9.1二重积分的概念与性质-11
【免费下载】高等数学课程教案
授课题目§9.1二重积分的概念与性质课时安排2教学目的、要求：1．熟悉二重积分的概念，了解二重积分的性质；2.了解二重积分的几何意义。
教学重点、难点：二重积分的几何意义教学内容一、二重积分的概念1．引例与二重积分定义引例：（1）.曲顶柱体的体积。
（2）已知平面薄板质量（或电荷）面密度的分布时。
求总质量（或电荷）。
2．二重积分的几何意义二、二重积分的性质性质1、，为非零常数；(,)(,)D Dkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰k 性质2、；{(,)(,)}Df x yg x y d σ±⎰⎰(,)(,)DDf x y dg x y d σσ=±⎰⎰⎰⎰性质3、若，且（除边沿部分外），则12D D D =+12D D φ= 12(,)(,)(,)DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质4、若，，则：；(,)(,)f x y g x y ≥(,)x y D ∈(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≥⎰⎰⎰⎰性质5、估值定理性质6、（中值定理）设在上连续，则在上至少存在一点，使),(y x f D D ),(ηξAf d y x f D⋅ηξ=σ⎰⎰),(),(三、例题 例1 设是由与所围的区域，则D 24x y -=0=y =σ⎰⎰Dd π2例2 求在区域：上的平均值222),(y x R y x f --=D 222R y x ≤+讨论、思考题、作业：思考题：1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.2.估计积分的值,其中是圆形区域: .⎰⎰++=Dd y x I σ)94(22D 422≤+y x 习题9-1 P79 4(1),(3),5（1）（3）授课类型： 理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体填表说明：每项页面大小可自行调整。
填表说明：每项页面大小可自行调整。
石 家 庄 经 济 学 院高等数学课程教案授课题目三重积分（1）课时安排2教学目的、要求：1.理解三重积分的概念，了解重积分的性质。
11高数第十一章
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
(i ,i )
看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
i
o
n
x
M lim 0
(i ,i ) i .
i 1
一、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y) 是有界闭区域D 上的有界 函
数，将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 ，
2 , ， n ，其中 i 表示第i 个小闭区域，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把 D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
x
b
x0 a
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. y 1(x)
D
a
1( x)
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y).
［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点
(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2,, n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
二重积分的概念和性质PPT讲稿
例 设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
xR
y
解 z R2 x2 y2是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
18
三、二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质１ 设、 为常数, 则
看作均匀薄片.
(2) Mi (i ,i ) i
y
n
(3) M (i ,i ) i
(i ,i )
i1 n
•
(4) M lim 0
(i ,i ) i
i 1
O
i
x
10
二、二重积分的概念
1. 二重积分的定义
定义 设f ( x, y)是有界闭区域D上的有界函数,
① 将闭区域D任意分成n个小闭区域
2
double integral
第一节 二重积分的概念 与性质
问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质
3
一、问题的提出
回想 定积分中会求平行截面面积为已知的 立体的体积、旋转体的体积.
一般立体的体积如何求 先从曲顶柱体的体积开始. 一般立体的体积可分成一些比较简单的 曲顶柱体的体积. 而曲顶柱体的体积的计算问题, 可作为 二重积分的一个模型.
即
V f ( x, y)d ,
D
平面薄片D的质量
它的面密度 ( x, y)在薄片D上的二重积分,
即
M ( x, y)d .
D
13
注
1.重积分中 d 0,
2. 在直角坐标系下用 y
平行于坐标轴的直线网来
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
二重积分的概念及性质
∬_D [af(x,y)+bg(x,y)]dxdy = a∬_D f(x,y)dxdy + b∬_D g(x,y)dxdy
2
面积加法
∬_D [f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy+∬_D g(x,y)dxdy
3
积分可交换
与积分上下限无关：
∬_D[f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy + ∬_D g(x,y)dxdy
极坐标下的二重积分
轮换对称性
交换二重积分中的积分极限 和被积函数中的变量，可得 到相同的结果。
转化公式
从直角坐标系转化为极坐标 系的公式为：
∬_D f(x,y)dxdy = ∬_D f(r*co sθ, r*sinθ)rd rd θ
相关例题
可以将某个区域在直角坐标 系中的极坐标方程转换成在 极坐标系下的积分形式。
对二重积分的符号化表示
累加表示
二重积分可以通过累加的方式求 解即：
∬_D f(x,y)dxdy = ∆ x ∆ y Σ f(x_i, y_j)
积分表示
二重积分可以用积分符号表示如 下：
∬_D f(x,y)dxdy = ∫ ∫ _D f(x,y)d A
计算方法
按照累加或积分的方式计算。
基本性质
1
线性性
总结
本次讲座全面介绍了二重积分的定义及性质、极坐标下的二重积分，坐标变 换下的二重积分，以及应用。相信我们的学生已经得到了充分的掌握。
极坐标与直角坐标之间的 转换
常用在圆、椭圆、其他轮换面 上等的二重积分中转换。
弧坐标与直角坐标之间的 转换
用于圆周上对于弧长的积分的 计算及二重积分的变换。
9-1 二重积分的概念与性质
二 二重积分的性质
性质１
当k 为常数时，
kf
D
( x , y )d k f ( x , y ) d .
D
性质２
[ f ( x , y )
D
g ( x , y )] d
D
f ( x , y )d
g ( x , y ) d .
D
性质３ 对区域具有可加性 ( D D 1 D 2 )
1, 2 , , n
f ( k , k )
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 小曲顶柱体 2) 近似替代 在每个
D
k
中任取一点
则
( k , k )
Vk f ( k , k ) k
( k 1 , 2 ,, n)
3)求和
f ( k , k ) k
则称 f ( x , y )在D上可积 ,
注：如果 f ( x , y )在D上可积, 则可用平行坐标轴的直线
来分区域D , 这时
也记作 f ( x , y ) d x d y .
D
因此面积元素
也常
记作 d xd y（称其为直角坐标下的面积元素）， 二重积分
实例1中曲顶柱体体积:
V
D
k 1 n
4)取极限
f ( k , k )
( k ) max P1 P2 P1 ,P2 k
令 max ( k )
1 k n
D
( k , k )
V lim f ( k , k ) k
0
k 1
n
k
（2）平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有界闭区域 D , 其面 密度为连续函数 1) 分割 用任意曲线网分D 为 n 个小区域
§9.1二重积分的概念与性质
。
当薄片的面密度 在 上是变量时，它的质量就不能用上面的公式计算，
可仿照求曲顶柱体体积的思想方法，通过“分割、近似、求和、取极限” 这四个步骤，求得非均匀分布的平面薄片的质量。
（1）分割
将薄片(即区域D)任意分成 个子域： ，
并以 表示第 个子域的面积。
（2）近似
其中积分区域是由 轴、 轴与直线 所围成。
解：积分区域如图所示。
，有 ，
因此，在D上有 ，
根据性质5可知 。
例2．利用二重积分的性质，估计积分 的值，其中D是圆形区域： 。
解法1：先求 在 上的最大值 和最小值 。
令 ，得驻点 ， 。
在 的边界 上，
，
∵ ，∴ 。
∴ 在 上， ，
，即 。
∴ ，
又∵ 为圆 的面积，
由二重积分的定义，曲顶柱体的体积就是柱体的高 在底面区域 上的二重积分，即 。
非均匀分布的平面薄片的质量，就是它的面密度 在薄片所占有的区域 上的二重积分，即 。
4.二重积分的几何意义
当 时， 的几何意义就是图中所示的曲顶柱体的体积；
当 ，柱体在 平面的下方， 表示曲顶柱体体积的相反值，即二重积分 才是该曲顶柱体的体积。
在二重积分的定义中对闭区域 的划分是任意的，如果在直角坐标系中，用平行于坐标轴的直线网来划分 ，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域
的边长为 和 ，则 ，故在
直角坐标系中也把面积元素 记为 ，即
。
其中 称为直角坐标系中的面积元素。
当 在闭区域 上连续时，（1）式右端的和式的极限必定存在，即 在 上的二重积分必定存在。
高等数学：第一讲 二重积分的定义与性质
o
x
D
•
y
(i ,i )
则称 f ( x, y) 可积 , 称 I 为 f ( x, y) 在D上的二重积分.
i
积分和
二重积分的定义
被积函数 积分区域
积分表达式
x , y 称为积分变量
面积元素
二重积分的定义
注1： 若用平行坐标轴的直线来划分区域 D ，则有 y
因此，面积元素 常记作 d x d y, 二重积分记作
D f ( x, y)dxd y.
O
注2： 对比曲顶柱体体积的求法和二重积分的定义可知
V D f ( x, y)d D f ( x, y)d x d y
D i
x
二、二重积分的性质
性质1
k f (x, y)d k f (x, y) d ( k 为常数)．
D
D
性质2
[ f (x, y) g(x, y)]d
例1
利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
I1 x y2 d x d y, I2 x y3 d x d y
D
D
其中D是由 x 轴，y 轴以及直线 x y 1 围成，
则 I1 _____ I2 . y 1 x y 1
D
O
1x
二重积分的保号性
0 x y1
( x y)2 ( x y)3
二重积分的 定义与性质
一、二重积分的定义
定义: z f ( x, y)是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ，将区域 D 任意
z
分成 n 个小闭区域
f (i ,i ) •
z f (x, y)
任取一点 (i ,i ) i
记
ห้องสมุดไป่ตู้
9.1二重积分的概念与性质
D D
4.二重积分的性质
例4 比较积分 ln( x y )d 与 [ln( x y )]2 d
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0), (1,1), (2,0). y 解 三角形斜边方程 x y 2
1 在 D 上 f ( x , y ) 的最大值 M 4
( x 0, y 0)
1 1 f ( x , y ) 的最小值 m ( x 1, y 2) 2 2 5 3 4 2 2 故 I 0.4 I 0.5. 5 4
4.二重积分的性质 例3 比较 ( x y ) d与 ( x y ) d的大小,
被积函数 被积表达式
积分号 积分区域
D
f ( x , y ) dσ lim
f (ξ , η )Δσ λ0
i 1 i i
n
i
积分变量 面积微元 对二重积分作几点说明： （1）二重积分的积分值与区域D的分割方式与点 ( i , i ) 的取法无关；即分割与取点具有任意性；
积分和
该值与区域D及 （2）二重积分的积分值是一数值， 被积函数f (x,y)有关，与积分变量无关； （3）若被积函数在有界闭区域上连续， 则一定可积.
d 的值，
(0 b a ).
x2 y2 其中 D 是椭圆闭区域： 2 2 1 a b
解
区域 D 的面积 σ πab,
在D 上
2
0 x y a
2
2
,
1 e e
0
x2 y2
e ,
a2
由性质 6 知
e
二重积分的概念与性质word资料6页
第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and ItsProperties)一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。
将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)ii n σ∆=L 表示。
在每个(1,2,)i i n σ=L 上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)n i i i i f ξησ=∆∑。
假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。
这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D 上的二重积分，记作(,)D f x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰n i i i i D f x y d f Definition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧 1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregions i σ，whose area is denoted by(1,2,)i i n σ∆=L Choose arbitrarily a point (,)i i ξη in (1,2,)i i n σ=L and then form the sum 1(,)n i i i i f ξησ=∆∑。
Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, thereexists a 0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregions i σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)n i i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ=L Then f is said to be integrable over D and I is the double integral of f over D ,written (,)D f x y d I σ=⎰⎰,or 01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰n i i i i D f x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。
二重积分的概念与性质
第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties) 一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。
将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)i i n σ∆= 表示。
在每个(1,2,)i i n σ=上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。
这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D上的二重积分，记作(,)Df x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d fDefinition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregionsi σ，whose area is denoted by (1,2,)i i n σ∆= Choose arbitrarily a point (,)i i ξηin (1,2,)i i n σ= and then form the sum 1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there exists a0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregionsi σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ= Then f is said to be integrable over Dand I is the double integral of f over D ,written (,)Df x y d I σ=⎰⎰,or1(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即 (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。
二重积分极坐标
重积分§9.1 二重积分的概念与性质教学目的：在深刻理解的基础上熟练掌握二重积分的概念、性质 教学重点：二重积分的概念 教学难点：二重积分概念的理解 教学内容：一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面z f x y =(,)。
当(,)x y D ∈时,f x y (,)在D 上连续且f x y (,)≥0,以后称这种立体为曲顶柱体。
曲顶柱体的体积V 可以这样来计算:(1)、用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域 ∆∆∆σσσ12,,, n ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体∆Ω∆Ω∆Ω12,,, n 。
（假设∆σi所对应的小曲顶柱体为∆Ωi,这里∆σi既代表第i 个小区域,又表示它的面积值,∆Ωi既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值。
)从而V ii n==∑∆Ω1(将Ω化整为零)(2)、由于f x y (,)连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。
因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是∆Ω∆∆i i i ii i if ≈∀∈()()()ξησξησ(以不变之高代替变高, 求∆Ωi的近似值)(3)、整个曲顶柱体的体积近似值为V f i i ii n≈=∑()ξησ∆1(积零为整, 得曲顶柱体体积之近似值)(4)、为得到V 的精值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。
为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。
所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。
设n 个小区域直径中的最大者为λ, 则V f ni i ii =→=∑lim (),λξησ01∆(取极限让近似值向精确值转化) 2、平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy 面上的区域D , 它在(,)x y 处的面密度为ρ(,)x y ,这里ρ(,)x y >0,而且ρ(,)x y 在D 上连续,现计算该平面薄片的质量M 。
11二重积分的概念及性质
因此
f ( x, y )dxdy c S ( y )dy
D
d
d c
x2 ( y) x1 ( y )
f ( x, y )dx dy f ( x, y )dx.
d x2 ( y) dy x ( y ) c 1
(4)
即化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分.
x2 ( y ) 先对x积分时，x ( y ) 1
其中任意两小块 i和 j (i j ) 除边界外无公共点. 其中 i 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积. 近似、求和 记 i为 i的直径(即 i表示 i 中任 意两点间距离的最大值)，在 中任取一点(i ,i ), i 以 f (i ,i ) 为高而底为 i的平顶柱体体积为
f ( x, y )dx中的y应视为常量，
按定积分的计算方法解之.
在上述讨论中，我们假定f(x,y)≥0，但是实际上，
上述结论并不受此限制.
如果积分区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直
线相交，其交点多于两个，则先将区域D划分为几个
子区域，其中每个子区域的边界曲线与平行于坐标
轴的直线相交时，交点不多于两个，用前述方法及
记为
lim f (i ,i )d 0 f (i ,i ).
D i 1
n
(2)
称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x，y为积分变
元， 为面积微元(或面积元素). d 由这个定义可知，质量非均匀分布的薄板D的质
量等于其面密度 ( x, y )在D上的二重积分.因此二重积
重积分的可加性可求区域D上的二重积分.
为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常 可以采用下述步骤：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
o
x x+△x
x
f ( x , y )ds f ( x , y )dxdy D D
微积分九①
15/30
3.1、线性性 （二重积分与定积分有类似的性质） 性质1 (数乘性) (线性性之一) 当k为常数时，
kf ( x , y )ds k f ( x , y )ds .
某一平面区域上的函数有关的某种总量的数学
模型; 三元函数的三重积分是求与定义在 某一空间区域上的函数有关的某种总量的数学 模型，这些模型的数学结构相同，都是和式的 极限。
微积分九①
5/30
1.1、曲顶柱体的体积 ⑴曲顶柱体的引入 设 z f ( x , y ) 0 是定义在有界闭区域D上的连 续函数。 其图象是位于xy平面上方的一个连续曲面。 以曲面
f (x i ,h i )s i ,( i 1,2, , n ) ,并作和 f (x i ,h i )s i ，
如果当各小闭区域的直径中的最大值 d 趋近于零时，这 和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的二重积分，记为 f ( x , y ) d s ，
微积分九①
19/30
3.3、 1的积分与保序性
性质4(1的积分) 若 A 为D的面积,则
1 ds ds A
（高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的 底面积。） 性质5(保序性) 若在D上 f ( x , y ) g( x , y ), 则有 f ( x , y )ds g ( x , y )ds . (保号性)特别地, 若在D上有f(x,y)≥0(或≤0), 则
性质2 (可加性) (线性性之二)
D D
[ f ( x, y ) g( x, y )]ds
D
D
f ( x , y )ds g ( x , y )ds .
D
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
微积分九①
16/30
3.2、区域可加性 性质3 (区域可加性) 如果闭区域D被有限条曲线 分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等 于在各个部分闭区域上的二重积分的和. 例如: D被曲线分成D1、D2 两部分, 即D=D1 +D2,如图 所示, 则有 y D1 O D2 x
2( x 2 ax b) xdx sa
1
1
(2 x 2ax 2bx )dx 2ax 2dx 1
3 2 1 1
1
4a x dx
0
对称区间上的奇函数 1 4 令 2
3
a
0
a 0
微积分九①
2/30
同理
[ ( x 2 ax b)2 dx] sb b
D D
D
D
f x, y ds ≥0 (或≤0),
D
微积分九①
20/30
3.4、估值性与中值定理 性质6 (二重积分估值不等式) 设M 、m 分别是 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的 最大值和最小值， A 为 D 的面积，则 mA f ( x , y )ds MA 性质７ （二重积分中值定理） D D 设函数 f ( x , y ) 在闭区域 上连续，A 为 的面积，则在 D 上至少存在一点(x ,h ) 使得 f ( x , y )ds f (x ,h ) A
（高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的 y 底面积。） 1 6 例 若D为 : x y 1, 则 3ds ______ .
D D
: x y 1 : x y 1
3ds 3 ds
D D
D
-1
o
-1
1 x
: x y 1 3 4 1 1 1 6 2 V : x y 1
1i n i
微积分九①
11/30
2.1、二重积分的定义
定义 设 f ( x , y ) 是有界闭区域 D 上的二元函数，将 D 任意 分成n 个小闭区域 s 1 ,s 2 , ,s n ，其中 s i 表示第 i 个 小闭区域，也表示它的面积，任取 (x i ,h i ) ∈ s i ，作乘积
分
电 子 教 案
22/30
按定义: 二重积分是一个特定乘积和式极限
f ( x, y)ds lim f (x ,h )s
D d 0 i 1 i i
n
i
然而，用定义来计算二重积分，一般情况
下是非常麻烦的. 那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我们今 天所要研究的课题。下若D为 : 1 x 2 y 2 4, 则 dxdy ( 例
D
C
)
y
A. ;
2
B. 2 ;
2
C . 3 ;
D. 15 .
2 1 3
微积分九①
o 1 2 x
18/30
3.3、 1的积分与保序性 性质4(1的积分) 若 A 为D的面积,则
1 ds ds A
1/30
求多项式P ( x ) x ax b, 使积分值 P 2 ( x )dx最小.
2
1
设s P 2 ( x )dx s(a , b)
1
1
1
sa [ ( x ax b) dx ] a
2 2 1
1
积分不影响对 求导, 可以交换求导和积分的 a 次序.
微积分九①
10/30
1.2、求平面薄片的质量 问题2: 设平面薄片占有xoy面上的区域为D, 它在 点(x,y)处的密度为m (x,y),求此薄片的质量. ⑴分割:将区域D分割成n个 y 小区域△s1,△s2,…,△sn; (x i ,hi ) ⑵近似:每个小区域△si内 任取一点(xi,hi), 则小薄片 的质量近似为 s i △mi ≈m(xi,hi)△si; o x ⑶求和:所有小块质量之 ⑷取极限:得薄片总质量 n 和近似等于薄片总质量 M lim m (x i ,hi )s i . d 0 i 1 ∑△mi ≈∑m(xi,hi)△si; 其中d max{ s 的直径 }
23/30
2.1、积分区域表示法 设区域D由曲线 y y1 ( x ) 、y y2 ( x ) 以及直 线 x a 、x b ( y1 ( x ) y2 ( x ), a b) 所围成， 且在区间（a，b）内任一垂直于x轴的直线与该
区域的边界至多有两个交点，则称此类区域为 X －型区域。
D
D
中值定理几何意义: 在区域D上以曲面f(x,y)为顶的 曲顶柱体的体积等于同一区域上以某一点(x,h)的 值f(x,h)为高的平顶柱体的体积.
微积分九①
微 积
Calculation of double integral
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的应用
微积分九①
1
微 积
分
电 子 教 案
Conception and property of double integral 一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的基本性质
4/30
一、问题的提出
一元函数定积分是求与定义在某一区间上 的函数有关的某种总量的数学模型; 作为推广，二元函数的二重积分是求与定义在
z f ( x , y ) 为顶，
z f ( x, y)
D
以闭区域D为底，侧面是以D 的边界为准线，以平行于 z 轴的直线为母线的柱面所围 成的立体称为曲顶柱体。
微积分九①
6/30
1.1、曲顶柱体的体积 平顶柱体体积=底面积×高 特点: 平顶. 问题1:一曲顶柱体其顶为 曲面 z f ( x , y ) 底面为 平面区域D，求此曲顶柱
Vi f (x i ,hi ) s i
x ③求和：所有小区域对应
D
o
y
(xi ,hi )
s i
小曲顶柱体体积之和为
④取极限：
n d 0 i 1
Vi f (x i ,hi )s i
i 1 i 1
n
n
其中d max{ s i的直径 }
1i n
V lim f x i ,hi s i
D
n
i 1
即
积分区域 积分变量被积表达式 面积元素 微积分九①
f ( x , y )ds lim f (x i ,h i )s i . 积分和 0 i 1
D
n
被积函数
12/30
2.2、定义说明与几何意义 ⑴对二重积分定义的说明： ①当f(x,y)在闭区域上连续时，定义中和式的极限 必存在，即二重积分必存在，f(x,y)在D上可积。 ②二重积分表示一个确定的实数,它与被积函数，积 分区域有关，与积分变量“用什么字母表示”无关。 ⑵二重积分的几何意义 ①当f(x,y)≥0时, 二重积分是曲顶柱体的体积． ②当f(x,y)≤0时, 二重积分是曲顶柱体体积的负值. ③如果f(x,y)既有正又有负,则二重积分 f x, y ds D 解释为曲顶柱体体积的代数和。
x
26/30
y
y y2 ( x )
D
y y1 ( x )
o
微积分九①
a
b
x
25/30
例1 如图,试用X型区域表示法表示下列区域D：
y 2x
y
y
yx
D1 D2
yx
2
D
o
1
xy 1
x
0 x 1 D: x y 2x
微积分九①
o 12 1 2 D D1 D2 1 / 2 x 1 1 x 2 D1 : D2 : 1 / x y 2 x y 2