自动控制原理第8章
精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
自动控制原理第八章非线性控制系统
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
自动控制原理第八章
2.非线性系统的一般数学模型
f (t , d y dt
n n
,
dy dt
, y ) g (t ,
d r dt
m
m
,
dr dt
, r)
其中，f (· )和g (· )为非线性函数。
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 23
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 5
（1）当初始条件x0＜1时，1－x0＞0，上式具有负的特
征根，其暂态过程按指数规律衰减，该系统稳定。 （2）当x0=1时，1－x0=0，上式的特征根为零，其暂 态过程为一常量。 （3）当x0＞1时，1－x0＜0，上式的特征根为正值，系 统暂态过程按指数规律发散，系统不稳定。 系统的暂态过程如图所示。 由于非线性系统的这种性质， 在分析它的运动时不能应用 线性叠加原理。
非线性弹簧输出的幅频特性
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 11
实际中常见的非线性例子
实际的非线性例子：晶体管放大器有一个线性工作范围，
超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；有时，工程上
还人为引入饱和特性用以限制过载；
电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输
2012-6-21
《自动控制原理》 第八章 非线性系统
16
系统进入饱和后，等效K↓
% ( 原来系统稳定，此时系 统一定稳定） （原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 振荡性 限制跟踪速度，跟踪误 差 ，快速性
自动控制原理第8章
f(x, x) f(x, x) 或 f(x, x) f(x, x)
即 f(x, x)是关于 xx
x
自动控制原理
9
(2)相平面图上的奇点和普通点
相平面上任一点(x, x)，只要不同时满足 x 0和 f(x, x) 0 ， 则该点的斜率是唯一的，通过该点的相轨迹有且仅有一条， 这样的点称为普通点。
中心点
jω
vortex or center
σ
x
x
中心点
鞍点
jω
x
saddle point
σ
鞍点
x
自动控制原理
21
j λ2 λ1 0
节点 node
j 0
j
0 λ1 λ2
不稳定节点 unstable node
j
0
稳定焦点 stable focus
j
不稳定焦点 unstable focus
j
0
λ1 0 λ2
此系统将具有振荡发散状态。
终将趋于环内平衡点，不会产生自振荡。
自动控制原理
25
例8-3 x 0.5x 2x x2 0
解： x dx 0.5x 2x x2 0 dx
试分析稳定性。
则：
dx dx
0.5x 2x x
x2
0 0
有:
0.5x 2x x2 0
x 0
-2
x
0x
奇点位置：
如果把相变量x视为位移，于是 x 和 x 可以理解为速度和
加速度。在奇点处，由于系统的速度和加速度均为零，因
此奇点就是系统的平衡点equilibrium point 。
自动控制原理
20
系统奇点的分类
自动控制原理-第8章非线性控制系统
8非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u为电机的控制电压，纵坐标为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A1OA2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B1OB2区段•那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件（如晶体管、铁心等）都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
常见典型非线性特性有饱和非线性、死区非线性、继电非线性、间隙非线性等。
自动控制原理第8章_非线性控制系统分析
B1 1 3 2 N ( A) A A 2 16
8.2.3 典型非线性特性得描述函数
1.饱和特性的描述函数
X(t) X(t)
kA sin t 0 ω t 1 x(t ) ka b ω t 1 2
X(t)是单值奇函数，所以A1=0
非线性环节的描述函数总是输入信号幅值A的函数， 一般也是频率的函数，因此，描述函数一般记为
N ( A, j )
非线性元件的描述函数或等效幅相频率特性与输入 的正弦振荡的振幅A有关，这是非线性特性本质的反 映。它与线性环节的情况正好相反，线性环节的幅 相特性（频率特性）与正弦输入的幅值无关。
8.2.2描述函数
4 B1 [ kA sint sinω td (ω t ) ka sinω td (ω t )] π
1
e(t)
0
4kA 4ka sin2 d π π
1
2
1
0
4kA 1 1 4ka ( sin 2 1 ) cos 1 2 4
2k a a a A[arcsin( ) 1 ( )2 ] A A A
8.1.4
继电器特性
8.1.4
继电器特性
(t ) 0 m a e(t ) a, e 0 , 0 , (t ) 0 a e ( t ) m a , e x(t ) bsign[e(t )], e(t ) a b , e(t ) m a, e (t ) 0 (t ) 0 b , e(t ) m a, e
（6）气动或液压滑阀的搭接段。 放大器的输出饱和或输出限幅
8.1.3
自动控制原理-第8章 非线性控制系统教案
8 非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
图8-1 伺服电动机特性8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
自动控制原理
山东理工大学教案第34 次课教学课型：理论课√实验课□习题课□实践课□技能课□其它□主要教学内容（注明：* 重点# 难点）：①§8－5 相平面法（下）（*）（＃）D、奇点与奇线E、由相轨迹求取时间间隔②§8－6 非线性系统的相平面分析③第8章小结教学目的要求：①正确理解奇点的概念与类型，并能作出判断；②正确理解极限环的概念与类型；③掌握相轨迹求取时间间隔的方法；④正确理解非线性系统的相平面分析方法。
教学方法和教学手段：教学方法：讲授教学手段：板书与多媒体结合讨论、思考题、作业：课后习题：P343 8－16、8－20。
参考资料：①《自动控制原理》高国燊主编华南理工大学出版社②《自动控制理论》文锋主编中国电力出版社③《自动控制理论》夏德钤主编机械工业出版社④《自动控制理论》邹伯敏主编机械工业出版社注：教师讲稿附后§8-5 相平面法四、奇点与奇线绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性。
由于系统平衡点有无穷多条相轨迹离开或到达，所以平衡点附近的相轨迹最能反映系统的运动特性。
因此平衡点是非常重要的特征点，很有必要加以讨论和研究。
另外，系统的自激振荡状态也是人们非常关心的问题。
前者叫奇点，后者为极限环（奇线最常见的形式） 1、奇点：①定义：以微方),(x x f x &&&=表示的二阶系统，其相轨迹上每一点切线的斜率为x x x f dx x d &&&),(=，若在某点处x xx f &&和),(同时为0，的不定形式即有00=dx xd &，则称该点为相平面的奇点。
②性质：⑴相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点。
因此在奇点处多条相轨迹相交。
⑵在相轨迹的非奇点（称为普通点）处，不同时满足0),(0==x x f x &&和，相轨迹的切线斜率是一个确定的值，故经过普通点的相轨迹只有一条。
自动控制原理第8章
y f ( x)
输入为
x X sin t ，输出为 y ( t ) f ( X sin t ) ，它是一个非正弦的
周期函数。展成富氏级数：
第8章 非线性系统分析
y ( t ) A0 A0
(A
n 1
n
cos n t B n sin n t )
2．死区特性的描述函数 死区特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形 如图。
a
0
y
y
K
a
x
0
1
1 2
t
0
x
1
1
2
1
t
死区特性及输入、输出波形
第8章 非线性系统分析
其输出表达式为
y (t )
0
0≤ t≤ 1
K ( X sin t a )
Y
n 1
n
sin( n t n )
An 1
其中：
A0
1 2
2
y (t ) d t
0
2
y ( t ) cos n td t
0
Bn
1
2
y ( t ) sin n td t
0
Yn
An B n
2
2
n arctan
An Bn
设非线性特性均为对称奇函数， A 0
0
x a
x≥a x ≤ a
控制系统中的测量元件、执行部件以及放 大器都存在着不灵敏区。
y
K (xa) K (x a)
死区特性元件等效于一个变增益元件，在死区 范围内，等效增益为零，大于死区后，等效增益随 输入信号的增大在增大，但等效增益总是小于原来 的 K 值。
《自动控制原理》(卢京潮,西北工业大学)第八章习题及答案[1]
![《自动控制原理》(卢京潮,西北工业大学)第八章习题及答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/8d525e39580216fc700afdd2.png)
&1 ⎤ ⎡ 0 0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡x ⎢x ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ & ⎢ 2 ⎥ = ⎢ − 2 − 3 0 ⎥ ⎢ x 2 ⎥ + ⎢ 2⎥ u ⎢ &3 ⎥ 2 − 3⎥ ⎣0 ⎦⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎣x ⎦ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎡ x1 ⎤ ⎥ y = x1 = [1 0 0]⎢ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦
181
由上式，可列动态方程如下
⎡ &1 ⎤ ⎢0 ⎡x 1 ⎥ ⎢x ⎢ & 0 ⎢ 2 ⎥ = ⎢0 R f + K bCm a m ⎢ &3 ⎥ ⎦ ⎢0 − ⎣x La J m ⎢ ⎣
⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 La f m + J m R a ⎥ ⎥ − La J m ⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎢ x ⎥ + ⎢0 ⎢ 2 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎦ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎢ Cm
182
⎡ ⎢ 0 由上式可得变换矩阵为 T = ⎢ 0 ⎢C ⎢ m ⎢ ⎣ Jm
8-2
1 0
⎤ 0 ⎥ 1 ⎥ f ⎥ 0 − m⎥ Jm ⎥ ⎦
&& + 6 & & + 11y & + 6 y = 6u 。式中 u 和 y 分别为系统输入、输 设系统微分方程为 & y y
出量。试列写可控标准型（即矩阵 A 为友矩阵）及可观测标准型(即矩阵 A 为友矩阵转置) 状态空间表达式，并画出状态变量图。 解： 由题意可得：
0⎤ ⎥ et ⎦
187
( sI − A) −1
⎡s + 1 0 ⎤ =⎢ s − 1⎥ ⎣ 0 ⎦
自动控制原理胡寿松 第8章
（4）继电器特性
0
ma e(t) a, e(t) 0
x(t)
0
a e(t) ma, e(t) 0
bsigne(t)
e(t) a
b
e(t) ma, e(t) 0
b
e(t) ma, e(t) 0
正向释放
xLeabharlann b正向吸合a ma
非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。 非线性系统：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性元
件，即称为非线性系统。其特性不能用线性微分方程来描述。
非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性 本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化
非线性系统的主要特征：
系统的稳定性除与结构参数有关 外，还与起始偏差的大小有关 。 系统的响应形式与输入信号的大小 和初始条件有关。 在没有外界周期变化信号输入时， 非线性系统完全可能产生具有固定周 期和幅值的稳定振荡过程。 非线性系统的动态响应不服从叠加 原理
应用描述函数分析法分析系统需要满足的条件：
1. 非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N ( A)和线性 部分G( s)相串联的典型形式。
r(t) 0
e N ( A) x G(s) c
描述函数法
非线性环节的输入信号为 e(t) Asint
则其输出x(t)是一个周期函数， x(t)可以展开成傅立叶级数
1. 基本概念
(1) 分析非线性系统的两种工程方法
相平面法 描述函数法
(2) 描述函数法的特点
•
描述函数法是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推广。
方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故得到了广
自动控制原理第8章非线性控制系统
自动控制原理第8章非线性控制系统在自动控制系统中，线性控制系统一直被广泛应用，因为线性系统的行为可预测且易于分析。
然而，在实际的控制系统中，往往存在着一些非线性特性，如非线性环节、非线性传感器和非线性负载等。
非线性系统的行为往往更为复杂，因此需要采用特殊的控制方法来进行控制。
8.1非线性系统的特性非线性系统与线性系统相比，具有以下几个特点：1.非线性特性：非线性系统的输入和输出之间的关系不符合线性定律，而是非线性关系。
这种非线性关系可能是由于系统内部的非线性元件或非线性行为导致的。
2.非线性行为：在非线性系统中，系统的行为经常出现不可预测的情况。
当输入信号的幅值较小时，系统的行为可能是线性的，但是当幅值增大时，系统的行为可能会发生剧烈的变化。
3.非线性耦合：在非线性系统中，不同输入变量之间可能存在耦合关系。
当一个输入变量发生改变时，可能会影响到其他输入变量的行为。
4.非线性稳定性：在非线性系统中，稳定性分析比线性系统更为困难。
非线性系统可能存在多个平衡点或者极限环，而且稳定性分析需要考虑到非线性因素的影响。
8.2非线性系统的建模对于非线性系统的控制，首先需要对系统进行建模，以便进行后续的分析和设计。
非线性系统的建模可以采用两种常用的方法：数学建模和仿真建模。
1.数学建模：数学建模是利用数学模型来描述非线性系统的行为。
非线性系统的数学建模可以采用微分方程、差分方程、泰勒级数展开、输入输出模型等多种方法。
2.仿真建模：仿真建模是利用计算机仿真软件来模拟非线性系统的行为。
通过建立系统的数学模型，并利用计算机进行仿真，可以得到系统的输出响应和稳定性分析。
8.3非线性控制方法在非线性控制系统中，常用的控制方法包括自适应控制、模糊控制和神经网络控制等。
1.自适应控制：自适应控制用于处理未知或难以测量的非线性系统。
自适应控制方法通过不断调整控制器的参数，以适应系统的变化。
2.模糊控制：模糊控制利用模糊逻辑和模糊推理来处理非精确和不确定的输入量。
自动控制原理第8章 误差分析
G( s)H (s)
K ( i s 1) s (T j s 1)
j 1 i 1 n
m
式中，K为开环增益；τi和Tj为时间常数 ；υ为开环系统在s平面坐标原点上的极 点的重数。也是系统积分环节的个数。
2017/6/16
第8章 误差分析
3
引 言
误差的分类 给定稳态误差（由给定输入引起的稳态 误差） 对于随动系统，给定输入变化，要 求系统输出量以一定的精度跟随输入量的 变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的 稳态性能。 扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态 误差） 对恒值系统，给定输入通常是不变 的，需要分析输出量在扰动作用下所受到 的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统 的稳态性能。
2 t /T e ( t ) T e 其中， ts
随时间增长逐渐衰减至 ess (t) T( t T) 表明稳态误差 ess 零； （2）当 r(t ) sin t 时， R( s) / ( s2 2 ) s T 1 由于 E(s)
1 ( s )( s 2 2 ) T T 2 2 1 s 1 T
s T 2 3 1 2 2 T 1 s2 2 T 2 2 1 )
T T 2 2 cos t 2 2 sin t 2 2 T 1 T 1
2017/6/16
第8章 误差分析
11
8.1 稳态误差的基本概念
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第8章 误差分析
9
8.1 稳态误差的基本概念
【例8-1】设单位反馈系统的开环传递函 数为 G( s) 1 / Ts ，输入信号分别为 r(t ) t 2 / 2以及 r (t ) sin t ，试求控制 系统的稳态误差。 2 r ( t ) t / 2 时， R( s) 1/ s3 ,求得 解：（1）当
自动控制原理第八章非线性控制系统分析
第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
自动控制原理第8章
这个跳跃之后，振幅A随着频率 的减小 一起减
小，并且沿着曲线从点6趋向点1。
自动控制原理
16
因此，响应曲线实际上是不连续的，并且对于频率增
加和减小的两种情况,响应曲线上的点沿着不同的路线移 动。点2与点5之间曲线对应的振荡是不稳定的振荡，在实 验中是观测不到的。
x 2
6
x 5 3
1
5
2
3
1
4
6
4
0
0
(a)具有硬弹簧的机械系统 (b)具有软弹簧的机械系统
图8.8 机械系统的频率响应
自动控制原理
17
8.3相平面分析法
相平面法是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一 种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它 实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用， 该方法适合于研究给定初始状态的二阶自由运动 系统和给定初始状态及非周期输入信号(如阶跃、 斜坡或脉冲信号等)的二阶系统
假定，并且从图8.8(a)曲线上外作用频率 低的点
1开始。当 增加，A也增加，直到点2为止。若
频率继续增加，将引起从点2到点3的跳跃，并伴
有振幅和相位的改变，此现象称为跳跃谐振。当 频率 继续增加时，振幅A沿着曲线从点3到点4。
若换一个方向来进行实验，即从高频开始，这时
可观察到，当 减小时，振幅通过点3 逐渐增加， 直到点5为止。当 继续减小时，将引起从点5到
线性定常系统：例如典型二阶线性系统，如
果阻尼比=0，在初始状态的激励下，系统的零输
入响应为等幅周期振荡,其角频率 取决于系统的
参数，其振幅A与初始状态有关。但是，实际的线
性系统要维持振幅A和角频率 不变的等幅周期振 荡是不可能的。一是系统的参数会发生变化，即
自控第8章 非线性系统
6. 非线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分 量包含大量的谐波成分，频率响应复杂，输出波形会 很容易畸变。
11
三、非线性系统的分析方法
1、相平面法
时域分析法中的一种图解分析法。不适用于高阶系统。 2、描述函数法 结合频域分析法和非线性的谐波线性化的一综合图解分
析法。分析非线性系统稳定性和自激振荡比较有效。
二、继电特性
1、特性曲线
M y
来源：继电器是继电
特性的典型元件。
0
-M
x
继电特性 具有图示性质的继电特性称理想继电器。
15
2、数学表达式
y
M y M
x0
M
x 0
0
-M
x
造成的影响:
继电特性
（1）改善系统性能，简化系统结构。
（2）可能会产生自激振荡，使系统不稳定。
16
旋线，这种奇点称为稳定
焦点。 系统欠阻尼运动时的相轨迹
51
4、稳定节点
1
x(t ) A1e
q1t
这时方程的解为
A2e
q2t
其中
A1
x0 x0 2
1 2
A2
x0 x0 1
1 2
(t ) A1q1e q1t A2q2e q2t x
相轨迹: 描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。
相轨迹方程：x2和 x1的关系方程。
35
例1 弹簧—质量块运动系统如图。
m 是物体质量；
k 是弹性系数； x 是偏离平衡点的位移。
为方便计算令 m=k=1 ；
已知初始条件
x(0) x0 x(0) x0
自动控制原理第8章
第八章 非线性控制系统分析 y0=［0.5 1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
第八章 非线性控制系统分析 y0=［-0.8 -1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
第八章 非线性控制系统分析 a=［1 1 1］ n=length(a)-1 p=roots(a) v=rot90(vander(p)) y0=［0 0］′ c=v＼y0 y1=zeros(1, length(t)) y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t) end plot(x1+y1′, x2+y2) hnd=plot(x1+y1′, x2+y2′) set(hnd, ′linewidth′, 1.3) hold on
第八章 非线性控制系统分析 8.1.3 非线性系统的分析与设计方法 系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式, 以解
决稳定性问题为中心, 对系统实施有效的控制。由于非线性系
精品文档-自动控制原理(李素玲)-第8章
x c xc
x c
(8-5)
28
在输入信号|x|＜c时，该环节是放大倍数为k的比例环 节，当|x|＞c时出现了饱和，随着|x|的不断增大，其等效 放大倍数逐步降低，如图8-6所示。
因此，饱和的存在使系统在大信号作用下的等效增益 下降，深度饱和情况下甚至使系统丧失闭环控制作用。另外， 饱和会使系统产生自振荡。但在控制系统中也可以人为地利 用饱和特性作限幅，限制某些物理量，保证系统安全合理的 工作，如调速系统中利用转速调节器的输出限幅值限制电机 的最大电枢电流，以保护电动机不致因电枢电流过大而烧坏。
16
非线性系统还具有很多与线性系统不同的特异现象，这 些现象无法用线性系统理论来解释，因而有必要研究它们， 以便抑制或消除非线性因素的不利影响。在某些情况下，还 可以人为地加入某些非线性环节，使系统获得较线性系统更 为优异的性能。
17
8.1.2 非线性系统的分析与设计方法 系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以
26 图8-4 包含多个死区的非线性系统
27
8.2.2 饱和特性 饱和特性也是控制系统中常见的一种非线性，几乎所有
的放大器都存在饱和现象。由于采用了铁磁材料，在电机、 变压器中存在磁饱和。系统中加入的各种限幅装置也属饱和 非线性。
典型的饱和特性如图8-5所示，其数学表达式为
kx, y kc,
kc,
29 图8-5 饱和非线性特性
30 图8-6 饱和非线性特性的等效增益
31
8.2.3 间隙(回环)特性 在各种传动机构中，由于加工精度及运动部件的动作需
要，总会存在一些间隙。如图87所示的齿轮传动系统，为了 保证转动灵活，不至于卡死，必须留有少量的间隙。
由于间隙的存在，当主动轮的转向改变时，从动轮开始 保持原有的位置，直到主动轮转过了2c的间隙，在相反方向 与从动轮啮合后，从动轮才开始转动。典型的间隙非线性特 性如图8-8所示。
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3．时间响应
由于线性系统的运动特征与输入的幅值、系
统的初始状态无关，所以通常是在典型输入 函数和零初始条件下进行研究的。而非线性 的时间响应与输入信号的大小和初始条件有 关，幅值不同的同一输入信号，响应曲线的 幅值和形状都会产生显著变化，从而使输出 具有多种不同的形式。
4．可能存在自激振荡现象
饱和特性的数学描述为 x a B y kx x a B x a 3.继电特性 继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性，
继电特性有双位特性，如图8-4(a)和(b)所示， 三位特性如图8-4 (c)所示等，图8-4 (b)、(c) 的继电特性还带有滞环。当然，不限于继电 器，其他装置如果具有类似的非线性特性， 我们也称之为继电特性，如电磁阀、施密特 触发器等。继电器的切换特性使用得当可改 善系统的性能。
8.1.3常见非线性特性
一个单输入单输出静态非线性特性的数学描
述为
y f (x)
将非线性特性视为一个环节，环节的输入
为 x ，输出为 y ，按照线性系统中比例环节 的描述，定义非线性环节输出和输入的比值 为等效增益：
y f ( x) k x x
线性系统中比例环节的增益是常值，也就是
3．本质非线性ห้องสมุดไป่ตู้节的存在
自动控制系统中包含的非线性特性可分为非
本质非线性和本质非线性两种。对非本质非 线性系统，应用线性理论是合适的。对本质 非线性系统，不能简单的用线性化方法来解 决问题，因此还需要研究非线性控制系统的 理论。
8.1.2 非线性系统的特征
线性系统的重要特征是可以应用线性叠加原理。而 描述非线性系统运动的数学模型为非线性微分方程， 则不能应用叠加原理。非线性系统的运动具有以下 特点： 1. 稳定性分析复杂 按照平衡状态的定义, 在无外作用且系统输出的各 阶导数等于零时, 系统处于平衡状态。显然, 对于线 性系统只有一个平衡状态c＝0, 线性系统在该平衡 状态的稳定性就是线性系统的稳定性, 而且稳定只 取决于系统本身的结构和参数, 与外作用和初始条 件无关。而非线性系统可能存在多个平衡状态, 各 平衡状态可能是稳定的也可能是不稳定的。非线性 系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关, 也与 初始条件以及系统的输入信号的类型和幅值有关。
4.现代控制理论的方法 (1)李雅普诺夫方法：李雅普诺夫方法是基于时域分 析的另一种方法。从系统运动需要有能量的角度出 发，寻求李雅普诺夫函数，来描述系统在云顶过程 中能量的变化规律，从而确定系统稳定性、稳定条 件，在原则上它可以适用于任意阶系统的稳定性分 析，但实际上由于复杂系统寻求李雅普诺夫函数往 往很困难，使其应用也受到了一定的限制。 (2)计算机求解法：利用模拟计算机和数字计算机， 将非线性系统的数学模型、初始状态和输入信号， 按一定的模式输入计算机，则可以在较短时间内处 理复杂的非线性系统，从而获得设计系统必须的信 息。这一方法由于计算机的普及以及软件的迅速发 展，目前已经被广泛用于工程实际
M
y M
y
y M
x
x
x
O
-h
O
h
-M -M
-M
(a) 理想继电器
(b) 滞环继电器 (c) 滞环继电器 图8-4 几种典型的继电特性
分析继电特性有十分重要的意义,因为采用继
电器、电磁阀等元件的控制系统比比皆是,例 如大多数家用电冰箱空调就是继电器控制系 统。图8-4(a)所示继电特性的数学描述为
第八章 非线性控制系统
【引言】 以上各章详细讨论了线性定常控制系统的分 析和设计问题。但实际上，并不存在理想的 线性系统。组成控制系统的各个元器件动态、 静态特性都存在着不同程度的非线性。换言 之，线性是相对的，而非线性则是绝对的。 因此，对于线性控制系统的分析方法是需要 一定的约束条件下才能应用于实际系统的性 能分析中。
(2)相平面法：相平面法是基于线性系统时域
分析法的一种求解一阶、二阶非线性系统的 图解方法，是时域分析法在非线性系统中的 应用和推广。 相平面法应用相平面上的曲线(相轨迹或相轨 迹族)来描述系统的运动过程。相平面法既可 以用来分析系统稳定性问题(稳定性、极限环、 平衡点)，又可以用来分析时间响应，求稳态、 动态性能指标。但是仅能用于一、二阶非线 性系统的分析，不能用于高阶系统。
所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的
作用时, 系统内部产生的具有固定振幅和频率 的稳定周期运动。线性系统的运动状态有收 敛和发散两种状态, 只有在临界稳定的情况下 才能产生周期运动, 但由于环境或装置老化等 不可避免的因素存在, 使这种临界振荡只可能 是暂时的。而非线性系统则不同, 即使无外加 信号, 系统也可能产生一定幅度和频率的持续 性振荡, 这是非线性系统所特有的。
2．高控制性能的要求
随着生产和科学技术的发展，对控制系统的
性能和精度要求越来越高，建立在线性化基 础上的分析设计方法亦难以解决高质量的控 制问题。因此必须考虑非线性控制器的设计。 例如，为获得最短时间控制，需对执行机构 采用继电控制，使其始终工作在最大电压或 最大功率下，充分发挥其调节能力，同时为 兼顾其响应速率和稳态精度，需要使用变增 益控制器。
理想的死区特性一般如图8-2所示,其数学描述
为
k ( x a) y 0 k ( x a)
y k 0 a x
x a x a x a
y k -a 0 a x
-a k
图8-2 死区特性
图8-3 饱和特性
2.饱和特性
饱和也是一种常见的非线性，可以说任何实
x0e x(t ) 1 x0 x0e t
由此可见，系统的解郁初始条件有关。不同
初始条件下的时间响应曲线如下图8-1所示。
x(t) x>1 x=1 x<1
0 t
ln
x0 x0 1
图8-1时间响应曲线
2．频率响应发生畸变
稳定的线性系统的频率响应,
即正弦信号作用 下的稳态输出量是与输入同频率的正弦信号, 其幅值 A 和相位 为输入正弦信号频率 的 函数。而非线性系统的频率响应除了含有与 输入同频率的正弦信号分量(基波分量)外, 还 含有关于 的高次谐波分量, 使输出波形发 生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节, 输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。
例如：考虑非线性一阶系统
x x 2 x x( x 1)
令 x 0
，可知该系统存在两个平衡状态 x 0 和 x 1 ，为了分析各个平衡状态的稳定性， 需要求解（8-1）式。设系统的初始条件为 ， 得： x0
dx dt x( x 1)
t
积分得：
y
-c
o c
x
图8-5 间隙特性
如从非线性环节的输出与输入之间存在的函
数关系划分, 非线性特性又可分为单值函数非 线性与多值函数非线性两类。 例如死区特性、 饱和特性及理想继电器特性都属于输出与输 入之间为单值函数关系的非线性特性。 间隙 特性和继电器特性则属于输出与输入之间为 多值函数关系的非线性特性。
1. 小范围线性近似法 这是一种在平衡点的近似线性化方法, 通过在 平衡点附近泰勒展开, 可将一个非线性微分方 程化为线性微分方程, 然后按线性系统的理论 进行处理。该方法局限于小区域研究。 2. 逐段线性近似法 将非线性系统近似为几个线性区域, 每个区域 用相应的线性微分方程描述, 将各段的解合在 一起即可得到系统的全解。
必须指出,
长时间大幅度的振荡会造成机械磨 损, 增加控制误差, 因此许多情况下不希望自 激振荡发生。但在控制中通过引入高频小幅 度的颤振, 可克服间歇、死区等非线性因素的 不良影响。而在振动试验中, 还必须使系统产 生稳定的周期运动。因此研究自持振荡的产 生条件与抑制, 确定其频率与幅度, 是非线性 系统分析的重要内容。
输出和输入呈线性关系，而式（8-3）所示非 线性环节的等效增益为变增益，因此可以将 非线性特性视为变增益比例环节。当然，比 例环节是变比例环节的特例。 静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、 继电特性是常见的,也是最简单的非线性。下 面就来介绍这几种静态非线性特性
1.死区特性 死区又称不灵敏区, 通常以阈值、分辨率等指标衡 量。死区特性常常是由放大器、传感器、执行机构 的不灵敏造成的。常见于测量、放大元件中。一般 的机械系统、电机等, 都不同程度地存在死区。其 特点是当输入信号在零值附近的某一小范围之内时, 没有输出。只有当输入信号大于此范围时, 才有输 出。执行机构中的静摩擦影响也可以用死区特性表 示。控制系统中存在死区特性, 将导致系统产生稳 态误差, 其中测量元件的死区特性尤为明显。摩擦 死区特性可能造成系统的低速不均匀, 甚至使随动 系统不能准确跟踪目标。但是，死区特性也可能给 控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区 以提高抗干扰能力。
际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不 可能无限增大，磁饱和就是一种饱和特性。 其特点是当输入信号在一定范围内变化时,具 有饱和特性的环节输入输出呈线性关系；当 输入信号超过某一范围后, 输出信号不再随输 入信号变化而保持某一常值(参见图8-3)。饱 和特性将使系统在大信号作用之下的等效增 益降低, 深度饱和情况下, 甚至使系统丧失闭 环控制作用。还有些系统中有意地利用饱和 特性作信号限幅, 限制某些物理参量, 保证系 统安全合理地工作。
8.1.4非线性系统的分析方法
系统分析和设计的目的是通过求取系统的运
动形式, 以解决稳定性问题为中心, 对系统实 施有效的控制。由于非线性系统形式多样, 受 数学工具限制, 一般情况下难以求得非线性方 程的解析解, 只能采用工程上适用的近似方法。 在实际工程问题中, 如果不需精确求解输出函 数, 往往把分析的重点放在以下三个方面: 某 一平衡点是否稳定, 如果不稳定应如何校正; 系统中是否会产生自持振荡, 如何确定其周期 和振幅; 如何利用或消除自持振荡以获得需要 的性能指标。比较基本的非线性系统的研究 方法有如下几种: