连续00连续介质的运动学

第二部分 连续介质力学第一章 连续介质的运动学物质是由原子和分子组成的。

因此，物质是不连续的。

但在日常生活中却有许多有关物质行为的外观现象，它们可以用不考虑物质分子结构的宏观理论来加以描述和预示。

例如，钢杆在已知力的作用下的伸长量，管道中水流的排出速度和物质在空气中运动所受到的阻力等等。

连续介质力学把物质看作是无限可分的,因此我们需要将物质的无限小体积看作是连续介质中的物质点或“粒子”。

1.1 连续介质的运动假设一个物体在某一瞬时(t t =0)占有物理空间V 0(充满物质的某一空间区域)。

在该瞬时物体中任一物质点P 的几何位置可以用由某一固定点O 引出的位置矢量X 来描述，而该物质点P 在任意瞬时t 的位置用位置矢量x 来表示(图1.1)。

因此，任何一个物质点的运动路线可由下列形式的方程描述：()t X x x ,= (1.11) 上式表示在初始0时刻占据位置X 的的物质在时刻t 的位置。

我们可以把方程看成是从空间区域V 0到V 的关于X 和x 的一一对应的连续变换。

它描述物体中任一物质的瞬时位置。

我们把对组成物质的全体物质点位置的完全刻画称为物体的构形(Configuration)。

另一方面，物体的运动也可由下列形式的方程描述：()t x X X ,= (1.12) 它表示在时刻t ，通过空间x 处的物质原来的初始位置。

如果在时刻t ，处于整个空间中每一物质点的原始位置都被给出，那么物体在t 时刻的构形也被完全地描述了。

若方程1.11和1.12描述同一运动过程，并且雅可比行列式 0det ≠⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=j i X x J ∂∂ (1.13)则式1.11和式1.12为互逆变换，且唯一。

在直角坐标系基矢量下()321,,e e e ,1.11式可以表示成x x e x e x e =++112233 (1.14) 于是方程具有下列分量形式: ()t X X X x x ,,,32111= ()t X X X x x ,,,32122=()t X X X x x ,,,32133= (1.15) 写成指标记法形式则为()t X X X x x i i ,,,321= (1.16) 同样地，方程1.12的指标记法形式为()t x x x X X i i ,,,321= (1.17)方程中X 是用来确定物体中的不同物质的，称之为物质坐标；而方程中的x 是用来确定物理空间中物体内各个物质点的空间位置的，因此我们称之为物质的空间坐标。

显然，在任何一瞬时t ，一个物质点的空间坐标与该物质点的物质坐标之间的关系由式1.16(或1.17式)给出。

对一特定的物质点，该方程决定物质点的运动路线。

1.2 连续介质运动的描述法当连续介质运动时，与物质点相关的物理量(如温度T ，速度v 等)随时间而变化，这些变化可用两种方法描述。

一种方法是把所要考察的物理量(例如T 、v)表示成物质坐标和时间的函数，即()t X X X T T ,,,321= (1.21) ()t X X X v v ,,,321= (1.22) 这种描述法称为物质描述法，也称为拉格朗日描述法或参考描述法或跟踪粒子法。

描述物质点X 的坐标系称为物质坐标系。

拉格朗日描述法是以作为研究对象的介质的物质点为着眼点来描述每个物质点自始至终的运动过程(即它们的位置随时间变化的规律)，从而弄清整个介质运动状况。

为此必须区别不同的物质点。

通常把初始时刻t t =0时物质点的坐标，即X X X 123,,作为区别不同物质点的标志。

不同的X X X 123,,代表不同的物质点。

而X X X t 123,,,则称为拉格朗日变量。

在上两式中，若X X X 123,,固定，而令t 变化，则得相应物理量随时间变化的规律。

若t 固定，而令X X X 123,,变化，则得相应的物理量在某一固定时刻的分布规律。

另一种描述连续介质运动的方法是观察固定位置处介质的变化，亦即把所要考虑的物理量，例如温度T ，速度v 表示成位置和时间的函数，即()t x x x T T ,,,321= (1.23) ()t x x x v v ,,,321= (1.24) 这种描述法称为空间描述法，或称欧拉描述法。

描述物质点的空间位置x 的坐标系称为空间坐标系。

欧拉描述法不是以介质的物质点为着眼点，而是以空间点为着眼点来描述每一空间点上介质运动随时间变化，从而弄清整个介质的运动状况。

在这种描述法中所要描述的是相应的物理量在固定位置处作为时间函数的变化，空间的位置在不同时间被不同的物质点所占据，所以当有关物质点参数变化时，欧拉描述法不能直接反映它们的变化。

但是这种描述法在研究流体运动时却是非常重要的，因为流体运动时，一个重要的方面是研究一固定地点的情形，或者说，只研究经过该地点的流体物质点的运动，而不去关心它从何而来又流向何方。

在1.23式和1.24式中，若x x x 123,, 固定，而令t 变化，则得相应物理量在空间某固定点上随时间变化的规律。

若t 固定，而x x x 123,,变化，则得相应物理量在某一固定时刻在空间中的分布规律。

1.3 变形、应变张量、主应变1.变形连续介质在外界因素(如外力、温度等)作用下，不但能产生运动而且也将发生变形。

设在某一初始时刻t t =0具有一个特定构形的物体，在时刻t 变化到另一构形，如图1.2所示设P 0和Q 0是初始时刻物体内的相邻两点，经过时间t t -0，物体变化到另一个构形，在新的构形上点P 和Q 与初始构形上的P 0和Q 0两点相对应，即P 0得到位移μ而到达P 点，而Q 0得到位移μμ+d 到达Q 点。

2.应变张量在拉格朗日物质坐标系中，P 0和Q 0两点间距离的线元平方可以写成 ()i i j i ij dX dX dX dX dX dX dX ==⋅=δ2 (1.301) 因为()t x x x X i ,,,321= 所以在某一确定时刻，有dX X x dx iij j =∂∂ (1.302) 或写成不变性形式dX H dx =⋅ (1.303)其中H X X x e e xiji j =∇=∂∂。

于是线元平方可以写成 ()k k dX dX dX =2=∂∂∂∂X x X x dx dx k i k ji j =C dx dx ij i j (1.304) 或写成不变性形式()Cdx dx dX ⋅=2 (1.305) 其中C X x X x ij k i kj =∂∂∂∂ (1.306)即C H H T=⋅ (1.307)我们称它为柯西变形张量，而H T是H 的转置张量。

在欧拉空间坐标系中，P 和Q 两点距离的线元平方为()i i j i ij dx dx dx dx dx dx dx ==⋅=δ2 (1.308) 因为()t X X X x x i i ,,,321= 所以在某一确定时刻，有dx x X dX iij j =∂∂ (1.309) 即dx F dX =⋅ (1.310) 其中F x x X e e X ij i j =∇=∂∂ (1.311) 我们称它为变形梯度。

于是线元平方可以写成()k k dx dx dx =2=∂∂∂∂x X x X dx dx k i kj i j=G dX dX ij i j (1.312) 或写成不变性形式()dX G dX dx ⋅⋅=2 (1.313) 其中G x X x X ij k i kj=∂∂∂∂(1.314)即G F F T=⋅ (1.315)我们称它为格林变形张量，而F T是F 的转置张量。

对于连续介质，我们用相邻两个物质点的距离线元的平方差值()()22dX dx -来度量其变形。

当连续介质发生刚体位移时，dx dX =故上述差值等于零。

考虑到式1.301和1.312式，我们可将差值写成()()j i ij j ki k dX dX X xX x dX dx ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-δ∂∂∂∂22 (1.316) j i ij dX dX E 2= =⋅⋅2dX E dX或()()j i j k i k ij dX dX x x x X dX dx ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-∂∂∂∂δ22(1.317) =2e dx dx ij i j =⋅⋅2dx e dx 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ij jki k ij X xX x E δ∂∂∂∂21 (1.318) 称为拉格朗日有限变形张量或格林有限变形张量，而⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=j k i k ijij x X x X e ∂∂∂∂δ21(1.319) 称为欧拉有限变形张量，或阿尔曼希有限变形张量。

由图1.3可知，位移u i 与x i 和X i 的关系为 u x X i i i =- (1.320) 于是，对于拉格朗日物质坐标系，有∂∂∂∂∂∂∂∂δu X x X X X xX i j i j i j i j ij =-=-(1.321)由此可知∂∂δ∂∂x X uX i j ij i j=+ (1.322) 对于欧拉空间坐标系，有∂∂∂∂∂∂δ∂∂u X x X X x X x i j i j i j ijij =-=- (1.323) 由此可知∂∂δ∂∂X x ux i j ij i j=- (1.324) 把式1.322和式1.324中的∂∂xX i j 和∂∂X x i j 分别代入式1.318和式1.319中，则得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ij j k i k ij X x X x E δ∂∂∂∂21 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ij j k kj i k ki X u X u δ∂∂δ∂∂δ21 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=ijjk i k i k kj i k ki ij X u X u X u X u δ∂∂∂∂∂∂δ∂∂δδ21 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=j k i k ij j i X u X u X u X u ∂∂∂∂∂∂∂∂21 (1.325) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=j k i k ij ij x X x X e ∂∂∂∂δ21 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=j k kj i k ki ij x u x u ∂∂δ∂∂δδ21 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=j k i k i kkj i k ki ij ijx u x u x u x u ∂∂∂∂∂∂δ∂∂δδδ21 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=j k i k i j j i x u x u x u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂21 (1.326)拉格朗日有限变形张量表征物质点P 0的邻域的变形。

在一些实际问题中(例如弹性固体的小变形问题)，连续介质发生形变时，位移梯度分量∂∂u X i j 和∂∂u x ij的大小与1相比都是高阶小量。