频域分析法讲义

·145·图5-1第5章 线性系统的频域分析法例题解析例5-1 已知单位反馈控制系统的开环传递函数)5)(3()(++=s s s K s G k（1）用奈奎斯特判据确定使闭环系统稳定的条件；（2）用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于s 左半部，且实部的绝对值都大于1的条件；（3）用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于s 左半部且全部复极点的阻尼系数都大于22的条件。

解：（1）此题是Ⅰ型系统，取奈奎斯特路径如图5-1所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s 平面上的封闭曲线：① 正虚轴：s ＝j ω，频率ω从0＋变化到∞； ② 半径为无穷大的右半圆：;22,,Reππθθ变化到－由∞→=R s j③ 负虚轴：s ＝j ω，频率ω从－∞变化到0－；④ 半径为无穷小的右半圆：；变化到由－22,0,e R ππθθ'→''='R s j先求与路径①对应的奈奎斯特图，将ωj s =代入)(s G k)25)(9()15()()25)(9(8)(270)(;90)0(5arctan3arctan90)(259)()5)(3()(2222222ωωωωωωωωϕϕωωωϕωωωωωωωω++-=++-=-=∞-=---=++=++=KQ KP KA j j j Kj G k·146·求与实轴的交点，令,0)(=ωQ 解得87.315,152±≈±==ωω120)1525)(159(8)15(K K P -=++-=与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小。

角度从－270o 逆时针转到270o 的圆弧，由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特曲稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图中略去。

与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。

与路径④对应的奈奎斯特图是半径为无穷大，角度从90o顺时针转到－90o的圆弧。

画出奈奎斯特图如5-2所示。

要使闭环系统稳定，要求11200->->K ，即当1200<<K 时闭环系统稳定。

图5-2 图5-3（2）此时，取奈奎斯特路径如图5-3所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s 平面上的封闭曲线：① 平行于正虚轴直线：1-=ωj s ，频率ω由0变化到∞；② 半径为无穷大的右半圆：22,,Re ππθθ变化到－由∞→=R s j ；③ 平行于正虚轴直线：1-=ωj s ，频率ω由-∞变化到0； 先求与路径①对应的奈奎斯特图 将1-=ωj s 代入)5)(3()(++=s s s K s G k 得·147·图5-4)4)(2)(1()(*)1(++-==-ωωωωωj j j Kj G j G k k注意此时的)(*ωj G k 已不是Ⅰ型系统形式，而是非最小相位传递函数4arctan2arctanarctan 180)arctan 180(4arctan2arctan)(1641)(222ωωωωωωωϕωωωω--+-=----=+++=KA)16)(4)(1()2()()16)(4)(1()58()(270)(;180)0(22232222ωωωωωωωωωωωϕϕ+++--=++++-=-=∞-=K Q K P求与实轴的交点，令0)(=ωQ , 解得0=ω，18)2(,8)0(,2K P K P -=-==ω画出奈奎斯特图如图5-4所示。

与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小，角度从－270o 逆时针转到270o 的圆弧，由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图中略去。

与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。

要使此图满足稳定的要求1818K K -<-<-,即当188<<K 时满足全部闭环极点均位于s 左半平面且实部绝对值都大于1的条件。

解二：本题的结果也可以利用劳斯判据来获得，方法是平移坐标轴后再用劳斯判据判断相对稳定的条件。

令1-=x s 代入特征方程015823=+++=∆K s s s·148·整理得 082523=+-++=∆K x x x 列劳斯阵列如下851885210123---K xK x K x x要使劳斯阵列第一列都大于零，可解得188<<K 。

当188<<K 时满足全部闭环极点均位于s 平面左半部且实部的绝对值都大于1 的条件，此结果与应用奈奎斯特判据所得结果完全相同。

(3) 此时取奈奎斯特路径如图5-5所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s 平面上的封闭曲线：① 与负虚轴成45o 角的直线：jx x s +-=，频率x 由0变化到∞； ② 半径为无穷大的右半圆：θθ,,∞→=R Rs j 由43π变化到－43π；③ 与负虚轴成45o角的直线：jx x s +=，频率x 由－∞变化到0； ④ 半径为无穷小的右半圆：θθ'→''=',0,eR R s j 由－43π到43π；先求与路径①对应的奈奎斯特图，将jx x s +-=代入)5)(3()(++=s s s Ks G k得)5)(3)(()(*)(jx x jx x jx x Kjx G jx x G k k +-+-+-==+-2222)5()3(2)(xx xx x KA +-+-=ω405)(;8.336)5(;31.281)3(;135)0(5arctan3arctan135)(-=∞-=-=-=-----=ϕϕϕϕωϕxx xx])5][()3[(2)15162()(])5][()3[(2)152()(2222222222x x x x x K x x x Q x x x x x Kx x P +++--+-=+++--=求与实轴的交点，令0)(=x Q ，解得⎩⎨⎧=±=)(085.1)(915.62344与负实轴的交点频率与正实轴的交点频率x ，与负·149·图5-7实轴的交点2723449])5][()3[(2)152()2344(34422222--=+++--=--=K x x x x x Kx P X )215(,215Q ±=为与虚轴的交点值。

图5-5 图5-6与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小，角度从-405o逆时针转到405o的弧，由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以，图中略去。

与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。

与路径④对应的奈奎斯特图是半径为无穷大，角度从135o 顺时针转到-135o 的圆弧。

画出奈奎斯特图如图5-6所示，由图可知，满足全部闭环极点均位于s 左半部且实部的绝对值都大于1的条件是127234490-<--<K即当7.1327234490≈-<<K 时满足要求。

解二：此题可用根轨迹法来求，画出根轨迹如图5-7所示，满足题示要求即是要求出根轨迹与阻尼角为45o 的射线所夹部分根轨迹增益的范围。

令)1(j x s +=，则)(,j x s j x s+-==123322代入特征方程K s s s +++=∆15823·150·可得实部方程01523=++-K x x和虚部方程01516223=++x x x可解得x ＝0和⎩⎨⎧--=±-=)(085.1)(915.62344与负反馈根轨迹的交点与正反馈根轨迹的交点x7.132723449)152(23443≈-=-=+-=x x x K结合根轨迹图可知，当7.13<<K o 满足使全部闭环极点均位于s 平面左半部且全部复极点的阻尼系数都大于22的要求。

例5-2 已知开环传递函数13)2(3)()(3+++=s s s s H s G ，画出与完整的奈奎斯特路径相对应的奈奎斯特图。

（1）确定相对于G (s )H (s )平面的原点的N ，P 和Z 的值。

从而判断开环系统是否稳定。

（2）求取相对于－1点的N ,P 和Z 的值。

从而判断闭环系统是否稳定。

解一：（1）首先要确定开环零，极点的位置，由于本题开环零点以确定，而分母是以多项式形式给出，所以只要确定开环极点的位置。

方法由三种：a ）劳斯判据法对开环特征方程0133=++s s ，列劳斯阵列如下110310123ss ss ∞-由劳斯判据可判断开环特征方程有一个左根和两个右根，没有虚轴上的根。

b ）根轨迹法 对开环特征方程0133=++s s ，可改写为0)3(1311123=++=++=K ssK ss 于是0133=++s s 的根可看作在等效开环传递函数为SSK G k )3(*2+=的根轨迹上，取K =1时的点，此时根轨迹如图5-9所示。

由根轨迹可知，当K ＝1时开环特征方程0133=++s s 有一个负实根和一对实部为正的共轭复根。

c ）奈奎斯特判据法 此法是题中要求的方法。

即画出完整的奈奎斯特曲线，求出该曲线对)(s G k 平面对原点包围的次数N 0，若此时开环右零点数Z 0已知，则开环右极点数·151·P 0=Z 0-N 0，此法可与闭环系统稳定性判别同时进行。

（2）下面画出与完整的奈奎斯特路径相对应的奈奎斯特图。

为了确定奈奎斯特路径，必须先确定开环传递函数是否有虚轴上的极点。

设0)()())((132323=+++++=+++=+=ac s c ab s b a s c bs s a s s s 因为01≠=ac ，所以0,0≠≠c a ，因为0=+b a ，所以0≠-=a b因为0≠a ，0≠b 和0≠c ，所以开环传递函数没有虚轴上的极点。

此题是０型系统，取奈奎斯特路径如图5-8所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s 平面上的封闭曲线：① 正虚轴:ωj s =,频率ω由0变化到∞； ②半径为无穷大的右半圆：θθ,,Re ∞→=R s j 由2π变化到-2π；③ 负虚轴：ωj s =，频率ω由-∞变化到0； 先求与路径①对应的奈奎斯特图，将ωj s =代入)(s G k 得2222222)3(1)52(3])3(2[3)3(1)2(3)(ωωωωωωωωωω-+-+-+=-++=jjj j G2 2 2 2 2 2 2 2 2 )3 ( 1 ) 5 2 ( 3 )( )3 ( 1 ]) 3 ( 2 [ 3 )( ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω - + - = - + - + = Q P0)(,0)(,0)0(,6)0(=∞=∞==Q P Q P求与0)(=ωQ ，解得0=ω和5.2±=ω；解得6)0(=P ,6)5.2(=P 再求与虚轴的交点，令0)(=ωP ，可得方程02324=--ωω 解得图5-8·152·66.521733)2173(887.1217356.056.321732≈+=+=±≈+±=⎩⎨⎧-≈±=Q ωω（略） 图 5-9其次求与路径②对应的奈奎斯特图，将ωj s =代入)(s G k ，其中θ,∞→R 由2π变化到-2π；得 θθ2Re203lim)(lim j s R k s ess G j -=∞→∞→⨯==这表明与路径②对应的奈奎斯特图是连接)(+∞k G 和)(-∞k G 的半径为无穷小，角度从-180o逆时针转到180o的圆弧，如图5-10中原点附近的虚线小圆弧所示。