平面基本性质上课课件
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高三数学一轮复习 9.43 平面的基本性质及空间的两条直线课件 理 大纲人教版
1．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( ) A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分 答案：C
2．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中 点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
答案：C
4．下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，过四 个点共面的图形是________．(写出符合要求序号)
解析：在④选项中，可证Q点所在棱与PRS平行，因此，P、Q、R、S四 点不共面．可证①中PQRS为梯形；③中可证PQRS为平行四边形；②中 如图取A1A与BC的中点分别为M、N，可证明PMQNRS为平面图形，且 PMQNRS为正六边形． 答案：①②③
2．利用公理2可证明点共线，线共点等问题．
3．求异面直线所成的角，是要将异面直线问题转化为相交直线所成的锐角或直角， 可通过余弦定理解三角形，而作辅助线主要是作已知直线的平行线， 具体可利用平行四边形对边平行，三角形或梯形的中位线与底边平行等，而 对两条异面直线的判定可根据“连结平面外一点和平面内一点的直线与平面 内不经过此点的直线是异面直线”． 这个结论是对异面直线直接判定的重要依据，也是求异面直线成角作辅助线 的 重要依据之一，也可利用向量的夹角求异面直线所成的角．
解法二：以D为空间坐标原点，如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，
F(1，0,0)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，∴FD1＝(－1,0,2)，OE＝(－1,1,1)，∴FD1·OE
＝3，∴cos θ＝
，
即两条异面直线D1F与OE所成角的余弦值为
.
数学必修二2《平面(2)》课件
2.1 .1 平 面(2)
1.平面的基本性质
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内， 则这条直线在此平面内.
①图形语言：
A
l
B
②符号语言：Al, B l且A, B l
③该公理反映了直线与平面的位置关系：
可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面.
同理可证 C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内． 证法 2：(辅助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3 确定一个平面 β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面 α 内，又在平面 β 内． ∴平面 α 和 β 重合，即直线 l1、l2、l3 在同一平面内．
系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝ A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. 解：(1)点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内，如图(1)； (2)直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上，如图(2)； (3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q，如图(3)．
共线问题 [例 3] 已知△ABC 在平面 α 外，其三边 所在的直线满足 AB∩α＝P，BC∩α＝Q， AC∩α＝R，如图所示． 求证：P，Q，R 三点共线． [证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面 α. 又 AB⊂平面 ABC，∴P∈平面 ABC. ∴由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上， 同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P，Q，R 三点共线．
1.平面的基本性质
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内， 则这条直线在此平面内.
①图形语言：
A
l
B
②符号语言：Al, B l且A, B l
③该公理反映了直线与平面的位置关系：
可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面.
同理可证 C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内． 证法 2：(辅助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3 确定一个平面 β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面 α 内，又在平面 β 内． ∴平面 α 和 β 重合，即直线 l1、l2、l3 在同一平面内．
系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝ A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. 解：(1)点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内，如图(1)； (2)直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上，如图(2)； (3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q，如图(3)．
共线问题 [例 3] 已知△ABC 在平面 α 外，其三边 所在的直线满足 AB∩α＝P，BC∩α＝Q， AC∩α＝R，如图所示． 求证：P，Q，R 三点共线． [证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面 α. 又 AB⊂平面 ABC，∴P∈平面 ABC. ∴由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上， 同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P，Q，R 三点共线．
直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件
直线与平面垂直的性质定理
直线与平面垂直直线与平面内 的所有直线都垂直
直线与平面垂直则直线与平面内 的所有平面都垂直
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直线与平面垂直则直线与平面内 的所有线段都垂直
直线与平面垂直则直线与平面内 的所有点都垂直
直线与平面垂直的性质定理的应用
判断直线与平 面是否垂直
计算直线与平 面的夹角
解决立体几何中的问题如求体 积、表面积等
感谢观看
汇报人：
判断平面与平 面是否垂直
计算平面与平 面的夹角
03
平面与平面垂直的性质
平面与平面垂直的定义
两个平面垂直是指两个平面相交 形成的线垂直于这两个平面
垂直的判定：如果两个平面的法 向量垂直那么这两个平面垂直
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垂直的性质：如果两个平面垂直 那么这两个平面的法向量也垂直
垂直的应用：在立体几何中平面 与平面垂直的性质可以用来解决 一些立体几何问题
直线与平面垂直、平面与平面垂直 的性质
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01
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02
03
平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质
01
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02
直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的定义
直线与平面垂直是指直线与平面相交成90度角 直线与平面垂直的性质包括：直线与平面内的任意直线垂直 直线与平面垂直的性质还包括：直线与平面内的任意线段垂直 直线与平面垂直的性质还包括：直线与平面内的任意平面垂直
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直它们的法向量也垂 直
1_平面基本性质第三课时
（×）
练习
（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 最多确定的平面数是_______; 最多确定的平面数是 3
看看答案吧
或 两个平面可以把空间分成________部分 部分， （2) 两个平面可以把空间分成 3或4 部分， ， ， 或 三个平面呢?_________________。 。 三个平面呢 4，6，7或8
CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3， 上 在 上 ： ： ， ： ： ， 求证： 、 交于一点。 求证：EF、GH、BD交于一点。 、 交于一点 A G H B D F E C 证明三线共点的方法： 证明三线共点的方法： 证明两直线的交点在第三直线上， 证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又 往往是两平面的交线
证共面问题：可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面， 证共面问题：可先由公理 （或推论）证某些元素确定一个平面， 再证其余元素都在此平面内； 再证其余元素都在此平面内 ； 或者指出给定的元素中的某些元 素在一个平面内，再证两个平面重合． 素在一个平面内，再证两个平面重合．
题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。 ABC的三条边在同一个平面内 题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
同理b 同理b、c确定平面β ,且l ⊂β 确定平面β
而l、b ⊂α, 、b ⊂β,l∩ b = B l
∴α与β重合
∴a,b,c,l共面 a,b,c,l共面
四、证明共面问题 AB、 两两相交， 例5、直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C， 、直线AB BC、CA两两相交 交点分别为A 判断这三条直线是否共面，并说明理由。 如图) 判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图)
练习
（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 最多确定的平面数是_______; 最多确定的平面数是 3
看看答案吧
或 两个平面可以把空间分成________部分 部分， （2) 两个平面可以把空间分成 3或4 部分， ， ， 或 三个平面呢?_________________。 。 三个平面呢 4，6，7或8
CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3， 上 在 上 ： ： ， ： ： ， 求证： 、 交于一点。 求证：EF、GH、BD交于一点。 、 交于一点 A G H B D F E C 证明三线共点的方法： 证明三线共点的方法： 证明两直线的交点在第三直线上， 证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又 往往是两平面的交线
证共面问题：可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面， 证共面问题：可先由公理 （或推论）证某些元素确定一个平面， 再证其余元素都在此平面内； 再证其余元素都在此平面内 ； 或者指出给定的元素中的某些元 素在一个平面内，再证两个平面重合． 素在一个平面内，再证两个平面重合．
题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。 ABC的三条边在同一个平面内 题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
同理b 同理b、c确定平面β ,且l ⊂β 确定平面β
而l、b ⊂α, 、b ⊂β,l∩ b = B l
∴α与β重合
∴a,b,c,l共面 a,b,c,l共面
四、证明共面问题 AB、 两两相交， 例5、直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C， 、直线AB BC、CA两两相交 交点分别为A 判断这三条直线是否共面，并说明理由。 如图) 判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图)
1.2.1平面的基本性质与推论ppt课件
a与A共属于平面α且平面α唯一 .
（2）推论2 文字语言 :经过两条相交直线，有且只有一 个平面. 图形语言： a是任意一条直线 符号语言： b是任意一条直线 a∩b=A a，b共面于平面α，且α是唯一的 .
（2）推论3 文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一 个平面. 图形语言： a ， b 是两条直线 符号语言： a//b
异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托, 异面直 线不同在任何一个平面的特点.
A
b
a
b
B
l
a
小组讨论以下问题：
6.空间中两两相交的三条直线一定确定一个平面； 7.空间中两两平行的三条直线一定确定一个平面； 8.分别在两个平面内的直线一定是异面直线；
把长方体的棱看作直线，试指出这些 练习：
（3）平面α与平面β相交于直线l，记作 α∩β=l； （4）直线l和m相交于点A，记作l∩m={A}, 简记为l∩m=A.
例1．如图，平面ABEF记作α，平面 ABCD记作β，根据图形填写： （1）A∈α，B ∈α，E ∈ α， C α，D α； （2）A∈β，B ∈β，C ∈ β， D ∈ β，E β，F β； （3）α∩β= AB ；
a，b共面于平面α，且α是惟一的 .
练习：A组4
思考与讨论：
已知两条直线相交，过其中任意一条 直线上的点作另一条直线的平行线，这些 平行线是否都共面？为什么？
A
a
B
b
l
空间中两直线的三种位置关系
(1)相交
m l
(2)平行
m
(3)异面直线
m
P
l
l
P
只有一个公共点 没有公共点
8.4.1 平面PPT课件(人教版)
命题视角 3：线共点问题 [例 5] 在四面体 ABCD 中，E，G 分别是 BC，AB 的中点，点 F 在 CD 上， 点 H 在 AD 上，且 DF FC＝DH HA＝2 3.求证：EF，GH，BD 交于一点．
[分析] 先证明三条直线中的两条相交于一点，再证明该点在第三条直线上即 可．
[证明] 如图所示，连接 GE、HF，
提示：(1)平面是平的． (2)平面是没有厚度的． (3)平面是无限延展而没有边界的．
知识点二 点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示
文字语言表达 点 A 在直线 l 上 点 A 在直线 l 外 点 A 在平面 α 内 点 A 在平面 α 外
直线 l 在平面 α 内
[填一填] 图形
符号语言表达 A∈l A∉l A∈α A∉α
l⊂α
文字语言表达 直线 l 在平面 α 外 平面 α，β 相交于 l
图形
符号语言表达 l⊄α
α∩β＝l
[答一答] 5．如图，点 A ∈ 平面 ABC；点 A ∉ 面 ABC∩平面 BCD＝ BC .
平面 BCD；BD ⊂ 平面 ABD；平
6．直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关 系，如何用符号来表示？直线和平面呢？
8.4.1 平面
[课标解读]1.借助长方体直观认识平面.2.了解关于平面的三个基本事实(公理) 和推论．
[素养目标] 水平一：1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(数学 抽象)2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(直观想象)3.能用 图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实(公理)，理解三个基本事实的地位与 作用．(逻辑推理)
水平二：通过对平面的学习，逐步培养学生的空间想象意识．(逻辑推理)
三课时上课用时公理,及推论的证明题平面的基本性质(习题课)课件
证明：如图（1）
a b M , a c N, a d P,b c Q,b d S,c d R
a bM a，b可确定一个平面
N a,Q b
N ,Q NQ 即 c
同理：ad， b，c，d共面.
变式2
如图2所示已知a，b，c，d是两两相交且 不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共 面.
C
A1 D1
A
D
∴由推论 3 可知， AA1 与 CC1 可确定平面 AC1 ，
AA CC ∴ 与 在同一平面内
1
1
新疆 王新敞
奎屯
口答
B1 C1
A1 D1
点 B，C1，D是否在同一平面内？
B
A
C
D
解：∵ 点 B C1D 不共线，
由公理
可知，点
B,,C 1
D
可确定平面
BC 1
D
，
B,C , D ∴点
❖ 例4、空间三个点能确定几个平面？ 空间四个点能确定几个平面？
❖ 例5、 空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？
❖ 例6、两个平面可以把空间分成________部分， 三个平面呢?_________________。
三条直线相交于一点，可以确定几个平面？
2个平面分空间有两种情况：
（1）两平面没有公共点时
（2）两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面把空间分成4，6，7或8个部分。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
14.1平面及其基本性质（1）
❖ 课时小结 ❖ 1、数学知识：
（1）平面的定义 （2）平面的表示方法 （3）平面的基本性质 ❖ 2、数学思想方法：
a b M , a c N, a d P,b c Q,b d S,c d R
a bM a，b可确定一个平面
N a,Q b
N ,Q NQ 即 c
同理：ad， b，c，d共面.
变式2
如图2所示已知a，b，c，d是两两相交且 不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共 面.
C
A1 D1
A
D
∴由推论 3 可知， AA1 与 CC1 可确定平面 AC1 ，
AA CC ∴ 与 在同一平面内
1
1
新疆 王新敞
奎屯
口答
B1 C1
A1 D1
点 B，C1，D是否在同一平面内？
B
A
C
D
解：∵ 点 B C1D 不共线，
由公理
可知，点
B,,C 1
D
可确定平面
BC 1
D
，
B,C , D ∴点
❖ 例4、空间三个点能确定几个平面？ 空间四个点能确定几个平面？
❖ 例5、 空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？
❖ 例6、两个平面可以把空间分成________部分， 三个平面呢?_________________。
三条直线相交于一点，可以确定几个平面？
2个平面分空间有两种情况：
（1）两平面没有公共点时
（2）两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面把空间分成4，6，7或8个部分。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
14.1平面及其基本性质（1）
❖ 课时小结 ❖ 1、数学知识：
（1）平面的定义 （2）平面的表示方法 （3）平面的基本性质 ❖ 2、数学思想方法：
平面和空间直线PPT教学课件
MgB2
练习三
2001年报道的硼和镁形成的纳米颗粒，如图所示的是 该纳米颗粒：镁原子间形成正六棱柱，且棱柱的上下 底面还各有1个镁原子，6个硼原子位于棱柱内。则该 纳米颗粒化学式可表示为
A、MgB Mg2B
B、 MgB2 C、 D、Mg14B6
注意晶胞结构与纳米颗粒、分 子簇的区别
2.晶体硼的基本结构单元都是由硼原子组成 的正二十面体,其中含有20个等边三角形和 一定数目的顶角，每个顶角各有一个原子， 试观察图形回答。这个基本结构单元由_1_2_ 个硼原子组成，共含有_3_0__个B-B键。
B.晶体有自范性但排列无序
C.非晶体无自范性而且排列无序
D.固体SiO2一定是晶体
2.区别晶体与非晶体最可靠的科学 方法是 A.熔沸点 B.硬度
C.颜色 D.x-射线衍射实验 D
1、下列不属于晶体的特点是
（） A.一定有固定的几何外形
D
B.一定有各向异性
C.一定有固定的熔点
D.一定是无色透明的固体
说明:
(1)晶体自范性的本质:是晶体中粒 子微观空间里呈现周期性的有序 排列的宏观表象。
在一定条件下晶体能自动地呈现具 有一定对称性的多面体的外形 （晶体的形貌）。
非晶体不能呈现多面体的外形。
(2)晶体自范性的条件之一:生长速 率适当。
水晶石
3.晶体形成的途径
• 熔融态物质凝固. • 气态物质冷却不经液态直接凝固(凝华). • 溶质从溶液中析出.
玛瑙
水晶
晶态石英的谱图 非晶态石英的谱图
非晶态和晶态石英的X-射线粉2
I2 Z = 4
金刚石 C Z= 8
微粒数为：8×1/8 + 6×1/2 = 4
(3)体心立方：在立方体顶点的微粒 为8个晶胞共享，处于体心的金属原 子全部属于该晶胞。
练习三
2001年报道的硼和镁形成的纳米颗粒，如图所示的是 该纳米颗粒：镁原子间形成正六棱柱，且棱柱的上下 底面还各有1个镁原子，6个硼原子位于棱柱内。则该 纳米颗粒化学式可表示为
A、MgB Mg2B
B、 MgB2 C、 D、Mg14B6
注意晶胞结构与纳米颗粒、分 子簇的区别
2.晶体硼的基本结构单元都是由硼原子组成 的正二十面体,其中含有20个等边三角形和 一定数目的顶角，每个顶角各有一个原子， 试观察图形回答。这个基本结构单元由_1_2_ 个硼原子组成，共含有_3_0__个B-B键。
B.晶体有自范性但排列无序
C.非晶体无自范性而且排列无序
D.固体SiO2一定是晶体
2.区别晶体与非晶体最可靠的科学 方法是 A.熔沸点 B.硬度
C.颜色 D.x-射线衍射实验 D
1、下列不属于晶体的特点是
（） A.一定有固定的几何外形
D
B.一定有各向异性
C.一定有固定的熔点
D.一定是无色透明的固体
说明:
(1)晶体自范性的本质:是晶体中粒 子微观空间里呈现周期性的有序 排列的宏观表象。
在一定条件下晶体能自动地呈现具 有一定对称性的多面体的外形 （晶体的形貌）。
非晶体不能呈现多面体的外形。
(2)晶体自范性的条件之一:生长速 率适当。
水晶石
3.晶体形成的途径
• 熔融态物质凝固. • 气态物质冷却不经液态直接凝固(凝华). • 溶质从溶液中析出.
玛瑙
水晶
晶态石英的谱图 非晶态石英的谱图
非晶态和晶态石英的X-射线粉2
I2 Z = 4
金刚石 C Z= 8
微粒数为：8×1/8 + 6×1/2 = 4
(3)体心立方：在立方体顶点的微粒 为8个晶胞共享，处于体心的金属原 子全部属于该晶胞。
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变式：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 并且方向相同，那么这两个角相等。
思考1：如果把“方向相同”改为“方向相反”， 那结果是什么呢？
两角相等
思考2：如果把“方向相同”改为“一边方向相同， 而另一边方向相反”，那结果又是什么呢？
两角互补
例.已知AB//PQ,BC//QR, ∠ABC=30°,
看看答案吧
（2) 两个平面可以把空间分成__3_或__4___部分， 三个平面呢?__4_，__6__，__7_或__8_____。
看看答案吧
3条直线相交于一点时：
（1）、3条直线共面时 （2）、每2条直线确定一平面时
三条直线相交于一点，用其中的两条确 定平面，最多可以确定3个。
4条直线相交于一点时：
则∠PQR= B
.
A. 30°
B. 30°或 150°
C. 150°
D. 以上结论都不对
3.思考下列问题: (1)不共面的四点可以确定多少个平面?
4个
(2)共点的三条直线可以确定多少个平面? 1个或3个
练习
（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，
最多确定的平面数是___3____; 四条直线相交于一点呢?_____6________。
点同时在两相交平面内
公理3:如果两个平面有一个公共
点，那么它们还有其他公共点, 这些公共点的集合是一条直线。
证明线共点：先确定两
公理2:经过不在同一条直线上 条直线交点，再证交点
的三点有且只有一个平面。 在第三条直线上。
推论1:经过一条直线和这条直线
外的一点有且只有一个平面。 证明点共面或线共面：
推论2: 经过两条相交直线有且 先由一些元素确定一个
平面的基本性质
存在性
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个 平面．
B
A C
唯一性
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的 平面，可以记成“平面ABC”．
作用： 确定平面的主要依据．
平面的基本性质
推论1:经过一条直线和这条直线外 的一点，有且只有一个平面.
BC
Aa
平面的基本性质 推论2:经过两条相交直线，有且只 有一个平面.
只有一个平面。
平面，再证另一些元素
推论3:经过两条平行直线有且 也在这个平面内。
只有一个平面。
应用：
一、证明三点共线问题：
例1.设平行四边形ABCD的各边和对角线所在的直线与平
面依次相交于A1, B1,C1, D1, E1, F1,求证 : A1, B1,C1, D1, E1,
F1在同一条直线上.
D1
•C1
A1 D
A
B1
O•
•
C
M
B
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
（公理4反映了平行的传递性，它是证明等角定理的基础， 也是论证平行问题的主要依据之一。）
练：如图，在长方体木块的面A1C1上有一点P，怎样过 点P画一条直线和棱CD平行？
D1
P
C1
B1
D
C
B
A
A1
二、证明三线共点问题：
例题3：四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在
CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，求证：EF、GH源自BD交于一点。AG H
B
D
O
F E
C
证明三线共点的方法： 证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又
往往是两平面的交线
四、证明共面问题 例5、直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C， 判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图)
解：这三条直线共面，因为直线AB和直线AC相交于点A，所以 直线AB和AC确定一个 平面α.(推论2)
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC α (公理1)
因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面.
证共面问题：可先由公理2（或推论）证某些元素确 定一个平面，再证其余元素都在此平面内；或者指 出给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两 个平面重合．
图形表示为:
l
作用：
P
①判断两个平面相交的依据．
②判断点在直线上．
1.下列命题正确的是( D ) A. 经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一 个平面
2.判断下列命题是否正确:
(1)平面α与平面β相交,它们只有有限个公
b
a P
平面的基本性质 推论3:经过两条平行直线，有且只 有一个平面.
b
a
平面的基本性质
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在
平面与桌面所在平面是否只相交于一点B ？为
什么？
B
平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示为:
P l, Pl.
直线l和直线m相交于点A,记作l__m___A__;
平面α与平面β相交于直线a,记作_α__β___a_._
平面的基本性质
1.平面的表示方法
α
平面α
β
D
C
A
平面β
B
平面AC
2.用符号表示下列语句:
(1)点A在平面α内,但点B在平面α外;
A,B
(2)直线 a 经过平面 外 一点M;
M ,M a
(3)直线 a 既在平面α内,又在平面β内;
A B
D
l
F1
C D1 B1 E1 C1
A1
证明三点共线的方法： [1]先由两点确定一条直线，然后证明另一个点也在此直线上； [2]证明三点在两平面的交线上；
例2.如图所示正方体ABCD A1B1C1D1中 对角线A1C与平面BDC1交于点O, AC, BD 交于点M ,求证 : C1,O, M三点共线.
空间点、线、面的 位置关系
点A在直线a上,记作_A___a_点, A不在直线a上, 记作_A__ _a_ ; 点A在平面α内,记作_A__α__点, A不在α内, 记作_A__ α _ _ ; 直线l在平面α内,记作_l __α__直, 线l不在α内, 记作_l __α_ _ ; 直线l和平面α相交于点A,记作_l _α___A__;
（1）、4条直线全共面时 （2）、有3条直线共面时
（c）、每2条直线都确定 一平面时
三条直线相交于一点，用其中的两条确定平 面，最多可以确定6个。
2个平面分空间有两种情况：
（1）两平面没有公共点时
（2）两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面把空间分成4，6，7或8个部分。
（1）
共点. ×
(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有
且只有一个平面. √
(3)经过两条相交直线,有且只有一个平面.√
(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,
那么这两个平面重合. √
平面的基本性质
基本题型
公理1: 如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直线上的
证明点共线：证明这些
所有点都在这个平面内。
已知：直线a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C
求证：a,b,c,l共面
证明：∵a∥b
a、b确定平面α
又∵a∩l=A,b∩l=B,
a
l
A
B
C
b
c
lα
同理b、c确定平面β,且lβ
而l、bα,l、bβ,lb B
α 与 β 重 合
∴a,b,c,l共面
定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 ，那么这两个角相等或互补。
a ,a a
平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内.
图形语言 符号语言
.A
l
·
.·B ·
Al
B A
l
l
B
在生产、生活 中，人们经过长 期观察与实践， 总结出关于平面 的一些基本性质， 我们把它作为公 理．这些公理是 进一步推理的基 础．
用途:可以用来判断直线是否在平面内.
（2）
（3）
（4）
（5）