5安培环路定理

L
B ∫ dl = B 2 π r = µ0 ∑ I 2 r B 2πr = µ0 2 I R
I
µ0I B = r ∝r 2 2π R
2.圆柱体外一点 圆柱体外一点 r > R 区域 在圆柱体外作一环路， 在圆柱体外作一环路，
§5.安培环路定理 / 六、举例 安培环路定理
L L
r R r
环路内电流代数和为： 环路内电流代数和为：
§5.安培环路定理 / 六、举例 安培环路定理
例4：圆柱形载流导 ： 体半径为 R ，通有 电流为 I ，电流在 导体横载面上均匀 分布，求圆柱体内、 分布，求圆柱体内、 外的磁感应强度的 分布。 分布。 解：1.圆柱体内部 圆柱体内部 r < R 区域
§5.安培环路定理 / 六、举例 安培环路定理
§5.安培环路定理 / 二、定理证明 安培环路定理
µ0I 2π r = µ 0 I 左边= 左边 B ∫ dl = 2π r L
右边= µ0 ∑ I = µ0 I 右边 I L
∴ 左边 右边 定理成立。 左边=右边 定理成立。 推广到任意路径都成立，证毕。 推广到任意路径都成立，证毕。 三、明确几点 ∫L B ⋅ dl = µ0 ∑ I
∑ I =I ∫ Bdl cos θ = µ 0 ∑ I
I
由于环路上各点 B 大小 相等， 相等，方向 B // d l , θ = 0 , cosθ = 1
B ∫ dl = B 2 π r = µ0 I
R
r
L
µ0I 1 B = ∝ 2π r r
§5.安培环路定理 / 六、举例 安培环路定理
分布曲线 B
§5.安培环路定理 / 四、选取环路原则 安培环路定理
或 B⊥dl ,
cosθ = 0
3.环路要经过所研究的场点。 环路要经过所研究的场点。 环路要经过所研究的场点
§5.安培环路定理 / 四、选取环路原则 安培环路定理
五、解题方法 场对称性分析； 1.场对称性分析； 场对称性分析 2.选取环路； 选取环路； 选取环路 3.确定环路内电流的代数和 ∑ I ； 确定环路内电流的代数和 4.应用环路定理列方程求解。 应用环路定理列方程求解。 应用环路定理列方程求解 应用环路定理求 B 要比毕萨定律简 但只适用于具有高度对称的场。 单，但只适用于具有高度对称的场。
§5.安培环路定理 / 三、明确几点 安培环路定理
环路定理对有限电流不适用。 环路定理对有限电流不适用。 例如：将环路定理用到有限电流。 例如：将环路定理用到有限电流。 沿磁力线作半径为 r 的环路 ∫ B ⋅ dl = B ∫ dl =µ0 I r B ⋅ 2πr = µ0 I L µ0 I B= 2πr 矛盾， 与无限电流磁感应强度相同 ，矛盾，对有 限电流不适用。 限电流不适用。
第五节 安培环路定理
一、定理表述 磁感应强度沿闭合回路的线积分， 磁感应强度沿闭合回路的线积分， 的环流）， ），等于环路所包围的电流 （ B 的环流），等于环路所包围的电流 代数和乘以 µ0。
∫L B ⋅ dl = µ0 ∑ I
二、定理证明 特例：以无限长载流直导线为例。 特例：以无限长载流直导线为例。
Q B⊥dl , cosθ = 0
b
d c
∫ B ⋅ dl = 0
...............
a
b
B
Q 螺线管外B =0； 螺线 ∴ ∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl
a b
d
c
= B ab = µ0 ∑ I = µ0nabI
B = µ0nI
§5.安培环路定理 / 六、举例 安培环路定理
例3：一环形载流 ： 螺线管， 螺线管，匝数为 N ，内径为 R1 ， 外径为 R2 ，通有 电流 I ，求管内磁 感应强度。 感应强度。 解：在管内作环路 半径为 r ， 环路内电流代数和为
§5.安培环路定理 / 三、明确几点 安培环路定理
四、选取环路原则 1.利用安培环路定理计算磁场 B ,要求磁 利用安培环路定理计算磁场 要求磁 场具有高度的对称性 ; 2.目的是将 目的是将: 目的是将 写成
∫L B ⋅ dl = µ0 ∑ I
∫L Bdl cosθ =B ∫ dl = µ0 ∑ I µ0 ∑ I B= ∫ dl 大小相等， 要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向 与环路方向一致， 与环路方向一致， B // dl, cosθ = 1
例2：密绕载流螺 ： 线管通有电流为 I， 线圈密度为 n，求 ， 管内一点的 B 。 解：理想密绕螺线 管，管内的磁场是 均匀的， 均匀的，管外的磁 场为 0 ；
§5.安培环路定理 / 六、举例 安培环路定理
...............B
作闭合环路 abcda, 环路内的电流代数 和为： 和为：
§5.安培环路定理 / 五、解题方法 安培环路定理
六、举例 例1：如图所示，求环路 的环流 ∫ B ⋅ dl 。 ：如图所示，求环路L的环流 解：由环路定理
I1 I2
I3
∫L B ⋅ dl = µ0 ∑ I
= µ 0 ( −2 I 1 + I 2 )
L
§5.安培环路定理 / 六、举例 安培环路定理
1.电流正负规定 电流正负规定 电流方向与环路方向满足右手定则电 取正；反之取负。 流 I 取正；反之取负。
§5.安培环路定理 / 三、明确几点 安培环路定理
2. ∑ I 为环路内的电流代数和。 为环路内的电流代数和。 3.环流 ∫ B ⋅ dl 只与环路内的电流有关， 环流 只与环路内的电流有关， 而与环路外电流无关。 而与环路外电流无关。 4. B为环路上一点的磁感应强度，不是任 为环路上一点的磁感应强度， 为环路上一点的磁感应强度 意点的，它与环路内外电流都有关。 意点的，它与环路内外电流都有关。 5.若 ∫ B ⋅ dl = 0 并不一定说明环路上各点 若 的 B 都为 0。 6.若 ∫ B ⋅ dl = 0 环路内并不一定无电流。 环路内并不一定无电流。 若 7.环路定理只适用于闭合电流或无限电流， 环路定理只适用于闭合电流或无限电流， 环路定理只适用于闭合电流或无限电流
...............
a
b
B B外 = 0
∑ I = nabI
B 的环流为： 的环流为：
b c d c a
c aBiblioteka dca∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl
b d
∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl = 0,
d
§5.安培环路定理 / 六、举例 安培环路定理
表述。 §5.安培环路定理 / 一、表述。二、证明 安培环路定理
长直导线周围的 B 线为一系列的同 心圆， 心圆，选取路径方 相同； 向与 B 相同； 左边= ∫L B ⋅ dl 左边
I B L
= ∫L Bdl cosθ
由于环路上各点的 B 大 小相等； 小相等；且 B // dl ；
θ = 0, cosθ = 1
µ0 I 2πR B ∝ r
o
R
1 B∝ r
r
§5.安培环路定理 / 六、举例 安培环路定理
I
R
的环路， 选取半径为 r 的环路， 环路内电流代数和为： 环路内电流代数和为： 2 r I 2 πr = 2 I ∑ I = 2 R πR
∫ Bdl cos θ = µ 0 ∑ I
I
R
r
由于环路上各点 B 大小 相等， 相等，方向 B // d l θ = 0 , cosθ = 1
§5.安培环路定理 / 六、举例 安培环路定理
∑ I = NI
§5.安培环路定理 / 六、举例 安培环路定理
o R1 rR
2
∫L B ⋅ dl = µ0 ∑ I
B2πr = µ0 NI
µ0 NI B= 2πr
当 r >> ( R2 – R1) 时
o R1 rR
2
N =n 2πr
为沿轴向线圈密度； 为沿轴向线圈密度；
B = µ0nI 与直螺管的结论一致。 与直螺管的结论一致。