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2023年中考数学第一轮复习之模块三函数—专题3 反比例函数(含解析)

2023年中考数学第一轮复习模块三函数题型梳理题型一、反比例函数概念及其解析式 1．（2022·海南）若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，则它的图象也一定经过的点是（）A ．(2,3)--B ．(3,2)--C ．(1,6)-D ．(6,1)2．（2022·贵州遵义）反比例函数()0ky k x=≠与一次函数1y x =-交于点()3,A n ，则k 的值为__________．3（2022·黑龙江哈尔滨）已知反比例函数6y x=-的图象经过点()4,a ，则a 的值为___________．题型二、反比例函数的图像与性质1．（2022·北京）在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）2.（2022·广东）点()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x=图象上，则1y ，2y ，3y ，4y 中最小的是（） A ．1y B ．2yC ．3yD ．4y3．（2022·广西贺州）己知一次函数y kx b =+的图象如图所示，则y kx b =-+与by x=的图象为（）A ．B ．C ．D ．4．（2022·湖南）在同一平面直角坐标系中，函数1(0)y kx k =+≠和(0)ky k x=≠的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．题型三、反比例函数k 的几何意义1．（2022·湖南郴州）如图，在函数()20=>y x x 的图像上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数()80y x x=-<的图像于点B ，连接OA ，OB ，则AOB 的面积是（）A ．3B ．5C ．6D ．102．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数3yx=的图象上，顶点A在反比例函数kyx=的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A．2B．1C．1-D．2-3．（2022·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数8yx=和kyx=的图象交于P、Q两点．若S∥POQ＝15，则k的值为（）A．38B．22C．﹣7D．﹣224．（2022·广西桂林）如图，点A在反比例函数y＝kx的图像上，且点A的横坐标为a（a＜0），AB∥y轴于点B，若AOB的面积是3，则k的值是_____．5．（2022·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，∥AOB 的边OB 在y 轴上，边AB 与x 轴交于点D ，且BD =AD ，反比例函数y =kx(x >0)的图像经过点A ，若S ∥OAB =1，则k 的值为___________．6．（2022·山东烟台）如图，A ，B 是双曲线y ＝kx（x ＞0）上的两点，连接OA ，O B ．过点A 作AC ∥x 轴于点C ，交OB 于点D ．若D 为AC 的中点，∥AOD 的面积为3，点B 的坐标为（m ，2），则m 的值为 _____．7．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，点A 是反比例函数(0)ky x x=<图象上一点，过点A 作AB ∥y 轴于点D ，且点D 为线段AB 的中点．若点C 为x 轴上任意一点，且∥ABC 的面积为4，则k =______________．8．（2022·贵州铜仁）如图，点A 、B 在反比例函数ky x=的图象上，AC y ⊥轴，垂足为D ，BC AC ⊥．若四边形AOBC 间面积为6，12AD AC =，则k 的值为_______．题型四、反比例函数的不等式问题1．（2022·湖北荆州）如图是同一直角坐标系中函数12y x =和22y x =的图象．观察图象可得不等式22x x>的解集为（）A ．11x -<<B ．1x <-或1x >C ．1x <-或01x <<D ．10x -<<或1x >2．（2022·内蒙古呼和浩特）点()121,-a y 、()2,a y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，若120y y <<，则a 的取值范围是______．3．（2022·广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2my x=的图象交于点()()2,2,,1A B n --．当12y y <时，x 的取值范围是_________．题型五、反比例函数的实际问题1．（2022·江苏常州）某城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为（） A ．50y x =+ B ．50y x =C ．50y x=D ．50=x y2．（2022·河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的1R ），1R 的阻值随呼气酒精浓度K 的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M 与呼气酒精浓度K 的关系见图3．下列说法不正确．．．的是（）A ．呼气酒精浓度K 越大，1R 的阻值越小B ．当K ＝0时，1R 的阻值为100C ．当K ＝10时，该驾驶员为非酒驾状态D ．当120=R 时，该驾驶员为醉驾状态3．（2022·山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强()Pa p 是它的受力面积2()m S 的反比例函数，其函数图象如图所示，当20.25m S =时，该物体承受的压强p 的值为_________ Pa ．4．（2022·吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V （单位：3m ）变化时，气体的密度ρ（单位：3kg/m ）随之变化．已知密度ρ与体积V 是反比例函数关系，它的图像如图所示．(1)求密度ρ关于体积V 的函数解析式； (2)当3m 10V =时，求该气体的密度ρ．题型六、反比例函数的综合题1．（2022·内蒙古通辽）如图，点D 是OABC 内一点，AD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，BD =，120BDC ∠=︒，BCD S =△()0ky x x =<的图像经过C ，D 两点，则k 的值是（）A ．-B ．6-C ．-D ．12-2．（2022·湖北十堰）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数()110k y k x =>和()220ky k x=>的图象上．若BD y ∥轴，点D 的横坐标为3，则12k k +=（）A ．36B ．18C ．12D ．93．（2022·贵州毕节）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，对角线交于点E ，反比例函数(0,0)ky x k x=>>的图像经过点C ，E ．若点(3,0)A ，则k 的值是_________．4．（2022·贵州黔东南）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC x ⊥轴于点B ，直角顶点A 在y 轴上，双曲线()0ky k x=≠经过AC 边的中点D ，若BC =k =______．5．（2022·山东威海）正方形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，4）．若反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象经过点C ，则k 的值为 _____．6．（2022·四川宜宾）如图，∥OMN 是边长为10的等边三角形，反比例函数y =kx(x >0)的图象与边MN 、OM分别交于点A 、B （点B 不与点M 重合）．若AB ∥OM 于点B ，则k 的值为______．题型七、反比例函数与一次函数综合1．（2022·山东聊城）如图，直线()30y px p =+≠与反比例函数()0ky k x=>在第一象限内的图象交于点()2,A q ，与y 轴交于点B ，过双曲线上的一点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线3y px =+于点E ，且:3:4AOB COD S S =△△．(1)求k ，p 的值；(2)若OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，求点C 的坐标．2．（2022·黑龙江大庆）已知反比例函数k y x =和一次函数1y x =-，其中一次函数图象过(3,)a b ，31,3k a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭两点．(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数1,33y x y x ==的图象分别与函数(0)ky x x =>图象交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使得ABP △周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．3．（2022·黑龙江绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫⎪⎝⎭两点，且与反比例函数22ky x =的图象在第一象限内交于P ，K 两点，连接OP ，OAP △的面积为54．(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)当21y y >时，求x 的取值范围；(3)若C 为线段OA 上的一个动点，当PC KC +最小时，求PKC 的面积．4．（2022·湖南岳阳）如图，反比例函数()0ky k x=≠与正比例函数()0y mx m =≠的图象交于点()1,2A -和点B ，点C 是点A 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ．(1)求该反比例函数的解析式； (2)求ABC 的面积；(3)请结合函数图象，直接写出不等式kmx x<的解集．5．（2022·四川宜宾）如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴交于点()40A ，，与y 轴交于点B ，与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点C 、D ．若tan 2BAO ∠=，3BC AC =．(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求OCD 的面积．6．（2022·湖北恩施）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知∥ACB =90°，A (0，2)，C (6，2)．D 为等腰直角三角形ABC 的边BC 上一点，且S △ABC =3S △ADC ．反比例函数y 1=kx(k ≠0)的图象经过点D ．(1)求反比例函数的解析式；(2)若AB 所在直线解析式为()20y ax b a =+≠，当12y y >时，求x 的取值范围．7．（2022·山东青岛）如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴正半轴相交于点C ，与反比例函数2y x=-的图象在第二象限相交于点(1,)A m -，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，AD CD =．(1)求一次函数的表达式；(2)已知点(,0)E a 满足CE CA =，求a 的值．8．（2022·辽宁营口）如图，在平面直角坐标系中，OAC 的边OC 在y 轴上，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A 和点()2,6B ，且点B 为AC 的中点．(1)求k 的值和点C 的坐标； (2)求OAC 的周长．9．（2022·内蒙古呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2my x=的图象交于A 、B 两点，且A 点的横坐标为1，过点B 作BE x ∥轴，AD BE ⊥于点D ，点71,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C 是直线BE上一点，且AC =．(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，请直接写出不等式0mkx b x+-<的解集．10．（2022·四川达州）如图，一次函数1y x=+与反比例函数kyx=的图象相交于(,2)A m，B两点，分别连接OA，OB．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求AOB的面积；(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2023年中考数学第一轮复习模块三函数题型梳理题型一、反比例函数概念及其解析式 1．（2022·海南）若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，则它的图象也一定经过的点是（）A ．(2,3)--B ．(3,2)--C ．(1,6)-D ．(6,1) 【答案】C【分析】先利用反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，求出k 的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【详解】解：∥反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，∥k ＝2×（﹣3）＝﹣6，∥（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6， 1×（﹣6）＝﹣6， ,6×1＝6≠﹣6，则它一定还经过（1，﹣6），故选：C ．2．（2022·贵州遵义）反比例函数()0ky k x=≠与一次函数1y x =-交于点()3,A n ，则k 的值为__________．【答案】6【分析】将点()3,A n ，代入1y x =-，求得n ，进而即可求解．【详解】解：将点()3,A n ，代入1y x =-，即312n =-=， ()3,2A ∴，326k ∴=⨯=，故答案为：6．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，求得点A 的坐标是解题的关键．3（2022·黑龙江哈尔滨）已知反比例函数6y x =-的图象经过点()4,a ，则a 的值为___________．【答案】32-【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a 的值即可．【详解】解：把点()4,a 代入6y x =-得：6342a =-=-．故答案为：32-．题型二、反比例函数的图像与性质1．（2022·北京）在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）【答案】＞【分析】根据反比例函数的性质，k >0，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：∥k >0，∥在每个象限内，y 随x 的增大而减小， 25＜， ∥1y >2y ．故答案为：>．2.（2022·广东）点()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x=图象上，则1y ，2y ，3y ，4y 中最小的是（） A ．1yB ．2yC ．3yD ．4y【答案】D【分析】根据反比例函数的性质可直接进行求解．【详解】解：由反比例函数解析式4y x=可知：40>，∥在每个象限内，y 随x 的增大而减小，∥点()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x=图象上， ∥1234y y y y >>>，故选D ．3．（2022·广西贺州）己知一次函数y kx b =+的图象如图所示，则y kx b =-+与by x=的图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意可得0,0k b >>，从而得到一次函数y kx b =-+的图象经过第一、二、四象限，反比函数by x=的图象位于第一、三象限内，即可求解．【详解】解：根据题意得：0,0k b >>， ∥0k -<，∥一次函数y kx b =-+的图象经过第一、二、四象限，反比函数by x=的图象位于第一、三象限内．故选：A 4．（2022·湖南）在同一平面直角坐标系中，函数1(0)y kx k =+≠和(0)ky k x=≠的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】分0k >或0k <，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．【详解】解：当0k >时，一次函数1y kx =+经过第一、二、三象限，反比例函数ky x=位于第一、三象限；当0k <时，一次函数1y kx =+经过第一、二、四象限，反比例函数ky x=位于第二、四象限；故选：D ．题型三、反比例函数k 的几何意义1．（2022·湖南郴州）如图，在函数()20=>y x x 的图像上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数()80y x x=-<的图像于点B ，连接OA ，OB ，则AOB 的面积是（）A ．3B ．5C ．6D ．10【答案】B【分析】作AD ∥x 轴，BC ∥x 轴，由1122OBE OCBE AOE ADOE S S S S ∆∆==，即可求解；【详解】解：如图，作AD ∥x 轴，BC ∥x 轴，∥8OCBE S BC BE =⋅=，2ADOE S AD AE =⋅=∥10OCBE ADOE S S += ∥1122OBE OCBE AOE ADOE S S S S ∆∆==，∥()152AOB OBE AOE OCBE ADOE S S S S S ∆∆∆=+=+=故选：B ． 2．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数3y x=的图象上，顶点A 在反比例函数ky x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【分析】连接OA ，设AB 交y 轴于点C ，根据平行四边形的性质可得1522AOBOBADS S ==，AB ∥OD ，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．【详解】解：如图，连接OA ，设AB 交y 轴于点C ，∥四边形OBAD 是平行四边形，平行四边形OBAD 的面积是5， ∥1522AOBOBADSS ==，AB ∥OD ，∥AB ∥y 轴， ∥点B 在反比例函数3y x=的图象上，顶点A 在反比例函数ky x=的图象上， ∥3,22COBCOAkSS ==-，∥35222AOBCOBCOAk SSS=+=-=，解得：2k =-．故选：D ．3．（2022·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数8y x =和ky x=的图象交于P 、Q 两点．若S ∥POQ ＝15，则k 的值为（）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣22【答案】D【分析】设点P （a ，b ），Q （a ，k a ），则OM ＝a ，PM ＝b ，MQ ＝k a-，则PQ ＝PM +MQ ＝kb a -，再根据ab ＝8，S △POQ ＝15，列出式子求解即可．【详解】解：设点P （a ，b ），Q （a ，k a ），则OM ＝a ，PM ＝b ，MQ ＝ka-，∥PQ ＝PM +MQ ＝kb a-． ∥点P 在反比例函数y ＝8x的图象上，∥ab ＝8．∥S △POQ ＝15，∥12PQ •OM ＝15，∥12a （b ﹣k a）＝15．∥ab ﹣k ＝30． ∥8﹣k ＝30，解得：k ＝﹣22．故选：D ．4．（2022·广西桂林）如图，点A 在反比例函数y ＝kx的图像上，且点A 的横坐标为a （a ＜0），AB ∥y 轴于点B ，若AOB 的面积是3，则k 的值是 _____．【答案】﹣6【分析】根据题意和反比例函数的性质，可以得到k 的值．【详解】解：设点A 的坐标为（a ，ka），由图可知点A 在第二象限，∥a ＜0，0ka>， ∥k ＜0，∥∥AOB 的面积是3， ∥32k a a⋅=，解得k ＝-6，故答案为：-6． 5．（2022·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，∥AOB 的边OB 在y 轴上，边AB 与x 轴交于点D ，且BD =AD ，反比例函数y =kx(x >0)的图像经过点A ，若S ∥OAB =1，则k 的值为___________．【答案】2【分析】作A 过x 轴的垂线与x 轴交于C ，证明∥ADC ∥∥BDO ，推出S ∥OAC = S ∥OAB =1，由此即可求得答案．【详解】解：设A (a ，b ) ，如图，作A 过x 轴的垂线与x 轴交于C ，则：AC =b ，OC =a ，AC ∥OB ，∥∥ACD =∥BOD =90°，∥ADC =∥BDO ，∥∥ADC ∥∥BDO ，∥S ∥ADC =S ∥BDO ，∥S ∥OAC =S ∥AOD + S ∥ADC =S ∥AOD + S ∥BDO = S ∥OAB =1， ∥12×OC ×AC =12ab =1， ∥ab =2，∥A (a ，b ) 在y =k x上， ∥k =ab =2 ．故答案为：2 ．6．（2022·山东烟台）如图，A ，B 是双曲线y ＝k x（x ＞0）上的两点，连接OA ，O B ．过点A 作AC ∥x 轴于点C ，交OB 于点D ．若D 为AC 的中点，∥AOD 的面积为3，点B 的坐标为（m ，2），则m 的值为 _____．【答案】6【分析】应用k 的几何意义及中线的性质求解．【详解】解：D 为AC 的中点，AOD ∆的面积为3，∴AOC ∆的面积为6，所以122k m ==，解得：m ＝6．故答案为：6．7．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，点A 是反比例函数(0)k y x x=<图象上一点，过点A 作AB ∥y 轴于点D ，且点D 为线段AB 的中点．若点C 为x 轴上任意一点，且∥ABC 的面积为4，则k =______________．【答案】4- 【分析】设点,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用()1242=⨯-⨯=ABC k S a a △即可求出k 的值．【详解】解：设点,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∥点D 为线段AB 的中点．AB ∥y 轴∥22AB AD a ==-，又∥()1242=⨯-⨯=ABC k S a a△， ∥4k =-．故答案为：4-8．（2022·贵州铜仁）如图，点A 、B 在反比例函数k y x =的图象上，AC y ⊥轴，垂足为D ，BC AC ⊥．若四边形AOBC 间面积为6，12AD AC =，则k 的值为_______．【答案】3 【分析】设点,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得AD a =，k OD a =，从而得到CD =3a ，再由BC AC ⊥．可得点B 3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭k a a ，从而得到23k BC a=，然后根据AOD AOBC OBCD S S S =+四边形梯形，即可求解．【详解】解∥设点,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∥AC y ⊥轴，∥AD a =，k OD a=，∥12AD AC =， ∥AC 2a =，∥CD =3a ，∥BC AC ⊥．AC y ⊥轴，∥BC ∥y 轴，∥点B 3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭k a a ， ∥233k k k BC a a a=-=， ∥AOD AOBC OBCD S S S =+四边形梯形，四边形AOBC 间面积为6， ∥12136232k k a k a a ⎛⎫+⨯=+ ⎪⎝⎭，解得：3k =．故答案为：3．题型四、反比例函数的不等式问题1．（2022·湖北荆州）如图是同一直角坐标系中函数12y x =和22y x =的图象．观察图象可得不等式22x x>的解集为（）A ．11x -<<B ．1x <-或1x >C ．1x <-或01x <<D ．10x -<<或1x >【答案】D 【分析】根据图象进行分析即可得结果；【详解】解：∥22x x >∥12y y >由图象可知，函数12y x =和22y x=分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为11x x ==-，，由图象可以看出当10x -<<或1x >时，函数12y x =在22y x =上方，即12y y >，故选：D ．2．（2022·内蒙古呼和浩特）点()121,-a y 、()2,a y 在反比例函数(0)k y k x=>的图象上，若120y y <<，则a 的取值范围是______．【答案】1a > 【分析】反比例函数中k ＞0，则同一象限内y 随x 的增大而减小，由于120y y <<，得到021a a <-<，从而得到a 的取值范围．【详解】解：∥在反比例函数y =k x中，k ＞0， ∥在同一象限内y 随x 的增大而减小，∥120y y <<，∥这两个点在同一象限，∥021a a <<-，解得：1a >，故答案为：1a >．3．（2022·广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2m y x=的图象交于点()()2,2,,1A B n --．当12y y <时，x 的取值范围是_________．【答案】-2＜x ＜0或x ＞4【分析】先求出n 的值，再观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方时对应的自变量的取值范围即可．【详解】解：∥反比例函数2m y x=的图象经过A （-2，2）， ∥m =-2×2=-4， ∥4y x=-，又反比例函数4y x=-的图象经过B （n ，-1）， ∥n =4，∥B （4，-1），观察图象可知：当12y y <时，图中一次函数的函数值小于反比例函数的函数值，则x 的取值范围为：-2＜x ＜0或x ＞4．故答案为：-2＜x ＜0或x ＞4．题型五、反比例函数的实际问题1．（2022·江苏常州）某城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为（）A ．50y x =+B ．50y x =C ．50y x =D ．50=x y 【答案】C【分析】根据：平均每人拥有绿地y =总面积总人数，列式求解．【详解】解：依题意，得：平均每人拥有绿地50y x=．故选：C2．（2022·河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的1R ），1R 的阻值随呼气酒精浓度K 的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M 与呼气酒精浓度K 的关系见图3．下列说法不正确．．．的是（）A ．呼气酒精浓度K 越大，1R 的阻值越小B ．当K ＝0时，1R 的阻值为100C ．当K ＝10时，该驾驶员为非酒驾状态D ．当120=R 时，该驾驶员为醉驾状态【答案】C【分析】根据函数图象分析即可判断A ，B ，根据图3公式计算即可判定C ，D ．【详解】解：根据函数图象可得，A.R 随K 的增大而减小，则呼气酒精浓度K 越大，1R 的阻值越小，故正确，不符合题意；B. 当K ＝0时，1R 的阻值为100，故正确，不符合题意；C. 当K ＝10时，则332200102200101022mg/100ml M K --=⨯⨯=⨯⨯=，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意；D. 当120=R 时，40K =，则332200102200401088mg/100ml M K --=⨯⨯=⨯⨯=，该驾驶员为醉驾状态，故该选项正确，不符合题意；故选:C.3．（2022·山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强()Pa p 是它的受力面积2()m S 的反比例函数，其函数图象如图所示，当20.25m S =时，该物体承受的压强p 的值为_________ Pa ．【答案】400【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S =0.25代入，问题得解．【详解】解：设反比例函数的解析式为()0k p k S=≠，由图象得反比例函数经过点（0.1,1000），∥0.11000100k =⨯=，∥反比例函数的解析式为100p S =，当S =0.25时，1004000.25p ==．故答案为：400 4．（2022·吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V （单位：3m ）变化时，气体的密度ρ（单位：3kg/m ）随之变化．已知密度ρ与体积V 是反比例函数关系，它的图像如图所示．(1)求密度ρ关于体积V 的函数解析式；(2)当3m 10V =时，求该气体的密度ρ．【答案】(1)()100V Vρ=> (2)13kg/m【分析】（1）用待定系数法即可完成；（2）把V =10值代入（1）所求得的解析式中，即可求得该气体的密度．(1)设密度ρ关于体积V 的函数解析式为()0,0k V k V ρ=>≠，把点A 的坐标代入上式中得：2.54k =，解得：k =10， ∥()100V V ρ=>． (2)当3m 10V =时，10110ρ==（3kg/m ）．即此时该气体的密度为13kg/m ．题型六、反比例函数的综合题1．（2022·内蒙古通辽）如图，点D 是OABC 内一点，AD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，BD =，120BDC ∠=︒，BCD S =△()0k y x x =<的图像经过C ，D 两点，则k 的值是（）A ．-B ．6-C ．-D ．12-【答案】C【分析】过点C 作CE ∥y 轴于点E ，延长BD 交CE 于点F ，可证明∥COE ∥∥ABE （AAS ），则OE =BD由S ∥BDC =12•BD •CF CF =9，由∥BDC =120°，可知∥CDF =60°，所以DF D 的纵坐标为C （m ，D （m +9，，则k m +9），求出m 的值即可求出k 的值．【详解】解：过点C 作CE ∥y 轴于点E ，延长BD 交CE 于点F ，∥四边形OABC 为平行四边形，∥AB ∥OC ，AB =OC ，∥∥COE =∥ABD ，∥BD ∥y 轴，∥∥ADB =90°，∥∥COE ∥∥ABD （AAS ），∥OE =BD∥S ∥BDC =12•BD •CF ∥CF =9，∥∥BDC =120°，∥∥CDF =60°，∥DF∥点D 的纵坐标为设C （m，D （m +9，，∥反比例函数y =k x（x ＜0）的图像经过C 、D 两点， ∥km +9），∥m =-12，∥k =-故选：C ．2．（2022·湖北十堰）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数()110k y k x =>和()220k y k x=>的图象上．若BD y ∥轴，点D 的横坐标为3，则12k k +=（）A ．36B ．18C ．12D ．9【答案】B 【分析】设P A =PB =PC =PD =t （t ≠0），先确定出D （3，23k ），C （3-t ，23k +t ），由点C 在反比例函数y =2k x 的图象上，推出t =3-23k ，进而求出点B 的坐标（3，6-23k ），再点C 在反比例函数y =1k x的图象上，整理后，即可得出结论．【详解】解：连接AC ，与BD 相交于点P ，设P A =PB =PC =PD =t （t ≠0）．∥点D 的坐标为（3，23k ）， ∥点C 的坐标为（3-t ，23k +t ）． ∥点C 在反比例函数y =2k x 的图象上， ∥（3-t ）（23k +t ）=k2，化简得：t =3-23k ， ∥点B 的纵坐标为23k +2t =23k +2（3-23k ）=6-23k ， ∥点B 的坐标为（3，6-23k ），∥3×（6-23k ）=1k ，整理，得：1k +2k =18．故选：B ．3．（2022·贵州毕节）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，对角线交于点E ，反比例函数(0,0)k y x k x=>>的图像经过点C ，E ．若点(3,0)A ，则k 的值是_________．【答案】4【分析】作CF 垂直y 轴，设点B 的坐标为(0，a )，可证明AOB BFC ≌（AAS ），得到CF =OB =a ，BF =AO =3，可得C 点坐标，因为E 为正方形对称线交点，所以E 为AC 中点，可得E 点坐标，将点C 、E 的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k 的值．【详解】作CF 垂直y 轴于点F ，如图，设点B 的坐标为(0，a )，∥四边形ABCD 是正方形，∥AB =BC ，∥ABC =90°，∥∥OBA +∥OAB =∥OBA +∥FBC =90°∥∥OAB =∥FBC在∥BFC 和∥AOB 中90OAB FBC AOB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∥AOB BFC ≌∥BF =AO =3，CF =OB =a∥OF =OB +BF =3+a∥点C 的坐标为(a ，3+a )∥点E 是正方形对角线交点，∥点E 是AC 中点，∥点E 的坐标为33,22+a +a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∥反比例函数(0,0)k y x k x=>>的图象经过点C ，E ∥()()133/223k a a k a a⎧==+⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得：k =4故答案为：44．（2022·贵州黔东南）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC x ⊥轴于点B ，直角顶点A 在y 轴上，双曲线()0k y k x=≠经过AC 边的中点D，若BC =k =______．【答案】32- 【分析】根据ABC 是等腰直角三角形，BC x ⊥轴，得到AOB是等腰直角三角形，再根据BC = A 点，C 点坐标，根据中点公式求出D 点坐标，将D 点坐标代入反比例函数解析式即可求得k△【详解】∥ABC 是等腰直角三角形，BC x ⊥轴．∥90904545ABO ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒；2AB ==． ∥AOB 是等腰直角三角形．∥BO AO ===故：A，(C ．(D ．将D 点坐标代入反比例函数解析式．32D D k x y =⋅==-．故答案为：32-． 5．（2022·山东威海）正方形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，4）．若反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象经过点C ，则k 的值为 _____．【答案】24【分析】过点C作CE∥y轴，由正方形的性质得出∥CBA=90°，AB=BC，再利用各角之间的关系得出∥CBE=∥BAO，根据全等三角形的判定和性质得出OA=BE=2，OB=CE=4，确定点C的坐标，然后代入函数解析式求解即可．【详解】解：如图所示，过点C作CE∥y轴，∥点B（0，4），A（2，0），∥OB=4，OA=2，∥四边形ABCD为正方形，∥∥CBA=90°，AB=BC，∥∥CBE+∥ABO=90°，∥∥BAO+∥ABO=90°，∥∥CBE=∥BAO，∥∥CEB=∥BOA=90°，∥ABO BCE，∥OA=BE=2，OB=CE=4，∥OE=OB+BE=6，∥C（4，6），将点C代入反比例函数解析式可得：k=24，故答案为：24．6．（2022·四川宜宾）如图，∥OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y=kx(x>0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB∥OM于点B，则k的值为______．【答案】【分析】过点B 作BC ∥x 轴于点C ，过点A 作AD ∥x 轴于点D ，设OC =x ，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得点B (x )，点A (15-2x ，-，再利用反比例函数的性质列方程，解方程即可求解．【详解】解：过点B 作BC ∥x 轴于点C ，过点A 作AD ∥x 轴于点D ，如图：∥∥OMN 是边长为10的等边三角形，∥OM =MN =ON =10，∥MON =∥MNO =∥M =60°，∥∥OBC =∥MAB =∥NAD =30°，设OC =x ，则OB =2x ，BC ，MB =10-2x ，MA =2MB =20-4x ，∥NA =10-MA =4x -10，DN =12NA =2x -5，AD x -- ∥OD =ON -DN =15-2x ，∥点B (x )，点A (15-2x ，-，∥反比例函数y =k x(x >0)的图象与边MN 、OM 分别交于点A 、B ，∥x =(15-2x -，解得x =5(舍去)或x =3，∥点B (3，，∥k题型七、反比例函数与一次函数综合1．（2022·山东聊城）如图，直线()30y px p =+≠与反比例函数()0k y k x=>在第一象限内的图象交于点()2,A q ，与y 轴交于点B ，过双曲线上的一点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线3y px =+于点E ，且:3:4AOB COD S S =△△．(1)求k ，p 的值；(2)若OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，求点C 的坐标．【答案】(1)8k ，12p = (2)点C 的坐标为(4，2)【分析】（1）先求出点B 的坐标，得到3OB =，结合点A 的横坐标为2，求出AOB 的面积，再利用:3:4AOB COD S S =△△求出4COD S =，设,k C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入面积中求出k ，得到反比例函数解析式，再将点A 横坐标代入出点A 纵坐标，最后将点A 坐标代入直线()30y px p =+≠即可求解；（2）根据（1）中点C 的坐标得到点E 的坐标，结合OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，列出关于m 的方程，解方程即可求解．(1)解：∥直线3y px =+与y 轴交点为B ，∥()0,3B ，即3OB =．∥点A 的横坐标为2， ∥13232AOB S =⨯⨯=． ∥:3:4AOB COD S S =△△，∥4COD S =，设,k C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∥142k m m⋅=，解得8k ．∥点()2,A q 在双曲线8y x=上， ∥4q =，把点()2,4A 代入3y px =+，得12p =， ∥8k ，12p =； (2)解：由（1）得,k C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∥1,32E m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． ∥OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，∥BOE COE S S =△△， ∥32BOE S π=△，13422COE m S m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭△， ∥3134222m m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得4m =或4m =-（不符合题意，舍去），∥点C 的坐标为（4，2）．2．（2022·黑龙江大庆）已知反比例函数k y x =和一次函数1y x =-，其中一次函数图象过(3,)a b ，31,3k a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭两点．(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数1,33y x y x ==的图象分别与函数(0)k y x x =>图象交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使得ABP △周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3y x=(2)【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；（2）作点B 关于y 轴的对称点'B ，连接'AB ，交y 轴于点P ，进行计算即可；(1) 解：把(3,)(31,)3k a b a b ++，代入1y x =-，得 313113b a k b a =-⎧⎪⎨+=+-⎪⎩，解得，3k =，所以反比例函数解析式是3y x=；(2)存在点P 使∥ABP 周长最小，理由：解133y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和33y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得， 31x y =±⎧⎨=±⎩和13x y =±⎧⎨=±⎩， 0x ，∴31x y =⎧⎨=⎩和13x y ， ∴()()3,1,1,3A B ，作点B 关于y 轴的对称点'B ，连接'AB ，交y 轴于点P ，当点A 、P 、'B 在一条直线上时，线段'AB 的长度最短，所以存在点P 使∥ABP 周长最小，∥ABP 的周长=AB BP AP ++'AP AB B A =++'AB B A =+ ，===3．（2022·黑龙江绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，且与反比例函数22k y x =的图象在第一象限内交于P ，K 两点，连接OP ，OAP △的面积为54．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)当21y y >时，求x 的取值范围；(3)若C 为线段OA 上的一个动点，当PC KC +最小时，求PKC 的面积．【答案】(1)115,22y x =-+22.y x= (2)01x <<或4x >， (3)65【分析】（1）先运用待定系数法求出直线解析式，再根据OAP △的面积为54和直线解析式求出点P 坐标，从而可求出反比例函数解析式；（2）联立方程组并求解可得点K 的坐标，结合函数图象可得出x 的取值范围；（3）作点K 关于x 轴的对称点K '，连接KK '，PK '交x 轴于点C ，连接KC ，则PC +KC 的值最小，求出点C 的坐标，再根据PKC AKM KMC PAC S S S S ∆∆∆∆=--求解即可．(1)解：∥一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点， ∥把()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入11y k x b =+得， 1505,2k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，11252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∥一次函数解析式为115,22y x =-+ 过点P 作PH x ⊥轴于点H ，∥(5,0),A∥5,OA 又5,4PAO S ∆= ∥15524PH ⨯⨯= ∥1,2PH = ∥151222x -+=， ∥4,x = ∥1(4,)2P ∥1(4,)2P 在双曲线上， ∥2142,2k =⨯= ∥22.y x= (2) 解：联立方程组得，15222y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得，1112x y =⎧⎨=⎩ ，22412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∥(1,2),k根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有01x <<或4x >， ∥当21y y >时，求x 的取值范围为01x <<或4x >，(3)解：作点K 关于x 轴的对称点K '，连接KK '交x 轴于点M ，则K '（1，-2），OM =1，连接PK '交x 轴于点C ，连接KC ，则PC +KC 的值最小，设直线PK '的解析式为,y mx n =+ 把1(4,),(1,2)2P K '-代入得，2142m n m n +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得，56176m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∥直线PK '的解析式为517,66y x =- 当0y =时，106657x -=，解得，751x =， ∥17(,0)5C ∥175OC = ∥17121,55MC OC OM =-=-= 178555AC OA OC =-=-= 514AM OA OM =-=-=，∥PKC AKM KMC PAC S S S S ∆∆∆∆=--1112181422225252=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 122455=-- 65= 4．（2022·湖南岳阳）如图，反比例函数()0k y k x =≠与正比例函数()0y mx m =≠的图象交于点()1,2A -和点B ，点C 是点A 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ．(1)求该反比例函数的解析式；(2)求ABC 的面积；(3)请结合函数图象，直接写出不等式k mx x<的解集．【答案】(1)2y x =- (2)4(3)1x <-或01x <<【分析】（1）把点()1,2A -代入()0k y k x=≠可得k 的值，求得反比例函数的解析式；（2）根据对称性求得B 、C 的坐标然后利用三角形面积公式可求解．（3）根据图象得出不等式k mx x <的解集即可． (1)解：把点()1,2A -代入()0k y k x =≠得：21k =-， ∥2k =-， ∥反比例函数的解析式为2y x=-； (2)∥反比例函数()0k y k x=≠与正比例函数()0y mx m =≠的图象交于点()1,2A -和点B ， ∥()1,2B -，∥点C 是点A 关于y 轴的对称点， ∥()1,2C ，∥2CD =， ∥()122242ABC S =⨯⨯+=△． (3) 根据图象得：不等式k mx x<的解集为1x <-或01x <<． 5．（2022·四川宜宾）如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴交于点()40A ，，与y 轴交于点B ，与反比例函数()0ky x x =>的图象交于点C 、D ．若tan 2BAO ∠=，3BC AC =．。

函数及其图象PPT课件

s
s
s
s
t
t
O
O
A
B
O
t
C
t
O D
3、（09湖州市）如图，一只蚂蚁从 O 点出发，沿着扇形 OAB 的边缘匀速
爬行一周，设蚂蚁的运动时间为 t ，蚂蚁到 O 点的距离为 S ，则 S 关于 t 的函数图象大致为（ C ）
A
S
S
S
S
O
O
tO
tO
tO
t
第（3）题
B
A.
B.
C.
D.
4、(09内江市)打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗
（2）（09大连）函数y x 2 中，自变量x的取值范围是 ( D )
A．x < 2 B．x ≤2 C．x > 2 D．x≥2
x x 2
（3）（09哈尔滨）函数y＝
的自变量的取值范围是_____________．
x2
x （4）（09齐齐哈尔）函数 y x 的自变量的取值范围是_x_≥_0_且__x_≠1 ___． x 1
5000
4000 3000 2000
乙
甲
A
1000
O
5
10 15
20 x(分)
(3)解: x 15 时，甲的路程是: 25015 5000 1250 米，
乙的路程是2000米，两人相距：2000 — 1250 = 750米
在15＜x＜20的时段内，乙速：2000÷（20 — 15）= 400 米/分两人速度之差： 400 — 250 = 150米/分
热身练习：

高教版(2021)中职数学基础模块上册第3单元《函数的性质》课件

情境与问题
下图是北京市当时8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
探究一函数的增减性
问题1.分别根据函数
y x 2 y x 2 y x2
y1 x
的图象，分析并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？
在整个定义域内 y 随x 的增大而增大
y x2
在整个定义域内 y 随x 的增大而减小
右图
为的图像，观察分析图像特点
观察图像可知：
定义域为x∈பைடு நூலகம்,但x≠0
g(1/2)=-4 g(-1/2)=4=-g(1/2)
g(1)=-2
g(-1)=2=-g(1)
g(2)=-1
g(-2)=1=-g(2)
g(4)=-1/2 g(-4)=1/2=-g(4)
f(-x)=-f(x)
探究二奇函数
观察图像可知：对于f(x)=x 定义域为x∈R, f(1)=1 f(-1)=－1=－f(1) f(2)=2 f(-2)=－2=－f(2) f(3)=3 f(-1)=－3=－f(3) f(4)=4 f(-2)=－4=－f(4) f(5)=5 f(-5)=－5=－f(5) 图像特征：图像关于原点中心对称。
y x 2
探究一函数的增减性
y x2
在 (,0)
y 随x 的增大而增大
在 [0,)
y随x的增大而增大
在 (,0)
y 随x 的增大而减小
在 [0,)
y随x的增大而减小
y1 x
探究一函数的增减性
由上例可知在定义域内某个一定区间内，是函数的局部可能单调递增或单调递减，这个性质是对于定义域内某个局部而言的。由上面的分析可得出：
难点：1.运用定义判断函数的奇偶性； 2.奇函数、偶函数的图象性质和几何定义

【中考数学夺分大模块复习权威课件】-第3模块《坐标、函数与图象及其应用》名师大串讲

第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
考点 M(－3，2)关于 x 轴对称的点在 ( C ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．点 M(2，－1)向上平移 2 个单位长度得到的点的坐标是 ( B ) A．(2， 0) B．(2， 1) C．(2，2) D．(2，－3) 3．在平面直角坐标系中，点(3，－ 2)关于原点对称的点的坐标是 (C ) A．(3， 2) B．(3，－ 2) C．(－3，2) D．(－ 3，－2)
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
┃考向互动探究与方法归纳┃
探究一利用象限内点的特征求字母的取值范围
例1 在平面直角坐标系中，若点 P(m－3， m＋1)在第二象－1＜m＜3 ．限，则 m 的取值范围是 ____________
[解析 ] 利用各象限点的坐标符号的特点解题．∵点 P(－3， m＋1)在第二象限，∴m－ 3＜0 且 m＋ 1＞ 0，解得－1＜m＜ 3.
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
[ 解析] 因为水面高度开始增加的慢，后来增加的快，所以容器下面粗，上面细．只有选项 B 符合题意，故答案选 B.
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
┃考题自主训练与名师预测┃
1．点 P(－ 3，－ 2)到 x 轴的距离是 ( B ) A．－ 3 B．2 C．3 D．－2 2． [2013· 湛江 ] 在平面直角坐标系中，点 A(2，－3)在第几象限 ( D ) A．一 B．二 C．三 D．四 3．函数 y＝ x－ 1＋3 中自变量 x 的取值范围是 A．x＞ 1 B．x≠ 1 C．x≤ 1 D． x≥ 1 ( D )
(x，y＋b) b个单位___________ P(x， y)向上平移 ――→
b个单位___________ (x，y－b) P(x， y)向下平移 ――→

中考数学第三单元函数及其图象第13课时二次函数的图象与性质(一) 数学

单元思维导图
UNIT THREE
第三单元
第 13 课时二次函数的图象与性质(一)
函数及其图象
课前双基巩固
考点一二次函数的定义
若 y=(m-1)
2 +2-1
+2mx-1 是二次函数,则 m 的值是
-3
.
课前双基巩固
知识梳理
1.定义:形如y=ax2+bx+c(a
≠0
)的函数叫二次函数,其中a,b,c为常数.
点、与坐标轴的交点等.
高频考向探究
针对训练
[2017·丽水] 将函数y=x2的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的方法是
A.向左平移1个单位
B.向右平移3个单位
C.向上平移3个单位
D.向下平移1个单位
(
)
高频考向探究
[答案]D
[解析]
选项
A
B
C
D
知识点
将函数y=x2的图象向左平移1个单位得到函数y=(x+1)2,其
3
1 2
把(1,0)和(0, )代入 y=- x +bx+c,得 2 3
解得
3
2
2
= ,
= ,
2
2
1
3
2
2
∴抛物线的函数表达式为 y=- x2-x+ .
高频考向探究
1
3
2
2
例 2 [2018·宁波] 已知抛物线 y=- x2+bx+c 经过点(1,0),(0, ).
1
(2)将抛物线 y=- x2+bx+c 平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.

中职数学基础模块3.1函数的概念及其表示法优秀课件ppt

总结演示
高教社
动脑思考探索新知
作函数图像的一般方法——描点法
1.确定函数的定义域； 2.选取自变量x的若干值（一般选取某些代表性的值）计算出它们
对应的函数值y，列出表格； 3.以表格中x值为横坐标，对应y值为纵坐标，在直角坐标系中描出
相应的点（x，y）； 4.根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线．
这函个数函y数与x 的y 定x 义的定域义为域R相．同，都是 R．所以它们是同一个函数．
但它是们它的们定的义对域应不法则同不，同因，此因不此是不同是一同个一函个函数数. ；
高教社
应用知识强化练习
教材练习3.1.1
1．求下列函数的定义域：
（１） f x 2 ；（２） f x x2 6x 5 ．
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巩固知识典型例题
例 3 指出下列各函数中，哪个与函数 y x 是同一个函数：（1） y x2 ；（2） y x2 ；（3） s t ．
x 分析定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数.
解解（（（21））3）函函尽数.数管y y表示xxx22两的个x定函义数x域x,的,为字xx{x母|00x.不, 同0}，，但是定义域与对应法则都相同，
THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS
.
这种表示法的优点是：
.
常用的函数表示方法有列表法、图像法和解析法三种.
高教社
动脑思考探索新知
列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系 . 优点：不需要计算，直接看出与自变量的值相对应的函数值.

函数及其图象函数的图像函数的图象

02
函数的图像
函数图像的概念
1 2
函数图像
将函数表达式中自变量与因变量之间的关系用图形表示出来。
坐标系
在平面直角坐标系中，以横轴表示自变量，纵轴表示因达式的性质，图像呈现不同形状，如直线、曲线、折线等。
绘制函数图像的方法
描点法
根据函数表达式，求出一些自变量对应的因变量值，然后在坐标系上描出对应的点，最后用平滑的曲线或直线将这些点连接起来。
图示法
利用计算器或编程语言，直接在计算机上绘制出函数图像。
函数图像的变换
复合变换
以上变换可以同时进行，也可以多次进行。
平移
将函数图像沿横轴或纵轴方向移动一定距离。
伸缩
将函数图像按比例进行缩放，可以是横向或纵向。
旋转
将函数图像按一定角度顺时针或逆时针旋转一定角度。
翻折
将函数图像以某一条直线或点为对称中心进行翻折。
VS
图像特征
对数函数的图像在坐标系中呈现出“双曲线+直线”的形式，当底数$a>1$时，函数图像在第一象限，当底数$0<a<1$时，函数图像在第四象限。
04
函数图像的应用
利用函数图像求解方程
图像法
通过观察函数图像的交点或切线等方法，求解方程的根。
交点法
根据两个函数图像的交点坐标，求解方程的根。
零点法
通过函数图像与x轴交点的横坐标，求解方程的根。
利用函数图像研究函数性质
01
02
观察法
分析法
通过观察函数图像的形状、趋势和特征，得出函数的性质。
通过对函数图像的局部和整体分析，得出函数的性质。
03
计算法

中考数学复习第三单元函数及其图象第14课时二次函数的图象与性质(二)课件0

∴5a-2b+c=-a+c>0,∴结论③正确;
根据抛物线的轴对称性可知抛物线与 x 轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含这两
1
4
点),∴当 x=1 时,y=a+b+c<0.∵a=3b,∴3b+c<0,∴4b+3c<0,∴结论④错误.
故选 A.
2. [2019·鄂州]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-7所示,对称轴是直线x=1.下
∴b2-4ac>0,∴①正确;
∵抛物线的对称轴为直线 x=1,而点(-1,0)关于直线 x=1 的对称点的坐标为(3,0),
∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=-1,x2=3,∴②正确;

∵对称轴 x=- =1,即 b=-2a,而 x=-1 时,y=0,即 a-b+c=0,∴a+2a+c=0,
A.1
B.2
C.3
图14-6D.4)源自[答案] A3
[解析]根据对称轴-2 =-2得 b=3a,故可得 3a-b=0,∴结论①正确;
∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,∴结论②正确;
根据结论①可知 b=3a,∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知 a<0,c>0,
特殊关系
当x=-1时,y=⑩ a-b+c
若a+b+c>0,则当x=1时,y>0
若a-b+c>0,则当x=⑪ -1 时,y>0
图象的特征
对点演练
题组一
必会题
1.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线

平面直角坐标系与函数及图像

第三模块函数3.1平面直角坐标系与函数及图像考点一、平面直角坐标系内点的坐标1．有序数对(1)平面内的点可以用一对有序实数来表示．例如点A在平面内可表示为A(a，b)，其中a表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标．(2)平面内的点和有序实数对是一一对应的关系，即平面内的任何一个点可以用一对有序实数来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点．(3)有序实数对表示这一对实数是有顺序的，即(1,2)和(2,1)表示两个不同的点．2．平面内点的坐标规律(1)各象限内点的坐标的特征点P(x，y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限⇔x＞0，y＜0.(2)坐标轴上的点的坐标的特征点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；点P(x，y)在坐标原点⇔x＝0，y＝0.【例1】在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限，则m的取值范围是________．解析：由第一象限内点的坐标的特点可得：m>0，m－2>0，解得m＞2.方法点拨：此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的符号特征，建立不等式组或者方程(组)，把点的问题转化为不等式组或方程(组)来解决．考点二、平面直角坐标系内特殊点的坐标特征1．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x 轴(或垂直于y 轴)的直线上点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数．(2)平行于y 轴(或垂直于x 轴)的直线上点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数．2．平面直角坐标系各象限角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等.(2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数.3．平面直角坐标系对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y )；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－x ，y )；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y )．以上特征可归纳为：(1)关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数.(2)关于y 轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．(3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数.【例2】已知点M(1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )解析：由题意得，点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1－2m ，1－m )．∵M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限， ∴⎩⎨⎧1－2m >0，1－m ＞0，解得⎩⎨⎧m ＜12，m ＜1.考点三、确定物体位置的方位1．平面内点的位置用一对有序实数来确定．2．方法 (1)平面直角坐标法(2)方向角和距离定位法用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距离．用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化.考点四、点到坐标轴的距离考点五、平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标－4，－1)，C(2，0)，将△ABC 平移至△A1B1C1的位置，点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1，若点A1的坐标为(3，1)，则点C1的坐标为________．解析：由A(－2，3)平移后点A1的坐标为(3，1)，可知A点横坐标加5，纵坐标减2，则点C的坐标变化与A点的坐标变化相同，故C1(2＋5，0－2)，即(7，－2)．方法点拨：求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质；二是利用图形的全等关系；三是确定变换前后点所在的象限．考点六、函数及其图象1．函数的概念(1)在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些数值是始终不变的，称它们为常量．(2)函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x在其取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说，x是自变量，y是x的函数．函数值：对于一个函数，如果当自变量x ＝a 时，因变量y ＝b ，那么b 叫做自变量的值为a 时的函数值注：函数不是数，它是指某一变化过程中的两个变量之间的关系(3)用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式．2．函数的表示法及自变量的取值范围(1)函数有三种表示方法：解析法，列表法，图象法，这三种方法有时可以互相转化．（表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法）(2)当函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量的取值范围必须符合实际意义或几何意义．3．函数的图象：对于一个函数，把自变量x 和函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫这个函数的图象．(1)画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线．(2)图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上.温馨提示：画图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心圆圈.【例4】函数y ＝1x ＋x 的图象在( ) A ．第一象限 B ．第一、三象限C ．第二象限D ．第二、四象限解析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a的取值范围即可．⎩⎨⎧2x<3（x －3）＋1，①3x ＋24>x ＋a.② 由①得x ＞8，由②得x ＜2－4a ，其解集为8＜x ＜2－4a.因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则⎩⎨⎧2－4a>12，2－4a≤13，解得－114≤a<－52. 故选B.【例5】[2013·苏州] 在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直到铁块完全露出水面一定高度．下图能反映弹簧秤的度数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是 ( )解析：因为小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．露出水面前读数y 不变，出水面后y 逐渐增大，离开水面后y 不变．故选C.方法点拨：观察图象时，首先弄清横轴和纵轴所表示的意义，弄清哪个是自变量，哪个是因变量；然后分析图象的变化趋势，结合实际问题的意义进行判断．考点七、自变量取值范围的确定方法求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．1．自变量以整式形式出现，它的取值范围是全体实数．2．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．3．当自变量以偶次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以奇次方根出现时，它的取值范围为全体实数．4．当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的数5．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．【例6】(1)(2010·遵义)函数y ＝1x －2的自变量x 的取值范围是________． (2)(2010·济宁)在函数y ＝x ＋4中，自变量x 的取值范围是________．(3)(2010·黄冈)函数y ＝x －3x ＋1的自变量x 的取值范围是________． (4)(2010·玉溪)函数y ＝x x ＋1中自变量x 的取值范围是________．【解答】(1)由x －2≠0得x≠2.(2)由x ＋4≥0，得x≥－4.(3)由⎩⎨⎧ x －3≥0，x ＋1≠0，得x≥3. (4)由x ＋1＞0，得x ＞－1.。

中考数学复习课件(全国通用版)：第三单元函数及其图象(123张PPT)【学霸笔记、状元学案、名师教案】

第11课时┃ 考点聚焦
考点3 图形变换引起点的坐标的变化
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，可以得到对应点点的平移 ________( (x＋a，y) 或( x－a，y) ；将点(x，y)向上 ________) (或下)平移b个单位长度，可以得到对应点 (x，y＋b) 或（ ________ (________) x， y － b）图形的平移图形的平移只改变图形的位置(图形上所有点的坐标都要发生相应的变化)，不改变图形的大小和形状
第11课时┃ 考点聚焦
考点6
函数的表示方法
表示方法
(1)列表法
(2)图象法
(3)解析法
使用指导
表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，解决问题时，常常综合应用这三种方法来深入研究函数的性质
第11课时┃ 考点聚焦考点7 函数图象的概念及画法
一般地，对于一个函数，如果以自变量与因变量的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那概念么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象画法 (1)列表；(2)描点；(3)连线步骤
点到两坐标轴的距离点到原点的距离
第11课时┃ 考点聚焦
(1)x 轴上两点 P1(x1，0)与 P2(x2，0)的距离 P1P2 ＝|x1－x2|；坐标轴 (2)y 轴上两点 Q1(0，y1)与 Q2(0，y2)的距离 Q1Q2 上两点＝|y1－y2|；间距离 (3)x 轴上一点 P(x，0)与 y 轴上一点 Q(0，y)的距离 PQ＝ x2＋y2
对应关坐标平面内的点与有序实数对是 ________ 一一对系应的 (1)各象限内点的坐标的特征点 P(x, y)在第一象限 ⇔____________ ； x>0 y>0 x<0 y>0 ；点 P(x, y)在第二象限 ⇔____________ 平面内点 P(x, y)在第三象限 ⇔____________ x<0 y<0 ；点 P(x，点 P(x, y)在第四象限 ⇔____________ x>0 y<0 y)的 (2)坐标轴上点的坐标的特征坐标的点 P(x, y)在 x 轴上⇔__________________ y＝0，x为任意实数；特征点 P(x, y)在 y 轴上⇔__________________ x＝0，y为任意实数；点 P(x, y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 ⇔x、y 同时为零，即点 P 的坐标为(0, 0)；坐标轴上的点不属于任何象限

专题三函数及其图象

2
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规律方法解决此类问题，首先根据图象及抛物线的对称性确定图象与 x 轴的两个交点的坐标，然后确定图象在 x 轴上方或下方所对应的 x 的取值范围 .
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(2013· 湘西州 )如 1 2 图，已知抛物线 y＝－ x ＋ 4 bx＋ 4 与 x 轴相交于 A， B 两点，与 y 轴相交于点 C，若已知点 A 的坐标为 A(－ 2,0)． (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程； (2)求点 C 的坐标，连结 AC，BC 并求线段 BC 所在直线的解析式； (3)试判断△ AOC 与△ COB 是否相似？并说明理由；
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设直线 BC 的解析式为 y＝ kx＋b，把 B(8,0)， C(0,4)的坐标分别代入 y＝ kx＋ b，得
8k＋b＝0， 1 解得 k＝－， b＝ 4， 2 b＝4，
1 ∴直线 BC 的解析式为： y＝－ x＋ 4. 2
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【思路点拨】作 CE⊥ y 轴于点 E，交双曲线于点 G，作 DF⊥x 轴于点 F，易证 △ OAB≌△ FDA≌△ EBC，求得点 A， B 的坐标，根据全等三角形的性质可以求得点 C， D 的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得点 G 的坐标，则 a 的值即可求解．
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4． (2013· 潍坊)设点 A(x1， y1)和 B(x2， y2)是反比 k 例函数 y＝图象上的两个点，当 x1<x2<0 时， y1<y2， x 则一次函数 y ＝－ 2x ＋ k 的图象不经过的象限是 ( A ) B．第二象限 D．第四象限 A．第一象限 C．第三象限

初中数学函数模块3-4 二次函数讲义(含答案解析)

二次函数题型练题型一：二次函数的定义1.二次函数的概念：一般地，形如²y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b ，c 可以为零，二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数²y ax bx c =++的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2（2）a ，b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．①二次函数的识别例1.1下列函数中，是二次函数的是（）A .261y x =+B .61y x =+C .8y x =D .281y x=-+【详解】解：A ．是二次函数，故本选项符合题意；B ．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；C ．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；D ．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A ．变式1.11.下列各式中，y 是x 的二次函数的是（）A.31y x =-B.21y x =C.231y x x =+- D.212y x x=+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的定义：形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数求解可得．【详解】解：A 、y =3x -1是一次函数，不符合题意；B 、21y x =中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；C 、y =3x 2+x -1是二次函数，符合题意；D 、212y x x=+中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．②根据二次函数的定义求参数例1.2如果函数22(2)27my m x x -=-+-是二次函数，则m 的取值范围是（）A .2m =±B .2m =C .2m =-D .m 为全体实数【详解】解：由题意得：20m -≠，222m -=，解得：2m =-，故选：C ．变式1.22.已知函数y ＝（2﹣k ）x 2+kx +1是二次函数，则k 满足__．【答案】k ≠2【解析】【分析】利用二次函数定义可得2﹣k ≠0，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：2﹣k ≠0，解得：k ≠2，故答案为：k ≠2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．题型二：二次函数表达式的图像和性质①2y ax =方的图像和性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0,0y 轴0x >时，y 随着x 的增大而增大；0x <时，y 随着x的增大而减小；0x =时，y 有最小值00a <向下()0,0y 轴0x >时，y 随着x 的增大而减小；0x <时，y 随着x的增大而增大；0x =时，y 有最大值0例2.1抛物线22y x =-的对称轴是（）A .直线12x =B .直线12x =-C .直线0x =D .直线0y =【详解】解：对称轴为y 轴，即直线0x =．故选C ．变式2.13.抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的共同性质是（）A.开口向上B.对称轴是y 轴C.都有最高点D.y 随x 的增大而增大【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质解题．【详解】抛物线y ＝2x 2，y ＝12x 2开口向上，对称轴是对称轴是y 轴，有最低点，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而增大，y ＝－2x 2，开口向下，对称轴是对称轴是y 轴，有最高点，在y 轴的左侧，y 随x 的增大而增大，故抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的共同性质是对称轴是y 轴，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．②2y ax c =+方的图像和性质a 的符开口顶点坐对称性质号方向标轴a >向上()0,c y 轴0x >时，y 随着x 的增大而增大；0x <时，y 随着x的增大而减小；0x =时，y 有最小值c0a <向下()0,c y 轴0x >时，y 随着x 的增大而减小；0x <时，y 随着x的增大而增大；0x =时，y 有最大值c例2.24.将抛物线y ＝x 2＋3向右平移2个单位后，所得抛物线顶点是_______________．【答案】(2，3)【解析】【分析】根据题目给出的二次函数顶点式，以及“左加右减”的平移原则写出平移后的顶点式，再写出对应的顶点坐标．【详解】解：根据“左加右减”的平移原则，向右平移两个单位，平移后解析式应该是2(2)3y x =-+，∴顶点坐标是()2,3．故答案是：()2,3．【点睛】本题考查二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数平移的方法．【详解】解：根据“左加右减”的平移原则，向右平移两个单位，平移后解析式应该是2(2)3y x =-+，∴顶点坐标是()2,3．故答案是：()2,3．变式2.25.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：222111,2,2222y x y x y x ==+=-．【答案】见解析【解析】【分析】利用描点法可画出这三个函数的图象．【详解】解：列表：描点：见表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的线连接，如图所示：【点睛】本题主要考查二次函数图象的画法，掌握基本的描点法作函数图象是解题的关键．③顶点式()2y a x h k =-+的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上(),h k 直线x h=x h >时，y 随着x 的增大而增大；x h <时，y 随着x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k0a <向下(),h k 直线x h >时，y 随着x 的增大而减小；x h <时，y 随x h =着x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k例2.3若二次函数2()1y x m =--．当3x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A .3m =B .3m >C .3m ≥D .3m ≤【详解】解：由题知二次函数对称轴为x m =，开口向上，根据二次函数图像的性质：只需满足3x m ≤≤即可满足题意，故选C ．变式2.36.已知点P （m ，n ）在抛物线y ＝a （x ﹣5）2+9（a ≠0）上，当3＜m ＜4时，总有n ＞1，当7＜m ＜8时，总有n ＜1，则a 的值为（）A.1B.﹣1C.2D.﹣2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的解析式可以确定抛物线的顶点和增减性，再根据已知条件确定a 的符号和关于a 的不等式，从而得到a 的值．【详解】解：∵抛物线y ＝a （x ﹣5）2+9（a ≠0），∴抛物线的顶点为（5，9），∵当7＜m ＜8时，总有n ＜1，∴a 不可能大于0，则a ＜0，∴x ＜5时，y 随x 的增大而增大，x ＞5时，y 随x 的增大而减小，∵当3＜m ＜4时，总有n ＞1，当7＜m ＜8时，总有n ＜1，且x ＝3与x ＝7对称，∴m ＝3时，n≥1，m ＝7时，n≤1，∴491491a a +≥⎧⎨+≤⎩,∴4a+9＝1，∴a ＝﹣2，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、增减性及其与图象的关系是解题关键．④一般式2y ax bx c=++a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线2bx a=-2bx a >-时，y 随着x 的增大而增大；2b x a <-时，y 随着x 的增大而减小；2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -0a <向下24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线2bx a=-2bx a>-时，y 随着x 的增大而增大；0x <时，y 随着x 的增大而增大；2b x a=-时，y 有最小值244ac b a -例2.4若()1–3.5,A y 、()2–1,B y 、()31,C y 为二次函数2––45y x x =+的图象上三点，则123,,y y y 的大小关系是__________．（用＞连接）【详解】对称轴为直线4222(1)b x a -==-=⨯-，∵–10a =<，∴当–2x <时，y 随x 的增大而增大，当–2x >时，y 随x 的增大而减小，∵2( 3.5)2 3.5 1.5,1(2)121,1(2)123---=-+=---=-+=--=+=，∴213y y y >>．故答案为：213y y y >>．变式2.47.某同学利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：序号①②③④⑤x 01234y3﹣23经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你找出错误的那组数据_____．（只填序号）【答案】③．【解析】【分析】由图表的信息知：第一、二、四、五个点的坐标都关于x=2对称，所以错误的一组数据应该是（2，-2）；可选取其他四组数据中的任意三组，用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】解：选取（0，3）、（1，0）、（3，0）；设抛物线的解析式为y=a （x-1）（x-3），则有：a （0-1）（0-3）=3，a=1；∴y=（x-1）（x-3）=x 2-4x+3．当x ＝2时，y ＝22﹣4×2+3＝﹣1≠﹣2，所以③数据计算错误．故答案为：③．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，能够正确的判断出错误的一组数据是解答此题的关键．⑤一般式与顶点式的转换将一般式进行配方变形得到224y 24b ac b a x a a -⎛⎫=±+⎪⎝⎭可以根据上述公式，实现二次函数的一般式与顶点式之间的转换．例2.5对于抛物线243y x x =-+．（1）将抛物线的一般式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x……y ……（3）结合图象，当03x <<时，求出y 的取值范围．【详解】（1）()222434443(2)1y x x x x x =-+=-+-+=--．∴抛物线的顶点式为2(2)1y x =--．（2）x (012)34…y…31-03…函数图象如图所示：（3）根据函数图象可知，当03x <<时，y 的取值范围是13y -≤<．变式2.58.将抛物线223y x x =--变成顶点式为________．【答案】()214y x =--【解析】【分析】由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】解：223y x x =--2214x x =-+-()214x =--．故答案为：()214y x =--．【点睛】本题主要考查的是二次函数的顶点式，正确配方是解题的关键．⑥二次函数图象的平移例2.6将抛物线2y x =向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，它的解析式为（）A .2(1)3y x =++B .2(1)3y x =-+C .2(1)3y x =+-D .2(1)3y x =--【详解】解：将抛物线2y x =图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象解析式为2(1)3y x =-+故选择：B ．变式2.69.把抛物线y=-2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A.()2y 211x =-++ B.()2y 211x =--+C.()2y 211x =--- D.()2y 211x =-+-【答案】B【解析】【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【详解】抛物线22y x =-向上平移1个单位，可得221y x =-+，再向右平移1个单位得到的抛物线是()2211y x =--+．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．题型三：各项系数与函数图像的关系a 决定二次函数图象的开口方向，a ，b 决定对称轴的位置，（左同右异，即a 与b 同号，则对称轴在y 轴左侧，反之在y 轴右侧）c 决定抛物线与y 轴交点的位置．例3已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：①0,0b c <>；②0a b c ++<；③方程的两根之和大于0；④0a b c -+<，其中正确的个数是（）A .4个B .3个C .2个D .1个【详解】试题分析：∵抛物线开口向下，∴0a <，∵抛物线对称轴0x >，且抛物线与y 轴交于正半轴，∴0,0b c >>，故①错误；由图象知，当1x =时，0y <，即0a b c ++<，故②正确，令方程20ax bx c ++=的两根为1x 、2x ，由对称轴0x >，可知1202x x +>，即120x x +>，故③正确；由可知抛物线与x 轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：10x -<<，∴当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确．故选B ．变式310.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac<b 2，③2a+b=0，④a －b+c>2，其中正确的结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【详解】①∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x ==﹣1，∴b =2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＞0，所以①正确；②∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，∴4ac <b 2，所以②正确；③∵b =2a ，∴2a ﹣b =0，所以③错误；④∵x =﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b +c ＞2，所以④正确．故选C ．视频题型四：待定系数法求二次函数解析式一般用待定系数法求解二次函数的解析式，再求解过程中需要注意其使用的形式，1.已知抛物线上的三点坐标，一般用一般式求解析式2.已知抛物线顶点或对称轴或最值，一般用顶点式进行求解，3.已知抛物线与x 轴的交点横坐标，一般用交点式进行求解，4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，一般用顶点式进行求解．例4已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过(1,0),(0,5)-两点，则这个二次函数的解析式为_______．【详解】解：把()1,0、()0,5代入2y x bx c =-++，得105b c c --+=⎧⎨=⎩，解得45b c =⎧⎨=⎩，所以二次函数的解析式为245y x x =-++．故答案为：245y x x =-++．变式411.若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，则这个二次函数的解析式为________________．【答案】223y x x =+-．【解析】【分析】设出二次函数的解析式为2y ax bx c =++，将三点坐标代入二次函数解析式求出a ，b ，c 的值，即可确定出解析式．【详解】设二次函数的解析式为2y ax bx c =++，将（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点代入解析式得：93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．则二次函数解析式为223y x x =+-．故答案为：223y x x =+-．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．题型五：二次函数与一元二次方程1.一元二次方程20ax bx c ++=，是二次函数2y ax bx c =++当0y =，即与x 轴相交的特殊情况2.二次函数与x 轴的交点个数当0∆>是，抛物线与x 轴有两个交点；当0∆=是，抛物线与x 轴有一个交点；当∆<0是，抛物线与x 轴没有交点；①抛物线与X 轴Y 轴的交点问题例5.1抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为（）A .()3,0B .()0,3C .D .【详解】当0x =时，3y =，则抛物线23y x =+与y 轴交点的坐标为()0,3，故选B ．变式5.112.抛物线y ＝2x 2﹣2x 与x 轴的交点坐标为___．【答案】（0，0），（1，0）．【解析】【分析】解方程2x 2﹣2x ＝0，即可求出抛物线与x 轴的交点坐标.【详解】当y ＝0时，2x 2﹣2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0），（1，0）．故答案为（0，0），（1，0）．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标与一元二次方程解的关系，二次函数与x 轴的交点横坐标是ax 2+bx +c =0时方程的解，纵坐标是y =0.②根据二次函数图象确定相应方程根的情况例5.2已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则关于x 的方程240ax bx c ++-=的根的情况是（）A .有两个相等的实数根B .有两个异号的实数根C .有两个不相等的实数根D .没有实数根【详解】∵函数的顶点的纵坐标为4，∴直线4y =与抛物线只有一个交点，∴方程240ax bx c ++-=有两个相等的实数根，故选A ．变式5.213.如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的解为______．【答案】12x =-，21x =【解析】【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，于是易得关于x 的方程ax 2-bx-c=0的解．【详解】解：∵抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，∴方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，即关于x 的方程20ax bx c --=的解为12x =-，21x =．故答案为x 1=-2，x 2=1．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，对称轴直线x=-2b a ．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．③用图象求一元二次方程的近似根例5.3如表是一组二次函数23y x x =--的自变量和函数值的关系，那么方程230x x --=的一个近似根是（）x1234y 3-1-39A ．1.2B .2.3C .3.4D .4.5【解析】【分析】根据二次函数的图象特征解答．【详解】解：观察表格得：方程230x x --=的一个近似根在2和3之间，故选：B ．变式5.3.114.如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（）．A.23x << B.34x << C.45x << D.56x <<【答案】C【解析】【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴1x =，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．【详解】∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴为1x =，而对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围是32x -<<-，∴右侧交点横坐标的取值范围是45x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．变式5.3.215.若m 、n （n ＜m ）是关于x 的一元二次方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两个根，且b ＜a ，则m ，n ，b ，a 的大小关系是（）A.m＜a＜b＜nB.a＜m＜n＜bC.b＜n＜m＜aD.n＜b＜a＜m【答案】D【解析】【详解】试题分析：如图抛物线y=（x ﹣a ）（x ﹣b ）与x 轴交于点（a ，0），（b ，0），抛物线与直线y=1的交点为（n ，1），（m ，1），由图象可知，n ＜b ＜a ＜m ．故选D ．考点：抛物线与x 轴的交点．③利用图象求不等式的取值范围例5.3如图是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分．当0y <时，自变量x 的范围是___【详解】解：∵由函数图象可知，函数图象与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，对称轴为直线2x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()5,0，∴当0y <时，15x -<<．故答案为：15x -<<．变式5.316.二次函数2y x bx c =-++的部分图象如图所示，由图象可知，方程20x bx c -++=的解为___________________；不等式20x bx c -++<的解集为___________________．【答案】①.11x =-，25x =②.1x <-或5x >【解析】【分析】根据抛物线的对称轴和抛物线与x 轴一个交点求出另一个交点，再通过二次函数与方程的两根，二次函数与不等式解集的关系求得答案．【详解】∵抛物线的对称轴为2x =，抛物线与x 轴一个交点为（5，0）∴抛物线与x 轴另一个交点为（-1，0）∴方程20x bx c -++=的解为：11x =-，25x =由图像可知，不等式20x bx c -++<的解集为：1x <-或5x >．故答案为：11x =-，25x =；1x <-或5x >．【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，掌握二次函数与方程的两根，二次函数与不等式的解集关系，是解决问题的关键．④求x 轴与抛物线的截线长例5.4已知二次函数24y x x m =-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，且点A 的坐标为()1,0，则线段AB 的长为（）A .1B .2C .3D .4【详解】将点()1,0A 代入24y x x m =-+，得到3m =，所以243y x x =-+，与x 轴交于两点，设()()1122,,,A x y b x y ∴2430x x -+=有两个不等的实数根，∴12124,3x x x x +=⋅=，∴122AB x x =-==；故选B ．变式5.417.已知方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1，则抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点间距离为_________．【答案】72【解析】【详解】试题分析：根据一元二次方程与二次函数的关系可知抛物线与x 轴两交点的横坐标，再根据距离公式即可得出答案.解：∵方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1，∴抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点的横坐标分别为52，﹣1，∴两个交点间距离为57(1)22--=.故答案为72.题型六：实际问题与二次函数①图形问题例6.1如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（由两个小矩形花圃组成）．设花圃的一边AB 为m x ，面积为2m S ．（1）求S 与x 之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）．（2）如果要围成面积为245m 的花圃，那么AB 的长是多少米？（3）能围成面积比245m 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【详解】解：（1）∵024310x <-≤，∴1483x ≤<∴()21424332483S x x x x x ⎛⎫=-=-+≤< ⎪⎝⎭．（2）当45S =时，有232445x x -+=．解得123,5x x ==．∵1483x ≤<，∴5x =，即AB 的长为5m ．（3）能围成面积比245m 更大的花圃．∵()223243448S x x x =-+=--+，其函数图象开口向下，对称轴为直线4x =，当4x >时，y 随x 的增大而减小，∴在1483x ≤<的范围内，当143x =时，S 取得最大值，1403S =最大值．即最大面积为2140m 3，此时14m,10m 3AB BC ==．变式6.1设等边三角形的边长为()0x x >，面积为y ，则y 与x 的函数关系式是（）A .212y x =B .214y x =C .22y x =D .24y x =【详解】解：作出BC 边上的高AD ．∵ABC 是等边三角形，边长为x ，∴12CD x =，∴高为2=h x ，∴2124y x h x =⨯=．故选：D ．②图形运动问题例6.2如图，矩形ABCD 中，6cm,3cm AB BC ==，动点P 从A 点出发以1cm /秒向终点B 运动，动点Q 同时从A 点出发以2cm /秒按A D C B →→→的方向在边,,AD DC CB 上运动，设运动时间为x （秒），那么APQ 的面积()2cmy 随着时间x （秒）变化的函数图象大致为（）A .B .C .D .【详解】根据题意可知：,2AP x AQ x ==，①当点Q 在AD 上运动时，211222y AP AQ x x x =⋅⋅=⋅=，为开口向上的二次函数；②当点Q 在DC 上运动时，1133222y AP DA x x =⋅=⨯=，为一次函数；③当点Q 在BC 上运动时，211(122)622y AP BQ x x x x =⋅⋅=⋅⋅-=-+，为开口向下的二次函数．结合图象可知A 选项函数关系图正确．故选：A ．变式6.218.如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，12BC cm =，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，分别到达B ，C 两点就停止运动，则△PQB 的面积最大时，所用时间为（）A.2sB.3sC.4sD.5s【答案】B【解析】【分析】表示出PB ，BQ 的长，根据三角形面积公式列出函数关系式，然后配方求解即可.【详解】解：由题意得：AP=tcm ，则PB=(6-t)cm ，BQ=2tcm ，故S △PQB =221(6)26(3)92t t t t t ??-+=--+，∴当t=3s 时，△PQB 的面积最大，故选B.【点睛】本题考查的是二次函数的应用，根据题意表示出三角形的两直角边长是根本，得出面积并配方找最大值是关键．③拱桥问题例6.3如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．【详解】抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图．（仅举两例）①如图1建立坐标系，∵顶点在原点，∴设函数解析式为2y ax =，∵图像过()20,6，∴2620a =⨯，解得：3200a =-，∴抛物线的表达式为23200y x =-．②如图2建立坐标系，∵图像相当于图1的图像向上平移6，∴抛物线的表达式为236200y x =-+．故正确，抛物线表达式为23200y x =-或236200y x =-+．变式6.319.如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过______m.【答案】1.2【解析】【详解】以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，设水平面与拱桥的交点为A（-2，0），B（2，0），C（0，2），利用待定系数法设函数的解析式为y=a（x+2）（x-2）代入点C坐标，求得a=-12，即抛物线的解析式为y=-12（x+2）（x-2），令x=1，解得y=1.5，船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.故答案为：1.2.④销售问题例6.4我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价时200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低5元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）求出月销售量y （单位：台）与售价x （单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当售价x 定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w （单位：元）最大？最大利润是多少？【详解】解：（1）根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，当售价为x 时，降了()400x -，所以月销售多了()10400x -台，则月销售量y （台）与售价x （元/台）之间的函数关系式；()10400200104200y x x =-+=-+∵空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台∴300104200450x x ≥⎧⎨-+≥⎩解得300375x ≤≤（2）由题意有：(200)w x y=-(200)(104200)x x =--+2106200840000x x =-+-210(310)121000x =--+∴当售价x 定为310元时，w 有最大值，为121000变式6.420.某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．【答案】（1）20元；（2）每件衬衫应降价15元，商场盈利最多，共1250元．【解析】【分析】（1）总利润=每件利润×销售量，根据题意可得利润表达式，再求当1200w =时x 的值；（2）根据函数关系式，运用二次函数的性质求最值．【详解】解：设每天利润为w 元，每件衬衫降价x 元，根据题意得()()()22402022608002151250w x x x x x =-+=-++=--+（1）当1200w =时，22608001200x x -++=，解之得121020x x ==，．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）解：商场每天盈利w=()()40202x x -+()22151250x =--+．∵-2＜0∴抛物线开口向下∴当x=15时，w 有最大值，w 的最大值为1250，所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．【点睛】本题考查二次函数应用的销售问题的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．⑤投球问题例6.5如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度()m y 与运行的水平距离()m x 满足关系式()2y a x k h =-+．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（）A .球不会过网B .球会过球网但不会出界C .球会过球网并会出界D .无法确定【详解】分析：（1）将点()0,2A 代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出9x =和18x =时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．详解：根据题意，将点()0,2A 代入2(6) 2.6y a x =-+，得：362.62a +=，解得：160a =-，∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+；当9x =时，21(96) 2.6 2.45 2.4360y =--+=>，∴球能过球网，当18x =时，21(186) 2.60.2060y =--+=>，∴球会出界．故选C ．变式6.521.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（）A. 4.6mB. 4.5mC.4mD.3.5m【答案】B【解析】【分析】根据题意将篮圈高度y =3.05代入函数21 3.55y x =-+解得x ，再加上3即可求得L .【详解】如图，把y =3.05代入函数21 3.55y x =-+，解得：x ＝1.5或x ＝﹣1.5（舍），则L ＝3+1.5＝4.5m.故选B.⑥喷水问题例6.6如图，花坛水池中央有一喷泉，水管3m OP =，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m ，P 距抛物线对称轴1m ，则为使水不落到池外，水池半径最小为（）A .1B .1.5C .2D .3【详解】如图建立坐标系：抛物线的顶点坐标是()1,4，设抛物线的解析式是()214y a x =-+，把()0,3代入解析式得：43a +=，解得：1a =-，则抛物线的解析式是：()214y x =--+，当0y =时，()2140x --+=，解得：123,1x x ==-（舍去），则水池的最小半径是3米．故选：D ．变式6.622.如图，斜坡AB 长10米，按图中的直角坐标系可用53y x =-+表示，点A 、B 分别在x 轴和y 轴上，在坡上的A 处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B 处，抛物线可用213y x bx c =-++表示．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求水柱离坡岗AB的最大高度．【答案】（1）21533y x x =-++；（2）254【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）水柱离坡面的距离d=21553x x ⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭，整理成一般式，再配方成顶点式即可得.【详解】解：（1）∵AB=10、∠OAB=30°，∴OB=12AB=5、OA=ABcos ∠OAB=10×2=，则A（，0）、B （0，5），将A 、B 坐标代入213y x bx c =-++，得175035c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：35b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为21533y x x =-++；（2）水柱离坡面的距离d=21553x x ⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭，=2125324x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴当254.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质等知识点，难度不大.⑦增长率问题例6.7共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a 辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系是（）A .2y x a=+B .()21y a x =+C .()21y x a=-+D .()21y a x =-【详解】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，依题意得第三个月第三个月投放单车()21a x +辆，则()21y a x =+．故选：B ．变式6.723.某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x ，预计今年比去年的年增长率仍为x ，今年的总产值为y 万元．（1）求y 关于x 的函数关系式．（2）当x=20%时，今年的总产值为多少？（3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？【答案】（1）210(1)y x =+；（2）14.4万元；（3）36.4万元．【解析】【分析】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)²；(2)把x 的值代入(1)求解即可；(3)代入求解即可.【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)²；(2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%)²=14.4万元；(3)依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+10(1＋x)²=36.4(万元).【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数求解．⑧其他问题例6.8小明和小丽先后从A 地出发同一直道去B 地，设小丽出发第min x 时，小丽、小明离B 地的距离分别为1y m 、2y m ，1y 与x 之间的数表达式11802250y x =-+，2y 与x 之间的函数表达式是22101002000y x x =--+．（1）小丽出发时，小明离A 地的距离为m ．（2）小丽发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？【详解】解（1）当0x =时，122250,2000y y ==∴1222502000250(m)y y -=-=故答案为：250（2）设小丽出发第min x 时，两人相距m S ，则()21802250101002000S x x x =-+---+即21080250S x x =-+其中010x ≤≤因此，当8042210b x a -=-=-=⨯时S 有最小值，224410250(80)904410ac b a -⨯⨯--==⨯也就是说，当小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m变式6.824.如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为8m ，两侧距底面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个隧道入口的最大高度为_________m ．。

人教版初三数学函数及其图象

2
2
2 =2 2 018 2 017 3 .
故点 A2 019 的坐标为(-22 ,2 017 2 017 3 ).
解决点的规律变化题的常用方法: (1)求出前面几个数据,仔细观察,找出规律,正确确定循环的周期; (2)可在平面直角坐标系中描点,猜想其蕴含的规律.
求函数自变量的取值范围
[例 3] (2019 内江)在函数 y= 1 + 4 x 中,自变量 x 的取值范围是( D )
解析:铁块露出水面前受到水的浮力,∴y不变且小于铁块重量;铁块开始露出水面到完全露出水面时,受到水的浮力变小,∴y变大;铁块完全露出水面后, 不再受到水的浮力,y不变且等于铁块的重量.故选C.
6.(2019乐山)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=30°,直线l⊥AB.当直线
l沿射线BC方向,从点B开始向右平移时,直线l与四边形ABCD的边分别相交于
解析:法一
当点
P
在第一象限时,
m 3 0, 4 2m 0,
不等式组无解;
当点
P
在第二象限时,
m 3 0, 4 2m 0,
解得
m<2;
当点
P
在第三象限时,
m 3 0, 4 2m 0,
解得
2<m<3;当点
P
在第四象限时,
m 3 0, 4 2m 0,
解得
m>3,即点
P
不可能在第一象限.故选
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
思路点拨:注意横坐标代表时间,纵坐标代表甲、乙两人的距离,然后结合实际问题得出每段图象对应的情境.
解析:由题中图象知,甲 4 分钟步行了 240 米,

高教版(2021)中职数学基础模块上册第3单元《几种常见的函数》课件

函数（奇偶性）；它的图像与x轴的交点为______________，与y轴的交点
为_____________．
（2）二次函数() = −2 2 − + 1的定义域为_____，值域为__________；
在____________上是增函数，在____________上是减函数；是__________
2
，所
1
一次函数为 = 10 + ，将点（1，4）代入得， 4 = 10 × 1 + ，即 = −6．
4
所以这个一次函数为 = 10 − 6，反比例函数为 = ．
随堂练习
1．填空题：
（1）一次函数 = −3 + 7的定义域是__________，值域
是_____________，是_________函数(减或增)，它的图像与
2
是减函数；
例题讲解
例3 作出二次函数 = 2 − 2 − 3的图像，并讨论其单调性．
解由 = 2 − 2 − 3知：a＝1，b＝－2，c＝－3，所以

−
2
=
−2−Biblioteka 2×14−2=1，
4
=
4×1×(−3)−(−2)2
4×1
= −4，
从而顶点坐标为（1，－4），对称轴方程为 = 1．
线，顶点坐标为(− ,
)，对称轴方程为 =
2
4

当
< 0时，二次函数
= 2 + + 的图像是一条开口向下的抛物线，
−
．
2��
4−2
定义域为R，值域为(−∞,
]．
4
并有如下性质：（1）当 = 0时为偶函数．

高教版(2021)中职数学基础模块上册第3单元《函数的表示》课件

-x，x＜0，
x，x≥0.
画出图像如图：
像这样的函数，叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出现的比较多，例如出租车
的计费，个人所得税的计算等等.
在自变量的不同取值区
间，有不同对应关系的函数
叫做分段函数.
分段函数
（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，处理分段函数的问题时，首先
要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.
3.2函数的表示方法
回顾
函数的三要数:
定义域对应关系
值域
对应关系称为函数的表示法
1、某位同学的年龄与身高
把年龄看作为自变量x，身高为y
x
1岁
6岁
12岁
18岁
y
0.72m
1.2m
1.5m
1.7m
像这样用表格来表示函数的方法叫作列表法
问题：如果变量过多还适合用表格吗?
2、下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数（AIR Quality
【3】解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如y=2x+3
函数的三种表
示法各自的特
点是什么？
用列表法，不用
计算，看表就知
道函数值
用解析法，
便于研究函
数性质
用图像法，容易
表示出函数的变
化情况
函数的表示法
【例题】某种钢笔的单价是10元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用
（2）分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起，在每段
对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围.
（3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，只能写成一个集合

高教版(2021)中职数学基础模块上册第3单元《函数的概念》课件

含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为
天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4
个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公
式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”
是指公式里含有变量的意思。
探究一函数的概念
2020年11月27日20时到次日17时的气温变化情况图，气温是时间的函数吗？能用解析式表示吗？
第三章函数
3.1 函数的概念
➢⑴通过丰富实例，建立起函数概念的背景，体会函数是描述变量之间依赖关系的数学模型； ➢⑵在函数实例中，通过对关键词的强调和引导使学发现它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.
➢ 重点：对函数概念的理解，用集合与对应的语言来刻画函数；
探究一函数的概念
探究一函数的概念
探究一函数的概念
探究一函数的概念
3.函数概念本质定义形成
狄利克雷 1805-1859
确定
狄利克雷的函数定义出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义—函数的“变量对应关系” 。
欧拉的这个定义影响很大，我们中学阶段学习的几种函数都是用解析式表示的。
情探境究与一问题函数的概念
2.中国函数一词的由来
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）
一书时，把“function”译成“函数”的。
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包
课堂练习
课堂小结
函数的概念

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一、函数初步（一）平面直角坐标系1.（2015济南）在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（）A．（0，0）B．（0，2）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）解析：设P1（x，y），∵点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C （0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，∴ =1， =﹣1，解得x=2，y=﹣4，∴P1（2，﹣4）．同理可得，P1（2，﹣4），P2（﹣4，2），P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，﹣4），…，…，∴每6个数循环一次．∵ =335…5，∴点P2015的坐标是（0，0）．故选A．2.（2015庆阳）已知点P（a+1，﹣+1）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．解析：∵P（a+1，﹣+1）关于原点对称的点在第四象限，∴P点在第二象限，∴a+1＜0，﹣+1＞0，解得：m＜﹣1，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是．故选：C．3.（2015湘西州）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（﹣2，﹣1）解析：∵点A坐标为（﹣2，1），∴点B的坐标为（2，﹣1）．故选B．4. （2015重庆）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（－3,2），则点P所在的象限是( B )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5.（2015福州）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ B ）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点解析：当以点B为原点时，A（-1，-1），C（1，-1），则点A和点C关于y轴对称，符合条件，故选：B。

6.（2015上海）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=95x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是77℉．解析：当x=25°时，y=95×25+32=777.（2015台州）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A 处的位置．则椒江区B处的坐标是（．解析：如图：连接AB，作BC⊥x轴于C点，由题意，得AB=16，∠ABC=30°，8.（2015南京）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，-3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是（-2，3）．解析：∵点A的坐标是（2，-3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，∴A′的坐标为：（2，3），∵点A′关于y轴的对称点，得到点A″，∴点A″的坐标是：（-2，3）．9.（2015黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A（0、B（-1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去，直至得到点A2015为止，则点A2015坐标为：（-31008，0）．解析：∵A（0， 3 ）、B（-1，0），∴AB⊥AA1，∴A1的坐标为：（3，0），同理可得：A2的坐标为：（0，，A3的坐标为：（-9，0），…∵2015÷4=503…3，∴点A2015坐标为（-31008，0）10.(2015广元)若第二象限内的点P（x，y）满足|x|=3，y2=25，则点P的坐标是（﹣3，5）．解析：∵|x|=3，y2=25，∴x=±3，y=±5，∵第二象限内的点P（x，y），∴x＜0，y＞0，∴x=﹣3，y=5，∴点P的坐标为（﹣3，5）.11.（2015西宁）若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则a b= ．解析：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，∴b=﹣1，a=2，∴a b=2﹣1=．12.（2015铜仁市）已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab= ﹣6 ．解析：∵点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），∴a=2，b=﹣3，∴ab=﹣6.13.（2015青岛）如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的，那么点A的对应点A′的坐标是（6，1）．解析：点A变化前的坐标为（6，3），（二）函数图象1．（2015海南）甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．甲、乙两人进行1000米赛跑B．甲先慢后快，乙先快后慢C．比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等D．甲先到达终点解析：从图象可以看出，甲、乙两人进行1000米赛跑，A 说法正确；甲先慢后快，乙先快后慢，B说法正确；比赛到2分钟时，甲跑了500米，乙跑了600米，甲、乙两人跑过的路程不相等，C说法不正确；甲先到达终点，D说法正确，故选C．2．（2015鄂州）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个解析：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，∴①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，把（5，300）代入可求得k=60，∴y甲=60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，∴y乙=100t﹣100，令y甲=y乙可得：60t=100t﹣100，解得t=2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，∴③不正确；令|y甲﹣y乙|=50，可得|60t﹣100t+100|=50，即|100﹣40t|=50，当100﹣40t=50时，可解得t=，当100﹣40t=﹣50时，可解得t=，∴④正确；综上可知正确的有①②④共三个，故选C．3．（2015湖北）如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（）A．凌晨4时气温最低为﹣3℃B． 14时气温最高为8℃C．从0时至14时，气温随时间增长而上升D．从14时至24时，气温随时间增长而下降解析：A、∵由图象可知，在凌晨4点函数图象在最低点﹣3，∴凌晨4时气温最低为﹣3℃，故本选项正确；B、∵由图象可知，在14点函数图象在最高点8，∴14时气温最高为8℃，故本选项正确；C、∵由图象可知，从4时至14时，气温随时间增长而上上升，不是从0点，故本选项错误；D、∵由图象可知，14时至24时，气温随时间增长而下降，故本选项正确．故选C．4.（2015娄底）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（）A．B．C．D．解析：根据铁块的一点过程可知，弹簧称的读数由保持不变﹣逐渐增大﹣保持不变．故选A．5.（2015西宁）如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．解析：正方形的边长为x，y ﹣x=4x，∴y与x的函数关系式为y=x，故选B．6.（2015天水）如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径（C点与A点不重合），CF⊥CD交AB 于点F，DE⊥CD交AB于点E，G为半圆弧上的中点．当点C在上运动时，设的长为x，CF+DE=y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．解析：作OH⊥CD于点H，∴H为CD的中点，∵CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E，∴OH为直角梯形的中位线，∵弦CD为定长，∴CF+DE=y为定值，故选B．7.（2015南通）在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，故②正确；出发0.5小时之内，甲的速度大于乙的速度，0.5至1小时之间，乙的速度大于甲的速度，故①错误；出发1.5小时之后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，乙的行程比甲多3km，故③错误；乙比甲先到达终点，故④错误．正确的只有①．故选A．14. （2015云南）函数y=的自变量x的取值范围是x≣7．8.（2015漳州）均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（ A ）A ．B ．C ．D ．解析：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短．故选A9.（2015资阳）如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y （单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（ B ）A． B． C． D．解析：（1）当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；（2）当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；（3）当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，∴y由45°逐渐增加到90°．故选：B．10.（2015自贡）小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（ C ）A ．B ．C ．D ．解析：由题意得，以400米/分的速度匀速骑车5分，路程随时间匀速增加；在原地休息了6分，路程不变；以500米/分的速度骑回出发地，路程逐渐减少，故选：C11.（2015河南）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O 2、O 3，…组成一条平滑的虚线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ B ）A ．（2014，0）B ．（2015，-1）C ．（2015，1）D ．（2016，0）解析：半径为1个单位长度的半圆的周长为：12×2π×1＝π， ∵点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度， ∴点P1秒走12个半圆，当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为（1，1），运动时间为2秒时，点P 的坐标为（2，0），运动时间为3秒时，点P 的坐标为（3，-1），运动时间为4秒时，点P 的坐标为（4，0），运动时间为5秒时，点P 的坐标为（5，1），运动时间为6秒时，点P 的坐标为（6，0）， …，∵2015÷4=503 (3)∴A 2015的坐标是（2015，-1），12.（2015武威）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B 、C 都不重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作∠BPF 的角平分线交AB 于点E ．设BP=x ，BE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ C ）A ．B ．C ．D ．解析：∵∠CPD=∠FPD ，∠BPE=∠FPE ，又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°， ∴∠CPD+∠BPE=90°，又∵直角△BPE 中，∠BPE+∠BEP=90°， ∴∠BEP=∠CPD ，又∵∠B=∠C ， ∴△BPE ∽△CDP ，y 是x 的二次函数，且开口向下．故选C13.（2015十堰）如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t 时，蚂蚁与O 点的距离为s ，则s 关于t 的函数图象大致是（ B ）A ．B ．C ．D ．解析：一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行，在开始时经过半径OA 这一段，蚂蚁到O 点的距离随运动时间t 的增大而增大；到弧AB 这一段，蚂蚁到O 点的距离S 不变，图象是与x 轴平行的线段；走另一条半径OB 时，S 随t 的增大而减小；故选：B14.（2015淮安）小丽的家和学校在一条笔直的马路旁，某天小丽沿着这条马路上学，先从家步行到公交站台甲，再乘车到公交站台乙下车，最后步行到学校（在整个过程中小丽步行的速度不变），图中折线ABCDE 表示小丽和学校之间的距离y （米）与她离家时间x （分钟）之间的函数关系．（1）求小丽步行的速度及学校与公交站台乙之间的距离；（2）当8≢x ≢15时，求y 与x 之间的函数关系式。

模块三 函数及其图象

2023年中考数学第一轮复习之模块三 函数—专题3 反比例函数(含解析)