常系数线性微分方程复习

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第三章一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法(1)

第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：1 新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组dYAY dx= (3.20) 其中A 是n n ⨯实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一n n ⨯矩阵A ，恒存在非奇异的n n ⨯矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换Y TZ = (3.21)其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为1dZT ATZ dx-= (3.22) 我们知道，约当标准型1T AT -的形式与矩阵A 的特征方程111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-2的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论.(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ这时12100n T AT λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组(3.20)变为11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3.23)易见方程组(3.23)有n 个解1110(),00xZ x e λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n =陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋李万军3这里i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性方程组()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ彼此互异，且12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则121122(),(),,()n x xxn n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ===是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组353dxx y z dt dyx y z dt dzx y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩的通解.解它的系数矩阵是311151313A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦特征方程是311det()1510313A E λλλλ---=---=--4即 321136360λλλ-+-=所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量1a T b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,a b c 满足方程1111()1310111a a A E b b c c λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0300a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩可得,0a c b =-=. 取一组非零解，例如令1c =-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是110,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 211,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3121T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦故方程组的通解是236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根从上一讲我们已经知道，求解方程组dYAY dx= （3.20）归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2i λαβ=±是一对共轭根，由定理3.11，对应解是陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋李万军5111(),x Y x e T λ= 222()x Y x e T λ=其中12,T T 是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．定理3.12 如果实系数线性齐次方程组()dYA x Y dx= 有复值解()()()Y x U x iV x =+其中()U x 与()V x 都是实向量函数，则其实部和虚部12()()(),()n u x u x U x u x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12()()()()n v x v x V x v x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦证明因为()()()Y x U x iV x =+是方程组(3.8)的解，所以[]()()()()d dU x dV x U x iV x i dx dx dx+≡+ ()[()()]()()()()A x U x iV x A x U x iA x V x ≡+≡+由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：()()()dU x A x U x dx = , ()()()dV x A x V x dx= 即()U x ,()V x 都是方程组(3.8)的解.证毕.定理3.13 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是区间(,)a b 上的n 个线性无关的向量函数，12,b b 是两个不等于零的常数，则向量函数组112[()()],b Y x Y x + 212[()()],b Y x Y x - 3(),,()n Y x Y x (3.24)在区间(a, b )上仍是线性无关的.6证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数12,,,n C C C ，使得对区间(,)a b 上的所有x 皆有1112221233[()()][()()]()()0n n C b Y x Y x C b Y x Y x C Y x C Y x ++-+++≡所以112211122233()()()()()()0n n C b C b Y x C b C b Y x C Y x C Y x ++-+++≡因为12(),(),,()n Y x Y x Y x 线性无关，从而11220,C b C b += 11220,C b C b -= 30,,0n C C ==从上式可知，11220C b C b ==, 因为12,0b b ≠, 故120C C ==. 即所有常数12,,,n C C C 都等于零，矛盾. 证毕.由代数知识知, 实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果a ib λ=+是特征根，则其共轭a ib λ=-也是特征根. 由定理3.11，方程组(3.20)对应于a ib λ=+的复值解形式是1111222122()()()112()a ib x a ib x a ib x n n n t t it t t it x e T e e t t it ++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1Y1112212212(cos sin )axn n t it t it e bx i bx t it +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦11121211212222211221cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ax ax n n n n t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx eie t bx t bx t bx t bx -+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋李万军7这里1T 是对应于a ib λ=+的特征向量.由于矩阵A 是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根a ib λ=-的解，记作()2(),a ib x x e -=2Y T =21T T . 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为1112212212cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e t bx t bx -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12YY 1211222121cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e it bx t bx +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦12YY由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解，并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.例2 求解方程组3dxx y z dt dyx y dt dzx z dt ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解它的系数矩阵为111110301--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程是8111det()110301λλλλ----=--A E 即2(1)(25)0λλλ--+=特征根为11,λ= 2,312i λ=±先求11λ=对应的特征向量为1011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦T再求212i λ=+所对应的特征向量2T . 它应满足方程组2211((12))120302i a i i b i c ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A E T 0即2020320ia b c a bi a ci ⎧---=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩ 用2i 乘上述第一个方程两端，得422020320a bi ci a bi a ci ⎧--=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋李万军9显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和. 故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即20320a bi a ci -=⎧⎨-=⎩求它的一个非零解.不妨令2,a i = 则1,3b c ==. 于是212i λ=+对应的解是(12)222sin 22cos 21(cos 2sin 2)1cos 2sin 2333cos 23sin 2i t t t t i i t t e e t i t e t ie t t t +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故原方程组的通解为123()02sin 22cos 2()1cos 2sin 2()13cos 23sin 2t t t x t t t y x C e C e t C e t z x t t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(三) 矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然而，当矩阵A 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若i λ是A 的i k 重特征根，则由齐次线性方程组()i i λ-=A E T 0所决定的线性无关特征向量的个数i γ, 一般将小于或等于特征根i λ的重数i k . 若i γ=i k ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若i γ＜i k ，由线性代数的知识，此时也可以求出i k 个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量，可将矩阵A 化成若当标准型10121m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-J J T AT J 其中未标出符号的部分均为零无素，而1010i ii i λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J (1,2,,)i m =是i k 阶约当块，12,m k k k n +++= 12,,,m λλλ是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成12m d dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J Z Z J (3.25) 根据(3.25)的形式，它可以分解成为m 个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的.设方程组d Dx=YAY （3.26）中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换=Y TZ 其中()(,1,2,,5)ij t i j ==T 且det 0≠T ，将方程组(3.26)化为d dx=ZJZ (3.27) 我们假定陇东学院数学系常微分方程精品课程教案1112210000100000000010000λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组 1112212313dz z z dx dz z dxdz z dx λλλ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(3.28)4245525dz z z dx dz z dxλλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (3.29) 在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得11123121232332!()xxxC z x C x C e z C x C e z C e λλλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=+= 同样对(3.29)可解得2245455()xx z C x C e z C eλλ=+= 这里125,,,C C C 是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现45,,z z 在(3.29)中不出现123,,z z z ．我们依次取12345123451234512345123451,00,1,00,1,00,1,00,1C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =========================可以得到方程组(3.27)的五个解如下11111121232!0,,00000000x xx x x x x e xe e e xe e λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Z Z Z , 222450000,000x x x e xe e λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z Z 从而1111112222002!000()00000000000x x x x x x x x x x exe e e xe x e e xe e λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Z (3.31) 是方程组(3.27)的一个解矩阵. 又det (0)10=≠Z ,所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y =TZ 中可得原方程组(3.26)的五个解，1111111211314151,x x x x x t e t e t e t e t e λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 11111111221222313241425152()(),()()()x x x x x t x t e t x te t x t e t x te t x t e λλλλλ⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦Y陇东学院数学系常微分方程精品课程教案11111211121322122232313323324142432515253()2!()2!()2!()2!()2!x x x x x t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e λλλλλ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦Y ,222222222214141524242545343435444445545455()(),()()()x x x x x x x x x x t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e λλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦Y Y而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式12345()[(),(),(),(),()]x x x x x x =Y Y Y Y Y Y 则显然有det (0)0=≠Y T .至此我们已清楚地看到，若J 中有一个三阶若当块，1λ是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解，12345()()()(),1,2,3()()i i i x i i i i p x p x x p x e i p x p x λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y (3.32) 其中每个()(1,2,3,1,2,3,4,5)ki p x i k ==是x 的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式12012()x x x e λ++R R R其中012,,R R R 都是五维常向量.而对于J 中的二阶若当块，2λ是(3.26)的二重根，它所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式234()x x e λ+R R其中34,R R 也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若i λ是A 的一个i k 重特征根，则i λ所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于i k ，而且这些阶数的和恰好等于i k . 这样，由以上分析我们得到定理3.14 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个不同的特征根，它们的重数分别为12,,,m k k k . 那么，对于每一个i λ，方程组(3.20)有i k 个形如1122()(),()(),,()()i i i i i x x x k k x x e x x e x x e λλλ===Y P Y P Y P 的线性无关解，这里向量()(1,2,,)i i x i k =P 的每一个分量为x 的次数不高于1i k -的多项式. 取遍所有的(1,2,,)i i m λ=就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A 的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解. 为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3.1 设n 阶矩阵互不相同的特征根为(1,2,,)i i m λ=，其重数分别是,1212,,,()m m k k k k k k n +++=, 记n 维常数列向量所组成的线性空间为V ，则(1) V 的子集合 {()0,}j kj j λ=-=∈V R A E R R V 是矩阵A 的(1,2,,)j k j m =维不变子空间，并且(2) V 有直和分解 12m =⊕⊕⊕V V V V ;现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.陇东学院数学系常微分方程精品课程教案定理3.15 如果j λ是(3.20)的j k 重特征根，则方程组(3.20)有个j k 形如1011()()j j j k x k x x x e λ--=+++Y R R R (3.33) 的线性无关解，其中向量011,,,j k -R R R 由矩阵方程0112210()()2()(1)()0j j j j j j k j k k j k λλλλ--⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER (3.34)所确定.取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，则得到(3.20)的一个基本解组.证明由定理3.14知，若j λ是（3.20）的j k 重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有21121011[2(1)]()j j j j j j k x k x j k j k x k xe x x e λλλ----+++-++++R R R R R R 1011()j j j k x k A x x e λ--=+++R R R消去j x e λ，比较等式两端x 的同次幂的系数（向量），有0112211()()2()(1)()0j j j j j j k j k j k k λλλλ---⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER （3.35）注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同．（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材．这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出0R ，再依次利用矩阵乘法求出121,,,j k -R R R . 由引理3.1得知，线性空间V 可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，就可以由(3.34)最下面的方程求出n 个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n 个解. 记这n 个解构成的解矩阵为()x Y ，显然，(0)Y 是由(3.34)最下面的方程求出的n 个线性无关常向量构成，由引理3.1的2)矩阵(0)Y 中的各列构成了n 维线性空间V 的一组基，因此det (0)0≠Y ，于是()x Y 是方程组(3.20)的一个基本解组.例3 求解方程组123213312dy y y dx dy y y dxdy y y dx ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解系数矩阵为011101110⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 特征方程为2(2)(1)0λλ-+=特征根为 1232, 1.λλλ===-其中12λ=对应的解是211()11x x e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 下面求231λλ==-所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如陇东学院数学系常微分方程精品课程教案01()()x x x e -=+Y R R并且01,R R 满足0120()()0=⎧⎨=⎩A +E R R A +E R 由于111()111,111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 2333()333333⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 那么由20()0=A +E R 可解出两个线性无关向量11,0-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 101-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦将上述两个向量分别代入01()=A +E R R 中，均得到1R 为零向量.于是231λλ==-对应的两个线性无关解是21()1,0x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 31()01x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 最后得到通解2123111()110101x x x x C e C e C e ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y 例4 求解方程组11232123312332dy y y y dx dy y y y dxdy y y y dx⎧=+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++⎪⎩ 解系数矩阵是311121111-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程为3(2)0λ-= , 有三重特征根1,2,32λ=由定理3.15，可设其解形如22012()()xx x x e =++Y R R R012,,R R R 满足方程组0121230(2)(2)(2)-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩A E R R A E RR A E R 0由于23111101000(2)101,(2)000,(2)000111101000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E A E A E 故0R 可分别取10,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 01,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案再将它们依次代入上面的方程，相应地求得1R 为11,1⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2R 为120,12⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 00,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是，可得原方程组三个线性无关解 22212111012()010,()10,011012x x Y x x x e Y x x e ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦2231012()0101112xY x x x e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦最后方程的通解可写成22112222233111()22()1()11122x x x x x x y x C y x e x x C y x C x x x x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦本讲要点：1 . 常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。

常微分复习题

1. 如果微分方程 0),,,,()(='n y y y x F Λ左端为未知函数及其各阶导数的（一）次有理整式，则它称为线性微分方程。

2. 形如（)()(y x f dxdyϕ= ）的方程，称为变量可分离方程，其中)(x f 和)(y ϕ分别是y x , 的连续函数。

3. 方程()dy P x y dx=的通解为（ ()P x dxy ce ⎰= ）这里c 是任意的常数。

4. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的充要条件是（M Ny x∂∂=∂∂ ），其中(,),(,)M x y N x y 在区域G 内连续可微。

5. 函数),(y x f 称为在闭矩形区域 b y y a x x D ≤-≤-00,:上关于y 满足利普希兹条件，如果存在常数0>L 使得不等式（ 2121),(),(y y L y x f y x f -≤- ）对所有D y x y x ∈),(),,(21都成立。

其中L 称为利普希兹常数。

6. 初值问题（3.1），若),(y x f 在区域G 内连续且关于y 满足局部Lipschtiz 条件,则任一非饱和解均可延拓为（饱和解）。

7. 设初值问题（3.1）满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ϕ=,则在此关系式中, (,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式（ 00(,,)y x x y ϕ= ）。

8. 如果),(y x f 以及（yy x f ∂∂),( ）在G 内连续，则(3.1)的解),,(00y x x y ϕ=作为 00,,x x y 的函数，在它定义范围内连续可微。

9. 0)()()(1111=++++---x t a dt dx t a dtx d t a dt x d n n n n n n Λ称为（ n 阶线性齐次微分方程）。

常微分方程(竞赛复习)

二、用积分求解的高阶微分方程
1. y
( n)
( x) f ( x)
积分n次
2. y ( x ) f ( x , y ) 3. y ( x ) f ( y , y )
dp 令p( x ) y ( x ), 方程 f ( x , p) dx
（一个等式，两个变量）
3
1 dx C ] 3 2 ( x 1) x 1 x C1 x x , 2 x 1 4 C1 3 1 2 通解： y x x x C2 . 4 3 2
2[
2
例2
2 2 0 的通解。求 y y 1 y
dP 解：令 y P y P , dy dP 2 d y dP 2 2 代入方程： P P 0, P y 1 dy 1 y ln P 2 ln( y 1) ln C1 dy dy 2 C1 d x P C1 ( y 1) 2 ( y 1) dx 1 y 1 . C1 x 2
3 1 cos x x 1 2 3
2.设y1 x是方程 x y xy y 0的一个解,
2
求方程的通解
3.设f ( x )具有二阶连续导数积分 , [ xy( x y ) f ( x ) y ]dx [ f ( x ) x 2 y ]dy与路径无关 ,
三、高阶线性微分方程
1.几个关于解函数的叠加原理
2.齐次、非齐次方程通解的结构
3.常数变易法见教材P169 P171
已知齐次方程的一个解，求另一个线性无关解； ( )
已知齐次方程的通解，求非齐次方程的通解；
4.特征值法常系数线性方程的解

第四章__§4.2_常系数线性微分方程的解法.

§4.2 常系数线性微分方程的解法
一复值函数与复值解
二常系数齐次方程与欧拉方程三非齐线性方程与比较系数法四质点振动（了解）
一、复值函数与复值解
1、复值函数
如果 (t )与 (t )是区间a t b上定义的实函数 , 我们称z (t ) (t ) i (t )为区间a t b上的复值函数 .
要求方程的通解，只需求它的基本解组，以下介绍求基本解组的Euler待定指数函数法（特征根法）. 说明：一阶常系数齐线性方程
x ax 0 有通解 x ce ; t 有通解 x x 0 x ce .
at
受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解：
其中，是待定常数, 可实也可复.
若 (t )与 (t )在区间a t b上连续, 则称z (t )在 a t b上连续.
若 (t )与 (t )在a t b上可微, 则称z (t )在 a t b上可微, 且z (t )的导数为
z ' (t ) ' (t ) i ' (t )
复值函数的求导法则与实函数求导法则相同
e 2 t e n t
易证，解组（4.22）的n个解线性无关。事实上：
e 1t
W [e , e ,, e ]
1t 2t nt
1e
1t
2 e
2 t
n e
n t
n 1 1t 1 e
1 2t n 1 n t n e 2 n e
1
把它代入方程(4.19)得
xe ,
t
(4.20)
L[e ] ( a1
n
t
n1
an1 an )e 0

常微分方程期末复习提要(1)

常微分方程期末复习提要中央电大顾静相常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。

本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习．一、复习要求和重点第一章初等积分法1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。

2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法．（1）显式变量可分离方程为：)()(d d y g x f x y = ；当0≠g 时，通过积分⎰⎰+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。

（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=；当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ⎰⎰+=C x x M x M y y N y N d )()(d )()(2112求出通解。

3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为：)(d d x y g x y = ；令x y u =，代入方程得xu u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得⎰=-uu g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ϕ=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ϕ=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法．（1）一阶线性齐次微分方程为：0)(d d =+y x p xy 通解为：⎰=-x x p C y d )(e 。

常系数线性微分方程

常系数线性微分方程线性微分方程是微分方程中的一种重要类型，它在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

本文将从定义、特征、解法和应用等方面对线性微分方程进行详细介绍。

一、线性微分方程的定义线性微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，y是未知函数。

它的一般形式为dy/dx + p(x)y = g(x)。

二、线性微分方程的特征线性微分方程具有以下特征：1. 线性：方程中未知函数y及其导数的次数均为1次，且没有幂函数、指数函数和对数函数等非线性项。

2. 可分离变量：可以通过移项将方程变形为dy/y = -p(x)dx + q(x)dx，从而可进行变量分离，简化求解过程。

3. 叠加原理：线性微分方程的解具有叠加性，即一般解等于相应齐次线性微分方程的解与非齐次线性微分方程的特解之和。

三、线性微分方程的解法线性微分方程的求解可以采用常系数法、变易法、特解法等多种方法，下面以常系数线性微分方程为例进行说明。

1. 常系数线性微分方程的一般形式为dy/dx + ay = b，其中a和b为常数。

常系数线性微分方程的解具有通解和特解两种形式。

2. 首先求解齐次线性微分方程dy/dx + ay = 0。

令y = e^(mx)，代入方程得d(e^(mx))/dx + ae^(mx) = 0，化简得me^(mx) + ae^(mx) = 0，整理可得(m+a)e^(mx) = 0。

由于e^(mx)恒大于0，所以(m+a) = 0，即m = -a。

因此，齐次线性微分方程的通解为y = c*e^(-ax)，其中c为常数。

3. 再求解非齐次线性微分方程dy/dx + ay = b。

根据线性微分方程叠加原理，非齐次线性微分方程的一般解等于齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和。

4. 特解的求解可以采用常数变易法，假设特解为y = C，代入原方程得C + aC = b，解得C = b/(1+a)。

常微分方程中的常系数线性方程及其解法

常微分方程中的常系数线性方程及其解法常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是一种数学模型，用于描述时间或空间上量的变化规律。

常微分方程中的常系数线性方程是ODE中一个重要的类别，其解法具有一定的规律性和普适性。

本文将就常微分方程中的常系数线性方程及其解法做简要介绍。

一、常系数线性方程的定义常系数线性方程是指其系数不随自变量t的变化而改变的线性方程。

一般写为：$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=f(t)$$其中a的值为常数，f(t)为已知函数，y(t)为未知函数，方程中最高阶导数的阶数为n。

n阶常系数线性方程也称为n阶齐次线性方程；当f(t)≠0时，称其为n阶非齐次线性方程。

二、常系数线性方程的解法对于一般形式的常系数线性方程，我们常用特征根的方法来求解。

具体来说，先考虑对应的齐次线性方程$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=0$$设y(t)=e^{rt}，则有$$r^ne^{rt}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rt}+...+a_1re^{rt}+a_0e^{rt}=0$$整理得到$$(r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0)e^{rt}=0$$根据指数函数的性质得到$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$求解方程$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$可得到n个特征根，设其为$r_1,r_2,...,r_n$。

则对于齐次线性方程，其通解为$$y(t)=c_1e^{r_1 t}+c_2e^{r_2 t}+...+c_ne^{r_n t}$$其中$c_1,c_2,...,c_n$为待定常数。

常微分方程的常系数线性方程

常微分方程的常系数线性方程常微分方程是求解自然现象中变量随时间变化的数学工具。

它是描述自然现象中许多重要现象如振荡、决策、生长和衰变等的基础。

常微分方程又可分为一阶方程和高阶方程。

一般的高阶方程可以通过将其转化为同阶但有更多变量的方程来解决。

而本文所涉及的是常微分方程中的常系数线性方程，它是一类重要的高阶方程，大量实际问题都可以用常系数线性方程来描述和解决。

一、基本概念和定义常系数线性方程是指高阶形式为$y^n + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1y’ + a_0y = f(x)$的方程，其中$n \in N, a_i \in R (i=0,1,...,n-1)$是常数，$f(x)$是已知函数，$y=y(x)$是要解的未知函数。

该方程中的常数称为常系数，线性指$f(x)$为一次函数，即不含有未知函数$y$的高次项。

二、解法为了求解常系数线性方程，我们首先要解其特征方程，即解形如$y^n + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1y’ + a_0y = 0$的齐次方程。

特征方程的根称为特征根，常系数线性方程的解法要分三种情况：实根不同、重根和虚根。

(1)实根不同的情况当特征方程有$n$个不同实根$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$时，设对应的齐次方程的$n$个线性无关解分别为$y_1,y_2,...,y_n$，那么方程的通解为$y=c_1y_1+c_2y_2+...+c_ny_n$，其中$c_1,c_2,...,c_n$是任意常数。

(2)重根的情况当特征方程有一个重根$\lambda$时，设对应的齐次方程的两个线性无关解分别为$y_1=e^{\lambda x}$和$y_2=xe^{\lambda x}$，那么方程的通解为$y=(c_1+c_2x)e^{\lambda x}$，其中$c_1，c_2$是任意常数。

(3)虚根的情况当特征方程有$n$个对应的虚根$\alpha_1 \pm \beta_i i(1\leq i\leq m)$时，设对应的齐次方程的$n$个线性无关解分别为：$y_1=e^{\alpha_1x}cos\beta_1x,...,y_{2m-1}=e^{\alpha_1x}cos\beta_mx$$y_2=e^{\alpha_1x}sin\beta_1x,...,y_{2m}=e^{\alpha_1x}sin\beta _mx$那么方程的通解为$y=(c_1cos\beta_1x+c_2sin\beta_1x)e^{\alpha_1x}+...+(c_{2m-1}cos\beta_mx+c_{2m}sin\beta_mx)e^{\alpha_1x}$，其中$c_1,c_2,...,c_{2m}$是任意常数。

常微分方程期末复习

1.求下列方程的通解。

1sin 4-=-x e dxdyy . 解：方程可化为1sin 4-+-=x e dxde y y令ye z =，得x z dxdzsin 4+-= 由一阶线性方程的求解公式，得[]xx x dx dx ce x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+⎰⎰=⎰)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y e ＝xcex x -+-)cos (sin 22.求下列方程的通解。

1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dx dy y .解：设t p dxdysin ==，则有t y sec =，从而c tgt t tdt c tdt tgt tx +=+=+⋅=⎰⎰2sec sec sin 1，故方程的解为221)(y c x =++，另外1±=y 也是方程的解 .3.求方程2y x dxdy+=通过)0,0(的第三次近似解. 解：0)(0=x ϕ 20121)(x xdx x x==⎰ϕ5204220121)41()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕ dx x x x x dx x x x x x x⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=0710402523201400141)20121()(ϕ 8115216014400120121x x x x +++=4.求解下列常系数线性方程。

0=+'+''x x x解：对应的特征方程为：012=++λλ， .解得i i 23,23212211--=+-=λλ 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=-5.求解下列常系数线性方程。

t e x x =-'''解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013=-λ，解得231,13,21i±-==λλ，故齐线性方程的基本解组为：i e i ee t23sin ,23cos ,2121--，因为1=λ是特征根，所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，tt t t e Ate Ate Ae =-+3，所以31=A ，所以原方程的通解为2121-+=e c e c x tt te i e c i 3123sin 23cos 213++-6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：5,1--=+--=y x dtdyy x dt dx 解： ⎩⎨⎧=--=+--050!y x y x 解得⎩⎨⎧-==23y x 所以奇点为（)2,3-经变换，⎩⎨⎧+=-=33y Y x X方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=Y X dtdy Y X dt dx因为,01111≠---又01)1(11112=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。

高数第十二章常系数齐次线性微分方程

yC1er1xC2er2x
C1,C2是任意常数 .
6
2 .特征根是实重根的情形
r p (二重), 2
则 y 1 e r x 是微分方程的一个解 ,要求方程的通解 , 只令需 y y再 1 2 求 u 一 (x 个 ),解则 y2y ,2 且 y yy 1 21不 u(是 x)常数 erx .u(x),
12
例 1 求微分方程 y 2 y 3 y 0 的通解 . 解特征方程为
r2 2r30,
解得特征根 r 1 1 ,r 2 3 , 故所求方程的通解为
yC1exC2e3x. C1,C2是任意常数 .
13
例 2 求方程d2s2dss0满足初始条件 dt2 dt
y1

1 2 ( y1

y2 )
ex cosx
y2

1 2i ( y1
y2 )
ex sinx
9
y1,y2仍是微分方程的解 .且
y1 y2
eexxcsoinsxxcotx
不是常数. 于是微分方程的通解为
y e x (C 1c o sx C 2s inx )
则 (1 )的通解即可求得 :
yC1y1C2y2
2
分析 : 一阶常系数齐次线性微分方程
dy ay 0 dx 有形如 y e a x 的解 ( 通解 y C e a x 中 C 1 ) ,
猜想 : 假如方程 ( 1 ) 也有指数形式的解

常系数线性微分方程的解法

函数,而x z(t) (t) i (t)是方程的复值解,则z(t) 的实部 (t),虚部 (t)和其共轭复数z (t )也都是方程
(4.2)的解.
定理4.2.2 设方程
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 L an1(t ) dt an(t)x u(t ) iv(t )
§4.2 常系数线性微分方程的解法
一、复值函数与复值解二、常系数齐线性微分方程的解法三、常系数非齐线性微分方程的解法
一. 复值函数与复值解
定义 : 如果对于区间a t b中的每一个实数t,有复
数z(t)=(t)+i (t)与它对应,则称z(t)是定义在实值
区间[a, b]上的一个复值函数.
例1：求方程
d3 dt
x
3

d2x dt 2

2x

0的一个基本解组。
问题：如何求实系数方程的实值基本解组？
结果1'：如果L[ x] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有k个互异的实根1，2，...,k , 及2l(k 2l n)个复根
为代数方程
F n a1 n1 ... an 0
的根。
定义1：
称多项式F n a1 n1 ... an为L[ x] 0的特征多项式；称方程F n a1 n1 ... an 0为L[ x] 0的特征方程；称方程F n a1 n1 ... an 0的根为L[ x] 0的特征根。
实变量的复值函数的极限, 连续性, 可导性与实变量的实值函数相应概念一致.
设K i是任一复数,定义

常系数线性微分方程的一般解法

初始条件法
根据微分方程和初始条件，确定通解中的任意常数，从而得到满足初始条件的特解。
积分因式法
通过对方程进行适当的变换，使其成为易于积分的形式，然后求解通解。
05 微分方程的特解
特解的定义与性质
总结词
特解是满足微分方程的特定函数，具有与原方程不同的形式。
VS
详细描述
特解是微分方程的一个解，它具有与原方程不同的形式，但满足原方程的约束条件。特解通常用于求解微分方程时，通过将特解代入原方程来求解未知数。
二阶常系数线性微分方程
总结词
二阶常系数线性微分方程是形如 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t)) 的方程，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。
详细描述
二阶常系数线性微分方程的一般形式为 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t))，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。解这个方程可以得到 (y(t)) 的通解。
间的变化性微分方程在机械振动分析中有着广泛的应用，例如分析弹簧振荡器、单摆等的振动规律。
电路分析
在电路分析中，微分方程被用来描述电流、电压随时间的变化规律，以及电路元件的响应特性。
控制工程
在控制工程中，微分方程被用来描述系统的动态特性，以及系统对输入信号的响应。
在经济中的应用
供需模型
微分方程可以用来描述商品价格随时间的变化规律，以及供需关系对价格的影响。
投资回报分析
在投资领域，微分方程可以用来描述投资回报随时间的变化规律，以及风险因素对投资回报的影响。

常系数线性常微分方程

微分方程转化为可分离变量的形式。
03 线性微分方程组的解法
矩阵表示法
矩阵表示法是一种将线性微分方程组转换为矩阵形式的方法，通过矩阵运算来求解微分方程组。
矩阵表示法可以简化计算过程，提高求解效率，尤其适用于高阶线性微分方程组。
特征值和特征向量
特征值和特征向量是线性微分方程组解的重要性质，它们描述了微分方程组的解的特性。
投资回报
在金融领域，常系数线性常微分方程可以用来描述投资回报率随时间的变化，为投资者提供决策依据。
经济增长模型
通过建立常系数线性常微分方程，可以分析一个国家或地区的经济增长趋势，预测未来的经济状况。
在生物中的应用
1 2 3
生态模型
常系数线性常微分方程在生态学中广泛应用于描述种群数量的变化规律，如种群增长、竞争等。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子，将微分方程转化为积分方程，从而求解。
详细描述
积分因子法是一种求解常系数线性常微分方程的方法。通过寻找一个积分因子，可以将微分方程转化为积分方程，然后通过求解积分方程得到原微分方程的解。这种方法在求解某些特定类型的微分方程时非常有效，例如通过寻找适当的积分因子可以将一阶线性
热传导问题
在热传导过程中，常系数线性常微分方程可以用来描述温度随时间的变化，从而分析热量传递的规律。
波动方程
在声学和电磁学中，常系数线性常微分方程可以用来描述波动现象，如声波和电磁波的传播。
在经济中的应用
供需模型
常系数线性常微分方程可以用来描述市场的供需关系，分析价格随时间的变化，预测市场趋势。
02
线性微分方程组的解还具有唯一性和存在性，即对于给定的初始条件和边界条件，存在唯一的解。

微分方程中的线性方程与常系数方程

微分方程中的线性方程与常系数方程微分方程是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

微分方程可以分为线性方程和非线性方程。

本文将重点讨论微分方程中的线性方程与常系数方程。

一、线性方程线性微分方程是指满足线性叠加原理的微分方程。

线性叠加原理即线性微分方程的解的线性组合也是其解。

一般形式的一阶线性微分方程可以写作：y' + P(x)y = Q(x)其中P(x)和Q(x)是已知的函数，y是未知函数。

该方程可以用线性代数的方法求解，不再赘述。

对于高阶线性微分方程，一般形式可以表示为：yⁿ + a₁(x)yⁿ⁻¹ + a₂(x)yⁿ⁻² + ... + aₙ₋₁(x)y' + aₙ(x)y = Q(x)这里yⁿ表示y的n次导数，a₁(x)到aₙ(x)为已知函数，Q(x)为右端函数。

高阶线性微分方程的求解涉及到特征方程、齐次解和非齐次解等概念，需要借助一些数学方法。

二、常系数方程常系数方程是指方程中的系数是常数。

常系数线性微分方程是微分方程中最基础也是最常见的一类，常见的常系数方程有以下几种：1. 一阶常系数线性微分方程：y' + ay = b其中a和b均为常数。

该方程的解可以通过分离变量、求指数、利用一阶线性微分方程的通解公式等方法求解。

2. 二阶常系数齐次线性微分方程：y'' + by' + cy = 0其中b和c是常数。

该方程的解可以通过特征方程的求解，求出对应的特征根后，利用特征根的性质和初值条件求解出具体的解。

3. 二阶常系数非齐次线性微分方程：y'' + by' + cy = f(x)其中f(x)为已知函数。

该方程的解可以分为齐次解和非齐次解两部分。

齐次解可以通过特征方程的求解得到，而非齐次解可以通过待定系数法、常数变易法等方法求解。

类似地，对于高阶常系数线性微分方程，解的求解方法也可以通过特征方程和初值条件来确定。

常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的简介
常系数线性微分方程是微分方程的一种形式，其特点是方程中的未知函数和其导数都是一次的，且系数是常数。
这种类型的微分方程在解决实际问题中非常有用，因为它们能够描述许多自然现象和系统的动态行为。
解法的历史背景和发展
早期解法
在17世纪，数学家开始研究常系数线性微分方程的解法，如牛顿和莱布尼茨等。
经济学问题
根据经济学原理和经济数据，建立微分方程描述经济系统的变化趋势。
几何问题
通过几何图形和空间关系，建立微分方程描述物体的运动轨迹。
生物学问题
根据生物学原理和实验数据，建立微分方程描述生物种群的增长规律。
常系数线性微分方程的一般形式
y'' + p*y' + q*y = f(x)
其中，y''表示y的二阶导数，p和q是常数，f(x)是x的函数。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换，将微分方程转化为更容易求解的形式。
详细描述
首先，选择一个新的变量代换，将微分方程中的未知函数表示为这个新变量的函数。然后，将这个新变量的函数代入微分方程，得到一个更容易求解的方程。最后，对方程进行求解，得到未知函数的通解。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子，将微分方程转化为一个更简单的方程，从而求解。
数值解法
对于难以解析求解的方程，可以采用数值方法进行近似求解，如欧拉
法、龙格-库塔法等。
A
B
C
D
人工智能算法
结合人工智能技术，如神经网络、遗传算法等，可以提供新的求解思路和方法。
自适应算法
根据问题的具体情况，采用自适应算法可以更好地控制求解精度和计算量。

常系数线性常微分方程

(不难看出, 原方程有特解 1,x,x2,x3,ex)
例5. 解方 d d4 xw 4程 4w0(0).
解: 特征方程: r4 4 (r22)2 22 r20
即 ( r 2 2 r 2 )r 2 ( 2 r 2 ) 0
其根为
r1,2
解: 本题 0, 而特征方程为 r22r30,
0不是特征方程的根 .
设所求特解为 y*b0xb1,代入方程 :
3 b 0 x 3 b 1 2 b 0 3 x 1
比较系数, 得
2b 30 b03b 311
b0
1,
b1
1 3
于是所求特解为 y*x1. 3
分析思路: 第一步将 f (x) 转化为
f(x ) P m (x )e ( i )x P m(x)e(i)x
第二步求出如下两个方程的特解
y p y q y P m ( x ) e ( i ) x
ypyqyP m(x)e(i)x
第三步利用叠加原理求出原方程的特解
(以上Ci, Di均为任意常 ) 数
例1. 求y 方 2 y 程 3 y 0 的通解.
解: 特征方程 r22r30,特征根: r1 1,r23,
因此原方程的通解为 yC 1e xC 2e3x
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2ds dt
s
0
st04,
ds dt
例2. 求y 方 5 y 程 6 y xe 2 x 的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r25r60,其根为
r12, r23
对应齐次方程的通解为 YC 1e2xC 2e3x 设非齐次方程特解为 y*x(b 0xb 1)e2x

4.2常系数线性微分方程的解法

dnx d n1 x dx L( x) n a1 n1 a n1 a n x 0 (4.19) dt dt dt
e 1t , e 2t ,, e nt . (4.22)
最后一个行列式是范德蒙行列式, 它不等于零, 从而W (t ) 0, 于是解组（ 4.22 ）线性无关 , 这就是所要证明的 . 如果i (i 1,2,, n)均为实数, 则（ 4.22 ）是方程（ 4.19 ）的n个线性无关的实值解 ,而方程（ 4.19 ）的通解可表示为
x ( m ) ( ye 1t ) ( m ) m(m 1) 2 ( m2) (m) m ( m 1) e y m1 y 1 y 1 y , 2!
1t
可得
n n 1 d y d y 1t L[ ye ] ( n b1 n1 bn y )e 1t L1 y e 1t dt dt
e Kt e i t et e it et cos t i sin t 由上述定义推得 1 it 1 i t i t cos t e e sin t e e it 2 2i 此外,函数e kt 还有下面重要性质：
t t0 t t0 t t 0
z (t 0 ) , 则称z(t )在t 0连续如果 lim t t
显然, z(t )在t 0连续相当于 (t )和 (t )在t 0连续 .
当z (t )在区间a t b上每一点都连续时 , 就称z (t )在区间 a t b上连续.
最后, 我们给出在今后讨论中要用到的两个重要结论：
d n z (t ) d n1 z (t ) dz (t ) a ( t ) a ( t ) a n (t ) z (t ) 0 (4.2) 1 n 1 n n 1 dt dt dt

常系数线性微分方程复习

第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)

常微分复习题

常微分方程(竞赛复习)

第四章__§4.2_常系数线性微分方程的解法.

常微分方程期末复习提要(1)

常系数线性微分方程

常微分方程中的常系数线性方程及其解法

常微分方程的常系数线性方程

常微分方程期末复习

高数第十二章常系数齐次线性微分方程

常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的一般解法

常系数线性常微分方程

微分方程中的线性方程与常系数方程

常系数线性微分方程的解法

常系数线性常微分方程

4.2常系数线性微分方程的解法

第三章一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法(1)