人教a版数学【选修2-2】2.3《数学归纳法》ppt课件

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2.3《数学归纳法》课件(人教A版选修2-2)

程组，求a、b、c的值．
【解析】选A．n=1时,3a-3b+c=1;n=2时,18a-
9b+c=7;n=3时,81a-27b+c=34求出a、b、c即得．
4.（15分）由下列不等式：1＞ 1 ，1+ 1 + 1 ＞1，1+ 1 + 1
+…+ 1 ＞
3
，1+
1
+
1
+…+
2
23
23
1 ＞2，…，你能得到一个怎样
（1）求证：cos A是有理数;
（2）求证：对任意正整数n,cosnA是有理数. 【证明】（1）设三边长分别为a,b,c,cosA= b2 +c2 -a2 , ∵a,b,c
2bc
是有理数，b2+c2-a2是有理数，分母2bc为正有理数，又∵有理数集对于除法具有封闭性， ∴ b2 +c必2 -a为2 有理数，∴cosA是有理数.
1 2k +1
+
1 2k +2
+L
+
1 2k+1
5.已知f（n）= 1 + 1 + 1 L + 1 ，则f（n）中共有
n n+1 n+2
n2
__________项．
【解析】观察发现f（n）中项数共有n2-（n-1）=n2-n+1.
答案：n2-n+1
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）
6.（2010·江苏高考）已知△ABC的三边长都是有理数.
f（2n）＞ n
23
n
时，f（2k+1）-f（2k）等于___________．

(人教A版)数学【选修2-2】2-3《数学归纳法》ppt课件

2．对数学归纳法的步骤的理解用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的．如果只有步骤(1)而缺少步骤(2)，作出的判断可能是错误的，单靠步骤(1)也无法递推下去．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也可能得出不正确的结论．例如，假设n＝k时，等式 2＋4＋6＋„＋2n＝n2＋n＋1成立，就是 2＋4＋6＋„＋2k＝k2＋k＋1. 那么2＋4＋6＋„＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k ＋1)2＋(k＋1)＋1.
规律技巧此类题在考试中经常出现，它是考查探究归纳能力的好素材，应切实掌握.
三
与自然数有关的应用问题
【例3】
(整除问题)用数学归纳法证明：(3n＋1)· 7n－1(n
∈N*)能被9整除．【分析】成立； (2)假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．按照数学归纳法证明步骤：(1)先证n＝1时命题
1 ＝2k(3k－1)＋3k＋1 1 2 ＝2(3k ＋5k＋2) 1 ＝2(k＋1)(3k＋2) 1 ＝2(k＋1)[3(k＋1)－1]．即n＝k＋1时等式也成立．综上，由(1)与(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．
规律技巧
用数学归纳法证明数学命题，关键要看两个步
骤是否齐全，特别是第二步的归纳假设是否被利用，若没有利用归纳假设，那就不正确.
第二章
推理与证明
§2.3 数学归纳法
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识夯实基础
自学导引了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
课前热身数学归纳法只适用于与__________有关的命题，其步骤为： (1)(归纳奠基)__________； (2)(归纳递推)假设__________时命题成立，证明 __________命题也成立．只有完成这两步骤，就可断定，命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

高中数学人教A版选修2-2课件第二章 2.3 数学归纳法

−
2��1+2.
答案:D
目录退出
2.用数学归纳法证明 13+23+33+…+n3=��2(n4+1)2(n∈N*).
证明:(1)当 n=1 时,左边=13=1,右边=12×422=1, ∴等式成立;
(2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,
即 13+23+33+…+k3=��2(k4+1)2,
+
1 3��+4
−
1 ��+1
>
25 24
+
1 3��+2
+
1 3��+4
−
2 3(��+1)
.
目录退出
因为 1
3��+2
+
1 3��+4
=
6(��+1) 9��2+18k+8
>
6(��+1) 9��2+18k+9
+
1 2��+2
D.2��1+1
−
1 2��+2
解析:f(n+1)=��+1 2
+
��+1 3+…+21��
+
1 2��+1
+
2��1+2,
∴f(n+1)-f(n)=2��1+1

高中数学 2.3数学归纳法新人教A版选修2-2

2．3 数学归纳法
ppt课件
研题型学方法
ppt课件
题型一用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明 1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝12n(3n－1)(n∈N*)．分析：按数学归纳法的解题步骤进行证明，要清楚等式两边的结构，特别当 n＝1 时，等式两边分别是什么？当 n＝k 到 n＝k＋1 等式两边发生了什么变化，这是解题的关键．
ppt课件
题型三用数学归纳法证明整除问题
求证：an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被 a2＋a＋1 整除．分析：对于多项式 A，B，如果 A＝BC，C 也是多项式，那么 A 能被 B 整除．证明：(1)当 n＝1 时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．
ppt课件
ppt课件
＝21(3k2＋5k＋2) ＝21(k＋1)(3k＋2) ＝21(k＋1)[3(k＋1)－1]．即 n＝k＋1 时等式也成立．综上，由(1)与(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
ppt课件
规律方法：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的结构规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关系．由“n＝k”到“n＝k＋1”时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
根据(1)和(2)，可知等式对任何 n∈N*都成立．
ppt课件
题型二用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明：1＋12＋31＋…＋2n－1 1<n(n∈N*，n>1)．分析：利用数学归纳法，n＝k 到 n＝k＋1 时增加的项有21k＋2k＋1 1
＋…＋2k＋11－1. 证明：(1)当 n＝2 时，左边＝1＋21＋13，右边＝2，左边<右边，不等式成立．

数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2)

20
山东省临沂第一中学
练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题练习下面是某同学用数学归纳法证明命题
1 1 1 n + +L+ = 1• 2 2 • 3 n • ( n + 1) n + 1
的过程.你认为他的证法正确吗为什么的过程你认为他的证法正确吗?为什么你认为他的证法正确吗
1 1 = , 右边 (1).当n=1时,左边左边= 右边= 当时左边 1 • 2 2
12
山东省临沂第一中学
思考6 数学归纳法由两个步骤组成，思考6：数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是归纳奠基第二步是归纳递归纳奠基，中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递完成这两个步骤的证明，推，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？决了什么问题？逐一验证命题对从n 逐一验证命题对从n0开始的所有正整数都成立. n都成立.
山东省临沂第一中学
2.3 数学归纳法
临沂一中数学组
1
问题提出
山东省临沂第一中学
1.归纳推理的基本特征是什么？ 1.归纳推理的基本特征是什么？归纳推理的基本特征是什么由个别事实概括出一般结论. 由个别事实概括出一般结论. 2.综合法， 2.综合法，分析法和反证法的基本思综合法想分别是什么？想分别是什么？综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 反证法：假设结论不成立，反证法：假设结论不成立，推出矛盾得证明. 证明.
9
探究（探究（二）：数学归纳法的基本原理
山东省临沂第一中学
an 思考1 已知数列{a 思考1：已知数列{an}满足 an + 1 = 1 + an 1 a n∈N*），假设当n ），假设当（n∈ ），假设当n＝k时，k = ，

人教A版高中数学选修2-2课件 2.3数学归纳法课件1

自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
(2)由此猜想出：bn＝2n－1(n≥1)为数列的通项公式，用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，b1＝2×1－1＝1，公式成立； ②假设当 n＝k 时，公式成立，即 bk＝2k－1. 那么 bk＋1＝Bk＋1－Bk＝14(bk＋1＋1)2－14(bk＋1)2，整理得(bk＋1－1)2＝(bk＋1)2，故 bk＋1＝1±(bk＋1)，
数学选修2-2
第二章推理与证明
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
(2)应用数学归纳法应注意： ①数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明． ②验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可； ③在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法．
证明： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立． ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即1＋5＋9＋…＋(4k－3)＝k(2k－1)．则当n＝k＋1时，左边＝1＋5＋9＋…＋(4k－3)＋(4k＋1) ＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1) ＝[2(k＋1)－1](k＋1)＝右边， ∴当n＝k＋1时，命题成立．由①②知，对一切n∈N*，命题成立．
数学选修2-2
第二章推理与证明
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
3 ．数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，满足 2Sn ＝ a ＋ n ， an>0(n∈N*)，
(1)求a1，a2，a3的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

【人教.高中.数学】选修2-2：第二章2.3数学归纳法【PPT课件】

答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6

类型 4 归纳—猜想—证明(规范解答)
[典例 4] (本小题满分 12 分)在数列{an}中，a1＝2， an＋1＝ban＋bn＋1＋(2－b)2n(n∈N*)，b＞0.
(1)求 a2，a3，a4； (2)猜想数列{an}的通项公式并加以证明．审题指导：(1)根据 an 与 an＋1 的递推关系，分别令 n

2．“假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”这一归纳假设起着已知条件的作用，“n＝k＋1 时命题也成立”则是求证的目标．在证明“n＝k＋1 时命题也成立”的过程中，必须利用归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出 n＝k＋1 时命题也成立．

(2)在推证“n＝k＋1 时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．

[变式训练] 用数学归纳法证明：212＋312＋412＋…＋n12 ＜1－n1(n≥2，n∈N*)．
证明：(1)当 n＝2 时，左式＝212＝14，右式＝1－12＝12. 因为14＜12，所以不等式成立．

即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3 能被 9 整除．则当 n＝k＋1 时， (k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋ [(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝ [k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．
答案：B

3．用数学归纳法证明 1＋q＋q2＋…＋qn＋1＝qnq＋－2－1 q
(n∈N*，q≠1)，在验证 n＝1 等式成立时，等式左边的式
子是( )
A．1

高二数学人教A版选修2-2第二章2.3 数学归纳法课件(共37张PPT)

数学归纳法
定义及其简单应用
从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马。第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马。
（ C ）。
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
3.用数学归纳法证明：1 a a2 ... an1
1 an2 ( a 1 )，在验证n＝1时，左端计算所得项 1a
为 _________
A .1
B .1 a
C .1 a a2
D .1 a a2 a3
3.用数学归纳法证明：1 a a2 ... an1
问题反思
1.数学归纳法的步骤(原理)中关键及难点是什么? 2.有人说：“数学归纳法使无限与有限间实现了平衡”，你怎样理解这句话？
ห้องสมุดไป่ตู้ 课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
思考
1.这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：
(1)第一块骨牌倒下； (2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
2.你认为条件(2)的作用是什么？
知识归纳
数学归纳法的一般步骤(原理)：
知识归纳
数学归纳法的一般步骤(原理)：
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题

高中数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2)

利用到假设
根据(1)和都成立. 根据和(2),可知等式对任何 n ∈ N 都成立可知等式对任何错误原因：由证明错误原因：由证明n=k+1等式成立等式成立没有用到n=k命题成立的归纳假设命题成立的归纳假设时没有用到命题成立的
思考
1 1 1 1 , ，已知数列 , , · · ·， n－ 2)(3 n + 1) (3 − 1× 4 4 × 7 7 ×10
(2)(归纳递推) (2)(归纳递推)是递推的依据归纳递推 n＝ k时命题成立．作为必用的条件运用，命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、利用假设及已知的定义时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明
求证: n+1)(n+2)…(n+n)=2 (2n例、求证:(n+1)(n+2) (n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1) (2n
请问：请问：步中“ n=k+1时的证明可否改换为：第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+ +(2k-1)+[2(k+1)1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1) +(2k1+3+5+ +(2k +(2k = （k +1)[1+ (2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？为什么？
证明： n=1时左边=1+1=2 右边=2 1=2 左边=右边， =1+1=2， 1=2，证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。式成立。时有： ② 假设当n=k((k∈N ）时有：假设当 (k+1)(k+2)…(k+k) (k+k)= (2n-1), (k+1)(k+2) (k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), n=k+1时当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3) =(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) 左边=(k+2)(k+3) (k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) (k+k) （2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k) k+1)(k+2)(k+3) (k+k)•

人教A版高中数学选修2-2课件：第二章 2.3数学归纳法 (共75张PPT)

不要对挫折叹气，姑且把这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。学做任何事得按部就班，急不得。
一定不要把别人都当傻子，事实上，所有你能遇到的人都比你聪明。如果你能抱着这样的心态为人处世，那么你的人脉会越来越宽，财富越来越多，人生也就越来越好！青春一经“典当”，永不再赎。同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。不要因为众生的愚疑，而带来了自己的烦恼。不要因为众生的无知，而痛苦了你自己。就算你的朋友再多，人脉再广，其实真正对你好的人，你一辈子也遇不到几个。眼中闪烁的泪光，也将化作永不妥协的坚强。相信就是强大，怀疑只会抑制能力，而信仰就是力量。没有哪一个聪明人会否定痛苦与忧愁的锻炼价值。不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。天才是由于对事业的热爱感而发展起来的，简直可以说天才。树立必信的信念，不要轻易说“我不行”。志在成功，你才能成功。雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。人越是高兴的事情，越爱隐藏；越是痛苦的事情，越爱小题大作。现实很近又很冷，梦想很远却很温暖。目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。别太注重自己和他人的长相，能力没写在脸上。如果你不是靠脸吃饭，关注长相有个屁用！走得最慢的人，只要他不丧失目标，也比漫无目的地

《数学归纳法》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第2.3课时)

k
新知探究
继续解答……
这样，对于猜想，由已知n=1成立，就有n=2也成立；n=2成立，就有n=3也成立； n=3成立，就有n=4也成立； n=4成立，就有n=5也成立······所以，对任意的正整数n，猜想都成立.
此猜想正确，即
此数列的通项公式an
=
1 n
.
新知探究
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：归纳奠基 1.证明当n取第一个值n0 时命题成立；归纳递推 2.假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
)，
此数列的通项公式是什么？
1 通过对n=1，2，3，4前4项的归纳，我们已经猜出其通项公式为 an = n .
课前导入
这个猜想对前4项成立，但是，能肯定它对后续的项也成立吗？这个猜想需要证明，自然地，我们会想到从n=5开始一个个往下验证.
这个方法可行吗?
课前导入
我们来分析此方法：
一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n比较大时，验证起来会很麻烦.特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.因此，从n=5开始逐个往下验证的想法价值不大.我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立.
新知探究
注意
用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而第二步主要在于合理运用归纳假设，即以“n=k时命题成立”为条件，结合其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”.不能不使用 “n=k时命题成立”这个条件，而直接将n=k+1代入命题，便断言此时命题成立因为这样的“证明”并不推出递推关系：
这种证明方法就叫做数学归纳法.

高中数学人教A版选修2-2课件：2-3 数学归纳法

分析:求f'(x)→得到式子an+1≥(an+1)2-1→利用数学归纳法证明 an≥2n-1(n∈N*)
2 ∴an+1≥(an+1)2-1= �� + 2��.
1 3
栏目导引
第一章典例透析三角函数
题型一题型二题型三题型四
【变式训练 2】用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数 n, 不等式 1 +
栏目导引
重难聚焦
第一章
三角函数
(3)正确寻求递推关系. 我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的,如何寻求递推关系呢? ①在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的. ②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察n 处在哪个位置. ③在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.
栏目导引
第一章典例透析三角函数
题型一题型二题型三题型四
证明:(1)当 n=2
右边. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立, 即 111 4 1 右边 4
=
2+1 2×2
=
3 , 所以左边= 4
11 9
1 9
· … · 11 ��
2
1 ��
所以当 n=k+1 时等式也成立. 综合(1)(2)知,对任意 n≥2,n∈N*等式恒成立.
栏目导引
第一章典例透析三角函数
题型一题型二题型三题型四
【变式训练 1】用数学归纳法证明 12+32+52+…+(2n-1)2=

(vip免费)【数学】2.3 《数学归纳法》课件(新人教A版选修2—2)

孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。
谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法，肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的成绩一直稳定在年级前5名左右。
3、阅读教材中的多米诺骨牌游戏并回答：能使所有的牌倒下的条件是什么？
两个基本条件：（1）要推倒第一块牌；（2）第一块牌倒下能导致后一块牌倒下，
（连续性）
研读教材
研读教材 P92-P93 思考
1.数学归纳法的定义 2.数学归纳法适用范围是什么? 3.数学归纳法的步骤(原理)是什么? 4.数学归纳法的步骤(原理)中关键及难点是什么? 5.有人说“: 数学归纳法使无限与有限间实现了平衡”, 你怎样理解这句话？
增乘的代数式为
（B）
A．3k + 1
B．2 (2k + 1)
C．2k 1 k 1
D．2k 3 k 1
课堂练习
4．等式 12 + 22 + 32 +…+ n2 = 1 (5n2 7n 4)
2
（）
A．n 为任何正整数时都成立
B．当 n = 1，2，3 时成立
C．当 n = 4 时成立，n = 5 时不成立
高考总分:711分毕业学校:北京八中语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：北京大学光华管理学院

人教A选修2-211-12学年高二数学：2.3 数学归纳法课件(人教A版选修2-2)

用数学归纳法证明：凸 n 边形的对角线的条数为：f(n)＝ 1 n(n－3) (n≥3)． 2
[证明] 命题成立． 1 假设 n＝k(k≥3)时，命题成立，即 f(k)＝ k(k－3)， 2 则当 n＝k＋1 时， k 边形由原来的 k 个顶点变为 k 凸＋1 个顶点，对角线条数增加 k－1 条． ∵三角形没有对角线，∴n＝3 时，f(3)＝0，
1 (1)当 n＝1 时，f(1)＝1＋，原不等式成立． 2 (2)设 n＝k(k∈N*)时，原不等式成立． k 1 1 1 1 即 1＋ ≤1＋＋＋„＋ k≤ ＋k 成立 2 2 3 2 2
当 n＝k＋1 时， 1 1 1 f(k＋1)＝f(k)＋ k ＋ k ＋„＋ k＋1 2 ＋1 2 ＋2 2 k 1 1 1 ≥1＋2＋ k ＋＋„＋ k＋1 2 ＋1 2k＋2 2 k 1 1 1 >1＋2＋ k＋1＋ k＋1＋„＋ k＋1 2 2 2 k＋1 k 1 ＝1＋2＋2＝1＋ 2 1 1 1 f(k＋1)＝f(k)＋ k ＋ k ＋„＋ k＋1 2 ＋1 2 ＋2 2

∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1) 又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1 ∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1) 由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xn ＋yn 能被x＋y整除.
[例4] 平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个及以上的圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2－n＋2(n∈N*) 个区域． [分析] 本题关键是弄清第k＋1个圆与前k 个圆的交点个数，以及这些交点又将第k ＋1个圆分成了多少段弧，每一段弧又是怎样影响平面区域的划分的．
1 1 1 1 ＝＋＋„＋＋ . k＋2 k＋3 2k＋1 2k＋2 即当 n＝k＋1 时，等式也成立．综合(1)、(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立.

2019人教版高中数学选修2-2课件：2.3 数学归纳法(共37张PPT)

预习探究
知识点数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n 有关的命题P(n),可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值 n0(n0∈N*) 时命题成立; (2)(归纳递推)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n= k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法叫作数学归纳法.
[答案] C [解析]由已知得n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有n=n0+1时命题成立;在n=n0+1时命题成立的前提下,又可推得n=(n0+1)+1时命题也成立,依此类推,可知选C.
当堂自测
[答案] B [解析] 当n=k时,左边 =12+22+…+(k-1)2+k2+(k-
1)2+…+22+12,①
证明：令a＝2，b＝2n－1(n∈N*)，当n＝1时，f(2)＝2＝1×21；当n＝2时，f(2×2)＝f(22)＝2f(2)＋2f(2)＝ 2×22；当n＝3时，f(2×22)＝2f(22)＋22f(2)＝3×23； ……
猜想f(2n)＝n·2n(n∈N*)．(*)
备课素材
用数学归纳法证明如下： (1) 当n＝1时，f(2)＝1×2，(*)式成立， (2)假设n＝k时(*)式成立，即f(2k)＝k·2k，当n＝k＋1时，f(2k＋1)＝f(2×2k)＝2f(2k)＋ 2kf(2)＝2×k×2k＋2k×2＝k×2k＋1＋2k＋1＝(k＋1)×2k＋1， ∴n＝k＋1时，(*)式成立. 由(1)(2)知，对n∈N*，f(2n)＝n·2n成立．所以Un＝f(2n)＝n·2n(n∈N*)．要证明结论成立，只需证明Un＋1－Un>0(n∈N*)， ∵Un＋1－Un＝(n＋1)·2n＋1－n·2n＝2n(n＋2)>0，∴Un＋1>Un.

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数学归纳法温故知新回顾复习归纳推理的定义、步骤及其所得结论的正确性如何．

新知导学 1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立．第一个值n0(n0 ∈N*) ②(归纳递推)假设___________________ 时命题成立，证明当 n＝k＋1时命题也成立． n＝k(k≥n0，k∈N*)
牛刀小试 1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案] C [解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋ 3.故应选C.
[ 解析 ]
自变量的取值依次为 2,4 ＝ 22,8 ＝ 23,16 ＝ 24,32 ＝
25，„故为 2n.右边分母全为 2，分子依次为 3,4,5,6,7，„，故 n＋2 n n＋2 右边为 2 ，即 f(2 )> 2 .
典例探究学案
数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式
1 1 1 证明：＋＋„＋＝ 1×3 3×5 2n－12n＋1 n .(n∈N*) 2n＋1
1 1 1 1 n 2．用数学归纳法证明1· 2＋2· 3＋3· 4＋„＋nn＋1＝n＋1(n ∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是 ( ) 1 A． kk＋1 1 C． k k ＋2 1 1 B．＋ kk＋1 k＋1k＋2 1 D． k＋1k＋2
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
1 1 1 4．(2013· 华池一中高二期中)已知 f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n 3 5 7 ∈N )，计算得 f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，由
*
此推测，当 n>2 时，有________． n n＋2 [答案] f(2 )> 2
[分析] 第一步验证 n 取第一个正整数 1 时等式成立，第二步假定 n＝k(k∈N*)时命题成立，即 1 1 1 k ＋＋„＋＝成立，并以此作 1×3 3×5 2k－12k＋1 2k＋1 1 1 1 为条件来推证等式＋＋„＋＋ 1×3 3×5 2k－12k＋1 k＋1 1 ＝成立． 2k＋12k＋3 2k＋1＋1
[方法规律总结] 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋ 1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝 n＝k＋1证明目标的表达式变形．
1 1 1 [证明] (1)当 n＝1 时，左边＝＝3，右边＝＝ 1×3 2×1＋1 1 3，左边＝右边，所以等式成立． (2)假设 n＝k(k≥1)时等式成立，即有 1 1 1 k ＋＋„＋＝， 1×3 3×5 2k－12k＋1 2k＋1
则当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 ＋＋„＋＋ 1×3 3×5 2k－12k＋1 2k＋12k＋3 k2k＋3＋1 1 k ＝＋＝ 2k＋1 2k＋12k＋3 2k＋12k＋3 2k2＋3k＋1 k＋1 k＋1 ＝＝＝ . 2k＋12k＋3 2k＋3 2k＋1＋1 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立．由(1)、(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
1 1 1 127 3．用数学归纳法证明不等式 1＋2＋4＋„＋ n－1> 64 成立 2 时，起始值 n 至少应取为( A．7 C．9
[答案] B
) B．8 D．10
[解析 ] 127 64
1 1 1 ∵ 1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ „ ＋ 7 －1 ＝ 2
1 1－27
7 1 2 －1 1 ＝ 2 － 26 ＝ 26 ＝ 1－2
(3)用数学归纳法证明中一个关键问题就是要抓住项数和项的增减变化，如证明恒等式和不等式中，n＝1时究竟有几项，从n＝k到n＝k＋1，项有哪些变化，添了几项，减了几项．

思维导航根据数学归纳法的定义思考下列问题： (1)在数学归纳法的定义中为何首先要验证初始值n0? (2)第二步证明n＝k＋1时为何必须应用n＝k时的假设？ (3)验证的初始值n0怎样确定？若要证明2n>n2成立，则要验证的初始值n0是什么？ (4)用数学归纳法证明恒等式和不等式时怎样来找从n＝k到n ＝k＋1项数的变化？
[答案] D
1 1 1 [解析] 当 n＝k 时，等式左边＝1· 2＋2· 3＋„＋kk＋1 1 1 1 当 n ＝ k ＋ 1 时，等式左边＝ 1· 2 ＋ 2· 3 ＋ „ ＋ kk＋1 ＋ 1 k＋1k＋2 1 两者比较需添加的项为 . k＋1k＋2 故应选 D.
2．应用数学归纳法时特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与__________ 有关的命题．正整数n (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．其中，第一步是递推的________，验证n＝n0时结论成立的基础 n0不一定为1，根据题目要求，有时可为 2、3等；第二步是递推的_______，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．依据另外，归纳假设中要保证n从第一个数n0开始，即假设n＝ k(k≥n0)时结论成立，括号内限制条件改为k>n0就错了．
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章
2．3 数学归纳法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
备选练习
自主预习学案
理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证题步骤．
重点：数学归纳法的原理及步骤．难点：用数学归纳法证题的步骤、技巧．