一元二次方程及其解法(一)直接开平方法—巩固练习

一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—巩固练习

【基础练习】 一、选择题

1. 若2

2

30px x p p -+-=是关于x 的一元二次方程，则( ) A ．p ≠1 B ．p ≠0且p ≠1 C ．p ≠0 D ．p ≠0且p ≠1

2．如果x=﹣3是一元二次方程ax 2=c 的一个根，那么该方程的另一个根是（ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．1

3．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2﹣x +m=0的一个根，则m 的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．2 4．若1x ，2x 是方程2

4x =的两根，则12x x +的值是 ( )

A ．8

B ． 4

C ．2

D ．0

5．若a 为方程式2

(17)100x -=的一根，b 为方程式2

(4)17y -=的一根，且

a 、

b 都是正数，则a b -之值为何?( )

A ．5

B ．6

C ．83

D ．1017-

6．已知方程2

0x bx a ++=有一个根是-a(a ≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( )

A ．ab

B ．

a

b

C ．a+b

D ．a-b 二、填空题

7. 方程(2x+1)(x-3)＝x 2

+1化成一般形式为____ __，二次项系数是_____， 一次项系数是________，常数项是________． 8．（1）关于x 的方程

是一元二次方程，则m ；

（2）关于x 的方程是一元一次方程，则m . 9．下列关于x 的方程中是一元二次方程的是____ ____(只填序号)． (1)x 2

+1＝0； (2)2

11

12

x x +

=+； (3)210x y ++=； (4)32

10x x x --+=； (5)2

2(35)64x x x -=+ ； (6)(x-2)(x-3)＝5.

10．下列哪些数是方程2

680x x -+=的根?答案： . 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．

11．方程2x ﹣4=0的解也是关于x 的方程x 2+mx +2=0的一个解，则m 的值为 ． 12．若方程（x ﹣4）2=a 有实数解，则a 的取值范围是___ _____． 三、解答题

13．若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是m+1与2m ﹣4，求b

a

的值．

14. 用直接开平方法解下列方程．

(1)2

160x -=； (2)2

(2)9x -=．

15．教材或资料会出现这样的题目：把方程

2

122

x x -=化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答． (1)下列式子中，有哪几个是方程

2

122

x x -=所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号)______ __． ①

21202x x --=；

②21202

x x -++=； ③2

24x x -=； ④2

240x x -++=； ⑤2

323430x x --=.

(2)方程

2

122

x x -=化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系?

【提高练习】 一、选择题

1.方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，则a 的值是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ． 3

2．若2

530ax ax -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集应是( ). A ．1

2

a >

B ．a ＜-2

C ．a ＞-2

D ．a ＞-2且a ≠0 3．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b +6的值为（ ）

A ．9

B ．3

C ．0

D ．﹣3 4．已知方程2

0x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是( )．

A ．ab

B ．

a

b

C ．a+b

D ．a-b 5．若2

90x -=，则256

3

x x x -+-的值为（ ）．

A ．1

B ．-5

C ．1或-5

D ．0

6．对于形如x 的方程2

()x m n +=，它的解的正确表达式是（ ）.

A ．用直接开平方法解得x n =±

B ．当0n ≥时，x m n =±

C ．当0n ≥时，x n m =±-

D ．当0n ≥时，x n m =±- 二、填空题

7．如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是 .

8．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x+m 2﹣4=0的常数项为0，则m 的值等于 .

9．已知x ＝1是一元二次方程2

0x mx n ++=的一个根，则2

2

2m mn n ++的值

为_______．

10．(1)当k_____时，关于x 的方程2

2

(1)(1)10k x k x ---+=是一元二次方程； (2)当k________时，上述方程是一元一次方程．

11．已知a 是方程2

1

04

x x +-=的根，则354321a a a a a -+--的值为 ．

12．已知a 是关于x 的一元二次方程2

201210x x -+=的一个根，则

222012

20111

a a a -+

+的值为 ． 三、解答题

13.一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为2x 2﹣3x ﹣1=0，试求a ，b ，c 的值．

14．用直接开平方法解下列方程．

(1)（x+1）2=4； (2) (2x-3)2=x 2

．

15．已知△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝6，x 为实数，且6a b +=，2

9x ab =-．

(1)求x 的值；

(2)若△ABC 的周长为10，求△ABC 的面积ABC S △．

【基础答案与解析】 一、选择题 1．【答案】C ；

【解析】方程2

0ax bx c ++=是一元二次方程的条件是a ≠0，b 、c 可以是任意实数． 2.【答案】A ；

【解析】ax 2=c ， 即x 2=， x=±

，

∵x=﹣3是一元二次方程ax 2=c 的一个根，

∴该方程的另一个根是x=3，故选A ． 3.【答案】A.

【解析】把x=﹣1代入x 2﹣x +m=0得1+1+m=0，解得m=﹣2．故选A ． 4．【答案】D ； 【解析】直接开方可得12x =，22x =-，∴ 120x x +=. 5.【答案】B ；

【解析】由2

(17)100x -=得1710x -=±，∴ 11710x =+，

21710x =-，

又a 是正数且a 是此方程的根， ∴ 1710a =+．同理417b =+， ∴ (1710)(417)6a b -=+-+=．

6.【答案】D ；

【解析】将x a =-代入方程得2

()()0a b a a -+-+=．∴ 2

0a ab a -+=，

又a ≠0．

方程两边同除以a 得a-b+1＝0，∴ a-b ＝-1，即a-b 的值恒为常数．

二、填空题

7．【答案】x 2

-5x-4＝0，1，-5，-4． 8．【答案】（1）2m ≠±；（2）m=-2. 【解析】（1）因为关于x 的方程是一元二次方

程，

所以2

40, 2.m m -≠≠±解得 （2）因为关于x 的方程

是一元一次方

程，

所以2 2.402(2)0

m m m m =±?-=???≠---≠?? 解得 所以m=-2.

9．【答案】(1)，(6).

【解析】根据一元二次方程的定义，要判断一个方程是否是一元二次方程要看

它是否符合定义的三个必备条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程．当然对有些方程必须先整理后再看．(1)是；(2)含有分式；(3)含有两个未知数；(4)未知数最高次数为3；(5)方程整理得-10x-4＝0，不是一元二次方程；(6)方程整理得x2-5x+1＝0是一元二次方程，所以(1)、(6)是一元二次方程．

10．【答案】2，4．

【解析】把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x 2

-6x+8＝0，

发现当x ＝2和x ＝4时，方程x 2

-6x+8＝0左右两边相等，所以x ＝2，

x ＝4是方程x 2

-6x+8＝0的根．

11.【答案】-3.

【解析】2x ﹣4=0，解得：x=2，把x=2代入方程x 2+mx +2=0得：4+2m +2=0，解得：m=﹣3． 12．【答案】a ≥0；

【解析】∵方程（x ﹣4）2=a 有实数解，∴x ﹣4=±，∴a ≥0；．

三、解答题

13.【答案与解析】

解：∵x 2=（ab ＞0）， ∴x=±

，

∴方程的两个根互为相反数， ∴m+1+2m ﹣4=0，解得m=1，

∴一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是2与﹣2， ∴4a=b ∴

=4．

故答案为：4． 14.【答案与解析】

(1)移项，得2

16x =，根据平方根的定义，得4x =±．即14x =，24x =-．

(2)根据平方根的定义，得23x -=±，即15x =，21x =-．

15.【答案与解析】

(1)观察可知方程①、②、③、④、⑤的各项系数分别是原方程各项系数

乘以1，-1，2，-2，23得到的，其中①、②、④、⑤是一般形

式，③不是一般形式．

(2)二次项系数、一次项系数与常数项之比为

1

(1)(2)2

--::，即1(2)(4)--::，

若设二次项系数为a ，则一次项系数为2a -，常数项为4a -．

【提高答案与解析】 一、选择题 1．【答案】C ；

【解析】∵方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，

∴（a+1）x+a+1=0， 解得x=﹣1，

当x=﹣1时，a=2，故选C ．

2．【答案】D ；

【解析】解不等式得a ＞-2，又由于a 为一元二次方程的二次项系数，所以a ≠0．即a ＞-2且a ≠0． 3.【答案】D

【解析】∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +6=0的一个根为x=﹣2， ∴a ×（﹣2）2+b ×（﹣2）+6=0， 化简，得 2a ﹣b +3=0， ∴2a ﹣b=﹣3， ∴6a ﹣3b=﹣9，

∴6a ﹣3b +6=﹣9+6=﹣3， 故答案为：D ．

4. 【答案】D ；

【解析】由方程根的定义知，把x a =-代入方程得2

0a ab a -+=，即

(1)0a a b -+=，而0a ≠，

∴ 1a b -=-.

5．【答案】B ；

【解析】本题主要考查的是利用一元二次方程的解来探索使分式有意义的值．由2

90x -=，得3x =±，

由分式有意义，可得x ≠3，所以3x =-．当3x =-时，

256

53

x x x -+=--，故选B ．

6．【答案】C ；

【解析】因为当n 是负数时，在实数范围内开平方运算没有意义，当n 是非负数时，

直接开平方得

，解得x n m =±-，故选C ．

二、填空题 7．【答案】p=-3,q=2；

【解析】∵ x ＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，

∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①

同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ②

联立①，②得24,1,p q p q +=-??+=-? 解之得：3,

2.p q =-??=?

8．【答案】m=-2；

【解析】由题意得：m 2﹣4=0，解得：m=±2，∵m ﹣2≠0，∴m≠2，∴m=﹣2 9．【答案】1；

【解析】将x ＝1代入方程得m+n ＝-1，两边平方得m 2+2mn+n 2

＝1. 10．【答案】(1)≠±1 ； (2)＝-1.

【解析】(1)k 2-1≠0，∴ k ≠±1． (2)由k 2-1＝0，且k-1≠0，可得k ＝-1． 11．【答案】20； 【解析】由题意可知2

104a a +-

=，从而得214a a +=，21

4

a a =-． 于

是

235432322

32111111444411()()()(1)

44

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ????------- ? ?-????===+--+-+--

255

555544201111144444a a a a a a a a a -

--=

===??----- ???

． 12.【答案】2011.

【解析】因为a 是方程的根，所以2

201210a a -+=，所以2

12012a a +=，

220121a a =-，

所

以

22201220111

a a a -+

+20121

20121201112012a a a a a

=--+

=+-20122011a a

a

-=

=．

三、解答题

13.【答案与解析】

解：一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为ax 2﹣（2a ﹣b ）x ﹣（b ﹣a ﹣c ）=0，

一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为2x 2﹣3x ﹣1=0，得

，

解得．

14.【答案与解析】

解：(1)两边直接开平方得：x+1=±2，得x+1=2,x+1=-2,解得：x 1=1,x 2=-3． (2) 两边直接开平方得，得2x-3=±x ，∴x 1=3,x 2=1． 15.【答案与解析】

解：（1）6a b =-代入2

9x ab =-中得2

2

(3)0x b +-=，

∵ 2

0x ≥，2

(3)0b -≥，

∴ 0x =，3b =．

（2）由（1）知3a b ==，

∴ 1064c =-=，221

432252

ABC S =

??-=△．