向量b 的方向相同或相反 C .两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同 D .两个有相同终点的向量,一定是共线向量4.如图1-1-9,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,M 为A 1C 1的中点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则下列向量与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的是 ( )图1-1-9A .-12a+12b+c B .12a+12b+c C .-12a-12b+c D .12a-12b+c5.如图1-1-10,在平行六面体ABCD-EFGH 中,若AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3z DH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y+z= .图1-1-10答案解析知识点一⃗⃗⃗⃗⃗ |001长度相反-a重合方大小方向有向线段大小长度|a||AB向相等向量平行0∥a诊断分析⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度为(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√[解析] (1)当有向线段的起点A与终点B重合时,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0.0,故AB(2)模为1的向量称为单位向量,显然单位向量不唯一.(3)向量是一个“量”,而不是一个“数”,所以不能比较大小.(4)向量a与b都是单位向量,其模相等,但是其方向不一定相同,所以a与b不一定相等.(5)模相等,且方向相反的向量为相反向量,显然,互为相反向量的两个向量必共线.知识点二1.空间向量平面向量2.和三角形平行四边形b+a a+(b+c)相反向量三角形a+(-b)向量数乘运算λa|λ||a|相同相反0λa+λbλa+μa诊断分析1.(1)√(2)√2.体对角线3.解:因为任意两个空间向量都可以通过平移转化到同一个平面内,所以任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算,由此可知,空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同.平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用.知识点三1.a=λb2.(1)非零向量a平行(2)方向向量3.(1)平行重合(2)平行于平面α在平面α内(3)共面向量4.p=xa+yb诊断分析1.(1)√(2)×(3)√(4)×[解析] (1)若p=xa+yb,则p与a,b一定共面.(2)当a ,b 共线,而p 与a ,b 不共线时,p=xa+yb 是不成立的.(3)若MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,又因为MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点M ,所以P ,M ,A ,B 共面. (4)当MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,而MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线时,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不成立. 2.解:根据直线方向向量的定义可知,一条直线有无数个方向向量. 【课中探究】探究点一例1 (1)D (2)8 AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [解析] (1)A 中,若向量a ,b 平行,则a ,b 所在的直线平行或重合,故A 错误;B 中,|a|=|b|只能说明a ,b 的长度相等,而方向不确定,故B 错误;C 中,向量作为矢量不能比较大小,故C 错误.故选D .(2)因为AA 1=1,所以向量AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模均为1,又其他向量的模均不为1,故共有8个单位向量.长方体的左、右两个侧面的对角线长均为√5,故模为√5的向量有AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .变式 CD [解析] AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是相反向量,CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是相反向量.故选CD .探究点二例2 (1)C (2)ABD [解析] (1)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OC⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-34a+12b+12c ,故选C .(2)对于A,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;对于B,(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;对于C,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,不符合题意;对于D,(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故选ABD .变式 (1)A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2)12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [解析] (1)A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(2)OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .探究点三例3 (1)A (2)-12 [解析] (1)BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-5a+6b )+(7a-2b )=2a+4b=2(a+2b )=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B ,所以A ,B ,D 三点一定共线. (2)若2ke 1-e 2与e 1+2(k+1)e 2共线,则存在实数λ,使得2ke 1-e 2=λ[e 1+2(k+1)e 2],又非零空间向量e 1,e 2不共线,∴{2k =λ,−1=2λ(k +1),∴k=-12.例4 证明:因为M 在BD 上,且BM=13BD ,所以MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理可得AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DE ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DE ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,所以根据向量共面的充要条件可知MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面. 变式1 解:∵M ,N 分别是AC ,BF 的中点,∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ -12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ -12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 变式2 解:(1)由题意知OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴向量MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面. (2)由(1)知向量MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面, ∵它们有共同的起点M ,且A ,B ,C 三点不共线,∴M ,A ,B ,C 四点共面,即点M 在平面ABC 内.【课堂评价】1.B [解析] |a|=|b|,只是说明a ,b 的长度相等,但方向不确定,A 错误;相反向量的方向相反,长度相等,B 正确;共线向量所在直线可以重合,也可以平行,C 错误;向量可用有向线段来表示,但并不是有向线段,D 错误.2.C [解析] OA⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选C . 3.AC [解析] 对于A,显然|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,故A 正确;对于B,当a 为零向量时,其方向是不确定的,但a 与b 平行,故B 错误;对于C,两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同,故C 正确;对于D,终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反,故D 错误.故选AC .4.A [解析] 因为M 是A 1C 1的中点,所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12b+c.故选A . 5.56 [解析] 由题意知AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,对照已知式子可得x=1,-2y=1,3z=1,故x=1,y=-12,z=13,从而x+y+z=56.。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 3.1.1 空间向量的线性运算》

教学设计本节内容是第三章《空间向量与立体几何》的第一节，由于是起始节，所以这节课中也包含了章引言的内容。

章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算。

向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用。

本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。

本小节的主要内容可分为两部分：一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。

在数学4第二章平面向量的基础上，类比的引入了空间向量的概念、表示方法、相同或相等关系，空间向量的加法、减法、数乘及这三种运算的运算律。

最后举例说明了这些知识的应用。

本小节是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起承前启后的作用。

本节内容是第三章《空间向量与立体几何》的第一节，由于是起始节，所以这节课中也包含了章引言的内容。