上海市春季高考数学试卷及答案

合集下载

上海市春季高考数学试卷(含答案).doc

2013年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。

[来源:学科网ZXXK]1．函数2log (2)y x =+的定义域是 2．方程28x=的解是 3．抛物线28y x =的准线方程是 4．函数2sin y x =的最小正周期是5．已知向量(1 )a k =r，，(9 6)b k =-r ，。

若//a b r r ，则实数 k = 6．函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 7．复数23i +（i 是虚数单位）的模是8．在ABC ∆中，角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===o，，，则b= 9．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为10．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）。

11．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S 。

12．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分。

13．展开式为ad-bc 的行列式是（）D 1 C 1B 1A 1D C AB（A ）a bd c (B)a cb d (C)a db c (D)b ad c14．设-1()f x 为函数()f x x =的反函数，下列结论正确的是（）(A) 1(2)2f-= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f-= (D) 1(4)4f -=15．直线2310x y -+=的一个方向向量是（）(A) (2 3)-， (B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16．函数12()f x x -=的大致图像是（）17．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（） (A)11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<- 18．若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称 19． 10(1)x +的二项展开式中的一项是（）（A ）45x （B ）290x （C ） 3120x （D ）4252x 20．既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（）（A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（）（A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22．设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（）（A ）u Z N U ð （B ）u N N I ð （C ）()u u ∅痧（D ）{0}u ð23．已知 a b c R ∈、、，“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”0x yxyBA0 x yC0 x yD的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件 24．已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

2023年上海市春季高考数学试卷-含答案详解

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2023年上海市春季高考数学试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四总分得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共11小题，共53.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若直线2x +y −1=0是圆(x −a)2+y 2=1的一条对称轴，则a =( )A. 12B. −12C. 1D. −12. 已知圆C ：x 2+y 2=4，直线l ：y =kx +m ，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =( )A. ±2B. ±√2C. ±√3D. ±33. 已知圆M:x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线l:2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，且切点为A ，B ，当|PM|·|AB|最小时，直线AB 的方程为( )A. 2x −y −1=0B. 2x +y −1=0C. 2x −y +1=0D. 2x +y +1=0 4. 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x −y −3=0的距离为( )A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√555. 若直线l 与曲线y =√x 和圆x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1D. y =12x +126. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A. 4B. 5C. 6D. 77. 直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x −2)2+y 2=2上，则ΔABP 面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C. [√2,3√2]D. [2√2,3√2]8. 下列函数是偶函数的是( ) A. y =sinxB. y =cosxC. y =x 3D. y =2x9. 根据下图判断，下列选项错误的是( )A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小10. 如图，P 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1边A 1C 1上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面( )A. DD 1B. ACC. AD 1D. B 1C……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………11. 已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k >2022，都有|S k |>|S k+1|，则下列说法正确的是( )A. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。

2020年上海市春季高考数学试卷

(0, ) (0, ) 2020 年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分) 1．（4 分）集合 A = {1 ， 3}， B = {1 ，2， a }，若 A ⊆ B ，则 a = 3 ．【分析】利用集合的包含关系即可求出 a 的值．【解答】解： 3∈ A ，且 A ⊆ B ，∴3∈ B ，∴ a = 3 ，故答案为：3．【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题．2．（4 分）不等式 1 > 3 的解集为 1．(0, ) x 3【分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．【解答】解：由 1 > 3 得1 - 3x> 0 ，x x则 x (1 - 3x ) > 0 ，即 x (3x - 1) < 0 ，解得0 < x < 1，3所以不等式的解集是 1，3故答案为： 1．3【点评】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题． 3．（4 分）函数 y = tan 2x 的最小正周期为π．2【分析】根据函数 y = tan ωx 的周期为π，求出函数 y = tan 2x 的最小正周期．ω【解答】解：函数 y = tan 2x 的最小正周期为π，2 故答案为： π．2【点评】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题． 4．（4 分）已知复数 z 满足 z + 2z = 6 + i ，则 z 的实部为 2 ．【分析】设 z = a + bi ， (a , b ∈ R ) ．根据复数 z 满足 z + 2z = 6 + i ，利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设 z = a + bi ， (a , b ∈ R ) ．复数 z 满足 z + 2z = 6 + i ，∴3a - bi = 6 + i ，可得： 3a = 6 ， -b = 1 ，解得a = 2 ， b = 1 ．则 z 的实部为 2．故答案为：2．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．（4 分）已知3sin 2x = 2 sin x ， x ∈ (0,π) ，则 x =arccos 1．3【分析】根据三角函数的倍角公式，结合反三角公式即可得到结论．【解答】解： 3sin 2x = 2sin x ， 6 sin x cos x = 2 sin x ，x ∈ (0,π) ，∴sin x ≠ 0 ， ∴cos x = 1，3故 x = arccos 1．3 故答案为： arccos 1．3【点评】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键． 6．（4 分）若函数 y = a 3x + 13x 为偶函数，则 a =1 ．【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得 a 3(- x ) +1 3(- x )= a 3x + 1 ，变形分析可得答案．3x 【解答】解：根据题意，函数 y = a 3x + 13x 为偶函数，则 f (-x ) = f (x ) ，2 2 2 5 5AD AB AD AB 12即 a 3(- x ) +1 3(- x )= a 3x + 1 ，3x变形可得： a (3x - 3- x ) = (3x - 3- x ) ，必有 a = 1 ；故答案为：1．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．7．（5 分）已知直线l 1 : x + ay = 1， l 2 : ax + y = 1 ，若l 1 / /l 2 ，则l 1 与l 2 的距离为．【分析】由l 1 / /l 2 求得 a 的值，再根据两平行线间的距离计算即可．【解答】解：直线l 1 : x + ay = 1， l 2 : ax + y = 1 ，当l / /l 时， a 2 - 1 = 0 ，解得 a = ±1 ；12当 a = 1 时l 1 与l 2 重合，不满足题意；当 a = -1 时l 1 / /l 2 ，此时l 1 : x - y - 1 = 0 ， l 2 : x - y + 1 = 0 ；则l 与l 的距离为 d == ．12 + (-1)2故答案为：．【点评】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题．8．（5 分）已知二项式(2x + x )5 ，则展开式中 x 3 的系数为 10 ．【分析】由C 4(2x )1 ( x )4 = 10x 3 ，可得到答案．【解答】解： C 4 (2x )1 ( x )4 = 10x 3 ，所以展开式中 x 3 的系数为 10．故答案为：10．【点评】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题．9．（5 分）三角形 ABC 中，D 是 BC 中点，AB = 2 ，BC = 3 ，AC = 4 ，则 = 19 ．【分析】根据余弦定理即可求出cos ∠BAC = 11 ，并得出 = 1 4( AB + AC ) AB ，然后进16 2由余弦定理得， AB AC 行数量积的运算即可．【解答】解：在∆ABC 中， AB = 2 ， BC = 3 ， AC = 4 ，AB 2 + AC 2 - BC 24 + 16 - 9 11∴ cos ∠BAC === 2AB AC2 ⨯ 2 ⨯ 4 16∴ = 2 ⨯ 4 ⨯ 11 = 11 ，且 D 是 BC 的中点，∴ AD AB = 16 21 ( A B + AC ) A B212 = ( AB 2+ AB A C ) = 1 ⨯ (4 + 11) 2 2 = 19 ． 4故答案为： 19．4【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．10．（5 分）已知 A = {-3 ， -2 ， -1 ，0，1，2， 3} ， a 、 b ∈ A ，则| a |<| b | 的情况有 18种．【分析】先讨论 a 的取值，得到对应b 的值，再整体求和即可．【解答】解：当 a = -3 ，0 种，当 a = -2 ，2 种，当 a = -1 ，4 种；当 a = 0 ，6 种，当 a = 1 ，4 种；当 a = 2 ，2 种，当 a = 3 ，0 种，，6 3x故共有：2 + 4 + 6 + 4 + 2 =18 ．故答案为：18．【点评】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目．11．（5分）已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足AnAn +1An +1An +2=0(n=1，2，3)，2| AnAn+1| | An+1An+2|=n +1(n =1 ，，3) ，则| A1A5| 的最小值为．【分析】可设 2 3x 8| A1A2|=x ，从而据题意可得出| A2A3|=x，|A3A4|=2,| A4A5|=3x，并设A1(0, 0) ， x 2 x2 4根据是求| A1A5| 的最小值，从而可得出 A5(-2, -3x) ，从而可求出| A1A5| =根据基本不等式即可求出| A1A5| 的最小值．4+9x2，从而【解答】解：设 2 3x 8| A1A2|=x ，则| A2A3|=x，| A3A4|=设A1(0, 0) ，如图，求| A1A5| 的最小值，则：2,| A4A5|=3x，A (x, 0) ，2-x 2 ，A (-x , -2 ) ，2A3(x,x), A4( , )52 22 x2 2 x22 3x4 2 x2 4 2 3∴| A1 A5 | = (-2)∴+ (-)3x6=4+9x23，当且仅当4=9x2，即 x = 时取等号，3| A1A5| 的最小值为3．故答案为：6 ．3【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式2x -1 x + a -1 x + a - 1 = ( 求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．12．（5 分）已知 f (x ) = ，其反函数为 f -1 (x ) ，若 f -1 (x ) - a = f (x + a ) 有实数根，则 a 的取值范围为 [ 3， +∞) ．4【分析】因为 y = f -1 (x ) - a 与 y = f (x + a ) 互为反函数若 y = f -1 (x ) - a 与 y = f (x + a ) 有实数根⇒ y = f (x + a ) 与 y = x 有交点⇒ 方程 = x ，有根．进而得出答案．【解答】解：因为 y = f -1 (x ) - a 与 y = f (x + a ) 互为反函数，若 y = f -1 (x ) - a 与 y = f (x + a ) 有实数根，则 y = f (x + a ) 与 y = x 有交点，所以 = x ，即 a = x 2 - x + 1 = (x - 1 )2 + 3 3，2 4 4故答案为：[ 3， +∞) ．4【点评】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题．二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分) 3n + 5n13．（5 分）计算： lim n -1n -1)n →∞ 3 + 5A ．3B ． 53C ． 35D ．5【分析】把 3n + 5n3n -1 + 5n -1 分子分母同时除以5n -1 ，则答案可求．n -1 ( ) 3 y【解答】解： lim 3n + 5nn -1= lim 3( ) + 5 5= 5 ．故选： D ．n →∞ 3 + 5 n →∞ 3 n -1 +15【点评】本题考查数列极限的求法，是基础的计算题． 14．（5 分）“α= β”是“ sin 2 α+ cos 2 β= 1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【分析】容易看出，由α= β可得出sin 2 α+ cos 2 β= 1 ，而反之显然不成立，从而可得出 “α= β”是“ sin 2 α+ cos 2 β= 1”的充分不必要条件．【解答】解：（1）若α= β，则sin 2 α+ cos 2 β= sin 2 α+ cos 2 α= 1 ，∴ “α= β“是“ sin 2 α+ cos 2 β= 1 “的充分条件；（2）若sin 2 α+ cos 2 β= 1 ，则sin 2 α= sin 2 β，得不出α= β，∴ “α= β”不是“ sin 2α+ cos 2β= 1”的必要条件， ∴ “α= β”是“ sin 2α+ cos 2β= 1”的充分非必要条件．故选： A ．【点评】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义， sin 2 α+ cos 2 α= 1 ，正弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题．15．（5 分）已知椭圆 x 2 + 2 2= 1 ，作垂直于 x 轴的垂线交椭圆于 A 、B 两点，作垂直于 y 轴的垂线交椭圆于C 、 D 两点，且 AB = CD ，两垂线相交于点 P ，则点 P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线【分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线，或利用求解轨迹方程，推出结果即可．n -1n n【解答】解： AB ≤ 2 ，∴CD ≤ 2 ，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，设 A (m ,t ) ， D (t , n ) ，所以 P (m , n ) ，m2 + 2t 2 22 m 2因为 t 2 = 1， + n 2 = 1 ，消去t 可得： 2n - = 1 ，2故选： B ．【点评】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题．16．（5 分）数列{a } 各项均为实数，对任意 n ∈ N * 满足 a= a ，且行列式 ana n +1 = c 为 nn +3 na a n + 2 n +3定值，则下列选项中不可能的是()A ． a 1 = 1 ， c = 1B ． a 1 = 2 ， c = 2C ． a 1 = -1 ， c = 4D ． a 1 = 2 ， c = 0【分析】化简行列式，由已知条件，作差化简得．【解答】解：行列式 an a n +1 = a a - a a = c ，a a n n +3n +1 n + 2 n + 2 n +3对任意 n ∈ N * 满足 a n +3 = a n ，⎧⎪a 2- a a = c ∴ ⎨n n +1 n + 2， ⎪a 2 - a a = c ⎩ n +1 n + 2 n +3作差整理得： a n +1 = a n （常数列， c = 0) ，或 a n + a n +1 + a n + 2 = 0 ，当 a + a + a= 0 ，则 a + a= -a 及 a a= a 2 - c ，nn +1n + 2n +1n + 2nn +1 n +2n∴方程 x 2+ a x + a 2- c = 0 有两根 a n +1 ， a n + 2 ，n n n∴△=a2 - 4(a2 -c) = 4c - 3a2 > 0 ，因为B 错，故选：B ．【点评】本题考查行列式，以及方程求解，属于中档题．三、解答题（本大题共5 题，共14+14+14+16+18＝76 分)17．（14分）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，边长为3，PD⊥平面ABCD．（1）若PC = 5 ，求四棱锥P -ABCD 的体积；（2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．【分析】（1）利用已知条件求出，棱锥的高，然后求解棱锥的体积即可．（2）由已知中四棱锥P -ABCD 的底面是边长为3 的正方形，PD ⊥平面ABCD ．异面直线AD 与PB 所成角为60︒，可得∆PBC 为直角三角形，且∠PBC = 60︒，BC = 3 ，代入求出PC 后，解直角∆PDC 可得答案．【解答】解：（1） PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC．CD = 3 ，∴PC = 5 ，∴PD = 4 ，∴VP -ABCD =1⨯ 32 ⨯ 4 = 12 ，3所以四棱锥P -ABCD 的体积为12．（2） ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥PD ， BC ⊥CD又 PD CD = D ∴ BC ⊥ 平面 PCD∴ BC ⊥ PC异面直线 AD 与 PB 所成角为60︒ ， BC / / AD∴在Rt ∆PBC 中， ∠PBC = 60︒ ， BC = 3故 PC = 3在Rt ∆PDC 中， CD = 3∴ PD = 3【点评】本题考查几何体的体积，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力，是中档题．18．（14 分）已知各项均为正数的数列{a n } ，其前 n 项和为 S n ， a 1 = 1 ．（1）若数列{a n } 为等差数列， S 10 = 70 ，求数列{a n } 的通项公式；（2）若数列{a } 为等比数列， a = 1，求满足 S > 100a 时 n 的最小值．n48n n【分析】（1）设等差数列的公差为 d ，运用等差数列的求和公式，解方程可得 d ，进而得到所求通项公式；（2）设等比数列的公比为 q ，由等比数列的通项公式可得 q ，再由等比数列的求和公式，解不等式可得 n 的最小值．【解答】解：（1）数列{a n } 为公差为 d 的等差数列， S 10 = 70 ， a 1 = 1 ，可得10 + 1 ⨯10 ⨯ 9d = 70 ，解得 d = 4 ，则 a n 2 3 = 1 + 4 (n - 1) = 4 n - 1；3 3 3（2）数列{a } 为公比为 q 的等比数列， a = 1， a = 1 ，n可得 q 3 = 1 ，即 q = 1，4 81 8 2321 ⎨ 11 n -11 - ( ) 2n -1则 a n = ( 2) ， S n = 1 - 1 2= 2 - ( ) ， 2 S > 100a ，即为 2 - 1 n -1 > 100 1n -1 ，( ) ( ) n n2 2即 2n > 101 ，可得 n 7 ，即 n 的最小值为 7．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19．（14 分）有一条长为 120 米的步行道OA ， A 是垃圾投放点ω1 ，若以O 为原点，OA 为 x 轴正半轴建立直角坐标系，设点 B (x , 0) ，现要建设另一座垃圾投放点ω2 (t , 0) ，函数 f t (x ) 表示与 B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若t = 60 ，求 f 60 (10) 、 f 60 (80) 、 f 60 (95) 的值，并写出 f 60 (x ) 的函数解析式；（2）若可以通过 f t (x ) 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点ω2 建在何处才能比建在中点时更加便利？【分析】（1）利用题目所给定义表示出 f 60 (x ) = {| 60 - x | ，| 120 - x |}min ，分类讨论可得 f 60 (x ) ；（2）利用题意可得 f (x ) = ⎧| t - x |, x 0.5(120 + t ) ，表示出 f (x ) 与坐标轴围成的面积，进 t ⎩|120 - x |, x > 0.5(120 + t ) t而表示出面积不等式，解出不等式即可【解答】解：（1）投放点ω1 (120, 0) ，ω2 (60,0) ， f 60 (10) 表示与 B (10, 0) 距离最近的投放点（即ω2 ) 的距离，所以 f 60 (10) =| 60 - 10 |= 50 ，同理分析， f 60 (80) =| 60 - 80 |= 20 ， f 60 (95) =| 120 - 95 |= 25 ，由题意得， f 60 (x ) = {| 60 - x | ， | 120 - x |}min ，则当| 60 - x | |120 - x | ，即 x 90 时， f 60 (x ) =| 60 - x |；当| 60 - x |>|120 - x | ，即 x > 90 时， f 60 (x ) =| 120 - x |；n2 ⎨ ⎨ 00 y0 y 综上 f 60 (x ) = ⎧| 60 - x |, x 90 ；⎩|120 - x |, x > 90（2）由题意得 f t (x ) = {| t - x | ，| 120 - x |}min ，所以 f (x ) = ⎧| t - x |, x 0.5(120 + t ) ，则 f (x ) 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示， t ⎩|120 - x |, x > 0.5(120 + t ) t所以 S = 1 t 2 + 1 (120 - t )2 = 3t 2 - 60t + 3600 ，2 4 4由题意， S < S (60) ，即 3t 2 - 60t + 3600 < 2700 ，4解得 20 < t < 60 ，即垃圾投放点ω2 建在(20,0) 与(60, 0) 之间时，比建在中点时更加便利．【点评】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题． 20．（16 分）已知抛物线 y 2 = x 上的动点 M (x ， y ) ，过 M 分别作两条直线交抛物线于P 、 Q 两点，交直线 x = t 于 A 、 B 两点．（1）若点 M 纵坐标为，求 M 与焦点的距离；（2）若t = -1 ， P (1,1) ， Q (1, -1) ，求证： y A y B 为常数；（3）是否存在t ，使得 y A y B = 1且 y P y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）点 M 的横坐标 x = ( 2)2 = 2 ，由 y 2 = x ，得 p = 1，由此能求出 M 与焦点的M距离．（2）设 M ( y 2 , y ) ，直线 PM : y - 1 = 2y 0 - 1 (x - 1) ，当 x = -1 时， y= y 0 - 1，同理求出0 0y = - y 0 - 1 ，由此能证明 y y y 2- 1 为常数． A +1 B - 1A B2 0 0 0M0 0 0 0 0 y - t y - t 0 0 y 0 y （ 3 ）解设 M ( y 2 , y ) ， A (t , y ) ，直线 MA : y - y =y 0 - y A(x - y 2 ) ，联立 y 2 = x ，得Ay 2 - t y 2- t 0y 2- ty y - t 0y y - 1 y 2 - 0y + 0 y - y 2 = 0 ，求出 y = 0 A ，同理得 y = 0 B，由此能求出 y - y y - y 0 0 P y - y Qy - yAAAB存在t = 1 ，使得 y A y B = 1且 y P y Q 为常数 1．【解答】解：（1）解：抛物线 y 2 = x 上的动点 M (x ， y ) ，过 M 分别作两条直线交抛物线于 P 、Q 两点，交直线 x = t 于 A 、 B 两点．点 M 纵坐标为，∴点 M 的横坐标 x = ( 2)2= 2 ， y 2 = x ，∴ p = 1，2∴ M 与焦点的距离为 MF = x M + p = 2 + 1 = 9．2 4 4（2）证明：设 M ( y 2, y ) ，直线 PM : y - 1 = y 0 - 1 (x - 1) ， y 2- 1当 x = -1 时， y = y 0 - 1 ，A+ 1 直线QM : y + 1 = y 0 + 1 (x - 1) ， x = -1 时， y = - y 0 - 1，∴ y y = -1 ，y 2- 1∴ y A y B 为常数-1 ．B - 1 A B （3）解：设 M ( y 2 , y ) ， A (t , y ) ，直线 MA : y - y =y 0 - y A(x - y 2 ) ，Ay 2- t联立 y 2 2 2= x ，得 y 2 - 0 y + 0 y - y 2 = 0 ， y - y y - y 0 0AAy 2- t y y - t ∴ y + y = 0，即 y = 0 A ， 0 p 0- y A y 0 - y A 同理得 y = y 0 y B - 1 ， y 0 - y By A y B = 1 ，y 2 - ty ( y + y ) + t 2∴ y y = 00 A B ， P Q y 2- y ( y A + y B ) + 10 y PQ要使yP yQ为常数，即t = 1 ，此时yPyQ为常数1，∴存在t = 1 ，使得y A y B = 1且y P y Q 为常数1．【点评】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（18分）已知非空集合A ⊆R ，函数y=f(x)的定义域为D，若对任意t∈A且x∈D，不等式f (x) f (x +t) 恒成立，则称函数f (x) 具有A 性质．（1）当A = {-1} ，判断f (x) =-x 、g(x) = 2x 是否具有A 性质；（2）当A = (0,1) ，f (x) =x +1 ，x ∈[a ，+∞) ，若f (x) 具有A 性质，求a 的取值范围；x（3）当A = {-2 ，m}，m ∈Z ，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值．【分析】（1）利用函数的单调性结合新定义，逐个判断即可；（2）依题意，f (x) =x +1 (x a) 为增函数，由双勾函数的图象及性质即得解；x（3）由题意，f (2k )=p(k ∈Z ) ，f (2n -1) =q(n ∈Z ) ，又为常值函数，故f (2k )=f (2n -1) ，由此即可得解．【解答】解：（1） f(x)=-x为减函数，∴f (x) <f (x - 1) ，∴f (x) =-x 具有A 性质；g(x) = 2x 为增函数，∴g(x) >g(x - 1) ，∴g(x) = 2x 不具有A 性质；（2）依题意，对任意t ∈ (0,1) ，f (x) f (x +t) 恒成立，∴f(x)=x+1(x a)为增函数（不可能为常值函数），x由双勾函数的图象及性质可得a 1 ，当a 1 时，函数单调递增，满足对任意t ∈ (0,1) ，f (x) f (x +t) 恒成立，综上，实数a 的取值范围为[1 ，+∞) ．（3） D 为整数集，具有A 性质的函数均为常值函数，∴当t =-2 ，f (x) =f (x - 2) 恒成立，即f (2k ) =p(k ∈Z ) ，f (2n -1) =q(n ∈Z ) ，由题意，p =q ，则f (2k ) =f (2n -1) ，当x = 2k ，f (x) =f (x + 2n - 2k -1) ，∴m = 2n - 2k - 1(n, k ∈Z ) ，当x = 2n -1 ，f (x) =f (x + 2k - 2n +1) ，∴m = 2k - 2n +1(n, k ∈Z ) ，综上，m 为奇数．【点评】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力，属于中档题．。

2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)

2020年上海市春季高考数学试卷2020.01一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.集合{1,3}A ，{1,2,}B a ，若A B ，则a 2.不等式13x的解集为 3.函数tan 2y x 的最小正周期为4.已知复数z 满足26i z z ，则z 的实部为5.已知3sin 22sin x x ，(0,)x ，则x6.若函数133x xy a为偶函数，则a 7.已知直线1:1l x ay ，2:1l ax y ，若1l ∥2l ，则1l 与2l 的距离为8.已知二项式5(2x ，则展开式中3x 的系数为9.三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB ，3BC ，4AC ，则AD AB10.已知{3,2,1,0,1,2,3}A ，a 、b A ，则||||a b 的情况有种11.已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A（1,2,3n ），112||||1n n n n A A A A n（1,2,3n ），则15||A A 的最小值为12.已知()f x ，其反函数为1()f x ，若1()()f x a f x a 有实数根，则a 的取值范围为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.计算：1135lim 35n nn n n （） A.3 B.53C.35D.514.“ ”是“22sin cos 1 ”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.已知椭圆2212x y ，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD ，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线16.数列{}n a 各项均为实数，对任意n *N 满足3n n a a ，且行列式123n n n n a a c a a 为定值，则下列选项中不可能的是（）A. 11a ，1cB. 12a ，2cC. 11a ，4c D. 12a ，0c三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知四棱锥P ABCD ，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD .（1）若5PC ，求四棱锥P ABCD 的体积；（2）若直线AD 与BP 的夹角为60°，求PD 的长.18.已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a .（1）若数列{}n a 为等差数列，1070S ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，418a，求满足100n n S a 时n 的最小值. 19.有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1 ，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离.（1）若60t ，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利. 问：垃圾投放点2 建在何处才能比建在中点时更加便利？20.已知抛物线2y x 上的动点00(,)M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t 于A 、B 两点.（1）若点M M 与焦点的距离；（2）若1t ，(1,1)P ，(1,1)Q ，求证：A B y y 为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y 且P Q y y 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由.21.已知非空集合A R ，函数()y f x 的定义域为D ，若对任意t A 且x D ，不等式()()f x f x t 恒成立，则称函数()f x 具有A 性质.（1）当{1}A ，判断()f x x 、()2g x x 是否具有A 性质；（2）当(0,1)A ，1()f x x x，[,)x a ，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围；（3）当{2,}A m ，m Z ，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值.参考答案一. 填空题 1.3 2. 1(0,)33.24.25. 1arccos36.17.8.109.19410.1811.312. 3[,)4二.选择题13.D 14.A15.B16.B三.解答题17.（1）12；（2）18.（1）4133n a n，n *N ；（2）112n n a ，即2101n ，n 的最小值为7 19.（1）60(10)|6010|50f ，60(80)|6080|20f ，60(95)|12095|25f .60|60|90()|120|90x x f x x x；（2）2060t20.（1）924M p MF x；（2）1A B y y ；（3）存在1t 21.（1）()f x x 具有A 性质；()2g x x 不具有A 性质；（2）[1,)a ；（3）m 为奇数。

2023年上海市春季高考数学试卷含答案解析

绝密★启用前2023年上海市春季高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列函数是偶函数的是( )A. y=sinxB. y=cosxC. y=x3D. y=2x2.根据下图判断，下列选项错误的是( )A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小3.如图，P是正方体ABCD−A1B1C1D1边A1C1上的动点，下列哪条边与边BP始终异面( )A. DD 1B. ACC. AD 1D. B 1C4.已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k >2022，都有|S k |>|S k+1|，则下列说法正确的是( )A. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共12小题，共54分。

章金读上海市届春季高考数学试卷

章金读上海市届春季高考数学试卷专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）、《挑战高考压轴题•高中数学》（新一版2020）《数学初高中衔接•讲与练》、《数学初高中衔接•练与考》（2021）。

近年来，他先后在北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地为师生授课。

本文重在推数学课堂教学内容，兼顾问题解决教学。

欢迎朋友们来稿！来稿请注明真实姓名、工作单位和。

特别欢迎原创文章。

只接受word版式的电子稿，文责自负。

投稿邮箱：扫描，关注“文卫星数学生态课堂往期推荐阮金锋赵祥枝：数学运算素养在解析几何中的考查分析——以2021年全国新高考Ⅰ卷第21题为例刘琦琦，吴立宝，宋书宁：指向深度学习的单元教学设计——以“抛物线及其标准方程”为例何睦：“数学思考”的教学：教什么、怎么教关于开展高中数学命题-讲题比赛的通知（第一轮）赵士元：2022新高考(I)卷引发的教学思考杨利刚：解题教学中“顺势变式、即时追问”的运用与思考章金读：上海市2023届春季高考考前数学模拟试卷(解析版）廖国达：“姐妹直线”求交点轨迹，推新元韦达定理神奇章金读：2023届上海市各区高三年级一模客观题难题汇总(解析版）（暂时续完）章金读：2023届上海市各区高三年级一模客观题难题汇总(解析版）（三）章金读：2023届上海市各区高三年级一模客观题难题汇总(解析版）（二）章金读：2023届上海市各区高三年级一模客观题难题汇总(解析版）王芝平：“变化率与导数”教学设计马慧慧：近三年高考数学开放性试题分析李鸿昌：圆锥曲线中“非对称”问题的成因及破解策略王位高：二项式定理高考考法探析刘祖希：我国数学核心素养研究新进展——从“六核”观到“三会”观丁益民：用教材教：跨学科融合的数学教学安恺凯：多思维切入，多方法应用----2022年新高考Ⅱ卷第12题的11种解法王文雅张玮：射影几何背景下的解析几何肖兴佳王鑫：问题串连显结构，三线交融现本质——以《复数》的教学为例谈单元小结课马学斌：破解中考压轴题----2022年苏州市中考第26题马学斌：破解中考压轴题----2022年苏州市中考第26题马学斌：破解中考压轴题----2022年大庆市中考第28题马学斌：破解中考压轴题----2022年广西北部湾中考第25题马学斌：破解中考压轴题----2022年云南省中考第24题马学斌：破解中考压轴题----2022年宜昌市中考第24题马学斌：破解中考压轴题----2022年湘潭市中考第26题马学斌：破解中考压轴题--2022年绍兴市中考第23题马学斌：中考数学压轴题----2022年长春市中考第24题马学斌：破解中考数学压轴题---- 2022年河北省中考第25题马学斌：中考数学压轴题----2022年德阳市中考第25题马学斌：中考数学压轴题----2022年广州市中考第24题钟文体：圆锥曲线中一类线段长度最值问题闫二路：导数在解不等式中的应用——以一函数与导数综合题为例刘祖希：图说数学单元教学张国治：数列求和新视角卢恩良：再解圆锥曲线中动弦过定点问题何小亚教授：基于数学史的对数概念教学设计鲁和平：两类特殊的排列组合问题及排列组合问题的物理解法岳刚军：新课改下数学归纳法的几点应用岳刚军：例谈参数方程消参问题岳刚军：数列中an与Sn的纠缠与分离岳刚军：一题多解求同存异干志华：一类相似椭圆中的“三边相切”问题初探周威童继稀：2022年新高考Ⅰ卷导数题命题立意与变式探究吴志勇：专题复习为载体素养提升显目标---------以《构造函数求解与不等式有关的问题》的高三复习课为例岳刚军：例谈概率统计中的供求平衡问题侯典峰丁亮：一道“错题”引发的思考岳刚军：破解高考数学导数压轴题的八种方法李佳伟李燕红：一道春季高考压轴题的解法探究与推广刘铁智吕增锋：大概念引领下的“数学原理课”教学——以“两个基本计数原理”为例蔡剑锋吕增锋：数学大概念教学的实施路径——以“条件概率”为例廖明艳韦崇裕：品味一道好题，悟透思想方法文卫星：双曲线教学实录吕增锋：高中数学大概念的内涵及提取张君王奋际张斌辉：注重通法揭示本质落实素养——以2022年高考数学全国甲卷文科12题的解法研究为例邓芳锦：浅谈中学数学教学中的美学教育曹军才等：坐标方法终有时，蝴蝶万态醉题中——溯源2022年全国高考数学甲卷理科20题的几个视角孙四周：想象的分类及教学（续完）孙四周：想象的分类及教学（待续）岳刚军：极值点转化法”在导数解答题中的应用举例廖国达：如何在一轮复习中“拿下”立体几何陈宏：基础与能力并重经典与创新共存——2022年浙江省数学高考试题评析岳刚军：导数压轴题中“找零点”的“山重与水复”吕增锋：数学大概念教学与传统教学的区别——以“等差数列前n项和公式”为例罗建宇：整体观视角下高中数学教学的建构与思考——兼谈“双曲线的标准方程”的教学李昌官：为学生铺设合乎逻辑的思维阶梯吕增锋：为解题教学找“理由” ——“大概念”引领下的数学解题教学博导吴立宝等：数学单元教学内容分析框架——以圆锥曲线的方程为例杨元樺：新高考背景下提升高三数学一轮复习效果的几点探索吕增锋：大概念：数学理解与教学的基点——以“平面”一课为例侯军：奇思妙解源于通性通法——待定系数法与不等式问题的奇思妙解吕增锋：大概念：中小学教师MPCK的新来源严运华：一个不等式链串联一组新高考题张鹄：对2022年高考数学全国乙卷理科第21题的探究与思考孙四周：何谓理解以及怎样理解吕学全：解析几何中点参和线参的选择策略朱松德：“通关游戏”与解题汪留屿徐思越：基于数学抽象的章节起始课的教学研究——以“圆锥曲线与方程”为例刘刚：对一道2022年三点共线模考试题的探究徐道奎：整体观念和深度学习视角下两个计数原理的教学陈小璐：混合学习环境下的数学单元教学设计——以“解析几何中的定点问题”为例张润平：用思维导图解压轴题例谈——2023届上海市宝山区高三年级上学期期末T21张润平：2023届上海市格致中学高三年级上学期期中T21张润平：用思维导图解压轴题例谈2023届上海市松江区高三年级一模T20张润平：2023届上海市虹口区高三年级一模T21张润平：2023届上海市杨浦区高三年级一模T21张润平：2023届上海市适应性测试卷T20张润平：2022年浙江A9协作体高一期中联考抽象函数类问题（T7）张润平：2022年浙江A9协作体高一期中联考T8张润平：2022年新高考几何体体积最值类问题（新高考ⅠT8）张润平：2023届上海市松江区高三期末质量监控T21张润平：2023届上海市建平中学高三上学期期中T21张润平：2023届上海市适应性测试卷T21张润平：2022年高考几何体体积最值类问题（乙卷T9）张润平：2022年高考线面角类问题（乙卷T18）张润平：2022年高考双对称类问题（新高考I卷T12）张润平：2022年高考比赛结束论英雄类问题（乙卷T10）张润平：2022年高考函数存在双极值点类问题（乙卷T16）张润平：2021年上海夏季高考三角函数类客观题（T15）张润平：2021年上海夏季高考数列最值问题（T12）张润平：2021年上海夏季高考解析几何（T11）张润平：2022年高考线线及线面位置关系类试题(新高考Ⅰ卷T9)张润平：2022年高考平面位置关系类试题(乙卷)张润平：2022年高考（甲卷T16）解三角形类问题张润平：2022年高考（甲卷T16）解三角形类问题张润平：2021年新高考Ⅰ卷（T16）数列求和问题张润平：2022年上海模考三角函数零点个数（浦东T16）张润平：2021年高考三角函数存在性类问题（上海卷T15）张润平：2022年高考空间直线位置关系类问题（上海卷T15）张润平：2020年湖南长郡中学模考费马点类问题张润平：2020年全国I卷迭代递推摆动类求和问题张润平：2022年高考公切线类问题（甲卷文T20）张润平：2022年高考函数恒成立参数范围类问题（甲卷T21）张润平：2022年高考圆锥曲线内接四边形类问题(甲卷T20)张润平：2022年高考对抗比赛类概率统计类问题(甲卷T19)张润平：2022年高考锥体底面为直角梯形类问题（甲卷T18）张润平：2022年高考（甲卷T16）解三角形类问题张润平：2022年全国高中数学联赛一试（A卷T1）集合中所有元素之和类问题张润平：2022年全国高中数学联赛一试（A卷T1）集合中所有元素之和类问题张润平：2022年高考甲卷(T14)圆切线类问题张润平：2022年高考线面角类试题张润平：2022年高考甲卷(T12)比较大小解法集锦张润平：一组2022年高考各卷正弦曲线图象类问题张润平：用思维导图解压轴题例谈——从命题者的角度审视2022年全国甲卷(理T10)圆锥曲线离心率类问题张润平：用思维导图解压轴题例谈——从命题者的角度审视2022年新高考Ⅱ卷T12张润平：用思维导图解压轴题例谈--陈命题者角度审视2022年甲卷图象识别题张润平：用思维导图解压轴题例谈——从命题者的角度审视2021年新高考Ⅱ卷T16张润平：用思维导图解压轴题例谈——从命题者的角度审视2021年新高考Ⅱ卷T12张润平：用思维导图解压轴题例谈——从命题者的角度审视2021年新高考Ⅱ卷T11张润平：用思维导图解压轴题例谈——从命题者的角度审视2022年新高考Ⅱ卷T12。

2024上海春季高考数学模拟试卷

2024上海春季高考数学模拟试卷选择题1. 下列各式中，属于整式的是 ( )A. 1/xB. √(x+1)C. x^2 + 2xD. 2x - 3/x2. 下列方程中，是二元一次方程的是 ( )A. x^2 + y = 3B. 2x + 3y = 7C. x/y = 1D. y = 3x^23. 下列各数中，是负数的是 ( )A. -(-2)B. |-3|C. 0D. -√44. 下列各组数中，是同类项的是 ( )A. 2x^2y 与 3xy^2B. -5xy 与 5yxC. 4x 与 4x^2D. -2 与 3x5. 若 |a| = 5，则 a = ( )A. 5B. -5C. ±5D. 06. 下列计算正确的是 ( )A. 3a + 2b = 5abB. a^6 ÷ a^2 = a^3C. (a^3)^2 = a^6D. a + a = a^27. 下列命题是真命题的是 ( )A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C. 对角线相等的四边形是矩形D. 四个角相等的四边形是正方形8. 下列调查中，最适合用全面调查（普查）的是 ( )A. 了解某市居民的节水意识B. 了解某市中学生每天的学习时间C. 了解某市中学生目前使用手机的情况D. 了解一架“歼-20”隐形战机各零部件的合格情况9. 下列计算正确的是 ( )A. (a - b)^2 = a^2 - b^2B. a^3 - a^2 = aC. (x + y)^2 = x^2 + y^2D. (x - y)(x + y) = x^2 - y^210. 下列说法中，正确的是 ( )A. 有理数就是有限小数和无限小数的统称B. 一个有理数不是整数就是分数C. 正分数、零、负分数统称为分数D. 正数和负数统称为有理数填空题1. 方程 2x - 3 = 5 的解是 x = _______2. 若 x^2 - 4 = 0，则 x = _______3. 已知 |a| = 5，a 的可能取值为 _______4. 合并同类项：3x^2y - 2xy^2 + 5xy^2 - 4x^2y = _______5. 若 a // b，b // c，则 a // c，这是根据 _______6. 计算：(1/2 - √3)^0 = _______7. 某商场今年一月份的营业额为 100 万元，三月份的营业额为 144 万元，则平均每月增长的百分率为 _______8. 下列计算中，正确的是 _______A. √9 = ±3B. (-3)^2 = 6C. √(16/25) = 4/5D. 3√2 - 2√2 = √29. 若扇形的圆心角为 45°，半径为 3，则该扇形的弧长为 _______10. 已知点 P(a - 1, 2a + 3) 在 y 轴上，则 a = _______应用题1. 折扣问题小明在商场买了一双原价为200元的运动鞋，商场正在进行八折促销。

2023年上海市春季高考数学真题试卷含详解

2023年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．（4分）已知集合A ＝{1，2}，B ＝{1，a }，且A ＝B ，则a ＝2．（4分）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝3．（4分）若不等式|x ﹣1|≤2，则实数x 的取值范围为．．．．4．（4分）已知圆C 的一般方程为x 2+2x +y 2＝0，则圆C 的半径为5．（4分）已知事件A 发生的概率为P （A ）＝0.5，则它的对立事件发生的概率P （）＝．．6．（4分）已知正实数a 、b 满足a +4b ＝1，则ab 的最大值为7．（5分）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm ，最小值为154cm ，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为8．（5分）设（1﹣2x ）4＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则a 0+a 4＝9．（5分）已知函数f （x ）＝2x +1，且g （x ）＝﹣．．，则方程g （x ）＝2的解为．10．（5分）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为．，满足|z 1﹣1|＝1，则|z 1﹣z 2|的取值范围为，都是单位向量，且|＝1，满足|•⊥|≤|，•⊥|≤|，•与．的夹•11．（5分）设z 1，z 2∈C 且z 1＝i •12．（5分）已知空间向量，角为60°，若P 为空间任意一点，且|的最大值为．|，则二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第13题至第14题选对得4分，第15题至第16题选对得5分，否则一律得零分．13．（4分）下列函数是偶函数的是（）A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝x 3）D ．y ＝2x14．（4分）根据下图判断，下列选项错误的是（A ．从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B ．从2018年开始后，进出口总额逐年增大C ．从2018年开始后，进口总额逐年增大D ．从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小15．（5分）如图，P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1边A 1C 1上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面（）A ．DD 1B ．ACC ．AD 1D ．B 1C16．（5分）已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k ＞2022，都有|S k |＞|S k +1|，则下列说法正确的是（）A ．a 1，a 3，a 5，…，a 2n ﹣1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B ．a 1，a 3，a 5，…，a 2n﹣1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C ．a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D ．a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PB ＝AB ＝3，AC ＝4，M 为BC 中点，过点M 分别作平行于平面PAB 的直线交AC 、PC 于点E ，F ．（1）求直线PM 与平面ABC 所成角的大小；（2）证明：ME ∥平面PAB ，并求直线ME 到平面PAB 的距离．18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应边为a ，b ，c ，其中b ＝2．（1）若A +C ＝120°，且a ＝2c ，求边长c ；（2）若A ﹣C ＝15°，a ＝c sin A ，求△ABC 的面积S△ABC ．，其中F 0为19．（14分）为了节能环保，节约材料，定义建筑物的“体形系数”为S ＝建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V 0为建筑物的体积（单位：立方米）．（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R ，高度为H ，求该建筑体的S （用R ，H 表示）；（2）现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A 为底面面积，L 为建筑底面周长．已知f 为正比例系数，L 2与A 成正比，定义：f ＝，建筑面积即为每一层的底面面积，总建+，n 为层筑面积即为每层建筑面积之和，值为T ．已知该建筑体推导得出S ＝数，层高为3米，其中f ＝18，T ＝10000，试求当取第几层时，该建筑体S 最小？20．（18分）已知椭圆Γ：+＝1（m ＞0，m ≠）．（1）若m ＝2，求椭圆Γ的离心率；（2）设A 1、A 2为椭圆Γ的左右顶点，若椭圆Γ上一点E 的纵坐标为1，且﹣2，求m 的值；•＝（3）存在过椭圆Γ上一点P 、且斜率为仅有一个公共点，求m 的取值范围．的直线l ，使得直线l 与双曲线﹣＝121．（18分）设函数f （x ）＝ax 3﹣（a +1）x 2+x ，g （x ）＝kx +m ，其中a ≥0，k 、m ∈R ，若对任意x ∈[0，1]均有f （x ）≤g （x ），则称函数y ＝g （x ）是函数y ＝f （x ）的“控制函数”，且对所有的函数y ＝g （x ）取最小值定义为（x ）．（1）若a ＝2，g （x ）＝x ，试问y ＝g （x ）是否为y ＝f （x ）的“控制函数”；（2）若a ＝0，使得直线y ＝h （x ）是曲线y ＝f （x ）在x ＝处的切线，求证：函数y ＝h （x ）是为函数y ＝f （x ）的“控制函数”，并求（）的值；（3）若曲线y ＝f （x ）在x ＝x 0（x 0∈（0，1））处的切线过点（1，0），且c ∈[x 0，1]，求证：当且仅当c ＝x 0或c ＝1时，（c ）＝f （c ）．2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．【解答】解：集合A ＝{1，2}，B ＝{1，a }，且A ＝B ，则a ＝2．故答案为：2．2．【解答】解：因为向量＝（3，4），＝（1，2），所以﹣2＝（3﹣2×1，4﹣2×2）＝（1，0）．故答案为：（1，0）．3．【解答】解：因为|x ﹣1|≤2，所以﹣2≤x ﹣1≤2，所以﹣1≤x ≤3，故答案为：[﹣1，3]．4．【解答】解：根据圆C 的一般方程为x 2+2x +y 2＝0，可得圆C 的标准方程为（x +1）2+y 2＝1，故圆C 的圆心为（0，﹣1），半径为1，故答案为：1．5．【解答】解：由题意知P （A ）+P （）＝1，所以P （）＝1﹣P （A ）＝0.5，故答案为：0.5．6．【解答】解：正实数a 、b 满足a +4b ＝1，则ab ＝且仅当a ＝，故答案为：．时等号成立．，当7．【解答】解：极差为186﹣154＝32，组距为5，且第一组下限为153.5，＝6.4，故组数为7组，故答案为：7．8．【解答】解：根据题意及二项式定理可得：a 0+a 4＝故答案为：17．9．【解答】解：当x ≥0时，g （x ）＝2⇔log 2（x +1）＝2，解得x ＝3；当x ＜0时，g （x ）＝f （﹣x ）＝2x +1＝2，解得x ＝0（舍）；所以g （x ）＝2的解为：x ＝3．故答案为：x ＝3．10．【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为恰有1名男生2名女生的事件个数为则恰有1名男生2名女生的概率为故答案为：0.5．11．【解答】解：设z 1﹣1＝cos θ+i sin θ，则z 1＝1+cos θ+i sin θ，因为z 1＝i •所以|z 1﹣z 2|＝＝显然当当＝＝时，原式取最小值0，，，，所以z 2＝sin θ+i （cos θ+1），，，，＝17．＝﹣1时，原式取最大值2]．故|z 1﹣z 2|的取值范围为[0，故答案为：[0，12．【解答】解：由题知再设代入已知的不等式得所以]．，，且x ，y ，z ＞0，x 2+y 2+z 2＝1，，可得，解得，，，，z ≥y ，故＝y．．故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第13题至第14题选对得4分，第15题至第16题选对得5分，否则一律得零分．13．【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y＝sin x为奇函数；对于B，由正弦函数的性质可知，y＝cos x为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数；对于D，由指数函数的性质可知，y＝2x为非奇非偶函数．故选：B．14．【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B对；2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C错；显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率最小，D对．故选：C．15．【解答】解：对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选：B．16．【解答】解：由对任意正整数k＞2022，都有|Sk |＞|Sk+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，，a n不可能为等差数列，因为若d＝0，a n＝0，则|S k|＝|S k+1|，矛盾；若d＝0，a n＜0，当n→+∞，S n→﹣∞，k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＝0，a n＞0，当n→+∞，S n→+∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＞0，当n→+∞，a n→+∞，S n→+∞必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＜0，当n→+∞，a n→﹣∞，S n→﹣∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；所以选项B 中的a 2，a 4，a 6，⋯，a 2n 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项D 中的a 2022，a 2023，a 2024，⋯，a n 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项A 中的a 1，a 3，a 5，⋯，a 2n ﹣1为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；事实上，只需取故选：C ．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．【解答】解：（1）连接AM ，PM ，∵PA ⊥平面ABC ，∴∠PMA 为直线PM 与平面ABC 所成的角，在△PAM 中，∵AB ⊥AC ，∴BC ＝∵M 为BC 中点，∴AM ＝BC ＝，＝5，即可．∴tan ∠PMA ＝，即直线PM 与平面ABC 所成角为arctan ；（2）由ME ∥平面PAB ，MF ∥平面PAB ，ME ∩MF ＝M ，∴平面MEF ∥平面PAB ，∵ME ⊂平面MEF ，∴ME ∥平面PAB ，∵PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥AC ，∵AB ⊥AC ，PA ∩AB ＝A ，PA ，AB ⊂平面PAB ，∴AC ⊥平面PAB ，∴AE 为直线ME 到平面PAB 的距离，∵ME ∥平面PAB ，ME ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面PAB ＝AB ，∴ME ∥AB ，∵M 为BC 中点，∴E 为AC 中点，∴AE ＝2，∴直线ME 到平面PAB 的距离为2．18．【解答】解：（1）因为A +C ＝120°，且a ＝2c ，由正弦定理可得sin A ＝2sin C ＝2sin （120°﹣A ）＝所以cos A ＝0，由A 为三角形内角可得A ＝90°，C ＝30°，B ＝60°，因为b ＝2，所以c ＝；c sin A ，cos A +sin A ，（2）若A ﹣C ＝15°，a ＝由正弦定理得sin A ＝sin C sin A ，由A 为三角形内角可得sin A ＞0，所以sin C ＝，由题意可得C 为锐角，所以C ＝45°，A ＝60°，B ＝75°，由正弦定理可得，所以a ＝＝3，＝3﹣＝；．＝，所以△ABC 的面积S△ABC ＝ab sin C ＝19．【解答】解：（1）S ＝＝（2）由题意，建筑体3n 米，底面面积A ＝，∴体积V 0＝3n •A ＝3T ，由f ＝＝18，∴底面周长L ＝，∴F 0＝L •3n +A ＝•3n +，，n ∈N *，∴“体形系数”S ＝＝+＝+计算可得n ＝6时，S 最小．20．【解答】解：（1）若m ＝2，则a 2＝4，b 2＝3，∴a ＝2，c ＝（2）由已知得A 1（m ，0），A 2（m ，0），设E （p ，1），∴+＝1，即p 2＝m 2，＝1，∴e ＝＝；∴＝（m ﹣p ，﹣1），＝（﹣m ﹣p ，﹣1），∴•＝（m ﹣p ，﹣1）•（﹣m ﹣p ，﹣1）＝p 2﹣m 2+1＝﹣2，∵p 2＝m 2，代入求得m ＝3；（3）设直线y ＝x +t ，联立椭圆可得+＝1，整理得（3+3m 2）x 2+2由△≥0，∴t 2≤3m 2+3，联立双曲线可得由Δ＝0，t 2＝5m 2﹣15，∴5m 2﹣15≤3m 2+3，∴﹣3≤m ≤3，又5m 2﹣15≥0，∴m ≥综上所述：m ∈（tm 2x +（t 2﹣3）m 2＝0，﹣＝1，整理得（3﹣m 2）x 2+2tx +（t 2﹣5m 2）＝0，，∵m ≠，，3]．21．【解答】解：（1）f （x ）＝2x 3﹣3x 2+x ，设h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝2x 3﹣3x 2，h ′（x ）＝6x 2﹣6x ＝6x （x ﹣1），当x ∈[0，1]时，易知h ′（x ）＝6x （x ﹣1）≤0，即h （x ）单调减，∴h （x ）max ＝h （0）＝0，即f （x ）﹣g （x ）≤0⇒f （x ）≤g （x ），∴g （x ）是f （x ）的“控制函数“；（2）∴∴f （x ）≤h （x ），即y ＝h （x ）为函数y ＝f （x ）的“控制函数“，又，且，∴；，，证明：（3）f （x ）＝ax 3﹣（a +1）x 2+x ，f ′（x ）＝3ax 2﹣2（a +1）x +1，y ＝f （x ）在x ＝x 0（x 0∈（0，1））处的切线为t （x ），t （x ）＝f ′（x 0）（x ﹣x 0）+f （x 0），t （x 0）＝f （x 0），t （1）＝0⇒f （1）＝0，，，，恒成立，函数t （x ）必是函数y ＝f （x ）的“控制函数“，是函数y＝f （x ）的“控制函数“，此时“控制函数“g （x ）必与y ＝f （x ）相切于x 点，t （x ）与y ＝f （x ）在且过点（1，0），在之间的点不可能使得y ＝f （x ）在或c ＝1，所以曲线y ＝f （x ）在x ＝x 0（x 0∈（0，1））处的切线过点（1，0），且c ∈[x 0，1]，当且仅当c ＝x 0或c ＝1时，．切线下方，所以处相切，。

2022-2023年上海市春季高考数学试卷历年真题以及预测题答案解析

2022年上海市普通高等学校春季招生真题考试数学试卷一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，考生必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19. (本题满分12分) 本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.2023年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2knx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n 2+n （4+b 2）+2b 2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b 2=k 2+k 02，由，得，即Q （，），代入x 2﹣=1，化简，得：，解得b 2=4或b 2=kk 0，当b 2=4时，满足n=，当b 2=kk 0时，由2b 2=k 2+k 02，得k=k 0（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f （x ）=log 2；（1）解方程f （x ）=1；（2）设x ∈（﹣1，1），a ∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f （）﹣f （x ）=﹣f （）；（3）设数列{x n }中，x 1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n ∈N *，求x 1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n ∈N *成立．解：（1）∵f （x ）=log 2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数，又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1）， f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1； ②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1）， f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1）， f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +．设12111)(---=-+=x x x x h ∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数， ∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．2022年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2022.1一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为； 4. 函数()2f x x =-的定义域为；5. 三阶行列式135400121--中，元素5的代数余子式的值为； 6. 函数1()f x a x=+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ︒=，45B ︒=，6BC =AC = ；8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为；（结果用数值表示）9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程250x ax ++=的一个虚根，则a = ；11. 函数221y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是；12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||23AB =||OA OB +的最小值为；二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（）A. πB.43π C. 2π D. 4π 15. 在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（） A. 2 B. 6 C. 15 D. 20 16. 幂函数2y x -=的大致图像是（）A. B. C. D.17. 已知向量(1,0)a =，(1,2)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（） A. 1 B. 2 C. (1,0) D. (0,2) 18. 设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直19. 用数学归纳法证明等式2123...22n n n ++++=+*()n N ∈的第（ii ）步中，假设n k =时原等式成立，那么在1n k =+时，需要证明的等式为（） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++ B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++C. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++ D. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++20. 关于双曲线221164x y -=与221164y x -=的焦距和渐近线，下列说法正确的是（） A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同 C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“()y f x =为奇函数”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（） A. 222a b ab +≥ B. 222a b ab +≥- C. 2()2a b ab +≥ D. 2()2a b ab +≥-23. 设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+，有结论：① 若12210x y x y -=，则a ∥b ；② 若12120x x y y +=，则a b ⊥；关于以上两个结论，正确的判断是（）A. ①成立，②不成立B. ①不成立，②成立C. ①成立，②成立D. ①不成立，②不成立24. 对于椭圆22(,)22:1a b x y C a b +=(,0,)a b a b >≠，若点00(,)x y 满足2200221x y a b+<，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为3，求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小；26. 已知函数()sin f x x x =，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得最大值时x 的值；27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离；28. 已知数列{}n a 是公差为2的等差数列；（1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b =，11()2nn n b b +-=，记 12n n n n c S b -=+⋅()n N *∈，求数列{}n c 的最小值0n c ；（即0n n c c ≤对任意n N *∈成立）29. 对于函数()f x 与()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x >=>；（1）设()2||f x x =，()3g x x =+，求f g D >；（2）设1()1f x x =-，21()()313x xf x a =+⋅+，()0h x =，如果12f hf h D D R >>=，求实数a 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值是（） A. 0 B.2πC. πD. 2π2. 在复平面上，满足|1|4z -=的复数z 所对应的点的轨迹是（） A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆3. 已知函数()f x 的图像是折线段ABCDE ，如图，其中(1,2)A 、(2,1)B 、(3,2)C 、(4,1)D 、(5,2)E ，若直线y kx b =+(,)k b R ∈与()f x 的图像恰有4个不同的公共点，则k 的取值范围是（）A. (1,0)(0,1)- B. 11(,)33-C. (0,1]D. 1[0,]3二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 椭圆221259x y +=的长半轴的长为； 5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为； 6. 小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记1k a =，当第k 天没下过雨时，记1k a =-(131)k ≤≤；他用数列{}n b 记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1k b =，当预报第k 天没有雨时，记1k b =-(131)k ≤≤；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b ++++25=，那么该月气象台预报准确的总天数为；三. 解答题（本大题12分）7. 对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a =或k k c b =，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”；（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a =，23a =，35a =，11b =，22b =，33b =，若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ；（2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前10项和为30-，前20项和为260-，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求t 的值所构成的集合；参考答案一. 填空题1. 3；2. 7；3.4π； 4. [2,)+∞；5. 8；6. 1；7.8. 24；9. 3； 10. 4-； 11. [1,2]； 12. 4；二. 选择题13. B ； 14. D ； 15. C ； 16. C ； 17. A ； 18. C ； 19. D ； 20. B ； 21. B ； 22. D ； 23. A ； 24. B ；三. 解答题25. 34arccos 10h θ=⇒=； 26. 2T π=，当26x k ππ=+()k Z ∈时，有max 2y =；27. 214.4|| 3.6y x OF cm =⇒=；28.（1）18a =-；（2）22021nn c n n =-+-，min 449c c ==-；29.（1）(,1)(3,)f g D >=-∞-+∞；（2）49a >-；附加题1. B ；2. D ；3. B ；4. 5；5. 50π；6. 28；7.（1）(1,3,5)，(1,3,3)，(1,2,5)，(1,2,3)；（2）*{|3,6,}t t t t N ≠≠∈；。

上海市春季高考数学试卷(含答案).doc

上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。

1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。

若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。

11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

2022年上海市春季高考数学试卷和答案

2022年上海市春季高考数学试卷和答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝．3．（4分）不等式＜0的解集为．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+）＝．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝．6．（4分）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为．7．（5分）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为．8．（5分）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC 的外接圆半径为．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为.（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB 的中点，点P在边BC上，则•的最小值为．11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为．12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，x n，则（x n+1﹣x n）＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y＝B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+c B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．ad＞bc 15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．1216．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，前n项积为T n，则下列选项判断正确的是（）A．若S2022＞S2021，则数列{a n}是递增数列B．若T2022＞T2021，则数列{a n}是递增数列C．若数列{S n}是递增数列，则a2022≥a2021D．若数列{T n}是递增数列，则a2022≥a2021三、简答题（本大题共有5题，满分76分）答案下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．（1）若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．18．（14分）已知在数列{a n}中，a2＝1，其前n项和为S n．（1）若{a n}是等比数列，S2＝3，求S n；（2）若{a n}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．（1）设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC 的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；（3）设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．【知识点】复数的运算．【答案】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：2﹣i．2．【知识点】交集及其运算．【答案】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），∴A∩B＝（1，2）．故答案为：（1，2）．3．【知识点】其他不等式的解法．【答案】解：由题意得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故不等式的解集（0，1）．故答案为：（0，1）．4．【知识点】两角和与差的三角函数．【答案】解：若tanα＝3，则tan（α+）＝＝＝﹣2．故答案为：﹣2．5．【知识点】反函数．【答案】解：函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），整理得；所以f﹣1（27）＝3．故答案为：3．6．【知识点】二项式定理．【答案】解：展开式的通项公式为T k+1＝C（x3）12﹣k（）k＝C x36﹣4k，由36﹣4k＝﹣4，得4k＝40，得k＝10，即T11＝C x﹣4＝，即含项的系数为66，故答案为：66．7．【知识点】方程组解的个数与两直线的位置关系；直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标．【答案】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无穷多解，则直线x+my＝2和mx+16y＝8重合，则有1×16＝m×m，即m2＝16，解可得m＝±4，当m＝4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当m＝﹣4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故m＝4．故答案为：48．【知识点】正弦定理．【答案】解：在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，利用余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA，整理得BC＝，所以，解得R＝．故答案为：．9．【知识点】排列、组合及简单计数问题．【答案】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有2A33＝12种情况，即有12个符合题意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6﹣1＝5个比2134大的四位数，故有12+5＝17个比2134大的四位数，故答案为：17．10．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】解：建立平面直角坐标系如下，则B（2，0），C（0，2），M（1，0），直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，点P在直线上，设P（x，2﹣x），∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），∴•＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x＝2﹣≥﹣，∴•的最小值为﹣．故答案为：﹣．11．【知识点】双曲线的性质．【答案】解：设P2的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由x1x2＞y1y2，得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，∴其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，∴a≥1，所以实数a的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．12．【知识点】极限及其运算．【答案】解：∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，∴f（x）是周期为4的周期函数，图象如图：将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，x n，则（x n+1﹣x n）的几何意义是两条渐近线之间的距离2，∴（x n+1﹣x n）＝2．故答案为：2．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．【知识点】函数的定义域及其求法．【答案】解：，定义域为{x|x＞0}，，定义域为{x|x≠0}，，定义域为R，，定义域为{x|x≥0}．∴定义域为R的是．故选：C．14．【知识点】不等式的基本性质．【答案】解：对于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但a+d＝b+c，故A错误，对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正确，对于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误，对于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．故选：B．15．【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系．【答案】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，∴每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B．16．【知识点】数列的应用．【答案】解：如果数列a1＝﹣1，公比为﹣2，满足S2022＞S2021，但是数列{a n}不是递增数列，所以A不正确；如果数列a1＝1，公比为﹣，满足T2022＞T2021，但是数列{a n}不是递增数列，所以B不正确；如果数列a1＝1，公比为，S n＝＝2（1﹣），数列{S n}是递增数列，但是a2022＜2021，所以C不正确；数列{T n}是递增数列，可知T n＞T n﹣1，可得a n＞1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正确，所以D正确；故选：D．三、简答题（本大题共有5题，满分76分）答案下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．【知识点】直线与平面所成的角．【答案】解：（1）因为AA1为圆柱的母线，所以AA1垂直于上底面，所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角，tan∠MO1A1＝＝＝2，所以∠MO1A1＝arctan2．（2）因为圆柱过OO1的截面为正方形，所以AA1＝2，所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π•12•2＝2π，圆柱的侧面积为S＝2πrh＝2π•1•2＝4π．18．【知识点】数列的极限．【答案】解：（1）在等比数列{a n}中，a2＝1，S2＝3，则a1＝2，∴公比q＝，则，∴S n＝＝4；（2）若{a n}是等差数列，则≥n，即（3﹣2n）d≤1，当n＝1时，d≤1；当n≥2时，d≥恒成立，∵∈[﹣1，0），∴d≥0．综上所述，d∈[0，1]．19．【知识点】基本不等式及其应用．【答案】解：（1）作DH⊥EF，垂足为H，则EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）设∠ADE＝θ，则AE＝15tanθ，FH＝15tan（90°﹣2θ），S四边形ADEF＝2S△ADE+S△DFH＝2××15×15tanθ+，＝（30tanθ+15cot2θ）＝（30tanθ+15×）＝，当且仅当3tanθ＝，即tan时取等号，此时AE＝15tanθ＝5，最大面积为450﹣≈255.14m2．20．【知识点】直线与椭圆的综合．【答案】解：（1）由题可得B（0，﹣1），F（c，0），因为∠AFB＝，所以tan∠AFB＝＝＝tan＝，解得c＝，所以a²＝1+（）²＝4，故Γ的标准方程为+y²＝1；（2）直线AD与直线BC的交点在椭圆上，由题可得此时A（﹣a，0），B（0，﹣1），C（a，2），D（a，1），则直线BC：y＝x﹣1，直线AD：y＝x+，交点为（，），满足，故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；（3）B（0，﹣1），P（acosθ，sinθ），则直线BP：y＝x﹣1，所以C（a，﹣1），A（﹣a，0），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），则直线AQ：y＝（x+a），所以D（a，），所以|CD|＝﹣1﹣＝﹣﹣1，设tan＝t，则|CD|＝2（）﹣2，因为≥，所以≥＝4，则|CD|≥6，即|CD|的最小值为6．21．【知识点】函数与方程的综合运用．【答案】解：（1）∵f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，g（x）＝2，∴g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，解得x＝2．（2）∵f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，f（x）≥h（x），∴x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，解得x≥（1+）t，或x≤（1﹣）t，综上，不等式：f（x）≥h（x）的解集为（﹣∞，（1﹣）t]∪[（1+）t，+∞）．（3）证明：f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x），∴u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x），∴v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f （x）﹣f（x﹣t）|，∵h1（x）＝h2（x），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，∵t＞0，∴，∴函数f（x）在R上单调递增．。

2022年上海市春季高考数学试卷

2022届上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知2i z =+，则z =2.已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则A B =3.不等式10x x-<的解集为4.已知tan 3α=，则tan()4πα+=5.已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为6.已知函数3()f x x =的反函数为1()y fx -=，则1(27)f -=7.在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为8.在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为9.已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为10.在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅ 的最小值为11.已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是12.已知()f x 为奇函数，当[0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-=二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列幂函数中，定义域为R 的是（）A .1y x -=B .12y x -=C .13y x =D .12y x=14.已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（）A .a d b c+>+B .a c b d +>+C .ad bc >D .ac bd>15.如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（）次A .0B .2C .4D .1216.已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（）A .若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B .若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C .若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D .若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.18.已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞；（2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.19.如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（2）当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m ²）20.在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程；（2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.21.已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.参考答案一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知2i z =+，则z =【答案】2iz =-2.已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则A B = 【答案】A B = (1,2)3.不等式10x x-<的解集为【答案】(0,1)4.已知tan 3α=，则tan()4πα+=【答案】2-5.已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为【答案】4m =6.已知函数3()f x x =的反函数为1()y fx -=，则1(27)f -=【答案】37.在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为【答案】668.在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为【答案】39.已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为【答案】1710.在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅ 的最小值为【答案】7811.已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是【答案】1a ≥12.已知()f x 为奇函数，当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-=【答案】2二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列幂函数中，定义域为R 的是（）A .1y x-=B .12y x -=C .13y x =D .12y x =【答案】C14.已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（）A .a d b c+>+B .a c b d +>+C .ad bc>D .ac bd >【答案】B15.如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（）次A .0B .2C .4D .12【答案】B16.已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（）A .若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B .若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C .若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D .若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥【答案】D 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.【答案】（1）arctan 2；（2）侧面积24rh ππ=，体积22r h ππ=18.已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞；（2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.【答案】（1）4；（2）[0,1]d ∈19.如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（长度精确到0.1m ）（2）当AE 多长时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（面积精确到0.01m ²）【答案】（1）23.3EF ≈m ；（2）最大面积为450255.14≈m ²20.在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程；（2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.【答案】（1）2214x y +=；（2）交点为34(,55a ，在椭圆上；（3）621.已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.【答案】（1）2x =；（2）(,(1][(1,)t t -∞++∞ ；（3）证明略。