向量
向量的概念及运算
b
)
MD
1 2
(b
a
)
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a ) ( a) a
分配律
可见 1a a
1a a ;
(a b) a b
则有单位向量 ea
“ ” 已知 b＝ a , 则
b＝0 a , b 同向 a , b 反向
a∥b
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD2 MBbM源自MA1 2(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 或 a .
向量的模 : 向量的大小,
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 记作 e 或e . 零向量: 模为 0 的向量,
向量知识
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•向量的相等 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是 相等的, 记为a=b. •向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、 a 、 AB 的模分别记为|a|、 | a | 、 |AB | . •单位向量 模等于1的向量叫做单位向量. •零向量
r = OM = xi + yj + zk . •上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z 之间有一一对应的关系
→
M ↔ r = OM = xi + yj + zk ↔ (x, y, z) .
•有序数x、y、z称为向量r的坐标, 记作r=(x, y, z); •有序数x、y、z也称为点M的坐标, 记为M(x, y, z).
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二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a的终点重合, 则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b. 三角形法则 平行四边形法则
c=a+b
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2.向量与数的乘法 向量a与实数λ的乘积记作λa, 规定λa是一个向量, 它的模 |λa|=|λ||a|, 它的方向当λ>0时与a相同, 当λ<0时与a相反. 当λ=0时, |λa|=0, 即λa为零向量. 当λ=1时, 有1a=a; 当λ=−1时, 有(−1)a =−a.
向量是什么
向量是什么
向量是在空间中运算的一个符号，它表示由大小和方向确定的变量。
这意味着向量是有定
向的，所以它可以描述位置、速度和力大小的方向，因而被广泛用于几何计算和物理运算。
在几何中，向量是有定向的线段，它可以指向任何方向，但是它的长度是固定的。
这对计
算某一点到另一点之间的距离非常有用，因为它表明了路径的方向。
它也可以用来表示向
量角，以帮助确定一个物体到另一个物体之间的方向。
物理上，向量是用来表示大小和方向的力，用于计算运动物体在力学中受到的影响。
位移
向量和加速度向量是最常用的向量，它们可以描述物体的位置和加速度。
动量是一个物体
在某个方向上运动时受到的力，它可以通过质量、速度和方向的向量表示。
向量在很多领域都有广泛的应用，它被广泛用来表示方向、距离和力的方向。
在几何计算
和物理运算中最典型的是三角函数运算，在机器学习和数组计算中以及3D空间中因为向
量的方便描述而被大量使用。
总而言之，向量是非常常见而又重要的基本概念，它可以帮助我们更好地理解空间和物理问题，可以帮助我们解决许多计算问题，而且它的应用还在持续增长。
向量
向 量一、向量的概念1.向量的表示： a 或者 AB 或(,)=a x y2.向量的模：||== a ||||||||||||-≤±≤+ a b a b a b (注意等号成立的条件)3.向量的相等：+=xa yb c (其中,,a b c 是已知向量)可以求两个未知数,x y 的确定值。
类似的知识还有 .4.单位向量：非零 a 的单位向量0||=aa a ，它与 a 方向相同。
5.零向量：大小为0，方向任意的向量。
在判断两个向量的关系时，往往把它单独考虑。
6.向量的平行：方向相同或相反的两个向量。
若非零向量a b ，那么它们所在的直线平行或重合，也叫它们为共线向量。
7.向量的夹角：两个非零向量的夹角范围：[0,]π且必需在二者共始点的前提下度量. 二、向量的运算1.几个重要的结论：①应注意到,,,+-a b a b a b 通常组成的图形是平行四边形，常用于解选择题或填空题；②||||cos ⋅=⋅a b a b θ，据此求两条直线夹角的大小；③两个非零向量1221||0||||||a b a b x y x y a b a b λ⇔=⇔-=⇔⋅=⋅ ；④两个非零向量0⊥⇔⋅=a b a b12120||||⇔+=⇔+=- x x y y a b a b ；⑤,,OA OB OC 的终点共线的充要条件为：存在非零实数x ，使等式(1)=+-OA xOB x OC 成立.例1.非零向量, a b 满足：||||||==+a b a b ，求① a 与 b 的夹角② a 与+ a b 的夹角.例2.O 为凸四边形ABCD 所在平面内任意一点，若+=+OA OC OB OD 恒成立，判断四边形ABCD 的形状.例3.设00,a b 分别为, a b 的单位向量，且 a 和 b 的夹角为60，求向量002=- m a b 与向量0023=-+n a b 的夹角θ.例4.已知 a 与 b 是非零向量，且满足(3)(75),(4)(72)+⊥--⊥-a b a b a b a b ，求 a 与 b 的夹角的大小.例5.在∆ABC 中，记,,===AB c BC a CA b ①若∆ABC 为等边三角形，求⋅+⋅+⋅ a b b c c a 的值；②若3,4,5===AB AC BC ，求⋅+⋅+⋅a b b c c a 的值；③若,==AB c AC b ，=BC a 求⋅+⋅+⋅a b b c c a 的值.例6.已知||10= a ，(3,4)=b ，且⊥ a b ，求 a .例7.已知|||3== a b ， a 和 b 的夹角为45，求使向量+ a b λ与+ a b λ的夹角为锐角时λ的取值范围.例8.O 为∆ABC 所在平面内任意一点，且OP 分别满足下列条件，则P 点一定经过∆ABC的()A 重心()B 外心()C 垂心()D 内心。
向量的性质与运算解析
向量的性质与运算解析向量是数学中的重要概念，具有许多独特的性质与运算。
本文将对向量的性质与运算进行深入解析，旨在帮助读者更好地理解和应用向量。
一、向量的性质1. 向量的定义向量是由大小和方向两个要素组成的量，通常用箭头表示。
向量的起点和终点分别表示向量的作用点和作用方向。
2. 向量的模向量的模表示向量的大小，通常用 ||v|| 或 |v| 表示。
向量的模为非负实数，若向量的模为零，则该向量为零向量，记作0。
3. 向量的方向角向量的方向角是指向量与某个参考方向之间的夹角，通常用θ 表示。
方向角的取值范围为[0°, 360°)或[0, 2π)。
4. 向量的方向余弦向量的方向余弦是指向量与坐标轴之间的夹角的余弦值。
对于二维向量和三维向量而言，分别有两个和三个方向余弦。
5. 向量的共线与共面若两个向量的方向相同或相反，则称它们为共线向量；若三个向量的起点共线或终点共线，则称它们为共面向量。
6. 向量的平行四边形法则向量运算中，两个向量之和可以使用平行四边形法则进行几何上的解释。
即将两个向量的起点相连，形成一个平行四边形，该平行四边形的对角线即表示两个向量之和。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则进行相加。
对于二维向量 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂) 而言，它们的和 c = a + b = (a₁ + b₁, a₂+ b₂)。
对于三维向量以及更高维向量，加法规则类似。
2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
对于二维向量 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂) 而言，它们的差 c = a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
对于三维向量以及更高维向量，减法规则类似。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
对于二维向量 a = (a₁, a₂) 和实数 k 而言，它们的数量积 c = ka = (ka₁, ka₂)。
向量的概念及表示
向量的概念及表示一、知识、能力聚焦1、向量的概念（1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量。
【注：和量与数量的区别，表示向量的大小称为向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）】 向量 的大小称为向量的长度（或称为模），记作│ │。
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 。
（3）单位向量：长度等于1的向量叫单位向量。
（5）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，若向量 和 相等，则记作 = 。
2、共线向量共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等是一定共线。
平面几何的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量分为如下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等。
（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任何向量共线。
例：把平面一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是什么？ 解：因任一单位向量的始点移到同一点O 时，终点一定落在以O 为圆心，半径为1的单位圆上，反过来，单位圆上的任一点P 都对应一个单位向量 ，故构成的图形为一单位圆。
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
例： 向量 、 平行，记作// 。
向量 、 、 平行，记作// // 。
（6）零向量与任一向量平行（7）相反向量：与向量 长度相等且方向相反的向量叫做 的相反向量。
记为- ， 与- 互为相反向量，且规定：零向量的相反向仍是零向量。
例： 在平行四边形ABCD 中，向量 和向量 方向相同O AB a b a b OP a b a b a b c a b c a a a a a AB DC AB且长度相等； = 。
向量 和向量 长度相等但方向相反，是一对相反向量； =- 。
3、向量的表示 几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如 用| |表示长度。
例： 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形；①用有向线段表示与向量 相等的向量； ②用有向线段表示与向量 共线的向量；解：①与 相等的向量是 、 、 。
向量的概念与运算
向量的概念与运算在数学中，向量是一个有方向和大小的量，常用来表示物体的位移、速度、力等。
本文将介绍向量的概念以及向量的基本运算。
一、向量的概念向量可以用箭头表示，箭头的指向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
通常用加粗的小写字母表示向量，例如a、b。
一个向量可以由一组有序的实数构成，这组有序的实数称为向量的分量。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂, ..., aₙ)，其中 a₁, a₂, ..., aₙ 是向量a的分量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量a和向量b，它们的和表示为a + b，其分量的运算规则为：(a₁+b₁, a₂+b₂, ..., aₙ+bₙ)。
例如，设有向量a=(2, 4)和向量b=(1, 3)，则a + b = (3, 7)。
2. 向量的减法向量的减法可以看作是加法的逆运算。
设有向量a和向量b，它们的差表示为a - b，其分量的运算规则为：(a₁-b₁, a₂-b₂, ..., aₙ-bₙ)。
例如，设有向量a=(3, 8)和向量b=(2, 5)，则a - b = (1, 3)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
设有向量a和实数k，它们的数乘表示为k * a，其分量的运算规则为：(k * a₁, k * a₂, ..., k *aₙ)。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和实数k=2，则k * a = (2, 4, 6)。
4. 向量的数量积（内积）向量的数量积是指两个向量的对应分量相乘后再相加的结果。
设有向量a=(a₁, a₂, ..., aₙ)和向量b=(b₁, b₂, ..., bₙ)，它们的数量积表示为a · b，计算公式为：a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + aₙ * bₙ。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和向量b=(2, 3, 4)，则a · b = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 = 20。
物理学的向量
物理学的向量物理学中的向量是一个重要的概念，它在描述物理现象和解决物理问题中起着关键作用。
本文将介绍向量的定义、性质和应用，以及与向量相关的一些重要定理和原理。
一、向量的定义向量是物理学中用来表示具有大小和方向的物理量的量。
它可以用箭头表示，箭头的长度表示量的大小，箭头的方向表示量的方向。
向量可以用加法和数乘运算进行计算，从而得到新的向量。
二、向量的性质1. 向量的大小和方向是它的本质属性，不受坐标系的影响。
2. 向量的加法满足交换律和结合律。
3. 向量的数乘满足分配律和结合律。
4. 向量的零向量是唯一的，它与任何向量相加都不改变向量的大小和方向。
5. 向量的负向量与原向量大小相等，方向相反。
三、向量的应用向量在物理学中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 位移向量位移是描述物体从一个位置到另一个位置的变化，它是一个向量。
位移向量可以用来计算物体的位移大小和方向。
2. 力向量力是物体之间相互作用的结果，它也是一个向量。
力向量可以用来计算物体所受力的大小和方向。
3. 速度和加速度向量速度是物体在单位时间内位移的大小和方向，加速度是速度的变化率。
它们都是向量，可以用来描述物体的运动状态。
4. 动量和力矩向量动量是物体的质量和速度的乘积，是一个向量。
力矩是力对物体施加的转动效果，也是一个向量。
它们在描述物体的运动和力学性质时起着重要作用。
四、向量的重要定理和原理1. 平行四边形法则平行四边形法则是向量加法的几何表示方法，它可以用来计算两个向量的和。
2. 向量的分解向量的分解是将一个向量分解为两个或多个分量的过程，可以简化向量的计算和分析。
3. 向量的内积和外积向量的内积和外积是两种不同的向量乘法运算，它们在物理学中有着广泛的应用。
内积可以计算两个向量之间的夹角和投影，外积可以计算两个向量之间的垂直分量和面积。
4. 向量的叉积向量的叉积是一种特殊的向量乘法运算，它可以计算两个向量之间的垂直分量和面积。
向量知识点
向量知识点
向量是数学中术语，是指在一个计算机程序中，尖括号中的变量的集合，可以发生变化。
向量可以表示位置、移动的方向和大小，可以作为一个可移动的物体的属性，或作为
在多维空间中的点的属性，最常见的向量层次有二维、三维和四维。
一维向量：一维向量由一个数字决定，它是用一个实数点表示的一维空间中的矢量。
它可以表示对应一维空间中某个特定点的位置和方向，也可以表示一维运动的方向和大小。
三维向量：三维向量是三维空间中的矢量，可以表示某一点的位置、移动的方向和大小，它由三个不同的实数点组成，其中一个实数点是x轴坐标，另一个实数点是y轴坐标，第三个实数点是z轴坐标。
四维空间支撑着涉及重要计算任务的向量。
比如，在动画和图形渲染中，遵循向量乘
法的投射矩阵可以改变三维对象的位置，四维向量可以帮助坐标系被一个只有三维坐标的
变换矩阵投影。
同样，在某些机器学习算法中，拥有着四维向量输入可以极大增加算法的
准确性，因为这样可以更好地分析复杂结构。
向量概念
1平面向量1.向量的概念既有大小,又有方向的量 叫做向量（矢量）. 只有大小,没有方向的量 称为数量（标量）. 2.向量的表示方法1) 几何表示： 用有向线段表示 2) 字母表示： AB , a 3) 坐标表示：()y x a ,= 3.向量的模1) 定义: 向量AB 的大小,也就是向量AB 的长度 称向量的模,记作2) 模的坐标表示:若()y x a ,= , 22yx +若()()2211,,,y x B y x A , = 3) 模的几何性质:b a a +≤+≤-ba b a b a +≤-≤-4.几类重要向量1) 零向量: 长度为零的向量,其方向任意 记作: 0 .2) 单位向量: 长度等于1个单位长度的向量 , 与向量()y x a ,= 共线的单位向量是:⎫⎛. 3) 平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量 . 4) 相等向量：长度相等且方向相同的向量 . 5.两个非零向量的夹角 1)范围：[]π,02)公式（向量式）：b a ⋅>=<,cos .3)公式（坐标式）： 222221212121,cos yx y x y y x x b a +⋅++>=< .6.几类向量之间的关系b38.三角形四“心”向量形式的充要条件设O 为A B C ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为A B C ∆的外心 222O A O B O C ⇔== .（2）O 为A B C ∆的重心 0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为A B C ∆的垂心 OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为A B C ∆的内心 0aOA bOB cOC ⇔++=.。
数学向量知识点大全
数学向量知识点大全数学向量是高中数学的重要内容之一、它是表示大小和方向的物理量，常用箭头或有向线段表示。
下面是数学向量的一些重要知识点：1.向量的定义：向量是有大小和方向的量。
2.零向量：大小为零的向量，表示为0或。
3.等于向量：若向量和向量的对应分量相等，则称这两个向量相等。
4.向量的加法：若向量和向量都有相同的起点，则它们的和向量从共同起点出发，终点位于连接两个向量终点的直线上。
5. 向量的数量乘法：若向量a和实数k，积ka的大小为，k，乘以a的大小，方向和a相同（若k>0）或相反（若k<0）。
6.两个向量的数量乘积：向量的数量乘积是一个向量，大小等于这两个向量大小的乘积，方向和这两个向量夹角的余弦相同。
7.向量的平行条件：若向量和向量大小相等或其大小为零，则称这两个向量平行。
8.向量的线性组合：若给定向量，实数称为向量的系数，则向量的线性组合是形如的向量。
9.向量的加法交换律：对于任意两个向量a和b，有a+b=b+a。
10.向量的加法结合律：对于任意三个向量a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)。
11.零向量的加法逆元：对于任意向量a，有a+(-a)=0。
12.向量长度的计算：向量的长度（或模）由勾股定理求得，即，a，=√(a₁²+a₂²)。
13.单位向量：长度为1的向量，可以通过将向量除以其长度得到。
14. 单位向量的夹角余弦：若a和b是非零向量，则向量a与向量b 的夹角余弦由公式cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)求得。
15.向量的点乘积：向量的点乘积是一个标量，等于两个向量大小的乘积，方向是两个向量夹角的余弦。
表示为a·b。
16.向量的点乘积的性质：对于任意向量a、b和c，以及实数k，有以下性质：-a·b=b·a（交换律）-a·(b+c)=a·b+a·c（分配律）- (ka)·b = k(a·b)17.向量的叉乘积（向量积）：向量的叉乘积是一个向量，大小等于两个向量大小的乘积与夹角的正弦乘积，方向垂直于这两个向量所确定的平面。
向量公式大全
向量公式大全向量是物理和数学中常用的重要概念，它可以用于描述力、速度、位移等物理量的大小和方向。
在数学中，向量可以用来表示空间中的点、线和平面等几何概念。
本文将为您介绍一些常用的向量公式和相关概念。
一、向量的基本概念和运算法则1.向量的表示方式向量通常用有向线段来表示，可以用线段的起点和终点表示。
2.向量的零元素对于向量a，存在一个特殊的向量0，使得a+0=a，称0为零向量。
3.向量的加法和减法向量的加法和减法遵循平行四边形法则：设a和b是两个向量，它们按照起点相连，那么a+b从起点到终点就是a和b相加的结果，a-b就是b的起点和a的终点连接而成的。
4.向量的数量乘法设k为一个实数，k乘以向量a，得到的向量ka，其大小为，ka，=，k，a，方向与a相同（当k为正数时），或者与a相反（当k为负数时）。
5.向量的数量除法设k为一个非零实数，向量a除以k，得到的向量a/k，其大小为，a/k，=，a，/，k，方向与a相同（k为正数）或者与a相反（k为负数）。
6.黎曼球面上的数量除法向量除以零是未定义的，但可以将这个向量限制到黎曼球面上，黎曼球面上的数量除法遵循“将除数和被除数投影到黎曼球面上，再进行数量除法”的原则。
7.向量的数量积向量a和b的数量积（也称内积、点积）表示为a·b=，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示a和b的大小，θ为它们之间的夹角，cosθ称为向量夹角的余弦值。
二、向量的坐标表示和坐标运算8.二维向量的坐标表示二维向量可以用有序数对(x,y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
9.二维向量的加法和减法设向量a和b的坐标表示分别为(a₁,a₂)和(b₁,b₂)，它们的和为(a₁+b₁,a₂+b₂)，差为(a₁-b₁,a₂-b₂)。
10.二维向量的数量乘法设向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，实数k的坐标表示为(k, k)，则ka的坐标表示为(ka₁, ka₂)。
向量的坐标表示
三维向量的坐标表示
定义
在三维空间中，一个向量可以用一个有序实数三元组来表示，其中每个数分别表示该向量在x、y和z 轴上的分量。
示例
向量$overset{longrightarrow}{ABC}$的坐标表示为$(x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1)$，其中$(x_1, y_1, z_1)$和$(x_3, y_3, z_3)$分别是点A和点C的坐标。
控制系统
向量在控制系统中用于描述系统的输入、输出和 状态变量等物理量，进行系统分析和设计。
THANKS
感谢观看
电磁学
向量在电磁学中用于描述电场、磁场等物理量。
线性动力学
向量在描述物体运动规律时，可以表示物体的加速度、速度和位移等物理量。
向量在工程中的应用
机械工程
向量在机械工程中用于描述力和扭矩等物理量， 分析机械系统的运动和平衡。
航空航天
向量在航空航天中用于描述飞行器的速度、加速 度和姿态等物理量，进行飞行控制和导航。
向量的坐标运算
向量的加法
根据向量的坐标表示，向量的 加法可以通过对应分量的相加
来得到结果。
向量的数乘
数乘运算可以通过乘以向量的 每个分量来实现。
向量的数量积
根据向量的坐标表示，两个向 量的数量积可以通过对应分量 的乘积之和来计算。
向量的向量积
根据向量的坐标表示，两个向 量的向量积可以通过对应分量 的乘积之和再乘以一个常数来
向量的模
总结词
向量的模是表示向量大小的量，用符号“||”表示。
详细描述
向量的模也称为向量的长度或大小，表示向量的大小。向量的模的计算公式是 $sqrt{x^2 + y^2}$，其中x和y是向量的坐标分量。在三维空间中，向量的模 的计算公式是 $sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
向量知识点总结
向量知识点总结向量是数学中非常重要的概念，广泛应用于各个学科领域。
本文将对向量的基本概念、性质和应用进行总结。
一、基础概念向量是由大小和方向决定的量，常用有向线段来表示。
向量的大小用模表示，方向用角度表示。
向量的表示方式有多种，如坐标表示、分量表示等。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即不论加法顺序如何，得到的结果都是一样的。
向量的加法可以利用向量的坐标进行计算。
2. 向量的数量积向量的数量积又称为内积或点积，用于刻画向量之间的相似程度。
向量的数量积满足交换律、分配律和结合律等性质。
向量的数量积可以通过向量的坐标和夹角公式进行计算。
3. 向量的向量积向量的向量积又称为外积或叉积，用于刻画向量之间的垂直关系和平行四边形的面积。
向量的向量积满足反交换律、分配律和结合律等性质。
向量的向量积可以通过向量的坐标和行列式公式进行计算。
三、向量的性质1. 平行关系两个非零向量平行的充要条件是它们的向量积为零向量。
平行向量具有相同或相反的方向，模的比值为常数。
2. 垂直关系两个非零向量垂直的充要条件是它们的数量积为零。
垂直向量具有垂直的方向，模的乘积为零。
3. 向量的角度向量的角度可以通过向量的数量积求解，角度范围在0到180度之间。
当两个向量的数量积为正时，它们的夹角小于90度；当两个向量的数量积为负时，它们的夹角大于90度。
四、向量的应用向量广泛应用于各个学科领域，如物理、工程、计算机科学等。
1. 物理学中，向量用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量。
利用向量可以更直观地表示物理问题，并进行相关运算。
2. 工程学中，向量用于表示力、矢量场等概念。
工程领域中的计算、设计和分析等都离不开向量的运算和表示。
3. 计算机科学中，向量经常用于图形学、机器学习和计算机视觉等方面。
向量可以表示图形的几何属性，进行机器学习算法的向量化表示，以及计算机视觉中的特征提取等任务。
总之，向量作为数学中的基础概念，在各个学科领域都扮演着重要的角色。
向量知识点
第一节向量有关概念及线性运算一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2、向量的表示：（1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。
（2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。
（3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。
A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。
记作：4、零向量：长度为0的向量。
记作：5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。
关注重点：（1）方向（2）长度二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
记作：，或规定：零向量与任一向量平行。
2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。
记作：，或零向量与零向量相等。
3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作的相反向量是。
注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。
1、判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若与是两个单位向量，则与相等；（4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；（5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量；（7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”；（9）共线的向量一定相等；（10）相等的向量一定共线。
解：（1）正确（2）正确（3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。
（4）正确因为零向量与任意向量共线（5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。
（6）错误方向不定。
（7）错误线段AB可与线段CD平行。
（8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
小结：[1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。
[2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。
向量的概念
向量的概念既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。
向量的几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。
（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→）有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。
有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。
相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a，在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量）长度等于0的向量叫做零向量，记作0。
（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的）零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。
长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
平面向量的坐标表示在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。
而点的坐标是绝对的。
若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）表示。
即，若一向量的起点在原点，那么该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标的比例关系是一样的。
向量的运算加法运算向量加法的定义已知向量a、b，在平面上任意取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和，记做a+b，即a+b=AB+BC=ACAB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
向量基本概念
向量基本概念
向量是最基本的数学工具之一，它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍向量的基本定义、表示方法以及相加、相减、数量积、向量积等运算。
一、向量的定义
向量是空间中具有大小和方向的量，一般用箭头表示。
它由两个端点确定，可以表示为有序的数对或坐标。
二、向量的表示方法
1. 点表示法：将一个向量的起点放在坐标原点O，将终点放在坐标系内的某个点，然后用有向线段或箭头表示向量。
2. 坐标表示法：将向量的起点放在坐标原点O，终点坐标用有序数对(x,y,z)表示。
三、向量的运算
1. 向量相加：将两个向量的末端相接，以它们的起点作为相加后向量的起点，终点作为相加后向量的终点。
2. 向量相减：将一个向量的相反向量加到另一个向量上，即将相反向量变为相应向量再相加。
3. 数量积：两个向量的数量积也叫点积，记为a·b，其结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角余弦值乘以两个向量的模长之积。
4. 向量积：两个向量的向量积也叫叉积，记为a×b，其结果是一个向量，垂直于两个向量所在的平面，并且符合右手法则。
四、小结
向量是数学学科中最基础的概念之一。
通过点表示法和坐标表示法，可以表示向量的大小、方向和位置。
向量的相加、相减、数量积和向量积是向量最基本的运算，它们在物理、工程、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
向量
向量百科名片向量在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），与标量相对目录向量的定义向量的来源向量的表示向量的模和向量的数量特殊的向量向量的运算其他向量的定义向量的来源向量的表示向量的模和向量的数量特殊的向量向量的运算其他向量的表示向量的定义数学中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。
注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量。
α=（a 1，a2，…，an）称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。
（"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标,其他类推）。
向量的来源向量（或矢量），最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。
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向量一、复习提问()()A B ,A B A B A B A B A B a ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎛⎫ ⎪± ⎪⎝⎭概念：即有大小又有方向的量长度模：向量大小记作：向量几何；有向线段表示：有向线段的始点终点大写字母：符号小写字母：向量相关概念零向量：长度为0的向量，记作：0， 注意：零向量的方向是任意的单位向量：长度为一个单位的向量与共线的单位向量是相反向量：长度相等方向相反的向量。
a 的相反向量是-a 关系():a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩相等长度相等且方向相同的两个向量。
相等向量具有传递性。
平行共线方向相同或相反的非零向量、b 。
记作：a //b. 规定：零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ A B A C 、共线；()()()()11221212,,,,,A B +B C =A C A B =O B -O A A B =M B -M A A B =-B A 10,2x y b x y a b x x y y aa a a a λλλλλ⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎨⎨⎪=±=±±⎪⎩⎪⎩>三角形法则：几何表示法平行四边形法则：表示：向量加减法坐标表示法：a =性质：1、定义：实数与向量a 的积是一个向量，记作：与方向相实数与向量的积：、与的方向关系：向量运算()()()()()()()()1212112212122121112220,30,3,1,,,,A B =,2A ,,,,a a a a a a a a b x x y y a x y b x y a b x x y y a x x y y x y B x y A B λλλλλλλ⎧⎪⎧⎪⎪⎪=⎨⎨⎪⎪<⎩⎪⎪=⎩⎧±=±±⎪⎪==⋅=+⎨⎪=⎪⎩⎧--=同。
方向任意。
与方向相反。
、与模的关系：、若则 、若则平面向量坐标运算：()()()()()()1221112212123,,,0//4,,,0000,co s ,a x y x y x y x y a b b a a x y b x y b x x y y a b a b a b a b a λλλλθθπθ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪=⎪⎪⎧-=⎧⎪⎪⇔⎪⎨⎪=⎪⎪⎩==≠⎪⎨+=⎧⎪⎪⎪⊥⇔⎨⎪⎪⋅=⎪⎩⎩⎩≤≤⋅ 、若则a =、若则定义：若a 与b 的夹角为称为的数量积，记a b =平面向量的数量积：()()()()()()2222222co s ;;2b a b b a a b a b a b a b c a c b c a a a a a b a a b ba b a b a b a b a bθλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅=⋅⋅=⋅=⋅⎪⎪⎪⎨+⋅=⋅+⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⋅=+=+⋅+⎪⎪⎪⎪-+=-≥⋅⎪⎩⎩运算规律：数量积的性质： 平面向量基本定理：如果12e e和是一平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任意=一向量a，存在唯一的一对实数12,a a ，使1122a a e a e =+ 。
向量中常用的结论： （1）、一个封闭图形首尾连接二成的向量和味零向量。
（2）、a b a b a b-≤±≤+（3）、PA A C P A =PB +PC +=1αβαβαβ⇔向量、P B 、P C 中三终点、B 、共线存在实数、使得且123123123P A P B P C A B C ,,,0,0P A P B P C λλλλλλλλλ⇔++=++=向量、、中三终点、、共线存在实数使得且()()()()()123123112233A ,,,,,,G ,331A B C P A +P B +P C =0P A B C 3A B C P A P B =P B P C =P C P A P A B C 0A B C B A C x x x y y y x y B x y C x y P G P A P B P C G A B A CA B A C λλ++++⎛⎫⎪⎝⎭=++⇔∆⇔∆∆⋅⋅⋅⇔∆⎛⎫⎪+≠∆∠ ⎪⎝⎭若则其重心坐标为为的重心，特别的为的重心在中，为垂心。
向量所在的直线过的内心是的角平分线()A B P C +B C P A +C A P B =0P A B C ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⇔∆⎪⎩所在的直线是的内心。
三角形的五个”心”：重心：三角形三条中线的交点。
外心：三角形三边垂直平分线的交点。
内心：三角形三内角的角分线的交点。
垂心：三角形三边上的高线交点。
旁心：三角形一内角的角分线与另外两个内角的外角分线的交点。
题型归纳：例1：下列命题中正确的有（ A ）个 ① 零向量没有方向；②若a b=，则a b=；③单位向量都相等；④向量就是有向线段；⑤两相等的向量若其起点相同，则终点也相同；⑥若,a b b c ==，则ac= ；⑦若//,//a b b c，则//a c；⑧若四边形ABCD是平行四边形，则,A B D C B C D A ==A 、2个B 、3个C 、5个D 、7个 练习1：下列等式①0a a-=-；②()a a--=；③()0a a +-=④a b b a-=-，正确的个数是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、1 例2：化简下列各式：（1）、AB AC BD C D -+-(2)、A B M B B O O M+++解：（1）、原式=()()0A B B D A C C D A D A D +-+=-=(2)、原式=()()A B B O O M M B A O O B A B+++=+=练习2：化简下列各式：（1）、A B D B A C D C --+(2)、()()A B D B B C D C++-例3、设x 、y 是未知量，（1）解方程()()5320x a x b ++-= ；（2）解方程组1212x y a x y b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解：（1）、原方程可化为：55360x a x b ++-=，856x a b⇒=-+，5384x a b ⇒=-+（2）、把第一个方程的-2倍与第二个方程相加，得：322y a b =-+ ，从而4233y a b=-+代入原来的第二个方程，得142233x a b b⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，移项并化简，得2433x a b=-+24334233x a by a b⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪=-+⎪⎩练习3：设x的是未知量，解方程()1123032x a b x c b ⎛⎫---++= ⎪⎝⎭例4：设两个非零向量a b和不共线，（1） 若(),28,3A B a b B C a b C D a b=+=+=-，求证：A 、B 、D 三点共线；（2） 试确定实数κ，使a b κ+与a bκ+共线。
解：（1）证明：因为(),B C =28,3A B a b a b C D a b=++=-，所以A D A B B C C D =++=()6666a b a b A B+=+=.因为A D与A B共线，且有公共点A,所以A 、B 、C 三点共线。
（2）、因为a b κ+与a b κ+共线，所以存在实数λ使得a bκ+=λ（a bκ+），即()()1a b κλλκ-=-，因为,a b是不共线的非零向量，所以κλ-=01λκ-=0，所以1κ=±练习4：设12,e e是两个不共线的向量，且122A B e ke =+ ，123C B e e =+ ，122e C D e =-（1） 若A 、B 、D 三点共线，求k 的值； （2） A 、B 、C 能否共线?例5：已知O A O B、为两个不共线向量，且A P =tA B,期中t是实数，，求证:()1O P t O A tO B=-+证明：()(),A P tA B t R O P O A A P O A tA B O A t O B O A=∈∴=+=+=+-O A tO B tO A=+-()1t O A t O B=-+练习5：已知存在实数λυ、，且1λυ+=，使得O C O A O B λυ=+,求证向量O A O B O C、、的终点A 、B 、C 共线。
例6.设12,e e是不公线的非零向量，且12,1223a e e b e e =-=+ ，（1） 证明：,a b可以作为一组基底；（2） 以,a b为基底，求向量123c e e =-的分解式；（3） 若1243,e e a b λυ-=+求,λυ的值。
（1）、证明：设()a b R λλ=∈，则()12122e e e e λ-=+，由12,e e不共线得112323λλλλ=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩∴λ不存在，故a b与不共线，可以作为一组基底。
（2）、设()c m a nb m =+∈、n R 得()()()()1212121232323e e m e e n e e m n e m n e -=-++=++-+∴3222311m n m c a b m n n +==⎧⎧⇒⇒=+⎨⎨-+=-=⎩⎩（3）、由1243,e e a b λυ-=+得()()()()1212121243223e e e e e e e e λυλυλυ-=-++=++-+432331λυλλυυ+==⎧⎧∴⇒⎨⎨-+=-=⎩⎩， 故所求,λυ的值分别为3和1。
练习6：已知不共线向量12,l l ，且1212123,42,312a l l b l l c l l =-+=+=-+，以,b c为一组基底求a。
例7：已知()()2,1,3,4a b =-，当λ为何值时，2a b a bλ-+与平行？平行时，它们是同向还是反向？解：()()()2,13,423,4a b λλλλ-=--=-+，()()()22,123,48,7a b +=+-=()()//2a b a bλ-+，()()1847230221102λλλλ∴++-=⇒+=⇒=-，111723,44,2222a b ⎛⎫⎛⎫∴--=-⨯--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即()122a b a b λ-=-+，故当12λ=-时，2a b a b λ-+ 与平行，平行时方向相反。
练习7：如果向量2,A B i j B C i m j =-=+，其中i j、分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线。