苏教版2017高中数学(必修四)第一章 1.3.4 三角函数的应用(2)PPT课件
苏教版必修4高中数学1.3.4《三角函数的应用》ppt课件2
§1.3.4 三角函数的应用
高中数学必修4·同步课件
引入课题
三角函数可以作为描述现实世界周期现象的 数学模型.
1.气象学—— ①气温变化规律 ②月圆与月缺 涨潮与退潮
2.航海—— 水深与船舶航行
引入课题
某港口在某季节每天 的时间与水深关系表：
潮汐对轮船进出港 口产生什么影响？
m的安全间隙，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
7.若某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船
在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，
那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水
域？
9
8
7
6
5
P
4
3
2
1
2
4
6
8
10
12
课堂小结
现实问题
是否符合实 际 修改
现实模型 的解
想一想
深入探索 5.选用一个适当的函数来近似描述这个港口的水深与 时间的函数关系，给出整点时间的水深近似值。
6.货船的吃水深度为4m，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
7.若某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在2:
00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那
还原 说明
改
三角函数
造
模型的解 数学 方法
抽象 现实模型 概括
三角函数 模型
解析式 图形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
高中数学苏教版必修四课件1.3.4 三角函数的应用
最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解 依题意知，周期 T≤1150，即2ωπ≤1150(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N＋， 故所求最小正类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、 用图是数形结合的有效途径.
跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆 动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系 是S＝6sin(2πt＋π6 ). (1)画出它的图象；
1234
解析 答案
3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小
球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角.α作为时间t(s)的函数，
近似满足关系式α＝Asin(ωt＋ π2)，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t＝0)时，
α＝π3，且每经过π s小球回到初始位置，那么A＝
解答
(2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置多少？ 解 小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ 解 小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解 小球来回摆动一次需要1 s(即周期).
衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝ 3cos
gl t＋π3 ，其中g
g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝ 4π2 cm.
解析 ∵T＝ 2πg＝1， l
∴ gl ＝2π，∴l＝4gπ2.
1234
解析 答案
2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝
跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面 2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人 经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时. (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； 解 设在t s时，摩天轮上某人在高h m处. 这时此人所转过的角为320πt＝1π5t， 故在 t s 时，此人相对于地面的高度为 h＝10sin 1π5t＋12(t≥0).
高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件1.3.4 三角函数的应用
问题导学
当堂检测
一、三角函数在物理学中的应用
活动与探究
表示电流 I 与时间 t 的关系式 I=Asin(ωt+φ) A>0,ω>0,0<φ<
π 2
的部分图象,如图所示.
问题导学
当堂检测
(1)根据图象写出 I=Asin(ωt+φ)的解析式; (2)I=Asin(ωt+φ)中的 t 在任意一段
1 秒的时间内都能使 100
3.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4 s 小球往复振动一次.
问题导学
当堂检测
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流随时间 变化规律等问题中,此类问题中要弄清振幅、频率、周期、初相的定义 和表示方法.
问题导学
当堂检测
二、三角函数在日常生活中的应用
活动与探究
如图为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8 m,圆上最低点与地面的 距离为 0.8 m,60 秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针 转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面的距离是 h. (1)求 h 与 θ 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,求 h 与 t 之间的函数解析 式,并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少? 思路分析:由题意得 h 与 θ 的三角函数关系,再由此函数关系得 h 与 t 的解析式.最后由三角函数的性质求 t 的值.
2π ������
1 − 60
-
1 300
=
1 . 50
故 ω= =100π,此时所求函数的解析式为 I=300sin(100πt+φ). ∵ 图象过点
2π 3 1 ,0 150 1 ,∴ 100π× +φ=kπ,k∈Z, 150
高中数学必修四三角函数PPT课件
01
02
03
04
第一象限
正弦、余弦、正切均为正。
第二象限
正弦为正、余弦为负、正切为 负。
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
02 三角函数诱导公 式与变换
诱导公式及其应用
诱导公式的基本形式
01
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的等价表
达式。
诱导公式的推导
02
正切函数的周期为$pi$，即$tan(x + kpi) = tan x$，其中$k in Z$。
三角函数的奇偶性
正弦函数是奇函数， 即$sin(-x) = -sin x$。
正切函数是奇函数， 即$tan(-x) = -tan x$。
余弦函数是偶函数， 即$cos(-x) = cos x$。
三角函数在各象限的符号
三角恒等变换
和差化积、积化和差等公式及应用
三角函数的图像与性质
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
余弦定理及其应用
余弦定理的公式表达 在任意三角形ABC中，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，以及相应的其他两个式子。
余弦定理的推导 通过向量的数量积和投影进行推导。
余弦定理的应用 用于求解三角形的边和角，尤其在已知三边或两边及夹角 的情况下。同时，也可用于判断三角形的形状（锐角、直 角或钝角）。
1.3.4三角函数的应用 ppt课件(29张) 高中数学 必修四 苏教版
2．三角函数模型的应用 应用三角函数模型解决实际问题，首先把实际问题抽象为数 学问题，通过收集数据，画散点图，并分析它的变化趋势，确定 它的周期，从而建立起适当的三角函数模型．
试一试：结合例题归纳三角函数模型应用的步骤． 提示 步骤可记为： 审读题意―→建立三角函数式―→用三角 函数知识解答―→转化为实际问题． 想一想：三角函数模型主要作为描述现实世界中怎样现象的 模型？ 提示 数学模型． 三角函数模型主要作用为描述现实世界中周期现象的
2．三角函数模型应用流程 (1)审题：选用什么样的函数模型解题． (2)建模：根据题意，列出数量关系，建立三角函数模型． (3)解模：运用三角函数的相关公式进行化简． (4)还原：解模后还要根据实际问题的背景，进行检验，并作 答.
题型一 求函数解析式 【例 1】 如图所示，某地一天从 8～14 时的用电量变化曲线 近似满足函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b (0≤φ<2π) 代入上式，结合 φ 的取值范围解得 φ＝6. 所以所求解析式为
π π y＝10sin6x＋6＋40，x∈[8,14]．
规律方法
确定函数关系式 y＝A sin(ωx＋φ)＋b 就是确定其中
的参数 A，ω，φ 等，从图象的特征上寻找答案，A 主要由最值确 定，ω 由周期确定，周期通过特殊点求得，如相邻两个最大、最 小值点相差半个周期， φ 可由函数图象上的点的坐标及其取值范围 求得．
名师点睛 1．用三角函数模型解决实际问题 (1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式．例 如 y＝Asin(ωx＋φ)， 然后根据图象确定解析式中的字母参数， 在求 解过程中还要注意结合函数性质． (2)由图象研究函数性质：观察分析函数图象，先求单调性、 奇偶性、对称性、周期性，然后再求最值、周期等． (3)利用三角函数研究实际问题：首先分析，归纳实际问题， 抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解 答出实际问题．
高中数学苏教版必修4课件第一章 三角函数 1.3.3.2精选ppt课件
由图象关于 M34π，0对称可知， sin34πω＋π2＝0，则34πω＋π2＝kπ，k∈Z， 解得 ω＝43k－23，k∈Z. 又 f(x)在0，2π上是单调函数， ∴T≥π，即2ωπ≥π，∴ω≤2，又 ω＞0， ∴当 k＝1 时，ω＝23；当 k＝2 时，ω＝2.
【提示】 均相差半个周期．
已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，其图象 关于点 M34π，0对称，且在区间0，π2上是单调函数，求 φ 和 ω 的值．
【精彩点拨】 由 f(x)为偶函数求 φ，由对称中心及单调性求 ω. 【自主解答】 ∵f(x)在 R 上是偶函数， ∴当 x＝0 时，f(x)取得最大值或最小值． 即 sin φ＝±1，得 φ＝kπ＋2π，k∈Z， 又 0≤φ≤π，∴φ＝π2.
1.3 三角函数的图象和性质
1.3.3 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
学 业
分
第 2 课时
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
层 测
评
1．能由三角函数的图象求出解析式．(重点，易错点) 2．掌握 y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质．(重点)
[基础·初探] 教材整理 y＝Asin(ωx＋φ)的性质 阅读教材 P37～P38 的有关内容，完成下列问题． 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质如下：
且 2×71π2＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－6π(k∈Z)． 又|φ|＜2π，∴φ＝－π6. 【答案】 2 －π6
3．已知 ω＞0,0＜φ＜π，直线 x＝4π和 x＝54π是函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两 条相邻的对称轴，则 φ＝________. 【导学号：06460034】
【答案】 ②③
高中数学 1.3.4 三角函数的应用配套课件 苏教版必修4
课 堂 互 动 探 究
菜单
SJ·数学 必修4
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
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易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
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易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
达 标
课 一个周期内的图象．
图 1－3－13
前
课
自 主
(1)试根据图象写出 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
时 作
导
业
学 课
(2)为了使 I＝Asin(ωt＋φ)中 t 在任意一段1100秒的时间内 教
堂
师
互 动
电流强度 I 能同时取得最大值|A|与最小值－|A|，那么，正整
备 课
探
资
究 数 ω 的最小值是多少？
SJ·数学 必修4
教
易
学
错
教
易
法 分
●教学建议
误 辨
析
析
在本课的教学中，建议教师
教
当
学
堂
最新【苏教版】数学必修四：1.3.4《三角函数的应用》ppt课件
∴21cos
π 6 t＋1＞1.∴cos
π 6 t＞0.
∴2kπ－π2 ＜π6 t＜2kπ＋π2 ，k∈Z. 即 12k－3＜t＜12k＋3.③ ∵0≤t≤24，故可令③中 k 分别为 0，1，2， 得 0≤t＜3 或 9＜t＜15 或 21＜t≤24. ∴在规定时间上午 8：00 至晚上 20：00 之间，有 6 个小时可供 冲浪者运动．
分析：根据图象求函数解析式，关键要把握图象与函数性质的关 系，从而确定出相关的数值．
解析：(1)由图知，A＝300，12·T＝1180－－1900＝1510，
∴T＝715.∴ω＝2Tπ＝150π.
又∵sin150π·1810＋φ＝0，
而|φ|<π2 ，∴φ＝π6 .
∴I＝300sin150πt＋π6 . (2)∵t 在任一段1150秒内 I 能取到最大值和最小值，
分析：把数学问题与实际相结合，弄清条件，推导所求．
解析：(1)由表中数据，知周期 T＝12，
∴ω＝2Tπ＝21π2 ＝π6 .
由 t＝0，y＝1.5，得 A＋b＝1.5.①
由 t＝3，y＝1.0，得 b＝1.0.②
由①，②⇒A＝0.5，b＝1，∴振幅为12.∴y＝12cos
π 6 t＋1.
(2)由题知，当 y＞1 时才可对冲浪者开放，
变式训练
2．一个单摆如图所示，角(弧度)从竖直开始移动作为时间(秒)
的函数满足
f(t)＝12sin2t＋π2
.
(1)最初时角(弧度)是多少？
(2)频率是多少？
(3)多长时间单摆完成 5 次完整摆动？
π 解析：(1)当 t＝0 时，最初时角为 2 rad.
(2)f＝T1＝2ωπ＝2π2 ＝π1 .
高中数学苏教版必修4教案：第一章 三角函数 第16课时 1.3.4三角函数的应用(2)
第十六课时 §1.3.4 三角函数的应用（2）【教学目标】 一、知识与技能：会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型 二、过程与方法从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用三、情感态度价值观：培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活教学重点难点：建立三角函数的模型 【教学过程】 一．复习回顾1、 回顾课本 “三角函数的周期性”2、 求函数sin()y A x k ωϕ=++的解析式 二、例题分析： 例1、（教材P46的11）点评：本题和例2类似分析，合理建系找关系，从而得出三角函数解析式解决问题。
例2、 (教材P44例3)点评：本题是一个与潮汐运动有关的港口水深问题，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象确定sin()y A x k ωϕ=++的解析式即可。
三、课堂小结：通过这两节课的学习,利用三角函数描述具有周期性现象的问题时,你总结出了怎样 的好的解决办法?四、课后思考：1、下表是某城市1973－2002年月平均气温（华氏 °F ）若用x 表示月份，y 表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是（ ）A ．26cos6y x π= B ．(1)26cos466x y π-=+C ．(1)26cos466x y π-=-+ D ．26sin266y x π=+2、某港口水的深度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：时）的函数，记作y=f （t ），下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f （t ）的曲线可以近似地看成函数y Asin(t )k =ω+ϕ+的图象. （1）试根据以上数据，画出函数y f (t)=的草图，并求其近似表达式； （2）试说明y f (t)=的图象可由y sin t =的图象经过怎样的变换得到；（3）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）369121518212410。
三角函数的应用 ppt课件(40张) 高中数学 必修四 苏教版
三角函数在日常生活中的应用 下表是某地1981～2013年月平均气温(单位：华氏)． 月份 1 2 26.0 8 71.9 3 36.0 9 64.7 4 48.8 10 53.5 5 59.1 11 39.8 6 68.6 12 27.7
平均气温 2为 x 轴，x＝月份－1，以平均气温为 y 轴． (1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据． (2)这个函数的周期是多少？ (3)估计这个正弦曲线的振幅 A. (4)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据． y－ 46 y πx πx ① ＝ cos( )； ② ＝ cos( )； 6 6 A A y－ 46 y－ 26 πx πx ③ ＝ cos( )； ④ ＝ sin( )． 6 6 A －A (链接教材 P44 练习 T1)
解答与三角函数有关的应用题的程序 (1)审题
审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖 掘等， 通 过
阅读，真正理解用普通文字语言表述的实际 问题的 类型、 思 想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型．有些 问 题 中 采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅 读， 准 确 把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件．
1 1 π 5 解析：t＝ s 时，I＝5sin(100π× ＋ )＝ (A)． 200 200 3 2
3. 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距 π 离 s cm 和时间 t s 的函数关系式为： s＝6sin2πt＋6 ，那
1s ． 么单摆来回摆动一次所需的时间为 ________
[解 ]
(1)如图所示．
(2)1 月份的气温最低为 21.4，7 月份的气温最高为 73.0，根 T 据图知， ＝ 7－ 1＝ 6，∴ T＝ 12. 2
高中苏教版数学必修4 第1章 1.3 1.3.4 三角函数的应用课件PPT
[答案]
2π (1)|ω|
2π (2)|ω|
π (3)|ω|
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3．某人的血压满足函数关系式 80
f(t)＝24sin 160πt＋110，其中 f(t)为血 压，t 为时间，则此人每分钟心跳的 80.]
[∵T＝126π0π＝810，∴f＝T1＝
次数为________．
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合作探究 提素养
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(1)求出你与地面的距离 y(米)与时间 t(分钟)的函数关系式； (2)当你第 4 次距离地面 60.5 米时，用了多长时间？ 思路点拨： 审清题意 → 建立函数模型 → 解答函数模型 → 得出结论
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[解] (1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知，可设 y＝ 40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为 12 分钟可知，当 t＝6 时，摩天轮第 1 次到达最高点，即此函数第 1 次取得最大值，所以 6ω＝π，即 ω＝π6.所以 y＝40.5－40cosπ6t(t≥0)．
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[解] (1)由图知，A＝300. T2＝1180－－9100＝1150， ∴T＝715，∴ω＝2Tπ＝150π. I＝300sin(150πt＋φ)． 由－9100，0为第一个关键点，
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∴150π·－9100＋φ＝0，∴φ＝π6， ∴所求解析式为 I＝300sin150πt＋π6，t∈[0，＋∞)． (2)由题意 T≤1150，即2ωπ≤1150， ∴ω≥300π≈942.5， ∴所求 ω 的最小正整数值是 943.
提示：A，b 与函数的最大值 ymax，最小值 ymin 关系如下： (1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b； (2)A＝ymax－2 ymin，b＝ymax＋2 ymin.
高中数学 第一章 三角函数 1.3.4 三角函数的应用课件
(3)经过多长时间小球往返振动一次？ 解 T＝22π＝π≈3.14， 即每经过约3.14秒小球往返振动一次.
(4)每秒内小球能往返振动多少次？ 解 f＝T1≈0.318，即每秒内小球往返振动约 0.318 次.
要点三 构建函数模型解题 例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区 域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期 性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
(2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)
都能取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？ 解 依题意，周期 T≤1150，即2ωπ≤1510(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N*， 故所求最小正整数ω＝943.
规律方法 例题中的函数模型已经给出，观察图象和 利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而 确定函数解析式.此类问题解题关键是将图形语言转化 为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的 有效途径.
跟踪演练 2 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间 t(s)内离开平
衡位置(静止时的位置)的距离 h(cm)由下面的函数关系式表示：
h＝3sin2t＋π4.
(1)求小球开始振动的位置；
解 令 t＝0，得 h＝3sinπ4＝322，
所以开始振动的位置为0，3
2
2 .
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置； 解 由题意知，当 h＝3 时，t＝8π，即最高点为π8，3；当 h ＝－3 时，t＝58π，即最低点为58π，－3.
要点二 应用函数模型解题 例 2 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I＝Asin(ωt＋φ). (1)如图所示的是 I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内 的图象，根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
高中数学 第1章 三角函数 1.3.4 三角函数的应用教学设计 苏教版必修4
1.3.4 三角函数的应用整体设计教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习．本节通过例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，本节在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用．通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力．培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等．三维目标1．能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律．将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型．2．通过函数拟合得到具体的函数模型，提高数学建模能力，并在探究中激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神．3．通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系．认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用．体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力．重点难点教学重点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题，是本节的难点，主要原因是背景陌生，数据处理较复杂，学习起来感到难以切入．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动，小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在，那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课．思路2.(直接导入)我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，特别研究了三角函数的周期性．在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么是否可以借助三角函数来描述呢？面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用．推进新课新知探究用三角函数的图象和性质解决一些简单的生活实际问题．活动：师生互动，唤起回忆，充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程．对课前已经做好复习的学生给予表扬，并鼓励他们类比以前所学知识方法，继续探究新的数学模型．对还没有进入状态的学生，教师要帮助其回忆并快速激起相应的知识方法．在教师的引导下，学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是：收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题．这点很重要，学生只要有了这个认知基础，本节的简单应用便可迎刃而解．新课标下的教学要求，不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题，而是教师引领学生逐步登高，在合作探究中自己解决问题，探求新知．简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．解决问题的一般程序是：(1)审题：逐字逐句地阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；(2)建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；(3)求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；(4)还原：把数学结论还原为实际问题的解答．应用示例思路1例1见课本本节例1.变式训练如图1，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝sin(ωx＋φ)＋b.图1(1)求这一天的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式．活动：这道题目是2002年全国卷的一道高考题，探究时教师与学生一起讨论．本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题．教师可引导学生思考，本题给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决． 题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型．其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式，然后再求函数的最值差．教师应引导学生观察思考：“求这一天的最大温差”实际指的是“求6时到14时这段时间的最大温差”，可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式．让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用．第(2)小 题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数，即可确定其解析式．其中求ω是利用半周期(14－6)，通过建立方程得解．解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A＝12(30－10)＝10，b ＝12(30＋10)＝20. ∵12·2πω＝14－6，∴ω＝π8.将x ＝6，y ＝10代入上式，解得φ＝3π4.综上，所求解析式为y ＝10sin(π8x ＋3π4)＋20，x∈[6,14]． 点评：本题中所给出的一段图象恰好是半个周期的图象，提醒学生注意抓关键．本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被学生忽略掉.例2见课本本节例2.例3如图2，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h 0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？图2活动：本例所用地理知识、物理知识较多，综合性比较强，需调动相关学科的知识来帮助理解问题，这是本节的一个难点．在探讨时要让学生充分熟悉实际背景，理解各个量的含义以及它们之间的数量关系．首先由题意要知道太阳高度角的定义：设地球表面某地纬度值为φ，正午太阳高度角为θ，此时太阳直射纬度为δ，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带，图形如图3，由画图易知太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：h0＝htanθ.由地理知识知，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长．因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南回归线时的情况．解：如图3，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点．要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意，两楼的间距应不小于MC.图3根据太阳高度角的定义，有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′，所以MC＝h0tanC＝h0tan26°34′≈2.000h0，即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距．点评：本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的函数模型解决问题．要直接根据图2来建立函数模型，学生会有一定困难，而解决这一困难的关键是联系相关知识，画出图3，然后由图形建立函数模型，问题得以求解．这道题的结论有一定的实际应用价值．教学中，教师可以在这道题的基础上再提出一些问题，如下例的变式训练，激发学生进一步探究.知能训练课本本节练习1、2.课堂小结1．本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用，即根据图象建立解析式，根据解析式作出图象，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？2．实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它．因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．作业1．图5表示的是电流I 与时间t 的函数关系I ＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象．图5(1)根据图象写出I ＝Asin(ωx＋φ)的解析式．(2)为了使I ＝Asin(ωx＋φ)中的t 在任意一段1100s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值为多少？解：(1)由图知A ＝300，第一个零点为(－1300，0)，第二个零点为(1150，0)， ∴ω·(－1300)＋φ＝0，ω·1150＋φ＝π. 解得ω＝100π，φ＝π3. ∴I＝300sin(100πt＋π3)． (2)依题意有T≤1100，即2πω≤1100， ∴ω≥200π，故ωmin ＝629.2．搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型．解：如以下两例：①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化，如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物，以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层，虽有保护身体的作用，但限制动物的生长、发育．因此，在胚后发育过程中，必须进行1次或数次脱去旧表皮，再长出宽大的新表皮后，才变成成虫，这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”，只有这样，虫体才能得以继续充分生长、发育．蜕皮现象的发生具有周期性，但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的．此外，脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显，如蜥蜴和蛇具有双层角质层，其外层在定期蜕皮时脱掉，蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤，约每2个月为一个周期可完整地脱落1次，称为蛇蜕．设计感想1．本教案设计指导思想是：充分唤起学生已有的知识方法，调动起相关学科的知识，尽量降低实例背景的相对难度，加大实际问题的鲜明、活跃程度，以引发学生探求问题的兴趣．2．应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型．如果学生选择了不同的函数模型，教师应组织学生进行交流，或让学生根据自己选择的模型进行求解，然后再根据所求结果与实际情况的差异进行评价．3．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，有条件的要用多媒体进行动态演示，以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解．备课资料一、备选习题1．下列函数中，图象的一部分如图6所示的是( )图6A ．y ＝sin(x ＋π6)B ．y ＝sin(2x －π6) C ．y ＝cos(4x －π3) D ．y ＝cos(2x －π6) 2.已知函数y ＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜π)的一段图象如图7所示，求函数的解析式．图73．已知函数y ＝Atan(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象与x 轴相交的两相邻点的坐标为(π6，0)和(5π6，0)，且过点(0，－3)，求此函数的解析式． 4．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s ＝6sin(2πt＋π6)． (1)单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置多少厘米？ (2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆来回摆动一次需要多少时间？ 5．函数f(x)＝sinx ＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y ＝kx 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．参考答案：1．D2．由图7，得A ＝2，T 2＝3π8－(－π8)＝π2，∴T＝π.∴ω＝2.∴y＝2sin(2x ＋φ)．又∵图象经过点(－π8，2)，∴2＝2sin(－π4＋φ)．∴φ－π4＝2kπ＋π2(k∈Z )．∴φ＝2kπ＋3π4.∴函数解析式为y ＝2sin(2x ＋3π4)．3．∵T＝πω＝5π6－π6，∴ω＝32.∵32×π6＋φ＝0，且－3＝Atan(32×0＋φ)，∴A＝3，φ＝－π4.故y ＝3tan(32x －π4)．4．(1)t ＝0时，s ＝3，即离开平衡位置3厘米；(2)振幅为6，所以最右边离平衡位置6厘米；(3)T ＝1，即来回一次需要1秒钟．5.将原函数化简为f(x)＝sinx ＋2|sinx|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3sinx ，x∈[0，π]，－sinx ，x∈π，2π]，由此可画出图8，图8由数形结合可知，k的取值范围为1＜k＜3.二、数学与音乐若干世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起．在中世纪时期，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中．今天的新式计算机正在使这条纽带绵延不断．乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域．在乐稿上，我们看到速度、节拍(4/4拍、3/4拍，等等)、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符，等等．书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应．作曲家创作的音乐是在书写出的乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体的．如果将一件完成了的作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数．除了数学与乐谱的明显关系外，音乐还与比率、指数曲线、周期函数和计算机科学相联系．毕达哥拉斯学派(公元前585～前400)是最先用比率将音乐与数学联系起来的．他们认识到拨动琴弦所产生的声音与琴弦长度有关，从而发现了和声与整数的关系．他们还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的——事实上被拨弦的每一和谐组合可表示成整数比．按整数比增加弦的长度，能产生整个音阶．例如，从产生音符C的弦开始，C的16/15长度给出B，C的6/5长度给出A，C的4/3长度给出G，C的3/2长度给出F，C的8/5长度给出E，C的16/9长度给出D，C的2/1长度给出低音C.不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器，它们的结构都反映出一条指数曲线的形状．19世纪数学家约翰·傅里叶的工作使乐声性质的研究达到顶点．他证明所有乐声——器乐和声乐——都可用数学式来描述，这些数学式是简单的周期正弦函数的和．每一个声音有三个性质，即音高、音量和音质，将它与其他乐声区别开来．傅里叶的发现使声音的这三个性质可以在图形上清楚地表示出来．音高与曲线的频率有关，音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关．如果不了解音乐的数学，在计算机对于音乐创作和乐器设计的应用方面就不可能有进展．数学发现，具体地说即周期函数，在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面是必不可少的．许多乐器制造者把他们的产品的周期声音曲线与这些乐器的理想曲线相比较．电子音乐复制的保真度也与周期曲线密切相关．音乐家和数学家将继续在音乐的产生和复制方面发挥着同等重要的作用．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(作业导入)学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有：物理情景的①简单和谐运动，②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律，②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动，②智力变化状况，③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮，②股票变化等等．思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子，这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用．推进新课新知探究三角函数性质在生活中的应用．本章章头引言告诉我们，海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象．回忆上节课的内容，怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？教师引导学生复习、回忆、理清思路，查看上节的课下作业．教师指导、适时设问，调动学生的学习气氛．应用示例例1货船进出港时间问题：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001)．(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？活动：引导学生观察上述问题表格中的数据，会发现什么规律？比如重复出现的几个数据．并进一步引导学生作出散点图．让学生自己完成散点图，提醒学生仔细、准确地观察散点图，如图9.图9教师引导学生根据散点的位置排列，思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律．根据散点图中的最高点、最低点和平衡点，学生很容易确定选择三角函数模型．港口的水深与时间的关系可以用形如y＝Asin(ωx＋φ)＋h的函数来刻画．其中x是时间，y是水深，我们可以根据数据确定相应的A，ω，φ，h的值．这时注意引导学生与“五点法”相联系．要求学生独立操作完成，教师指导点拨，并纠正可能出现的错误，直至无误地求出解析式，进而根据所得的函数模型，求出整点时的水深．根据学生所求得的函数模型，指导学生利用计算器进行计算求解．注意引导学生正确理解题意，一天中有两个时间段可以进港．这时点拨学生思考：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合，应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯．在本例的(3)中，应保持港口的水深不小于船的安全水深，那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考，怎样把此问题翻译成函数模型？求货船停止卸货、将船驶向深水域的含义又是什么？教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释，同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变，停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候．进一步引导学生思考：根据问题的实际意义，货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价．通过讨论或争论，最后得出一致结论：在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨．解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图9)．根据图象，可以考虑用函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋h 刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：A ＝2.5，h ＝5，T ＝12，φ＝0，由T ＝2πω＝12，得ω＝π6. 所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin(π6x)＋5近似描述． 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：(2)货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5(米)，所以当y≥5.5时就可以进港．令2.5sin(π6x)＋5≥5.5，得sin π6x≥0.2.画出y ＝sin(π6x)的图象，由图象可得 0．4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6.故该船在0：24至5：36和12：24至17：36期间可以进港．图10(3)设在时刻x 货船的安全水深为y ，那么y ＝5.5－0.3(x －2)(x≥2)．在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点(如图11)．图11通过计算也可以得到这个结果．在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时货船的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而货船的安全水深约为4米．因此为了安全，货船最好在6.7时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．点评：本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题，题目只给出了时间与水深的关系表，要想由此表直接得到函数模型是很困难的．对第(2)问的解答，教师需要强调，建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的．这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析．如本例中，一天中有两个时间段可以进港，教师应引导学生根据问题的实际意义，对答案的合理性作出解释. 变式训练 发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数，I A ＝Isinωt，I B ＝Isin(ωt＋120°)，I C ＝Isin(ωt＋240°)，则I A ＋I B ＋I C ＝__________. 答案：0例2已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4＋π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若sinx ＋f(x)＝23，求sinxcosx 的值． 解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)．∴φ＝π2.∴f(x)＝sin(ωx＋π2)＝cosωx. 相邻两点P(x 0,1)，Q(x 0＋πω，－1)． 由题意，|PQ|＝πω2＋4＝π2＋4，解得ω＝1. ∴f(x)＝cosx.(2)由sinx ＋f(x)＝23，得sinx ＋cosx ＝23. 两边平方，得sinxcosx ＝－518. 例3小明在直角坐标系中，用1 cm 代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象．若他将纵坐标改用2 cm 代表一个单位长度，横坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm 代表一个单位长度，而纵坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解：小明原作的曲线为y ＝sinx ，x∈R ，由于纵坐标改用了2 cm 代表一个单位长度，与原来1 cm 代表一个单位长度比较，单位长度增加到原来的2倍，所以原来的1 cm 只能代表12个单位长度了．由于横坐标没有改变，曲线形状没有变化，而原曲线图象的解析式变为y ＝12sinx ，x∈R .同理，若纵坐标保持不变，横坐标改用2 cm 代表一个单位长度，则横坐标被压缩到原来的12，原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后，原曲线图象的解析式变为y ＝sin2x ，x∈R .例4求方程lgx ＝sinx 实根的个数．解：由方程式模型构建图象模型．在同一坐标系内作出函数y ＝lgx 和y ＝sinx 的图象，如图12.可知原方程的解的个数为3.图12点评：单解方程是很困难的，而根据方程式模型构建图象模型，利用数形结合来解就容易多了，教师要让学生熟练掌握这一方法．知能训练课本习题1.3 14.课堂小结1．让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题，用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划，以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用．2．三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题．在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活地运用三角函数的图象和性质解决现实问题．作业课本习题1.3 13.设计感想1．本节是三角函数内容中新增加的一节，目的是加强学生的应用意识，本节教案设计的指导思想，是让学生围绕着采集到的数据展开讨论，在学生思考探究的过程中，学会积极冷静地对待陌生背景，正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系，这很符合新课改理念．2．现实生活中的问题是多变的，学生的思维是发散的，观察的视角又是多样的，因此课题教学中，教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点，通过讨论例题这个载体，充分激发学生的潜能，让学生从观察走向发现，从发现走向创造，走向创新．3．学生面对枯燥的数据，潜意识里是讨厌的，因此教师要在有限的课堂时间里，着重解决物理背景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定，不要把时间浪费在一些计算上．备课资料一、备选习题1．图13是周期为2π的三角函数f(x)的图象，那么f(x)可写成( )图13A．sin(1＋x) B．sin(－1－x)C．sin(x－1) D．sin(1－x)。
高中苏教版数学必修4 第1章 1.3 1.3.2 第3课时 正切函数的图象与性质课件PPT
y＝tan x 与 y＝－tan x 的单调性相反，
所以 y＝－tan x 的单调递减区间为
－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)．]
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合作探究 提素养
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正切函数的定义域 【例 1】 求下列函数的定义域． (1)y＝1＋tan12x－π4； (2)y＝ 3tan x－3. 思路点拨：(1)分母不为 0，且 tan2x－π4有意义； (2)被开方数非负，且 tan x 有意义．
(2)×.正切函数不是轴对称图形． (3)×.正切函数的对称中心为k2π，0，k∈Z. [答案] (1)× (2)× (3)×
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2．函数 f(x)＝tanx＋π6的定义域
xx≠kπ＋π3，k∈Z
3 [由
是________，fπ6＝________.
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2．(1)求函数 y＝3tanπ4－2x的单调区间； (2)比较 tan －134π与 tan－165π的大小．
的定义域为 x
xx≠－π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z
.
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正切函数的单调性及应用
【例 2】 (1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)．
①tan
2π 7 ________tan
107π；
②tan 65π________tan－135π. (2)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间及最小正周期．
xx≠k2π且x≠k2π＋38π，k∈Z
.
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(2)由题意得 3tan x－3≥0，
∴tan x≥ 3，
∴kπ＋π3≤x＜kπ＋π2(k∈Z)，
∴y＝ 3tan x－3的定义域为
苏教版高中数学必修41.3.4 三角函数的应用.docx
1．3.4 三角函数的应用课时目标1．会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题．2．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________； y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________； y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________. 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质 (1)y max ＝________，y min ＝________.(2)A ＝________________，k ＝________________.(3)ω可由________________确定，其中周期T 可观察图象获得．(4)由ωx 1＋φ＝________，ωx 2＋φ＝________，ωx 3＋φ＝________，ωx 4＋φ＝________，ωx 5＋φ＝________中的一个确定φ的值． 3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．一、填空题 1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________ s. 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )＝______.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 4．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．5．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于______．6．如图是一个示波器显示的由简易发电机产生的交流电的电压的变化，则电压V 关于时间t 的函数关系式为________．7．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经长期观察，函数y ＝f (t )的图象可以近似地看成函数y ＝k ＋A sin(ωt ＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________．(填序号)①y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]；②y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]； ③y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]；④y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]． 8.如图所示，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是____________________． 二、解答题 9.如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？10．某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝A sin ωt ＋B的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)能力提升11．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为________．(填序号)12．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0,60].1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．1．3.4 三角函数的应用知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω|2．(1)A ＋k －A ＋k (2)y max －y min 2 y max ＋y min 2(3)ω＝2πT(4)0 π2 π 32π 2π3．周期 作业设计 1.1502．2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 3．26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ， ∴m ＝26,27,28.4．80解析 T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T＝80(次/分)．5.g 4π2 解析 T ＝2πgl＝1，∴ g l ＝2π，∴l ＝g4π2.6．V ＝45cos 80πt解析 设V ＝A cos ωt ，则A ＝45，T ＝0.14＝0.025，ω＝2πT＝80π，故V ＝45cos 80πt .7．①解析 在给定的四个函数①②③④中我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是①.8．h ＝－8cos π6t ＋10(t ≥0)解析 据题意可设h ＝10－8cos ωt (t ≥0)． 由已知周期为12 min ，可知t ＝6时到达最高点，即函数取最大值，知18＝10－8cos 6ω，即cos 6ω＝－1.∴6ω＝π，得ω＝π6.∴h ＝10－8cos π6t (t ≥0)．9．解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6. 由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝⎛⎭⎫5×2π60t ＝π6t .由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.10．解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT＝π6.又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时． 11．③解析 ∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4，此时P 点纵坐标为2sin(t －π4)，∴d ＝2|sin(t －π4)|.当t ＝0时，d ＝2，排除①④；当t ＝π4时，d ＝0，排除②.12．10sin πt60解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.。
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复习提问
求函数的解析式
（1） 的图象上每一点横坐标伸长为原来的 函数 2 2倍，再向左平移 式.
x)的图象，试求g(x)的解析 个单位 ,得到函数g( y Asin( x ),( A 0, 0, | | )
2
1 y sin x 2
（3 ）讨论：如何由图观察得到三角函数的各系数？ 如何确定初相？ （ 2 ） 函数 的最小值是 2，其 图象最高点与最低点横坐标差是3，且图象过点 (0,1)，求函数解析式.
例 1 (学生自学)一半径为 3cm 的水轮如图 1-3-22 所示，
水轮圆心 O 距离水面 2cm ，已知水轮每分钟转动 4 圈，
如果当水轮上点 P 从水中浮现时（图中 P0 点）开始计算时间．
（1）将点 P 距离水面的高度 z (cm) 表示为时间 t ( s ) 的函数； （2）点 P 第一次到达最高点大约要多长时间？
例 2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，
一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情况下，船在涨潮时驶进
航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港
口在某季节每天几个时刻的水深.间
水 深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 时 0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00
（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系， 并给出在整点时的近似数值. 安全条例 （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4 米， 该船何时 规定至 少要有 1.5 米的安全间隙（船底与海底的距离） ， 能进入港口？在港口能呆多久？
小结： 待定系数法是三角函数中 三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用， 确定函数解析式最重要的方法. 三角函数应用模型的三种模式： 一是给定呈周期变化规律的三角函数模型， 根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题； 二是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题； 三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象， 求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．