八年级数学上册(整式的乘除)
人教版八年级上册数学整式的乘除全章课件
3个10
通过观察可以发现1014、 103这两个因数是同底数 幂的形式，所以我们把 像1014×103的运算叫做
同底数幂的乘法 .
请同学们先根据自己的理解，解答下列各题. 103 ×102 =（10×10×10）×（10×10） = 10（ 5 ） 23 ×22 =（2×2×2）×（2×2）=2×2×2×2×2 =2（ 5 ）
2.计算：（1）23×24×25
（2）y · y2 · y3
【解析】（1）23×24×25=23+4+5=212 （2）y · y2 · y3 = y1+2+3=y6
3.计算:（-a）2×a4
【解析】原式 = a2×a4 =a6
（-2）3×22 原式 = -23 ×22
= -25
当底数互为相反数时， 先化为同底数形式.
（an）3·（bm）3·b3=a9b15 a3n ·b3m·b3=a9b15 a3n ·b3m+3=a9b15 3n=9，3m+3=15
n=3,m=4.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
积的乘方法则 (ab)n =anbn （n为正整数） 积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把 所得的幂相乘.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.am·an =am+n(m、n都是正整数) 2.am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数）
14.1.2 幂的乘方
1.经历探索幂的乘方运算性质的过程，进一步体会幂 的意义，发展推理能力和有条理的表达能力. 2.了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.
【解析】xm·x2m= x3m =2 x9m =(x3m)3 = 23 =8 6.若a3n=3，求（a3n）4的值.
第14章整式知识点
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．⑵幂的乘方：()n m mn a a =（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．⑶幂的乘方：()nn n ab a b =（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．（4）幂的除法：n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．（5）零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．（6）负指数幂的概念：a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用其中一个多项式除以另一个多项式再把所得的商相加4.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++； ()2222a b a ab b -=-+ 二、因式分解：因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
初中数学人教版八年级上册整式的乘除
复习 同底数幂的除法公式：
am an amn (a≠0，m，n都是正
整数，并且m >n) 0 次幂公式：
a0 1 (a≠0)
复习
单项式与单项式的乘法法则：
单项式与单项式相乘，把它们的 系数、相同字母分别相乘，对于只在 一个单项式里含有的字母，连同它的 指数作为积的一个因式。
复习 (1)2a 4a2 8a3; 8a3 2a 4a2 ;
(2) 2x2 3xy 6x3 y; 6x3 y 3xy 2x2 ;
(3)3ab2 4a2 x3 12a3b2x3.
12a3b2 x3 3ab2 4a2 x3 .
归纳
单项式除以单项式法：
单项式相除，把系数和同底数幂 分别相除作为商的因式，对于只在被 除式里含有的字母，则连同它的指数 作为商的一个因式。
范例 例1.计算：
(1)28x4 y2 7x3 y (2) 5a5b3c 15a4b
注意符号的处理
巩固
1.下列运算中，正确的有(
)
(1)(2a2b3) (2ab) a2b3
(2)(2a2b4 ) (2ab2 ) a2b2
(3)2ab2c 1 ab2 4c
(4)
1
2 a2b3c2 (5abc)2
1
b
5
125
A (1)(2) B (1)(3) C (2)(4) D (3)(4)
范例
例2.计算：
(1) 45(x3 y2 )2 5x5 y4
(2)16x3 y3 ( 1 xy)3 1 x4 y5
2
2
注意运算顺序
计算：
(1)( 2 a2b2 )2 ( 1 ab2 )2
华师大版八年级数学上册课件-第12章 整式的乘除
练习 下面的计算对不对？若不对，应当怎样改正？
（1） x6 x2 x3； （2） a3 a a3； （3） y5 y2 y3； （4）（-c）4 （-c）2 -c2.
例1 计算:
（1）x8÷x2 ；（2） a4 ÷a ；
（3）(ab) 5÷(ab)2；
思考：当底数是几个因式的积或是一个多项式时,需要 怎么看待? 解: (1) x8 ÷x2=x 8-2=x6.
学习目标
1.理解幂的乘方法则； 2.运用幂的乘方法则进行计算．
合作探究 达成目标
探究点一 幂的乘方法则的推导
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的
结果有什么规律:
(1)（32）3 = 32×32×32 = 3( )
(2)（a2）3 = a2 × a2 × a2 =a( )
(3)（am）3 =
试一试
计算：
(ab)3= (ab)• (ab)•(ab) = (a•a•a)•(b•b•b) = a3b3
(ab)4 = a4b4
由 (ab)3 = a3b3
(ab)4 = a4b4 从左到右的变化
猜想 (ab)n= anbn
(n是正整数)
根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：
（ab）（n n是正整数）．
1．下列各式中运算正确的是（ ） A．a2·a5=a20 B. a2+a5=a7 C. a2·a2=2a2 D. a2·a5=a7 2.下列能用同底数幂进行计算的是（ ） A.(x+y)2(x-y)3 B.（-x+y）3（x+y）2
C.(x+y)2(x+y)3 D.-(x-y)2(-x-y)
3.计算：
推广：（abc）n =anbncn.
八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点
整式是一个或多个代数式的和、差或积。
整式的乘除与因式分解是数学中非常重要的概念，是解决各种代数问题的基础。
本文将详细介绍八年级上数学中整式的乘除与因式分解的基本知识点。
一、整式的乘法1.1 单项式的乘法：单项式的乘法是指单项式与单项式之间的乘法。
例如：2x ×3y = 6xy，-4a^2 × 5b^3 = -20a^2b^31.2多项式的乘法：多项式的乘法是指多项式与多项式之间的乘法。
例如：(3x+2)(x-1)=3x^2+x-2二、整式的除法2.1 单项式的除法：单项式的除法是指单项式除以单项式。
例如：4x^2 ÷ x = 4x，10a^3b^2 ÷ 2ab = 5a^2b。
2.2多项式的除法：多项式的除法是指多项式除以多项式。
例如：(12x^3+9x^2+3x)÷3x=4x^2+3x+1三、整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的形式，其中每个整式都是原来整式的因式。
例如：12x^2+8xy，将其因式分解为4x(3x+2y)。
3.1 提取公因式：如果一个整式的每一项都能被同一个整式整除，那么这个公因式就是整式的一个因子。
例如：12x^2+8xy，公因式是4x。
3.2分解差的平方：差的平方是指形如"一个数的平方减另一个数的平方"的表达式。
例如：x^2-9，可因式分解为(x-3)(x+3)。
3.3 分解二次三项式：二次三项式是指形如"一个平方项加两个相同系数的次项"的表达式。
例如：x^2+2xy+y^2，可因式分解为(x+y)^2四、习题例析例1：将多项式4x^2+16x因式分解。
解：这个多项式2x的平方加4x的倍数，所以可以因式分解为4x(x+4)。
例2：将多项式a^2-9因式分解。
解：由差的平方公式可得，a^2-9=(a-3)(a+3)。
例3：将多项式4x^2y^2-8xy^2因式分解。
初二八年级数学整式的乘除法
在数学和其他学科中的应用
整式乘除法是数学中的一个基本概念，它在代数、几何和三角学等数学领域中有广泛的应用。例如， 在代数中，我们可以使用整式乘除法来化简多项式、解方程和证明代数恒等式等。在几何中，我们可 以使用整式乘除法来计算图形的面积和周长等。
对整式乘除法的理解更加深入
通过本章的学习，我对整式的乘除法有了更深入的 理解，掌握了其基本法则和应用技巧。
增强了数学运算能力
整式乘除法涉及较多的数学运算，通过不断练习， 我的运算能力得到了提高。
学会了解决实际问题
通过解决实际问题，我学会了如何运用整式乘除法 来解决生活中的数学问题。
下一步学习计划
深入学习分式的运算法则
初二八年级数学整式的乘除法
目
CONTENCT
录
• 引言 • 整式乘法规则 • 整式除法规则 • 整式乘除法的实际应用 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
主题简介
整式乘除法是初中数学中的重要内容，是代数运算 的基础之一。
通过学习整式的乘除法，学生可以掌握代数式的基 本运算规则，为后续学习方程、不等式、函数等打 下基础。
学习几何学知识
在掌握了整式的乘除法后，我将继续 学习分式的运算法则，包括分式的加、 减、乘和除等。
在掌握了整式和分式的运算法则后， 我将开始学习几何学知识，包括平面 几何和立体几何等。
强化数学思维能力
通过练习更多的数学题目，提高自己 的数学思维能力，为后续的学习打下 坚实的基础。
THANK YOU
感谢聆听
整式的乘除八年级上册数学知识点
整式的乘除八年级上册数学知识点整式的乘除八年级上册数学知识点一.定义1.整式乘法(1).am·an=am+n[m,n都是正整数]同底数幂相乘,底数不变,指数相加.(2).(am)n=amn[m,n都是正整数]幂的乘方,底数不变,指数相乘.(3).(ab)n=anbn[n为正整数]积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.(4).ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.(5).m(a+b+c)=ma+mb+mc单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,(6).(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘.2.乘法公式(1).(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.(2).(a±b)2=a2±2ab+b2完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍.3.整式除法(1)am÷an=am-n[a≠0,m,n都是正整数,且mn]同底数幂相除,底数不变,指数相减.(2)a0=1[a≠0]任何不等于0的数的0次幂都等于1.(3)单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.(4)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.4.把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.二.重点1.(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq2.x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)3.因式分解两种基本方法:(1)提公因式法.提取:数字是各项的公约数,各项都含的字母,指数是各项中最低的.(2)公式法.①a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积②a2±2ab+b2=(a±b)2两个数的平方和加上[或减去]这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平方.初中数学分式方程的解法1.一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母。
人教版八年级数学上册第十五章整式的乘除与因式分解(教案)
举例：计算（a+b）（c+d），重点强调如何正确处理符号和合并同类项。
（2）多项式乘以单项式的法则：理解和运用单项式乘以多项式的法则，注意乘法分配律的应用。
举例：计算3x（2x^2+4x-1），重点在于如何将单项式3x分别与多项式中的每一项相乘。
（3）平方差公式和完全平方公式的应用：掌握平方差公式（a^2-b^2）和完全平方公式（a^2±2ab+b^2），并能灵活运用到实际计算中。
举例：化简表达式a^2-4，重点在于应用平方差公式得到（a+2）（a-2）。
（4）因式分解的方法：掌握提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法，能够将多项式分解为整式的乘积。
3.平方差公式：掌握平方差公式的结构特点，能够灵活运用平方差公式进行乘法运算。
4.完全平方公式：理解并掌握完全平方公式的结构，学会运用完全平方公式进行乘法运算。
5.因式分解：掌握提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法等因式分解方法，解决实际问题。
本节课将结合实际例题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
在学生小组讨论环节，我注意到有些学生在分享成果时表达不够清晰，可能是因为他们在讨论过程中没有充分整理自己的思路。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强学生的语言表达训练，让他们学会如何条理清楚地表达自己的观点。
最后，总结回顾环节，我发现在这个阶段，部分学生仍然存在疑问。这说明我在课堂上的讲解和引导可能还不够到位，需要进一步关注学生的学习反馈，及时调整教学方法，提高教学效果。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了整式的乘除与因式分解，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。首先，我在导入新课环节提出了与日常生活相关的问题，希望通过这种方式激发学生的兴趣，但从学生的反应来看，可能问题设置得还不够贴近他们的实际经验，导致部分学生的参与度不高。在今后的教学中，我需要更加注意问题的设计，使其更具有针对性和吸引力。
八年级数学上册整式的乘除知识点归纳
在八年级数学上册的整式乘除部分，可以归纳以下几个知识点：1. 同底数幂相乘：当两个幂数的底数相同时，可以将它们的指数相加，得到新的幂数。
例如：a^m * a^n = a^(m+n)。
2. 幂的乘法法则：当有多个幂相乘时，可以将它们的底数保持不变，指数相乘，得到新的幂。
例如：(a^m) * (a^n) = a^(m+n)。
3. 同底数幂相除：当两个幂数的底数相同时，可以将它们的指数相减，得到新的幂数。
例如：a^m / a^n = a^(m-n)。
4. 幂的除法法则：当有多个幂相除时，可以将它们的底数保持不变，指数相减，得到新的幂。
例如：(a^m) / (a^n) = a^(m-n)。
5. 同底数幂的乘方：当一个幂的指数再次取幂时，可以将它们的指数相乘，得到新的幂。
例如：(a^m)^n = a^(m*n)。
6. 幂的整数指数相除：当一个幂的指数是整数，且除以另一个整数时，可以将它们的指数相除，得到新的幂。
例如：(a^m)^(1/n) = a^(m/n)。
7. 化简整式：将整式中的同类项进行合并，即将具有相同字母和相同指数的项合并成一个项，并进行系数的运算。
例如：3x + 2x = 5x。
8. 整式的乘法：将整式中的每一项按照分配律逐个与另一个整式的每一项相乘，并将结果合并。
例如：(2x + 3) * (4x - 5) = 8x^2 + 2x -15x -15。
9. 整式的除法：将整式的被除式与除式进行长除法运算，按照整数除法的规则进行计算，得到商式和余式。
这些是八年级数学上册整式的乘除的主要知识点，通过理解和掌握这些知识点，可以更好地解决相关的题目和应用。
八年级上册数学整式的乘除知识点
文章标题：深度剖析八年级上册数学整式的乘除知识点在八年级上册的数学课程中，整式的乘除是一个重要的知识点。
通过学习整式的乘除，我们可以更好地理解代数表达式的变化规律，掌握数学运算的技巧和方法，为进一步学习代数知识打下坚实的基础。
本文将深度剖析八年级上册数学整式的乘除知识点，帮助读者全面、深刻地理解这一重要内容。
1. 整式的乘法整式的乘法是整式运算中的基本内容之一。
在整式的乘法中，我们需要掌握多项式之间的乘法规律和技巧。
我们需要了解乘法分配律的应用，即将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，并将结果相加得到最终的乘积。
我们需要熟练掌握多项式中的同类项的合并和系数的运算。
我们还需要注意乘法中的特殊情况，如平方公式的运用和多项式的高次项乘法。
2. 整式的除法整式的除法是整式运算中的另一个重要内容。
在整式的除法中，我们需要掌握多项式之间的除法规律和方法。
我们需要了解除法的基本步骤，即先将被除式与除数进行逐项相除，然后合并同类项得到商，最后再进行余数的判断和处理。
我们需要注意整式除法中的特殊情况，如整式除不尽时的余数处理和除式中的零系数问题。
总结回顾通过对整式的乘除知识点的深度剖析，我们不仅掌握了整式的乘法和除法的基本规律和方法，还能够灵活运用和应用这些知识解决实际问题。
整式的乘法和除法在数学中具有重要的地位，它不仅是代数表达式的基本运算，还是后续学习中多项式、因式分解等内容的重要基础。
我们应该认真学习整式的乘除知识点，深入理解其中的原理和技巧，为今后的学习打下坚实的基础。
个人观点在学习整式的乘除知识点时，我认为重点在于深入理解其运算规律和方法，而不仅仅是死记硬背。
通过多做习题和实际应用，我相信我能更好地掌握整式的乘除知识点，并能够灵活运用于解决实际问题中。
在本文中，我们深度剖析了八年级上册数学整式的乘除知识点，侧重从简到繁、由浅入深地探讨了整式的乘法和除法。
通过本文的阐述，相信读者对整式的乘除知识点有了更全面、深刻的理解。
人教版八年级上册数学课本知识点归纳
人教版八年级上册数学课本知识点归纳第十五章：整式的乘除与因式分解一、整式的乘法1.同底数幂的乘法规则是：am·an＝am+n（m，n都是正整数）。
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2.幂的乘法规则是：（am）n＝amn（m，n都是正整数）。
即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3.积的乘法规则是：（ab）n＝an·bn（n为正整数）。
即乘方的积等于积的乘方。
4.单项式与单项式相乘的规则是：（1）系数与系数相乘；（2）同底数幂与同底数幂相乘；（3）其余字母及其指数不变作为积的因式。
5.单项式与多项式相乘的规则是：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
6.多项式与多项式相乘的规则是：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
二、乘法公式1.平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2.2.完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2.口诀：前平方，后平方，积的两倍中间放，中间符号看情况。
（这个情况就是前后两项同号得正，异号得负。
）3.添括号：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里面的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号。
三、整式的除法1.am÷an==am－n（a≠，m，n都是正整数，且m＞n）。
即同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2.a=1（a≠）。
任何不等于1的数的次幂都等于1.3.单项式除以单项式的规则是：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里的幂不变。
4.多项式除以单项式的规则是：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
四、因式分解1.因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2.公因式是一个多项式中各项都含有的相同的因式。
3.分解因式的方法：1) 提公因式法：ma+mb+mc =m(a+b+c)。
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.1.4整式的乘法(第1课时图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.下列计算中，正确的是（ B ）
A.2a3·3a2=6a6
B.4x3·2x5=8x8
C.2x·2x5=4x5
D.5x3·4x4=9x7
2.下列运算正确的是（ D ）
A.x2·x3=x6
B.x2+x2=2x4
C.(-2x)2=-4x2
D.(-2x2)(-3x3)=6x5
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
第14章 整式的乘除与因式分解
八年级上册
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第1课时
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则， 并运用它们进行运算． 2.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主 动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题 的能力.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.填空：
a4 26
(1)6 2
a9 28
9 x2 y4 4
1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需 要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是 多少千米吗？ 分析：距离=速度×时间，即（3×105）×（5×102）； 怎样计算（3×105）×（5×102）? 地球与太阳的距离约是： （3×105）×（5×102）=(3 ×5)×(105×102) =15×10７=1.5×108（千米）
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多 项式的每一项，再将所得的积相加即可.
人教版八年级数学上册《整式的乘除》评课稿
人教版八年级数学上册《整式的乘除》评课稿一、引言本评课稿主要针对人教版八年级数学上册中的《整式的乘除》这一章节进行评价和分析。
这一章节是八年级数学课程中的重要内容之一，通过学习该章节，学生能够掌握整式的乘法和除法运算，并能够应用到实际问题中。
本文将从教材的设置、教学目标、教学过程和教学效果几个方面进行评述。
二、教材设置1. 教材内容《整式的乘除》是八年级数学上册中的第八章，该章节主要包含以下几个内容：•整式的乘法运算•整式的除法运算•多项式的因式分解2. 教材组织结构《整式的乘除》这一章节由多个学习任务组成，每个学习任务都以一个基本问题为引导，通过一系列的例题展开讲解，最后总结归纳，确保学生能够掌握相关知识和技能。
三、教学目标1. 知识目标通过学习《整式的乘除》这一章节，学生应该达到以下几个目标：•掌握整式的乘法运算方法和技巧•掌握整式的除法运算方法和技巧•理解多项式的因式分解概念和方法2. 能力目标通过学习本章节，学生应该能够：•能够运用整式的乘除运算解决实际问题•能够正确进行多项式的因式分解3. 情感目标通过学习本章节，培养学生的如下情感：•培养学生对于数学的兴趣和热爱•培养学生的逻辑思维和分析问题的能力四、教学过程1. 教学方法本章节的教学可以采用讲授与练习相结合的方法。
通过讲解相关概念和解题方法，引导学生进行思考和探索。
在理解和掌握了基本概念之后，通过大量的习题进行练习巩固。
2. 教学步骤本章节的教学可以分为以下几个步骤：步骤一：整式的乘法运算•引导学生回顾整式的基本概念和运算法则•通过例题讲解整式的乘法运算的方法和技巧•提供一些练习题进行巩固和拓展步骤二：整式的除法运算•引导学生回顾整式的基本概念和运算法则•通过例题讲解整式的除法运算的方法和技巧•提供一些练习题进行巩固和拓展步骤三：多项式的因式分解•引导学生理解多项式的因式分解的概念和意义•通过例题讲解多项式的因式分解的方法和步骤•提供一些练习题进行巩固和拓展3. 教学重点和难点本章节的教学重点和难点主要包括：•整式的乘法运算的步骤和技巧•整式的除法运算的步骤和技巧•多项式的因式分解的步骤和方法教师在教学过程中应对这些内容进行重点讲解和解读，以确保学生能够正确理解和掌握。
八年级_数学上册_第十五章_整式的乘除_(知识点+例题)
八年级上册 第十五章 整式的乘除与因式分解一、整式的乘法1．同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：m n m n a a a+⋅=（m ，n 都是正整数）。
例1：计算（1）821010⨯；（2）23x x ⋅-（-）（）；（3）n 2n 1n a a a a ++⋅⋅⋅例2：计算 （1）35b 2b 2b 2+⋅+⋅+（）（）（）；（2）23x 2y y x -⋅（）（2-）例3：已知x 22m +=，用含m 的代数式表示x 2。
2．幂的乘方（重点）幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如53a （）是三个5a 相乘，读作a 的五次幂的三次方。
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即m n mn a a =（）（m ，n 都是正整数）。
例4：计算（1）m 2a （）；（2）()43m ⎡⎤-⎣⎦；（3）3m 2a -（）3．积的乘方（重点）积的乘方的意义：指底数是乘积形式的乘方。
如：()()()()3ab ab ab ab =⋅⋅积的乘方法则：积的乘方，等于把积得每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
如：n n n ab a b ⋅（）=例5：计算（1）()()2332xx -⋅-；（2）()4xy -；（3）()3233a b -例6：已知a b 105,106==，求2a 3b 10+的值。
例7：计算（1）201120109910010099⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()315150.1252⨯4．单项式与单项式相乘（重点）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式例含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例8：计算（1）2213ab a b 2abc 3⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭; (2) ()()n 1n 212x y 3xy x z 2+⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭; (3) ()()322216m n x y mn y x 3-⋅-⋅⋅-5.单项式与多项式相乘（重点）法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
八年级数学上册 第22章整式的乘除电子教材 华东师大版
第13章整式的乘除§13.1幂的运算1. 同底数幂的乘法2. 幂的乘方3. 积的乘方4. 同底数幂的除法§13.2整式的乘法1. 单项式与单项式相乘2. 单项式与多项式相乘3. 多项式与多项式相乘§13.3乘法公式1. 两数和乘以这两数的差2. 两数和的平方阅读材料贾宪三角§13.4整式的除法1. 单项式除以单项式2. 多项式除以单项式§13.5因式分解阅读材料你会读吗小结复习题课题学习面积与代数恒等式第13章整式的乘除某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积，可得到：〔m＋n〕〔a＋b〕＝ma＋mb＋na＋nb你知道上面的等式蕴含着什么样的运算法那么吗?·§13.1 幂的运算1. 同底数幂的乘法试一试〔1〕23×２4＝〔２×２×２〕×〔２×２×２×２〕＝２()；〔2〕53×５4＝5()；〔3〕a3·a4＝a()．概括a m·a n＝〔a·a·…·a〕〔a·a·…·a〕＝a·a·…·a＝a n m+．可得a m·a n＝a n m+〔m、n为正整数〕．这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例1计算：〔1〕103×１０4；〔2〕a·a3；〔3〕a·a3·a5．解〔1〕103×１０4＝１０43+＝１０7．〔2〕a·a3＝a31+＝a4．〔3〕a·a3·a5＝a4·a5＝a9．练习1. 判断以下计算是否正确，并简要说明理由：〔1〕a·a2＝a2；〔2〕a＋a2＝a3；〔3〕a3·a3＝a9；〔4〕a3＋a3＝a6．2. 计算：〔1〕102×105；〔2〕a3·a7；〔3〕x·x5·x7．2. 幂的乘方试一试根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：〔1〕〔23〕2＝23×２3＝２()；〔2〕〔32〕3＝32×３2×３2＝３()；〔3〕〔a3〕4＝a3·a3·a3·a3＝a()．概括〔a m〕n＝a m·a m·…·a m〔n个〕＝a m+...〔n个〕+m+m=a mn可得〔a m〕n＝a mn〔m、n为正整数〕．这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘．例2计算：（1）〔103〕5；〔2〕〔b3〕4．解〔1〕〔103〕5＝105*3＝１０15．（2）〔b3〕4＝b4*3＝b12．练习1. 判断以下计算是否正确，并简要说明理由：〔1〕〔a3〕5＝a8；〔2〕a5·a5＝a15；〔3〕〔a2〕3·a4＝a9．2. 计算：〔1〕〔22〕2；〔2〕〔y2〕5；〔3〕〔x4〕3；〔4〕〔y3〕2·〔y2〕3．3. 积的乘方试一试〔1〕〔ab〕2＝〔ab〕·〔ab〕＝〔aa〕·〔bb〕＝a()b()；〔2〕〔ab〕3＝＝＝a()b()；〔3〕〔ab〕4＝＝＝a()b()．概括〔ab〕n＝〔ab〕·〔ab〕·…·〔ab〕〔n个〕＝〔a·a·…·a〕·〔b·b·…·b〕＝a n b n．可得〔ab〕n＝a n b n〔n为正整数〕．这就是说，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．例3计算：〔1〕〔2b〕3；〔2〕〔2a3〕2；〔3〕〔－a〕3；〔4〕〔－3x〕4．解〔1〕〔2b〕3＝23b3＝8b3．〔2〕〔2a3〕2＝22×〔a3〕2＝4a6．〔3〕〔－a〕3＝〔－1〕3·a3＝－a3．〔4〕〔－3x〕4＝〔－3〕4·x4＝81x4．练习1. 判断以下计算是否正确，并说明理由：〔1〕〔xy3〕2＝xy6；〔2〕〔－2x〕3＝－2x3．2. 计算：〔1〕〔3a〕2；〔2〕〔－3a〕3；〔3〕〔ab2〕2；〔4〕〔－2×１０3〕3．4. 同底数幂的除法我们已经知道同底数幂的乘法法那么：a m·a n＝a n m+，那么同底数幂怎么相除呢?试一试用你熟悉的方法计算：〔1〕25÷２2＝；〔2〕107÷103＝；〔3〕a7÷a3＝〔a≠0〕．概括由上面的计算，我们发现：25÷２2＝23＝225-；107÷103＝104＝1037-；a7÷a3＝a4＝a37-．一般地，设m、n为正整数，m＞n，a≠0，有a m÷a n＝a n m-．这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减．我们可以利用除法的意义来说明这个法那么的道理：因为除法是乘法的逆运算，a m ÷a n 实际上是要求一个式子〔〕，使 a n ·〔〕＝a m ．而由同底数幂的乘法法那么，可知a n · a n m -＝a )(n m n -+＝a m ，所以要求的式子〔〕，就是a n m -，从而有a m ÷a n ＝a n m -．例4计算：〔1〕 a 8÷a 3；〔2〕 〔－a 〕10÷〔－a 〕3；〔3〕 〔2a 〕7÷〔2a 〕4．解〔1〕 a 8÷a 3＝a 38-＝a 5．〔2〕 〔－a 〕10÷〔－a 〕3＝〔－a 〕310-＝〔－a 〕7＝－a 7． 〔3〕 〔2a 〕7÷〔2a 〕4＝〔2a 〕47-＝〔2a 〕3＝8a 3． 思 考你会计算〔a ＋b 〕4÷〔a ＋b 〕2吗?练习1. 填空：〔1〕 a 5·〔〕＝a 9；〔2〕 〔〕·〔－b 〕2＝〔－b 〕7； 〔3〕 x 6÷〔〕＝x ；〔4〕 〔〕÷〔－y 〕3＝〔－y 〕7．2. 计算：〔1〕 a 10÷a 2；〔2〕 〔－x 〕9÷〔－x 〕3；〔3〕 m 8÷m 2·m 3；〔4〕 〔a 3〕2÷a 6．习题13.11. 计算〔以幂的形式表示〕：〔1〕93×95；〔2〕a7·a8；〔3〕35×２7；〔4〕x2·x3·x4．2. 计算〔以幂的形式表示〕：〔1〕〔103〕3；〔2〕〔a3〕7；〔3〕〔x2〕4；〔4〕〔a2〕3·a5．3. 判断以下等式是否正确，并说明理由：〔1〕a2·a2＝〔2a〕2；〔2〕a2·b2＝〔ab〕4；〔3〕a12＝〔a2〕6＝〔a3〕4＝〔a5〕7．4. 计算〔以幂的形式表示〕：〔1〕〔3×１０5〕2；〔2〕〔2x〕2；〔3〕〔－2x〕3；〔4〕a2·〔ab〕3；〔5〕〔ab〕3·〔ac〕4．5. 计算：〔1〕x12÷x4；〔2〕〔－a〕6÷〔－a〕4；〔3〕〔p3〕2÷p5；〔4〕a10÷〔－a2〕3．6. 判断以下计算是否正确，错误的给予纠正：〔1〕〔a2b〕2＝a2b2；〔2〕a5÷b2＝a3b；〔3〕〔3xy2〕2＝6x2y4；〔4〕〔－m〕7÷〔－m〕2＝m5．7. 计算：〔1〕〔a3〕3÷〔a4〕2；〔2〕〔x2y〕5÷〔x2y〕3；〔3〕x2·〔x2〕3÷x5；〔4〕〔y3〕3÷y3÷〔－y2〕2．8. 用多少张边长为a的正方形硬纸卡片，能拼出一个新的正方形?试写出三个答案，并用不同的方法表示新正方形的面积．从不同的表示方法中，你能发现什么?§13.2 整式的乘法1. 单项式与单项式相乘计算：2x3·5x2．例1计算：〔1〕3x2y·〔－2xy3〕；〔2〕〔－5a2b3〕·〔－４b2c〕．解〔1〕3x2y·〔－2xy3〕＝［３·〔－２〕］·〔x2·x〕·〔y·y3〕〔2〕〔－5a2b3〕·〔－４b2c〕＝［〔－５〕·〔－４〕］·a2·〔b3·b2〕·c ＝20a2b5c．概括单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，那么连同它的指数一起作为积的一个因式．例2卫星绕地球外表做圆周运动的速度〔即第一宇宙速度〕约为7.9×１０3米/秒，那么卫星运行3×１０2秒所走的路程约是多少?解7.9×１０3×３×１０2＝23.7×１０5＝２.３７×１０6〔米〕．答：卫星运行3×１０2秒所走的路程约是2.37×１０6米．讨论你能说出a·b,3a·2a,以及3a·5ab的几何意义吗?练习1. 计算：〔1〕3a2·2a3；〔2〕〔－9a2b3〕·8ab2；〔3〕〔－3a2〕3·〔－2a3〕2；〔4〕－3xy2z·〔x2y〕2．2. 光速约为３×１０8米/秒，太阳光射到地球上的时间约为５×１０2秒，那么地球与太阳的距离约是多少米?3. 小明的步长为a厘米，他量得一间屋子长15步，宽14步，这间屋子的面积有多少平方厘米?2. 单项式与多项式相乘试一试计算：2a2·〔3a2－5b〕．例3计算：〔－2a2〕·〔３ab2－5ab3〕．解〔－2a2〕·〔３ab2－5ab3〕＝〔－2a2〕·3ab2＋〔－2a2〕·〔－５ab3〕＝－6a3b2＋10a3b3．概括单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．练习1. 计算：〔1〕3x3y·〔2xy2－3xy〕；〔2〕2x·〔3x2－xy＋y2〕．2. 化简：x〔x2－1〕＋2x2〔x＋1〕－3x〔2x－5〕．3. 多项式与多项式相乘回忆我们再来看一看本章导图中的问题：图13.2.1某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．这块林区现在长为〔m＋n〕米，宽为〔a＋b〕米，因而面积为〔m＋n〕〔a＋b〕米2．也可以这样理解：如图13.2.1所示，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma米2、mb米2、na米2、nb米2，故这块地的面积为〔ma＋mb＋na＋nb〕米2．由于〔m＋n〕〔a＋b〕和〔ma＋mb＋na＋nb〕表示同一块地的面积，故有〔m＋n〕〔a＋b〕＝ma＋mb＋na＋nb．实际上，把〔m＋n〕看成一个整体，有〔m＋n〕〔a＋b〕＝〔m＋n〕a＋〔m＋n〕b＝ma＋mb＋na＋nb．如下式所示，等式的右边可以看作左边用线相连各项乘积的和：〔m+n〕〔a+b〕=ma+mb+na+nb概括这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．例4计算：〔1〕〔x＋2〕〔x－3〕；〔2〕〔3x－1〕〔2x＋1〕．解〔1〕〔x＋2〕〔x－3〕＝x2－3x＋2x－6＝x2－x－6．〔2〕〔3x－1〕〔2x＋1〕＝6x2＋3x－2x－1＝6x2＋x－1．例5计算：〔1〕〔x－3y〕〔x＋7y〕；〔2〕〔2x＋5y〕〔3x－2y〕．解〔1〕〔x－3y〕〔x＋7y〕＝x2＋7xy－3yx－21y2＝x2＋4xy－21y2．（3）〔2x＋5y〕〔3x－2y〕＝6x2－4xy＋15yx－10y2＝6x2＋11xy－10y2．练习1. 计算：〔1〕〔x＋5〕〔x－7〕；〔2〕〔x＋5y〕〔x－7y〕；〔3〕〔2m＋3n〕〔2m－3n〕；〔4〕〔2a＋3b〕〔2a＋3b〕．2. 小东找来一张挂历纸包数学课本．课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形?习题13.21. 计算：〔1〕5x3·8x2；〔2〕11x12·〔－12x11〕；〔3〕2x2·〔－3x〕4；〔4〕〔－8xy2〕·－(1/2x)3．2. 世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米，底边长230.4米，用了约2.3×１０6块大石块，每块重约2.5×１０3千克．请问：胡夫金字塔总重约多少千克?3. 计算：〔1〕－3x·〔2x2－x＋4〕；〔2〕5/2xy·(－x3y2＋4/5x2y3)．4. 化简：〔1〕x(1/2x＋1)－3x(3/2x－2)；〔2〕x2〔x－1〕＋2x〔x2－2x＋3〕．5. 一块边长为xcm的正方形地砖，被裁掉一块2cm宽的长条．问剩下局部的面积是多少?6. 计算：〔1〕〔x＋5〕〔x＋6〕；〔2〕〔3x＋4〕〔3x－4〕；〔3〕〔2x＋1〕〔2x＋3〕；〔4〕〔9x＋4y〕〔9x－4y〕．7. 一块长a厘米、宽b厘米的玻璃，长、宽各减少c厘米后恰好能铺盖一张办公桌台面〔玻璃与台面一样大小〕．问台面面积是多少? §13.3 乘法公式1.两数和乘以这两数的差做一做计算：〔a＋b〕〔a－b〕．这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁：〔a＋b〕〔a－b〕＝a2－b2．这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差．试一试图13.3.1先观察图13.3.1，再用等式表示以下图中图形面积的运算：＝－．例1计算：〔1〕〔a＋3〕〔a－3〕；〔2〕〔2a＋3b〕〔2a－3b〕；〔3〕〔1＋2c〕〔1－2c〕；〔4〕〔－2x－y〕〔2x－y〕．解〔1〕〔a＋3〕〔a－3〕＝a2－32＝a2－9．〔2〕〔2a＋3b〕〔2a－3b〕＝〔2a〕2－〔3b〕2＝4a2－9b2．〔3〕〔1＋2c〕〔1－2c〕＝12－〔2c〕2＝1－4c2．〔4〕〔－2x－y〕〔2x－y〕＝〔－y－2x〕〔－y＋2x〕＝〔－y〕2－〔2x〕2＝y2－4x2．例2计算：1998×２００２．解1998×２００２＝〔2000－2〕×〔2000＋2〕＝200０2－22＝4000000－4＝3999996．例3街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米．问改造后的长方形草坪的面积是多少?解〔a＋2〕〔a－2〕＝a2－4〔平方米〕．答：改造后的长方形草坪的面积是〔a2－4〕平方米．练习1. 计算：〔1〕〔2x＋1/2〕〔2x－1/2〕；〔2〕〔－x＋2〕〔－x－2〕；〔3〕〔－2x＋y〕〔2x＋y〕；〔4〕〔y－x〕〔－x－y〕．2. 计算：〔1〕498×502；〔2〕999×1001．3. 用一定长度的篱笆围成一个矩形区域，小明认为围成一个正方形区域时面积最大，而小亮认为不一定．你认为如何?2.两数和的平方做一做计算：〔a＋b〕2．经计算，我们又得到一个漂亮的结果：〔a＋b〕2＝a2＋2ab＋b2．这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的2倍．试一试先观察图13.3.2，再用等式表示以下图中图形面积的运算：图＝＋＋．例4计算：〔1〕〔2a＋3b〕2；〔2〕〔2a＋b/2〕2．解〔1〕〔2a＋3b〕2＝〔2a〕2＋2·２a·3b＋〔3b〕2＝4a2＋12ab＋9b2．（2）〔2a＋b/2〕2＝〔2a〕2＋2·2a·b/2＋b/22＝4a2＋2ab＋b2/4．例5计算：〔1〕〔a－b〕2；〔2〕〔2x－3y〕2．解〔1〕〔a－b〕2＝［a＋〔－b〕］2＝a2＋2·a·〔－b〕＋〔－b〕2＝a2－2ab＋b2．〔2〕〔2x－3y〕2＝［２x＋〔－3y〕］2＝〔2x〕2＋2·〔2x〕·〔－3y〕＋〔－3y〕2＝4x2－12xy＋9y2．此题也可直接运用小题〔1〕的结果〔两数差的平方公式〕来计算：〔2x－3y〕2＝〔2x〕2－2·〔2x〕·〔3y〕＋〔3y〕2＝ 4x 2－12xy ＋9y 2．图13.3.3讨 论你能从图13.3.3中的面积关系来解释小题〔1〕的结果吗?练习1. 计算：〔1〕 〔x ＋3〕2；〔2〕 〔2x ＋y 〕2． 2. 计算：〔1〕 〔x －3〕2；〔2〕 〔2m －n 〕2． 3. 计算：〔1〕 〔－2m ＋n 〕2；〔2〕 〔－2m －n 〕2．4. 要给一边长为a 米的正方形桌子铺上正方形的桌布，桌布的四周均超出桌面0.1米，问需要多大面积的桌布?习题13.31. 计算：〔1〕 〔a ＋2b 〕〔a －2b 〕；〔2〕 〔2a ＋5b 〕〔2a －5b 〕； 〔3〕 〔－2a －3b 〕〔－2a ＋3b 〕；〔4〕 〔－31a ＋21b 〕〔31a ＋21b 〕． 2. 计算：〔1〕 〔3a ＋b 〕2；〔2〕 〔2a ＋31b 〕2；〔3〕 〔2a ＋1〕〔－2a －1〕． 3. 计算：〔1〕 〔2a －4b 〕2；〔2〕〔21a －31b 〕2． 4. 填空：〔1〕a2＋6a＋＝〔a＋〕2；〔2〕4x2－20x＋＝〔2x－〕2；〔3〕a2＋b2＝〔a－b〕2＋；〔4〕〔x－y〕2＋＝〔x＋y〕2．5. 有一块边长为a米的正方形空地，现准备将这块空地四周均留出b 米宽修筑围坝，中间修建喷泉水池．你能计算出喷泉水池的面积吗?阅读材料贾宪三角贾宪三角〔如图1〕最初于11世纪被发现，原图载于我国北宋时期数学家贾宪图1的?黄帝九章算法细草?一书中，原名“开方作法根源图〞，用来作开方运算，在数学史上占有领先地位．我国南宋时期数学家杨辉对此有着记载之功，他于1261年写下的?详解九章算法?一书中记载着这一图表．因此，后人把这个图表称作贾宪三角或杨辉三角．在欧洲，贾宪三角那么被人们称为“帕斯卡三角〞，这是因为法国数学家帕斯卡于1654年发表了此“三角〞，并且影响较大．但这比我国已经迟了近600年．其实，数学史上有不少人各自独立地绘制过类似图表，如1427年阿拉伯的数学家阿尔·卡西，1527年德国的阿皮亚纳斯，1544年德国的施蒂费尔，1545年法国的薛贝尔等．贾宪三角在历史上被不同时代的人绘制出来，是有着不同的应用趋向的．贾宪将它应用于开方运算，注重增乘方法并把这种方法推向求高次方根；帕斯卡关心数字三角阵的性质探讨以及把这种性质推广到组合数的性质上；而施蒂费尔那么注重二项展开式系数间的关系；还有我国元代数学家朱世杰于13世纪巧妙地利用贾宪三角得出了一系列级数求和的重要公式，并且利用这些公式求出许多更为复杂的级数之和，这在当时世界上也处于领先水平．与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．如图2，在贾宪三角中，第三行的三个数〔1，2，1〕恰好对应着两数和的平方公式〔a＋b〕2的展开式a2＋2ab＋b2的系数．类似地，通过计算可以发现：第四行的四个数〔1，3，3，1〕恰好对应着两数和的立方〔a＋b〕3的展开式a3＋３a2b＋3ab2＋b3的系数，第五行的五个数〔1，4，6，4，1〕恰好对应着两数和的四次方〔a＋b〕4的展开式a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4的系数，等等．由此可见，贾宪三角可以看作是对我们现在学习的两数和的平方公式的推广而得到的．〔a＋b〕0 (1)〔a＋b〕1………… 1 1〔a＋b〕2………… 1 2 1〔a＋b〕3………… 1 3 3 1〔a＋b〕4………… 1 4 6 4 1〔a＋b〕5………… 1 5 10 10 5 1〔a＋b〕6………… 1 6 15 20 15 6 1图2同学们，贾宪三角告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，你发现其中的字母及字母指数的排列规律了吗?如果发现了，请你试着写出〔a＋b〕5、〔a＋b〕6与〔a＋b〕7的展开式．§13.4 整式的除法1. 单项式除以单项式计算：12a5c2÷３a2．根据除法的意义，上式就是要求一个单项式，使它与３a2相乘的积等于12a5c2．∵〔4a3c2〕·３a2＝12a5c2，∴12a5c2÷３a2＝4a3c2．概括单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，那么连同它的指数一起作为商的一个因式．例1计算：〔1〕24a3b2÷３ab2；〔2〕－21a2b3c÷３ab；〔3〕〔６xy2〕2÷３xy．解〔1〕24a3b2÷3ab2＝〔24÷３〕〔a3÷a〕〔b2÷b2〕＝8a13 ·１＝8a2．〔2〕－21a2b3c÷３ab＝〔－21÷３〕a12-b13-c＝－7ab2c．〔3〕〔6xy2〕2÷３xy＝36x2y4÷３xy＝12xy3．思考你能用〔a－b〕的幂表示下式的结果吗?12〔a－b〕5÷３〔a－b〕2．例2地球的质量约为5.98×１０24千克，木星的质量约为1.9×１０27千克．问木星的质量约是地球的多少倍?〔结果保存三个有效数字〕分析此题只需做一个除法运算：〔1.9×１０27〕÷〔５.９８×１０24〕，我们可以先将1.9除以5.98，再将１０27除以１０24，最后将商相乘．27-解〔1.9×１０27〕÷〔5.98×１０24〕＝〔1.9÷５.９８〕×１０24≈0.318×１０3＝３１８．答：木星的质量约是地球的318倍．练习1. 填表：2. 下雨时，常常是“先见闪电，后闻雷鸣〞，这是由于光速比声速快的缘故．光在空气中的传播速度约为3×１０8米/秒，而声音在空气中的传播速度约为3.4×１０2米/秒．请计算一下，光速是声速的多少倍?〔结果保存两个有效数字〕2. 多项式除以单项式试一试计算：〔1〕〔ax＋bx〕÷x；〔2〕〔ma＋mb＋mc〕÷m．根据除法的意义，容易探索、计算出结果．以小题〔2〕为例，〔ma＋mb＋mc〕÷m就是要求一个多项式，使它与m的积是ma ＋mb＋mc．∵m〔a＋b＋c〕＝ma＋mb＋mc，∴〔ma＋mb＋mc〕÷m＝a＋b＋c．概括多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．例3计算：〔1〕〔9x4－15x2＋6x〕÷３x；〔2〕〔28a3b2c＋a2b3－14a2b2〕÷〔－7a2b〕．解〔1〕〔9x4－15x2＋6x〕÷３x＝9x4÷３x－15x2÷３x＋6x÷３x＝3x3－5x＋2．（2）〔28a3b2c＋a2b3－14a2b2〕÷〔－7a2b〕＝28a3b2c÷〔－7a2b〕＋a2b3÷〔－7a2b〕－14a2b2÷〔－7a2b〕＝－4abc－1/7b2＋2b．练习1. 计算：〔1〕〔3ab－2a〕÷a；〔2〕〔5ax2＋15x〕÷5x；〔3〕〔12m2n＋15mn2〕÷6mn；〔4〕〔x3－2x2y〕÷〔－x2〕．2. 计算：〔1〕〔4a3b3－6a2b3c－2ab5〕÷〔－２ab2〕；〔2〕x2y3－1/2x3y2＋2x2y2÷1/2xy2．习题13.41.计算：〔1〕－21a2b3÷7a2b；〔2〕7a5b2c3÷〔－3a3b〕；〔3〕－1/2a4x4÷－1/6a3x2；〔4〕〔16x3－8x2＋4x〕÷〔－2x〕．2.计算：〔1〕〔6a3b－9a2c〕÷３a2；〔2〕〔4a3－6a2＋9a〕÷〔－2a〕〔3〕〔－4m4＋20m3n－m2n2〕÷〔－4m2〕；〔4〕x2y－1/2xy2－2xy÷1/2xy．3.计算：〔1〕〔12p3q4＋20p3q2r－6p4q3〕÷〔－2pq〕2；〔2〕［４y〔2x－y〕－2x〔2x－y〕］÷〔2x－y〕．4. 一颗人造地球卫星的速度是８×１０3米/秒，一架喷气式飞机的速度是5×１０2米/秒，试问：这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍?5. 聪聪在一次数学课外活动中发现了一个奇特的现象：他随便想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1．你能说明其中的道理吗? §13.5 因式分解回忆运用前面所学的知识填空：〔1〕m〔a＋b＋c〕＝；〔2〕〔a＋b〕〔a－b〕＝；〔3〕〔a＋b〕2＝．试一试填空：〔1〕ma＋mb＋mc＝〔〕〔〕；〔2〕a2－b2＝〔〕〔〕；〔3〕a2＋2ab＋b2＝〔〕2．概括我们“回忆〞的是已熟悉的整式乘法运算，而“试一试〞中的问题，其过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为几个整式的积的形式．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解〔factorization〕．多项式ma＋mb＋mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式〔common factor〕．把公因式提出来，多项式ma＋mb＋mc就可以分解成两个因式m和〔a＋b＋c〕的乘积了．像这种因式分解的方法，叫做提公因式法．“试一试〞中的〔2〕、〔3〕小题，实际上是将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法称为公式法．做一做把以下多项式分解因式：〔1〕3a＋3b＝；〔2〕5x－5y＋5z＝；〔3〕x2－4y2＝；〔4〕m2＋6mn＋9n2＝．例1把以下多项式分解因式：〔1〕－5a2＋25a；〔2〕3a2－9ab；〔3〕25x2－16y2；〔4〕x2＋4xy＋4y2．解〔1〕－5a2＋25a＝－5a〔a－5〕．〔2〕3a2－9ab＝3a〔a－3b〕．〔3〕25x2－16y2＝〔5x〕2－〔4y〕2＝〔5x＋4y〕〔5x－4y〕．〔4〕x2＋4xy＋4y2＝x2＋2·x·2y＋〔2y〕2＝〔x＋2y〕2．例2把以下多项式分解因式：〔1〕4x3y＋4x2y2＋xy3；〔2〕3x3－12xy2．解〔1〕4x3y＋4x2y2＋xy3＝xy〔4x2＋4xy＋y2〕＝xy〔2x＋y〕2．（2）3x3－12xy2＝3x〔x2－4y2〕＝3x［x2－〔2y〕2］＝3x〔x＋2y〕〔x－2y〕．练习1. 判断以下因式分解是否正确，并简要说明理由．如果不正确，请写出正确答案．〔1〕4a2－4a＋1＝4a〔a－1〕＋1；〔2〕x2－4y2＝〔x＋4y〕〔x－4y〕．2. 把以下多项式分解因式：〔1〕a2＋a；〔2〕4ab－2a2b；〔3〕9m2－n2；〔4〕2am2－8a；〔5〕2a2＋4ab＋2b2．3. 丁丁和冬冬分别用橡皮泥做了一个长方体和圆柱体，放在一起，恰好一样高．丁丁和冬冬想知道哪一个体积较大，但身边又没有尺子，只找到了一根短绳，他们量得长方体底面的长正好是3倍绳长，宽是2倍绳长，圆柱体的底面周长是10倍绳长．你知道哪一个体积较大吗?大多少?〔提示：可设绳长为a厘米，长方体和圆柱体的高均为h厘米〕习题13.51. 把以下多项式分解因式：〔1〕3x＋3y；〔2〕－24m2x－16n2x；〔3〕x2－1；〔4〕〔xy〕2－1；〔5〕a4x2－a4y2；〔6〕3x2＋6xy＋3y2；〔7〕〔x－y〕2＋4xy；〔8〕4a2－3b〔4a－3b〕．2. 先将以下代数式分解因式，再求值：2x〔a－2〕－y〔2－a〕，其中a＝0.5，x＝1.5，y＝－2．3. 在一块边长为a＝6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为b ＝1.7米的正方形修建花坛，其余的地方种草坪．问草坪的面积有多大?4. 一块边长为a米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来长2米，问扩建后的广场面积增大了多少?你会读吗阅读材料你会读吗数学中有不少运算符号与记号，如何用英语准确地表达这些符号与记号呢?读一读，看看你能读懂多少?A ＋B ＝C ……A plus B equals CA －B ＝C ……A minus B equals CA ×B ＝C ……A multiplied by B equals C……A times B equals CA ÷B ＝C ……A divided by B equals C 21……one half 32……two thirdsA 2……A squared A 3……A cubedA ……the square root of AA ＞B ……A is greater than BA ∶B ……the ratio of A to Bl ∥m ……l is parallel to m 小结一、 知识结构二、概括1. 本章主要研究整式的乘法与除法运算，其运算法那么从根本上说是运用了数的运算律，最终都可以归结为单项式乘以单项式与单项式除以单项式，其中幂的运算是它们的根底．2. 在多项式乘以多项式中，有一些特殊形式的乘法运算结果较为简洁，在计算中可以作为乘法公式直接运用．学习中要注意掌握这些公式的结构特点，以便能准确地运用公式．3. 因式分解与因数分解类似，它与整式乘法的过程恰好相反，我们可以运用整式的乘法得到因式分解的方法，也可以运用整式乘法来检验因式分解的正确性．复习题A组1. 计算：〔1〕a10·a8；〔2〕〔xy〕2·〔xy〕3；〔3〕［〔－x〕3］2；〔4〕［〔－x〕2］3；〔5〕〔－2mn2〕3；〔6〕〔y3〕2·〔y2〕4．2. 计算：〔1〕〔4×１０4〕×〔２×１０3〕；〔2〕2a·３a2；〔3〕〔－3xy〕·〔－４yz〕；〔4〕〔－2a2〕2·〔－５a3〕；〔5〕〔－3x〕·〔2x2－x－1〕；〔6〕〔x＋2〕〔x＋6〕；〔7〕〔x－2〕〔x－6〕；〔8〕〔2x－1〕〔3x＋2〕．3. 计算：〔1〕〔x＋2〕〔x－2〕；〔2〕〔m＋n〕〔m－n〕；〔3〕〔－m－n〕〔－m＋n〕；〔4〕〔－m－n〕〔m＋n〕；〔5〕〔－m＋n〕〔m－n〕；〔6〕2/3x＋3/4y2．4. 计算：〔1〕20222－2022×2000；〔2〕〔2x＋5〕2－〔2x－5〕2；〔3〕－12xy·３x2y－x2y·〔－3xy〕；〔4〕2x·1/2x－1－3x1/3x＋2/3；〔5〕〔－2x2〕·〔－y〕＋3xy·1－1/3x；〔6〕〔－6x2〕2＋〔－3x〕3·x．5. 计算：〔1〕a·a4÷a3；〔2〕〔－x〕6÷〔－x〕2·〔－x〕3；〔3〕27x8÷3x4；〔4〕－12m3n3÷4m2n3；〔5〕〔6x2y3z2〕2÷4x3y4；〔6〕〔－6a2b5c〕÷〔－2ab2〕2．6. 计算：〔1〕〔6a4－4a3－2a2〕÷〔－2a2〕；〔2〕〔4x3y＋6x2y2－xy3〕÷２xy；〔3〕〔x4＋2x3－1/2x2〕÷〔－1/2x〕2；〔4〕〔2ab2－b3〕2÷２b3．7. 计算：［〔x－2y〕2＋〔x－2y〕〔x＋2y〕－2x〔2x－y〕］÷2x．8. 把以下多项式分解因式：〔1〕x2－25x；〔2〕2x2y2－4y3z；〔3〕am－an＋ap；〔4〕x3－25x；〔5〕1－4x2；〔6〕25x2＋20xy＋4y2；〔7〕x3＋4x2＋4x．9. 先化简，再求值：〔1〕3a〔2a2－4a＋3〕－2a2〔3a＋4〕，其中a＝－2；〔2〕〔a－3b〕2＋〔3a＋b〕2－〔a＋5b〕2＋〔a－5b〕2，其中a＝－8，b＝－6．10. 一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了45cm2．求这个正方形原来的边长．假设边长减少3cm，它的面积减少了45cm2，这时原来边长是多少呢?11. 1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×１０5千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×１０10千克镭．试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量．B组12. 求以下各式的值：〔1〕〔3x4－2x3〕÷〔－x〕－〔x－x2〕·３x，其中x＝－1/2；〔2〕［〔ab＋1〕〔ab－2〕－2a2b2＋2］÷〔－ab〕，其中a＝3/2，b＝－4/3．13. 〔x＋y〕2＝1，〔x－y〕2＝49，求x2＋y2与xy的值．14. a＋b＝3，ab＝2，求a2＋b2的值．15. a－b＝1，a2＋b2＝25，求ab的值．16. 把以下各式分解因式：〔1〕x〔x＋y〕－y〔x＋y〕；〔2〕〔a＋b〕2＋2〔a＋b〕＋1；〔3〕4x4－4x3＋x2；〔4〕x2－16ax＋64a2；〔5〕〔x－1〕〔x－3〕＋1；〔6〕〔ab＋a〕＋〔b＋1〕．C组17. 一个长方形的长增加4cm，宽减少1cm，面积保持不变；长减少2cm，宽增加1cm，面积仍保持不变．求这个长方形的面积．18. 当整数k取何值时，多项式x2＋4kx＋4恰好是另一个多项式的平方?19. 试判断以下说法是否正确，并说明理由:〔1〕两个连续整数的平方差必是奇数；〔2〕假设a为整数，那么a3－a能被6整除．课题学习面积与代数恒等式在前面的学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式．例如，图1可以用来解释图2可以用来解释2222a++b+．=)a(bab还有很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来说明其正确性．现在让我们一起参加下面的实践与探索活动．〔1〕尽可能多地做一些如图3所示的正方形与长方形的硬纸片．〔2〕利用制作的硬纸片拼成一些长方形或正方形，并用所拼成的图形面积来说明所学的乘法公式及某些幂的运算公式的正确性．图４〔3〕根据图4，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式来．〔4〕试写出一个代数恒等式，比方〔a＋2b〕〔2a－b〕＝2a2＋3ab－2b2，然后用上述方法来说明它的正确性．。
整式的乘除八年级上册数学知识点
整式的乘除八年级上册数学知识点
一、整式的乘法：
1. 同底数相乘：将各项的系数相乘，底数相乘，并将指数相加得到新的指数。
2. 不同底数相乘：将各项的系数相乘，并将底数相乘得到新的底数。
3. 括号法则：对于带有括号的整式，使用分配率进行展开，然后合并同类项。
二、整式的除法：
1. 长除法：按照长除法的步骤进行计算，将除数乘以合适的倍数，依次减去被除数，并将减法结果作为商的系数。
2. 短除法：在除数和被除数的每一项上分别除以一个公因式，得到商式，然后再按照长除法的步骤进行计算。
3. 余式：整式的除法中，被除式除以除数得到的商式和余式，即表示被除式能不能整除除数，商式表示商，余式表示余数。
4. 最大公因式：求两个多项式的最高公因式，可以使用因式分解、综合除法等方法进行求解。
三、整式的因式分解：
1. 公因式提取法：找到各项的最大公因式，并提取出来，剩下的部分作为新的因式。
2. 公式法则：利用二次方差、完全平方公式、立方差和立方和等公式进行因式分解。
四、整式的展开与配方法：
1. 分配率：利用分配率将整式展开成多个单项式的和。
2. 配方法：对于特定形式的整式，使用配方法进行展开，例如二次三角恒等式、完全平方式等。
以上是八年级上册数学中关于整式的乘除的知识点，希望对你有帮助！。
八年级上册数学- 整式的乘除
第十四章 整式的乘法与因式分解第19讲 整式的乘除知识导航1．幂的运算：同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方；2．整式的乘法：单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式；3．整式的除法：单项式除以单项式，多项式除以单项式，多项式除以多项式【板块一】幂的运算运算法则：（1）同底数幂相乘：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）．（2）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，用式子表示为：()n m mn a a =（m ，n 都是正整数）．（3）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，用式子表示为：()n n n ab a b =（n 都是正整数）．（4）同底数幂相除：同底数的幂相除，底数不变，指数相减，用式子表示为：m n m n a a a -÷=（m ＞n ）（5）规定：01a =（a ≠0），零的零次幂无意义．（6）负整数幂的运算法则：1n na a -=（n 是正整数，a ≠0）．方法技巧：1．从已知出发，构造出结果所需要的式子；2．从结果出发，构造符合已知条件的式子．题型一 基本计算【例1】计算：（1）()()32x x -⋅-；（2）()()2332a a -⋅-；（3）()22248x yy ÷； （4）323221334a b ab ⎛⎫⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【例2】计算：()()()2014201420150.12524-⨯-⨯-．题型二 逆向运用幂运算 【例3】（1）已知2228162x x ⋅⋅=，求x 的值；（2）已知4a y =，16b y =，求22a b y +的值．题型三 灵活进行公式变形【例4】已知：5210a b ==，求11a b+的值．题型四 比较大小【例5】已知552a =，334b =，225c =，试比较a ，b ，c 的大小．针对练习11．计算：（1）3224a a a a a ⋅⋅+⋅；（2）()57x x -⋅；（3）()()57x y x y +⋅--；（4）()()2332y y ⋅．2．计算：（1）6660.12524⨯⨯；（2）599329961255⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（3）()()2018201720172 1.513⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭；（4）4322023452%3%4%5%103456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．3．（1）若()3915n m a b ba b =，求m ，n 的值；（2）已知27a =，86b =，求()322a b +的值；（3）若a +3b -2=0，求327a b ⋅的值；（4）已知：21233324m m ++=，求m 的值；（5）已知124x y +=，1273x -=，求x －y 的值；（6）已知129372n n +-=，求n 的值．4．已知252000x =，802000y =，求11x y+的值．5．已知k ＞x ＞y ＞z ，且16522228k x y z +++=，k ，x ，y ，z 是整数，求k 的值．6．是否存在整数a ，b ，c 使9101628915a b c⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭？若存在，求出a ，b ，c 的值；若不存在，说明理由．7．比较653，524，396，2615四个数的大小．8．你能比较两个数20122011和20112012的大小吗？为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较1n n +与(1)n +n 的大小(n 是自然数），然后，我们分析1n =，2n =，3n =，⋯中发现规律，经过归纳，猜想得出结论．（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在空格内填写“>”、“ =”、“<”号）①21 12；②32 23；③43 34；④54 45；⑤65 56…．（2）从第（1）题的结果经过归纳，可猜想出1n n +与(1)n n +的大小关系是 ．（3）根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较下面两个数的大小20122011，20112012．9．（1）已知()432a =，()342b =，()423c =，()234d =，()324e =，比较a ，b ，c ，d ，e 的大小关系；（2）已知：220002001200220012002200120022001200220012002a =+⨯+⨯++⨯+⨯，20022002b =，试比较a 与b 的大小．【板块二】整式的乘法方法技巧：（1）单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里还有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a +b +c 为单项式．（3）多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++．题型一 基本计算【例6】计算：（1）()()23234x y x y -⋅＝ ；（2）()()223234x y x y -⋅＝ ； （3）()254342x x y xy -⋅-＝ ；（4）()()22323253a b ab a b ⋅-+＝ ；（5）()()322a b x y +-＝ ；（6）()()332a b a b +-＝ ．题型二 混合运算 【例7】计算：()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．题型三 展开后不含某项【例8】若()()2283x ax x x b ++-+的乘积中不含x 2项和x 3项，则a ＝ ，b ＝ ．题型四 比较对应项的系数求值【例9】已知()()2226x my x ny x xy y ++=+-，求()m n mn +的值．【板块二】整式的乘法方法技巧（1）单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里还有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为: m (a＋b＋c) ＝ma＋mb＋mc，其中m为单项式，a＋b＋c为多项式.（3）多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：(m＋n)( a＋b) ＝ma＋mb＋na＋nb.题型一基本计算【例6】计算：（1）(－3x2y)·(4x3y2)＝__________;（2）(－3x2y) 2·(4x3y2)＝__________;（3）－3x2·(4x5y－2xy4)＝__________;（4）(2a2b3)·(－5ab2＋3a3b)＝__________;（5）(3a＋2b)·(2x－y)＝__________;（6）(3a＋b)·(3a－2b)＝__________;题型二混合运算【例7】计算：(3x2＋2)( 5x4＋2x2＋3)－(5x4＋x2＋3)( 3x2＋3)题型三展开后不含某项【例8】若(x2＋ax＋8)( x2－3x＋b)的乘积中不含x2和x3项，则a＝__________，b＝__________.题型四比较对应项的系数求值【例9】已知(x＋my)( x－ny)＝x2＋2xy－6y2，求(m＋n) mn的值题型五巧设特殊值【例10】设()5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a 1x＋a0（1）a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a0的值；（2）a0－a1＋a2－a3＋a4－a5的值；（3）a0＋a2＋a4的值；针对练习21．计算：（1）(x＋2y)(4a＋3b)＝__________；（2）(3x－y)( x＋2y)＝__________；（3）(x＋3)( x－4)＝__________；（4）(43a2b－83a3b2＋1)×(－0.25ab)＝__________；（5）3a b2 [(－ab) 2－2b2 (a2－23a3b)]＝__________；（6）(5x3＋2x－x2－3)(2－x＋4x2)＝__________；2．计算：（1）(x2－2x＋3)(x－1)( x＋1)；（2）[(12x－y)2＋(12x＋y)2] (12x2－2y2);（3）(－x3＋2x2－5)(2x2－3x＋1);（4）(x＋y)( x2－xy＋y2);（5）(x－y)( x2＋xy＋y2);（6）(－2x－y)(4x2－2xy＋y2).3．（1）多项式x2＋ax＋2和x2＋2x－b的积中没有x2和x3两项，求a，b的值；（2）若(1＋x)(2x2＋ax＋1)的结果中x2项的系数为－2，求a的值；（3）已知多项式3x2＋ax＋1与bx2＋x＋2的积中不含x2和x项，求系数a，b的值.4．（1）已知多项式x4＋x3＋x2＋2＝(x 2＋m x＋1)( x 2＋n x＋2)，求m与n的值；（2）若不论x取何值，多项式x3－2x3－4x－1与(x＋1)(x2＋m x＋n)都相等，求m和n的值；（3）已知(x＋a y)(2 x－b y)＝2x2－3xy－5y 2，则2a2b－ab2的值.5．已知ab2＝6，求ab (a 2b5－ab3－b)的值.6．已知x－y＝－1，xy＝2，求(x－1)( y＋1)的值.7．已知2 a 2＋3 a－6，求3a (2a＋1)－(2a＋1)( 2a－1)的值.8．已知x2－8x－3＝0，求(x－1)( x－3)( x－5)( x－7)的值.9．已知2 x＋3x (x＋1)( x＋2)( x＋3)的值.【板块三】整式的除法方法技巧（1）单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.（2）多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，公式为：（3）多项式除以多项式：大除法.题型一基本计算【例11】计算：（1）(23a4b2－19a2b8)÷(－12ab3)2（2）(35a3b7－65a3b4－1.8a2b3)÷0.6ab2题型二大除法【例12】计算：（1）(x3－1)÷(x－1);（2）(3 x4－5x3＋x2＋2)÷(x2＋3);。
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∵ 9a÷32b= 9a ÷ 9b=9a-b ∴ 9a÷32b= 92=81
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思考题
观察下列各式： (x-1)(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1 根据前面各式的规律可得
C.(c3)4 ÷c5=c6 ( ) D.(m3•m2)5÷m4=m21 (✓ )
计算（口答）
1.(-3)2•(-3)3= (-3)5 = -35 2. x3•xn-1-xn-2•x4+xn+2= xn+2 3.(m-n)2•(n-m)2•(n-m)3= (n-m)3 4. -(- 2a2b4)3= 8a6b12 5.(-2ab)3 •b5 ÷8a2b4=-ab4
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1. 已知： a b 5 , ab 1 ,
求 a 2 b 2 的值。 6
6
解：因为 a 2 b2 = (a b)2 2ab
所以 a 2 b=2 (5)2 2 1
6
6
25 1 36 3
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(1) 已知 (a+b)2=11, (a-b)2 =7,
则ab=( A)
（A） 1 （B）-1（C） 0 （D） 1或-1
(2) 如果4x2+12xy+k是一个关于x、y的完全
B 平方式，则k=( )
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.3.2整式的除法(图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.（綦江·中考）2a2÷a的结果是（ ）
A．2 B．2a
C．2a3
D．2a2
【解析】选B.利用单项式除以单项式的运算法则易得 选项B正确.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.（无锡·中考）下列正确的是（ ）
A．（a3)2=a5 C．(a3-a)÷a=a2
B．a3+a2=a5 D．a3÷a3=1
【解析】选D.利用单项式除以单项式的运算法则易得选
项D正确.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
3.（4x2y3）2 ÷ (-2xy2) 【解析】原式=16x4y6÷(-2xy2)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
【例】计算:
（1）28x4y2÷7x3y （2）-15a5b3c÷5a4b
【解析】原式=4xy
原式=-3ab2c
（3）（2x2y）3×（-7xy2）÷14x4y3
原式=8x6y3×（-7xy2）÷14x4y3
=-56x7y5÷14x4y3
=-4x3y2
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
的值. 【解析】原式
(9x2 4 y2 5x2 2xy 10xy 4 y2 ) 8x (4x2 8xy) 8x 1xy
2 Q x 2 y 2012 1 x y 1006
2 原式 1006
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.单项式相除 (1)系数相除； (2)同底数幂相除； (3)只在被除式里的幂不变. 2.多项式除以单项式
人教版八年级数学上整式的乘除及因式分解
第1讲 整式乘法本讲知识点归纳1．同底数幂的乘法：nm nma a a +=⋅2．幂的乘方：()mn nma a =3．积的乘方：()n n nb a ab =4．单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式5．乘法公式(1)平方差公式：()()2222b a b a b a -=-++(2)完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±(3)立方和（差）公式：()()3322b abab a b a ±=+±基础回顾例1 运用乘法公式计算(1)()()y x y x --+-22 (2) ()()()()b a a b a b b a 43342332+--+- (3) ()()()4222--+x x x (4) ()()222323n m n m +--解：分析：运用平方差公式、完全平方公式，理解两公式中的a ，b ，特别注意符号，在平方差公式中，两括号中完全相同的项相当于公式中的“a ”，只有符号不同的项相当于平方差公式中的“b ”；在完全平方公式中，展开后有三项，两平方项及两个数积的2倍。
平方差公式，完全平方公式可以逆用，有时可使计算变得简捷． 例2小明家的住房结构如图所示，小明的爸爸打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少2m 的地砖？如果每21m 她砖的价格是a 元钱，则购买地砖至少需要多少钱？ 解：分析：把图中每个长方形的长与宽观察出来或表示出来，再用长方形的面积公式及图形的积差关系表示。
1．计算：（1）()42x x x -⋅⋅ （2）()()()6334233a a a -⋅（3）32233243⎪⎭⎫⎝⎛-⋅y x y x （4）()()y x y x 22-+2．利用平方差公式计算(1)()()y x y x 33+- （2）()()n m n m 3322+-（3）()()32323434z xyzxy -+ （4）()()bc a bc a +---223．利用完全平方公式计算(1)()()z y x z y x +--+ （2）()212++n n y x （3）()()22y x y x -⋅+练习4．如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )。
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八年级数学上册（整式的乘除）
一、本章的教学内容
共五节: §13.1 幂的运算§13.2 整式的乘法§13.3 乘法公式§13.4 整式的除法§13.5 因式分解.前四节属于整式的乘除范畴，最后一节是整式乘法的逆过程。
二、本章所处地位
本章是整式加减的后续学习,同时也是初中代数关于式的学习的重要内容.教材首先从幂的运算性质入手,在此基础上再运用乘法的运算律得出整式乘法和除法的运算法则,接着利用整式乘法法则引导学生探求乘法公式和因式分解的方法.可见本章既是对前面知识的运用和开拓,又是后续知识的基础,如:分式,一元二次方程的解法,二次函数的性质都要用到本章的因式分解等内容.另外,本章书多处由图形面积引入运算法则和公式,既渗透了数形结合的思想,又培养了学生对知识的转化能力和学生对问题中所蕴藏的数学规律进行探索的兴趣.
三、教学目标
★知识与技能目标:
1.掌握正整数幂的运算性质，会用它们进行计算.
2.了解整式的乘法法则（其中的多项式相乘仅指一次式相乘），会进行简单的整式的乘法运算.
3.会推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算.
4.通过从幂运算到多项式的乘法，再到乘法公式的教学，初步理解“特殊→一般→特殊”的认识过程.
5.探索并了解单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并能进行简单的除法运算.
6.会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）.
★情感与态度目标:
学生从已有知识出发,通过适当的探究、合作讨论、实践活动,获得一些直接的经验并体会数学的实用价值.
四、教学重点难点
★重点:运算法则及公式的发生过程及运用.
★难点:
1.幂的运算性质的正确使用.
2.整式混合运算的运算顺序.
3.乘法公式的正确使用.
4.整式乘法与因式分解的区分.
五、教学策略
本章的内容不难理解，但容易混淆的问题很多，过于集中，学生在解题时容易顾此失彼。
为了提高解题的准确率，针对上述难点，设计了如下例题，可供习题课或复习课选用。
★针对幂的运算法则的错误使用
例1 判断并改正
（1）a2+a2＝2a4(2) a3·a2＝a5
(3) a·a2＝a2(4) (a2)3=a5
(5) a 3÷a=a 3 (6) (a 2b)3=a 6b 3
例2幂的运算法则的逆用
（1）已知10a =5, 10b =6, 则 102a+b =_______ 10a-2b =_______。
(2) 82003×(-0.125)2002=_________
(3)(a-2)2+(2b+1)2=0,则a 2001·b 2001=_________.
（4）用“>”号，把355、444、533连结起来_______
★针对符号的错误处理
例3判断下列等式是否成立：
①(-x)2＝-x 2，
②(-x 3)＝-(-x)3，
③(x-y)2＝(y-x)2，
④(x-y)3＝(y-x)3，
⑤x-a-b ＝x-(a+b)，
⑥x+a-b ＝x-(b-a).
例4 计算（1）()()43
52a a -⋅- （2）3222323()2()()x x y x y xy ⎡⎤-⋅-⎣⎦
（3）1－2（x －y ）2。