不等式的性质教案【DOC范文整理】

不等式的性质教案教学设计．1.2 不等式的性质整体设计教学分析本节将在初中学习的不等式的三条基本性质的基础上，系统归纳整理不等式的其他性质，这是进一步学习不等式的基础．要求学生掌握不等式的基本性质与推论，并能用这些基本性质证明简单不等式，进而更深层地从理性角度建立不等观念．对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学的观点与等式的基本性质作类比、归纳逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量之间的比较过程．基本性质2、3、4在初中是由实例验证，在高中里要进行逻辑证明．教学中教师一定要认识到对学生进行逻辑训练的必要性，注意启发学生要求证明的欲望．在中学数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与中学数学几乎所有章节都有联系，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点．为此，在进行本节教学时，教材中基本性质的推论可由学生自己证明，课后的练习A、B要求学生全做．三维目标．通过对初中三条基本性质的回忆，以及上节学习的知识，证明不等式的基本性质和推论．．在了解不等式的基本性质的基础上，利用它们来证明一些简单的不等式．．通过本节的学习，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度．体会数学的结构美和系统美，激发学生学习数学更大的热情．重点难点教学重点：理解并证明不等式的基本性质与推论，并能用基本性质证明一些简单的不等式．教学难点：不等式基本性质的灵活应用．课时安排课时教学过程导入新思路 1.让学生回忆并叙述初中所学的不等式的三条基本性质，即不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．让学生根据上一节的学习将上面的文字语言用不等式表示出来，并进一步探究，由此而展开新课．思路2.等式具有许多性质，其中有：在等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以同一个数，所得的仍是等式．我们自然会联想到，不等式是否也会有此同样的性质呢？学生会进一步探究验证这个联想，由此而展开新课． 推进新新知探究提出问题123等式有哪些基本性质和推论？这些性质有哪些作用？活动：教师引导学生一起回忆等式的性质：等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以同一个数，所得到的仍是等式．利用这些性质，我们可以对等式进行化简、变形或证明．那么不等式会不会也有类似的性质呢？也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以同一个数，结果会不会不变呢？为此教师引导学生回忆上节课学过的实数的基本性质，即a －b ＞0a ＞b ；a －b＜0a ＜b ；a －b ＝0a ＝b. 根据实数的基本性质，要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差．这是我们研究不等关系的一个出发点． 从实数的基本性质，我们可以证明下列常用的不等式性质：性质1，如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b ，即a＞b b＜a.这种性质称为不等式的对称性．性质2，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞c a＞c.这种性质称为不等式的传递性．性质3，如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，即不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．由此得到推论1，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．这个推论称为不等式的移项法则．推论2，如果a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式，同向不等式可以相加，这个推论可以推广为更一般的结论．性质4，如果a＞b，c＞0，则ac＞bc；如果a＞b，c＜0，则ac＜bc.推论1，如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.推论2，如果a＞b＞0，那么an＞bn．推论3，如果a＞b＞0，那么na＞nb．以上这些不等式的性质是解决不等式问题的基本依据．其中性质1是不等式的对称性；性质2是不等式的传递性；性质3表明不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向，由此可得不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边；性质4表明，不等式两边允许用非零数去乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号，这点与等式的性质不同；性质4的推论1说明两边都是正数的同向不等式可以相乘；性质4的推论2说明两边都是正数的不等式可以乘方；性质4的推论3说明两边都是正数的不等式可以开方．对以上性质的逻辑证明，教师可与学生一起完成.5个推论可由学生自己完成，教师给予适当点拨．这是训练学生逻辑推理能力的极佳机会，不可错过．讨论结果：略．条性质，5个推论．应用示例例1活动：本节教材上共安排了这一个例题，含3个小题，都是不等式性质的简单应用，教师不可忽视本例的训练，过高估计了学生逻辑推理的书写能力．实践证明，学生往往推理不严密．教学时应指导学生根据不等式的性质的条件和结论，强调推理要有理有据，严谨细致，条理清晰．点评：应用不等式性质对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式，是证明不等式的常用方法之一.变式训练已知a＞b＞0，c＜0，求证：ca＞cb.证明：∵a＞b＞0，∴ab＞0，1ab＞0.于是a•1ab＞b•1ab，即1b＞1a.由c＜0，得ca＞cb.例2已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．活动：教师引导学生回忆本题的背景，这类问题是学习三角函数内容时经常遇到的，由于当时所学知识所限，往往容易出错．这里我们在已知的基础上，运用不等式的基本性质得出所要得到的结果．解：∵－π2≤α＜β≤π2，∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4.上面两式相加，得－π2＜α＋β2＜π2.∵－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4.∴－π2≤α－β2＜π2.又知α＜β，∴α－β2＜0.故－π2≤α－β2＜0.点评：在三角函数化简求值中，角的范围的确定往往成为正确解题的关键.变式训练已知函数f＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f＋f＋f的值A ．一定大于0B ．一定小于0c ．等于0D ．正负都有可能答案：B解析：由题意知f 是奇函数，且在R 上为单调增函数， 所以f ＝－f ，f ＝－f ，f ＝－f ，且x1＜－x2，x2＜－x3，x3＜－x1.所以f ＜－f ，f ＜－f ，f ＜－f ．由不等式的性质3推论2知f ＋f ＋f ＜－f －f －f ．因此，f ＋f ＋f ＜0.已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：ea －c ＞eb －d. 活动：教师引导学生观察结论，由于e ＜0，因此即证1a －c ＜1b －d ，引导学生作差，利用本节所学的不等式基本性质．证明：c ＜d ＜0c>－d>0a>b>0a －c ＞b －d ＞01a －c<1b －de<0ea －c ＞eb －d.点评：本例是灵活运用不等式的性质．证明时一定要推理有据，思路条理清晰.变式训练若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a|＞|b|；③a ＜b 中，正确的不等式有A．0个B．1个c．2个D．3个答案：B解析：由1a＜1b＜0得b＜a＜0，ab＞0，则①正确，②错误，③错误.知能训练．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是A.1a＜1bB．a2＞b2[:学+科+网]c.ac2＋1＞bc2＋1D．a|c|＞b|c|．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是A.ba＞b＋1a＋1B．a＋1a＞b＋1bc．a＋1b＞b＋1aD.2a＋ba＋2b＞ab．有以下四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.其中能使1a＜1b成立的有__________个条件．答案：．c 解法一：∵a＞b，c2＋1＞0，∴ac2＋1＞bc2＋1.解法二：令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A、B、c、D中，可知A、B、D均错．．c 解法一：由a＞b＞00＜1a＜1ba＋1b＞b＋1a.解法二：令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝12，b＝13，排除B.．3 解析：①∵b＞0，∴1b＞0.∵a＜0，∴1a＜0.∴1a＜1b.②∵b＜a＜0，∴1b＞1a.③∵a＞0＞b，∴1a＞0，1b＜0.∴1a＞1b.④∵a＞b＞0，∴1a＜1b.课堂小结．教师与学生共同完成本节的小结．从实数的基本性质与三条基本性质的回顾，到所有性质的推得，推论的证明，以及例题的探究、变式训练等．真正温故知新，将本节课所学内容纳入已有的知识体系．．教师进一步强调代数逻辑推理的方法要领，指出利用不等式的性质时容易忽略的地方，以及证明不等式时需要注意的问题．作业习题3—1A组4、5；习题3—1B组4.设计感想．本节设计更加关注学生的发展．通过具体问题的解决，让学生去感受、体验，并从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯．．本节设计注重学生的探究活动．学生在学习过程中，通过对问题的探究思考、体验认识、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和积极主动的学习品质，从而提高学习质量．．本节设计注重了学生个性品质的发展．通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探索精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美、数学推理的严谨美，从而激发学生强烈的探究兴趣．备课资料备用习题．如果a、b、c、d是任意实数，则A．a＞b，c＝dac＞bdB.ac＞bca＞bc．a3＞b3，ab＞01a＜1bD．a2＞b2，ab＞01a＜1b．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是A．a＞b＞－b＞－aB．a＞－b＞－a＞bc．a＞－b＞b＞－aD．a＞b＞－a＞－b．已知－1＜a＜b＜0，则下面不等式中正确的是A.1a＜1b＜b2＜a2B.1a＜1b＜a2＜b2c.1b＜1a＜a2＜b2D.1b＜1a＜b2＜a2．设a、b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是A．b－a＞0B．a3＋b3＜0c．a2－b2＜0D．b＋a＞0．若α、β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是A．－π＜α－β＜πB．－π＜α－β＜0c．－π2＜α－β＜π2D．－π2＜α－β＜0．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为__________，xy的取值范围为__________．．已知a＜b，c＞d，求证：c－a＞d－b.．已知x＞y＞z＞0，求证：yx－y＞zx－z.参考答案：．c A项中，当c、d为负数时，ac＜bd，A错；B项中，当c为负数时，a＜b，B错；c项中，a3＞b3，得出a＞b，又由ab＞0可得1a＜1b，c项正确；D项中，若a、b均为负数时，由a2＞b2得出a＜b，由ab＞0得出1a＞1b，D错．．c 由a＋b＞0，b＜0可知a＞0，b＜0，故a，－b为正，－a，b为负，又由a＋b＞0知a＞－b，b＞－a，所以a ＞－b＞b＞－a.．D 由－1＜a＜b＜0知ab＞0，所以1b＜1a＜0，a2＞b2＞0，故1b＜1a＜b2＜a2.．D 利用赋值法：不妨令a＝1，b＝0，则排除A，B，c.．B 由α＜β知α－β＜0，又由α＞－π2，β＜π2，故α－β＞－π2＝－π，即－π＜α－β＜0.．∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28.又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，yx∈．∴xy∈，即XX＜xy＜3.．证明：∵a＜b，∴－a＞－b.又∵c＞d，∴c＋＞d＋，即c－a＞d－b.．证明：∵x＞y，∴x－y＞0.∴1x－y＞0.又y＞z＞0，∴yx－y＞zx－y.①∵y＞z，∴－y＜－z.∴x－y＜x－z.∴0＜x－y＜x－z.∴1x－y＞1x－z.又z＞0，∴zx－y＞zx－z.②由①②得yx－y＞zx－z.。