高三数学,一轮复习人教A版, 第七章第5讲 , 直线、平面垂直的判定,与性质直击高考, 课件
高三数学一轮复习 第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理 新人教A版
(2)当直线与平面垂直和平行(或平直面线上在的平射面影内)时，规定直 线和平面所成的角分别为_________．
90°和0°
新课标 ·理科数学（广东专用）
1．一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，可以说这 条直线和这个平面垂直吗？
【提示】 不可以．如果这无数条直线是平行的，则这条 直线和这个平面的位置关系不确定．
新课标 ·理科数学（广东专用）
【解析】 A显然正确，根据面面垂直的判定，B正确． 对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不
在l上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m， 则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a ，且l β.故在α内存在直线 不垂直于平面β，即命题D错误． 【答案】 D
新课标 ·理科数学（广东专用）
4．(2012·浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面 ()
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
新课标 ·理科数学（广东专用）
【解析】 设α∩β＝a，若直线l∥a，且l α，l β，则 l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α， 故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β， 所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此 时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a， l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．
又 A′O＝CO＝ 22a， ∴A′C＝ a22＋a22＝a，即折叠后 AC 的长(A′C)为 a.
【答案】 D
新课标 ·理科数学（广东专用）
3．下列命题中错．误．的是( ) A．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线平 行于平面 β B．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不 存在直线垂直于平面 β C．如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面γ ，α ∩β ＝l， 那么 l⊥平面 γ D．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内所有直线都垂直 于平面 β
高三数学一轮总复习第七章立体几何7.5直线平面垂直的判定及其性质课件
1．已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则( ) A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直 解析：A中平面可与α平行或相交，不正确。 B中直线可与α垂直或斜交，不正确。 C中平面可与直线l平行或相交，不正确。 答案：D
34
(3)若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面 ABCD？并证明你的结论。
解析：(3)存在点N为SC的中点， 使得平面DMN⊥平面ABCD。 连接PC、DM交于点O，连接PM、SP、NM、ND、NO， 因为PD∥CM， 且PD＝CM， 所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO＝CO。 又因为N为SC的中点，所以NO∥SP。 易知SP⊥AD， 因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝ AD，且SP⊥AD， 所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD。 又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD。
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(2)若AB＝BC，求证：BD⊥面SAC。
证明： (2)方法一：若AB＝BC，则BD⊥AC， 由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD⊂面ABC， ∴SD⊥BD， ∵SD⊥BD，BD⊥AC，SD∩AC＝D， ∴BD⊥面SAC。 方法二：若AB＝BC，则BD⊥AC。由(1)知SD⊥平面ABC，又SD⊂平面SAC， ∴平面ABC⊥平面SAC， 又平面ABC∩平面SAC＝AC。 ∴BD⊥平面SAC。
条直线和这个平面所成的角。如图， □10 ____∠__P_A_O______就是斜线AP与平面α所成的
□ 角。 (2)线面角θ的范围：θ∈
11
___0_，__π2_ _____。
高考数学第一轮复习 第七篇 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质课件 理 新人教A版
技能与规律探究
知识梳理 辨析感悟
探究 一 直线与平面垂直的 判定和性质
探究二 平面与平面垂直的 判定与性质
探究三 平行、垂直关系的 综合问题
探究四 线面角、二面角 的求法
经典题目再现
第一页，共26页。
例1 训练1 例2 训练2 例3 训练3 例4 训练4
1．直线(zhíxiàn)与平面 垂直
需证线面垂直
而 BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面 BCC1B1， ∴AB⊥平面 BCC1B1，而 B1C⊂平面 BCC1B1，
需证线线垂直
∴AB⊥B1C，而 AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面 ABC1. 需证线面垂直
∴B1C⊥平面 ABC1，而 B1C⊂平面 B1CD，
∴平面 ABC1⊥平面 B1CD.
∴AE⊥平面 PCD. 而 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD∵. PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD＝A，∴AB⊥平面 PAD，
而 PD⊂平面 PAD，
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE.
第八页，共26页。
直线与平面垂直的判定和性质
考 点
证明线面垂直的方法：
又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD，
所以 CE∥平面 PAD.
第十四页，共26页。
平行、垂直关系(guān xì)的综 合问题
审题路线
证（2） 因为 E，F 分别为 PB, AB 的中点， (2)证明 AB⊥EF
所以 EF∥PA.又 AB⊥PA,且 EF,PA 共面，⇒证明 AB⊥FG
所以 AB⊥EF. 同理可证 AB⊥FG.
⇒证明 AB⊥平面 EFG
高考数学(人教A版)一轮复习课件：7-5直线、平面垂直的判定及其性质
【解题提示】借助正方体模型分析、论证.
【解析】对于①,AA′(mn), AD(n)∥平面A′B′C′D′(β), 显然平面ABCD(α )∥平面A′B′C′D′(β), 故①错误;
对于②,n∥α ,由线面平行的性质定理,可知n与α 内的一条直线l平行,因为m⊥α ,所以 m⊥l,所以m⊥n,故②正确; 对于③,设过m的平面γ 交β于直线l,因为α ∥β,m⊂α ,由面面平行的性质定理可知m∥l,由 线面平行的判定定理,可知m∥β,故③正确;
_______ a∩b=O _______ l⊥a _____ l⊥b _____
⇒l⊥α
文字语言 性
质
图形语言
符号语
a⊥α b⊥α
言
垂直于同一个平 面
平行
_____ _____
定
理
的两条直线_____
⇒a∥b
2.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的 _____叫做这条直线和这个平面所成的角,一条直线垂 直于平面,则它们所成的角是_____;一条直线和平面平 行或在平面内,则它们所成的角是________. 锐角 (2)范围: . 射影
A.m∥l
【解题提示】根据线、面垂直的定义判断. 【解析】选C.由题意知,α ∩β= l,所以l ⊂β,因为n⊥β, 所以n⊥ l.
4.(2017·石家庄模拟)已知如图,六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面 ABCDEF.则下列结论不正确的是 ( A.CD∥平面PAF C.CF∥平面PAB )
⇒α ⊥β
文字语言
两个平面垂直, 性 则 质 一个平面内垂直 定 于
交线
图形语言
符号语言 _______
高三数学一轮复习 第7章 第5课时 直线、平面垂直的判定与性质课件 文 新人教版
13
教材梳理 基础自测
二、平面与平面垂直
[自测 5] 设平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平面 α 内，直线 b
在平面 β 内，且 b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A
1
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教材梳理 基础自测
三、线面角、二面角
高三总复习.数学（文）
第七章 立体几何 第5课时 直线、平面垂直的判定与性质
考
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
点
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
考点三 空间垂直关系的探索
规范答题•系列
应考迷津•展示
1
1
考纲·展示
1.以命题形式，判定“直线、平面垂直的判定和性质”运用是否正确． 2.以常见的几何体为背景，进行线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化与 应用． 3.借助于线面垂直求线面角． 4.借助于面面垂直研究二面角．
与此平面垂直
符号语言
a，b⊂α
a∩b＝O l⊥a l⊥b
⇒l⊥α
1
4
教材梳理 基础自测
一、直线与平面垂直
①垂直于同一个 平面的两条直线 平行 性质 ②如果两个平面 定理 同垂直于一条直 线，那么这两个 平面平行
1
a⊥α b⊥α
⇒a∥b
ll⊥⊥βα⇒α∥β
5
教材梳理 基础自测
一、直线与平面垂直
A．a⊥b，且 a 与 b 相交
B．a⊥b，且 a 与 b 不相交
C．a⊥b
D．a 与 b 不一定垂直
C
1
7
教材梳理 基础自测
(智慧测评)高考数学大一轮总复习 第7篇 第5节 直线、平面垂直的判定与性质课件 理 新人教A版
解析：①中，由n∥β，α∥β得n∥α或n⊂α， 又m⊥α，∴m⊥n，故①正确； ②中，也可能n⊂β，故②错误； ③中，直线n也可能与平面 β斜交或平行，也可能在平
面β内，故③错；
④中，由m∥n，m⊥α，可得n⊥α，又α∥β可得n⊥β， 故④正确． 答案：①④
考 点 突 破
直线与平面垂直的判定与性质
第5节
直线、平面垂直的判定与性质
基 础 梳 理
1．直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的 说直线l与平面α互相垂直． 任意 一条直线都垂直，我们就
(2)直线与平面垂直的判定定理
文字语言 判 定 定 理 一条直线与一个 图形语言 符号语言 a⊂α b⊂α a∩b＝O l ⊥a l ⊥b ⇒l⊥α
答案：C
4 ． m 、 n 是空间中两条不同直线， α 、 β 是两个不同平 面，下面有四个命题： ① m⊥α ， n∥β ， α∥β⇒m⊥n ； ② m⊥n ， α∥β ， m⊥α⇒n∥β；
③ m⊥n ， α∥β ， m∥α⇒n⊥β ； ④ m⊥α ， m∥n ，
α∥β⇒n⊥β. 其中，所有真命题的编号是________．
3．在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于 底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成 角的大小是( A．30° ) B．45°
C．60°
D．90°
解析：如图所示，取BC的中点E，连接AE、DE，可知 AE⊥侧面BB1C1C.∠ADE就是AD与侧面BB1C1C所成的 1 3 角．设各棱长为a，则在Rt△AED中，ED＝ a，AE＝ a， 2 2 tan ∠ADE＝ 3，所以∠ADE＝60° .故选C.
高三数学,一轮复习人教A版, 第7章 第5节, 直线、平面垂直,的判定及其性质, 课件
＝BC，得∠ABC＝30° .4 分 设 AD＝1，由 3AD＝DB，得 DB＝3，BC＝2 3，由余弦定理得 CD2＝DB2 ＋BC2－2DB· BCcos 30° ＝3， 所以 CD2＋DB2＝BC2，即 CD⊥AO.10 分 因为 PD⊥平面 ABC，CD⊂平面 ABC， 所以 PD⊥CD，由 PD∩AO＝D，得 CD⊥平面 PAB，又 PA⊂平面 PAB，所 以 PA⊥CD.15 分
垂线 ， _____ 则这两个平面垂直
两个平面垂直，则一个平
性质定理 面内垂直于_____ 交线 的直线 与另一个平面垂直
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( ) ) )
面面垂直的判定与性质
4 [∵PA⊥平面 ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 则△PAB，△PAC 为直角三角形． 由 BC⊥AC，且 AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面 PAC，从而 BC⊥PC. 因此△ABC，△PBC 也是直角三角形．]
图 751
5．边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则折叠后 AC 的 长为________． a [如图所示，取 BD 的中点 O，连接 A′O，CO，则∠A′OC 是二面角
(4)直线和平面垂直的性质：
平行 ． ①垂直于同一个平面的两条直线_____
②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的_____ 任一 直线．
平行 ． ③垂直于同一条直线的两平面_____
2．直线和平面所成的角
平面上的射影 所成的锐角叫做这条直线和这 (1) 平面的一条斜线和它在 _______________
高考数学总复习 第7章 第5讲 直线、平面垂直的判定及性质课件 理 新人教A版
[解析] 如图(1)所示，设过点P且垂直于α的直线为b，过l上 的任意一点A作直线a，使a⊥l，且a⊂β.因为α⊥β，所以a⊥α.所以 a∥b.根据直线与平面平行的判定定理可知(kě zhī)b∥β.所以①正 确．
如图(2)所示，过点P作a⊥l，垂足为A.过点A作直线b⊥l，且 a⊂α，b⊂β.
第三十五页，共66页。
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点(zhōnɡ diǎn)，所以 A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.
图形语言
符号语言
⇒l⊥α
第九页，共66页。
(3)直线与平面垂直的性质(xìngzhì)定理
文字语言
性 质 定 理
垂直于同一个 平面的两条直 线______
图形语言
符号语言 ⇒a∥b
第十页，共66页。
(1)命题：如果一条(yī tiáo)直线和一个平面内的无数条直线都 垂直，那么这条直线和这个平面垂直是真命题吗？其逆命题呢？
第二十九页，共66页。
[变式探究] [2012·北京高考]如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E 分别(fēnbié)为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起 到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.
(1)求证：DE∥平面A1CB； (2)求证：A1F⊥BE； (3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
高考一轮复习第7章立体几何第5讲直线平面垂直的判定与性质
第五讲 直线、平面垂直的判定与性质知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直①定义：若直线l 与平面α内的_任意__一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直．②判定定理：一条直线与一个平面内的两条_相交__直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a ⊂α，_b ⊂α__，l ⊥a ，l ⊥b ，a∩b＝P ⇒l ⊥α.③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_平行__.即：a ⊥α，b ⊥α⇒_a ∥b__. (2)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_锐角__，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为_0__，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为_π2__.②线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.知识点二 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的_两个半平面__所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱_垂直__的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直二面角__，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a ⊂α，a ⊥β⇒_α⊥β__. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_交线__的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a ⊂α，α∩β＝b ，a ⊥b ⇒_a ⊥β__.重要结论1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( ×)(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二走进教材2．(多选题)(必修2P73T1)下列命题中正确的是( ABC )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[解析] 对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．题组三走向高考3．(2017·课标全国Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( C )A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC[解析] ∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C，且B1C∩A1B1＝B1，∴BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，∴BC1⊥A1E.故选C．4．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)__.[解析] 由l，m是平面α外的两条不同直线，及线面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，则m∥α，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得l⊥m，∴若l⊥α，m∥α，则l⊥m，故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)．5．(2020·全国Ⅱ(节选))如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F.[证明] ∵M，N分别为BC，B1C1的中点，∴MN∥BB1又AA1∥BB1，∴MN∥AA1在等边△ABC中，M为BC中点，则BC⊥AM.又∵侧面BB1C1C为矩形，∴BC⊥BB1∵MN∥BB1，MN⊥BC由MN∩AM＝M，MN，AM⊂平面A1AMN∴BC⊥平面A1AMN又∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴B1C1∥平面ABC又∵B1C1⊂平面EB1C1F，且平面EB1C1F∩平面ABC＝EF∴B1C1∥EF，∴EF∥BC又∵BC⊥平面A1AMN∴EF⊥平面A1AMN∵EF⊂平面EB1C1F∴平面EB1C1F⊥平面A1AMN.考点突破·互动探究考点一空间垂直关系的基本问题——自主练透例1 (1)(2021·河北保定七校联考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p：m⊥n，若p是q的必要条件，则q可能是( B )A．q：m⊥α，n∥β，α⊥βB．q：m⊂α，n⊥β，α∥βC．q：m⊥α，n⊥β，α∥βD．q：m⊂α，n∥β，α⊥β(2)(2019·陕西汉中质检一)已知l ，m 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l ⊥α，m ⊂β，则有下面四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ，②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中所有正确的命题是( A )A ．①③B ．①④C ．②③D ．①②③④(3)(多选题)(2021·四川成都诊断改编)已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法错误的是( ABD )A ．若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nB ．若m ∥α，n ∥β，且α⊥β，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥nD ．若m ⊥α，n ∥β，且α⊥β，则m ⊥n[解析] (1)由题知q 能推出p ：m ⊥n.对A ，当m ∥n 时仍然可以有m ⊥α，n ∥β，α⊥β.故A 错误．对B ，n ⊥β，α∥β，则n ⊥α，又m ⊂α，则m ⊥n.故B 正确．对C ，m ⊥α，α∥β则m ⊥β，又n ⊥β，故m ∥n.故C 错误．对D ，当α⊥β且相交于m 时，若n ∥m ，也满足m ⊂α，n ∥β.故D 错误．⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫2l ⊥α α∥β⇒l ⊥βm ⊂β⇒l ⊥m ，①对；⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α m ⊂β⇒α⊥β，③对；由图可知②④错．故选A ．(3)由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 相交，或m 与n 异面，故A 错误；由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误；由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误，故选A 、B 、D ．名师点拨解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法：(1)依据相关定理得出结论．(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判断，或借助笔、纸、桌面进行演示，注意能平移或旋转的线，让其动动再判断．(3)否定命题时只需举一个反例即可．〔变式训练1〕(1)(2021·东北三省三校模拟)已知α，β是不重合的平面，m ，n 是不重合的直线，则m ⊥α的一个充分条件是( C )A ．m ⊥n ，n ⊂αB ．m ∥β，α⊥βC ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥βD ．α∩β＝n ，α⊥β，m ⊥n(2)(2021·福建福州调研)已知两条直线m ，n 和两个平面α，β，下列命题正确的是( A ) A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β B ．若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β C ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β[解析] (1)对于答案A ：m ⊥n ，n ⊂α，得出m 与α是相交的或是垂直的，或m ⊂α，故A 错；答案B ：m ∥β，α⊥β，得出m 与α是相交的、平行的都可，故B 错；答案C ：n ⊥α，n ⊥β，得出α∥β，再m ⊥β得出m ⊥α，故C 正确．⎭⎪⎬⎪⎫2m ⊥αm ⊥n⇒n ⊂α或n ∥α.若n ⊂α，又n ⊥β，∴α⊥β；若n ∥α，则存在l ⊂α且l ∥n ，又n ⊥β，∴l ⊥β，∴α⊥β，故A 正确；事实上，在B 中条件下，α、β可能相交；在C 中条件下，α、β可能平行；在D 的条件下，α⊥β，故选A ．考点二 直线与平面垂直的判定与性质——多维探究角度1 线、面垂直的判定例2 如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD ． [证明] 解法一：(1)连接AC ，AN ，BN ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，在Rt △PAC 中，N 为PC 中点． ∴AN ＝12PC ．∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ． 又BC ⊥AB ，PA∩AB＝A ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ．从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN ＝12PC ．∴AN ＝BN ，∴△ABN 为等腰三角形． 又M 为底边AB 的中点，∴MN ⊥AB ，又AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ． (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ． 又∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ．∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴PA ＝BC ． 连接PM ，CM ，又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM. 而∠PAM ＝∠CBM ＝90°，∴Rt △PAM ≌Rt △CBM. ∴PM ＝CM ，又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC ． 由①知MN ⊥CD ，PC∩CD＝C ，∴MN ⊥平面PCD ． 解法二：∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴PA 、AB 、AD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，不妨设C(a ，b,0)，P(0,0，c)，则D(0，b,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c 2， (1)由MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，c 2，CD →＝(－a,0,0)，∴MN →·CD →＝0，∴MN ⊥CD ． (2)∵∠PDA ＝45°，∴b ＝c ， 又PC →＝(a ，b ，－b)，∴MN →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，b 2·(a，b ，－b)＝0，∴MN ⊥PC ，又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD ． 角度2 线、面垂直的性质例3 (2021·河北“五个一联盟”联考，节选)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形．证明：CD ⊥B 1D ．[证明] ∵△ACD 是边长为1的等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，∠DA 1C 1＝120°. ∵D 是AA 1的中点，△ACD 的边长为1， ∴AD ＝A 1D ＝A 1C 1＝1，即△A 1C 1D 是等腰三角形， ∴∠A 1DC 1＝30°，从而∠CDC 1＝90°，即CD ⊥C 1D ． ∵B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，且CD ⊂平面AA 1C 1C ， ∴B 1C 1⊥CD ．∵B 1C 1∩C 1D ＝C 1，B 1C 1⊂平面B 1C 1D ，C 1D ⊂平面B 1C 1D ， ∴CD ⊥平面B 1C 1D ．∵B 1D ⊂平面B 1C 1D ，∴CD ⊥B 1D ．名师点拨1．证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质． (5)向量法：a ⊥b ⇔a·b＝0. 2．证明线面垂直的常用方法(1)利用判定定理，它是最常用的思路．(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面． (3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面． (4)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC －A 1B 1C 1为三棱柱，且AA 1⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，AD ＝2CD ．∠ADC ＝60°，若AA 1＝AC ，求证：AC 1⊥平面A 1B 1CD ．(2)(角度2)(2021·湖南炎德英才大联考，节选)如图，圆柱OQ 的上，下底面圆的圆心分别为Q ，O ，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的下底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的直径AB ＝4，母线AD ＝AP ＝2 3.求证：AG ⊥BD ．[证明] (1)证法1：∵AD ＝2CD ，∠ADC ＝ 60°， ∴DC ⊥AC ，又AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥DC ． ∴DC ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴DC ⊥AC 1，∵AA 1＝AC ，∴四边形AA 1C 1C 为菱形，∴AC 1⊥A 1C ， 而DC∩A 1C ＝C ，∴AC 1⊥平面A 1B 1CD ． 证法2：∵AD ＝2CD ，∠ADC ＝60°，∴∠ACD ＝90°，则CD ，CA ，CC 1两两垂直．如图，建立空间直角坐标系C －xyz.不妨设CD ＝1，则C(0,0,0)，D(1,0,0)，A(0，3，0)，C 1(0,0，3)，A 1(0，3，3)． ∴AC 1→＝(0，－3，3)，CD →＝(1,0,0)，CA 1→＝(0，3，3)．易得AC 1→·CD →＝0，AC 1→·CA 1→＝0.∴AC 1⊥CD ，AC 1⊥CA 1，又∵CD∩CA 1＝C ， ∴AC 1⊥平面A 1B 1CD ．(2)证法1：∵AD ＝AP ，又G 是DP 的中点， ∴AG ⊥DP.①∵AB 为圆O 的直径，∴AP ⊥BP ，易知DA ⊥底面ABP ，∴DA ⊥BP ，而AD∩AP＝A ， ∴BP ⊥平面ADP ，又AG ⊂平面ADP ，∴BP ⊥AG ，②∴由①②可知：AG ⊥平面BDP ，又BD ⊂平面BDP ， ∴AG ⊥BD ．证法2：∵AB 为⊙O 的直径，∴PA ⊥PB ，如图建立空间直角坐标系，由题意知P(0,0,0)，A(0,23，0)，B(2,0,0)，D(0,23，23)，G(0，3，3)， ∴AG →＝(0，－3，3)，BD →＝(－2,23，23)， ∴AG →·BD →＝0，即AG ⊥BD ．考点三 两个平面垂直的判定与性质——师生共研例4 (2020·四川成都二诊)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1； (2)求几何体AA 1EBC 的体积．[解析] (1)证明：如图，连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为矩形，所以OA ＝OC 1.又因为F 为AC 的中点， 所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1.因为E 为BB 1的中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1.所以BE ∥OF 且BE ＝OF.所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE. 因为AB ＝CB ，F 为AC 的中点， 所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC ．因为AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BF ，所以OE ⊥AA 1. 又AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1. (2)四棱锥A 1－EB 1C 1C 的高为h ＝4sin 60°＝23， 底面为直角梯形，面积为S ＝12×(3＋6)×4＝18，得VA 1－EB 1C 1C ＝13×23×18＝123，故几何体AA 1EBC 的体积为VAA 1EBC ＝VABC －A 1B 1C 1－VA 1－EB 1C 1C ＝12×4×4×32×6－123＝12 3.例5 (2021·黑龙江大庆市质检)在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ＝2，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，E 是AD 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PAD ； (2)求点E 到平面PAB 的距离．[解析] (1)连接BD ，在△PAD 中，PA ＝PD ＝2，E 是AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥BE ，又∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴BE ⊥AD ，又∵PE∩AD＝E ，PE ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BE ⊥平面PAD ．(2)在△PAB 中，PA ＝AB ＝2，PB ＝6，则S △PAB ＝152， 在△ABE 中，AB ＝2，AE ＝1，BE ＝3，则S △ABE ＝32， 由PE ⊥面ABCD ，PE ＝3，得 V P －ABE ＝13×3×12×1×3＝12，由V P －ABE ＝V E －PAB ，设点E 到平面PAB 的距离为h ， 则13×152×h＝13×32×3，则h ＝155， 即点E 到平面PAB 的距离为155.名师点拨(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(3)〔变式训练3〕(1)(2020·湖南娄底模拟)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝π3，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上一点，若平面EBD ⊥平面ABCD ，则PE EC ＝_12__.(2)(2021·云南玉海一中期中)已知三棱锥P －ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD 为边长等于2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形．证明：平面PAC ⊥平面ABC ．[解析] (1)取AD 的中点O ，连接OC 交BD 于F 点，连接EF ，∵△PAD 是等边三角形，∴PO ⊥AD ，∵OD ∥BC ，BC ＝2OD ，∴FC ＝2OF. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，又∵平面BDE ⊥平面ABCD ，∴PO ∥平面BDE. ∴OP ∥EF ，∴PE EC ＝OF FC ＝12.故答案为：12.(2)证明：如图取AC 的中点O ，连接BO ，PO.由题意可知PA ＝PB ＝PC ＝2，∴PO ＝1，AO＝BO＝CO＝1，∵在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC．∵在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝2，∴PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OB．∵AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．名师讲坛·素养提升立体几何中的轨迹问题例6 (多选题)(2021·山东青岛模拟)在如图所示的棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P 在侧面BCC1B1所在的平面上运动，则下列命题中正确的为( ABD )A．若点P总满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹是一条直线B．若点P到点A的距离为2，则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆C．若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D．若点P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线[解析] A．∵PA⊥BD1，∴P在过A且与BD1垂直的平面ACB1上，又P∈平面BCC1B，∴P的轨迹是平面ACB1与平面BCC1B1的交线B1C，故A正确；B．点P的轨迹是以A为球心，半径为2的球面与平面BCC1B1的交线，即点P的轨迹为小圆，设小圆的半径为r，球心A到平面BCC1B1的距离为1，则r＝22－1＝1，所以小圆周长l＝2πr＝2π，故B正确；C．点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，即平面BCC1B1内的点P满足|PB|＋|PC|＝1＝|BC|，即满足条件的点P的轨迹就是线段BC，不是椭圆，故C不正确；D．如图，过P分别作PM⊥BC于点M，PE⊥CC1于点E，则PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AD，过M作MN⊥AD，连接PN，PM∩MN＝M，所以AD⊥平面PMN，所以PN⊥AD，如图建立平面直角坐标系，设P(x，y)，PM＝y，则PN2＝1＋y2，PE2＝(1－x)2，即1＋y2＝(1－x)2，整理为：(x－1)2－y2＝1，则动点P的轨迹是双曲线，故D正确．故选ABD．[引申](1)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线CC1的距离相等，则点P的轨迹为_以B为焦点、CC1为准线的抛物线__.(2)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为_与BC距离为1的两条平行线__.名师点拨立体几何中的轨迹面是常转化为两面的交线，或在某面内建立坐标系通过求轨迹方程求解．〔变式训练4〕(2021·安徽蚌埠质检)平面α的一条斜线AP交平面α于P点，过定点A的直线l与AP垂直，且交平面α于M点，则M点的轨迹是( A )A．一条直线B．一个圆C．两条平行直线D．两个同心圆[解析] 由题意知M在过A且与PA垂直的平面β内，∴点M的轨迹为平面α与β的交线，故选A．。
高考人教版数学(理)一轮复习课件：7.5直线、平面垂直的判定和性质3
解析：(1)证明：因为 AP＝CP＝AC＝4，O 为 AC 的中点， 所以 OP⊥AC，且 OP＝2 3.
如图，连接 OB.因为 AB＝BC＝ 22AC，所以△ABC 为等腰 直角三角形，
且 OB⊥AC，OB＝12AC＝2. 由 OP2＋OB2＝PB2 知，OP⊥OB. 由 OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O 且都属于平面 ABC 知， PO⊥平面 ABC.
(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC； (2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP＝DQ ＝23DA，求三棱锥 Q－ABP 的体积．
解析：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即 BA⊥AC. 又 BA⊥AD，AD∩AC＝A，所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB⊂平面 ABC， 所以平面 ACD⊥平面 ABC. (2)由已知可得， DC＝CM＝AB＝3， DA＝3 2. 又 BP＝DQ＝23DA， 所以 BP＝2 2.
如图，过点 Q 作 QE⊥AC，垂足为 E，则 QE 綊13DC.
由已知及(1)可得，DC⊥平面 ABC， 所以 QE⊥平面 ABC，QE＝1. 因为，三棱锥 Q－ABP 的体积为 VQ－ABP＝13×S△ABP×QE＝13×12×3×2 2sin45°×1＝1.
悟·技法 对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化， 不在同一个平面上的性质可能会发生变化．解决这类问题就是要 据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值， 这是解决翻折问题的主要方法.
答案：C
4．PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于 A，B 两点的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面 PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC
高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定及性质课件
2021/12/11
第二十二页，共四十九页。
所以 AM⊥平面 BB1C1C. 因为 BC1⊂平面 BB1C1C，所以 AM⊥BC1 因为 EF∥BC1，所以 EF⊥AM. 又因为 AM∩B1M＝M，AM⊂平面 AB1M，B1M⊂平面 AB1M，所以 EF⊥平面 AB1M.
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解 (1)证明：∵DC＝BC＝1，DC⊥BC，∴BD＝ 2. 在梯形 ABCD 中，AD＝ 2，AB＝2， ∴AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°. ∴AD⊥BD. 又平面 ADEF⊥平面 ABCD， 平面 ADEF∩平面 ABCD＝AD， ∴BD⊥平面 ADEF. 又 BD⊂平面 BDM， ∴平面 BDM⊥平面 ADEF.
解析 因为 α⊥β，m⊂α，则 m，β 的位置关系不确定， 可能平行、相交、m 在 β 面内，故 A 错误；由线面垂直的 性质定理可知 B 正确；若 α⊥β，m∥α，则 m，β 的位置关 系也不确定，故 C 错误；若 m⊥n，n∥β，则 m，β 的位置 关系也不确定，故 D 错误．故选 B.
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[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) (2)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线 平行．( × ) (3)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直 线，则 α⊥β.( × ) (4)二面角是指两个相交平面构成的图形．( × ) (5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线 垂直于另一个平面．( × )
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂 直则需借助线面垂直的性质．
高三数学(文)一轮总复习(人教通用)课件：第7章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
第十二章
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(1)求证：NC∥平面 MFD； (2)若 EC＝3，求证：ND⊥FC； (3)求四面体 NEFD 体积的最大值．
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2．(2016· 武汉调研)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，点 E 在线段 PC 上， PC⊥平面 BDE.
(1)证明：BD⊥平面 PAC； (2)若 PA＝1，AD＝2，求三棱锥 E BCD 的体积．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1． (易错题)(2016· 上海六校联考)已知 m 和 n 是两条不同的直线， α 和 β 是两个不重合的平面， 下面给出的条件中一定能推出 m⊥β 的是 A．α⊥β 且 m⊂α C．m∥n 且 n⊥β B．α⊥β 且 m∥α D．m⊥n 且 α∥β ( )
解析： 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理， 可知 C 正确． 答案：C
2019届一轮复习人教A版理 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质 课件(54张)
图 7-5-7
[证明] (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1C1∥AC．
在△ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 所以 DE∥AC，于是 DE∥A1C1. 又因为 DE⊄平面 A1C1F，A1C1⊂平面 A1C1F， 所以直线 DE∥平面 A1C1F.
[答案](1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．(教材改编)设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l⊂
α，m⊂β.( )
A．若 l⊥β，则 α⊥β
B．若 α⊥β，则 l⊥m
C．若 l∥β，则 α∥β
D．若 α∥β，则 l∥m
A [∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故 A 正确．]
(1)证明：AE⊥平面 PAD； (2)求多面体 PAECF 的体积．
图 7-5-3
[解] (1)证明：由 PA⊥底面 ABCD 得 PA⊥AE. 底面 ABCD 为菱形，∠ABC＝60°，得△ABC 为等边三角形，
又因为 E 为 BC 的中点，得 AE⊥BC，所以 AE⊥AD． 因为 PA∩AD＝A，所以 AE⊥平面 PAD．
[解] (1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，则 BD⊥AC．
设 AB，AD 的中点分别为 M，N，连接 MN，则 MN∥BD， 连接 FM，GN，则 FM∥GN，且 FM＝GN，
所以 MN∥FG，所以 BD∥FG，所以 FG⊥AC． 由于 AE⊥平面 ABCD，所以 AE⊥BD．
所以 FG⊥AE，又因为 AC∩AE＝A，所以 FG⊥平面 ACE.所以平面 CFG⊥ 平面 ACE.
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第七章 第五节 直线、平面垂直的判定与性质
第五节 直线、平面垂直的判定与性质2019考纲考题考情1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直。
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理续表1．与线面垂直相关的两个常用结论：(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。
(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直。
2．三种垂直关系的转化：线线垂直线面垂直面面垂直判定定理 性质 判定定理 性质定理一、走进教材1．(必修2P 73A 组T 1改编)下列命题中不正确的是( )A ．如果平面α⊥平面β，且直线l ∥平面α，则直线l ⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ解析 根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内。
故选A。
答案 A2．(必修2P67练习T2改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O。
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心。
解析 (1)如图，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心。
(2)如图，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G。
因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB，因为AB⊥PO，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高。
同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心。
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[答案] 5
9. 如图，PA⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的 直径， C 是⊙O 上一点， AE⊥PC， AF⊥PB， 给 出 下 列 结 论 ： ①AE⊥BC ； ②EF⊥PB ； ③AF⊥BC；④AE⊥平面 PBC，其中真命题 的序号是________．
[解析] ①AE⊂平面 PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故① 正确，②AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面 PBC⇒AE⊥PB，AF ⊥PB，EF⊂平面 AEF⇒EF⊥PB，故②正确，③若 AF⊥BC ⇒AF⊥平面 PBC，则 AF∥AE 与已知矛盾，故③错误，由① 可知④正确．
6．如图所示，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD ＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD⊥ 平面 BCD，构成三棱锥 ABCD，则在三棱锥 ABCD 中，下列 结论正确的是( )
A．平面 ABD⊥平面 ABC B．平面 ADC⊥平面 BDC C．平面 ABC⊥平面 BDC D．平解析] 由 AC⊥AB，AC⊥BC1，得 AC⊥平面 ABC1.
因为 AC⊂平面 ABC， 所以平面 ABC1⊥平面 ABC. 所以 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上．
4．设 a，b，c 是空间的三条直线，α，β 是空间的两个平面， 则下列命题中，逆命题不成立的是( A．当 c⊥α 时，若 c⊥β，则 α∥β B．当 b⊂α 时，若 b⊥β，则 α⊥β C．当 b⊂α，且 c 是 a 在 α 内的射影时，若 b⊥c，则 a⊥b D．当 b⊂α，且 c⊄α 时，若 c∥α，则 b∥c )
8． 四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是矩形， PA⊥底面 ABCD， 则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对．
[解析] 因为 AD⊥AB，AD⊥PA 且 PA∩AB＝A，可得 AD⊥平 面 PAB.同理可得 BC⊥平面 PAB、AB⊥平面 PAD、CD⊥平面 PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面 PAD⊥平面 PAB，平 面 PBC⊥平面 PAB，平面 PCD⊥平面 PAD，平面 PAB⊥平面 ABCD，平面 PAD⊥平面 ABCD，共有 5 对．
B
[解析] A 的逆命题为：当 c⊥α 时，若 α∥β，则 c⊥β.
由线面垂直的性质知 c⊥β，故 A 正确；B 的逆命题为：当 b ⊂α 时，若 α⊥β，则 b⊥β，显然错误，故 B 错误；C 的逆命 题为：当 b⊂α，且 c 是 a 在 α 内的射影时，若 a⊥b，则 b⊥c. 由三垂线逆定理知 b⊥c， 故 C 正确； D 的逆命题为： 当 b⊂α， 且 c⊄α 时，若 b∥c，则 c∥α.由线面平行判定定理可得 c∥α， 故 D 正确．
2．(2017· 漳州质检)设 a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个 不同的平面，则下列命题中正确的是( A．若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a∥b B．若 a∥α，b⊥β，且 α⊥β，则 a∥b C．若 a⊥α，a∥b，b∥β，则 α⊥β D．若 a⊥b，a⊂α，b⊂β，则 α⊥β )
C
[解析] 若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线 a 与 b 可能平行或异
面，所以 A 错误；若 a∥α，b⊥β，且 α⊥β，则直线 a 与 b 可 能平行或相交或异面，所以 B 错误；若 a⊥α，a∥b，b∥β， 则 α⊥β，所以 C 正确；若 a⊥b，a⊂α，b⊂β，则 α 与 β 相交 或平行，所以 D 错误．故选 C.
3. 如图， 在斜三棱柱 ABCA1B1C1 中， ∠BAC＝90°， BC1⊥AC， 则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在( A．直线 AB 上 B．直线 BC 上 C．直线 AC 上 D．△ABC 内部 )
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，P 为△ABC 所在平 面外一点，PA⊥平面 ABC，则四面体 PABC 中共有直角三角 形个数为( )
A．4 C．2
B．3 D．1
A
[解析] 由 PA⊥平面 ABC 可得△PAC，△PAB 是直角三角
形，且 PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC 是直角三角形， 且 BC⊥平面 PAB，所以 BC⊥PB，即△PBC 为直角三角形， 故四面体 PABC 中共有 4 个直角三角形．
[答案] ①②④
10． 设 a， b 为不重合的两条直线， α， β 为不重合的两个平面， 给出下列命题： ①若 a∥α 且 b∥α，则 a∥b； ②若 a⊥α 且 a⊥β，则 α∥β； ③若 α⊥β，则一定存在平面 γ，使得 γ⊥α，γ⊥β； ④若 α⊥β，则一定存在直线 l，使得 l⊥α，l∥β. 上面命题中，所有真命题的序号是________． [解析] ①中 a 与 b 也可能相交或异面，故不正确．
7． 如图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， AB＝BC＝2， AA1＝1， 则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为________．
[解析] 连接 A1C1，则∠AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成的 角． 因为 AB＝BC＝2，所以 A1C1＝AC＝2 2， 又 AA1＝1，所以 AC1＝3， AA1 1 所以 sin∠AC1A1＝ ＝ . AC1 3 1 [答案] 3
5．在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面 ABC，PA ＝8，则 P 到 BC 的距离是( A． 5 C．3 5 ) B．2 5 D．4 5
D
[解析] 如图，取 BC 的中点 D，连接 AD，则 AD⊥BC.
又 PA⊥平面 ABC，根据三垂线定理，得 PD⊥BC. 在 Rt△ABD 中，AB＝5，BD＝3，所以 AD＝4. 在 Rt△PAD 中，PA＝8，AD＝4，所以 PD＝4 5.
D
[解析] 因为在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB，
∠BCD＝45°，∠BAD＝90°， 所以 BD⊥CD. 又平面 ABD⊥平面 BCD， 且平面 ABD∩平面 BCD＝BD， 故 CD⊥平面 ABD，则 CD⊥AB. 又 AD⊥AB， AD∩CD＝D， AD⊂平面 ADC， CD⊂平面 ADC， 故 AB⊥平面 ADC. 又 AB⊂平面 ABC，所以平面 ADC⊥平面 ABC.