9.7利用相似三角形测高

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利用相似三角形测高

九年级数学导学案年级九班级学科数学课题利用相似三角形测高第课时总课时编制人审核人课型新授课使用者教学内容学习目标1．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量的物体的高度(如测量旗杆高度问题)等的一些实际问题．2．能综合应用三角形相似的判定条件和性质解决问题，加深对相似三角形的理解和认识．3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．学习过程一.复习回顾：二.新课学习：请先阅读课本P103页至P104页中的探究内容，然后解决下列问题。

理解掌握利用相似三角形测高的三种方法。

图1 图2 图31、从图1中可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形,即∽。

需测量的数据是。

2、如图2，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G,交标杆EF于H,于是得∽。

需测量的数据是。

3、如图3，这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，于是得相似三角形或。

需测量的数据是。

三.尝试应用：请仿照课本中的方法1、方法2、方法3解答下列问题。

小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB(注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角)。

四.自主总结：测量旗杆高度的常见方法有：(1)利用“同一时刻的物高与影长成比例”构造相似三角形；(2)利用“视线、标杆和物高”构造相似三角形；(3)利用“平面镜中入射角与反射角相等”构造相似三角形．五.达标测试一、选择题1．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离EC=8.7米，窗口高AB=1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（）A．4米B．3.8米C．3.6米D．3.4米2．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（） A． 4.8米 B. 6.4米C. 9.6米D. 10米.3．如图是小明测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，然后，后退至点B，从点A经平面镜刚好看到古城墙CD的顶端C处，已知AB ⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．18米D．24米教后反思。

利用相似三角形测高

9.7 利用相似三角形测高●教学目标（一）知识与能力1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.2.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.（二）过程与方法1.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法.2.提高综合运用知识的能力.（三）情感态度与价值观在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.●教学重点1.测量高度的数学依据.2.有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.●教学难点1.方法2中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.2.方法3中镜子的适当调节.●教学方法1.分组活动.2.交流研讨作报告.●工具准备小镜子、标杆、皮尺等测量工具●教具准备投影片一:（记作§2.7 A）投影片二:（记作§2.7 B）投影片三:（记作§2.7 C）投影片四:调查数据表.（记作§2.7 D）●教学过程（一）创设问题情境，引出课题今天我们要做一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度.请同学们回忆判定两三角形相似的有关条件.（对应角相等,两三角形相似;对应边成比例,两三角形相似;有两组对应边成比例且其夹角相等,两三角形相似.）（二）新课讲解首先我们应该清楚测量原理.请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理.甲组:利用阳光下的影子.（出示投影片§2.7 A）图4－34从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图4－34）,即△EAD ∽△ABC ，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据BCAD AB EA =可得BC =EA AD BA ⋅，代入测量数据即可求出旗杆BC 的高度.乙组:利用标杆.（出示投影片§2.7 B ）图4－35如图4－35，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD 与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D 作旗杆BC 的垂线交旗杆BC 于G ,交标杆EF 于H ,于是得△DHF ∽△DGC .因为可以量得AE 、AB ,观测者身高AD 、标杆长EF ,且DH =AE DG =AB由DGDH GC FH =得GC =DH DG FH ⋅ ∴旗杆高度BC =GC +GB =GC +AD .一题多解：过D 、F 分别作EF 、BC 的垂线交EF 于H ，交BC 于M ，因标杆与旗杆平行，容易证明△DHF ∽△FMC∴由DHM FH MC = 可求得MC 的长.于是旗杆的长BC =MC +MB =MC +EF .图4－36［丙组］利用镜子的反射.（出示投影片§2.7 C ）这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C ′，∵△EAD ∽△EBC ′且△EBC ′≌△EBC ∴△EAD ∽△EBC ,测出AE 、EB与观测者身高AD ，根据BCAD EB AE =，可求得BC =AE AD EB ⋅. 教师布置小组分工：同学们清楚原理后，请按我们事先分好的小组进行活动，要求每小组中有观测员，测量员，记录员，运算员，复查员.活动内容是：测量我校操场上地旗杆高度.（同学们紧张有序的进行测量）展示统计结果并讨论下列问题：1.你还有哪些测量旗杆高度的方法？2.今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点？通过下表对照说明测量数据的误差情况，以及测量方法的优劣性.（出示投影片§2.7 D ）对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论.1.测量中允许有正常的误差.我校旗杆高度为20 m ，同学们本次测量获得成功.2.方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确.3.大家一致认为方法一简单易行，是个好办法.4.方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力.（三）.课堂练习1.高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长6 m ，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m ，求该建筑物的高度.图4－37分析：画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB ''=CB BC '' 于是得，BC =6424⨯=''''⋅B A C B AB =16 （m ）. 即该建筑物的高度是16 m.2. 如图，在距离AB 18米的地面上平放着一面镜子E ,人退后到距镜子2.1米的D 处，在镜子里恰看见树顶.若人眼距地面1.4米，求树高.（四）课时小结• 本节课你有哪些收获(知识方面和操作方面)？• 在运用科学知识进行实践过程中,你具有了哪些能力?你是否想到最优的方法？ • 把自己在与同伴合作交流中, 最满意的表现说给大家听听.• 你的同伴中你认为最值得你学习的是哪几个人？（五）课后作业1.习题9.10 2，3，4题2.以组为单位完成一份实践报告.（六）活动与探究雨后初晴，同学们在操场上玩耍，可看到积水中的影子，你能否利用积水测量旗杆的高度？其中原理是什么？D BACE（借鉴课本中测量旗杆的高度的方法2）.●板书设计。

9年级数学北师大版上册教案第4章《利用相似三角形测高》

提炼
课本第1、2、4题点和缺点，寻求最优化意识．
六、教学板书
6.利用相似三角形测高
1．利用阳光下的影子来测量旗杆的高度
∵太阳的光线是平行的， ∴AE ∥CB ，∴∠AEB ＝∠CBD ， ∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE ＝∠CDB ，∴△ABE ∽△CBD
∴BD
BE CD AB =
即CD=BE BD AB ⋅
2．利用标杆测量旗杆的高度如图，过点A 作AN ⊥DC 于N ，交EF 于M ．
∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝90°
∴人、标杆和旗杆是互相平行的． ∵EF ∥CN ，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠3，△
AME ∽△ANC ，∴
CN
EM
AN AM =
∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出，
∴能求出CN ，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四边形ABND 为矩形．
∴DN ＝AB ，∴能求出旗杆CD 的长度．
3．利用镜子的反射（点拨：入射角＝反射角）
∵入射角＝反射角 ∴∠AEB ＝∠CED ∵人、旗杆都垂直于地面
∴∠B ＝∠D ＝90°∴
DE
BE
CD AB = 因此，测量出人与镜子的距离BE ，旗杆与
镜子的距离DE ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度．。

9.7利用相似三角形测高

想一想课题：同学们,怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆(或路灯,或树,或烟囱) 的高度 ? 活动方式：全班同学分成六人小组,选出组长, 分头进行户外实际测量,被测物不一定是旗杆.如楼房,树,电线杆等. 先集中讨论方案,再分散实际操作, 最后集中总结交流.

方法1:利用阳光下的影子
9.7利用相似三角形测高
学习方法报数学周刊
教学设计

☞
知识与技能：掌握和综合运用三角形相似的判定条件和性质. 过程与方法：通过测量旗杆的高度,运用所学知识解决问题. 情感态度与价值观：通过问题情境的设置,培养积极的进取精神,增强数学学习的自信心.实现生生之间的交流合作,体现数学知识解决实际问题的价值.
独立作业
教材习题
单位作案，该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程.请你
为警方设计一个方案，估计该盗
窃犯的大致身高.
小结

拓展

本节课你有哪些收获(知识方面和操作方面)？在运用科学知识进行实践过程中 , 你具有了哪些能力?你是否想到最优的方法？把自己在与同伴合作交流中, 最满意的表现说给大家听听. 你的同伴中你认为最值得你学习的是哪几个人？
D E
B
聪明才智

如图,A、B两点分别位于一个池塘的两端,小芳想用绳子测量A、B两点之间的距离,但绳子的长度不够,一位同学帮她想了一个主意, 先在地上取一个可以直接到达A、B点的点C, 找到AC、BC的中点D、E,并且DE的长为5m, 则A、B两点的距离是多少？ B E C
D
A
编外侦探
一盗窃犯于夜深人静之时潜入某
D
A
B C E

利用相似三角形测高

利用三角形相似测高的模型：
当堂练习
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得
教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高
度应为
( A)
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 (A)
在同一时刻下地面上的影长即
可，则下面能用来求AB长的等
式是
(C)
A．AB EF DE BC
C．AB BC DE EF
B．AB DE EF BC
D．AB AC DE DF
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是___8___米．
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK. ∴ EH AH ， EK CK
即 EH 8 1.6 6.4 . EH 5 12 1.6 10.4
解得 EH=8. 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
A
E
C B
FD G
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则 DE EF . DC CA
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，

利用相似三角形测高教案(完美版)

（一）教学知识点1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.2.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.（二）能力训练要求1.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法.2.提高综合运用知识的能力.（三）情感与价值观要求在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.●教学重点1.测量旗杆高度的数学依据.2.有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.●教学难点1.方法2中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.2.方法3中镜子的适当调节.●教学方法1.分组活动.2.交流研讨作报告.●工具准备小镜子、标杆、皮尺等测量工具各3套.●教具准备投影片一:（记作§4.6 A）投影片二:（记作§4.6 B）投影片三:（记作§4.6 C）投影片四:调查数据表.（记作§4.6 D）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引出课题［师］今天我们要做一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度.请同学们回忆判定两三角形相似的有关条件.［生］两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相地提升自我说明三种测量方法的数学原理.甲组:利用阳光下的影子.（出示投影片§4.6 A ）图①从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图①）,即△EAD ∽△ABC ，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据BC AD AB EA =可得BC=EA AD BA ⋅，代入测量数据即可求出旗杆BC 的高度.［师］有理有据.你们讨论得很成功.请乙组出代表说明方法2.乙组:利用标杆.（出示投影片§4.6 B)图②如图②，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD 与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D 作旗杆BC 的垂线交旗杆BC 于G,交标杆EF 于H,于是得△DHF ∽△DGC.因为可以量得AE 、AB,观测者身高AD 、标杆长EF,且DH=AE ， DG=AB由DG DH GC FH =得GC=DH DG FH ⋅.网友可以在线阅读和下载这些文档：麦群超△DHF ∽△FMC∴由DH M FH MC = 可求得MC 的长.于是旗杆的长BC=MC+MB=MC+EF.乙组代表：如果这样的话，我认为测量观测者的脚到标杆底部距离与标杆底部到旗杆底部距离适合同学A 的做法.这样可以减少运算量.［师］你想得很周到，大家有如此出色的表现，老师感到骄傲，请丙组同学出代表讲解.图③［丙组］利用镜子的反射.（出示投影片§4.6 C ）这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C ′，∵△EAD ∽△EBC ′且△EBC ′≌△EBC ∴△EAD ∽△EBC,测出AE 、EB 与观测者身高AD ，根据BC AD EB AE =，可求得BC=AE AD EB ⋅. ［师］同学们清楚原理后，请按我们事先分好的三大组进行活动，为节省时间，每组分出三个小组分别实施三种方法，要求每小组中有观测员，测量员，记录员，运算员，复查员.活动内容是：测量我校操场上的旗杆高度.［同学们紧张有序的进行测量］［师］通过大家的精诚合作与共同努力，现在各组都得到了要求数据和最后结果，请各组出示结果，并讨论下列问题：对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论. 1.测量中允许有正常的误差.我校旗杆高度为20 m ，同学们本次测量获得成功.2.方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确.3.大家一致认为方法一简单易行，是个好办法.4.方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力.5.同学们提出“通过测量角度能否求得旗杆的高度呢”.有大胆的设想，老师很佩服，在大家学习了三角函数后相信会有更多的测量方法呢.Ⅲ.课堂练习高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长6 m ，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m ，求该建筑物的高度.图4－37 分析：画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB ''=C B BC'' 于是得，BC=6424⨯=''''⋅B A C B AB =16 （m ）. 即该建筑物的高度是16 m.Ⅴ.课后作业习题4.101.该建筑物的高度是16 m.2.小树高4 m.3.参考方案：选取罪犯直立时的影像并量取长度，再选当时室内一参照物并量取参照物实际高度和它影像的高度，由罪犯实际身高∶罪犯影像长=参照物实际高度∶参照物影像高度.可得罪犯实际身高.Ⅵ.活动与探究雨后初晴，同学们在操场上玩耍，可看到积水中的影子，你能否利用积水测量旗杆的高度？其中原理是什么？（借鉴课本中测量旗杆的高度的方法2）.●板书设计§4.6 利用相似三角形测高一、测量原理：相似三角形对应边成比例.二、三种测量方法的优缺点三、课堂练习（学生画示意图）四、小结。

利用相似三角形测高(知识讲解)数学上册基础知识讲与练(北师大版)

专题4.22 利用相似三角形测高（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握用不同方法构造相似三角形测高的原理2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，掌握把实际问题抽象为数学问题方法.【要点梳理】测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.特别说明：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.特别说明：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、利用相似三角形测高1．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图1）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图2）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？【答案】跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【分析】过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，直接利用相似三角形的判定与性质分别得出OH AO BN AB=，OH BO AM AB =，即可得出答案．解：如图所示：过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，可得HO ∥BN ，则△AOH ∽△ABN ，故OH AO BN AB=， ∵AB 长为3米，BN 长为1.5米， ∴1.53OH AO =， ∴2OH OA =同理可得：△BOH ∽△BAM ，则OH BO AM AB=， ∵AB 长为3米，AM 长为1米， ∴313OH AO -=，即3213OH OH -= ∴OH ＝0.6，答：跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式，建立方程是解题关键．【变式1】李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C 点（如图所示），人在F 点正好在镜中看到树尖A ；第二次他把镜子放在C '处，人在F '处正好看到树尖A ．已知李师傅眼睛距地面的高度为1.7m ，量得CC '为12m ，CF 为1.8m ，C F ''为3.84m ，求树高．【答案】这棵古树的高为10m【分析】根据反射定律可以推出∠ACB ＝∠ECF ，∠AC′B ＝∠E′C′F′，所以可得∠BAC∠∠FEC 、∠AC′B∠∠E′C′F′，再根据相似三角形的性质解答．解：根据反射定律可以推出∠ACB ＝∠ECF ，∠AC′B ＝∠E′C′F′，∠∠BAC∠∠FEC 、∠AC′B∠∠E′C′F′，设AB ＝x ，BC ＝y ∠ 1.7 1.8=1.7 3.8412x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩解得1018017x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． ∠这棵古树的高为10m ．【点拨】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．【变式2】如图，小明同学为了测量路灯OP 的高度，先将长2m 的竹竿竖直立在水平地面上的B 处，测得竹竿的影长3m BE =，然后将竹竿向远离路灯的方向移动5m 到D 处，即5m BD =，测得竹竿的影长5m DF =（AB 、CD 为竹竿）．求路灯OP 的高度．【答案】路灯OP 的高度为7m【分析】先根据AB ∠OF ，CD ∠OP 可知△EAB ∠∠EPO ，同理可得△FCD ∠∠FPO ，再由相似三角形的对应边成比例即可得出OP 的值．解：由已知得，2AB CD ==m ，3BE =m ，5BD =m ，5DF =m ，90POE ABE CDF ∠=∠=∠=︒，AEB PEO ∠=∠，CFD PFO ∠=∠，∠在EAB ∆和EPO ∆中，AEB PEO ABE POE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∠EAB ∆∠EPO ∆ ∠AB OP BE OE =，即233OP OB =+， ∠263OB OP +=，在FCD ∆和FPO ∆中CFD PFO CDF POF∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∠FCD ∆∠FPO ∆， ∠CD OP DF OF =，即2510OP OB =+， ∠2205OB OP +=，∠263OB OP +=，2205OB OP +=，∠7.5OB =，7OP =，即路灯OP 的高度为7m ．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．【变式3】在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB =2米，它的影子BC =1.6米，木杆PQ 的影子有一部分落在墙上，PM =1.2米，MN =0.8米，求木杆PQ 的长度．【答案】2.3米【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长，再根据此影长列出比例式即可解：如图，过点N 作ND ∠PQ 于D ，则DN =PM ，∠∠ABC ∠∠QDN ，AB QD BC DN∴=． ∠AB =2米，BC =1.6米，PM =1.2米，NM =0.8米， 2 1.21.6AB DN QD BC ⨯===1.5（米）， ∠PQ =QD +DP =QD +NM =1.5+0.8=2.3（米）．答：木杆PQ 的长度为2.3米．【点拨】此题考查相似三角形的应用和平行投影，解题关键在于掌握相似三角形的性质.【变式4】某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB ）的高度为4.8米，右侧路灯（CD ）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD ）为12米，已知小明的身高（EF ）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．(1)若小明站在人行横道的中央（点F 是BD 的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP ＝米，FQ ＝米；(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP ＝FQ ），请问时小明站在什么位置，为什么？【答案】(1)3，2(2)离B 地24m 5（或离D 地36m 5），理由见分析【分析】（1）通过证明CDQ EFQ ，ABP EFP ，再根据相似三角形的性质进行求解即可；（2）由（1）得，EF QF CD QD =，EF PF AB BP=，设FP FQ x ==，可求出512BD x ==，求出x 的值，即可求解． (1)解：由题意得，,CDQ EFQ CQD EQF ∠=∠∠=∠，CDQ EFQ ∴，EF QF CD QD∴=， 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，点F 是BD 的中点，6BF DF ∴==，1.66.46QF QF∴=+，解得2QF =；,ABP EFP APB EPF ∠=∠∠=∠，ABPEFP ∴， EF PF AB BP∴= 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，点F 是BD 的中点，6BF ∴=，1.64.86PF PF∴=+，解得3PF =；故答案为：3；2；(2)小明站在离B 点245米处的位置，理由如下：由（1）得，EF QF CD QD =，EF PF AB BP=， 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，设FP FQ x ==，1.6 1.6,6.4 4.8x x QD BP∴==， 4,3QD x BP x ∴==，,2BQ x DP x ∴==，512BD x ∴==，解得125x =， 2425BF x ∴==，所以，小明站在离B点245米处的位置．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．类型二、利用相似三角形测距离2．综合与实践某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平面上，放置一个平面镜E．来测量学校旗杆的高度，当镜子中心与旗杆的距离20EB=米，镜子中心与测量者的距离2ED=米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆的顶端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，求学校旗杆的高度是多少米．任务一：在计算过程中C，D之间的距离应该是米．任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度．任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用测量者在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，请你再备用图中画出该方案的示意图，并说明必要的已知条件．【答案】任务一：1.5；任务二：学校旗杆的高度是15米；任务三：如图见分析，点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB即可求得旗杆AB的高度【分析】（1）C，D之间的距离应是测量者的眼睛距离地面的距离，即可作答；（2）因为入射光线和反射光线与镜面夹角相等，所以△CDE∠∠ABE，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可；（3）点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB，即可求得旗杆AB的高度．解：任务一：C，D之间的距离应是测量者的眼睛距离地面的距离，即为1.5米，故答案为：1.5；任务二：由已知，∠DEC=∠BEA，∠CDE=∠ABE=90°，∴△CDE∠∠ABE，CD DEAB BE∴=，1.5220AB∴=，∴AB=15，所以，学校旗杆的高度是15米；任务三：如图所示，点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB，即可求得旗杆AB的高度．【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．【变式1】为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：∠镜子；∠皮尺；∠长为2m的标杆；∠高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是___；（用工具序号填写）(2)在下图中画出你的测量方案示意图；(3)你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α，β等字母表示测得的数据；(4)写出求树高的算式：AB＝___m．（用a，b，c，α，β等字母表示）【答案】(1)∠∠(2)见分析(3)EA（镜子离树的距离）＝am，EC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm(4)ac b【分析】此题要求学生根据题意，自己设计方案，答案不唯一；可借助相似三角形的对应边成比例的性质进行设计测量方法，先测得CE，EA与CD的大小，根据相似三角形的性质；可得：CE DCEA AB=；即AB=acb．(1)解：∠∠；(2)解：测量方案示意图；(3)解：EA（镜子离树的距离）＝amEC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm；(4)解：根据相似三角形的性质；可得：CE DC EA AB=；即AB=acb．【点拨】本题考查相似三角形的应用，构造相似三角形，借助相似三角形的性质解决问题．【变式2】枣庄某学校九年级一班进行课外实践活动，王嘉同学想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，王嘉边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得王嘉落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知王嘉的身高EF是1.7m，请你帮王嘉求出楼高AB．【答案】26.2米【分析】过点D作DN∠AB，垂足为N．交EF于M点，由四边形CDME、ACDN是矩形，得AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），得MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），依题意知，EF∠AB，则△DFM∠∠DBN，DM MFDN BN=解得BN＝25（m），即可AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．解：过点D作DN∠AB，垂足为N．交EF于M点，∠四边形CDME、ACDN是矩形，∠AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），∠MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），∠依题意知，EF∠AB，∠∠DFM∠∠DBN，∠DM MF DN BN=，即：0.60.5 30BN=，∠BN＝25（m），∠AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．答：楼高为26.2m．【点拨】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．【变式3】在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的两名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作；小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．(1)在横线上直接填写甲树的高度为_____________米；(2)画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．【答案】(1) 5.1 (2) 4.2米【分析】（1）根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用比例式直接得出树高；（2）根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度，即可求出答案．(1)解：根据题意得：10.8 4.08=x 解得： 5.1x =（米），故答案为：5.1．(2)解：假设AB 是乙树，∠ 2.4BC =（米） 1.2CD =（米） ∠10.8=CD CE ， ∠1.210.8=CE ， ∠0.96CE =（米）， ∠10.8 2.40.96=+AB ， ∠ 4.2AB =（米），答：乙树的高度为4.2米．【点拨】本题主要考查了相似三角形的应用，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙时求出影长是解决问题的关键．。

《利用相似三角形测高》说课稿-九年级上册数学北师大版

《利用相似三角形测高》教学设计说课稿各位各位领导、评委老师：大家好！我说课的内容是义务教育教科书北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》中第六节教学内容《利用相似三角形测高》。

本节课利用相似三角形测高，将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化成数学问题，借助学生已有的相似三角形的知识，探究并归纳不同的解决问题的方案加以解决。

本教学设计以新课程理念为指导，以素质教育为目标，发展学生分析讨论、合作探究、实践操作能力为手段，通过应用相似三角形的性质和判别条件，归纳利用相似三角形测高的一般方法。

为提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力奠定基础，以便有效的积累数学活动经验，应用数学知识为现实生活服务。

教学《利用相似三角形测高》一课，是对学生知识技能和活动经验进行充分了解、分析的前提下进行设计的。

在知识技能基础方面，学生通过对相似三角形的判定和性质的学习，学生已经初步理解了相似三角形的特征，掌握了两个三角形相似的条件，具备了利用三角形相似来解决现实问题的基础知识。

但是，学生综合运用相似三角形知识解决问题不一定熟练，将实际问题抽象为数学问题的能力也比较差，因此要在本节课进行有意识的培养。

在活动经验基础方面，学生平时学习过程中经历过一些测量活动，解决过一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验，已经养成了分组活动、小组合作、全班交流研讨的习惯，具有了一定的合作学习的经验以及合作与交流的能力。

生活中的一些不同情境的实际问题常常可以归纳为同一数学模型，本节利用相似三角形测高就是相似三角形数学模型，由题意所画出的图形和解题思路都是相似的，只要掌握了基本图形和解法，就会融会贯通，将问题迎刃而解。

本节课的教学内容有着较强的实践性与探究性，同时渗透数学建模思想，从而提高学生认知能力和解决实际问题的能力，增强数学应用意识。

为此我确定了以下教学目标：1）知识与技能：使学生进一步熟悉三角形相似的判定条件和性质，掌握测量的原理和方法，会实地测量并计算一些物体的高度或长度，积累数学活动经验，运用数学知识解决实际一些问题。

《利用相似三角形测高》教学案例

《利用相似三角形测高》教学案例《《利用相似三角形测高》教学案例》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！以数学实践操作课为契机寻求学科融合之路——对《利用相似三角形测高》教学案例的分析与反思案例呈现(一)学习目标1、知识技能目标会正确使用皮尺等工具准确测量需要的长度或高度等;(物理知识技能)会构建合适的相似三角形的模型;(数学建模能力)通过测量，综合运用相似三角形的定义、性质和判定定理等知识解决问题，加深对相似三角形相关知识的理解和认识.(推理论证与计算技能)2、过程与方法目标(1)经历利用阳光下的影子、标杆和镜子的反射等物理知识测量松树高度的过程;(2)经历将实际情境抽象成数学问题的过程，尤其是将实物转化成合适的几何模型并运用数学知识求解的过程;(3)掌握运用相似三角形有关知识计算实际物体高度的方法.3、情感态度价值观(1)在分组合作活动及全班交流的过程中，进一步积累数学活动经验，增强数学学习的自信心;(2)体会数学知识的实用性，进一步感受学习数学的必要性;(3)在活动过程中体会动手实践的重要性，同时锻炼策划能力、表达能力、与人合作能力;(4)通过整个解决问题的过程，体会“数理不分家”的道理.(二)活动过程环节一、汇报预习心得问：通过课前预习，大家能不能解释一下每一种测量方式中出现的三角形为什么相似?(学生以小组方式汇报展示预习成果)(方法1：利用阳光下的影子)解释要点：太阳光线是平行的;旗杆和人垂直于地面;实施注意事项：实验者直立于旗杆影子的顶端处;测量要尽可能精确;情境图与对应几何模型如下图：理论解释：∵太阳的光线是平行的，∴AE∥CB，∴∠AEB=∠CBD，∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE=∠CDB，∴△ABE∽△CBD∴即CD=因此，只要准确测量出人的影长BE，旗杆的影长BD和人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了.(方法2：利用标杆)解释要点：人、标杆和旗杆垂直于地面;构造相似三角形实施注意事项：标杆在人与旗杆之间，三者共面且均与地面垂直;旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上;需测量人眼到地面的距离;测量要尽可能准确.情境图与对应几何模型：理论解释：∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴∠ABF=∠EFD=∠CDH=90°∴人、标杆和旗杆是互相平行的.∵EF∥CN，∴∠1=∠2，∵∠3=∠3，△AME∽△ANC，∴∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM都已测量出，∴能求出CN，∵∠ABF=∠CDF=∠AND=90°，∴四边形ABND为矩形.∴DN=AB，∴能求出旗杆CD的长度.(方法3：利用镜子的反射)解释要点：光线的反射角等于入射角;实施注意事项：人、镜子和旗杆在同一直线;观察者能够通过镜子看到旗杆项端;如果镜子较大，那么镜子上的标记不可少.情境图与对应几何模型：理论解释：∵入射角=反射角∴∠AEB=∠CED∵人、旗杆都垂直于地面∴∠B=∠D=90°∴因此，测量出人与镜子的距离BE、旗杆与镜子的距离DE、人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度。

鲁教版八年级数学下册9.7《利用相似三角形测高》优秀教学案例

（五）作业小结
在课堂的最后，我会布置一个相关的作业，让学生巩固和加深对相似三角形测高的理解和应用。我会要求学生在作业中运用相似三角形的性质，解决一个实际问题，并写下自己的解题过程和思考。通过作业小结，学生能够进一步巩固和应用所学的知识，提高解决问题的能力。
五、案例亮点
1.实际问题导入：通过户外活动中测量高度的实际问题导入新课，激发了学生的兴趣和思考，使学生能够更好地理解和应用相似三角形的性质。
此外，我还会组织学生进行小组讨论和合作，让他们通过互相交流和合作，共同解决问题，提高他们的团队协作能力和解决问题的能力。
（二）过程与方法
在本节课中，学生需要通过观察、分析、推理和实践等方法，来探索和理解相似三角形的性质，并运用相似三角形来解决实际问题。
为了达到这个目标，我会采用问题驱动的教学方法，通过提出实际问题和设置障碍，引导学生积极思考和探索。我会鼓励学生提出自己的观点和想法，并通过逻辑推理和数学证明来验证自己的结论。
反思与评价是学生学习过程中重要的一环。在教学过程中，我会引导学生进行自我反思和评价，让他们认识到自己的优点和不足，并激励他们不断改进。例如，我会问学生：“你在解决问题过程中遇到了哪些困难？”“你是如何克服这些困难的？”等问题。同时，我还会给予学生积极的评价和鼓励，让他们感受到自己的进步和成就。通过反思与评价，学生能够培养自己的自我监控和自我调整能力，提高自己的学习效果。
2.问题导向：提出一系列具有挑战性和引导性的问题，引导学生主动思考和探索相似三角形的性质，培养了学生的思考能力和解决问题的能力。
3.小组合作：组织学生进行小组讨论和合作，让他们共同解决问题，培养了学生的团队合作能力和交流沟通能力。
4.反思与评价：引导学生进行自我反思和评价，让他们认识到自己的优点和不足，并激励他们不断改进，培养了学生的自我监控和自我调整能力。

鲁教版八年级数学下册：9.7利用相似三角形测高优秀教学案例

5.情感态度与价值观的培养：教师在教学过程中注重激发学生的学习兴趣，培养学生积极的学习态度和良好的学习习惯。通过解决实际问题，让学生感受到数学的重要性，提高他们运用数学解决实际问题的能力。同时，教师还注重培养学生的情感态度与价值观，让他们在数学学习中不断成长。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，共同探讨测量问题的解决方法。
2.鼓励学生相互交流、分享自己的思路，培养学生的合作精神。
3.引导学生运用相似三角形的性质，共同建立数学模型，解决问题。
4.小组合作中，教师巡回指导，针对不同小组的特点给予个性化的指导。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结自己在解决问题中的优点和不足。
鲁教版八年级数学下册：9.7利用相似三角形测高优秀教学案例
一、案例背景
在鲁教版八年级数学下册的9.7节“利用相似三角形测高”中，我们探讨了如何运用相似三角形的性质来解决实际测量问题。本节课的主要内容是基于相似三角形的对应边成比例，引导学生将实际问题转化为数学问题，通过计算求解。
在这一背景下，我设计了一节实践性强的教学案例。首先，我引导学生回顾已学过的相似三角形知识，为新课的学习做好铺垫。接着，我提出了一个问题：如何测量学校旗杆的高度？学生们通过小组讨论，提出了多种解决方案。然后，我引导学生利用相似三角形的特点，选取合适的参照物，建立数学模型，计算旗杆的高度。在解决问题的过程中，学生们不仅巩固了相似三角形的知识，还学会了将实际问题转化为数学问题，提高了解决问题的能力。
4.培养学生珍惜时间、团队合作、相互尊重和理解的品质，提高学生的人文素养。
在教学过程中，我注重关注每一个学生的学习情况，充分调动学生的积极性，让每个学生都能在课堂上得到锻炼和提升。同时，我注重因材施教，针对不同学生的特点和需求，给予个性化的指导，使他们在数学学习中找到适合自己的方法。通过本节课的学习，让学生在掌握知识与技能的同时，培养过程与方法，提升情感态度与价值观，为他们的全面发展奠定基础。

利用相似三角形测高

如果两个三角形有一组等角和一组等边，则它们必定相似。
02 测高原理及步骤
利用相似三角形测高原理
相似三角形性质
当两个三角形对应角相等时，这两个三角形相似。相似三角形的对应边成比例。
测高原理
通过构造一个与待测高度相关的相似三角形，利用已知距离和角度信息，可以推算出待测高度。
实际操作步骤
1. 选择合适的观测点
可以计算出建筑物的高度。
确定建筑物位置
在建筑设计中，可以利用相似三角形原理，通过已知的两个点和角度，确定建筑物的准确位置。
评估建筑物稳定性
相似三角形可以用于分析建筑物的倾斜度和稳定性，通过比较建筑物不同部位的高度差和水平距离，可以判断建筑物是否存在倾
斜或变形等问题。
航海领域应用
01
测定海上目标距离
多源数据融合提高测量精度
利用多传感器融合技术，结合相似三角形测高算法，可以从多个角度获取测量数据，进一步提高测量精度和稳定性。
拓展至三维空间测量
目前相似三角形测高主要应用于二维空间的测量，未来可以将其拓展至三维空间，实现更复杂场景下的高度测量。
对个人能力提升意义
提高了分析问题和解决问题的能力
THANKS
感谢观看
注意事项
01
确保测量工具的精度和稳定性，以减小误差。
02
在进行测量前，对测量工具进行校准和检查。
03
选择合适的天气和时间进行测量，避免大气折射等因素对测量结果的影响。
04
在计算过程中，注意单位统一和数值准确性。
03 实际应用举例
建筑行业应用
测量建筑物高度
利用相似三角形的性质，通过测量建筑物底部到顶部的距离和建筑物与观测点之间的水平距离，

利用相似三角形测高

乐山大佛
世界上最高的树 —— 红杉
怎样测量这些非常高大物体的高度？
世界上最高的楼 ——台北101大楼
相似三角形的判定方法
1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.三边成比例的两个三角形相似。 3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相
似。 4.两角分别相等的两个三角形相似。
给你一条2米高的木杆,一把皮尺. 你能利用所学知识来测出塔高吗?
2米木杆皮尺
借太阳的光辉助我们解题,你想到了吗?
D B
┐
┐
A
C
E
利用相似测量物体的高度
例如图，木杆EF长2米，它的影长FD为3米，测得OA为201米，求金字塔的高度BO.
B
O 201m
E 2m
3m D A(F)
解：太阳光是平行线，因此∠BAO= ∠EDF
物1高：物2高 = 影1长：影2长
解相似三角形实际问题的一般步骤：
（1）审题。（2）构建图形。（3）利用相似解决问题。
大家学会了吗？
再见
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为 “世界古代七大奇观之一”。塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约２３０多米。据考证，为建成大金字塔，共动用了１０万人花了２０年时间.原高１４６．５９米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀.所以高度有所降低。
埃及著名的考古专家穆罕穆德决定重新测量胡夫金字塔的高度.在一个烈日高照的上午.他和儿子小穆罕穆德来到了金字塔脚下,他想考一考年仅14岁的小穆罕穆德.
相似三角形的性质
1.对应边的比相等，对应角相等； 2.相似三角形的周长比等于相似比； 3.相似三角形的面积比等于相似比的平方； 4.相似三角形的对应边上的高、中线、角

图形的相似利用相似三角形测高ppt

测量建筑物高度
在地理测量中利用相似三角形测高的应用场景
在桥梁建设中，可以利用相似三角形测高法来测量桥墩的高度，以确保桥梁的垂直度和稳定性。
桥梁建设
在工程测量中利用相似三角形测高的应用场景
在水利工程中，可以利用相似三角形测高法来测量水坝的高度，以确保水坝的合适高度和蓄水量。
水利工程
在航空航天领域，可以利用相似三角形测高法来测量飞机或者火箭的高度，以确保其能够安全地起飞和着陆。
精度较高
利用相似三角形测高只需要在地面或较低处设置测量仪器，操作相对简便。
操作简便
利用相似三角形测高的优点
受地形限制
如果目标物体位于山谷、高层建筑或其他复杂地形中，从地面或较低处测量可能无法直接观测到目标物体，受地形限制较大。
误差积累
在处理较长的距离时，由于仪器和人为误差，可能会导致误差的积累，影响测量精度。
xx年xx月xx日
图形的相似利用相似三角形测高
目录
contents
图形相似的基本概念利用相似三角形测高的原理利用相似三角形测高的实践方法利用相似三角形测高的优缺点利用相似三角形测高的应用场景
图形相似的基本概念
01
图形相似是指两个或多个图形在形状和大小上存在一种对应关系。
在这种关系下，每个图形的角都与另一个图形中的对应角相等，同时每条边的长度都与另一个图形中的对应边成相同的比例。
图形相似的应用
光学仪器调整
在制作和使用光学仪器时，如望远镜和显微镜等，需要调整物体的位置以获得清晰的图像，这可以通过相似三角形的方法来实现。
建筑设计
建筑师可以利用相似三角形的方法来确定建筑物的比例和尺寸，以确保建筑物的外观和结构符合要求。
利用相似三角形测高的原理

图形的相似利用相似三角形测高ppt

相似三角形的判定方法
如果一个三角形的三个角和三条边与另一个三角形的三个角和三条边分别相等，那么这两个三角形相似。
利用定义
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形相似。
利用三边对应成比例
如果两个三角形的两边对应成比例且这两条边的夹角相等，那么这两个三角形相似。
利用两边对应成比例且夹角相等
两个三角形的对应边成比例
相似三角形的定义
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等
即如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等。
相似三角形的对应边成比例
即如果两个三角形相似，那么它们的对应边成比例。
相似三角形的面积比等于对应边长比…
即如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于对应边长比的平方。
01
02
03
利用相似三角形测高的优势与局限性
06
操作简便
相似三角形测高只需要知道底边长度和对应边的高，即可通过比例关系计算出目标高度，操作简单直观。
相似三角形测高的优势
适用范围广
相似三角形测高不受地形、天气等因素影响，适用于各种不同场合。
精度较高
由于相似三角形对应边成比例，所以测高的精度较高，相对误差不会随着测量高度的增加而增加。
测量步骤
适用范围
适用于大范围区域的测量，如地形地貌、城市规划等。
定义
遥感测高是指利用遥感影像和图形相似性，通过测量像元之间的距离和对应角度，计算出待测点的高程。
测量步骤
首先将遥感影像上待测点与已知点之间连成三角形，然后使用相似三角形的比例关系计算待测点的高程。
遥感测高法
高空测高
利用无人机或航空摄影技术获取待测点的高空影像，结合图形相似性和三角测量技术，计算出待测点的高程。

9.7利用相似三角形测高

应用：若学生身高是1.6m, B C E F
其影长是2m,旗杆影长5m,求
旗杆高度.
方法2:利用标杆 1.讨论:如何在图中通过添辅助线转化为相似三角形的问题? 2.利用标杆测量旗杆高度，需要测
出哪些数据才能计算出高度？
建立模型
B
因为△ＡＢＣ∽△AＥＦ
E A F ＡＦＥＦ所以ＡＣ＝ＢＣ C
应用：若学生眼睛距地面高度是1.6m,标杆是2m，学生距
标杆1m,标杆底部距旗杆底部是5m,求旗杆高度.
方法3:利用镜子 1.图中的两个三角形是否相似?为什么？ 2.利用镜子反射测量旗杆高度，需要测出哪些数据才能计算出高度？
建立模型
B 因为△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ D 所以ＡＥＤＥ＝ＡＣＢＣ
第九章图形的相似
§7 利用相似三角形测高
情景引入如何利用相似三角形的有关知识测
量旗杆的高度 ?
方法1:利用阳光下的影子 1.图中两个三角形是否相似? 为什么? 2.利用阳光下的影子，测量旗杆高度，需要测出哪些数据才
能计算出高度？
建立模型
D
∵△ABC∽△DEF ∴ 即 A AC＝ BC DF EF 人高＝人影物高物影
答：树高1２m.
2.如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小芳想用绳子测量A,B两点之间的距离,但绳子的长度不够,一位同学帮她想了一个主意,先在地上取一个可以直接到达A,B两点的
点C,找到AC,BC的中点D,E,若DE的长为5m,则A,B两点的距离
是多少？解：由题意知△CDE∽△CAB， ∴ 即 AB 5米
5＝ CD
CA
?
AB
5 ＝1
2
所以AB＝10.
答：Ａ，Ｂ两点间的距离是１０m.