附录A 截面的几何性质

2
y z O
1.
Iy,Iz 恒为正;
2. 若z⊥y，极惯性 矩 Ip= Iy +Iz 。
惯性半径： iy iz
Iy A
,
2 I y Ai y
Iz , A
I z Aiz2
y
dA
惯性积： I yz A yz dA
z
A
惯性积可正，可负也可 为零。 如有一根坐标轴是截 面的对称轴，则截面对这对 轴的惯性积必为零。
I z'
I y Iz
I y' z'
2 2 I y Iz sin 2 I yz cos 2 2
I y' I z' I y I z I p

I y Iz
cos 2 I yz sin 2
以逆时针方向旋转为正 。
§附A- 5、主轴和主惯性矩
设yo，zo——主轴，令αo为主轴与原坐标轴的夹角
A
i 1 n

100 20 150 140 20 70 103.3mm 100 20 140 20
i
140
zc
Az
i 1 n
i ci
Ai 1ຫໍສະໝຸດ 50mmiO
20
§附A- 2、截面的惯性矩和惯性积
y
惯性矩：I y A z dA
2
z
dA
A
I z A y dA
Ⅰ
20
zc C
zc
140
O
z
20
例 图示的矩形中，挖去两个直径为d的圆形，求 余下部分(阴影部分)图形对z轴的惯性矩。
解
此截面对z轴的惯性矩为
bh I z矩 12 I z I z矩 2I z圆
2 4 d d d 5 d I z圆 I zc a 2 A 64 2 4 64 4 2
§附A-1、截面的面积矩和形心 一、截面的面积矩
y
S y A zdA
dA
z
y
A
S z A ydA
z
O
同一截面对于不同的坐标轴有不同的面积矩；
面积矩可正，可负也可为零。
二、截面的形心
y
形心：yc
zc z
dA

A
ydA
C A
zc
A A zdA A
Sz A Sy A
3
bh3 5 d 4 bh3 5 d 4 Iz 2 12 64 12 32
例 由两个20a号槽钢截面组成的组合截面如图 (a) 所示。设a=100mm，试求此组合截面对y，z两根 对称轴的惯性矩。
解：由附录一可查得图（b） 所示一个20a号槽钢截面的 几何性质：
A 28.83 102 mm 2 I yc 128 104 mm 4 I zc 1780.4 104 mm 4 z0 20.1mm
——平行移轴公式。
组合截面的惯性矩和惯性积
I y I y i I yci bi Ai
2 i 1 i 1 n n


I z I z i I zci a 2 Ai i
i 1 i 1 n n
n
n


I yz I yi z i I yci zci ai bi Ai
i 1 n i
n
ci
A
i 1
i
zc
Az
i 1 n
n
i ci
A
i 1
i
例1：求图示T字形截面的形心位置。
y 100 yc C1 C C2 Ⅱ z O 20 20
Ⅰ
zc
zc
140
yc
解：取yoz坐标系。
y 100
Ⅰ
zc
C1 C C2 Ⅱ yc
20
yc
Ay
i 1 n
n
i ci
d4
32
φ
y dy
z
y
§附A- 3、平行移轴公式
O a y zc z
心坐标轴，y∥yc， z∥zc 。则：
I y ( zc b) 2 dA
A
yc、zc为一对形
C b
z y yc zc
yc
dA
I yc b2 A
同理 I z I zc a 2 A I yz I yc zc abA
i 1 i 1

例4：求图示T字形截面的形心主惯性矩。
y Ⅰ 100 yc C1 b1 b2 zc 140 yc
20
zc C C2
Ⅱ O
z 20
解：
y 100 yc C1 b1 b2 C2 Ⅱ yc
20 1003 140 203 I yc 17.6 105 mm4 12 12 100 203 2 I zc 100 20 150 103.3 12 20 1403 2 20 140 103.3 70 12 121.07 105 mm4
§附A- 4、惯性矩和惯性积的转轴公式 y ' y cos z sin z` z ' z cos y sin
O α α
y`
y
zI ' y

2
A
z '2 dA I y Iz 2 cos 2 I yz sin 2

dA
I y Iz
z z`
y y`
因此，组合截面 Iz=2Izc=2×1780.4×104mm4=3560.8×104mm4 2 a I y 2 I yc z0 A 2
2 4 4 100mm 2 2 2 128 10 mm 20.1mm 28.83 10 mm 3089.4 104 mm4 2
I y0z0
I y Iz 2
sin 2αo I yz cos 2αo 0
tan 2 o
2 I yz I y Iz
αo也是惯性矩为极值时的轴
与原坐标轴的夹角。
I y Iz 2 Iy 0 I max I y I z 2 ( ) I yz Iz 0 I min 2 2

.如果截面没有对称轴，形心主轴如何确定？
1、确定形心位置； 2、过形心取一对正交轴y,z，利用平行移轴公 式计算截面对这对轴的惯性矩Iy,Iz和惯性积Iyz.
3、利用公式 tan 2o
4、利用公式
2I yz I y Iz
计算主轴位置。
Iy 0 I max I y I z I y I z 2 2 ( ) I yz Iz 0 I min 2 2
计算主惯性矩。
y
yc
z
S z yc A S y zc A
O
如果截面对某一轴的面积矩等于零，则该轴必过 截面的形心；反之，截面对于通过形心的轴的面 积矩等于零。
三、组合截面的面积矩和形心
面 积 矩 ： S y Ai zci
i 1 n n
S z Ai yci
i 1
形心： yc
Ay
4.如果截面没有对称轴，形心主轴如何确 定？

例2：计算矩形对y轴和z轴的惯性矩。
b/2 b/2
h/2
y dy z
hb 3 Iy 12 bh3 Iz 12
O h/2
dz z
y
例3：计算圆形对其直径轴Y和Z的惯性 矩。设圆的直径为d。
d
I y Iz
d4
64
I p I y Iz
y
z O

当Iy0z0=0时，称y0、z0——主惯性轴（主轴）。
当主轴通过截面形心时， yc、zc——形心主轴。 Iyc、Izc— —形心主惯性矩。

1.如果截面有一根对称轴，则该轴与之正 交的形心轴即为形心主轴；
2.如果截面有两根对称轴，则该对对称轴 即为形心主轴；


3.如果截面有两根以上的对称轴（如圆， 正方形等），则任一对正交的形心轴即为 形心主轴，且截面对任一形心主轴的惯性 矩均相等。