概率统计4

注意
三
引入随机变量的意义
使得随机试验中的各种事件 随机变量的引入， 随机变量的引入， 可通过随机变量的关系表达出来. 可通过随机变量的关系表达出来 例如， 例如，某城市的120 急救电话每小时收到的呼 唤次数 X 是一个随机变量 是一个随机变量. 收到不少于20次呼叫 事件： 收到不少于 次呼叫} 事件：{收到不少于 次呼叫 { X ≥ 20将分布律写成 或将分布律写成
X
0 0.6
1 0.075
2 0.325
pk
2.三种重要的离散型随机变量的概率分 2.三种重要的离散型随机变量的概率分 布
(1) 0-1分布
只可能取0与 两个值 设随机变量 X 只可能取 与1两个值 , 它的分 布律为
P{X = k} = p (1− p) , k = 0,1(0 < p < 1)
解：设X表示商店每月销售某种商品的件数，则X ~ P(10), 于是 10k −10 P{X = k } = e , k = 0,1,.... k! 假设月底的进货为n件，按题意要求有 10k −10 P{X ≤ n} ≥ 0.95 ⇒ ∑ e ≥ 0.95 k = 0 k!
n
由查表和计算得 10k −10 ∑ k! e = 0.9166 < 0.95 k =0
地震 火山爆发 特大洪水
电话呼唤次数
商场接待的顾客数
交通事故次数
例：某城市每天发生火灾的次数X服从参 数为λ=0.8的普阿松分布，求该城市一天 内至少发生3次火灾的概率。
P {X = k } = 解 : 由题意， P {X ≥ 3 } =
λk
k! X ~ P ( 0 . 8 ),
e
−λ
, k = 0 ,1 ,...;
2、连续型随机变量 、
随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间,叫做连续型随机变量 满某个区间 叫做连续型随机变量. 叫做连续型随机变量
实例 灯泡的寿命” 随机变量 X 为“灯泡的寿命”.
则 X 的取值范围为 [0, +∞). 实例 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量
误差” 误差”. 则 X 的取值范围为 (a, b) .
称 X 服从参数为n，p 的二项分布，记 作 x~B n p ( , ) 0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布．
例：某炮击中目标的概率为0.2，现在共发 射了14发炮弹,若至少有两发炮弹击中目 标才能摧毁它，试求催毁目标的概率。
解：设 X表示14发炮弹中击中目标的炮 弹数，则 X ~ B (14,0.2), 所以 P{X ≥ 2} = 1 − P{X = 0}− P{X = 1} = 1 − (0.8) − C (0.2)(0.8)
k
20 − k
（3）泊松分布 ）
设随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2,L, 而取各个 值的概率为 k! 其中λ > 0 是常数.则称 X 服从参数为 λ 的泊松分 布, 记为 X ~ P(λ ). P{ X = k} =
λk e −λ
, k = 0,1,2, L,
在生物学、医学、工业统计、 在生物学、医学、工业统计、保险科学及 泊松分布是常见的. 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的 例如地震、火山爆发、特大洪水、 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布. 话呼唤次数等 都服从泊松分布
k 1−k
X pk
0
1− p
1
p
(其中 0<p<1) 其中
分布, 则称 X 服从 0-1分布,简称
x ~ B(1 p) ,
实例 如果掷一次篮球投中篮圈的概率为 0.3，求一次掷球投中次数的分布律 ， 解：X的所有可能取值为0，1，且
P {X = 0} = 0 . 7 , P {X = 1} = 0 . 3
X
pk
0
0.72
1
2 0.02
0.26
例1
所有可能取的值为0， ， 解 X 所有可能取的值为 ，1，2. 记事件第一次罚球时罚中, 以A记事件第一次罚球时罚中 以B记事件第二 记事件第一次罚球时罚中 记事件第二 次罚球时罚中,则有 次罚球时罚中 则有
P( A) = 0.75, P ( B | A) = 0.80, P ( B | A) = 0.70.
{ 50 < Y ≤ 100 }
表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一 随机事件． 随机事件
随机变量因其取值方式的不同， 随机变量因其取值方式的不同， 通常分为两类： 通常分为两类： 1、离散型随机变量 、 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量. 无限可列个 叫做离散型随机变量
第二章 一维随机变量及其分布
2009/9/18
2.1 一维随机变量 随机变量的引入： 一、随机变量的引入：
为全面研究随机试验的结果， 揭示随机现象的统 为全面研究随机试验的结果， 计规律性， 计规律性，需将随机试验的结果数量化 在有些随机试验中， 1. 在有些随机试验中，试验的结果本身就由数 量来表示. 例如， 在抛掷一颗骰子， 量来表示 例如， 在抛掷一颗骰子，观察其出 现的点数的试验中， 现的点数的试验中， 试验的结果就可分别由数 1, 2, 3, 4, 5, 6 来表示； 来表示； 又如，在测度灯泡寿命的试验中， 又如， 在测度灯泡寿命的试验中，每一个灯泡 的实际使用寿命可能是 [0,+∞ ) 中的任何一个 实数. 实数 ……
于是分布律为
P { X = 0} = P ( A B ) = P ( B | A ) P ( A )
= 0.30 × 0.25 = 0.075.
P { X = 1} = P ( A B U AB ) = P ( A B ) + P ( AB )
= P ( B | A) P ( A) + P ( B | A) P ( A) = 0.20 × 0.75 + 0.70 × 0.25 = 0.325. P{ X = 2} = P ( AB) = P ( B | A) P ( A) = 0.80 × 0.75 = 0.6.
2.2 离散型随机变量
1. 离散型随机变量的分布律
定义
1. 2.
pk ≥0, k =12,..., ,
∑p
k= 1
∞
k
=1 ,
则称 P X = xk}= pk , k =12 为随机变量 的 { , ,... 为随机变量X的 概率分布律，简称分布律. 概率分布律，简称分布律 X的分布律也可用如下的表格形式来表示： 的分布律也可用如下的表格形式来表示： 的分布律也可用如下的表格形式来表示 X
pk
x1 p1
x2
p2
L
xk pk
L
L
L
例 某系统有两台独立地运转的机器。 设第一台与第二台机器发生故障的 概率分别为0.1,0.2,以X表示系统中 发生故障的机器数，求X的分布律。
解：设 Ai 表示事件“第 i台机器发生故障”（ i = 1, 2） . X 所有可能取值为 0，2，则 1， P {X = 1} = P ( A1 A2 ) + P ( A1 A2 ) = 0 .1 * 0 .8 + 0 .9 * 0 .2 = 0 .26 P{ X = 2} = P ( A1 A2 ) = 0 .1 * 0 .2 = 0 .02 P {X = 0} = P ( A1 A2 ) = 0 .9 * 0 .8 = 0 .72
w
X(w) Rx
实例３ 设盒中有5个球 白 黑 从中任抽3个 则 实例３ 设盒中有 个球 (2白3黑), 从中任抽 个,则
X(e) = 抽 的 球 , 得 白 数 是一个随机变量. 的所有可能取值为: 是一个随机变量 且 X(e) 的所有可能取值为 0, 1 , 2. 实例４ 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 实例４ 设某射手每次射击打中目标的概率是
分布. 随机变量 X 服从 (0—1) 分布
X
其分布律为
0
1
0.3
pk
0 .7
实例2 200件产品中 有190件合格品 件不合格 件产品中,有 件合格品,10件不合格 实例 件产品中 件合格品 现从中随机抽取一件,那末 品,现从中随机抽取一件 那末 若规定 现从中随机抽取一件 那末,若规定 取得不合格品, 1, 取得不合格品 X = 取得合格品. 0, 取得合格品
{ X = 10}
在某路口观察， 【例5】上午 8:00～9:00 在某路口观察，令 】 ～ Y：该时间间隔内通过的汽车数． ：该时间间隔内通过的汽车数． 就是一个随机变量． 则 Y 就是一个随机变量．它的取值为 0， ， 1，…．100} ，Y ． { < 表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件； 辆这一随机事件； 表示通过的汽车数小于 辆这一随机事件
∑
∞
P(X = k)
= 1 − P {X = 0 } − P {X = 1 } − P {X = 2 } = 1 − 0 . 4493 − 0 . 3595 − 0 . 1438 ≈ 0 . 0474
k =3
例：某商店的历史销售记录表明，某种商品每 月的销售量服从参数为λ=10的普阿松分布。 为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问 商店在月底至少应进该商品多少件?
X = X
(e)
0, e = H = 1, e = T
X是定义在样本空间 上的实值函数。 是定义在样本空间 上的实值函数。
二
随机变量的定义
定义：设随机试验 的样本空间是 定义：设随机试验E的样本空间是 Ω = {w}， ， 如果对于每一个w∈ 有一个实数X(w)与之 如果对于每一个 ∈Ω ，有一个实数 与之 对应，这样就得到一个定义在上的单值实值 单值实值函 对应，这样就得到一个定义在上的单值实值函 随机变量,简记为 数X=X(e)，称为随机变量 简记为 。 ，称为随机变量 简记为X。