解直角三角形的应用俯角仰角

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解直角三角形的应用(2)--仰角、俯角问题

一、课题：解直角三角形的应用（2）——仰角、俯角问题二、学习目标：1.掌握仰角、俯角的定义。

2.会利用仰角、俯角解决一些实际问题。

三、教学重点、难点1.重点：仰角、俯角的定义。

2.难点：构造直角三角形，解决问题。

四、知识准备1.三角函数的定义。

2.特殊角的三角函数值。

3.解直角三角形的方法。

五、预习案1．预习指导：什么是仰角、俯角？例1：如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的D处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角α＝22°。

求电线杆AB的高。

（精确到0.1米）例2：如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向前走60米到C点，又测得仰角为45°，求该高楼的高度为多少米？例3：如图，两个建筑物的水平距离为20米，从A点测得D点的俯角为45°，测得C点的俯角为60°，求较低建筑物CD的高为多少米？2．预习测试：(1) 从A点看B点的仰角是55°，则从B点看A点的俯角是_______。

(2) 两高楼A楼和B楼，从A楼顶端看B楼底端所成的角是______，从B楼底端看A楼顶端所成的角是______，它们的关系是_____。

(3)如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机看地面控制点B的俯角α＝30°。

求飞机A到控制点B的距离。

（精确到1米）(4)两建筑物AB与CD，其地面距离AC＝50米。

从AB的顶端B测得CD的顶部D的仰角β＝30°，测得其底部C的俯角α＝45°。

求两座建筑物AB与CD的高。

（精确到0.1米）3．我的疑惑：六、探究案：探究过程（讲解例题，解答疑惑）。

七、小结通过这一节的学习，大家掌握了什么是仰角，什么是俯角，并且能利用仰角、俯角解决一些实际问题，希望大家能够做到举一反三、触类旁通。

八、知识拓展仰角、俯角在实际生活中有更广泛的应用，抽空我们再作进一步探究。

解直角三角形的应用仰角与俯角问题公开课省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

A
D xF
30°
C
Ex B
P α β
归纳与提升
P
450
O P
O
45°
B
30°
A C
30°
B
450
45°
O
A
30°60° A
45° 22000米 45°
B
P 45°°
3300°°
202000米
D
O
B
3 450)m.
B
A
4. 两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50米，
从AB旳顶点B测得CD旳顶部D旳仰角β＝300,
测得其底部C旳俯角a＝600, 求两座建筑物AB 及CD旳高.
30° 60°
50米
（第 2 题）
合作与探究
变题2：如图，直升飞机在高为200米旳大楼AB
左侧P点处，测得大楼旳顶部仰角为45°,测得
大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间旳水
平距离.
A
答案: (300 100 3) 米
P 45°
30°
O
200米 D
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米旳大楼AB上方P点处，从大楼旳顶部和底部测得飞机旳仰角为30°和45°，求飞机旳高度PO .
P
答案: (100 3 300) 米
O
=300 1.20
图3019.4.4
2、建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m旳D 处观察旗杆顶部A旳仰角为60°,观察底部B旳仰角为45°,求旗杆旳高度
A
B
D 40 C
1、在山脚C处测得山顶A旳仰角为45°。问题如下： 1）沿着水平地面对前300米到达D点，在D点测得山顶A旳仰角为600 , 求山高AB。

24.4.3 解直角三角形的应用—仰角、俯角(课件)九年级数学上册(华东师大版)

即该建筑物 CD 的高度约为 42 m.
第24章解直角三角形
知识回顾
仰角、俯角问题： 1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
2.梯形通常分解成矩形和直角三角形来处理.
3.实际问题转化为几何问题.把四边形问题转化为特殊四边形与三角形来解决.
DC
tan54o 40 1.3840 55.2m，
∴AB = AC－BC ≈ 55.2－40 = 15.2 (m).
第24章解直角三角形
第24章解直角三角形
仰角、俯角问题
| 24.4 解直角三角形第3课时 |
华师版(2012)九年级上册数学
知识回顾
在解直角三角形的过程中，重要关系式： (1)三边之间的关系 a2 + b2 = c（2 勾股定理） (2)两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° (3)边角之间的关系
第24章解直角三角形
第24章解直角三角形
解：如题图，延长 AE 交 CD 于点 G.设 CG＝x m．
在 Rt△ECG 中，∠CEG＝45°，则 EG＝CG＝x m．
在 Rt△ACG 中，
∵∠CAG＝30°，tan∠CAG＝CAGG，
∴AG＝ tan
C∠GCAG＝
3x m．
∵AG－EG＝AE，∴ 3x－x＝30，
解得 x＝15( 3＋1)．故 CD＝15( 3＋1)＋1.5≈42(m)．
2
部分的面积为 2 cm2（根号保留）．
图3
图4
第24章解直角三角形
5.建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40 m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 54°，观察底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到 0.1 m）. 解：在等腰 Rt△BCD 中，∠ACD = 90°， BC = DC = 40 m， ∴AC tan ADC DC. 在 Rt△ACD 中 tan ADC AC ，

解直角三角形的应用(仰角和俯角问题)

角函数求解
计算角度证结果：检查计算结果是否满足三角形内角和为180
度的条件
添加标题
确定已知条件：已知三角形的边长和角度
添加标题
利用正弦定理：sin/ = sinB/b = sinC/c
添加标题
利用余弦定理：cos = (b^2 + c^2 - ^2) / (2bc)
正弦定理：在直角三角形中任意一边的长度等于其对角的正弦值乘以斜边的长度
余弦定理：在直角三角形中任意两边长度的平方和等于斜边的平方
正切定理：在直角三角形中任意一边的长度等于其对角的正切值乘以斜边的长度
余切定理：在直角三角形中任意两边长度的平方差等于斜边的平方
正割定理：在直角三角形中任意一边的长度等于其对角的正割值乘以斜边的长度
确保测量工具的准确性和稳定性
避免在危险区域进行测量如高空、
高压电等
遵守操作规程确保人身安全
做好防护措施如佩戴安全帽、手
套等
及时清理现场避免杂物影响测量
结果
遇到突发情况及时停止操作并寻
求帮助
仰角和俯角为0度：此时三角形退化为直线无法求解
仰角和俯角为90度：此时三角形退化为直角三角形可以直接求解
全站仪等
测量误差：注意测量误差对仰角和俯角测量结果的影响
测量环境：注意测量环境的影响如温度、湿度、风速等
测量方法：注意测量方法的选择如直接测量、间接测量
等
测量误差：测量工具的精度、测量人员的操作水平等
计算误差：计算过程中的舍入误差、公式使用错误等
环境误差：温度、湿度、光照等环境因素对测量结果的影响
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01.
02.

解直角三角形的应用--仰角,俯角

知识点 1、仰角、俯角铅垂线：水平线：视线：视角：仰角：从______看，_____与_____的夹角俯角：从______看，_____与_____的夹角 2、方向角：在平面上过观测点O ，画一水平线和一条铅垂线，则从点O 出发的视线与铅垂线的夹角，叫做点O 的方向角。

注：（1）方向角通常以南北方向线为主分，分南偏和北偏（东、西）（2）观测点不同，所得方向角不同，但各观测点的南北方向线是互相平行的。

3、方位角：从某点的正北方向线按顺时针方向转到目标方向的水平角叫做方位角。

1、如图，为了测量电线杆的高度AB,在离线电线杆22.7米的C 处，用高为1.20米的测角仪CD 测量电线杆顶端B 的仰角α=220,求电线杆的高度（精确到0.1米） 2、为了测量顶部不能达到的建筑物AB 的高度，现在地平面上取一点C ，用测量仪测得A 点的仰角为450，再前进20米取一点D ，使点D 在BC 的延长线上，此时得A 的仰角为300，已知测量仪的高为1.5米，求建筑物AB 的高度。

3、 4、小王同学在学校某建筑物的C 处测得顶部A的仰角为300，旗杆底部B 的俯角为450，若旗杆底部点B 到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，求旗杆顶点A 离地面的高为多少米总结：两个基本图形BC=AD(cot α+cot β) BC=AD(cot α-cot β)提升： 1、如图,A 城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A 城南偏东300的海面生成，并以每小时40海里的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到A 城南偏东450的方向，若台风中心120海里将受台风影响， (1)问A 城是否受9号台风影响？(2)若受到台风影响，A 城什么时候受到台风影响？什么时候脱离台风影，受台风影响几个小时分析：A 城是否受9号台风影响，就是要看A 城到台风中心的距离是否大小120海里。

台风中心是运动的，而A 城与台风中心的距离是变化的，因而只看A 城到台风移动路线BC 的距离是否大于120海里。

解直角三角形应用题(方位角、仰角与俯角、坡度)分类汇编

:i h l=hlα基础知识2解直角三角形的应用举例1.仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

2.坡度与坡角：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等. 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα== 3.方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角.如图,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）.【题型1】仰角与俯角如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB ＝15m ，CD ＝20m ，AB 和CD 之间有一观景池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°（点B 、E 、D 在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD （结果精确到0.1m ）.（参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）【变式训练】1.如图,宁宁在家里楼顶上的点A处，测量建在与自家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为多少米（精确到0.1）.2.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）.（参考数据：≈1.414，≈1.732）3.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．4.如图，曦曦在M处用高1米(DM＝1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度．【题型2】坡度与坡角如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是多少？【变式训练】1.如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？2.如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥下底AD的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin35°≈ 0.57，cos35°≈ 0.82，tan35°≈ 0.70)3.如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比).4.如图，曦曦在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60° ，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45° ，已知OA=100米，山坡坡度为i=1:2，且O 、A 、B 在同一条直线上。

市北资优九年级分册第25章 25.4 解直角三角形的应用+滕小红

25.4 解直角三角形的应用解直角三角形在实际生活中有着广泛的应用．在解决问题时，既要了解相关的名词，更根据实际情况灵活运用相关知识．1．仰角、俯角与方位角如图25.4.1在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．【例1】如图25.4.2，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，请问：这栋高楼有多高？(结果精确到0.1m)【解】由题意得α＝30°，β＝30°，AD ＝120m ，AD ⊥BC ． ∵tan α＝BD AD ，tan β＝CDAD， ∴BD ＝AD ·tan α＝120×tan30°＝(m)， CD ＝AD ·tan β＝120×tan60°＝．∴BC ＝BD ＋CD＝＋277.1(m)．即这栋楼高约为277.1m ．【例2】如图25.4.3，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，他沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处，请问：此时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？(精确到0.01海里，cos25°≈0.91，sin34°≈0.559)图25.4.2视线视线仰角俯角图25.4.1铅垂线【解】过点P 作PC ⊥AB 于点C ，由题意得∠APC ＝90°－65°＝25°，∠BPC ＝90°－34°＝56°，AP ＝80海里．在Rt △APC 中，∵cos ∠APC ＝PCPA， ∴PC ＝P A ·cos25°＝80×cos25°≈80×0.91≈72.80(海里)． ∵sin B ＝PCPB， ∴PB ＝sin PC B ＝72.80sin34 ≈72.800.559≈130.23(海里)．即海轮所在的B 处距离灯塔P 有130.23海里．【例3】如图25.4.4，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼，甲船以每小时60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度(匀速)沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B 处相遇． ⑴甲船从C 处追赶上乙船用了多少时间？⑵求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度．(结果保留根号)【解】⑴过点A 作AD ⊥BC 于点D ，由题意得∠B ＝30°，∠BAC ＝105°，∠BCA ＝45°，AC ＝千米) ．在Rt △ADC 中，CD ＝AD ＝AC ·cos45°＝30(千米) ．在Rt △ABD 中，AB ＝2AD ＝60(千米)，t ＝6015－2＝2(时) ．即甲船从C 处追赶上乙船用了2小时．北图25.4.4图25.4.3⑵由⑴知BD ＝AB ·cos30°＝(千米) ．∴BC ＝30＋(千米)，从而v ＝15＋(千米/时) ．即甲船加快速度后，追赶乙船时的速度为(15＋)(千米/时) ．练习25.4（1）1．如图，一架飞机在高度为5千米的点A 时，测得前方山顶D 的俯角为30°，水平向前飞行2千米到达点B 时，又测得山顶D 的俯角为45°．求这座山的高度DN ．(结果可保留根号)2．某高层建筑物图中AB 所示．小明家住在建筑物附近的“祥和”大厦(图中CD 所示)，小明想利用所学的有关知识测量出高层建筑物AB 的高度．他先在自己家的阳台(图中的点Q 处)测得AB 的顶端(点A )的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向AB 方向走了84米，来到另一座高楼的底端(图中的点P 处)，测得点A 的仰角为45 °．又点C 、P 、B 在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你画出示意图，并根据上述信息求出AB 的高度．(参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75)CADCA B NM北3．小岛B 正好在深水港口A 的东南方向，一艘集装箱货船从港口A 出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C 处测得小岛B 在它的南偏东15°方向，求小岛B 离港口A 的距离．(精确到0.1千米)(1.41≈2.45，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)答案练习25.4（1）1．根据题意，得∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∠CBD ＝45°，AB ＝2．设CD ＝x ，在Rt △BCD 中，∵∠CBD ＝45°，∴BC ＝CD ＝x ．在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝45°，∴AC．∴＝x ＋2．解得x1．所以，这座山的高度DN ＝5－1)＝(4千米)2．过点Q 作QE ⊥AB ，交AB 于点E ．根据题意，得：∠AQE ＝37°，∠APB ＝45°，CQ ＝60(米)，CP ＝84(米)．设AB ＝x (米)，则AE ＝x －60，QE ＝CB ＝x ＋84．在Rt △APB 中，PB ＝AB ＝x ，在Rt △AQE 中，AE ＝QE ·tan37°，即x －60＝34(x ＋84)，解得x ＝492．即楼AB 的高度为492米．3．由题意，得AC ＝30×23＝20(千米) ．过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝45°，∴AD ＝AC ·cos45°＝千米) ．CD ＝AC ·sin45°＝千米) ．37°APCQ EB45°北 B在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠B ＝90°―45°―15°＝30°， ∴BD ＝CD ·cos30°＝千米) ．AB ＝AD ＋BD ＝)≈10(1.41＋2.45)＝38.6(千米) ．即小岛B 离深水港口A 的距离是38.6千米．2．坡度在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图25.4.5，坡面的铅直高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l．坡度通常写成1：m 的形式，如i ＝1：6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝hl＝tan α．α就越大，坡面就越陡．【例4】如图25.4.6，水坝的横截面是梯形ABCD ，上底AD ＝4米，坝高AM ＝DN ＝3米，斜坡AB 的坡比i 1＝1CD 的坡比i 2＝1：1．⑴求坝底BC 的长；(结果保留根号)⑵为了增强水坝的防洪能力，在原来的水坝上增加高度，使得水坝的上底EF ＝2米，求水坝增加的的高度．(精确到0.1 1.73)【解】⑴由题意得四边形AMND 是矩形，∴MN ＝AD ＝4(米)．∵i 1＝AM BM ，i 2＝DN CN ＝1，∴BM ＝米)，CN ＝DN ＝3(米)． ∴BC ＝BM ＋MN ＋CN ＝4＋3＝7＋米)．AB CDM N 图1图2AB CDM N FE图25.4.6图25.4.5。

华东师大版九年级数学上册课件：24.解直角三角形的应用(方向角、俯角、仰角)

∴ = 2MN = 2
N = 3MN = 3
∆中，∵ ∠BNM = 90°, ∠MBN = 45°
∴ BN = MN = ,
∵AN+BN=AB
BM= 2MN = 2
∴ 3 + = 300(√3 + 1)
∴ = 2 = 600
∴ = 300
∴ = 2 = 300 2
在地平面上取一点C，用测量仪测得点A的仰角为45°，
再向后退20米取一点D，使点D在BC的延长线上，此时测
得点A的仰角为30°，已知测量仪的高为1.5米，求建筑
物AB的高度.

解：∆中， =
=
tan45°

∆中， =
= 3
tan30°
∴ = −
在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：“站
在二楼可以利用解直角三角形测得旗杆的高度
吗？”他望着旗杆顶端和旗杆底部，可以测得
视线与水平线之间的夹角各一个，但是，这两
个角怎样命名区分呢？
【自主学习】阅读教材第113—114页，并完
成下列各题
如图，∠CAE，∠DAE在测量
中各叫什么角呢？
∠CAE叫做仰角
∠DAE叫俯角
为α，AC＝7米，则树高BC为 7tan 米．
2.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大
树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的
底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5
m，则大树的高度为 5 3 + 5 _m(结果保留
根号)．
及时反馈一
1.如图，为了测量顶部不能到达的建筑物AB的高度，先
∴ 与之间的距离为100海里
∴ = 50
（2）已知距观测点D处50海里范围内有暗礁．

解直角三角形的应用：俯角仰角问题 (解析版)

【浙教版】2022年九年级（上）期末复习培优提分专项训练：解直角三角形的应用（俯角仰角问题）1．（2022·浙江绍兴·二模）如图，广场上空有一个热气球，热气球的探测器显示，离这栋楼底部水平距离为BD=30m，从热气球底部A处看这栋高楼底部B的俯角为60°．(1)求热气球A离地面的高度（精确到1m）；(2)当热气球沿着与BD平行的路线飘移20s后到达点C，这时探测器显示，从热气球底部C 处看这栋高楼底部B的俯角为45°，求热气球漂移的平均速度．（精确到0.1m/s，√2≈1.414，√3≈1.732）【答案】(1)52m(2)1.1m/s【分析】（1）根据题意可得∠DBA=60°，再解Rt△ABD即可；（2）过点C作CE⊥BD于点E，则四边形ADEC是矩形，可得CE=52m，再证明BE=CE，从而求出AC=DE，进一步可得出结论．（1）⊥从热气球底部A处看这栋高楼底部B的俯角为60°．⊥∠DBA=60°，在Rt△ABD中，∠DBA=60°，BD=30m，=tan∠DBA,⊥ADBD⊥AD=BD·tan∠DBA=30×√3≈30×1.732≈52(m)，所以，求热气球A离地面的高度约为52m；（2）过点C作CE⊥BD于点E，如图，则四边形ADEC是矩形，⊥CE=AD=52,AC=DE⊥∠ACB=45°，⊥∠EBC=∠ECB=45°,⊥△BCE是等腰直角三角形，⊥BE=CE=52(m)，⊥BD=30m，⊥DE=BE−BD=52−30=22(m)⊥AC=22（m）⊥热气球漂移的平均速度为22÷20=1.1m/s．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用三角函数的知识求解直角三角形．2．（2022·浙江·金华市婺城区教育局教研室模拟预测）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB=100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求：(1)若AD=140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？(2)若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为4:√3，求路线AD的长．【答案】(1)80√3米(2)AD=800米7【分析】（1）过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，在Rt⊥ADF中，根据三角函数求出DF，AF，在Rt⊥CDE中，根据三角函数求出CE，即可得到BC；（2）设CD=√3x，AD=4x，分别求出DF、DE，由DF+DE=EF=100，求出x即可得到AD 的长．（1）解：如图，过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，则四边形ABEF是矩形，⊥AF=BE，EF=AB，在Rt⊥ADF中，AD=140，⊥F AD=30°，AD=70，AF=AD⋅cos30°=70√3，⊥DF=12在Rt⊥CDE中，⊥DCE=60°，DE=EF-DF=100-70=30，=10√3，⊥CE=DEtan60°⊥BC=BE+CE=80√3（米）；（2）设CD=√3x，AD=4x，在Rt⊥ADF中，⊥F AD=30°，AD=2x，⊥DF=12在Rt⊥CDE中，⊥DCE=60°，x，⊥DE=CD⋅sin60°=32⊥DF+DE=EF=100，，解得x=2007⊥AD=4x=800（米）．7【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意构造合适的直角三角形是解题的关键．3．（2022·浙江台州·二模）“测温门”用于检测体温．某测温门截面如图所示，小明站在地面M处时测温门开始显示额头温度，此时在离地1.6米的B处测得门顶A的仰角为30°；当他向前走到N处时，测温门停止显示额头温度，此时在同样高度的点C处测得门顶A的仰角为45°．已知测温门顶部A处距地面的高度AD为2.6米，对小明来说，有效测温区间MN 的长度约为多少米？（结果保留一位小数）．【答案】0.7米【分析】延长BC交AD于点E，则AE=AD-DE=1（米），再求出BE、CE的长，进而可得结果．【详解】解：如图，延长BC交AD于点E，则AE=AD-DE=2.6-1.6=1（米），在Rt⊥ABE中，⊥ABE=30°，⊥BE=√3AE=√3，在Rt⊥ACE中，⊥ACE=45°，=1，∴CE=AEtan45°∴MN=BC=BE−CE=√3−1≈1.73−1≈0.7（米），答：对小明来说，有效测温区间MN的长度约为0.7米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键．4．（2022·浙江台州·二模）2022年2月4日晚，当我国运动员迪妮格尔·衣拉木江和赵嘉文将最后一棒火炬嵌入主火炬“大雪花”中央时，第24届北京冬奥会向世界展示了低碳环保的“点火”仪式，小华有幸在现场目睹这一过程，在“大雪花”竖直升起的某一刻，从小华的位置（点O）观测“大雪花”的顶部A的仰角α为12.8°，底部B的俯角β为15.3°，已知“大雪花”高AB约14.89 m，求小华的位置离“大雪花”的水平距离OC．（结果精确到0.l m，参考数据：tan12.8°≈0.23，sin12.8°≈0.22，tan15.3°≈0.27，sin15.3°≈0.26）【答案】小华的位置离“大雪花”的水平距离OC约为29. 8 m【分析】通过解RtΔAOC和RtΔBOC得AC=OC tan12.8°，BC=OC tan15.3°，再根据AC+BC= AB求出OC的长即可．【详解】解：∵OC⊥AB，∴tanα=ACOC ，tanβ=BCOC，⊥AC=OC tanα，BC=OC tanβ．又AB=14.89 m，且AC+BC=AB∴OC(tanα+tanβ)=14.89,即(0.23+0.27)OC≈14.89，解得OC≈29. 8 m．【点睛】本题考查仰角和俯角的定义，要求学生能借助仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形．5．（2022·浙江宁波·九年级期末）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的点B处的俯角∠FAB=α，点C处的俯角∠FAC=37°，线段AD的长为无人机距地面的高度，点D、B、C在同一条水平直线上，tanα=3，BD=25米．(1)求无人机的飞行高度AD．(2)求河流的宽度BC．（参考数据；sin37°≈0.60，cossin37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】(1)75米(2)75米【分析】（1）在Rt⊥ABD中，由锐角三角函数定义求出AD的长即可；（2）在Rt⊥ADC中，由锐角三角函数定义求出CD的长，即可解决问题．（1）由题意得：AF⊥CD，⊥⊥F AB=⊥ABD=α，⊥F AC=⊥ACD=37°，在Rt⊥ABD中，tan⊥ABD=ADBD，⊥tanα=3，BD=25米，⊥AD=BD•tanα=25×3=75（米），答：无人机的飞行高度AD为75米（2）在Rt⊥ACD中，tan⊥ACD=ADCD，⊥CD=ADtan∠ACD =75tan37°≈750.75=100（米），∴BC=CD−BD=100−25=75（米），答：河流的宽度BC为75米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．6．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，小刚想测量学校的旗杆AB的高度，他先站在C点处观察旗杆顶端A点，测得此时仰角为45°．然后他爬上三楼站在D处观察旗杆顶端A，此时的仰角为30°．已知三楼的高度即CD=10米．请帮小刚计算求出旗杆AB的高度．（小刚的身高不作考虑，最后结果保留根号．）【答案】旗杆AB的高度为(15+5√3)米【分析】过点D作DE⊥AB于点E，证明四边形DCBE是矩形，得BE=CD=10米, 设BC=BA=x，则AE=AB=BE=x-10，通过解直角三角形ADE即可得到结论．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图，⊥∠DEB=90°又∠DCB=∠CBE=90°⊥四边形DCBE是矩形⊥BE=CD=10米，ED=BC⊥∠ACB=45°⊥∠CAB=45°⊥BA=BC设BC=BA=x，则AE=AB=BE=x-10在Rt⊥ADE中，tan∠ADE=AEDE⊥x−10x =tan30°，即x−10x=√33解得，x=15+5√3即AB=15+5√3答：旗杆AB的高度为(15+5√3)米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．7．（2022·浙江金华·九年级期中）某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62）【答案】37.2米【分析】过点D作DH⊥AB，交AB于点H，则四边形HBCD是矩形，设AH=x，在Rt△AHF =tan32°≈0.62，列出方程，解方程求解可得AH，根据AB=AH+HB 中，tan∠AFH=AHHF即可求解．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB，交AB于点H，则四边形HBCD是矩形，设AH=x，∵∠ADH=45°，=AH，∴HD=AHtan∠ADH根据题意可得四边形CDFE是矩形，则CE=DF=22,CD=EF=HB=1.3，=tan32°≈0.62，在Rt△AHF中，tan∠AFH=AHHF≈0.62，∴xx+22解得x≈35.9，∵AB=AH+HB=35.9+1.3=37.2（米）答：嵩岳寺塔AB的高度为37.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确的使用三角函数是解题的关键．8．（2022·浙江台州·一模）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB=100米），沿俯角为30°的方向先滑行140米到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求她滑行的水平距离BC约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.414,√3≈1.732）【答案】138.6米【分析】作DE⊥AB于E于F,DF⊥BC，在Rt△ADE中，根据含30°角的直角三角形的性质求出AE和DE的长，再根据线段的和差关系求出BE长，再证明四边形EBFD为矩形，求出DF 和BF长，然后在Rt△CDF中计算出CF长，最后求BF和CF长之和即可．【详解】解：如图，作DE⊥AB于E,DF⊥BC于F，在Rt△ADE中，⊥∠DAE=90°−30°=60°，⊥∠ADE=90°−∠DAE=30°，AD=70米，AE=12DE=√3AE=70√3米，⊥BE=AB−AE=100−70=30米，∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ABC=90°，⊥四边形EBFD为矩形，⊥BE=DF，DE=BF，⊥DF=30米，BF=70√3米，在Rt△CDF中，⊥∠CDF=90°−60°=30°，DF=10√3米，⊥CF=√33∴BC=80√3≈80×1.732=138.56≈138.6米．答：她滑行的水平距离BC约为138.6米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题：解题的关键是要了解角之间的关系，找到与已知量和未知量相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．9．（2022·浙江台州·一模）如图，为了建设一条贯穿山峰的东西方向隧道AB，在规划中首先需要测量A，B之间的距离．无人机保持离水平道路240m的竖直高度，从点A的正上方点C出发，沿正东方向飞行600m到达点D，测得点B的俯角为37°．求AB的长度．（参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75）【答案】280m【分析】过点B作BE⊥CD于E，则由矩形性质可得BE的长，在Rt△BDE中，由正切可得出DE的长，即可求得．【详解】解：过点B作BE⊥CD于E，⊥四边形ABEC是矩形，⊥BE=AC=240m，AB=CE，，在Rt△BDE中，tan∠BDE=BEDE≈0.75，即：240DE∴DE≈320m，∴CE=CD−DE≈280m，∴AB=CE≈280m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角形函数以及添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．10．（2022·浙江舟山·九年级专题练习）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB=3m，AD=1m，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO=0.2m；当它抬起时，变为平行四边形AB′C′D，如图3所示，此时，A′B′与水平方向的夹角为60°．(1)求点B′到地面的距离；(2)在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；(3)一辆高1.6m，宽1.5m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：√3≈1.73，π≈3.14，所有结果精确到0.1)【答案】(1)2.8m(2)3.1m(3)汽车能安全通过，理由见解析【分析】（1）过点B′作B′N⊥OM于点N，交AB于点E，根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可；（2）根据弧长公式解答即可；（3）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可．（1）解：如图，过点B′作B′N⊥OM于点N，交AB于点E，∵AB′=AB=3，∠BAB′=60°，∴B′E=AB′sin60°=3×√32=3√32≈2.6m，∴B′N=B′E+EN=2.6+0.2=2.8m；（2）∵点C′是点C绕点D旋转60°得到，∴点C经过的路径长为60×π×3180=π≈3.1m；（3）在OM上取MK=0.4m，KF=1.5m，作FG⊥OM于点F，交AB于点H，交AB′于点G，当汽车与BC保持安全距离0.4m时，∵汽车高度为1.6m，∴OF=3−1.5−0.4=1.1m，∵AB//OM，AO⊥OM，∴AH=OF=1.1m，∠AHG=90°，HF=OA=0.2m，∴GH=1.1×tan60°=1.1×√3≈1.903m，∵GH+HF=1.903+0.2≈2.1m>1.6m，∴汽车能安全通过．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数，弧长的计算等知识，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．11．（2022·浙江嘉兴·九年级专题练习）为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速．如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A处时，电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°．（A、B、P、Q在同一平面内）(1)求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）(2)求路段AB的长；（√3≈1.7，结果保留整数）(3)如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当P A过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个测速路段车辆所用的时间是1.5秒．该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？【答案】(1)4米(2)8米(3)不超速，计算过程见详解【分析】（1）先求出∠PBQ的度数，再利用三角函数求BQ的长；（2）通过做辅助线构造直角三角形P AE，结合所给坡度用勾股定理列方程，即可求出路段AB的长；（3）通过做辅助线，构造出Rt△PBQ和Rt△PDB，利用勾股定理求出PB、BD和AD的长，结合题意，再利用三角函数求出测速距离，进而求出车的平均速度，即可判断出是否超速．（1）解：∵电子眼照射在坡角点B处时的俯角为70°，∴∠QPB=90∘−70∘=20∘，∵∠PQB=90∘，∴∠PBQ=70∘，∵PQBQ=tan∠PBQ=tan70∘，∴BQ=PQtan70∘≈112.75=4即路段BQ的长为4米．（2）如图，过点A作AE⊥PQ，垂足为E，过点A作QB的垂线段，交QB的延长线于点G，∵坡AB的坡比为3：4设BG=4x，AG=3x,在Rt△ABG中，根据勾股定理，AB=√AG2+BG2=5x，∵AE=QG=4x+4，EQ=AG=3x，∴PE=PQ−EQ=11−3x，∵电子眼照射在A处时俯角为30°，∠APE=60∘在Rt△PBQ中，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，点D距地面为0.2米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．(1)如图2，当道闸打开至⊥ADC＝45°时，边CD上一点P到地面的距离PE为1.2米，求点P到MN的距离PF的长．(2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至⊥ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）【答案】(1)PF=2米(2)轿车能驶入小区；理由见解析【分析】（1）在Rt⊥PDQ中，由⊥PDQ＝45°，DQ＝PQ＝1，进而求出FP即可；（2）当⊥ADC＝36°，PE＝1.6米时，求出PF，与1.8米比较即可得出答案．（1）解：（1）过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，如图所示：由题意可知，⊥ADC＝45°，PE＝1.2米，QE＝0.2米，在Rt⊥PDQ中，⊥PDQ＝45°，PQ＝1.2−0.2＝1米，∴∠DPQ=90−45°=45°，∴∠PDQ=∠DPQ=45°，⊥DQ＝PQ＝1（米），⊥PF＝EN=AB−DQ＝3−1＝2（米）．（2）当⊥ADC＝36°，PE＝1.6米时，则⊥DPQ＝36°，PQ＝1.6−0.2＝1.4（米），⊥DQ＝PQ•tan36°≈1.4×0.73＝1.022（米），⊥PF＝3−1.022≈1.98（米），⊥1.98＞1.8，⊥能通过．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．13．（2022·浙江宁波·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC=100m，坡面AB的坡比为1:0.7（注：坡比是指坡面的铅垂高度与水平宽度的比），点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角∠DBE，∠DBF分别为45∘，28∘．(1)求山脚A到河岸E的距离；(2)若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin28∘≈0.47，cos28∘≈0.88，tan28∘≈0.53）【答案】(1)山脚A到河岸 E 的距离为30m(2)河宽EF的长为88.7m【分析】（1）由坡比可求AC的长，由平行线的性质可知∠BEC=∠DBE=45°，∠CBE=∠BEC=45°，可知CE=BC，根据AE=CE−AC计算求解即可；（2）由题意知∠BFC=∠DBF=28°，由CF=BCtan28°求出CF的值，根据EF=CF−CE计算求解即可．（1）解：⊥坡面AB的坡比为1:0.7，BC=100m，⊥AC=70m，⊥∠BEC=∠DBE=45°，⊥∠CBE=∠BEC=45°，⊥CE=BC=100m，⊥AE=CE−AC=30m，⊥山脚A到河岸E的距离为30m．（2）解：⊥∠BFC=∠DBF=28°，⊥CF=BCtan28°=1000.53≈188.67m⊥EF=CF−CE≈88.7m．⊥河宽EF的长为88.7m．【点睛】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用．解题的关键在于明确线段的数量关系．14．（上海市闵行区2022-2023学年九年级上期中学期数学试卷）如图，在电线杆上的C处引拉线CE和CF固定电线杆．在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B、E、D在同一直线上），在点A处测得电线杆上C处的仰角为30°．已知测角仪的高AB为√3米，拉线CE的长为6米，求测角仪底端（点B）与拉线固定点（E）之间的距离．【答案】3米【分析】过A 作AM 垂直于CD ，垂足为M ，根据含有30°的直角三角形直角边与斜边的关系和勾股定理求出CM ，根据勾股定理得到DE 的长，由BD 的长减去DE 的长即可求出BE 的长. 【详解】解：如图：过A 作AM 垂直于CD ，垂足为点M ，则AM =BD =6米，MD =AB =√3米，∠AMC =90°， ∵∠CAM =30°， ∴CM =12AC ，∵AC 2−CM 2=AM 2， ∴3CM 2=36， ∴CM =2√3（米）， ∴CD =3√3（米）， ∵CE =6米，利用勾股定理得DE =√CE 2−CD 2=√62−（3√3）2=√9=3（米）， ∴BE =6−3=3（米）．答：测角仪底端（点B ）与拉线固定点（E ）之间的距离是3米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，含有30°的直角三角形直角边与斜边的关系和勾股定理知识点，掌握仰角俯角的概念及30°的直角三角形直角边与斜边的关系是解题的关键．15．（2022·福建·晋江市第一中学九年级期中）八仙阁是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．小明想知道它的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了15.5米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知小明的眼睛离地面高度是1.5米，请聪明的你帮他求出八仙阁AB的高度．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）【答案】八仙阁AB的高度为48米．【分析】证明四边形DCFE，FEGB，DCBG均为矩形．在Rt△AGE和Rt△AGD中，根据三角函数的定义列式计算即可解答．【详解】解：由题意得∠DCB=∠EFB=∠GBF=∠BGD=90°，CD∥EF∥AB，则四边形DCFE，FEGB，DCBG均为矩形．所以BG=EF=CD=1.5米，DE=CF=15.5米，在Rt△AGE中，∠AEFG=∠EAG=45°，则AG=EG．设AG=EG=x米，在Rt△AGD中，tan∠ADG=AGDG，则tan37°=xx+15.5，即3(x+15.5)=4x，解得：x=46.5，所以AG=46.5米，则AB=46.5+1.5=48（米）．答：八仙阁AB的高度为48米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16．（2022·重庆南开中学九年级期中）如图，小开家所在居民楼AC，楼底C点的左侧30米处有一个山坡DE，坡角为30°，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离DE为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为45°，居民楼AC与山坡DE的剖面在同一平面内．(1)求BC的高度；（结果精确到个位，参考数据：√3≈1．73）(2)某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1．25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？【答案】(1)BC的高度约为85米(2)小开能在闭馆前赶到图书馆【分析】（1）如图，作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，解直角三角形即可；（2）根据题意，列算式计算出小开到图书馆所用时间即可．【详解】（1）如图，作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，交CD延长线于点G，得矩形EFCG，⊥EF=CG，EG=FC，根据题意可知：CD=30米，∠BEF=45°，DE=40米，∠EDG=30°，DE=20米，⊥EG=12⊥DG=√3EG=20√3（米），⊥EF=GC=GD+CD=(20√3+30)米，⊥BF=EF=(20√3+30)米，⊥BC=BF+FC=BF+EG=20√3+30+20=20√3+50=85（米），答：BC的高度约为85米；（2）根据题意得：30÷6+40÷4+85÷1.25+3×60=263（秒），⊥263<300，⊥小开能在闭馆前赶到图书馆．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．17．（2021·山东·淄博市淄川第二中学九年级期中）为践行“绿水青山就是金山银山"的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树AB是直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了26米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC，在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E 点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4．(1)求斜坡CD的高；(2)求古树AB的高？（已知sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15≈0.27°）【答案】(1)10米(2)24.3米【分析】(1)过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，根据斜坡CD的坡度(或坡比)i= 1：2.4可设DG=x，则CG=2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而即可求解；(2)由CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM=BG，BM=EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．【详解】（1）解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，⊥斜坡CD的坡度(或坡比)i=1：2.4，BC=CD=26米，⊥DG=x，则CG=2.4x．在Rt△CDG中，⊥DG2+CG2=DC2，即x2+(2.4x)2=262，解得x=10，⊥DG=10米，即：斜坡CD的高为10米；（2）⊥DG=10米，⊥CG=24米，⊥EG=10+0.8=10.8米，BG=26+24=50米．⊥EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，⊥四边形EGBM是矩形，⊥EM=BG=50米，BM=EG=10.8米．在Rt△AEM中，⊥∠AEM=15°，⊥AM=EM⋅tan15°≈50×0.27=13.5米，⊥AB=AM+BM=13.5+10.8≈24.3(米)．答：建筑物AB的高度约为24.3米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．（2022·陕西·西安市铁一中学九年级期中）如图，某学习小组在学习了“利用三角函数测高后”，选定测量小河对面一幢建筑物BC的高度．他们先在斜坡的D处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°，且D离地面的高度DE为9米，坡底的长度EA=21米，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角为45°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高度．（结果精确到1米，参考数据：√3≈1.73）⊥DE⊥EC，BC⊥EC，DH⊥BC，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门AB高6.5米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为30°，当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像头A的仰角为60°，求体温检测有效识别区域CD段的长（结果保留根号）了如下方案（如图）：⊥在点A处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角∠MCE的度数；⊥在点A 与小山之间的B处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角∠MDE的度数（点A，B与N在同一水平直线上）；⊥量出测点A，B之间的距离．已知测倾仪的高度AC=BD=1.5米，为减小误差，他们按方案测量了两次，测量数据如下表（不完整）：(1)写出∠MCE的度数的平均值．(2)根据表中的平均值，求小山的高度．（参考数据：sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40）(3)该小组没有利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，你认为原因可能是什么？（写出一条即可）【答案】(1)22°(2)101.5米(3)小山的影子长度无法测量【分析】（1）根据平均数公式，用两次测量得的∠MCE的度数和除以2即可求解；（2）在Rt⊥MDE中，利用仰角⊥MDE的45°，即可求得ME=DE，在Rt⊥MCE中，利用仰角⊥MCE的正切值，可得ME=CE⋅tan⊥MCE，进而由CE=CD+DE=CD+ME，易知四边形CANE、四边形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，代入即可求出ME的值，然后由MN=ME+NE求解；（3）可根据小山的影子长度无法测量解答即可．（1）=22°，解⊥ ∠MCE的度数的平均值=22.3°+21.7°2答：∠MCE的度数的平均值为22°；（2）解：在Rt⊥MDE中，⊥⊥MDE=45°，⊥⊥DME=⊥MDE=45°，⊥ME=DE，在Rt⊥MCE中，⊥tan∠MCE=ME，CE⊥ME=CE⋅tan⊥MCE，由题意知四边形CANE、四边形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，⊥ME=(CD+DE)⋅tan22°=(150+ME)×0.40，⊥ME=100(米)，⊥MN=ME+NE=100+1.5=101.5(米)，答：小山的高度约为101.5米．（3）答：因为利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，由于小山的内部无法到达，则小山的影子长度无法测量，所以没有用物体在阳光下的影子来测量小山的高度的原因是小山的影子长度无法测量．【点睛】本题考查仰角，要求学生能借助仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30度、45度，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？（结果保留到0.1米）．【答案】此气球有9.7米高【分析】由于气球的高度为P A+AB+FD，而AB=1米，FD=0.5米，可设AP=h，根据题意列出关于h的方程即可解答．【详解】解：设AP=h，⊥∠PFB=45°，⊥BF=PB= h+1，⊥EA= h+6，在Rt△PEA中，P A=AE·tan30°，⊥h=(h+6)tan30°，⊥3ℎ=(ℎ+6)√3，≈8.2米，⊥h=6(√3+1)2⊥气球的高度为P A+AB+FD=9.7米．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解决本题的关键是正确的运用三角函数知识解答．22．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级期末）如图，为了测量山坡上一棵树PQ 的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进100m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C．(1)求⊥BPQ的度数；(2)求树PQ的高度．√3√3测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m，斜坡的倾斜角为α，cosα= 4．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，5D在同一平面内）．(1)求C，D两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：√3≈1.7）∵在Rt△DCE中，cosα=4，CD=15m，筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（B、C、D、E均在同一平面内）．已知斜坡CD的坡度（或坡比）i＝4：3，且点C到水平面的距离CF为8米，在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，求建筑物AB的高度．（参考数据：sin24°＝0.41，cos24°＝0.91，tan24°＝0.45）【答案】建筑物AB的高度为21.7米．【分析】延长AB交直线DE于M，则BM⊥ED，则四边形BMFC是矩形，首先解直角三角形Rt⊥CDF，求出DF，再根据tan24°=AMEM，构建方程即可解决问题．【详解】解：延长AB交直线DE于M，则BM⊥ED，如图所示：则四边形BMFC是矩形，⊥CF⊥DE，在Rt⊥CDF中，⊥CFDF =43，CF=8，⊥DF=6，⊥CD=√62+82=10，⊥四边形BMFC是矩形，⊥BM=CF=8，BC=MF=20，EM=MF+DF+DE=20+6+40=66，在Rt⊥AEM中，tan24°=AMEM，⊥0.45=8+AB66，解得：AB=21.7（米），答：建筑物AB的高度为21.7米．【点睛】本题考查的是矩形的性质、解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．25．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）“太阳鸟”是某市文化广场的标志性雕塑.某“数学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双休日通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息：信息一：在H处用高1.5米的测角仪BH，测得最高点A的仰角为30°．信息二：在F处用同一测角仪测得最高点A的仰角为45°．信息三：测得FH=25米，点D、F、H在同一条直线上．请根据以上信息，回答下列问题：(1)在Rt△ACB中，ACCB =________（填sin30°、cos30或tan30°），⊥ACCB=________．(2)设AC=x米，则CE=________米（用含x的代数式表示）米，BC=________米（用含x 的代数式表示）．(3)“太阳鸟”的高度AD约为多少米？（精确到0.1，√3=1.73）【答案】(1)tan30°，√33；(2)x，（x＋25）；(3)“太阳鸟”的高度AD约为35.6米．【分析】（1）根据锐角三角函数定义及特殊角三角函数值求解即可；（2）易证⊥ACE是等腰直角三角形，四边形EFHB是矩形，可得CE＝AC＝x米，EB＝FH ＝25米，进而可表示出BC的长；（3）根据（1）（2）列式求出AC，然后证明四边形BCDH是矩形，可得CD＝BH＝1.5米，进而可得答案．（1）解：由题意得：在Rt△ACB中，ACCB=tan∠ABC=tan30°，⊥AC CB =√33，故答案为：tan30°，√33；（2）解：设AC=x米，由Rt△ACB可得⊥ACB＝90°，⊥⊥AEC＝45°，⊥⊥ACE是等腰直角三角形，⊥CE＝AC＝x米，由题意得：BH＝EF，BH∥EF，⊥四边形EFHB是平行四边形，又⊥BH⊥FH，即⊥H＝90°，⊥平行四边形EFHB是矩形，⊥EB＝FH＝25米，⊥BC＝CE＋EB＝（x＋25）米，故答案为：x，（x＋25）；（3）解：由（1）（2）可得：xx+25=√33，解得：x=25√3+252，经检验，x=25√3+252是分式方程的解，⊥AC＝25√3+252米，⊥⊥ACB＝90°，⊥⊥DCB＝90°，又⊥⊥D＝⊥H＝90°，⊥四边形BCDH是矩形，⊥CD＝BH＝1.5米，⊥AD＝AC＋CD＝25√3+252＋1.5≈35.6米，答：“太阳鸟”的高度AD约为35.6米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．26．（2022·山东聊城·中考真题）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图⊥）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图⊥所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正。

28.2.2解直角三角形的应用仰角与俯角

3、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
30°
三角函数
sin a
1
2
45°
60°
2
2
3
2
cos a
3
2
2
2
tan a
3
3
1
1
2
3
向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
铅垂线
视线
水平线
仰角
俯角
视线
情境问题1.
如图，某飞机于空中A处探测到地面目标C，此时飞行高度
x
B
30°
400米
A
解题思想与方法小结：
1.将实际问题转化为解直角三角形的问题，如
果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助
线，构造出直角三角形. （转化思想）
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数
或方程去解直角三角形。
（数形结合思想）
（方程思想）
布置作业：
1、课本78页第3/4/8题。
2、练习册：第2课时。

=

CE=120
E
A
30米
CD=30+120
B
120米
D
？
小试牛刀!
1、如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观察
旗杆顶部A的仰角为60°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆
的高度. （结果保留根号）
巩固提升一：
热气球的探测器显示，从热
气球看一栋高楼顶部的仰角为
AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角为300，求飞机A

07-26.4 解直角三角形的应用-课时1 仰角、俯角与方位角问题九年级上册数学冀教版

.在中，，，，解得，，这段河的宽度是 .
6.[2023郴州中考]如图，某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离.（参考数据：，．结果精确到）
解：由题意,得，， .如图，过点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于点，当船航行至点处时，与小岛的距离最近，此时
第4题图
【解析】如图，设出发小时后甲船在乙船的正东方向,此时甲船行驶到点，乙船行驶到点，此时海里，海里.连接 , 交于点.在中，，（海里）.在中，，海里，，解得 .
5.新情境[2024唐山期中]为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为．如图，为桌面，嘉琪同学眼睛看作业本的俯角为，身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．
①③④
害．其中正确的是________．（填写序号,参考数值：, ）
【解析】过点作，垂足为，则，米，在中，，（米），（米），（米），故②不正确；在中，（米），（米），故①正确；（米），，若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向，会对教学楼有影响，故③正确；（米），，若第一次在距点米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害，故④正确.
B
第1题图
A. 海里 B. 海里 C.50 海里 D.25 海里
【解析】如图，根据题意，得，，，，为等腰直角三角形. （海里），（海里）．
【归纳总结】解答这类问题的关键是分清方位角，将已知的条件进行整合，利用三角函数的相关知识将已知和未知联系起来.
第2题图
2.[2023泰安中考]在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前处，测得该塔顶端的仰角为，后退到处有一平台，在高的平台上的处，测得的

72442仰角俯角与解直角三角形的应用

在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做_仰__角___；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做__俯__角____．
知识点：仰角、俯角与解直角三角形 1．(2014·株洲)孔明同学在距某电视塔塔底水平距离 500 米处，看塔顶的仰角为 20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为_1__8_2__ 米．(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈ 0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475)
11．(2014·哈尔滨)如图，AB，CD 为两个建筑物，建筑物 AB 的高度为 60 米，从建筑物 AB 的顶部 A 点测建筑物 CD 的顶部 C 点的俯角∠EAC 为 30°.测得建筑物 CD 的底部 D 点的俯角∠EAD 为 45 °. (1)求两建筑物底部之间水平距离 BD 的长度； (2)求建筑物 CD 的高度．(结果保留根号) 解：(1)根据题意得，BD∥AE，∴∠ADB＝∠EAD＝45°，∵∠ABD ＝90°，∴∠BAD＝∠ADB＝45°，∴BD＝AB＝60，∴两建筑底部之间水平距离 BD 的长度为 60 米 (2)延长 AE，DC 交于点 F，根据题意得四边形 ABDF 为正方形，∴ AF＝BD＝DF＝60，在 Rt△AFC 中，∠FAC＝30°，∴CF＝AF·tan ∠FAC＝60× 33＝20 3，又∵FD＝60，∴CD＝60－20 3，∴建筑物 CD过点 C
作 CN⊥EF 于点 N，∴MN＝0.25 米，∵∠EAM＝45°，
∴AM＝ME，设 AM＝ME＝x 米，则 CE＝(x＋6)米，EN＝(x－0.25)
米， ∵ ∠ ECN ＝ 30 ° ， ∴ tan ∠ ECN ＝ ECNN ＝ x－x＋0.625 ＝
7．(2014·广州)如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30°，然后沿 AD 方向前行