2.7导体系统的电容

1
ln
2 b1
ln r0
2 r0 1 a
【例3】：平行板电容器的长宽分别为a和b，极间距离为d.电容
器的一半厚度用介电常数为 的介质填充。如图。
（1）板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、极化电荷面 密度。
（2）若已知极板上的自由电荷总量Q,求此时极板间电压和极 化电荷面密度。
E
d 2

E0
d 2
U0
解得
由边界条件D1n D2n s
E 20U0 ( 0 )d
E0

2U0 ( 0 )d
故下极板自由电荷面密度为
s

D1n


E

2 0U 0 ( 0 )d
故上极板自由电荷面密度为
s

0 E0


2 0U 0 ( 0 )d
（3）求电容器的电容量。
z

d
2
0
d 2

U0

【解】（1）设介质中的电场为
uv E

euvz E，空气中的电场为uEuv0

uv ez E0
在介质分界面上由于 s 0 故边界条件 D1n D2n
0E0 E
sp上
（
0）Q ab
（3）电容器的电容为C Q 20 ab
U0 ( 0 )d
【思考】：同轴线的内导体半径为a,外导体半径为b，其间填充
相对介电常数为r 时，求：

r a
的介质。当外导体接地，内导体的电位为U
0
（1）介质中的
uv E
和
uv D
（2）介质中极化电荷分布

uv P
v n

uv uv P ez

20U0 ( 0 ) ( 0 )d
（2）由于
s
Q S

Q ab

2 0U 0 ( 0 )d
可得极板间电压为U0

( 0 )dQ 20 ab
所以下极板极化电荷面密度为
sp下

（
0）Q ab
所以上极板极化电荷面密度为
电介质中的极化强度为uPv

uv D


0
uv E

(


0
uv )E

uv ez
20U0 ( ( 0 )d
0
)
故下极板上的极化电荷面密度为sp下

uv P
v n

uv P
uv (ez )


20U0 ( 0 ) ( 0 )d
故上极板上的极化电荷面密度为 sp上
Ci称j 为部分电容
【例1】：在导体半径为a和b的球形电容器内充满电介质，电介
质的介电常数与离中心的距离r有关，并按规律变化

(r
)


0
a2 r2
，求
该电容器的电容。
【解】：设内、外导体的带电量分布为Q、-Q。由高斯定理得：
uuuuuv Q uv
D(r)
4
r2
er
因此导体内外间的电压为
U
第二章 静电场
2.7导体系统的电容
多导体系统
1 p11q1 p12q2 ...... p1nqn 2 p21q1 p22q2 ...... p2nqn
： ：
n pn1q1 pn2q2 ...... pnnqn
pij 称为电位系数，物理意义表示当导 体j带1库仑正电荷，而其他导体不带 电时，导体j对导体i产生的电位
uuv E2

D 2

l 2 2 r
uv er
1 2
a
r0
b
内外导体间电压为：U
b
a
uv E

uuv dr

r0 a
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uuv E1

uuv dr

b
r0
uuv E2

uuv dr
l ln b l ln r0 22 r0 21 a
单位长度电容为：
C

Q U
l U
【解】：设内外导体单位长度带电分别为
uv uuv
l
和 l
。由高斯定理得：
Ñs D dS q ll
当 a r r0 时， 当 r0 r b 时，
2 rlD ll
uv D
uuv E1
l
2uv r
uv er
D l
1 21r
uv er
uv
q1 C111 C12 (1 2 ) ....... C1n (1 n ) q2 C21(2 1) C222 ....... C2n (2 n )
: : qn Cn1(n 1) Cn2 (n 2 ) ....... Cnn (n n )
q1 111 122 ....... 1nn q2 211 222 ....... 2nn
: : qn n1 1 n22 ....... nnn
ij称为电容系数，表示导体j电位为1V， 而其他导体均接地时，导体i上的感应电 荷量。
b uv uuv E dr
a
b a
Q 4 r2
uv er
uuv dr

Q(b a) 4 0 a 2
故电容器的电容为 C Q 40a2
U ba

a O
b
【例2】 一同轴线内导体的半径为a,外导体半径为b，内外导体间 填充两种绝缘材料，a r r0的介电常数为 1 ，r0 r b的介电常数为 2 如图所示，求单位长度的电容。
（3）同轴线单位长度的电容。

a
O b