七年级数学下册第二章相交线与平行线2.2探索直线平行的条件第1课时利用同位角判定两条直线平行练习课件(新
第2章 相交线和平行线 单元整理分析教案
的极好机会，只要求按步骤作图并保留作图的痕迹，暂时只要求用自己的语言表述出作
法。平行线的条件和平行线的特征是本章的重点，也是难点．
2.本章教学建议：
在生动的不属于产丰富的教学活动中，探索相交线、平行线的有关事实；以直观认
识为基础进行简单的说理，将几何直观与简单推理相结合，发展空间观察和推理能力；
借助平等的有关结论解决一些简单的实际问题．
两条直线被第三条直线所截，即谓的“三线八角”问题和对平行线的讨论是平面几 何中重要的议题，也是基础性的内容，有很大的教育价值。让学生通过探索和简单的推
排
理熟悉相关的性质与判定等几何事实，并确信它们成立，成为这册教材“公理化”的经
验背景。在这章的最后设置了“用尺规作线段和角”一节，是理解和运用相关几何知识
义． 活动二：掌握对顶 角、补角、余角的性 质，并能运用它们的 性质进行角的运算 及解决一些实际问
题．
2.1.1 两条直线
1.理解两直线位置关系 中垂直的含义，会用符 号表示两直线垂直； 2.能借助三角板、直尺 和方格纸画垂线；通过 折纸、动手操作等活动 探究归纳垂直的有关 性质；
的位置关系（2） 3.会利用两直线垂直的
实际问题.
2. 灵 活 地 综 合 利 用
平行线的判定和性
活动一：让学生 观察图片，然后引导 学生如何用数学知 识来解释其中的原 理.
质解决实际问题. 活 动 二 ： 巩 固 例
题．掌握平行线的判
定与平行线的性质
2.4 用尺规作图
的区别.
1．能按照作图语言来 完成作图动作，能用尺 规作一个角等于已知 角，并了解它在尺规作 图中的简单应用。 2．能利用尺规作角的 和、差、倍。
符号语言、几何语言间的转化．
2.2 第1课时 同位角相等时两直线平行 课件(共19张PPT)北师大版七年级数学下册
4.如图，已知直线 与直线 ， 分别交于点 ， ，且 ，当 _______ 时， .
（第4题图）ຫໍສະໝຸດ 5.如图，用直尺和三角尺作直线 ， ，从图中可知，直线 与 平行的理由是_________________________.
（第5题图）
同位角相等，两直线平行
6.如图，直线 , 相交于点 ， 于点 ， 交 于点C.若 ， ，则 吗？为什么？
【解】 .理由： ,而 ，则 .因为 ,所以 .由“同位角相等，两直线平行”可知 .
变式.如图，直线 与 相交于点 ， ，直线 与 一定平行吗？试说明你的理由.
解：直线 与 一定平行.理由:因为 ，而 ，所以 .所以 .
1.如图， 的同位角是( )
（第1题图）
A. B. C. D.
D
2.如图，对于图中标记的各角，下列条件中能够推理得到 的是( )
（第2题图）
A. B. C. D.
D
3.在同一平面内，有三条直线 ， ， ，若 ， ，则 与 的位置关系是( )A. B. C. 或 D.无法确定
解： .因为 于点 ， ， ，所以 .而 与 是同位角,所以 ．
7.如图， ， 是 上一点，直线 与 的夹角 .要使 ，直线 绕点 按逆时针方向至少旋转_____度.
12
8.如图,将含有 角的三角板 的直角顶点 放在直线 上.若 ,则当 的度数是多少时,才能使直线 ？
解:因为 , ,所以 .而 与 是同位角,故要使直线 ,应使 ．
9.如图,已知 平分 , 平分 ,且 ,试找出图中互相平行的直线,并说明理由.
解：图中互相平行的直线有 , .理由：因为 平分 ,所以 .而 ,所以 .所以 .因为 ，所以 ，即 .所以 ．
蓉城学霸七年级下册 第二章 2.2 第二课时 用内错角、同旁内角判断两直线平行
(4)∠B＝∠5；(5)∠D＝∠5.能推出 AB∥CD 的条件是(1)(3)(4) (填序号)．
12．一辆汽车在笔直的公路上行驶，要使两次拐弯后，仍在原来的方向平行行 驶前进，如果一次向左拐 40°，那么它第二次应再向 右 拐 40 °.
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同步中演考练解·B读级
第一第讲二章实数
13．(七中育才·月考)如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论中
所以∠ACD＋∠BAC＝2∠α＋2∠β( 等式性质 )．
即∠ACD＋∠BAC＝2(∠α＋∠β)．
因为∠α＋∠β＝90° (已知)，
所以∠ACD＋∠BAC＝ 180° Nhomakorabea( 等量代换 )．
所以 AB∥CD( 同旁内角互补，两直线平行
)．
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同步中演考练解·A读级
第一第讲二章实数
10．如图，已知∠B＋∠BCD＋∠D＝360°，则 AB∥ED，为什么？
(1)～(4)，虚线部分表示折痕]：从图中可知，小敏画平行线的依据有哪些？
解：因为∠FPA＝∠APE，又因为∠FPA＋∠APE＝180° 所以∠APF＝90° 同理，∠DEP＝90°，所以∠APF＝∠DEP.所以AB∥CD. 故小敏画平行线的依据有：同位角相等，两直线平行．
答案图
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同步中演考练解·C读级
第一第讲二章实数
已知：如图，AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACD，且∠α＋∠β＝90°.
求证：AB∥CD.
证明：因为 CE 平分∠ACD(已知)，
所以∠ACD＝2∠α ( 角平分线的定义 )．
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同步中演考练解·A读级
第一第讲二章实数
因为 AE 平分∠BAC(已知)，
第二章 相交线与平行线
1两条直线的位置关系第1课时对顶角、余角和补角1．在同一平面内不重合的两条直线的位置关系可能是()A．相交或垂直B．垂直或平行C．平行或相交D．平行或相交或重合2．下列说法中正确的是()A．不相交的两条直线是平行线B．在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线C．在同一平面内，两条直线不相交就重合D．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线3．下列各组角中，是对顶角的一组是()A．∠2和∠4 B．∠1和∠4C．∠2和∠5 D．∠1和∠54．下列图形中∠1和∠2是对顶角的是()5．直线AB和直线CD相交于点O，若∠AOC＝40°，则∠BOC等于()A．40° B．60° C．140° D．160°6．如图，三条直线l1，l2，l3相交于一点，已知∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3＝.7．当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．如图所示，若∠1＝42°，∠2＝28°，则光的传播方向改变了.8．如图，直线AB与CD相交于点O，OE为射线．(1)写出∠AOC的对顶角；(2)若∠AOC＝38°，∠BOE＝108°，求∠DOE和∠AOE的度数．9．若∠A＝34°，则∠A的余角的度数为()A．146° B．54° C．56° D．66°10．计算：30°角的余角的补角是 .11．已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数．易错点对余角、补角的定义认识不清导致出错12．如图所示，O是直线AE上的一点，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．(1)图中互余的角有哪几对？(2)图中互补的角有哪几对？13．下列说法正确的是()A．两条直线相交所成的角是对顶角B．相等的角必是对顶角C．对顶角一定相等D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等14．如图，直线AB，CD相交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2，其推理依据是()A．同角的余角相等B．对顶角相等C．同角的补角相等D．等角的补角相等15．下列各图中，∠1与∠2互为邻补角(注：两角互补且有一条公共边的角叫做邻补角)的是()16．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠BOD＝40°，OA平分∠COE，则∠AOE＝°.17．如图，直线AB，CD相交于点O.已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE∶∠EOC＝2∶3.(1)求∠AOE的度数；(2)若OF平分∠BOE，问OB是∠DOF的平分线吗？试说明理由．18．探索研究：A：观察如图所示的各图，寻找对顶角(不含平角)：(1)如图a，图中共有对不同的对顶角；(2)如图b，图中共有对不同的对顶角；(3)如图c，图中共有对不同的对顶角；(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角；(5)若2 018条直线相交于一点，则可形成对对顶角．B：(1)3条直线两两相交最多有个交点，此时有对不同的对顶角；(2)4条直线两两相交最多有个交点，此时有对不同的对顶角；(3)n条直线两两相交最多有个交点，此时有对不同的对顶角；(4)计算2 018条直线两两相交最多有个交点，则可形成对不同的对顶角．第2课时垂线与垂线段1．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是()A．35° B．40° C．45° D．60°2．如图所示，直线AB与CD相交于点O.下列说法不正确的是()A．若∠AOC＝90°，则AB⊥CD B．若AB⊥CD，垂足为O，则∠BOD＝90°C．当∠COB＝90°时，称AB与CD互相垂直D．AB与CD相交于点O，点O为垂足3．如图，点O为直线AB上一点，∠1＝20°，当∠2＝时，OC⊥OD.4．如图所示，直线AB与CD交于点O，MO⊥AB，垂足为O，ON平分∠AOD.若∠COM＝50°，求∠AON 的度数．5．在下列各图中，分别过点P画线段MN的垂线．(用三角尺画图)6．如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为1的正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点．已知A，B，C都是格点，请按以下要求作图(注：下列求作的点均是格点)过点B作线段AB的垂线段BE.7．如图，已知OA⊥m，OB⊥m，所以OA与OB重合，其理由是()A．经过两点有且只有一条直线B．在同一平面上，一条直线只有一条垂线C．两点之间，线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直8．如图所示，点P到直线l的距离是()A．线段P A的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度9．(2019·山东淄博一模)在下列图形中，线段PQ的长度能表示点P到直线l的距离的是()10．如图所示，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)点A到BC的距离是线段的长，点A到CD的距离是线段的长；(2)比较大小：AC AD，AC AB，AB BC(填“＞”“＜”或“＝”)，其根据是；(3)AD＋CD AC(填“＞”“＜”或“＝”)，其根据是．11．下列时刻中，时针与分针互相垂直的是()A．2时20分B．6时15分C．12时15分D．3时整12．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段BE时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个13．已知OA⊥OB，O为垂足，且∠AOC∶∠AOB＝1∶2，则∠BOC等于()A．45° B．135° C．45°或135° D．60°或20°14．两条直线相交成四个角，则：①如果有三个角相等，那么这两条直线垂直；②如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；③如果有一对对顶角互余，那么这两条直线垂直；④如果有两个角互补，那么这两条直线垂直．其中说法正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．415．小华站在长方形操场的左侧A处．(1)若要到操场的右侧，怎样走最近，在图1中画出所走路线．这是因为；(2)若要到操场对面的B处，怎样走最近，在图2中画出所走路线．这是因为．16．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC，且∠COE∶∠AOC＝2∶5，求∠DOF的度数．17．(2019·辽宁鞍山铁西区期末)已知直线CD⊥AB于点O，∠EOF＝90°，射线OP平分∠COF.(1)如图1，∠EOF在直线CD的右侧：①若∠COE＝30°，求∠BOF和∠POE的度数；②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系，并说明理由．(2)如图2，∠EOF在直线CD的左侧，且点E在点F的下方：①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系；②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系．2探索直线平行的条件第1课时同位角、内错角、同旁内角1．如图，直线a，b被直线c所截，则与∠2是内错角的是()A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠52．如图，直线AB，AF被BC所截，则与∠2是同位角的是()A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠43．如图，与∠1是同旁内角的是()A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠54．下列图形中，∠1与∠2是同位角的是()5．(2019·内蒙古呼伦贝尔期中)如图，下列说法错误的是()A．∠A与∠C是同旁内角B．∠1与∠3是同位角C．∠2与∠3是内错角D．∠3与∠B是同旁内角6．如图所示．(1)∠1与∠2是直线和直线被第三条直线所截而成的角；(2)∠2与∠3是直线和直线被第三条直线所截而成的角；(3)∠4与∠A是直线和直线被第三条直线所截而成的角．7．如图所示，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，图中的内错角有多少对？请把它们写出来．8．如图，下列结论正确的是( )A．∠5与∠2是对顶角B．∠1与∠3是同位角C．∠2与∠3是同旁内角D．∠1与∠2是同旁内角9．如图所示，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠B中，同位角是，内错角是，同旁内角是．易错点复杂图形中，混淆截线、被截线，进而分不清同位角、内错角、同旁内角10．如图所示，与∠A是同位角的是，是同旁内角的是.11．(2019·山东济南槐荫区期末)下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是( )12．(2018·广东广州中考)如图，直线AD ，BE 被直线BF 和AC 所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )A ．∠4，∠2B ．∠2，∠6C ．∠5，∠4D ．∠2，∠4 13．如图所示，以下几种说法，其中正确的个数是( )①∠3和∠4是同位角；②∠6和∠7是同位角； ③∠4和∠5是内错角；④∠2和∠5是同旁内角； ⑤∠2和∠7是同位角；⑥∠1和∠2是同位角． A ．3 B ．4 C ．5 D ．614．如图，能与∠1构成同位角的角有 个．15．如图，与∠2是内错角的是 ，∠3与∠B 是 角，与∠B 是同旁内角的是 .16．(2019·山东济南槐荫区期末)两条直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，∠2与∠3是内错角． (1)画出示意图，标出∠1，∠2，∠3；(2)若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数．17．一个“跳棋棋盘”(如图)，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上(棋子的落点在相应角的顶点处)，如从起始位置∠1跳到终点位置∠3的路径有：路径1：∠1――→同旁内角∠9――→内错角∠3；路径2：∠1――→内错角∠12――→内错角∠6――→同位角∠10――→同旁内角∠3.(1)写出从∠1到∠8，途经一个角的一条路径；(2)从起始∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点∠8? (3)找出从起始∠1跳到终点∠8的路径，要求跳遍所有的角，且不能重复．第2课时平行线及其判定1．下列说法不正确的是()A．100米跑道的跑道线所在的直线是平行线B．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直C．若a∥b，b∥d，则a⊥dD．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行2．如图，已知AB∥EF，AB∥CD，还能得到哪两条直线平行，请补充完整的推理过程．因为AB∥EF，，所以∥( )．3．我们常用如图所示的方法过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是()A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等4．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是()A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4C．∠3＝∠4 D．∠2＋∠3＝∠45．如图，AD是一条直线，∠1＝60°，∠2＝120°.试说明BE∥CF.6．如图，∠1＝∠2，则直线AB∥CD的是()7．如图，根据题意填空：因为∠1＝∠2(已知)，所以∥.因为∠2＝∠3(已知)，所以∥.所以∥.8．如图，∠1＝65°，∠DMN＝115°，试说明：CD∥AB.9．如图，在下列四个条件中，可得CE∥AB的条件是(D)A．∠2＝∠3 B．∠4＋∠ACD＝180°C．∠1＝∠4 D．∠2＋∠BCE＝180°10．如图，DE是过三角形ABC的顶点A的直线．(1)当∠B＝时，DE∥BC，理由是．(2)当∠B＋＝180°时，DE∥BC，理由是．11．如图，∠1＝70°，∠2＝110°，AB与ED平行吗？为什么？12．如图所示，a，b，c，d四条直线相交，如果∠1＝∠2，可得()A．a∥b B．c∥d C．a∥c D．a∥d13．(2018·湖南郴州中考)如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是()A．∠2＝∠4 B．∠1＋∠4＝180°C．∠5＝∠4 D．∠1＝∠314．如图，(1)如果∠1＝∠B，那么∥，根据是；(2)如果∠3＝∠D，那么∥，根据是；(3)如果∠B＋∠2＝，那么AB∥CD，根据是．易错点不能正确识别截线与被截线，误判两直线平行15．(2019·湖北黄冈二模)如图，下列四个条件中，能判定DE∥AC的是()A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2C．∠EDC＝∠EFC D．∠ACD＝∠AFE16．已知直线a与点P，过点P画直线l的平行线b，下列结论正确的是()A．直线b最多有一条B．直线b至少有一条C．直线b一定有一条并且只有一条D．直线b的条数不能确定17．下列说法：①过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条；②一条直线的平行线只有一条；③两条不相交的直线叫做平行线；④过一点能画一条已知直线的平行线．其中，正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个18．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是()A．∠1＝∠3B．∠2＝∠3C．∠4＝∠5D．∠2＋∠4＝180°19．如图，要使CF∥BG，你认为应该添加的一个条件是．20．如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD＝82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向旋转度．21．一块四边形木板和一把曲尺(直角尺)如图所示，把曲尺一边紧靠木板边缘PQ，画直线AB，与PQ，MN分别交于点A，B；再把曲尺的一边紧靠木板的边缘MN，移动使曲尺另一边过点B画直线，若所画直线与BA重合，则这块木板的对边MN与PQ是平行的，其理论依据是．22．(2019·山东济南市中区期末)请将下列证明过程补充完整．已知：如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠α＋∠β＝90°.求证：AB∥CD.证明：因为CE平分∠ACD(已知)，所以∠ACD＝2∠α( )．因为AE平分∠BAC(已知)，所以∠BAC＝(角的平分线的定义)．所以∠ACD＋∠BAC＝2∠α＋2∠β( )，即∠ACD＋∠BAC＝2(∠α＋∠β)．因为∠α＋∠β＝90°(已知)，所以∠ACD＋∠BAC＝( )．所以AB∥CD( )．23．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝15°，∠2＝15°，AE与BF平行吗？为什么？24．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC，BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC，∠AED＝∠EDC，请你猜想DE与BF的位置关系并说明理由．25．如图所示，若MN⊥AB，垂足为Q，∠ABC＝130°，∠FCB＝40°，试判断直线MN与EF的位置关系，并说明理由．3平行线的性质1．(2019·广西百色中考)如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是()A．122° B．85° C．58° D．32°2．(2019·云南中考)如图，若AB∥CD，∠1＝40°，则∠2＝ .3．(2019·广西梧州岑溪期末)如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，已知∠1＝60°，求∠2的度数．.4．(2019·北京石景山区期末)如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．若∠CBD＝55°，则∠EDA的度数是()A．145° B．125° C．100° D．55°5．(2019·辽宁锦州中考)如图，AC与BD交于点O，AB∥CD，∠AOB＝105°，∠B＝30°，则∠C的度数为()A．45° B．55° C．60° D．75°6．(2018·浙江衢州中考)如图，将长方形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E 处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于()A．112° B．110° C．108° D．106°7．如图，已知AB∥CD，BE∥CF，试说明∠1＝∠2.8．(2019·西藏中考)如图，AB∥CD，若∠1＝65°，则∠2的度数是()A．65° B．105° C．115° D．125°9．(2019·山东德州期末)将一块直角三角尺与两边平行的硬纸条如图所示放置，下列结论：(1)∠1＝∠2；(2)∠3＝∠4；(3)∠2＋∠4＝90°；(4)∠4＋∠5＝180°.其中错误的个数是()A．0 B．1 C．2 D．310．(2018·四川广安中考)一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝度．11．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．12．(2019·山东济宁中考)如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是()A．65° B．60° C．55° D．75°13．如图，下列推理：(1)若∠2＝∠3，则AB∥CD；(2)若AB∥CD，则∠1＝∠4；(3)若∠ABC＋∠BCD＝180°，则AD∥BC；(4)若∠2＝∠3，则∠ADB＝∠CBD.其中正确的个数是.14．如图，∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3，∠BCD＝80°，求∠ADC的度数．15．(2019·山东临沂沂水期末)如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF.试说明：∠DAF＝∠F.易错点忽视两直线平行这一条件是否存在16．如图所示，已知直线a，b被直线c所截，则以下结论正确的有()①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠2＝∠3；④∠3＋∠4＝180°.A．1个B．2个C．3个D．4个17．(2019·广东深圳中考)如图，已知l1∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是()A．∠1＝∠4 B．∠1＝∠5C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠318．(2019·四川乐山中考)如图，直线a∥b，点B在a上，且AB⊥BC.若∠1＝35°，那么∠2等于()A．45° B．50° C．55° D．60°19．一条街道的路线图如图，若AB∥CD，且∠ABC＝130°，那么当∠CDE＝时，BC∥DE. 20．(2019·安徽淮北濉溪期末)如图，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝120°，则∠BFD＝.21．(2019 ·广东汕头潮南区期中)如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD.(1)试判断AB与CD的位置关系；(2)若∠EHF＝75°，∠D＝45°，求∠AEM的度数．22．(2019·山东临沂莒南期末)如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于点C.(1)若∠O＝40°，求∠ECF的度数；(2)试说明CG平分∠OCD；(3)当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．23．如图1所示，对于直线MN同侧的两个点A，B，若直线MN上的点P满足∠APM＝∠BPN，则称点P 为A，B在直线MN上的反射点．如图2所示，MN∥HG，AP∥BQ，点P为A，B在直线MN上的反射点，判断点B是否为P，Q在直线HG上的反射点，并说明理由．4用尺规作角1．尺规作图是指()A．用直尺规范作图B．用刻度尺和圆规作图C．用没有刻度的直尺和圆规作图D．直尺和圆规是作图工具2．下列关于尺规的功能说法不正确的是()A．直尺的功能：在两点间连接一条线段，将线段向两方向延长B．直尺的功能：可作平角和直角C．圆规的功能：以任意长为半径，以任意点为圆心作一个圆D．圆规的功能：以任意长为半径，以任意点为圆心作一段弧3．下列作图属于尺规作图的是()A．用量角器画出∠AOB的平分线OC B．已知∠α，作∠AOB，使∠AOB＝2∠αC．画线段AB＝3 cm D．用三角尺过点P作AB的垂线4．下列尺规作图语言中，正确的是()A．作∠AOB＝20° B．过点A，B作直线ABC．作一条线段AB，并使其长度为5 cm D．以点O为圆心，12 cm为半径画圆5．已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB，根据图填空．作法：(1)作射线；(2)以点为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点，交OB于点；以点为圆心，以长为半径作弧，交射线O′A′于点C′；(3)以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点D′；(4)过点D′作射线，就是所求作的角．6．下列尺规作图的语句正确的是()A．延长射线AB到D B．以点D为圆心，任意长为半径画弧C．作直线AB＝3 cm D．延长线段AB至C，使AC＝BC7．利用尺规作∠AOB等于已知角时，下列说法不正确的是()A．点O的位置可任意选取B．∠AOB的一边的方向可任意选取C．∠AOB的大小可任意选取D．射线OA的长度可任意选取8．作∠EDF＝∠BAC的作图痕迹如图，关于图中各条弧的半径的下列说法中，正确的是() A．弧BC的半径为任意长B．弧EF的半径为任意长C．弧EG的半径为任意长D．弧BC、弧EF、弧EG的半径均为任意长9．如图，已知：∠α，∠β.求作：∠AOB，使∠AOB＝2∠α＋∠β.10．如图所示，已知直线MN及直线MN外任意一点P，请过点P作直线CD，使CD∥MN.1．(2018·湖南益阳中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是()A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°2．在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝3 cm，则点C到AB的距离为()A．4 cm B．3 cm C．2.4 cm D．2.5 cm3.如图所示，直线AB，CD，EF两两相交，若∠1＝30°，∠2＝60°，则∠3＝，∠4＝，∠5＝，∠6＝.4．若∠1与∠2是对顶角，∠2的邻补角(有一条公共边且互补的角)是∠3,∠3＝45°,则∠1的度数为. 5．(2019·江苏泰州月考)若∠A和∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的两倍少30°，则∠B的度数是.6．(2019·辽宁大连甘井子区期中)如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OF⊥CD，∠AOD＝50°，求∠DOP的度数．7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOD＝2∶1.(1)求∠DOE的度数；(2)求∠AOF的度数．8．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF.(1)若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；(2)若∠AOE＝α，求∠BOD的度数；(用含α的式子表示)(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？9．(2019·陕西中考)如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为()A．52° B．54° C．64° D．69°10．(2019·贵州安顺中考)如图，三角尺的直角顶点落在长方形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是()A．35° B．45° C．55° D．65°11．(2019·山东菏泽中考)如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2－∠1的度数是.12．(2019·广东惠州惠阳区期末)如图，EF∥AD，EF∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°.(1)求∠ACB的度数；(2)若∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．13．(2019 ·广西贵港覃塘区期末)如图，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E，∠ADE＋∠BCF＝180°.(1)请说明AB∥EF；(2)若AF平分∠BAD，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．14．(2019·四川成都郫都区期中)如图，直线a∥b，直线c和直线a，b分别交于点C和D，在C，D之间有一点P.(1)判断图中∠P AC，∠APB，∠PBD之间有什么关系，并说明理由；(2)如果点P在C，D之间运动，∠P AC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化？(3)若点P在直线c上C，D两点的外侧运动(点P与点C，D不重合)，试探究∠P AC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？分别画出图形并说明理由．。
北师大版数学七年级下册第2课时利用内错角、同旁内角判定两条直线平行课件
1a 2 b
归纳总结 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果
内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行.
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果 同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
做一做
如图，三个相同的三角尺拼接成一个图形，
c
a 23
1 b
3. 如图.（1）从∠1 = ∠4，可以推出 AB ∥ CD ，
理由是 内错角相等，两直线平行 .
(2) 从∠ABC +∠ BCD = 180°，可以推出 AB∥CD，
理由是 同旁内角互补，两直线平行 .
A
D
3
1
4
2
5
B
C
(3) 从∠ 3 =∠2，可以推出 AD∥BC， 理由是 内错角相等，两直线平行 .
(4) 从∠5 =∠ ABC ，可以推出 AB∥CD， 理由是 同位角相等，两直线平行 .
A
D
3
1
4
2
5
B
C
七年级下册数学（北师版）
第二章 相交线与平行线
2.2 探索直线平行的条件
第2课时 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
情景导入
小明有一块小画板(如图)，他想知道它的上、
下边缘是否平行，但是现在无法用同位角的数量关
系直接判断直线是否平行时，那怎样才能判断上、
下边缘是否平行呢?
A
于是他在两个边缘之间 画了一条线段 AB .
1
a
所以 1 =2.
2 b
所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）.
(2) 如图，1 和 2 互为同旁内角，如果1 +2 = 180°，能判定 a∥b 吗?
北师大版数学七年级下册2.2《探索直线平行的条件》(第2课时)教案
第二章平行线与相交线2探索直线平行的条件（第2课时）山东省济南第二十七中学褚爱华课时安排说明:本节“探索直线平行的条件”共分两课时完成，第一课时探索得出判别直线平行的条件一，并初步认识“三线八角”中的同位角，第二课时在进一步认识“三线八角”中的内错角和同旁内角的同时，探索得出判别直线平行的条件二、三。
本单元教学设计时将遵循教科书编写思路，在探索直线平行条件的过程中自然引入“三线八角”，使该知识的学习成为解决问题的需要，而不是孤立地处理这些内容。
一、学生起点分析：学生的知识技能基础：在第一课时的学习中学生已经初步经历了探索直线平行条件的过程，并得到了“同位角相等，两直线平行”的结论，初步具有了利用角的大小关系来判断直线位置关系的意识，认识了三线八角的基本图形，为本节课的继续探究打下基础，因此本课的设计应充分利用学生已有的认知基础，使其成为上节课探究的延续，较好的完成本单元的学习。
学生的活动经验基础：在第一课时的学习中，为学生提供了大量生动有趣的现实情境，通过观察、画图、操作、折纸等活动，认识到了探索直线平行的必要性及基本方法，获得了初步的数学活动经验和体验。
同时在活动中也培养了学生良好的情感态度，具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力。
二、教学任务分析：在第一课时已经得到同位角相等，两直线平行的基础上，本课时主要教学任务是认识内错角、同旁内角，并探索出利用内错角和同旁内角的大小关系来判断两直线平行的有关结论。
由于学生对于三线八角的认识还不够深入，对内错角、同旁内角的识别比同位角要略为复杂一些，所以本节课的难点之一就是让学生认识两种角，并能在不同的图形中正确识别。
另外，在第一课时中，对于同位角相等，两直线平行的结论只要求学生能正确应用即可，对说理要求不高，但是在本节课中就要有目的的引导学生从直观和推理两方面来探索，既要结合实际图形发现规律，又要尽可能的引导学生采用推理的形式加以说明，把内错角相等、同旁内角互补转化为同位角相等来得出结论，因此本节课的教学目标是：1．会识别由“三线八角”构成的内错角合同旁内角。
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质(知识梳理与考点分类讲解)
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行线的判定方法11.方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等，两直线平行.2.表达方式：因为∠1=∠2,（已知）所以a//b（同位角相等，两直线平行）特别提醒：“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系（相等）推导出两直线的位置关系（平行）.它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁.【知识点二】平行线的画法过直线外一点画已知的直线平行线的步骤一落：把三角尺的一边落在一直的直线上；二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点；四画：沿三角尺的一边画直线.此直线即为已知直线的平行线.特别提醒：1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.3.移动是要始终保持紧靠.【知识点三】平行线的性质及其推论1.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.2.表达方式：如果a//b,b//c,那么a//b.特别提醒：平行线的性质的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线.【考点目录】【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行；【考点2】内错角相等两直线平行；【考点3】同旁内角互补两直线平行；【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度；【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度；【考点6】平行线判定与性质证明;【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）.【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行【答案】相等；理由见分析【分析】根据平行投影可得∠B＝∠E，再根据垂直可得∠C＝∠F＝90°，然后利用“角边角”证明△ABC 和△DEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．解：两根旗杆的高度相等．理由如下：∵太阳光线AB与DE是平行，∴∠B＝∠E，∵两根旗杆都垂直于地面放置，∴∠C＝∠F＝90°，∵两根旗杆在太阳光下的影子一样长，∴BC ＝EF ，∵在△ABC 和△DEF 中B E BC EF C F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AC ＝DF ，即两根旗杆的高度相等．【点拨】本题考查了全等三角形的应用，根据题意找出三角形全等的条件，然后证明两三角形全等是解题的关键．【变式1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，把一块三角板的30︒角顶点A 放在直尺的一边BC 上，若1:23:7∠∠=，则2∠=（）A ．126︒B ．118︒C ．105︒D ．94︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．解：如图，由题意知：DE BC ∥，∴31∠=∠，∵1:23:7∠∠=，∴3:23:7∠∠=，∴3327∠=∠，∵2330180∠+∠+︒=︒，∴322301807∠+∠+︒=︒，∴2105∠=︒．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质和平角的定义．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为.【答案】60°/60度【分析】由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3=∠1=60°，又由对顶角相等，即可求得答案．解：∵a∥b，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60°．【点拨】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【考点2】内错角相等两直线平行【例2】（2014下·贵州铜仁·七年级统考期末）已知：如图，点D、E分别在AB、BC上，DE AC∥，165∠=︒，265∠=︒，请说明：F CBF ∠=∠．（不必注明依据）【答案】证明见分析【分析】根据平行线的性质得出165C ∠=∠=︒，得出2C ∠=∠，根据平行线的判定得出AF BC ∥，再根据平行线的性质即可得证．解：∵DE AC ∥，165∠=︒，265∠=︒，∴165C ∠=∠=︒，∴2C ∠=∠，∴AF BC ∥，∴F CBF ∠=∠．【点拨】本题考查平行线的判定和性质，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解题的关键．【变式1】（2023·吉林白城·校联考三模）已知，如图，AB ∥CD ，∠A=70°，∠B=40°，则∠ACD=（）A ．55°B ．70°C ．40°D ．110°【答案】B解：AB CD ∥.A ACD ∴∠=∠70.A ∠=︒ 70.ACD ∠=︒故选B.【点拨】两直线平行，内错角相等.【变式2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，直线a b ，直线l 与直线a 相交于点P ，直线l 与直线b 相交于点Q ，PM l ⊥于点P ，若155∠=︒，则2∠=.︒【答案】35【分析】本题主要考查平行线性质以及垂线的性质．根据平行线性质得3155∠=∠=︒，利用垂线性质即可求得2∠．解：直线a b ，3155∴∠=∠=︒，又PM l ⊥ 于点P ，90MPQ ∴∠=︒，2903905535∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：35．【考点3】同旁内角互补两直线平行【例3】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，BE 交CD 于点F ，1290∠+∠=︒．（1）试说明：//AB CD ．（2）若228∠=︒，求3∠的度数．【答案】（1）见分析；（2）62︒【分析】（1）根据角平分线的定义，结合1290∠+∠=︒，可得180ABD BDC ∠+∠︒＝，进而即可得到结论；（2）由228∠=︒，得162∠=︒，进而得62ABF ∠=︒，结合//AB CD ，即可得到答案．解：（1）∵ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，∴21ABD ∠∠＝，22BDC ∠∠＝，又∵1290∠+∠=︒，∴2(12)180ABD BDC ∠+∠∠+∠=︒＝，∴//AB CD ；（2）∵228∠=︒，1290∠+∠=︒，∴162∠=︒，又∵BF 平分ABD ∠，∴162ABF ∠=∠=︒，又∵//AB CD ，∴362ABF ∠=∠=︒．【点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．【变式1】（2012下·广东茂名·七年级统考期中）两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的比为4：5，则这两个角中较小的角的度数为（）A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【答案】B【分析】根据比例设两个角为4x 、5x ，再根据两直线平行，同旁内角互补列式求解即可．解：设两个角分别为4x 、5x ，∵这两个角是两平行线被截所得到的同旁内角，∴45180x x +=︒，解得20x =︒，480x =︒，5100x =︒，所以较小的角的度数等于80︒．故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的性质，主要利用了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．【变式2】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，射线AE 交CD 于点F ，若∠1＝116°，则∠2的度数等于．【答案】64°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD 的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠1+∠AFD =180°．∵∠1=116°，∴∠AFD =64°．∵∠2和∠AFD 是对顶角，∴∠2=∠AFD =64°．故答案为64°．【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度【例4】（2017下·北京东城·七年级统考期中）已知：直线AB CD ，点M 、N 分别在直线AB 、直线CD 上，点E 为平面内一点，（1）如图1，请写出AME ∠，E ∠，ENC ∠之间的数量关系，并给出证明；（2）如图2，利用（1）的结论解决问题，若30AME ∠=︒，EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，EQ NP ∥，求FEQ ∠的度数；（3）如图3，点G 为CD 上一点，AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，EH MN 交AB 于点H ，GEK ∠，BMN ∠，GEH ∠之间的数量关系（用含m 的式子表示）是．【答案】（1）MEN AME ENC ∠=∠+∠，证明见分析；（2）15︒；（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【分析】（1）过点E 作EE AB ' ，根据平行线的性质进行证明即可；（2）利用EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，再根据MEN AME ENC ∠=∠+∠，进行等量代换进行计算即可；（3）由已知条件可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，再根据平行线的性质进行各角的等量转换即可．解：（1）MEN AME ∠=∠+∠，证明如下：如图1所示，过点E 作EE AB ' ，∵AB CD ，∴AB CD EE 'P P ，∴1,2AME ENC ∠=∠∠=∠，∵12MEN ∠=∠+∠，∴MEN AME ENC ∠=∠+∠．（2）∵EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，∴11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠．∵EQ NP ∥，30AME ∠=︒，∴12QEN ENP ENC ∠=∠=∠．∵MEN AME ENC ∠=∠+∠，∴30MEN ENC AME ∠-∠=∠=︒，∴111130152222FEQ FEN QEN MEN ENC AME ∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒．（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．证明如下：∵AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，∴1EMN AMN m ∠=∠，1GEM GEK m∠=∠．∵EH MN ，∴1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，∵11GEH GEM HEM GEK AMN m m ∠=∠-∠=∠-∠，∴m GEH GEK AMN ∠=∠-∠，∵180AMN BMN ∠=︒-∠，∴()180m GEH GEK BMN ∠=∠-︒-∠，180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．故答案为：180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2022下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，在五边形ABCDE 中，AE BC ∥，则C D E ∠+∠+∠=（）A ．540︒B ．360︒C ．270︒D ．180︒【答案】B 【分析】首先过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，由AE BC ∥，可证得AE DF BC ∥∥，然后由两直线平行，同旁内角互补可知180E EDF Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，继而证得结论．解：过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，AE BC ∥，AE DF BC ∴∥∥，180E EDF ∴∠+∠=︒，180CDF C Ð+Ð=°，360C CDE E \Ð+Ð+Ð=°．故选：B ．【点拨】此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式2】（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，则∠E ：∠F 等于【答案】3：2解：如图，过点E、F分别作EG∥AB、FH∥AB，又因AB∥CD，根据平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=23（∠ABE+∠CDE）=23∠BED，∴∠BED：∠BFD=3：2．故答案为：3：2．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决这类题目要常作的辅助线（平行线），充分运用平行线的性质探求角之间的关系是解题的关键．【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度【例5】（2023上·广东潮州·八年级校考阶段练习）如图，A B、两处是灯塔，船只在C处，B处在A 处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求船只与两灯塔的视角ACB的度数．【答案】85°【分析】根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解．解：如图，根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°．∵∠BAE=45°，∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°．∵AE ，DB 是正南正北方向，∴BD ∥AE ，∵∠DBA=∠BAE=45°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°-45°=35°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．题的关键．【变式1】（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图所示，已知AB EF ∥，那么BAC ACE CEF ∠+∠+∠=（）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒，，进而可得出结论．解：过点C 作CD EF ∥，∥Q AB EF ，AB CD EF \∥∥，∴180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒①，②，由①②+得，360BAC ACD DCE CEF ∠+∠+∠+∠=︒，即360BAC ACE CEF Ð+Ð+Ð=°．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式2】（四川省成都市金牛区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）一副直角三角板如图放在直线m 、n 之间，且//m n ，则图中1∠=度．【答案】15【分析】如图，过点A 作AC ∥m ，则有////AC m n ，然后可得,45BAC CAD CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，进而问题可求解．解：如图所示，过点A 作AC ∥m ，∵//m n ，∴////AC m n ，∴1,45BAC CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，∵60BAC CAD ∠+∠=︒，∴115BAD CAD ∠=∠-∠=︒；故答案为15．【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【考点6】平行线判定与性质证明【例6】（2023下·七年级课时练习）如图，BD 平分ABC ∠，ED BC ∥，130∠=︒，4120∠=︒．（1）求2∠，3∠的度数；（2）证明：DF AB ．【答案】（1）230∠=︒，360∠=︒；（2）见详解【分析】（1）根据BD 平分ABC ∠，112ABD ABC ∠=∠=∠，即有130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，再结合ED BC ∥，即可求解；（2）由60ABC ∠=︒，4120∠=︒可得ABC ∠4=180+∠︒，则DF AB ，问题得解．解：（1）∵BD 平分ABC ∠，130∠=︒，∴112ABD ABC ∠=∠=∠，∴130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，∵ED BC ∥，∴2130∠=∠=︒，360ABC ∠=∠=︒，即：230∠=︒，360∠=︒；（2）∵60ABC ∠=︒，4120∠=︒，∴ABC ∠4=180+∠︒，∴DF AB ．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，掌握两直线平行同位角相等；两直线平行同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．【变式1】（2020上·河南洛阳·七年级统考期末）如图，若12∠=∠，DE BC ∥，则下列结论：①FG DC ；②AED ACB ∠=∠；③CD 平分ACB ∠；④190B ∠+∠=︒；⑤BFG BDC ∠=∠．其中，正确结论的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出2DCB =∠∠，得出FG DC ，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；即可得出结果．解：DE BC ∥，1DCB ∴∠=∠，AED ACB ∠=∠，故②正确；12∠=∠ ，2DCB ∴∠=∠，FG DC ∴∥，故①正确；BFG BDC ∴∠=∠，故⑤正确；而CD 不一定平分ACB ∠，1B ∠+∠不一定等于90︒，故③，④错误；故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．【变式2】（2021下·江苏盐城·七年级统考期中）如图a b ，c 与a 相交，d 与b 相交，下列说法：①若12∠=∠，则3=4∠∠；②若14180∠+∠=︒，则c d ∥；③4231∠-∠=∠-∠；④1234360∠+∠+∠+∠=︒正确的有（填序号）【答案】①②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断即可．解：如图，①若∠1=∠2，则b ∥e ，则∠3=∠4，故原说法正确；②若∠1+∠4=180°，则c ∥d ；故原说法正确；③由a ∥b 得到∠1=∠6，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180°-∠6=360°得，∠2+∠3+180°-∠4+180°-∠1=360°，则∠4-∠2=∠3-∠1，故原说法正确；④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°．故原说法错误．正确的有①②③，故答案为：①②③．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）【例7】（2022下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线a b ∥，AB 与a ，b 分别交于点A ，B ，且AC AB ⊥，AC 交直线b 于点C ．（1）若160∠= ，求2∠的度数；（2）若6,8AC AB ==，10BC =，求直线a 与b 的距离．【答案】（1）30︒；（2）245【分析】（1）由直线a b ∥，根据平行线的性质得出3160∠=∠=︒，再由AC AB ⊥，根据垂直的定义即可得到结果；（2）过A 作AD BC ⊥于D ，根据1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ，即可求解．解：（1）∵a b∥∴3160∠=∠=︒又∵AC AB⊥∴290330∠=︒-∠=︒（2）如图，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 的长即为直线a 与b 的距离∵6,8AC AB ==，10BC =，ABC 是直角三角形∵1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ∴8624105AB AC AD BC ⨯⨯===∴直线a 与b 的距离245【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．【变式1】（2021下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，123////l l l ，且相邻两条直线间的距离都是2，A ，B ，C 分别为1l ，2l ，3l 上的动点，连接AB 、AC 、BC ，AC 与2l 交于点D ，90ABC ∠=︒，则BD 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=12AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．【变式2】（2019下·上海金山·七年级统考期中）已知直线a∥b∥c，a与b的距离是5cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是．【答案】8cm或2cm【分析】直线c的位置不确定，可分情况讨论．（1）直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm．解：（1）直线c在直线b1：直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，如图2：直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm；所以a与c的距离是8cm或2cm，故答案为8cm或2cm．【点拨】此题考查两线间的距离，本题需注意直线c的位置不确定，需分情况讨论．。
七年级下册数学课本目录
七年级下册数学课本目录第一章整式的乘除
1.同底数幂的乘法
2.幂的乘方与积的乘方
3.同底数幂的除法
4.整式的乘法
5.平方差公式
6.完全平方公式
7.整式的除法
第二章相交线与平行线
1.两条直线的位置关系
2.探索直线平行的条件
3.平行线的性质
4.用尺规作角
第三章三角形
1.认识三角形
2.图形的全等
3.探索三角形全等的条件
4.用尺规作三角形
5.利用三角形全等测距离
第四章变量之间的关系
1.用表格表示的变量间关系
2.用关系式表示的变量间关系
3.用图像表示的变量间关系第五章生活中的轴对称
1.轴对称现象
2.探索轴对称的性质
3.简单的轴对称图形
4.利用轴对称进行设计
第六章概率初步
1.感受可能性
2.频率的稳定性
3.等可能事件的概率。
2.2.2探索直线平行的条件(教案)
此外，我还注意到，在总结回顾环节，有些同学仍然存在疑问。这说明我在课堂上的讲解可能还不够透彻，或者是课堂互动不够充分。因此，我需要在课后及时了解学生的掌握情况，针对性地进行辅导，确保每位同学都能跟上教学进度。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行线的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平行线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探索了直线平行的条件，我发现学生们对于这个概念的理解程度不尽相同。有的同学能够迅速抓住同位角、内错角、同旁内角这些关键点，但也有一些同学对这些概念感到困惑。我意识到，在接下来的教学中，我需要采取更加多样的教学方法，以帮助不同水平的学生更好地理解平行线的性质。
1.讨论主题：学生将围绕“平行线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
课堂上，我通过引入日常生活中的例子来激发学生的兴趣，这是一个不错的开始。然而，我发现在理论介绍部分，我的语言可能过于专业化，导致一些同学难以跟上。在今后的教学中，我需要用更贴近学生生活的语言来解释抽象的几何概念，使它们更加直观易懂。
北师大版七年级下数学第二章《相交线与平行线》全套教案
1北师大版七年级下数学第二章《相交线与平行线》教案 《2.1两条直线的位置关系》教案一：教学目标1、掌握两条直线平行与垂直的条件；2、会运用条件判断两直线是否平行或垂直；3、能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数.二：教学重点、难点两条直线平行与垂直的条件， 两条直线平行与垂直的条件的应用.三：教学设计（一）情景引入A ：两条直线位置关系当中平行为简单；现在我们来研究平面内两条直线平行的关系. ①先入为主的思想；在研究直线问题时首先考虑特殊情况：α=90°时，画图.这个情况很简单：当α=90°时只要x 1≠x 2，则两条直线平行.②一般情况：α≠90°时，则k 存在，∴y 1=kx +b 1 y 2=kx +b 2已知直线l 1，l 2的斜截式方程为：l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2，若l 1//l 2，则有α1=α2且b 1≠b 2，∴tan α=tan α [α1∈[0，180°），α2∈[0，180°）]∴k 1=k 2反之，是否成立？若k 1=k 2且b 1≠b 2则有tan α=tan α，∵0≤α1，α2＜π，∴α1=α2且b 1≠b 2，∴l 1//l 2结论一：①特殊情况：若两条直线l 1，l 2斜率都不存在也不重合，则两直线l 1，l 2平行； ②有斜率的两条直线l 1//l 2 <=> k 1=k 2且b 1≠b 2∴判断不重合的两条直线平行的程序：两条直线方程——两条直线斜率都不存在且不重合→平行.两条直线方程——化为斜截式方程→求两条直线斜率.若k 1=k 2且b 1≠b 2→平行若k 1≠k 2→相交或者若A 1B 2≠B 1A 2且B 1C 2≠B 2C 1或A 1B 2=A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1 则两条直线平行.例1：已知两条直线l 1:4x +2y -7=0，l 2:2x -y -5=0求证l 1∥l 212122∵l 1的斜率为，l 2的斜率为 ∴k 1=k 2∴l 1∥l 2 例2：求过点A （1，-4）且与直线2x +3y +5=0平行的直线的方程？解：已知直线的斜率为-，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是-. 根据点斜式，得到所求直线的方程是：y +4=-（x -1）即2x +3y +10=0 例3：如果直线ax +2y +2=0与3x -y -2=0平行，那么系数a =（）A .3B .-6C .-D . 例4：求与直线3x +4y +1=0平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线l 的方程？ 法一：设直线方程为3x +4y +m =0，交x 轴于点（-，0）交y 轴于点（0，-），由题意可得（-）+（-）=即m =-4， ∴所求直线l 的方程为3x +4y -4=0， 法二：设直线方程为+=1， ∴a +b =，-=-，可得a =，b =1， ∴所求直线l 的方程为3x +4y -4=0B ：平时我们已经理解了；接下来我们来研究两直线相互垂直的关系.①同样的先考虑特殊情况：若已知一条直线的倾斜角为90°，x =x 1，则求其另一条与它垂直的直线方程.②一般情况：若已知两条直线l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2 x +b 2，相互垂直则k 1与k 2有何关系？ α+（π-β）= ∴α-β=- ∴β=α+ 21213232322332373m 4m 3m 4m 37a x b y 37a b 43342π2π2π3tan β=tan （α+）=-cot α ∴tan α·tan β=tan α·（-cot α）=-1∴最后我们得证:若两条直线垂直则k 1k 2=-1.③α=90°时=>β=0°（特殊情况）k 1=0，k 2不存在.或者k 1不存在，k 2=0.例4:已知直线l 1：ax -y +2a =0与l 2：（2a -1）x +ay +a =0互相垂直，求a 的值一、①当α=90°即a =0时，l 2：x =0 ∴l 1：y =0 ∴l 1⊥l 2②当α≠90°则k 1·k 2=a ·（-）=-1 ∴a =1 二、A 1A 2+B 1B 2=0 =>a （2a -1）-a =0 2a ²-2a =0 =>a =1或a =0例5：求与3x +4y +1=0平行，且在两坐标轴上截距之和为7/3的直线l 的方程.（一）设直线方程为3x +4y +m =0，交x 轴于点（-，0）交y 轴于点（0，-） ∴（-）+（-）= ∴m =-4∴所求直线l 的方程为3x +4y -4=0（二）设直线方程为+=1 =>a +b =；-=-=>a =，b =1 ∴l ：3x +4y -4=0例6：已知三角形两条高线为x +y =0和2x -3y +1=0且一个顶点C （1，2），求三角形AC ，BC 边所在直线的方程.∵AC ，BC 与两条高线垂直∴AC ，BC 的斜率为1和- ∴边AC ，BC 所在直线的方程为y -2=1（x -1），y -2=-（x -1） 即x -y +1=0，3x +2y -7=0《2.2探索直线平行的条件》教案一、导学目标1.使学生能够熟练识别同位角；2πaa )12(-3m 4m 3m 4m 37a xb y 37a b 433423232.使学生会用同位角相等判定二条直线平行.二、重点难点1.重点（1）识别同位角.（2）用同位角相等判定二条直线平行.2.难点用同位角相等判定二条直线平行.三、导学过程一、自主学习：操作---观察---探索如图：3根木条（或硬纸条）相交成∠1、∠2，固定木条b、c，转动木条a.问：1.在木条a的转动过程中，木条a、b的位置关系发生了什么变化？∠2与∠1的大小关系发生了什么变化？2.改变图中∠1的大小，按照上面的方式再试一试，当∠2与∠1的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？二、合作探究：活动一：利用平移三角尺的方法画平行线，探索直线平行的条件.当∠1与∠2相等，直线a、b就；当∠1与∠2不相等时，直线a、b平行吗？活动二：通过观察、比较，认识“同位角”，探索直线平行的条件.直线a、b被第三条直线c所截而成的8个角中，像∠1与∠2这样的一对角称为.请问图中还有没有其他的同位角？4归纳：相等，两直线.活动三：例题讲解.例：如图，∠1=∠C，∠2=∠C，请找出图中互相平行的直线，并说明理由.三、拓展提高：1.∠1与∠C、∠2与∠B、∠ 3与∠ C分别是哪两条直线被哪一条直线截成的同位角？2.如图，直线a、b被直线c所截，∠1=35°，∠2=145°，问：直线a与b平行吗？四、达标检测：1.如图，∠1与∠B是直线和被直线所截构成的同位角；∠2与∠A直线和被直线所截构成的同位角.2.如图，∠1、∠2、∠3中，和是同位角.3.如图，如果∠B=∠1，根据，那么可得DE//BC；如果∠B=∠2，根据同位角相等，两直线平行，那么可得// .4.如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN＝∠DNF，∠1＝∠2，那么MQ∥NP，为什么？AB CD EF13256《2.3平行线的性质》教案教学目标：理解平行线的性质的推导，掌握平行线的性质.教学重点：平行线的性质以及应用.教学难点：平行线的性质公理与判定公理的区别.教学过程：一、梳理旧知，引出新课平行线的判定：判定方法1、同位角相等，两直线平行.判定方法2、内错角相等，两直线平行.判定方法3、同旁内角互补，两直线平行.问题：反过来也成立吗？过去我们学过：如果两个数的和为0，这两个数互为相反数.反过来，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0.这两个句子都是正确的.现在换一个例子：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.它是对的.反过来，如果两个角相等，这两个角是对顶角.对吗？再看下面的例子：“如果一个整数个位上的数字是5，那么它一定能够被5整除.”对吗？这句话反过来怎么说？对不对？【结论】如果一个句子是正确的，反过来说（因果对调），就未必正确.二、动手操作，归纳性质上一节课，我们学过：同位角相等，两直线平行.反过来怎么说？它还是对的吗？（板书）性质1、两直线平行，同位角相等.P Q M N21F ED C B A7如果把平行线性质1：“两直线平行，同位角相等”看作是基本事实（公理），我们可以利用这个公理证明平行线性质2：“两直线平行，内错角相等”.【例】如图，已知：直线a 、b 被直线c 所截，且a ∥b ，求证：∠1=∠2.证明：∵a ∥b ，∴∠1=∠3（__________________）.∵∠3=∠2（对顶角相等），∴∠1=∠2（等量代换）.（板书）性质2、两直线平行，内错角相等【变式】下面我们来证明平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补.请模仿范例写出证明.如图，已知：直线a 、b 被直线c 所截，且a ∥b ，求证：∠1+∠2=180º.证明：（略）（板书）性质：两直线平行，同旁内角互补三、巩固新知，深化理解例1、如图，平行线AB ，CD 被直线AE 所截.（1）从∠1=110º．可以知道∠2是多少度吗？为什么？（2）从∠1=110º可以知道∠3是多少度吗？为什么？（3）从∠1=110º可以知道∠4是多少度吗？为什么？例2、如图，已知AB ∥CD ，AE ∥CF ，∠A = 39°，∠C 是多少度？为什么？ab1 2 3 c ab 1 23c ED CB A12348方法一解：∵AB ∥CD ， ∴ ∠C=∠1．∵ AE ∥CF ，∴ ∠A=∠1．∴ ∠C=∠A ．∵∠A = 39º，∴∠C = 39º．方法二解：∵AB ∥CD ，∴ ∠C=∠2.∵ AE ∥CF ，∴ ∠A=∠2.∴ ∠C=∠A .∵∠A = 39º，∴∠C = 39º．练习1：如图，已知直线a 、b 被直线c 所截，在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据： （1）∵a ∥b ，∴∠1=∠3（___________________）；（2）∵∠1=∠3，∴a ∥b （_________________）.（3）∵a ∥b ，∴∠1=∠2（__________________）；（4）∴a ∥b ，∴∠1+∠4=180º（_____________________________________）（5）∵∠1=∠2，∴a ∥b （___________________）；（6）∵∠1+∠4=180º，∴a ∥b （_______________）.练习2：教材第51页 随堂练习四、盘点收获，布置作业1、（1）平行线的性质是什么？（2）你能用自己的语言叙述研究平行线性质的过程吗？（3）性质2和性质3是通过简单推理得到的，在推理论证中需要注意哪些问题？2、作业G FED C B Aa b12 3 c 49《2.4用尺规作角》教案教学目的：1、经历尺规作角的过程，进一步培养学生的动手操作能力，增强学生的数学应用和研究意识.2、能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角.教学重点：能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角.教学难点：作图步骤和作图语言的叙述，及作角的综合应用.教学过程：一、问题的提出如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB .（1）请过点C 画出与AB 平行的另一条边.（2）如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？二 、新课内容一：（请按作图步骤和要求操作，别忘了留下作图痕迹）（一） 用尺规作一个角等于已知角.（1）已知：∠AOB求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB（2）已知：∠10求作：∠AOB ，使∠AOB=∠（二）用尺规作一个角等于已知角的倍数：（3）已知：∠1求作：∠MON ，使∠MON=2∠1∠COD ，使∠COD=3∠1（三）用尺规作一个角等于已知角的和：（4） 已知：∠1、∠2、∠3求作：①∠AOB ，使∠AOB=∠1+∠2②∠POQ ，使∠POQ=∠1+∠2+∠3③∠MON ，使∠MON=2∠1+∠2（四）用尺规作一个角等于已知角的差：已知：∠、∠、∠求作：①∠AOB ，使∠AOB=∠－∠②∠POQ ，使∠POQ=∠－∠－∠③求作一个角，使它等于2∠－∠（五） 综合练习：（通过以下练习，意味着你掌握了作角的真本领，多动一下脑筋，你一定会完成得很出色的）1、已知：线段AB 、 ∠、∠αα1αβγαβγαβαβγβγαβ13211求作：分别过点A 、点B 作∠CAB=∠、∠CBA=∠2、如图，点P 为∠ABC 的边AB 上的一点，过点P 作直线EF//BC .3、已知：直线L 和L 外一点P ，求作：一条直线，使它经过点P ，并与已知直线L 平行.4、已知：△ABC ，求作：直线MN ，使MN 经过点A ，且MN//BC .5、如图，以点B 为顶点，射线BA 为一边，在∠ABC 外再作一个角，使其等于∠ABC .（六）小结（七）作业αβLA αβ。
第二章 相交线与平行线
第二章相交线与平行线第1节两直线的位置关系∙知识点聚焦1.相交线与平行线（1）相交线：在同一平面内如果两条直线只有一个公共点时，我们称这两条直线相交.∙（2）平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线.注：（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.（2）两条直线相交，只有一个交点.2.对顶角与邻补角（1）对顶角：两条直线相交所成的四个角中，一个角的两边与另一个角的；两边互为反向延长线，这两个角叫作对顶角，对顶角相等.注：相等的角不一定是邻补角.（2）邻补角：两条直线相交所成的四个角中，两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这两个角叫作邻补角，邻补角互补.注：互补的角不一定是邻补角.3.余角和补角（1）余角①定义：如果两个角的和是o90，那么称这两个角“互为余角”，简称“互余”，也可以说其中一个角是另一个角的余角.②性质：同角或等角的余角相等.（2）补角180那么称这两个角“互为补角”，简称“互补”，①定义：如果两个角的和是o也可以说其中一个角是另一个角的补角.②性质：同角或等角的补角相等.4.垂线（1）定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足.（2）性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. ②连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短.简称垂线段最短.（3）点到直线的距离:直线外一点到这条到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.注：距离是指线段的长度，是一个数量；线段是图形，它们之间不能等同. （4）垂线的画法一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上. 二移：移到三角尺使已知点落在它的另一条直角边上. 三画：沿着这条直角画线.注：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.②过一点作线段的垂线，垂足可以线段上，也可以在线段的延长线上.典型例题 例1.如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共 构成哪几对邻补角？分析：⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角.12对邻补角.ABC DEF例2.如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.分析：⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴,21BOC EOC ∠=∠,21AOC FOC ∠=∠∴)(212121AOC BOC AOC BOC FOC EOC EOF ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠又∵︒=∠+∠180AOC BOC ∴︒=︒⨯=∠9018021EOF⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE.例3.（1）已知，如图，直线AB 、CD 交于点O ，且o BOC AOD 120=∠+∠，求AOC ∠的度数.（2）如图，AB 、CD 、EF 交于点O ，o AOE 25=∠，o DOF 45=∠，求AOD ∠的对顶角的度数.（3）如图，AB 、CD 交于点O ，OE 平分AOD ∠，o BOD BOC 30-∠=∠，求CO E ∠的度数.分析：（1）由对顶角相等可得o BOC AOD 60=∠=∠，从而可得o o o A O C 12060180=-=∠.CEF（2）由对顶角相等可知o DOF EOC 45=∠=∠，从而可得o o o o A O D 1102545180=--=∠.（3）o BOD COB 180=∠+∠，o BOD BOC 30-∠=∠，则o C O B 75=∠，o BOD 105=∠，o COB AOD 75=∠=∠，OE 平分AOD ∠，则o AOE 5.37=∠， o BOD AOC 105=∠=∠，则o o o AOE COA COE 5.1425.37105=+=∠+∠=∠.例 4.已知，如图所示直线AB 、CD 、EF 交于点O ，BOD APF ∠=∠2，AOC COE ∠=∠23，求COE ∠的度数.分析：方程思想，将图中的角用未知数表示，找到等量关系，设方程，一般设较小的为x .例5.如图，OE 与CD 相交与点O ，且21,90∠=∠︒=∠=∠COE DOE .（1）BOE AOE ∠∠与有什么关系？为什么？ （2）BOC AOD ∠∠与有什么关系？为什么？ 分析：（1）BOE AOE ∠∠与相等.因为21,902,901∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠且BOE AOE ，所以BOE AOE ∠=∠.（2）BOC AOD ∠∠与相等，21,1802,1801∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠且BOC AOD ,所以BOC AOD ∠=∠.例6.（1）如图，已知o ACB 90=∠，AB CD ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离为线段 的长；线段DB 的长为点 到直线 的距离.AE CB OD12（2）如图，在直角三角形ABC 中，o C 90=∠，c AB =，b AC =，a BC =，则AB BC AC BC AB AB AC -++-+-= .分析：（1）垂线的性质.（2）垂线段最短+两点间线段最短.例7.探索规律(1)2条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角? (2)3条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角? (3)4条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角?(4)n 条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角?分析：两条直线相交时可出现两对不同的对顶角，故找对顶角的对数其实质就是找有多少对不同的直线相交.课堂练习1.下列说法正确的是（ ）A.同一平面内没有公共点的两条线段平行B.两条不相交的直线是平行线C.同一平面内没有公共点的两条直线平行D.同一平面没有公共点的两条射线平行2.下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的图形有( )A.0B.1C.2D.33.如图所示，∠1的邻补角是( )A ．BOC ∠B ．BOE ∠和AOF ∠C ．AOF ∠D ．BOE ∠和AOC ∠4.下列各图中,∠1与∠2互为余角的是( )A. B ．C ．D ．5.如图,直线1l 与2l 相交于点O ,1l OM ⊥,若o 44=∠α，则=∠β等于（ ）A ．o 56B ．o 46C ．o 45D ．o 446.若直线a 与直线b 相交于点A ，则直线b 上到直线a 距离等于2cm 的点的个数是（ ）个.A ．0B ．1C ．2D ．37.如图,已知直线AB 与CD 交于点O ,ON 平分DOB ∠,若o BOC 110=∠，则AON ∠的度数为___度.8.如图所示，o ACB 90=∠，AB CD ⊥，BC DE ⊥，①钝角与锐角互补； ②α∠的余角是α∠-090； ③β∠的补角是β∠-o 180；④若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1、∠2、∠3互余.10.已知：如图,三条直线AB ,CD EF 相交于O ,且EF CD ⊥,11.已知，所示，o ACB 90=∠，cm BC 5=，cm AC 12=，12.通过画图，寻找对顶角和邻补角(不含平角)：(1)若2条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角. (2)若3条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角. (3)若4条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角.(4)通过(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n 条直线相交于同一点，则可形成 对对顶角， 对邻补角.13.如图，AB ,CD ,EF 相交于点O ，如果o AOC 65=∠，o DOF 50=∠.（1）求BOE ∠的度数；（2）计算AOF ∠的度数，发现射线OA 有什么特殊性吗？14.如图，AOB 是一条直线，o EOC BOD AOD 90=∠==∠.1:3:=∠∠AOE BOD , (1)求COD ∠的度数. (2)图中有哪几对角互为余角? (3)图中有哪几对角互为补角?15.将一张长方形纸片按图中的方式折叠,BC ,BD 为折痕,求CBD ∠的大小.16.已知:如图,直线AB ,CD 相交于点O ,OE 平分BOD ∠,OF 平分COB ∠,1:4:=∠∠DOE AOD .求AOF ∠的度数.17.如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.18.如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ．CDBAEO19.已知：直线AB 与直线CD 相交于点O ,o BOD 45=∠.(1)如图1，若AB EO ⊥，求DOE ∠的度数； (2)如图2，若FO 平分AOC ∠，求DOF ∠的度数.20.如图所示，已知直线AB 、CD 交于点0，x ＝1，1-=y 是方程34-=+y ax 的解，也是方程a ay bx 21+=-的解，且a b AOD AOC ::=∠∠，AB EO ⊥. (1)求EOC ∠的度数.(2)若射线OM 从OC 出发，绕点O 以s o /1的速度顺时针转动，射线ON 从OD 出发，绕点O 以s o /2的速度逆时针第一次转动到射线OE 停止，当ON 停止时，OM 也随之停止.在转动过程中，设运动时间为t ，当t 为何值时，ON OM ⊥. (3)在(2)的条件下，当ON 运动到EOC ∠内部时，下列结论：①BON EOM ∠-∠2不变；②BON EOM ∠+∠2不变，其中只有一个是正确的，请选择并证明.第2节 探索直线平行的条件∙知识点聚焦1.同位角具有1∠和5∠这样位置关系的角称为同位角， 图中的同位角还有2∠和6∠，3∠和7∠，4∠和8∠ 2.内错角具有3∠和5∠这样位置关系的角称为内错角， 图中的内错角还有4∠和6∠ 3.同旁内角具有4∠和5∠这样位置关系的角称为同旁内角，图中的同旁内角还有3∠和6∠ 注：（1）同位角、内错角、同旁内角是成对出现的，两直线被第三条直线所截形成的8个角中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.（2）同位角、内错角、同旁内角各自的位置关系：同位角是“同旁同侧”，内错角是“内部异侧”，同旁内角“内部同侧” 4.两条直线平行条件（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等.两直线平行.（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简称：内错角相等.两直线平行.（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简称：同旁内角互补.两直线平行. （4）平行于同一条直线的两条直线平行.（5）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 5.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行41 2 3 5 876ＤＣＢEＡF例1:如图所示：⑴图中∠1与∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？⑵图中∠1与哪个角是同位角？它们是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ ⑶∠3与∠C 是什么位置关系的角？它们是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？分析：⑴∠1与∠2是直线AB 、DE 被直线EF 所截形成的；⑵∠1与∠B 是同位角，它们是直线EF 、BC 被直线AB 所截形成的； ⑶∠3与∠C 是同旁内角，它们是直线AC 、DE 被直线BC 所截形成的.例2: 如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：分析：（1）∠1和∠2：是AB 、EF 被直线CD 所截而得到的，一组同位角（2）∠1和∠3：是AB 、CD 被直线CD 所截而得到的，一对内错角（3）∠1和∠6：是AB 、CD 被直线CD 所截而得到的，一对同旁内角（4）∠2和∠6：是EF 、CD 被直线AB 所截而得到的，一对同位角 （5）∠2和∠4：是EF 、AB 被直线CD 所截而得到的，一对同旁内角 （6）∠3和∠5：是EF 、CD 被直线AB 所截而得到的，一对内错角 （7）∠3和∠4：是AB 、CD 被直线EF 所截而得到的，一对同旁内角 例3:如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由. ⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°； ⑶∠ACD ＝∠BAC ；3CFEBAD1 423 65ABCDO分析： ⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.例4: 如图，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.分析：如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31° 则12×31°＝372°＞360° 这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°课堂练习01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（ ） A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DAC C ．∠ACF 是α的余角 D ．α与∠ACF 互补02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为（ ） A ．∠AMF B ．∠BMF C ．∠ENC D ．∠ENDl 1l 2l 3 l 4l 5l 6图⑴l 1l 2 l 3l 4l 5l 6图⑵A E BCF DABC D FEMNα第1题图 第2题图ABDC第4题图03．下列语句中正确的是（ ）A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B ．过直线上一点的直线只有一条C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D ．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ） ①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BD A ．0 B ． 2 C ．4 D ．605．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．小于4cmD ．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ .07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ . 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12.如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ， ∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？ABCDOABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图1 2 3 4 5 6 7 81A C D EB A BC DEF 1 213．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ）⑵∵∠2＝ （已知）∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．14．如图，请你填上一个适当的条件 .使AD ∥BC ．15.在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点.1 23 AB C DE F第13题图 AB C D E F第14题图GFEDCB A第3节 平行线的性质∙知识点聚焦1. 平行线的性质（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简称为：两直线平行，同位角相等.（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称为：两直线平行，内错角相等.（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简称为：两直线平行，同旁内角互补.2.平行线的判定与性质的区别与联系 （1）直线平行的条件同位角相等；内错角相等；同旁内角互补；两直线平行； （2）平行线的性质两直线平行；同位角相等；内错角相等；同旁内角互补；例1 如图，平行线CD AB ,被直线AE 所截.(1) 从︒=∠1101可以知道2∠是多少度吗？为什么？ (2) 从︒=∠1101可以知道3∠是多少度吗？为什么？ (3) 从︒=∠1101可以知道4∠是多少度吗？为什么？ 分析：（1）︒=∠1102( 两直线平行，内错角相等.)(2)︒=∠1103 ( 两直线平行，同位角相等.) (4)︒=∠704 (两直线平行，同旁内角互补.)例2 如图，已知C A CF AE CD AB ∠︒=∠,39,//,//是多少度？为什么？ 分析：因为CF AE //，所以FGB A ∠=∠因为CD AB //,所以C FGB ∠=∠ 所以︒=∠39C例3 如图，AB ∥CD ，AE 、DF 分别是∠BAD 、∠CDA 的角平分线，AE 与DF 平行吗？•为什么？分析：平行． ∵AB ∥CD ，∴∠BAD=∠CDA （两直线平行，内错角相等）． ∵AE 、DF 分别是∠BAD 、∠CDA 的平分线，∴∠EAD=12∠BAD ，∠FDA=12∠CDA ．∴∠EAD=∠FDA ．∴AE ∥DF （内错角相等，两直线平行）．例4 如图，已知∠AMB=∠EBF ，∠BCN=∠BDE ，求证：∠CAF=∠AFD ．分析：∵∠AMB=∠DMN ，又∠ENF=∠AMB ，∴∠DMN=∠ENF ， ∴BD ∥CE ．∴∠BDE+∠DEC=180°．又∠BDE=∠BCN ，∴∠BCN+∠CED=180°， ∴BC ∥DE ，∴∠CAF=∠AFD ．例5 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A 是120°，第二次拐的角B 是150°，第三次拐的角是∠C ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，问∠C 是多少度？说明你的理由.分析：∠C=150°．理由：如答图，过点B 作BE ∥AD ，则∠ABE=∠A=120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=150°-120°=30°． ∵BE ∥AD ，CF ∥AD ，∴BE ∥CF （平行于同一条直线的两直线平行）． ∴∠C+∠CBE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠C=180°-∠CBE=180°-30°=150°．西B 30°A北东南例6 （1）如图，若AB ∥DE ，∠B=135°，∠D=145°，你能求出∠C 的度数吗？（2）在AB ∥DE 的条件下，你能得出∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系吗？并说明理由．分析：（1）如答图5-3-2，过点C 作CF ∥AB ，则∠1=180°-∠B=180°-135°=45°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CF ∥AB ，DE ∥AB ，∴CF ∥DE （平行于同一条直线的两直线平行）．∴∠2=∠180°-∠D=180°-145°=35°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠BCD=∠1+∠2=45°+35°=80°． （2）∠B+∠C+∠D=360°．理由：如答图5-3-2过点C 作CF ∥AB ，得∠B+∠1=180°（两直线平行，•同旁内角互补）．∵CF ∥AB ，DE ∥AB ，∴CF ∥DE （平行于同一条直线的两直线平行）． ∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠B+∠1+∠2+∠D=360°． 即∠B+∠BCD+∠D=360°．点拨：辅助线CF 是联系AB 与DE 的纽带．课堂练习01．如图，由A 测B 得方向是（ ） A ．南偏东30° B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A．对顶角相等 B.同位角相等 C．内错角相等D．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A．①② B．②③C．③④D．①④06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（）A．北偏东52° B．南偏东52° C．西偏北52°D．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种 B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD 的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.150°120°DBCE湖4321ABEFC D4P231A BEFC D12．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.13．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？14．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.第4节尺规作图知识点聚焦1.“尺规作图”的含义（1）在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．尺规作图在操作过程中不允许度量．（2）基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.2.熟练掌握尺规作图题的规范语言（1）用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .3.了解尺规作图题的一般步骤（1）已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；（2）求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；（3）作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.例1. 例2.例3. 典型例题如下图，已知线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于b a -2．解：（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上，顺次截取AB =BC =a ；（3）在线段CA 上截取CD =b ，则线段AD 就是所求作的线段．求作一个角等于已知角∠MON ．解：（1）作射线11M O ；（2）以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ； （3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ； （4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ； （5）过点D 作射线D O 1．则∠D CO 1就是所要求作的角．如下图，已知α∠及线段a ，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a ．分析 先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B =∠C =∠α，底边BC =a ，故可以先作∠B =∠α，或先作底边BC =a ．∙作法 如下图（1）∠MBN =∠α；（2）在射线BM 上截取BC =a ；（3）以C 为顶点作∠PCB =∠α，射线CP 交BN 于点A ．△ABC 就是所要求作的等腰三角形．说明 画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线OC ．解（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点；（2）分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧交于C 点；（3）作射线OC ，则OC 为∠AOB 的平分线．如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A 区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B 点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置．分析 依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A 区内两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距B 点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为3.5cm ，就可以确定出蓝方指挥部的位置．解 如下图，图中C 点就是蓝方指挥部的位置．例4. 例5.课堂练习1.如图，已知∠A 、∠B ，求作一个角，使它等于B A ∠-∠.2.如图作△ABC ，使得BC=a 、AC=b 、AB=c3.如图，画一个等腰△ABC ，使得底边BC=a ，它的高AD=h4.如图，已知∠AOB 及M 、N 两点，求作：点P ，使点P 到∠AOB 的两边距离相等，且到M 、N 的两点也距离相等。
利用同位角判定两条直线平行
1
2
3
4
1、具有对顶角关系的角：如∠1与 ∠2、 ∠3与 ∠42、具有补交关系的角：如∠1与 ∠4、∠1与 ∠3、 ∠2与 ∠4、 ∠2与 ∠3
F
探究∠1与∠2的位置关系：(同侧截线线AB、CD的同一侧（同上方）
应用格式：
∵∠1=∠2(已知)∴l1∥l2
（同位角相等，两直线平行）
三 、总结归纳，得出结论
（1）放
（2）靠
（3）移
（4）画
回顾用三角尺和直尺画平行线：
四、 知识链接，步步提升
思考1:你能用今天的知识解释AB∥CD吗？
四、 知识链接，步步提升
同位角相等，两直线平行
思考2：如图，装修工人正在向墙上钉木条.如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？
(4)过点D画一条直线与直线AB平行，与(3)中所画的 直线平行吗？
·
·
C
D
(1)经过点C能画出几条直线？
无数条
1条
a
b
(2)与直线AB平行的直线有几条？
无数条
结论：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
平行
探究二：平行公理及推论
已知直线 AB 及直线外点C、点D，请思考以下各题.
结论：平行于同一条直线的两条直线平行.
答: 木条a与墙壁的边缘也垂直时才能使木条a与木条b平行.理由：同位角相等，两直线平行.
四、 知识链接，步步提升
思考3：现在拿出一纸，你能折出两条平行的直线吗？
理由：因为∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行，所以a∥b．
四、 知识链接，步步提升
人教版七年级数学下册相交线与平行线《平行线的性质(第1课时)》示范教学设计
平行线的性质（第1课时）教学目标1．理解平行线的性质．2．经历平行线性质的探究过程，从中体会研究几何图形的一般方法．教学重点掌握平行线的性质．教学难点平行线的性质的探究过程．教学过程新课导入利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？这就是我们要学习的平行线的性质．类似于研究平行线的判定，我们先来研究两条直线平行时，它们被第三条直线截得的同位角的关系．【设计意图】复习上节课所学的平行线的三种判定方法，引入探究课题，有意识地让学生回顾上节课内容，为后面类比研究平行线判定的过程来构建平行线性质的研究过程作好铺垫．新知探究一、探究学习【问题】画两条平行线a∥b，然后，画一条截线c与这两条平行线相交，度量所形成的八个角的度数，把结果填入下表：【师生活动】学生独立画出图形，并对角度进行度量，完成表格．【答案】画出图形如下：完成表格：【问题】∠1，∠2，…，∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系．【师生活动】在学生探究过程中，教师关注学生对同位角的标记是否准确，能否正确对角度进行度量，并鼓励学生独立完成猜想．【答案】同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠4和∠8，∠3和∠7．每对同位角的度数都相等．猜想：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．【追问】再任意画一条截线d，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？【师生活动】教师引导学生随意画出另一条截线，对前面的猜想进行验证．【答案】画出图形，并标记出各角：任意画一条截线d，得到各对同位角为：∠1′和∠5′，∠2′和∠6′，∠3′和∠7′，∠4′和∠8′．经度量，∠1′＝∠5′＝∠3′＝∠7′＝70°，∠2′＝∠6′＝∠4′＝∠8′＝110°．所以猜想成立．【新知】用文字语言和符号语言分别概括发现的结论：一般地，平行线具有如下性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．符号语言：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2．【动图】仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质1的掌握．【设计意图】让学生充分经历动手操作，独立思考，合作交流，验证猜想的探究过程，并且在这一过程中，锻炼学生由图形语言转化为文字语言、文字语言转化为符号语言的归纳能力和表达能力，为后面学习平行线的其他性质打下基础．【问题】上一节，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”．类似地，你能由性质1，根据下图，推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？【师生活动】教师引导学生结合平行线的判定，作出猜想：∠1＝∠2．【追问】怎样验证猜想？【师生活动】教师给出要验证的问题：已知直线a∥b，c是截线．试说明∠1＝∠2．引导学生写出推理过程，并分析是否正确．【答案】解：∵a∥b，∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．又∵∠1＝∠3(对顶角相等)，∴∠1＝∠2．【追问】类比性质1，能用文字语言和符号语言分别对得出的结论进行表述吗？【答案】性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．符号语言：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2．【动图】仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质2的掌握．【设计意图】在教师的引导下逐步构建研究思路，循序渐进地引导学生思考，从“说理”向“简单推理”过渡．【问题】由“两直线平行，同位角相等”，我们可以推出平行线关于同旁内角的什么性质？【师生活动】教师引导学生结合图形及前面学习的性质1进行探究，并鼓励学生独立得到猜想：∠2＋∠4＝180°，并让学生把要说明的问题转化为数学语言：如图，已知直线a ∥b，c是截线．试说明∠4＋∠2＝180°，然后完成解答．【答案】解：∵a∥b，∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∵∠3＋∠4＝180°，∴∠4＋∠2＝180°．【追问】类比性质1，2，能用文字语言和符号语言分别对得出的结论进行表述吗？【答案】性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．符号语言：∵AB∥CD，∴∠1＋∠2＝180°．【动图】仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质3的掌握．【总结】同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都是平行线特有的性质，切不可忽略“两直线平行”这一前提条件．当两条直线不平行时，同位角、内错角就不相等，同旁内角也不互补．【设计意图】逐步培养学生的推理能力，使学生初步养成言之有据的习惯，从而能进行简单的推理．二、典例精讲【例1】如图，直线l与直线a，b相交，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是多少？【师生活动】教师引导学生用前面学过的平行线的三个性质解答本题．【答案】解法一：∵∠1与∠3互为邻补角，∴∠3＝180°－∠1＝110°．又∵a∥b，∴∠2＝∠3＝110°(两直线平行，内错角相等)．解法二：∵∠1与∠4互为邻补角，∴∠4＝180°－∠1＝110°．又∵a∥b，∴∠2＝∠4＝110°(两直线平行，同位角相等)．解法三：∵∠1与∠5互为对顶角，∴∠5＝∠1＝70°．又∵a∥b，∴∠2＝180°－∠5＝110°(两直线平行，同旁内角互补)．【归纳】当题目的已知条件中出现两直线平行时，要考虑到平行线的性质，从而将直线的位置关系转化为角的数量关系．应用平行线的性质解题时要辨析清楚“三线八角”，并将它们的关系记准确．【设计意图】帮助学生巩固平行线的性质、及文字语言、符号语言、图形语言之间的相互转化，为今后进一步学习推理打下基础．【例2】如图，已知∠1＝108°，∠2＝72°，∠3＝60°，试求∠4的度数．【师生活动】学生独立解决，教师巡视纠错．【答案】解：∵∠1＋∠2＝108°＋72°＝180°，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠4＝∠3＝60°(两直线平行，同位角相等)．【归纳】几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某些“数量关系”有着内在联系．由角的相等或互补关系，得到两条直线平行的结论是判定方法；而由两条直线平行，得到角相等或互补关系的结论是平行线性质的应用．【设计意图】考查学生是否掌握平行线的判定与性质之间的区别和联系，知道在涉及到相关角度或平行时如何入手解决．课堂小结板书设计一、平行线的性质1二、平行线的性质2三、平行线的性质3课后任务完成教材第20页练习第1题．。
七年级下册数学相交线与平行线知识点
七年级下册数学相交线与平行线知识点七年级下册数学相交线与平行线知识点文字像精灵，只要你用好它，它就会产生让你意想不到的效果。
所以无论我们说话还是作文，都要运用好文字。
只要你能准确灵活的用好它，它就会让你的语言焕发出活力和光彩。
下面，店铺为大家分享七年级下册数学相交线与平行线知识点，希望对大家有所帮助！七年级下册数学相交线与平行线知识点篇11.平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________2.两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
P3例；P82题；P97题；P352(2)；P353题3.两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
4.垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足5.做直角三角形的高：两条直角边即是钝角三角形的高，只要做出斜边上的高即可。
6.做钝角三角形的高：最长的边上的高只要向最长边引垂线即可，另外两条边上的高过边所对的顶点向该边的延长线做垂线。
7.垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
8.垂线段最短；9.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
10.两条直线被第三条直线所截：同位角F(在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧),内错角Z(在两条直线内部，位于第三条直线两侧)，同旁内角U(在两条直线内部，位于第三条直线同侧)。
P7例、练习111.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
12.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//cP174题13.平行线的判定。
P15例结论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
P15练习；P177题；P368题。
2019春北师大版数学七年级下册图片版习题课件：第二章 2.2 第1课时 同位角相等,两直线平行
◎基础训练 1. 下列说法中正确的是( C ) A．在同一平面内，不相交的两条射线是平行线 B．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 C． 在同一平面内， 两条不同直线的位置关系不相交 就平行 D．不相交的两条直线是平行线
平行
．
直线与这条直线平
．
◎自主检测 知识点 ：平行线的表示与同位角识别
D
1. (2018· 金华)如图，∠B 的同位角可以是(
)
A．∠1 C．∠3
B．∠2 D．∠4
2. 如 图 ， 两 条 直 线写字母表示为 l∥m
.
知识点
理由是：因为 DE⊥CF， 所以∠FED ＝ (垂直的定义)， 即∠FEB＋ ∠BED ＝90° . 又因为∠ECD＋∠BED＝90° ， 所以∠ECD＝ ∠FEB (同角的余角相等)， 所以 AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
90
°
探究
：如图，若∠1＝∠4，∠1＋∠2＝180° ，判
断 AB，CD，EF 的位置关系，试说明理由．
所以∠3＝180° －∠2＝ 130° . 又因为∠1＝130° ，(已知) 所以∠1＝ ∠3 ．(等量代换) 所以 AB∥CD．(
同位角相等，两直线平行
)
探究
： 如 图 ， 已 知 ∠ECD ＋ ∠BED ＝ 90° ，
DE⊥CF，垂足为 E，请将下面说明 AB∥CD 的说理过程 补充完整(在横线上填写结论，在括号内填写使结论成立 的理由)：
：平行线的判定
平行于同
第二章 相交线与平行线
第二章相交线与平行线2.1两条直线的位置关系第1课时对顶角、余角和补角基础题知识点1相交线与平行线1.在同一平面内两条直线的位置关系可能是( )A.相交B.平行C.平行或相交D.平行且相交2.如果点P在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，且直线a，b，c两两相交，那么符合以上条件的图形是( )A B C D知识点2对顶角3.(2017·西安期中)如图所示，∠1和∠2是对顶角的是( )A B C D4.如图，三条直线相交于点O，已知∠AOE＝40°，∠DOE＝100°，则∠COB＝( )A.140°B.100°C.60°D.40°5.如图是一把剪刀，其中∠1＝40°，则∠2＝40°，其理由是 .6.如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC＝40°，则∠DOE＝ .7.直线AB，CD相交于点O，∠1＝35°，∠2＝75°，求∠EOB的度数.知识点3余角和补角8.如果α与β互为余角，那么( )A.α＋β＝180°B.α－β＝180°C.α－β＝90°D.α＋β＝90°9.如图，∠1＋∠2＝( )A.60°B.90°C.110°D.180°10.下面角的图示中，可能与34°互补的是( )11.(2016·茂名)已知∠A＝100°，那么∠A的补角为 .12.若∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，则∠A＝∠C， _____________13.(2017·西安期中)若一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角为多少度？中档题14.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于( )A.90°B.150°C.180°D.210°15.(2016·成都校级期中)∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，若∠3＝125°，则∠2＝( )A.35°B.45°C.55°D.65°16.平面内有两两相交的三条直线，若三条直线最多有m个交点，最少有n个交点，则m＋n等于( )A.1B.2C.3D.417.如图所示，直线a，b，c两两相交，∠1＝3∠3，∠2＝75°，则∠4＝ .18.如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是19.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙内，如何测量？20.如图所示，l1，l2，l3相交于点O，∠1＝∠2，∠3∶∠1＝8∶1，求∠4的度数.21.如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，已知∠EOF＝90°，∠AOD＝70°.(1)求∠BOE的度数；(2)OF平分∠AOC吗？为什么？综合题22.观察如图所示的各角，寻找对顶角(不含平角).(1)图1中有2对对顶角，图6对对顶角，图3中有对对顶角；(2)若有n对对顶角(用含n的式子表示)；(3)若有2 018条直线相交于一点，共有对对顶角.第2课时垂直基础题知识点1垂直的定义1.如图，OA⊥OB，若∠1＝35°，则∠2的度数是( )A.35°B.45°C.55°D.70°2.如图，平面内三条直线相交于点O，∠1＝30°，∠2＝60°，直线AB与直线CD的关系是( )A.平行B.垂直C.重合D.以上均有可能3.如图，一棵小树生长时与地面所成的角∠1＝80°，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么∠2等于 .4.(2016·太原期中)如图，已知OA⊥OB，∠1与∠2互补，试说明：OC⊥OD.知识点2画垂线5.如图，点P是∠AOB的边OB上的一点.(1)过点P画OA的垂线，垂足为H；(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C.解：如图所示.知识点3垂线的性质6.如图，在线段PA，PB，PC，PD中，最短的是( )A.PAB.PBC.PCD.PD7.下列说法正确的有( )①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个8.(2016·太原期中)如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是知识点4点到直线的距离9.(2016·成都期中)点到直线的距离是( )A.点到直线的垂线段的长度B.点到直线的垂线段C.点到直线的垂线D.点到直线上一点的连线10.下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是( )11.如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AC＝3，BC＝4，则点B到直线AC的距离等于4，点C到直线AB的垂线段是线段中档题12.已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是( )A B C D13.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是( )A.2.5B.3C.4D.514.如图，田径运动会上，七年级二班的小亮同学从C点起跳，假若落地点是D，当AB与CD垂直时，他跳得最远.15.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为 .16.如图所示，O 是直线AB 上一点，∠AOC ＝13∠BOC，OC 是∠AOD 的平分线.(1)求∠COD 的度数；(2)判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由..17.如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OF ⊥CD.(1)图中∠AOF 的余角是 把符合条件的角都填出来)； (2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：(3)①如果∠AOD＝160°.那么根据对顶角相等可得∠BOC＝ ； ②如果∠AOD＝4∠EOF，求∠EOF 的度数.综合题18.在直线AB 上任取一点O ，过点O 作射线OC ，OD ，使OC⊥OD.当∠AOC＝30°时，试求∠BOD 的度数. 解：①当OC ，OD 在直线AB 同侧时，如图1，∠BOD ＝90°－30°＝60°；图1 图2②当OC ，OD 在直线AB 异侧时，如图2，∠AOD ＝90°－30°＝60°，∠BOD ＝180°－∠AOD＝120°. 所以∠BOD 的度数是60°或120°.2.2 探索直线平行的条件第1课时利用同位角判定两直线平行及平行公理基础题知识点1认识同位角1.下列图中，∠1与∠2是同位角的是( )A B C D2.如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，其中，∠AEF的对顶角是∠BEM，∠BEF的同位角是____.知识点2同位角相等，两直线平行3.(2017·绥化)如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝55°，下列条件中能判定AB∥CD的是( )A.∠2＝35°B.∠2＝45°C.∠2＝55°D.∠2＝125°4.如图，能够判断直线AB∥CD的条件可以是( )A.∠1＝∠4B.∠3＝∠2C.∠1＝∠3D.∠4＝∠25.如图所示，用相同直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为 .6.如图所示，请你添加一个条件，使得AD∥BC，你添加的条件为7.补全下列推理过程：如图，已知BD平分∠ABC，∠1＝25°，∠2＝50°.试说明：ED∥BC.知识点3平行公理8.过直线l外一点A作l的平行线，可以作( )A.1条B.2条C.3条D.4条9.如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是( )A.等量代换B.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行C.平行线的定义D.平行于同一直线的两直线平行10.如图，PC∥AB，QC∥AB，则点P，C，Q在一条直线上.理由是11.如图，P，Q分别是直线EF外两点.(1)过点P画直线AB∥EF，过点Q画直线CD∥EF；(2)AB与CD有怎样的位置关系？为什么？中档题12.已知在同一平面内的直线l1，l2，l3，如果l1⊥l2，l2⊥l3，那么l1与l3的位置关系是( )A.平行B.相交C.垂直D.以上全不对13.如图，直线a，b与直线c分别交于点M，N，∠1＝120°，∠2＝30°.若使直线a平行于直线b，可将直线a绕点M逆时针旋转( )A.120°B.60°C.30°D.无法确定14.下列说法中正确的个数是( )①过一点一定有一条直线与已知直线平行；②一条直线的平行线有无数条；③两条不相交的直线叫做平行线；④与一条直线平行的直线只有一条.A.0B.1C.2D.315.如图，∠1＝∠2，∠2＝∠C，则图中互相平行的直线有16.如图，直线AB，CD被直线GH所截，且∠AEG＝∠CFG，EM，FN分别平分∠AEG和∠CFG.试说明：EM∥FN.17.一辆货车在仓库装满货物准备运往超市，驶出仓库门口后开始向东行驶，途中向右拐了50°角，接着向前行驶，走了一段路程后，又向左拐了50°角，如图所示.(1)此时汽车和原来的行驶方向相同吗？你的根据是什么？(2)如果汽车第二次向右拐的角度是40°或70°，此时汽车和原来的行驶方向相同吗？你的根据是什么？综合题18.(1)若直线a1⊥a2(2)若直线a1⊥a2)(3)现在有2 018a1与a2 018的位置关系.第2课时利用内错角或同旁内角判定两直线平行基础题知识点1认识内错角、同旁内角1.(2017·玉林)如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2是( )A.同位角B.内错角C.同旁内角D.邻补角2.下列图形中，∠1与∠2是同旁内角的是( )3.是直线，被直线知识点24.A.∠C C.∠C＝∠ABC5.AB∥CD，需要添加一个条件，这个条件可以是6.如图，＝∠3.试说明：AB∥CD.知识点3同旁内角互补，两直线平行7.(2016·赤峰)如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，则( C )A.AB∥BCB.BC∥CDC.AB∥CDD.AB与CD相交8.如图，已知∠1＝120°，要使直线a∥b，则需要具备另一个条件( )A.∠2＝60°B.∠2＝110°C.∠2＝100°D.∠3＝100°9.如图，下列说法中，正确的是( )A.∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BCB.∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CDC.∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CDD.∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD10.如图，装修工人向墙上钉木条.若∠2＝100°，要使木条b与a平行，则∠1的度数等于 .11.如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°.试说明：AB∥CD.中档题12.如图所示，l是l1与l2的截线，找出∠1的同位角，标上∠2，找出∠1的同旁内角，标上∠3，则∠1，∠2，∠3正确的位置图为( )13.(2017·深圳)下列选项中，哪个不可以得到l1∥l2( )(15)A.∠1＝∠2B.∠2＝∠3C.∠3＝∠5D.∠3＋∠4＝180°14.若∠1与∠2是两直线被第三条直线所截形成的内错角，则∠1与∠2关系是( )A.∠1＝∠2B.∠1＞∠2C.∠1＜∠2D.以上都有可能15.如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB，AC，AE，ED，EC，DB中，相互平行的线段有( )16.如图，给出下列四个条件：①AC＝BD；②∠DAC＝∠BCA；③∠ABD＝∠CDB；④∠ADB＝∠CBD，其中能使AD∥BC 成立的条件是( )A.①②B.③④C.②④D.①③④17.(2016·淄博)如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由.18.如图所示，光线从空气射入水中，再射出空气中，如果∠1＝∠2，∠3＝∠4，请你用所学的知识判断光线a，b 是否平行，并说明理由.综合题19.如图所示，已知∠BED＝∠B＋∠D，试说明AB与CD的位置关系.周周练(2.1～2.2)一、选择题(每小题3分，共24分)1.下面四个图中，∠1＝∠2一定成立的是( )A BC D2.如图，已知点O是直线AB上一点，∠1＝65°，则∠2的度数是( )A.25°B.65°C.105°D.115°3.如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD.若∠COA＝36°，则∠DOB大小为( )A.36°B.54°C.64°D.72°4.如图，下列各语句中，错误的语句是( )A.∠ADE与∠B是同位角B.∠BDE与∠C是同旁内角C.∠BDE与∠AED是内错角D.∠BDE与∠DEC是同旁内角5.(2016·成都期中)下列说法正确的是( )A.a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥cB.a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥cC.a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥cD.a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c6.体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( )A.平行线间的距离相等B.两点之间，线段最短C.垂线段最短D.两点确定一条直线7.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下面的结论中，不正确的是( )A.点B到AC的垂线段是线段CAB.CD和AB互相垂直C.AC与BC互相垂直D.线段AC的长度是点A到BC的距离8.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( )A.∠1＝∠2B.∠2＝∠4C.∠3＝∠4D.∠1＋∠4＝180°二、填空题(每小题4分，共24分)9.已知∠α＝35°40′，则∠α的余角为，补角为 .10.如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则点B到AC的距离为 .11.如图，已知∠1＋∠2＝100°，则∠3＝ .12.如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOC＝27°，则∠BOD的度数是 .13.如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由 _____________________14.已知长方形ABCD中，∠ADB＝20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，则当折痕AF与AB的夹角∠BAF为时，AB′∥BD.三、解答题(共52分)15.(8分)一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数.16.(12分)如图，完成下列推理过程.(1)已知∠1＝108°，∠2＝72°，由∠1＋∠2＝108°＋72°＝180°，可得AB∥CD，根据是同旁内角互补，两直线平行；(2)已知∠1＝108°，∠3＝108°，由∠1＝108°＝∠3，可得AB∥CD，根据是同位角相等，两直线平行；17.(10分)(2016·江西)如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，将直角三角形ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE，试说明：DE∥BC.18.(10分)如图，已知∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，问直线l1∥l2吗？为什么？19.(12分)如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC.(1)若∠EOC＝72°，求∠BOD的度数；(2)若∠DOE＝2∠AOC，判断射线OE，OD的位置关系并说明理由.2.3平行线的性质第1课时平行线的性质基础题知识点1两直线平行，同位角相等1.(2017·海南)如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠1的度数为( )A.45°B.60°C.90°D.120°2.(2017·沈阳)如图，AB∥CD，∠1＝50°，∠2的度数是( )A.50°B.100°C.130°D.140°3.(2016·济宁)如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝50°，那么∠2的度数是( )A.20°B.30°C.40°D.50°4.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放.若∠EMB＝75°，则∠PNM＝ .知识点2两直线平行，内错角相等5.(2016·桂林)如图，直线a∥b，c是截线，∠1的度数是( )A.55°B.75°C.110°D.125°6.如图，AB∥CD，∠CDE＝140°，则∠A的度数为( )A.140°B.60°C.50°D.40°7.(2017·通辽)如图，CD平分∠ECB，且CD∥AB.若∠A＝36°，则∠B＝°.8.(2016·郑州期末)如图所示，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则∠ABC等于 .知识点3两直线平行，同旁内角互补9.如图，∠1＝65°，CD∥EB，则∠B的度数为( )A.65°B.105°C.110°D.115°10.(2016·成都期中)如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝( )A.180°B.270°C.360°D.540°11.如图，直线AB∥CD，∠1＝95°，∠4＝70°，则∠3＝85°，∠2＝ .中档题12.如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC＝120°，则∠CDF＝( )A.60°B.120°C.150°D.180°13.(2017·枣庄)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是( ) A.15° B.22.5° C.30° D.45°14.如图，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC，∠ABD的平分线，那么∠BAO与∠ABO之间的大小关系一定为( )A.互余B.相等C.互补D.不等15.如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA为α度，则∠GFB为度.(用关于α的代数式表示)16.(2016·绥化)如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝30°，∠AFC＝15°，则∠C＝ .17.(2017·重庆)如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数.18.如图，在三角形ABC中，DE∥AC，DF∥AB.试问：∠A＋∠B＋∠C＝180°这个结论成立吗？若成立，试写出推理综合题19.如图1，2，3图1中，∠B图2中，∠B图3中，∠B°.通过以上练习和你的发现，依次类推，若AB∥CD，则∠B＋∠E1＋…＋∠E n＋∠D＝第2课时平行线性质与判定的综合基础题知识点1综合运用平行线的性质与判定进行计算或说理1.如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点.若∠1＝50°，则∠2等于( )A.60°B.50°C.40°D.30°2.(2017·宿迁)如图，直线a，b被直线c，d所截.若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，则∠4度数是( )A.80°B.85°C.95°D.100°3.(2017·恩施)如图，若∠A＋∠ABC＝180°，则下列结论正确的是( )A.∠1＝∠2B.∠2＝∠3C.∠1＝∠3D.∠2＝∠44.如图，∠1＝∠2，∠A＝60°，则∠ADC＝5.如图，BC∥DE，∠E＋∠B＝180°，则AB和EF的位置关系为 .6.(2016·成都期中)已知：如图所示，AB∥DC，∠ABC＝∠ADC，BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC.试说明：ED∥BF.7.如图，已知∠B＋∠BCD＝180°，∠B＝∠D.请你观察图形，写出∠E和∠DFE满足什么数量关系？并说明理由.知识点2利用平行线的性质与判定解决实际问题8.(2017·邵阳)如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为( )A.120°B.100°C.80°D.60°9.如图，在A，B两地挖一条笔直的水渠，从A地测得水渠的走向是北偏西42°，A，B两地同时开工，B地所挖水渠走向应为南偏东 .10.一条建设中的高速公路要穿过一山体开挖一条隧道，甲、乙两工程队分别从山体两侧的A，B两点同时开工，现甲队从A点测得道路的走向是北偏东55°，为了不浪费人力、物力，问乙队在B点处应该按∠β等于多少度开挖，才能够保证隧道准确接通？中档题11.如图所示，下列条件不能判定直线a∥b的是( )A.∠1＝∠2B.∠3＝∠4C.∠1＝∠4D.∠4＋∠5＝180°12.已知∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＋∠4＝180°，如图所示，则在结论：①a∥b；②a∥c；③b∥c；④∠3＝∠2中，正确的个数是( )A.1B.2C.3D.413.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C等于( )A.120°B.130°C.140°D.150°14.如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，∠1＝∠2＝36°，则∠3＝ .15.如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则 .16.如图，按下面方法折纸，然后解答问题：若∠1＝40°，你能求出∠2的度数吗？试着做一做.17.如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子.已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？综合题18.如图所示，已知∠ABC＝80°，∠BCD＝40°，∠CDE＝140°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由.小专题(三) 利用平行线的性质求角度【教材母题】如图，AC∥ED，AB∥FD，∠A＝64°，求∠EDF的度数.【利用平行线的性质求角度时，先要找准待求角与已知角之间的位置关系，再利用平行线的性质、角之间的等量代换求出待求角的度数.1.如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝40°，∠2＝70°，求∠3的度数.2.如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°，求∠C的度数.3.如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F.已知∠2＝20°，求∠1的度数.4.如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝90°，试求∠3的度数.5.已知AB∥DE，∠B＝60°，且 CM平分∠DCB，CM⊥CN，垂足为C，求∠NCE的度数.6.如图，AB∥CD，∠B＝120°，EF是∠CEB的平分线，FG∥HD，求∠EDH的度数.7.如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数.8.如图，∠B，∠D的两边分别平行.(1)在图1中，∠B与∠D的数量关系是什么？为什么？(2)在图2中，∠B与∠D的数量关系是什么？为什么？(3)由(1)(2)可得结论：(4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数.图1 图22.4 用尺规作角基础题知识点1尺规作图的意义1.尺规作图是指( )A.用直尺规范作图B.用刻度尺和圆规作图C.用没有刻度的直尺和圆规作图D.直尺和圆规是作图工具2.下列关于尺规的功能说法不正确的是( )A.直尺的功能是：在两点间连接一条线段，将线段向两方向延长B.直尺的功能是：可作平角和直角C.圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一个圆D.圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一段弧3.A.B.C.D.在射线OP知识点24.A.B.C.以∠AOBD.5.(2017·随州)OA，OB于点E，FA.以点FB.以点FC.以点ED.以点E6.求作一个角等于已知角∠AOB，如图，根据图形，写出作法.作法：(1)作射线O′B′；(2)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；(3)以点O′为圆心，以OC的长(或OD的长)为半径画弧，交O′B′于点D′；(4)以点D′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点C′；(5)过点C′作射线O′A′.∠A′O′B′就是所求作的角.解：作出的∠β如图所示.8.如图，已知∠AOB，点P在OA上，请以P为顶点，PA为一边作∠APC＝∠O.(不写作法，但必须保留作图痕迹)解：如图.中档题9.如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是( )A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行C.同旁内角相等，两直线平行D.同旁内角互补，两直线平行10.已知∠1和∠2如图所示，用尺规作图画出∠AOB＝∠1＋∠2，保留作图痕迹.11.(2016·太原期中)如图，已知∠α和直角∠AOB，在∠AOB的内部以点O为顶点作∠β，使∠β＝90°－∠α.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)章末复习(二) 相交线与平行线基础题知识点1对顶角、余角、补角1.下列各图中，∠1与∠2互为补角的是( )A B C D2.如图，如果∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠1＝∠2，这是根据( )A.直角都相等B.C.D.3.如果∠A＝354.如图，直线a， .知识点25.(2016·淄博)，垂足分别为点A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A.2条条 D6.(2016·南通)，OE⊥AB，∠COE＝7.如图所示，想在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是，理由是知识点3平行公理8.如图，直线a∥c，∠1＝∠2，那么直线b，c的位置关系是 .知识点4平行线的性质与判定9.如图，∠1＝∠B，∠2＝25°，则∠D等于( )A.25°B.30°C.45°D.50°10.(2016·百色)如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是( )A.∠1＝∠6B.∠2＝∠6C.∠1＝∠3D.∠5＝∠711.如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线方法，其依据是( )A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行C.同旁内角互补，两直线平行D.两直线平行，同位角相等12.已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，试说明：∠A＝∠E.知识点5尺规作图13.如图，利用尺规，在三角形ABC的边AC上方作∠CAD＝∠ACB，并说明：AD∥CB.(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)解：如图所示.因为∠DAC＝∠ACB，所以AD∥CB.中档题14.(2017·安徽)直角三角板和直尺如图放置.若∠1＝20°，则∠2的度数为( )A.60°B.50°C.40°D.30°(15)15.如图，已知∠AEF＝∠EGH，AB∥CD，则下列判断中不正确的是( )A.∠AEF＝∠EFDB.AB∥GHC.∠BEF＝∠EGHD.GH∥CD16.(2017·锦州)一小区大门的栏杆如图所示，当栏杆抬起时，BA垂直于地面AE，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD 的度数为( )A.180°B.270°C.300°D.360°17.学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的(如图1～4)，从图中可知，小敏画平行线的依据有( )①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.图1 图2 图3 图4A.①②B.②③C.③④D.①④18. 如图所示，AD∥EF∥BC，AC∥EN，则图中与∠1相等的角有个.19.如图，在三角形ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为点F.(1)CD与EF平行吗？为什么？(2)如果∠1＝∠2，且∠3＝105°，求∠ACB的度数.综合题20.已知AB∥CD.(1)如图1，若∠ABE＝30°，∠BEC＝148°，求∠ECD的度数；(2)如图2，若CF∥EB，CF平分∠ECD，试探究∠ECD与∠ABE之间的数量关系，并说明.。
2.用“同位角、第三直线”判定平行线课件
总结
知4－讲
本题运用转化思想，把说明∠MPN＝180°转化 为说明点M，P，N在同一条直线上，进而把问题转 化为利用平行线的基本性质说明直线PM与直线PN 是同一条直线．
知4－练
• 1 下列说法正确的有( )
•①不相交的两条直线是平行线；
•②在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系
• 有两种；
•③若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD；
•C．重合
D．以上都有可能
知识点 4 平行线的传递性
知4－导
•做一做 •(2)在下图中，分别过点C，D画直线AB的 平行线EF ， • GH，那么EF与GH有怎样的位置关系？
归纳
平行于同一条直线的两条直线平行. 也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
知4－导
知4－讲
平行线的基本性质2：平行于同一条直线的两条直 线平行．
简称为：同位角相等，两直线平行.
知2－讲
•1.判定方法1： • 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那 • 么这两条直线平行． • 简称：同位角相等，两直线平行． • 表达方式：用“∥”表示平行 • 如图： • 因为∠1＝∠2(已知)， • 所以a∥b(同位角相等，两直线平行)．
•要点精析：
知2－练
1 如图，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可 知，直线AB与直线CD的位置关系为________，理 由是________________________．
• 2 如图，能判定EB∥AC的条件是( ) •A．∠C＝∠ABE •B．∠A＝∠EBD •C．∠C＝∠ABC •D．∠C＝∠EBD
知1－讲
•要点精析：(1)同位角是成对出现的，并且是由三条 • 直线组成的，一边共线，另两边不共线； •(2)同位角的顶点不是公共的； •(3)“同”表示“相同”，“位”表示“位置”；“ 同 • 位角”可理解为“相同位置的两个角”；即如果 • 一个角在左上角，那么另一个角也应在左上角； • 以此类推，两个同位角的位置关系具有“同上、 • 同左”“同上、同右”“同下、同左”“同下、
北师大版七年级下册数学《两条直线的位置关系》相交线与平行线研讨说课复习课件
对顶角相等
探究新知
素养考点 1利用对顶角的性质求角的度数
例 如图,直线a,b相交，∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4的度数.
解：由平角的定义可知， ∠2=180°-∠1
=180°-40°=140°；
b
1（ 2
a
4 ）3
由对顶角相等可得，
12 43
58 67
所以∠2的补角有∠1,∠3,∠6和∠8.
连接中考
1.（2020•金昌）若α＝70°，则α的补角的度数是（ B ） A．130° B．110° C．30° D．20° 2.（2020•陕西）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（ B ） A．57° B．67° C．77° D．157°
DO
C
12 34
AN B
图2
图3
探究新知
将图2简化为图3，ON 与 DC 相交所成的 ∠ DON和∠CON
都等于90° ，且∠1=∠2．在图 3 中： （1）有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？ 互补的角： ∠1与∠AOC， ∠1与∠BOD，
DO
C
12
34
∠互2余与的∠角B：OD∠，1与∠∠2与3，∠∠AO1C与，∠∠4，D∠ON2与与∠∠4N，O∠C.2与∠A3，N图3 B （2） ∠3与∠4有什么关系？为什么？
第一课时垂线的定义及性质 核心要点 1垂线的有关概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是 直角 ，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线 的 垂线 ，它们的交点叫做 垂足 。 2.垂线的性质： （1）平面内，过一点有且 只有一条 直线与已知直线垂直。 （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段 最短。 3.点到直线的距离：过点A作直线L的垂线，垂足为B，线段 AB 的长度叫做点A到直线L的距离。