青海大学6_2 定积分在几何学上的应用概论

AdA0
x x2 dx
1 3
在第一象限
y y2 x (1,1) y x2
ox 1 x xdx
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例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
的面积 .
解: 由
得交点
y yd y
y2 2x
(8, 4)
(2, 2) , (8, 4)
y
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
o (令u t )
2
3 a2
2 a x
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2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
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例5. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
§6.2 定积分在几何 学上的应用
0011 0010 1010 1101 00一01、01平00面10图11形的面积
1 二、平面曲线的弧长
2 三、已知平行截面面积函数的立体体积
4 四、旋转体的侧面积 1
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形 设曲线
与直线
y y f (x)
及 x 轴所围曲 边梯形面积为 A , 则
M i1M i
i1
并称此曲线弧为可求长的.
y M i1
A M0
o
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
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(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2 1 y2 dx (P180)
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a b 1 f 2 (x) dx a
oa
x
x
dbx
x
dA f (x)dx
b
A a f (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
右下图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
o axxdx b x
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例1. 计算两条抛物线 所围图形的面积 .
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
1
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例7. 计算心形线 r a(1 cos ) (a 0) 与圆 r a
所围图形的面积 .
1 2cos cos2
解: 利用对称性 , 所求面积
A 1a2 2
2
2
1 a2 (1 cos
2
)2 d
1 2
(1
cos
2
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)
1 a2 a2 2
2
(3 2
2 cos
1 2
cos
2 )
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
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(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
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(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r( )cos , y r( )sin , 则得 dx (r( )cos r( )sin )d dy (r( )sin r( )cos )d
解: A 2 1 (a )2 d 02
a2 2
13
3
2
0
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
点击图片任意处 播放开始或暂停
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例6. 计算心形线
面积 . 解:
1 a2 (1 cos )2 d
2
a2 4 cos4 d
0
2
令
t
2
8a2 2 cos4t dt 0
所围公共部分的面积 .
答案:
A 2
6 a2 sin 2 d
0
4 6
1 2
a
2
cos 2
d
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二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
s lim 0
弧长元素(弧微分) :
ds [ x( )]2 [ y( )]2 d
r 2 ( ) r2 ( ) d (自己验证)
因此所求弧长
s r 2 ( ) r2 ( ) d
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例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,
成悬链线 . 悬链线方程为
y c ch x (b x b) c
则有
4
AdA
2
(
y
4
1 2
y
2
)
dy
o
yx4 x
(2, 2)
18
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例3. 求曲线 ln x ln y 1 所围图形的面积.
解：显然 ln x 1, ln y 1
y
e1 x e , e1 y e
e
ln x , 1 x e
又 ln x
y ex xy e
ln x , e1 x 1
y
d
1 a2 a2 (3 2)
2
4
5 a2 2a2
4
o
a 2a x
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例8. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
1 a2 cos2 d
2
y
4
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
o
ax
a2sin 2 a2
4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
1
1
ln y ln y , 1 y e ln y , e1 y 1
e
o1 1
e
故在区域
e1 e1
x 1中曲线为 y 1
xy 1, e
x
y
1 e
同理其它.
ex
y
x e
面积为
S
11(ex
e
1) ex
dx
e(e x)dx e 1 1
1x e
2e 2
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一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按逆时针方向规定起点和终点的参数值
求这一段弧长 .
y c
b o
下垂 bx
解:
1 sh2 x dx ch x dx
c
c
s
b
20 ch
8a2 3 1 3 a2
422 2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
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心形线(外摆线的一种)
x2 y2 ax a x2 y2
即 r a(1 cos )
参数的几何意义 y
点击图中任意点 动画开始或暂停
oa x
• 尖点: (0 , 0)
• 面积:
3 2
a
2
• 弧长: 8a
则曲边梯形面积
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例4. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
2
AdA0 a (1 cos t) a (1 cos t) d t
a2 2 (1 cos t)2 d t 0
y
4a2 2 sin 4 t d t
0
2
8a2 sin 4 u d u 0
16 a2 2 sin 4 u d u 0