正弦定理(二)

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002正弦定理二

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计课题：正弦定理二编制人：王远刚学习目标：1.学会利用正弦定理解决有关平几问题以及判断三角形的形状，掌握化归与转化的数学思想；2.能熟练运用正弦定理解斜三角形.一、自学质疑：1．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，若ac b =2，A ＝60°，则bsinB c＝________. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c)·cosA＝acosC ，则cosA 的值等于________．3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ccosB ＝bcosC ，且cosA ＝23，则sinB 等于________．4．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为________．5．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC cosA的值等于________，AC 的取值范围为________． 6．在△A BC 中，A 、B 、C 的对应边分别是a 、b 、c 且sinB ＝12，sinC ＝32，则a∶b∶c＝________.二、例题精讲：例1.（教材9P 例4）在ABC ∆中，已知C c B b A a cos cos cos ==，试判断三角形的形状.例2.（教材10P 例5）在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BD AC DC =．例3.在ABC ∆中，已知角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若b c a 2=+，（1）求证：2cos 2cos2C A C A -=+；（2）若3π=B ，试确定ABC ∆形状.例4.在ABC ∆中，c b a ,,分别为ABC ∆三边长，若31cos =A ，（1）求A CB 2cos 2sin 2++的值；（2）若3=a ，求三角形ABC 外接圆的半径.例5.（教材9P 例3）某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)．三、矫正反馈：1.在ABC ∆中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么ABC ∆一定是（填三角形形状）. 2.在ABC ∆中，A 为锐角，2lg sin lg 1lglg -==+A cb ，则ABC ∆形状为_______. 3.在ABC ∆中，若3,600==a A ，则_______sin sin sin =++++C B Ac b a . 四、迁移应用：1.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝4bsinA ，则cosB ＝________.2.在△ABC 中，BC ＝1，∠B＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tanC 等于________．3.已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为________．4.如图，测量河对岸的旗杆AB 的高时，选与旗杆底B 在同一水平面内的两个测点C 与D.测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD ＝a ，并在点C 测得旗杆顶A 的仰角为60°，则旗杆高AB 为________．5.据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是________米．6.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.五、总结反思：【教师个人介绍】王远刚，江苏省海州高级中学（连云港市），邮编：222023，中学高级教师，数学备课组长，坚持理论指导教学实践，在教学中取得很好效果！从教16年来坚持撰写教科研论文，有两百余篇论文发表、获奖。

余弦定理、正弦定理课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

，c＝2，C＝30°，那么此三角形 B.有两解 D.解的个数不确定
C 解析由正弦定理和已知条件，得s4in 3B＝sin230°， ∴sin B＝ 3>1，
∴此三角形无解.故选C.
高中数学必修第二册 RJ·A
5.在△ABC中，a＝5，b＝5 3，A＝30°，则B＝____6_0_°或__1_2_0_°_.
二已知两边及其中一边的对角解三角形
例 2 在△ABC 中，已知 c＝ 6，A＝45°，a＝2，解三角形.
解
∵sina A＝sinc C，∴sin C＝csian A＝

6sin 2
45°＝
23，
∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1；当 C＝120°时，B＝15°，b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3－1，B＝15°，C＝120°.
高中数学必修第二册 RJ·A
反思感悟
(1)正弦定理实际上是三个等式：
a ＝b ，b ＝ c ，a ＝ c sin A sin B sin B sin C sin A sin C
，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
知识点正弦定理
条件
结论
文字叙述
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
a＝b＝c sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

高中数学苏教版必修5学案：1.1.2 正弦定理(2) Word版含解析

第2课时正弦定理(2)1．利用正弦定理判断三角形的形状，计算三角形的面积．(重点) 2．正弦定理与三角恒等变换的综合应用．(难点)3．利用正弦定理解题时，忽略隐含条件而致误．(易错点)[基础·初探]教材整理正弦定理的应用阅读教材P9～P12，完成下列问题．1．正弦定理的深化与变形(1)asin A＝bsin B＝csin C＝________＝________.(2)a＝________，b＝________，c＝________.(3)ab＝________，ac＝________，bc＝________.(4)a∶b∶c＝________：________：________.【答案】(1)2Ra＋b＋csin A＋sin B＋sin C(2)2R sin A2R sin B2R sin C(3)sin Asin Bsin Asin Csin Bsin C(4)sin A sin B sinC2．三角形面积公式S△ABC＝________＝________＝________.【答案】12ab sin C12bc sin A12ac sin B判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在有些三角形中，a ＝sin A ，b ＝sin B ，c ＝sin C ．( ) (2)在△ABC 中，asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C.( )(3)在△ABC 中，a ＝2，b ＝1，C ＝30°，则S △ABC ＝1.( )【解析】由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 可知(1)，(2)正确；又S △ABC ＝12×2×1×sin 30°＝12，故(3)错误．【答案】 (1)√ (2)√ (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]在△c ，且B ＝30°，c ＝23，b ＝2，求△ABC 的面积S .【精彩点拨】先求C ，再求A ，最后利用S △ABC ＝12bc sin A 求解．【自主解答】由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝23sin 30°2＝32.又∵c >b ，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，∴S＝12bc sin A＝23；当C＝120°时，A＝30°，∴S＝12bc sin A＝3，∴△ABC的面积S为23或3.求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用．另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误．[再练一题]1．在△ABC中，cos A＝－513，cos B＝35.(1)求sin C的值；(2)设BC＝5，求△ABC的面积.【导学号：91730004】【解】(1)在△ABC中，0<A<π，0<B<π，A＋B＋C＝π，由cos A＝－513，得sin A＝1213，由cos B＝35，得sin B＝45，∴sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝1213×35＋⎝⎛⎭⎪⎫－513×45＝1665.(2)在△ABC中，由正弦定理得，AC＝BC×sin Bsin A＝5×451213＝133，∴S△ABC＝12×BC×AC×sin C＝12×5×133×1665＝83.在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．【精彩点拨】根据正弦定理可以把问题转化为角的问题，借助三角恒等变换知识化简得到角与角的等量关系，再进一步判断．【自主解答】由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A . 由正弦定理得sin 2 A sin B cos B ＝sin 2 B sin Acos A ，即sin A cos A ＝sin B cos B ，亦即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＝π2－B ，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．根据边角关系判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦定理实施边、角转换．[再练一题]2．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．【解】法一：在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R . ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，即a 2＝b 2＋c 2. ∴A ＝90°，∴B ＋C ＝90°.由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )，∴sin 2B ＝12，∵B 是锐角，∴sin B ＝22，∴B ＝45°，C ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：在△ABC 中，根据正弦定理： sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且A ＝90°. ∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ， ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0，∴B －C ＝0，即B ＝C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．[探究共研型]图1-1-1【提示】如图，在B 侧选一条基线BC ，测得BC ＝a ，∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，则由正弦定理可知 AB sin β＝BCsin (α＋β)，即AB＝BC sin βsin(α＋β).探究2你能画出下列各角吗？(1)南偏西30°；(2)仰角30°，俯角45°.【提示】如图1-1-2，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.图1-1-2【精彩点拨】先求出∠CBD，利用正弦定理求BC，再在△ABC中，求AB.【自主解答】在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，∴BCsin β＝ssin[180°－(α＋β)]，即BCsin β＝ssin(α＋β)，∴BC＝sin βsin(α＋β)·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ABBC＝tan θ，∴AB＝BC·tan θ＝sin β·tan θsin(α＋β)·s.解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．[再练一题]3．一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，0.5 h后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离．【解】如图所示，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝180°－45°－120°＝15°，AB＝30×0.5＝15(n mile)．由正弦定理，得AC sin∠ABC ＝ABsin∠ACB，∴AC＝AB sin∠ABCsin∠ACB＝15×sin 120°sin 15°＝32＋62×15(n mile)．在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝2AC＝15(3＋3)(n mile)．∴A，D两处之间的距离是15(3＋3)n mile. 答：A，D两处的距离为15(3＋3)n mile.[构建·体系]1．在△ABC中，AB＝3，BC＝1，B＝30°，则△ABC的面积S△ABC＝________.【解析】S△ABC ＝12×AB×BC×sin B＝12×3×1×12＝34.【答案】3 42．在△ABC中，若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC是________三角形．【解析】由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R可知a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.由acos A＝bcos B＝ccos C可知tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．【答案】等边3．如图1-1-3所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________ m.【导学号：91730005】图1-1-3【解析】由题意可知∠ABC ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理，得AB ＝AC ·sin ∠ACB sin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．【答案】 50 24．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C ＝________. 【解析】由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ＝csin C ，故2a sin A －b sin B －csin C ＝0. 【答案】 05．如图1-1-4，A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ．在A 点测得山顶C 的仰角为30°，∠BAD ＝105°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C到水平面的垂足．求山高CD .图1-1-4【解】在△ABD 中，由正弦定理，得 AD ＝AB sin ∠ABD sin ∠ADB ＝800sin 45°sin (180°－105°－45°)＝8002，在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan 30°＝8002×33＝80063(m)．答：山高CD 为80063 m.我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知△ABC的面积为3且b＝2，c＝2，则A＝______.【解析】∵S△ABC ＝12bc sin A，b＝2，c＝2，∴12×2×2sin A＝3，∴sin A＝3 2.又A∈(0，π)，∴A＝π3或2π3.【答案】π3或2π32．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是________ n mile.【解析】如图所示，易知C ＝45°，由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A ， ∴BC ＝AB sin Asin C ＝5 6. 【答案】 5 63．(2016·苏州高二检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________.【导学号：91730006】【解析】由正弦定理知，b sin B ＝c sin C ，结合条件得c ＝b sin Csin B ＝2 2. 又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3＋1. 【答案】3＋14．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________.【解析】由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3， ∴1sin A ＝32sin A cos A .∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0，∴cos A ＝32. 又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，即△ABC 为直角三角形，由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2. 【答案】 25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2 B －sin 2 Asin 2A的值为________．【解析】由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72.【答案】 726．(2016·泰州高二检测)在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是________三角形．【解析】由a ＝2b cos C 可知 sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0， ∴B ＝C ，∴b ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形．【答案】等腰7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B ·cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝________.【解析】根据正弦定理将边化角后约去sin B ，得sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12，又a >b ，所以A >B ，所以B ＝π6.【答案】 π68．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．【解析】设最小角为α，则最大角为120°－α， ∴sin (120°－α)sin α＝3＋12，∴2sin(120°－α)＝(3＋1)sin α， ∴sin α＝cos α，∴α＝45°，∴最大角为120°－45°＝75°. 【答案】 75° 二、解答题9．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，求这时船与灯塔的距离．【解】如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∴∠ABC ＝45°，AC ＝60.根据正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BAC sin ∠ABC＝60sin 30°sin 45°＝302(km)．10．在△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，用正弦定理证明：AB AC ＝BDDC . 【证明】如图，由题意可知，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，在△ABD 中，由正弦定理得 AB sin ∠3＝BDsin ∠1，① 在△ADC 中，由正弦定理得 AC sin ∠4＝DCsin ∠2，②又sin ∠1＝sin ∠2，sin ∠3＝sin ∠4，故①②得AB AC ＝BD DC. [能力提升]1．在△ABC 中，a cos B ＝bcos A ，则△ABC 的形状一定是________．【解析】在△ABC 中，∵a cos B ＝bcos A ，∴a cos A ＝b cos B ，由正弦定理，得2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°， ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．【答案】等腰或直角三角形或等腰直角三角形2．(2016·南京高二检测)在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则ab 的取值范围为________．【解析】在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 均小于90°，即⎩⎨⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ∈(2，3)，故ab 的取值范围是(2，3)．【答案】 (2，3)3．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为________(用B 表示).【导学号：91730007】【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π可知C ＝2π3－B . 由正弦定理得3sin π3＝AB sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝ACsin B ，∴AB ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ，AC ＝23sin B ，∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝23·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＋3＝3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.【答案】 3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π64．(2016·如东高二检测)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．【解】 (1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A，所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝33. 又B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2 A －1＝13，所以sin B ＝1－cos 2 B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539，所以c ＝a sin Csin A ＝5.。

正弦定理二

a b c 正弦定理: (1)正弦定理 = = = 2R sinA sinB sinC
(2)正弦定理解两种类型的三角问题: 正弦定理解两种类型的三角问题:
(1)已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角; 已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角; 已知两角和任意一边 (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的其已知两边和其中一边的对角, 已知两边和其中一边的对角他的边和角. 他的边和角.
角化为边
因此三角形为等腰直角三角形. 因此三角形为等腰直角三角形.
变形: 变形:sinA b = sinB a
cos A a = cos B b
cos A b = cos B a
已知 ABC 中,满足
(a 2 + b 2 ) sin( A B) = (a 2 b 2 ) sin( A + B ) ,试判断 ABC
b sin A 2 sin 30o sin B = = =1 a 1 π
C b A a=bsinA B
又 B ∈ (0, π ) ,所以 B = 所以 2 即三角形ABC有一解有一解. 即三角形有一解
(1)已知ABC 中,A= 30°,a=1,b=2,则 ( A ) ) ° , , A,有一解 B,有两解 C,无解 D,不能确定 , , , , (2)已知ABC中,A=30°, a= 2 ,b=2,则 ) ° , (B) A,有一解 B,有两解 C,无解 D,不能确定 , , , , 1 (3)已知ABC 中,A=30°, a= 2 ,b=2,则 ) ° , ( ) A,有一解 B,有两解 C,无解 D,不能确定 , , , , (4)已知 ABC 中,A=30°,a=m ,c=10,有两解, ) ° ,有两解, 则m范围是范围是 . 由正弦定理得: 解:(2)由正弦定理得 2 由正弦定理得又 B ∈ (0, π )且a<b π 3π 所以 B = 或

正弦定理变形9种公式

正弦定理变形9种公式摘要：一、正弦定理简介二、正弦定理的九种变形公式1.公式一2.公式二3.公式三4.公式四5.公式五6.公式六7.公式七8.公式八9.公式九三、总结正文：一、正弦定理简介正弦定理是三角学中的一个重要定理，它揭示了三角形中各边与对应角的正弦值之间的比例关系。

根据正弦定理，我们可以通过已知的边长和角度来计算其他边长或角度。

正弦定理的数学表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，A、B、C 分别表示对应的三個角。

二、正弦定理的九种变形公式1.公式一：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA2.公式二：b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosB3.公式三：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC4.公式四：a^2 = b^2 + c^2 + 2bc*cosA5.公式五：b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosC6.公式六：c^2 = a^2 + b^2 + 2ab*cosB7.公式七：a^2 = b^2 - c^2 + 2bc*cosC8.公式八：b^2 = a^2 + c^2 + 2ac*cosA9.公式九：c^2 = a^2 - b^2 + 2ab*cosB三、总结正弦定理是三角学中非常基础且重要的定理，掌握其各种变形公式有助于我们更好地理解和应用正弦定理。

在解决实际问题时，我们可以根据问题的具体需求选择合适的公式进行计算。

§1.1.1正弦定理(2)

第一章 1.1.1正弦定理（2）学习目标：加深对正弦定理的理解，熟练掌握正弦定理的应用。

1．正弦定理有哪几种变形？问题探究：探究问题（一）画图判断三角形的解的个数（1）已知 △ABC 中，A= 30°，a=1，b=2，则（） A 、有一解 B 、有两解 C 、无解 D 、不能确定（2）已知△ABC 中,A=30°, a= 2，b=2，则（）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定（3）已知 △ABC 中,A=30°, a= 21，b=2，则（）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定总结：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?探究问题（一）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: （1）若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,(b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA（2）若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a说明：已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形的个数。

练习.画图判断满足下列条件的三角形的个数:(1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o (3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o探究问题（二）利用正弦定理证明两个结论： 1、三角形内角平分线定理的证明：已知：如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD ABDC AC=证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理，得sin sin BD AB βα=，0sin sin(180)sin DC AC ACβαα==-，两式相除得BD ABDC AC = 三角形内角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。

正弦定理(2)

课题：正弦定理(2) 1．正弦定理及其变形(1)定理内容：asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为外接圆半径)．(2)正弦定理的常见变形：①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；②asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R；③a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；④sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.2．对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情练习：在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数．3．三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：(1)S△ABC＝12bc sin A＝12ac sin B＝12ab sin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．(2)S△ABC＝12ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．(3)S△ABC＝12r(a＋b＋c)＝12rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．课前自测1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa的值相等的是( ) A.b c B.sin B sin A C.sin C c D.c sin C 3．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有( ) A ．一解 B ．两解 C ．无解 D ．无法确定4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为________．三角形解的个数的判断【例1】已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.练习1．满足B ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的△ABC 恰有一个，则k 的取值范围是( ) A ．k ＝83 B ．0＜k ≤12 C ．k ≥12 D ．0＜k ≤12或k ＝83 三角形的面积【例2】在△ABC 中，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .练习2．(1)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.(2)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于________．正弦定理的综合应用【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，m u r＝(sin A ，sin B )，n r ＝(cos B ，cos A )，m n •u r r＝－sin 2C .(1)求C 的大小；(2)若c ＝23，A ＝π6，求△ABC 的面积．练习3.若a ＋c ＝2b ，2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小并判断△ABC 的形状．课堂练习1．判断正误(1)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立．( ) (2)在△ABC 中，若A ＝30°，a ＝2，b ＝23，则B ＝60°.( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解．( ) 2．满足a ＝4，b ＝3和A ＝45°的△ABC 的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个3．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a ＝4，b ＝3，C ＝60°，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．33C ．6D ．6 34．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________，a ＝________.5．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，求2sin A －sin Bsin C的值．班级姓名学号成绩一、选择题 1．在△ABC 中，b ＋c ＝2＋1，C ＝45°，B ＝30°，则………………………………( )A ．b ＝1，c ＝2B ．b ＝2，c ＝1C ．b ＝22，c ＝1＋22D ．b ＝1＋22，c ＝222．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有…………………………( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解 D ．解的个数不确定 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( )A. 3B.33C.63 D ．－634．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于……………………( )A.833B.2393C.2633D ．2 35．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sinC ，则△ABC 的面积S ＝……………………………………………………………………( )A.32B ．3 C.6 D ．6 6．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB 的取值范围是……( )A ．[33，6]B ．(2,43)C ．(33，43)D ．(3,6]7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m u r ＝(3，－1),n r＝(cos A ，sin A )，若m u r ⊥n r，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为…( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3 二、填空题8．下列条件判断三角形解的情况，正确的是________(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解；②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解；④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解． 9．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.11．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．12．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________.三、解答题13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .14．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．。

余弦定理和正弦定理(二)-高考数学复习

积为2 3 .
（1）若 D 是 BC 的中点，求 AD 的长度；
解：∵ AB ＝2， AC ＝4，△ ABC 的面积为2 3 ，
1
∴ S △ ABC ＝ AB ·AC ·sin
2
∴ sin ∠ BAC ＝
1
∠ BAC ＝ ×2×4×
2
3
，又∠ BAC 为钝角，
2
sin ∠ BAC ＝2 3 ，
目录
高中总复习·数学
A ＞ sin B ；③ a － b ＜ c ＜ a ＋ b 及三角函数的性质、三角恒等变
换公式等推导证明.
目录
高中总复习·数学
△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 cos
A ）＋
2（ π ＋
2
5
cos A ＝ .
4
（1）求 A ；
解：由已知得 sin
即 cos
2A－
2A＋
5
cos A ＝，
4
1
cos A ＋＝0.所以（
4
1
cos A －）2＝0，
2
1
cos A ＝ .
2
π
由于0＜ A ＜π，故 A ＝ .
3
目录
高中总复习·数学
（2）若 b － c ＝
3
a ，证明：△ ABC 是直角三角形.
3
解：证明：由正弦定理及已知条件可得 sin B － sin C ＝
又 sin
2A＋
cos
2 A ＝1，∴
3 10
sin A ＝
.
10
目录
高中总复习·数学
（2）设 AB ＝5，求 AB 边上的高.

正弦定理二

高二数学学案编号：2教学课题课型主备教师把关教师使用教师使用时间、班级正弦定理二新授课学习目标：1.熟练掌握正弦定理的简单应用。

2.会用正弦定理求三角形的面积。

3.能利用正弦定理判断三角形的形状。

学习重点、难点：正弦定理的应用。

教学过程课前预习1.正弦定理的内容：在一个三角形中，各边的长和的比。

2.正弦定理公式：=Aasin = =2R （其中R 是ABC ∆外接圆的半径）或=a ；=b ；=c 或=C B A sin :sin :sin . 3.求三角形的面积公式有哪些？（1）ah S 21=（h 为a 边上的高）。

（2）A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21S ===试写出三角形的面积公式C ab sin 21S =的推导过程教学设计教师是学生学习的引导者学生是学习的主人！合作探究展示合作探究一在ABC ∆中，2,AC ,32AB ,30B 0===求ABC ∆的面积。

变式练习一已知ABC ∆中，边a,b 分别为方程02322=+-x x 的两个根，A,B 满足,3)sin(2=+B A 求角C 和面积S 。

合作探究二在ABC ∆中，,tan tan 22A b B a =判断ABC ∆的形状。

补充深化认真听讲是学习高效的捷径！变式练习二在ABC ∆中，acosA=bcosB,试判断这个三角形的形状课堂小结当堂练习1.在ABC ∆中，,45,8,60===C b a 则ABC ∆的面积为（） A 224 B 212 C 26 D 282.已知ABC ∆中，,30,1,30===B b a 求三角形的面积。

3.在ABC ∆中，C B A 222sin sin sin =+，求证：ABC ∆是直角三角形。

学生总结积极思考勤于动手天才来自勤奋！课后巩固作业1.在ABC ∆中，,12=ac 面积ABC R 32R 3,S ∆==为（的外接圆半径），则b=( ) A 22 B 32 C 62 D 232.在ABC ∆中，,31812,36,60A 0====∆ABC S b a ，则.___________,__________sin sin sin ==++++c CB A cb a3.已知方程0cos )cos (2=+-B a x A b x 的两根之积等于两根之和，且a,b 为ABC ∆ 的两边，A,B 为两内角，试判断这个三角形的形状。

人教A版必修第二册高中数学6.4.3余弦定理正弦定理(二)2.正弦定理-教案

《正弦定理》广东番禺中学周净【学习目标】1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2.能用向量方法发现和证明正弦定理.3.会用正弦定理求解已知两边和其中一条边的对角、已知两角和夹边等解三角形问题.【学习重点】1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理.2.运用正弦定理解三角形.【学习难点】1.正弦定理的证明.2.正弦定理在解三角形中的应用.【教学过程】教学环节教学内容设计意图环节一：情境引入探究问题：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式．如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论.实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系.从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在ABC ∆中，设C 的对边为,a B 的对边为b ，求,,,b A B a 之间的定量关系.如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在ABC ∆中，已知“,A ,B a 求b ”的问题.我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.根据锐角三角函数，在R ABC ∆t 中（如图），有sin sin a b A B c c==，，这两个式子有共同元c ，利用它把两个式子联系起来，可得.sin sin a bc A B==又因为sin sin 901C == ，上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即sin sin sin a b cA B C==.从学生熟悉的余弦定理引入，激发学生的学习兴趣.环节二：探究新知在直角三角形中，有sin sin sina b cA B C==对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否任然成立？因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量的方法来研究.我们希望获得ABC∆中的边,,a b c与它们所对角,,A B C的正弦之间的关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究．让学生从初中已经掌握的锐角三函数入手，回顾如何利用锐角三角函数解决直角三角形中的边角关系；并提出问题让学生思考锐角三角形和钝角三角形中的情形,启发学生继续借助向量法进行边角关系的研究，加强向量在几何问题中的应用.思考1：向量的数量积运算中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？由诱导公式cos sin2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系.下面先研究锐角三角形的情形.如图，在锐角ABC∆中，过点A作与AC垂直的单位向量j，则j与AB的夹角为2Aπ⎛⎫-⎪⎝⎭，j与CB的夹角为2Cπ⎛⎫-⎪⎝⎭.因为AC CB AB+=，所以(),AC CB AB⋅+=⋅j j由分配律，得AC CB AB,⋅+⋅=⋅j j j即||||cos||||cos()||||cos(),222AC CB C AB Aπππ⋅+⋅-=⋅-j j j也即sin sin,a C c A=所以.sin sina cA C=思考1引导学生通过构造角之间的互余关系.通过巧妙的构造单位向量j，描述j与AB及j与CB的夹角，应用向量数量积运算得到余弦关系，并通过诱导公式转为正弦关系，最终得到锐角三角形的正弦定理.同理，过C 作与CB垂直的单位向量m ，可得.sin sin c bC B=所以在锐角三角形中有：sin sin sin a b cA B C==.当ABC ∆是钝角三角形时，不妨设A 为钝角（如图）.过点A 作与AC垂直的单位向量j ，则j 与AB 的夹角为2A π⎛⎫- ⎪⎝⎭，j 与CB 的夹角为2C π⎛⎫- ⎪⎝⎭.仿照上述方法，同样可得sin sin sin a b cA B C==.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即sin sin sin a b cA B C==这个公式表达形式的统一性、对称性，不仅使结果更和谐优美，而且更突显了三角形边角关系的本质。

正弦定理(2)

a : b : c sin A : sin B : sin C
面积公式:
S 1 2 a b sin C 1 2 a c sin B 1 2 b c sin A
正弦定理的用途：
(1) 已知两角和任一边，解三角形解唯一 (2) 已知两边和其中一边的对角，解三角形解不唯一
结论:已知a，b，A 判断三角形的解的个数，求B 无 1.若 sin B > 1,则_____解
例 4 . 在 ABC 中，（ 1） A 60 ， a 1， b c 2，解此三角形；（ 2） ab 60 ， A cos B ， S 15 ，求三角形三内角。 sin

cos A cos B

b a

4 3
, 且 b 8, 半径 .
求 a 及 ABC 的内切圆半径和外接圆
a b c 正弦定理的变形： 2R sin A sin B sin C abc sin A sin B sin C 2R
在 ABC 中， A B 是 sin A sin B 的充要条件。
正弦定理（二）
内容
正弦定
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
数学表达式
理
a sin A

b sin B

c sin C
正弦定理
a sin A
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
b sin B c sin C
2 RABC外接圆的半径
变形: a 2 R sin A b 2 R sin B c 2 R sin C
解的情况（一解、两解、无解）

(1 ) (2) (3) (4)

正弦定理(2)

．
(4) sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
＝a C sin
＝b A sin
＝c B sin
. C
正弦定理的用途：
1、已知两角和任一边,求其他两边和一角;
1已知A、B、a. 求C、b、c.
2已知A、B、c.求a、b、C.
2、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角及其他的边和角
3
2
（1）求 b 的值；（2）求 ABC 的面积.
2
【解析】（1）∵ 0 A ，∴ sin A
1 cos2 A
1
6 3
3， 3
又∵
B
A
2
，∴ sin
B
sin
A
2
cos
A
6， 3
由正弦定理
a
b
，得 b a sin B 3
6 3
3
2；
sin A sin B
sin A
3
3
（2）
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；解 (1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°，讨论如下：∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10 3， ∴a<bsin A，∴本题无解．
(2)a＝2 3，b＝6，A＝30°.
(2)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°， ∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A， ∴bsin A<a<b，∴本题有两解．
2
当 B C π 时，由 A B C π， A 2B ，得 π ；
2
2
当 C π 时，由 A B C π， A 2B ，得 π ．

正弦定理2

A、等腰三角形 B、直角三角形
C、等腰直角三角形
D、不能确定
作业：在ABC中

(1)已知b 3 , c 1, B 60 , 求a, 和A，C;
(2)已知a 2 3, b 2 2 , B 45 , 求A。

(3)已知a 20, b 28, A 120 , 解这个三角形.
A、1:2:3
C、1: 3 :2 A、

B、 6
B、3:2:1
D、2:
2 C、或 3 3
3 :1
练习2、在 ABC中，若 3a=2bsinA，则B＝( C )

3
5 D、或 6 6
练习 3.在ABC中, 若sin 2 A sin 2 B sin 2 C, 则ABC的形状是(B )
'''

b c, B 60 , C B, C为锐角， C 30，A 90
a
c b 2
2 2
(2) 已知a 2 3 , b 2 2 , B 45 , 求A.
2 3 sin45 3 a sin B 解： sin A 2 b 2 2 a b, A C (大边对大角 )
(2)已知A 30 , B C 60 , a 2, 求c.
解:
A 30 , B C 60

B C 150 C 45
a c 又 , sin A sin C
a sin C 2 sin 45 c 2 2 sin A sin 30
B 180 ( A C ) 180 (45 30 ) 105 ,
c si nB 10si n105 b 5( 6 si nC si n30 1 S ABC bc sin A 2

正弦定理(二)课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

由正弦定理，得 a2＋c2－ 2ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故 cos B＝
2 又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
，
2
跟踪训练3
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解
sin A＝sin (30°＋45°)
2＋ 6
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ 4 .
正弦定理 (二)
学习目标
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
知识梳理
1.余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
a2＝b2＋c2－2bccos A，
c2＝a2＋b2－2abcos C，
a
b
c
2.正弦定理sin A＝sin B＝sin C＝2R
3.常见误区：利用正弦定理进行边
形的形状.
和角的正弦相互转化时易出现不等
(3)正弦、余弦定理的综合应用.
价变形.
B＝sin
2B·
tan
A，
注意边化角
sin B
sin A
即 sin 2A·
＝sin 2B·
.
cos B
cos A
在△ABC中，因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，
注意正切化
两弦
例2
a2 tan A

2
A
A
A
A
3

正弦定理(二)

§1.1 正弦定理(二)一、基础过关1．若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度为________．2．在△ABC中，若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC是______三角形．3．在△ABC中，A＝60°，a＝3，b＝2，则B＝______. 4．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积S△ABC＝________.5．下列判断中所有正确命题的序号是________．①当a＝4，b＝5，A＝30°时，三角形有两解；②当a＝5，b＝4，A＝60°时，三角形有两解；③当a＝3，b＝2，B＝120°时，三角形有一解；④当a＝322，b＝6，A＝60°时，三角形有一解．6．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC 的面积等于________．7．在△ABC中，已知23a sin B＝3b，且cos B＝cos C，试判断△ABC的形状．8．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.二、能力提升9．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sinA sin B＋b cos2A＝2a，则ba＝________.10．在△ABC中，若acos A2＝bcosB2＝ccosC2，则△ABC是________三角形．11．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝______，c ＝______. 12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c ＝10，又知cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 内切圆的半径．三、探究与拓展13．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．答案1．2 2.等边 3．45° 4.3＋1 5．①④ 6.32或347．解 ∵23a sin B ＝3b ， ∴23·(2R sin A )·sin B ＝3(2R sin B )，∴sin A ＝32，∴A ＝60°或120°. ∵cos B ＝cos C ，∴B ＝C .当A ＝60°时，B ＝C ＝60°，△ABC 是等边三角形；当A ＝120°时，B ＝C ＝30°，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形．8．解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210. 由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87. 9.2 10.等边 11.12 612．解由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos Acos B ＝sin Bsin A .即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2.∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102b a ＝43，得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.13．解 ∵tan B ＝12>0，∴B 为锐角．∴sin B ＝55，cos B ＝255.∵tan C ＝－2，∴C 为钝角．∴sin C ＝255，cos C ＝－55.∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝55·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－55＋255·255＝35.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2sin A ·sin B sin C＝2R 2×35×55×255＝1. ∴R 2＝2512，R ＝536. ∴πR 2＝2512π，即外接圆的面积为2512π. ∴a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153， c ＝2R sin C ＝2153.。

正弦定理与余弦定(二)

正弦定理与余弦定理（二）教学目标：理解正弦定理，能用正弦定理解三角形；理解余弦定理，能用余弦定理解三角形；能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；2010年考试说明要求B 。

知识点回顾：（1）正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === （R 2是ABC ∆外接圆直径）注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③CB A c b aC c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。

（2）余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=等三个；bc a c b A 2cos 222-+=等三个。

（3）三角形面积公式： 11sin 22ABC S ah ab C ∆==；内切圆半径r=c b a S ABC ++∆2；外接圆直径2R=Cc B b A a sin sin sin == 基础训练：1.在ABC ∆中，设命题p :Ac C b B a sin sin sin ==,命题q ：ABC ∆是等边三角形.那么命题p 是命题q 的_________条件。

2.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ，则cos B =____________3.在ABC ∆中，若lgsinA-lgcosB-lgsinC=lg2,则ABC ∆是___________三角形。

典型例题：已知a 、b 、c 是ABC ∆中C B A ∠∠∠,,的对边，S 是ABC ∆的面积，若35,5,4===S b a ，求c 的长度？在ABC ∆中，角,,A B C 分别为,,a b c ，且1cos 3A =, ⑴求2sin cos 22B C A ++的值；⑵若a =bc 的最大值.9、△ABC 中， a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，30B ∠=︒，△ABC 的面积为23，那么b =___ ___．已知A B C 、、为ABC ∆的三个内角，且其对边分别为a b c 、、，且22cos cos 02+=A A ．（1）求角A 的值；（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积．已知∆ABC 中，内角A=3π，BC 边的长2，求（1）∆ABC 周长最大值；（2）∆ABC 面积最大值；（3）若角A=3π，B （-1，0），C(1，0)，则点A 的轨迹为什么图形。

高二数学正弦定理2(PPT)5-1

某通信公司拟通过某一河流修建水考一下，如何在河的一侧得出两岸A与B之间的距离？
A
B
石头：界～｜墓～｜里程～｜纪念～｜立了一块～。【碑额】’名碑的上端。也叫碑首或碑头。【碑记】名刻在碑上的记事文章。【碑碣】〈书〉名碑：墓前立有～。【碑刻】名刻在碑上的文字或图画：拓印～。【碑林】名石碑林立的地方，如陕西西安碑林。【碑铭】名碑文。【碑首】名碑额。【碑拓】名碑刻的拓本。【碑帖】名；教育加盟教育机构加盟教育培训机构加盟儿童机器人教育加盟全脑教育加盟；石刻、木刻法书的拓本或印本，多做习字时临摹的范本。【碑头】名碑额。【碑文】名刻在碑上的文字；准备刻在碑上的或从碑上抄录、拓印的文字。【碑阴】ī名碑的背面。【碑志】名碑记。【碑座】（～儿）名碑下边的底座。【鹎】（鵯）名鸟，羽毛大部为黑褐色，腿短而细。吃果实和昆虫。种类很多，常见的有白头鹎等。【箄】〈书〉捕鱼的小竹笼。【北】①名方位词。四个主要方向之一，清晨面对太阳时左手的一边：～头儿｜～面｜～风｜～房｜城～｜往～去｜坐～朝南。 ②北部地区，在我国通常指黄河流域及其以北的地区：～味｜～货。③（）名姓。【北】〈书〉打败仗：败～｜连战皆～｜追奔逐～（追击败逃的敌军）。【北半球】名地球赤道以北的部分。【北边】?ɑ名①（～儿）方位词。北。②〈口〉北方?。【北朝】名北魏（后分裂为东魏、西魏）、北齐、北周的合称。参看页〖南北朝〗。【北辰】名古书上指北极星：众星环～。【北斗星】ī名大熊星座的七颗明亮的星，分布成勺形。用直线把勺形边上两颗星连接起来向勺口方向延长约五倍的距离，就遇到小熊座α星，即现在的北极星。【北豆腐】?名食品，豆浆煮开后加入盐卤，使凝结成块，压去一部分水分而成，比南豆腐水分少而硬（区别于“南豆腐”）。【北伐战争】第一次国内战争时期，以中国国民党和中国合作的统一战线为基础，组织国民军进行的一次反对帝国主义和封建军阀统治的战争（—）。因这次战争从广东出师北伐，所以叫北伐战争。参看页〖第一次国内战争〗。【北方】名①方位词。北。②北部地区，在我国一般指黄河流域及其以北的地区。【北方话】名长江以北的汉语方言。广义的北方话还包括四川、重庆、云南、贵州和广西北部的方言。北方话是普通话的基础方言。【北非】名非洲北部，通常包括埃及、苏丹、利比亚、突尼斯、阿尔及利亚、摩洛哥、西撒哈拉等。【北瓜】?〈方〉名南瓜。【北国】〈书〉名指我国的北部：～风光。【北寒带】名北半球的寒带，在北极圈与北极之间。参看页〖寒带〗。【北回归线】ī名北纬°′的纬线。参看页〖回归线〗。【北货】名北方所产的食品，如

正弦定理(二)

2. 1.1 正弦定理（二）学习目标1.知识与技能（1）熟记正弦定理的有关变形公式．（2）探究三角形面积公式的表现形式，能结合正弦定理解与面积有关的斜三角形问题． 2.过程与方法通过对三角形面积公式的表现形式及与外接圆半径的关系的探究，了解知识之间的相互联系。

3.情感、态度与价值观通过探究进一步体会知识之间的普遍联系与辩证统一。

学习难点：面积公式的推导及应用。

学习重点：面积公式的推导。

学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法。

学习过程一、课前复习：1、正弦定理及应用？2、已知两边及一边的对角解三角形时解的情况？3．不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a ＝5，b ＝4，A ＝120°； (2)a ＝9，b ＝10，A ＝60°； (3)c ＝50，b ＝72，C ＝135°.4、三角形的面积公式？二、新课学习探究一正弦定理的几何解释问题如图1所示，在Rt △ABC 中，斜边c 等于Rt △ABC 外接圆的直径2R ，故有a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，这一关系对任意三角形也成立吗？请你根据图2和图3对锐角三角形和钝角三角形进行探索，并证明你的结论．讨论：由公式a sin A ＝b sin B ＝csin C =2R 你可以得到哪些变形公式？例1在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4 C ．3∶4∶5 D ．1∶3∶2检测1在△ABC 中，已知(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6探究二三角形的面积公式当△ABC 为锐角三角形时，证明S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .钝角三角形成立吗？三、当堂检测：1．在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于( ) A.3＋1 B.3－1 C.3＋2 D.3－22. 在ABC ∆中，若cos cos A bB a=，则ABC ∆是（）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形3. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1D ．2∶24. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（）. A. A B > B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定5. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．6. 已知∆ABC中，∠A 60=︒，a sin sin sin a b cA B C++++= ．\【课后反思】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来【自我评价】你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差。