对数函数及性质---习题课课件

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求下列函数的定义域： （1） y=
log0.8x - 1 ; 2x - 1
（2）y log3x -1
2x 3 . x 1
(1)要使函数有意义，必须且只需
x>0 log0.8x-1≥0 即 x>0 x≤0.8
2x-1≠0, x≠ 1 , 1 2 4 ∴0<x≤ 且x≠ . 2 5 1 1 4 因此，函数的定义域是 0, , .
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比较下列各组数中两个值的大小：
（1） log2 3.4,log2 8.5 ;
（2） log0.31.8,log0.3 2.7 ; （3） loga 5.1,loga 5.9 (a>0，且a≠1).
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（1）考查对数函数y=log2x，因为它的底数2>1,所以它在 (0,+∞)上是增函数，于是log23.4<log28.5. （2）考查对数函数y=log0.3x，因为它的底数满足0<0.3<1, 所以它在(0,+∞)上是减函数，于是log0.31.8>log0.32.7. （3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小 于1，而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此， 要对底数a进行讨论： 当a>1时，函数y=logax在(0,+∞)上是增函数，于是 loga5.1<loga5.9; 当0<a<1时，函数y=logax在(0,+∞)上是减函数，于是 loga5.1>loga5.9.
(1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又∵y=log2x在(0,+∞)上是增 函数, ∴log2(x2-4x+6)≥log22=1. ∴函数的值域是［1,+∞). (2) ∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,
1 1 ∴ <0或 - x 2 2x 2 ≥ - x 2 2x 2
=(log3x+3)2-3.
∵函数f(x)的定义域为［1,9］, ∴要使函数y=［f(x)］2+f(x2)有定义，必须
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1≤x2≤9
1≤x≤9.
∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1.
令u=log3x，则0≤u≤1.
又∵函数y=(u+3)2-3在［-3,+∞)上是增函数, ∴当u=1时，函数y=(u+3)2-3有最大值13. 即当log3x=1,即x=3时，函数y=［f(x)］2+f(x2)有最 大值为13. 【评析】求函数的值域和最值，必须考虑函数的定义 域，同时应注意求值域或最值的常用方法.
∴原函数的单调增区间为 1 ，单调减区间为 ( , ) (3,+∞). 2 【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓 住变化状态；二是掌握复合函数的单调性规律；三是注 意复合函数的定义域.
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已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1). （1）求f(x)的定义域； （2）讨论函数f(x)的单调性. （1）由ax-1>0得ax>1，当a>1时，x>0;当0<a<1时，x<0. ∴当a>1时，f(x)的定义域为(0,+∞);
∴0<-x2-4x+12≤16.
∵y=log 1 x在(0,16］上是减函数, ∴函数的值域为［-4,+∞).
（2）∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
又∵x2-2x-3>0,且y=log 1 x在(0,+∞)上是减函数,
∴y∈R,
2
∴函数的值域为实数集R.
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（3）令u=a-ax, ∵u>0,a>1,∴ax<a,x<1, ∴y=loga(a-ax)的定义域为{x|x<1}, ∵ax<a,且ax>0,u=a-ax<a,
又∵当log2x=3,即x=8时，f(x)有最大值2,
1 ∴f(x)min=4
2
4
,f(x)max=2.
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学点五
求单调区间
求下列函数的单调区间：
2 （1）f(x)= log 1 (-2x x 6) ； 2
（2）f(x)=log0.1(2x2-5x-3).
【分析】复合函数的单调性，宜分解为两个基本函数后解决. 1 2+x+6=-2 (x ) 2+ 49 . 【解析】（1）令t=-2x 8 4 3 2+x+6>0知∵由-2x <x<2,
2.对数函数的图象和性质. 图在下一页 3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1) y=x 反函数 互为 .它们的图象关于 对称.
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函数 a的取值
y=logax （a>0,a 1） 0<a<1 a>1
(0,)
定义域
值域
R
图象
图象 特征 单调性
指数函数图像与对几何画板.lnk数函数的图像的关系
x
y2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
x
1/4 1/2 1 -1 0
2 1
4 2
8 3
16 4
y log2 x -2
fx = 2x logx gx = log2 hx = x
8
6
4
y=f(x)
2
-10
-5
∴y=loga(a-ax)<logaa=1,
∴函数的值域为{y|y<1}. 【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响， 然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有 时需要讨论参数的取值.
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求值域： （1）y=log2 (x2-4x+6);
1 （2） y log 2 2 . - x 2x 2
5
10
-2
-4
-6
-8
13、对数函数的图象和性质
a>1 0<a<1
图 象
(1)定义域： (0,+∞)
性 (2)值域： R 质 (3)过点， (1,0) 即x＝1时，y＝0
(4)在(0,+∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
1.对数函数的概念 函数 y=logax(a>0,且a≠1)
叫做对数函数.
时，y<0;
当x=1时， y=0 ; 当x>1时， y>0 .
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学点一
比较大小
比较大小：
4 6 log1 ，log 1 ； （1） 2 5 2 7
（2） 1 3, log
2
; log 1 3
5
log （3） 1 0.3, log2 0.8 .
3
【分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手.
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1 1 ∴ log 2 2 ≥ log 2 - x 2x 2 3 1 ∴函数的值域是 log2 , 3
1. 3
,
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学点四
求最值
已知f(x)=2+log3x,x∈［1,9］,求y=［f(x)］2+f(x2)的最大 值及当y取最大值时x的值. 【分析】要求函数y=［f(x)］2+f(x2)的最大值，首先要 求函数的解析式，然后求出函数的定义域，最后用换 元法求出函数的值域. 【解析】∵f(x)=2+log3x, ∴y=［f(x)］2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2) =log32x+6log3x+6
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学点一
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对数与指数的关系
ab N , b loga N
指数函数与对数函数的关系
由指数函数y a x x log a y, 一般用y表示函数， 用x表示自变量，上式变为y=log a x 对数函数. 指数函数与对数函数从对应的关系理解，是一种 逆对应关系.像这样具有逆对应关系的两个函数 称为互为反函数. 例如：求函数y 2 x 1的反函数 y 1 解：由y 2 x 1得x , x、y互换得 2 2 x 1 y 为函数y 2 x 1的反函数. 2 2
∴当x∈ - , 时，随x的增大t的值增大，从而log 1 t的值减 2 4 2 小；
1 当x∈ 4 ,2 时，随x的增大t的值减小，从而log 1 t的值增大. 2 1 ∴函数y=log 1 (-2x2+x+6)的单调增区间是 ,2 ，单调减区 4 3 1 2 3 1
在y轴的右侧，过定点（1，0） 当x>0且x→0时,图象趋 当x>0且x→0时，图象趋 近于 y轴正半轴. 近于 y轴负半轴.
在(0,+∞)上是减函数. 在(0,+∞)上是增函数.
y∈(0,+∞) 当0<x<1时， 函数值的 当 x=1 时，; y=0 变化规律 y<0. 当 x>1 时,
当
0<x<1
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已知x满足不等式-3≤ log1 x ≤ 的最大值和最小值.
2
1 ,求函数f(x)= 2
x x (log 2 ) (log 2 ) 4 2
∵-3≤ log1 x ≤
2 1 ∴ ≤log2x≤3, 2
1 ，即 2
2 ≤x≤8,
3 2 1 ∵f(x)=(log2x-2)· 2x-1)=（log2x- ） - 4 , (log 2 3 1 ∴当log2x= ,即x=2 2 时，f(x)有最小值- .