2018年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测文数试题

安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测试题文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（ ） A ． B ． C. D ．2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限3.若一组数据的方差为1，则的方差为（ ） A ．1 B ．2 C. 4 D ．84．设满足约束条件，则的最大值为（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．55．已知等比数列满足，则的值为（ ） A ．2 B ．4 C.D ．6 6．如图，四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（ ）A ．B ． C. D ． 7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A ．B ． C. D ． 8.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问一边在勾上的内接正方形边长为多少步？”现向此三角形内投一粒豆子，则豆子落在这个内接正方形内的概率是（ ） A ． B ． C. D ．(){}ln 1A x y x ==+{}2B x x =≤A B ⋂=∅R (]1,2-(]0,+∞z 34zi i =+z 12,,,n x x x 1224,24,,24n x x x +++ ,x y 001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩2z x y =-{}n a ()13541,41a a a a =⋅=-7a 92ABCD 60BAD ∠=︒,E F ,BC CD AE EF ⋅=1232-3212-23π43π83π-283π-902891202891802892402899.执行如图所示的程序框图，则输出的最大值为（ ）AB10.设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（ ）A ．B ． C. D ． 11.过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，则的值为（ ） A ．4 B ．C. 1 D ．2 12.已知函数在上满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）A ．B ． C. D ． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，若，则．14．已知双曲线，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段的和为，则双曲线的离心率为．15．在中，角所对的边分别为，，的面积的周长为．16.在三棱锥中，，当三梭锥的体积最大时，其外接球的表面积为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列是等差数列，其前项和为，. （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.d 110ω>2cos 5y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5π2sin 5y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ω12325272()220y px p =>F ,A B 8AF BF ⋅=p 12()f x R ()()2f x f x x +-=()0,x ∈+∞()f x x '>()()112f a f a a +--≥a [)0,+∞[)1,+∞(],0-∞(],1-∞()()2log 1,137,1x x x f x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩()1f x =-x =()222210,0x y a b a b-=>>a ABC ∆,,A B C ,,a b c cos 23cos 1,5A A b +==ABC ∆S =ABC ∆A BCD -1,AB BC CD AC ===A BCD -{}n a n n S 2437,152a S =={}n a {}2n n a -n n T18.如图，在三棱台中，，且面，，分别为的中点，为上两动点，且.（1）求证：； （2）求四面体的体积.19.某校为了解该校多媒体教学普及情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该校50名教师，他们的年龄频数及使用多媒体教学情况的人数分布如下表：（1）由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异？附：，.（2）若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用多媒体的教师中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人年龄在30-39岁的概率.111ABC A B C -111114,2AB BC BB A B B C =====1B B ⊥ABC 90ABC ∠=︒,D G ,AC BC ,E F 11AC 2EF =BD GE ⊥B GEF-22⨯95%()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++20.在直角坐标系中，己知点，两动点，且，直线与直线的交点为.（1）求动点的轨迹方程；（2）过点作直线交动点的轨迹于两点，试求的取值范围.21.已知函数.（1）若在定义域内无极值点，求实数的取值范围； （2）求证：当时，恒成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为. （1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，求的大小.23.选修4-5：不等式选讲已知，. （1）若且的最小值为1，求的值；（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.()()2,0,2,0A B -()()0,,0,C m D n 3mn =AC BD P P ()1,0F l P ,M N FM FN ⋅(),x e af x a R x-=∈()f x a1,0a x <<>0()1f x >xOyl x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t xOy O xC ρθ=C C l ,A B AB ()1f x x x m =+++()232g x x x =++0m >()f x m ()3f x ≤A ()0g x ≤B B A ⊆m试卷答案一、选择题1-5: CDCAB 6-10: DBBDC 11、12：DA 二、填空题13. 或三、解答题17. 解：（1）设数列的首项为，公差为，则：，解得，所以数列的通项公式： （2）由（1）知，， ①当时，，有：，②当时，，，，综上所述：18.证明：（1）取的中点,连接,∵,为的中点, ∴,又,∴,∵,且,∴四边形为平行四边形,∴, 同理，四边形为平行四边形，∴.∴四边为平行四边形, ∵面,∴面,∴,又,∴面, ∵面,∴.12x =3log 69+6π{}n a 1a d 113746152a d a d +=⎧⎨+=⎩1352a d =⎧⎨=⎩{}n a ()*233n a n n N =+∈22332n nn a n -=+-()()()23320522336nn n n n n ⎧+-<≤⎪=⎨-+≥⎪⎩05n <≤23322332n n n n +-=+-()()21212352333422212n n n n nT n n +-++=-=+-+-6n ≥5133T =()23322233n n n n +-=-+()()()51256412452335234131122n n n n n T T n n -+-++--=-=--+-12234264n n T n n +=--+()()21*12*342205,2342646,n n n n n n n N T n n n n N ++⎧+-+<≤∈⎪=⎨--+≥∈⎪⎩AB O 11,,OG OA C G AB BC =D AC BD AC ⊥11//AC AC 11BD AC ⊥11//BG B C 11BG B C =11BGC B 11//GC BB 11OBB A 11//GC OA 11OGC A 1B B ⊥ABC 1C G ⊥ABC 1C G BD ⊥1111AC C G C ⋂=BD ⊥11A C GO GE ⊂11A C GO BD GE ⊥（2）∵面,面,∴面面, ∵面面,∵,∴,∴面,∴为点到面的距离，即又,∴19.解：（1）根据所给数据可得如下列联表由表中数据可得：. ∴有的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异 .（2）由题意，抽取6人，岁有2人，分别记为；岁有4人，分别记为；则抽取的结果共有15种：,设“至少有1人年龄在岁”记为事件，则事件包含的基本事件有14种 ∴即至少有1人年龄在岁的概率.20.解：（1）直线的方程： 直线的方程： 1C G ⊥ABC 1C G ⊂11A C GO 11AC GO ⊥ABC 11AC GO ⋂ABC OG =//,OG AC BD AC ⊥BM OG ⊥BM ⊥11A C GO BM 11A C GO BM =11142422GEF S GC EF ∆=⨯⨯=⨯⨯=11433B GEF GEF V BM S -∆=⨯⨯==22⨯()225018141262254.327 3.8412426302052K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯95%2030-12,A A 30-401234,,,B B B B ()()()()()()()()()121112131421222324,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B ()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,B B B B B B B B B B B B 30-39A A ()1415P A =3040-1415AC ()22my x =+()1BD ()22ny x =--()2上述两式相乘得：，又，于是：由得，∴所以动点的轨迹方程：.（2）当直线的斜率不存在时，，有：，得；当直线的斜率存在时，设方程： 联立：，整理得： 有， 由； 由，可得：，综上所得：的取值范围：21.解：（1）由题意知，令，则， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 又，∵在定义域内无极值点，∴又当时，在和上都单调递增也满足题意，所以 （2），令，由（1）可知在上单调递増，又，所以存在唯一的零点， 故在上单调递减，在上单调递増，∴()2244mn y x =--3mn =22143x y +=3mn =0,0m n ≠≠2x ≠±P ()221243x y x +=≠±MN 331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭330,,0,22FM FN ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 94FM FN ⋅=- MN ()()()11221,,,,y k x M x y N x y =-()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22224384120k x k x k +-+-=221212228412,4343k k x x x x k k -+==++()()()21212121212111FM FN x x x x y y k x x x x ⋅=-+++=+-++⎡⎤⎣⎦()()()2222222291412899114343434443k k k k k k k k +⎡⎤-+-+=-=--⎢⎥++++⎣⎦20k >()2999344443k -<--<-+FM FN ⋅ 93,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦()()21x e x af x x -+'=()()()1,0x g x e x a x =-+≠()x g x e x '=⋅0x <()0,()x g g x '<(),0-∞0x >()0,()x g g x '>()0,+∞()01g a =-()f x 1a >1a =()f x (),0-∞()0,+∞1a ≥()()21x e x af x x-+'=()()1x g x e x a =-+()g x ()0,+∞()()01010g a g a ⎧=-<⎪⎨=>⎪⎩()f x '()00,1x ∈()f x ()00,x ()0,x +∞()()0f x f x ≥由知即当时，恒成立.22.解：（1）由，得圆的直角坐标方程为：.（2）(法一)由直线的参数方程可得直线的普通方程为：， 代入圆方程消去可得 ∴ ∴也可以用几何方法求解）(法二）将直线的参数方程代入圆的方程可得：整理得：∴ 根据参数方程的几何意义，由题可得：23.解：（1）(当时，等号成立）∵的最小值为 1，∴，∴或，又，∴. （2）由得，，∵，∴，即 且且. ()0010x e x a -+=()001x f x e =>01,0a x <<>()1f x >ρθ=C (2224x y -+=l l 0x y +=C y 230x -+=12123x x x x +=⋅=AB ==l C ()()2224-+=22270t ++=1212272t t t t +=-⋅=AB ===()()()111f x x x m x x m m =+++≥+-+=-1x =-()f x 11m -=2m =0m =0m >2m =()0g x ≤[]2,1B =--B A ⊆(),3x B f x ∀∈≤()13x x m -+++≤444x m x x x m x ⇔+≤+⇔--≤+≤+42m x +⇔≥-4m ≤422m +⇔-≤-404m m ≤⇔≤≤。