线代 综合练习题 带答案
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数--综合测试答案
一、单项选择题1、已知3阶行列式D第1行的元素依次为1,2,-1，它们的余子式依次为2,-2,1，则D=A.-5B.-3C.3D.5D2、A.第1行的3倍加到第2行B.第2行的3倍加到第1行C.第1列的3倍加到第2列D.第2列的3倍加到第1列正确答案:C3、A.1B.2C.3D.4正确答案:B4、A.-2B.-1C.0D.1A5、A.-3B.-2C.2D.3正确答案:B6、已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则r(A)A.1B.2C.3D.4正确答案:C7、A.-1B.-2/3C.2/3D.1正确答案:A8、A.0B.1C.2D.3C 9、A.-108B.-12C.12D.108正确答案:D10、A.0B.1C.2D.-1正确答案:B11、A.2B.4C.8D.12正确答案:C12、A.-7B.-4C.4B13、A.1B.2C.3D.4正确答案:B14、A.13B.6C.5D.-5正确答案:D15、A.a=0,b=0B.a=0,b=1C.a=1,b=0D.a=1,b=1正确答案:D16、A.-2C.1D.2A17、齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是矩阵A的A.列向量组线性相关B.列向量组线性无关C.行向量组线性相关D.行向量组线性无关B18、设非齐次线性方程组Ax=b,其中A为m*n阶矩阵，r(A)=r，则A.当r=n时，Ax=b有惟一解B.当r<n时，ax=b有无穷多解< p="" style="box-sizing: border-box;">C.当r=m时，Ax=b有解D.当m=n时，Ax=b有惟一解C19、设2阶矩阵A满足|2E+3A|=0,|E-A|=0,则|A+E|=A.-3/2B.-2/3C.2/3D.3/2C20、A.相似但不合同B.合同但不相似C.合同且相似D.不合同也不相似C21、A.相似且合同B.相似但不合同C.不相似但合同D.不相似且不合同正确答案:A22、A.1B.2C.3D.4正确答案:D 23、A.10B.2C.-10D.-2正确答案:A24、A.27B.243C.216D.81C25、A.3B.6C.9D.12正确答案:D26、若A,B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=A.5B.4C.3D.2正确答案:C27、A.6B.-6C.24D.-24正确答案:D28、A.m-nB.-m-nC.m+nD.-(m+n)正确答案:B29、A.-32B.-2C.2D.32正确答案:A30、A.1/2B.2C.4D.8正确答案:C31、A.8B.-8C.32D.-32正确答案:C32、A.a=4,b=0,c=1,d=4B.a=0,b=4,c=1,d=4C.a=4,b=0,c=4,d=1D.a=0,b=4,c=4,d=1正确答案:A33、设A,B,C均为n阶方阵，AB=BA，BC=CB,则BAC=A.ACBB.CABC.CBAD.BCA正确答案:A34、A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BA正确答案:D35、A.4B.8C.12D.16正确答案:D36、A.-5B.-2C.2D.5正确答案:A37、A.1/nB.-1/nC.nD.-n正确答案:D 38、A.PAB.APC.QAD.AQ正确答案:B 39、A.(2,1,1)B.(0,-3,2)C.(1,1,0)D.(0,-1,0)B 40、A.a=0,b=0B.a=0,b=1C.a=1,b=0D.a=1/2,b=2正确答案:D41、A.2B.-2C.4D.-4正确答案:B 42、A.1B.2C.3D.4正确答案:C 43、A.4B.3C.2D.1A 44、A.1B.2C.3D.4正确答案:D 45、A.3B.2C.1D.0正确答案:B 46、A.-2B.2C.-1D.1正确答案:A47、A.4B.3C.2D.1正确答案:B48、设A为5阶方阵，且r(A)=2，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是A.5B.4C.3D.2正确答案:C49、A.4B.3C.2D.1正确答案:C50、A.1B.2C.3D.4C。
《线性代数》综合练习题,附答案
《线性代数》综合练习题一、选择题1. 设A ，B 都是n 阶方阵，且AB=0，则必有（ ）.A.0=A 或0=BB.0=+B AC. 0||=A 或0||=BD. 0||||=+B A2. 设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且ABC=E,其中E 为n 阶单位方阵，则必有（ ）.A. ACB=EB. BC A =EC. CBA=ED. BAC=E3. 设A ，B 都是n 阶方阵，且A 与B 等价，则( ).A. R(A)=R(B)B. )det()det(B A =C. )det()det(B E A E -=-λλD. 存在可逆矩阵P,使B AP P =-14. 设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A （ ）. A.A A )det(1 B. 1)det(1-A A C.*)det(1A A D. A A *)det(1 5. 设方阵A 满足A 2-A -2E=0, 则必有（ ）.A.E A -=B. E A 2=C. A 可逆D. A 不可逆6. 设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则=⋅|*|||A A （ ）.A. 1B. n A ||C. 1||-n AD. 1||+n A7. 设A,B 为n 阶方阵,则必有（ ）.A. AB=BAB. │A+B│=│A│+│B│C. │A -B│=│A│-│B│D. │AB│=│A││B│8.设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ ）.A. B A +一定可逆B. AB 一定可逆C . 11--B A 一定可逆 D. TT B A 一定可逆.9.下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011可交换的是（ ）. A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2011 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2032 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121110.矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 为非奇异矩阵的充要条件是（ ）. A. 0=-bc ad B. 0=-cd abC. 0≠-bc adD. 0≠-cd ab11.设A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则必有（ ）.A. ||||A kA =B. ||||A k kA =C. ||||1A k kA n -=D. ||||A k kA n =12.下列说法正确的是（ ）.A. 设A 为n 阶方阵,且A 2=A ，则A=E 或A=0.B. 设A,B,C 为n 阶方阵, AB=AC 且A≠0，则B=C.C. 设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且AB=E ，CA=E ，则B=C.D. 设A 为n 阶方阵,且A 2=0，则A=0.13.矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5321的逆矩阵是（ ）. A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5321B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1325 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5321 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5231 14.设A 为3阶方阵,|A|=3,则|3A -1|= ( ).A. 1B. -1C. 9D. -915. 设C B A ,,都是n 阶可逆矩阵，则=-1)(ABC ( ). A. 111---C B A B. 111---A C BC. 111---B A CD. 111---A B C16. 设A 是一个3阶的反对称矩阵，则|A|= ( ).A. -1B. 0C. 1D. 无法确定17.设α⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321a a a ,β],,[321b b b =,)3,2,1(0,0=≠≠i b a i i ,则方阵A=αβ的秩为( ).A. 0B. 1C. 2D. 318.如果向量组线性相关，那么( ).A. 这个向量组中至少有一个零向量.B. 这个向量组中至少有两个向量成比例.C. 这个向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.D. 这个向量组中所有向量都可以由其余向量线性表示.19.下列说法正确的是( ).A. 等价的向量组含有相同的向量个数.B. 如果向量组线性相关，那么这个向量组中至少有一个零向量.C. 如果向量组线性相关，那么这个向量组中至少有两个向量成比例.D. n 维单位向量组是线性无关的.20.设向量组α1],0,0,1[=α2],1,0,0[=则β=( )时,它是α1, α2的线性组合.A. ]2,1,0[B. ]0,2,1[C. ]2,0,1[D. ]0,1,2[21.向量组α1，α2，… ，αm 的秩不为0的充要条件是( ).A. 向量组α1，α2，… ，αm 中至少有一个非零向量.B. 向量组α1，α2，… ，αm 中至多有一个非零向量.C. 向量组α1，α2，… ，αm 中全部是非零向量.D. 向量组α1，α2，… ，αm 线性无关.22.设向量组α1，α2，… ，αm 的秩为)2(-≤m r r ,则下列说法错误的是( ).A. 向量组α1，α2，… ，αm 中至少有一个含r 个向量的部分组线性无关.B. 向量组α1，α2，… ，αm 中含r 个向量的部分组都线性无关.C. 向量组α1，α2，… ，αm 中含1+r 个向量的部分组都线性相关.D. 向量组α1，α2，… ，αm 中含2+r 个向量的部分组都线性相关.23.设α1，α2，α3为3阶方阵A 的列向量组,则α1，α2，α3线性无关的充要条件是( ).A. │A│0≠B. A 的秩3)(<A RC. 方阵A 不可逆D. 方阵A 是奇异的24. 下列说法错误的是( ).A.1+n 个n 维向量必相关.B. 等价的向量组有相同的秩.C. 任一n 维向量一定可由n 维单位向量组线性表示.D. 零向量不可以由n 维单位向量组线性表示.25. 若R （A ）=2，则5元齐次线性方程组A x =0的基础解系中有( )个向量。
线性代数试题及其答案(综合测试题)
综合测试题线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设D =111213212223313233a a a a a a a a a =M ≠0，则D 1=111112132121222331313233232323a a a a a a a a a a a a ------= ( )．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设 A 、B 、C 为同阶方阵，若由AB = AC 必能推出 B = C ，则A 应满足 ( )．A. A ≠ OB. A = OC.|A |= 0D. |A |≠0 3.设A ，B 均为n 阶方阵，则 ( )．A.|A +AB |=0，则|A |=0或|E +B |=0B.(A +B )2=A 2+2AB +B 2C.当AB =O 时，有A =O 或B =OD.(AB )-1=B -1A -14.二阶矩阵A a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|A |=1，则A -1= ( )． A. d b ca ⎛⎫⎪⎝⎭ B.d b c a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C.a b c d -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D.a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭5.设两个向量组s ,12,,ααα与t ,12,,βββ，则下列说法正确的是( )．A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r (s ,12,,ααα)= r (t ,12,,βββ)C.若s = t ，则两向量组等价.D.若r (s ,12,,ααα)= r (t ,12,,βββ)，则两向量组等价.6.向量组s ,12,,ααα线性相关的充分必要条件是 ( )．A. s ,12,,ααα中至少有一个零向量B. s ,12,,ααα中至少有两个向量对应分量成比例C. s ,12,,ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. s α可由-1s ,12,,ααα线性表示7.设向量组12,,...,m ααα有两个极大无关组12,,...,i i ir ααα与12,,...,j j js ααα，则下列成立的是( )．A. r 与s 未必相等B. r + s = mC. r = sD. r + s > m8.对方程组Ax = b 与其导出组Ax = o ，下列命题正确的是( )．A. Ax = o 有解时，Ax = b 必有解.B. Ax = o 有无穷多解时，Ax = b 有无穷多解.C. Ax = b 无解时，Ax = o 也无解.D. Ax = b 有惟一解时，Ax = o 只有零解.9.设方程组12323122000x x x x kx x x +-=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩有非零解，则k = ( )． A. 2 B. 3 C. -1 D. 1 10.n 阶对称矩阵A 正定的充分必要条件是( )．A. |A |>0B.存在n 阶方阵C 使A =C T CC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
线性代数习题集带答案
线性代数习题集带答案第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若573411111326478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3-(D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 18．若齐次线性方程组??=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++3333222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(111121111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222 111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------= 110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x b a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明01 11333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ;12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-；2. )(233y x +-；3. 1,0,2-=x ;4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
大学课程《线性代数》综合练习题集及答案
03D(1)R、；2,用3,>4)=2;向量组的一个极大无关组为、辽，、；4；
：'1 =2(、七亠'：：4),■?23如
(2)R( ：-1^-2, ：-3, ：-4, ：-5) =3；向量组的一个极大无关组为：■1, ：3 >5；
「2=「1：'5,「4 = ：^'：^'：'5 ;
,其中k为任意常数.
当•=1时，有解，解为
(1)当“且•时，方程组有唯一解；
5
<0A
-1
+k
1
丿
当’=1时，其通解为
，其中k为任意实数；
当，二-4时，原方程组无解；
5
广1、
—4
04F (1) C 3, (CER);
7
/ >
2
-22
1
0
+k2
0
15
5
I2」
,(k1,k^R);
(2) k1
J2、
0
十k!
a =b =0时,r (A) =0;当a = b才0时,r( A) =1;
a-'b,且
a-'b,且
a亠(n -1) b =0时,r (A) =n -1;
a • (n _1) b =0时，r(A) =n.
05G
05H
* *
r[(A )]
05K
05M
05O
06A
n ,如果r(A)=n,
0,如果r(A)cn.
011
排列的逆序数为
k2;
当k为偶数时,
排列为偶排列，当k为奇数时，排列为奇排列.
(完整版)线性代数习题集带答案
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
线性代数综合练习题10答案
线性代数综合练习题（十）参考答案一、选择题1. A2. B3. C4. D5. D 二、填空题 1. 3- 2. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10100010001 3. ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛105104103010210200101 4. 21-或 5. 321,,ααα 6. 04321=+++a a a a 7. 3 三、计算题1. 解：由B A E AB +=+2，得))(()(2E A E A E A B E A +-=-=-又01≠-=-E A ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B 2. 解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==73130212111),,,(4321ααααA r →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21010101001（1）因为3),,(321=αααr ，所以321,,ααα线性相关；（2）因为3),,,(),,(4321321==αααααααr r ，所以4α可由321,,ααα线性表示，且32142αααα+-=3. 解：方程组对应的齐次线性方程组的基础解系含134=-个解向量ξ，则所求方程组的通解为ξηk x +=1 其中k 为任意常数。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-=-+-=6543)(2)()(3213121ηηηηηηηξ，因此，方程组的通解为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=65435432k x 。
4. 解：A 的特征多项式)5()1(2λλλ++-=-E AA 的特征值为 121-==λλ，53-=λ，121-==λλ所对应的线性无关的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101,01121αα，正交单位化得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21161,0112121p p ； 53-=λ所对应的线性无关的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1113α，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111313p ，令正交矩阵),,(321p p p P =，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-5111AP P 。
经济数学基础线性代数部分综合练习及答案
经济数学基础线性代数部分综合练习及答案一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行.A ．AB B ．AB TC ．A +BD ．BA T2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ）A . T T T )(B A AB =B .T T T )(A B AB =C .1T 11T )()(---=B A ABD .T 111T )()(---=B A AB3．以下结论或等式正确的是（ C ）．A ．若B A ,均为零矩阵，则有B A =B ．若AC AB =，且O A ≠，则C B =C ．对角矩阵是对称矩阵D ．若O B O A ≠≠,，则O AB ≠4．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ C ）.A .B B .1+BC .I B +D .()I AB --15．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ D ）． A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 6．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（C ）． A ．4 B ．3C ．2D ．17．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（A ）．A ．1B ．2C ．3D ．48．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ A ）． A . 无解 B . 只有0解 C . 有唯一解 D . 有无穷多解9．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（ B ）时线性方程组无解．A ．0B ．12C ．1D ．2 10. 设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（ D ）．A ．m A r A r <=)()(B ．n A r <)(C ．n m <D ．n A r A r <=)()(11．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（B ）．A ．有唯一解B ．无解C ．有非零解D ．有无穷多解12．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（C ）．A ．无解B ．有非零解C ．只有零解D ．解不能确定二、填空题1．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T2．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3421A ，I 为单位矩阵，则T )(A I - 3．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a A 是对称矩阵. 5．设B A ,均为n 阶矩阵，且)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解X =． 应该填写：A B I 1)(--6．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )=．应该填写：n7．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b ．应该填写：无解8．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则λ9．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于10.O AX =中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非0解，则)(A r11．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一其中43,x x 是自由未知量)12．设线性方程组b AX =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010*********t A ，则有唯一解.三、计算题1．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ． 解 因为(AI ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 所以 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112 2．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311，求逆矩阵1)(-+A I ．解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 3．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435 (BAI )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 所以(BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--252231 4．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =． 解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211所以，X =153213221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡13253221= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101 5．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201 所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3.又因为r (A )≠r (A )，所以方程组无解.6．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．解 因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量） 7．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 的一般解．解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=1881809490312112614231213252A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→0000194101101 所以一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=1941913231x x x x （其中3x 是自由未知量） 8．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解.解 因为系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---61011023183352231λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ 所以当λ = 5时，方程组有非零解. 且一般解为⎩⎨⎧==3231x x x x （其中3x 是自由未知量） 9．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ有解？并求一般解.解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=26102610111115014121111λλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→λ00026101501 所以当λ=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：⎩⎨⎧+-=-=26153231x x x x (x 3是自由未知量〕。
线性代数综合练习题参考答案
线性代数综合练习题（四）参考答案一、选择题1. B2. C3. A4. C5. B6. D 二、填空题1. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1515252510000 2. 9 3. 4 4. 1 5. 12+a 6. 20<<t三、计算题1. 解：由B X A =*得，AB X AA =*，即 AB X A =因为2-=A ，所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00021152031000221X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=020111.2. 解：()54321,,,,ααααα=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=140113*********12211 −→−r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000111001512012211−→−r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000111001301001001 所以()3,,,,54321=αααααR ，321,,ααα是一个最大无关组，并且32143αααα-+=，325ααα+-=3. 解： )1)(54(5541112-+=---=λλλλD ，当0≠D ，即1≠λ且54-≠λ时，方程组有惟一解.当1=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==155421111112),(βA B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011101001 此时2)()(==B R A R ，方程组有无限多个解.，并且通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011321c x x x )(R c ∈， 当4-=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------==1554211112),(5454βA B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10001055455410此时3)(,2)(==B R A R ，方程组无解.4. 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321321320230002),,(),,(x x x x x x x x x f ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=320230002A ，（1） )1)(5)(2(λλλλ---=-E A所以A 的特征值为21=λ，52=λ，13=λ，由0)2(=-X E A 得对应于21=λ的特征向量T)0,0,1(1=ξ， 由0)5(=-X E A 得对应于52=λ的特征向量T)1,1,0(2=ξ， 由0)(=-X E A 得对应于13=λ的特征向量T)1,1,0(1-=ξ，取11ξη=，2221ξη=，3321ξη=，令),,(321ηηη=P ， 则得所求的正交变换PY X = 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321212121213210001y y y x x x 且 23222152y y y f ++=（2） 根据（1）知， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1000500021AP P AP P T所以 T P P A 1010100050002⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121212100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100500021010⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212121210001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=)15()15(0)15()15(02102110211021102110. 四、证明题1. 证：假设21P P +是A 的对应于λ的特征向量，则)()(2121P P P P A +=+λ因为222111,P AP P AP λλ==, 所以0)()(2211=-+-P P λλλλ， 由于21,P P 是对应于不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，从而2121,0λλλλλλ==-=-，矛盾！2. 证：设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-T n T T A 121ααα ，则A 是一个n n ⨯-)1(矩阵，因为121,,,-n ααα 线性相关，所以1)(-=n A R ，故n 元线性方程组0=AX 的解空间的维数为1.又21,ξξ是和121,,,-n ααα 均正交的，所以21,ξξ是0=AX 的解，因此21,ξξ必线性相关.。
浙江理工大学线性代数综合演习题8套另加参考答案
线性代数综合练习题（一）一、单项选择题1. 对于n 阶可逆矩阵A ，B ，则下列等式中（ ）不成立. (A) ()111---⋅=B A AB (B) ())/1()/1(111---⋅=B A AB (C) ()111---⋅=B AAB (D) ()AB AB /11=-2. 若A 为n 阶矩阵，且03=A ，则矩阵=--1)(A E （ ）.（A ）2A A E +- （B ）2A A E ++ （C ）2A A E -+ （D ）2A A E -- 3. 设A 是上（下）三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素为（ ）. (A) 全都非负 （B ） 不全为零 （C ）全不为零 （D ）没有限制 4. 设 33)(⨯=ij a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a aa a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，那么（ ）.（A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12 5. 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示. （A ）至少有一个向量 （B ）没有一个向量 （C ）至多有一个向量 （D ）任何一个向量6. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210253143212A ，其秩=)(A R （ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47. 若方程b AX =中，方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）. （A ）b AX =必有无穷多解 （A ）0=AX 必有非零解 （C ）0=AX 仅有零解 （D ）0=AX 一定无解 8. 若A 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）. （A ）1-A （B ）A 2 （C ）4A （D ）TA 9. 若满足条件（ ），则n 阶方阵A 与B 相似.（A ）B A = （B ）)()(B R A R = （C ）A 与B 有相同特征多项式 （D ）A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同 二、填空题1. 若向量组321,,ααα线性无关，则向量组321211,,αααααα+++是线性 .2. 设A 为4阶方阵，且3)(=A R ，*A 是A 的伴随阵，则0=*X A 的基础解系所含的解向量的个数是 .3. 设A 为n 阶正交阵，且0>A ，则=A .4. 设()2,1,11-=α，()5,,22k =α，()1,6,13-=α线性相关，则=k .5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300050004A ，则=--1)2(E A .6. 设三阶方阵A 有特征值4，5，6，则=A ，T A 的特征值为 ，1-A 的特征值为 .三、计算题1. 计算行列式ba bbbb b a b b b b b a b b b b ba ----+----+2. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200012021A ，求10A .3. 设三阶方阵A 满足i i i A αα= )3,2,1(=i ，其中T )2,2,1(1=α，T )1,2,2(2-=α，T )2,1,2(3--=α，求A .4.λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+1610522321321321x x x x x x x x x λλ （1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题1. 设A 为n 阶可逆阵，E A A =2.证明A 的伴随阵A A =*.2. 若A ，B 都是n 阶非零矩阵，且0=AB .证明A 和B 都是不可逆的.线性代数综合练习题（一）参考答案一、单项选择题1. B2. B3. C4. C5. A6. B7. B8. B9. D 二、填空题1. 无关；2. 3 ；3. 1 ；4. 3 ；5. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10000003121； 6. 120 ， 4，5，6 ， 615141,, . 三、计算题1. 解：ba bbbb b a b b b b b a b b b b ba ----+----+aaa a a ab b b b a 000000-+=4000000000a aa ab b b a ==.2. 解：先求A 的特征值，λλλλ---=-20012021E A =)1)(3)(2(λλλ+---1,3,2321-===λλλ ，当21=λ时，由0)2(=-X E A 得，A 的对应于2的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001ξ，当32=λ时，有0)3(=-X E A 得，A 的对应于3的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112ξ，当12-=λ时，有0)(=+X E A 得，A 的对应于1-的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001η⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,0112132ηη. .令()321,,ηηη=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-1321AP P AP P T，所以 T P P A 1010132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=1010211021102110212000)13()13(0)13()13(. 3. 解：因为)3,2,1(==i i A i i αα，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001),,(),,(321321ααααααA ，因此 1321321),,(300020001),,(-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ααααααA .又),,(321ααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=212122221，所以1321),,(-ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=21212222191， 故 =A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212122221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212222191⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=62225020731. 4. 解：)3)(5(61011211-+=---=λλλλD ，（1）当0≠D ，即5-≠λ且3≠λ时，方程组有惟一解.（2）当5-=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==1610155122151),(βA B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100013902151 此时3)(,2)(==B R A R ，方程组无解，（3）当3=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==1610153122131),(βA B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00001001717571778 此时2)()(==B R A R ，方程组有无限多个解.，并且通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10757871717321c x x x )(R c ∈. 四、证明题1. 证：根据伴随矩阵的性质有E A AA =*又E A A =2，所以2A AA =*，再由于A 可逆，便有A A =*.2. 证：假设A 可逆，即1-A 存在，以1-A 左乘0=AB 的两边得0=B ，这与B 是n 阶非零矩阵矛盾；类似的，若B 可逆，即1-B 存在，以1-B 右乘0=AB 的两边得0=A ，这与A 是n 阶非零矩阵矛盾，因此，A 和B 都是不可逆的.线性代数综合练习题（二）一、选择题1. 设21321,,,,ββααα是四维列向量，且m =1321,,,βααα，n =3221,,,αβαα，则=+21123,,,ββααα（ ）。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（共10小题，每题2分，共20分）1. 在线性空间R^3中，向量的维数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 无穷大2. 已知向量组{v1, v2, v3}线性无关，向量v4可以由向量组{v1, v2,v3}线性表示，那么向量组{v1, v2, v3, v4}（）。
A. 线性无关B. 线性相关C. 只存在部分线性相关D. 无法确定3. 若A是一个n×n矩阵，且满足A^2 = -I，其中I为n阶单位矩阵，则矩阵A的特征值为（）。
A. -1B. 1C. iD. -i4. 设A为n×n矩阵，若A^2=0，则（）。
A. A非奇异B. A是零矩阵C. A的特征值全为0D. A的特征向量全为05. 设A为3×3矩阵，若A的秩为2且|A|=0，则（）。
A. A的特征值必为0B. A的特征值至少有2个为0C. A的特征值可能全为非零数D. A的特征值全为非零数6. 设A为m×n矩阵，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则（）。
A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性无关C. A的列向量组线性相关D. A的行向量组线性相关7. 设A、B为m×n矩阵，若AB=0，则（）。
A. A=0或B=0B. A和B至少有一方为0C. AB为零矩阵D. AB不一定为零矩阵8. 若二次型f(x) = x^T Ax恒大于等于零，其中x为非零向量且A为n×n对称矩阵，则A（）。
A. 不一定是正定矩阵B. 一定是正定矩阵C. 一定是半正定矩阵D. 不一定是半正定矩阵9. 若矩阵A=（a1，a2，a3，...，an）为方阵，并且满足AtA=In，其中In为n阶单位矩阵，则（）。
A. A非奇异B. A为对角阵C. A为正交阵D. A为对称阵10. 对于线性方程组Ax = b，若方程组有解，则（）。
A. A的行向量数等于b的个数B. A的列向量数等于b的个数C. A的秩等于b的个数D. A的秩小于等于b的个数二、简答题（共4题，每题15分，共60分）1. 请证明：若n×n矩阵A与B的秩相等，即rank(A)=rank(B)，则AB与BA的秩也相等。
浙江理工大学线性代数综合练习题8套另加参考答案
浙江理工大学线性代数综合练习题8套另加参考答案线性代数综合练习题（一）一、单项选择题1. 对于n 阶可逆矩阵A ，B ，则下列等式中（）不成立. (A) ()111---?=B A AB (B) ())/1()/1(111---?=B A AB (C) ()111---?=B AAB (D) ()AB AB /11=-2. 若A 为n 阶矩阵，且03=A ，则矩阵=--1)(A E （）.（A ）2A A E +- （B ）2A A E ++ （C ）2A A E -+ （D ）2A A E -- 3. 设A 是上（下）三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素为（）. (A) 全都非负（B ）不全为零（C ）全不为零（D ）没有限制 4. 设 33)(?=ij a A ，+++=133312321131131211232221a a a a aa a a a a a a B ，=1000010101P ，=1010100012P ，那么（）.（A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12 5. 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内（）可由向量组其余向量线性表示. （A ）至少有一个向量（B ）没有一个向量（C ）至多有一个向量（D ）任何一个向量6. 若=210253143212A ，其秩=)(A R （）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47. 若方程b AX =中，方程的个数小于未知量的个数，则有（）. （A ）b AX =必有无穷多解（A ）0=AX 必有非零解（C ）0=AX 仅有零解（D ）0=AX 一定无解 8. 若A 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（）. （A ）1-A （B ）A 2 （C ）4A （D ）TA 9. 若满足条件（），则n 阶方阵A 与B 相似.（A ）B A = （B ）)()(B R A R = （C ）A 与B 有相同特征多项式（D ）A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同二、填空题1. 若向量组321,,ααα线性无关，则向量组321211,,αααααα+++是线性 .2. 设A 为4阶方阵，且3)(=A R ，*A 是A 的伴随阵，则0=*X A 的基础解系所含的解向量的个数是 .3. 设A 为n 阶正交阵，且0>A ，则=A .4. 设()2,1,11-=α，()5,,22k =α，()1,6,13-=α线性相关，则=k .5. 设=300050004A ，则=--1)2(E A .6. 设三阶方阵A 有特征值4，5，6，则=A ，T A 的特征值为，1-A 的特征值为 .三、计算题1. 计算行列式ba bbbb b a b b b b b a b b b b ba ----+----+2. 已知矩阵=200012021A ，求10A .3. 设三阶方阵A 满足i i i A αα= )3,2,1(=i ，其中T )2,2,1(1=α，T )1,2,2(2-=α，T )2,1,2(3--=α，求A .4.λ取何值时，非齐次线性方程组=-+=+-=-+1610522321321321x x x x x x x x x λλ （1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题1. 设A 为n 阶可逆阵，E A A =2.证明A 的伴随阵A A =*.2. 若A ，B 都是n 阶非零矩阵，且0=AB .证明A 和B 都是不可逆的.线性代数综合练习题（一）参考答案一、单项选择题1. B2. B3. C4. C5. A6. B7. B8. B9. D 二、填空题1. 无关；2. 3 ；3. 1 ；4. 3 ；5.10000003121； 6. 120 ， 4，5，6 ， 615141,, . 三、计算题1. 解：ba bbbb b a b b b b b a b b b b ba ----+----+aaa a a ab b b b a 000000-+=4000000000a ab b b a ==.2. 解：先求A 的特征值，λλλλ---=-20012021E A =)1)(3)(2(λλλ+---1,3,2321-===λλλ ，当21=λ时，由0)2(=-X E A 得，A 的对应于2的特征向量是=1001ξ，当32=λ时，有0)3(=-X E A 得，A 的对应于3的特征向量是=0112ξ，当12-=λ时，有0)(=+X E A 得，A 的对应于1-的特征向量是-=0113ξ，取=1001η-=????? ??=01121,0112132ηη. .令()321,,ηηη=P ，则-==-1321AP P AP P T，所以 T P P A 1010132????? ??-=???+--+=10102110211021212000)13()13(0)13()13(. 3. 解：因为)3,2,1(==i i A i i αα，所以=300020001),,(),,(321321ααααααA ，因此 1321321),,(300020001),,(-=ααααααA .又),,(321ααα---=212122221，所以1321),,(-ααα---=21212222191，故 =A ????? ??---212122221????? ??300020001????? ??---21212222191----=62225020731. 4. 解：)3)(5(61011211-+=---=λλλλ（1）当0≠D ，即5-≠λ且3≠λ时，方程组有惟一解.（2）当5-=λ时，????? ??-----==1610155122151),(βA B ?→?r---100013902151 此时3)(,2)(==B R A R ，方程组无解，（3）当3=λ时，?---==1610153122131),(βA B ?→?r--00001001717571778 此时2)()(==B R A R ，方程组有无限多个解.，并且通解为-+????? ??-=????? ??10757871717321c x x x )(R c ∈. 四、证明题1. 证：根据伴随矩阵的性质有E A AA =*又E A A =2，所以2A AA =*，再由于A 可逆，便有A A =*.2. 证：假设A 可逆，即1-A 存在，以1-A 左乘0=AB 的两边得0=B ，这与B 是n 阶非零矩阵矛盾；类似的，若B 可逆，即1 -B 存在，以1-B 右乘0=AB 的两边得0=A ，这与A 是n 阶非零矩阵矛盾，因此，A 和B 都是不可逆的.线性代数综合练习题（二）一、选择题1. 设21321,,,,ββααα是四维列向量，且m =1321,,,βααα，n =3221,,,αβαα，则=+21123,,,ββααα（）。
线代综合题及答案1
线性代数综合 习题一一 选择题 ( 题4分, 共40分)1. 设行列式m a a a a =22211211，n a a a a =23211311，则行列式=−−232221131211a a a a a aA. n m +B. )(n m +−C. m n −D. n m −2. 行列式162021304−−−=D 中，元素3−的代数余子式为 A. -10 B. 2 C. 10 D. 以 均 对 3. 设A 为3 方 ，且行列式2=A ，则=−A 2( ) A. 16 B. 4− C. 4 D. 16− 4. 设B A ,均为n 方 ，则 列各式正确的是 A. BA AB = B. BA AB =C. B A B A +=+D. 111)(−−−+=+B A B A5. 矩=872113112A 右乘初等矩 010100001相当于进行( )的初等变换A. 第一行 第二行互换B. 第二行 第 行互换C. 第一列 第二列互换D. 第二列 第 列互换6. 设n 方 A B 相似，以 结论正确的是A ． AB 有相同的特征向 . A B ≠ . A B 有相同的特征值 .A B 的特征值是实数7．设矩 A 的特征多项式为)3)(2)(1(+++=−λλλλE A , 则=A ( )A. -2B. 2 . 3 D. -68. 设矩 A 的秩是r , 则A ． A 中没有等于零的1−r 子式 . A 中没有等于零的r 子式C. A 中至少有一个r 子式 等于零D. A 中有 等于零的1+r 子式9. 设 −=10211a A ，−=11031b B ，且TB A =，则( ) A. 2,1==b a B. 2,3==b a C. 0,3==b a D. 0,1=−=b a10. n 维向 12,,(3)s s n ααα≤≤⋯线性无关的充要条件是A. 12,,s ααα⋯均为非零向B. 12,,s ααα⋯中任何一个向 能由其余向 线性表示C. 12,,s ααα⋯中任何两个向 的分 成比例D.12,,s ααα⋯中有一部分线性无关二 填空题 ( 题4分, 共20分)1. 矩−0132−31= 2. =362596531113. 设A 是5 方 ，若()3R A =，则线性方程 0Ax =的基础解系所含向 的个数为4. 若向 =4321α 向−=302k β正交，则=k 5. 若二次型32212322213212222),,(x x x x x x x x x x f λ++++=是正定的，则实数λ的取值 范围是10分 计算四 行列式111011011011=D 的值 四 15分 解矩 方程：求X 满足2AX A X =+，其中423110123A = − ． 五 15分 求矩−−=314020112A 的特征值和特征向线性代数综合 习题一答案一 选择题 ( 题4分,共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCDADCDCBB二 填空题 ( 题4分,共20分) 10分解： 从第2列开始，依次把 列加至 一列，得3110310130113111D =3分1101310111111= 5分11100011301010001−=− 8分111001013300111−=−=−− 10分四 10分解： 由 2AX A X =+得()A X E A =−2 3分 ()A E A X 12−−=∴5分=−121-01-13222E A 6分11223143(2)110153121164A E −−−− −=−=−− −−8分1386(2)296.2129X A E A −−−=−=−− −10分五 10分221314020112))((−+−=−−−−−=−λλλλλλE A 3分 得A 的特征值为2,1321==−=λλλ 6分(1) 11−=λ时，−→ −−=+000010101414030111E A 得基础解系 =1011α对应于11−=λ的全部特征向 为)0(111≠k k α8分 (2) 232==λλ时，−→ −−=−0000001141140001142E A 得基础解系=−=401,11022αα对应于232==λλ的全部特征向 为),(323322 同时为零k k k k αα+ 10分。
线性代数试题及答案65766
线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式=m，=n，则行列式等于( ）A。
m+n B. -（m+n)C。
n-m D. m-n2。
设矩阵A=，则A-1等于( ）A. B。
C。
D.3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵,则A *中位于（1，2）的元素是（）A。
–6 B。
6C。
2 D。
–24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有( ）A。
A =0 B. BC时A=0C。
A0时B=C D。
|A｜0时B=C5。
已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩（A T）等于（）A。
1 B. 2C。
3 D。
46。
设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1,λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B。
有不全为0的数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs(αs+βs）=0 C。
有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1—β1）+λ2（α2—β2）+…+λs(αs —βs）=0D。
有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07。
设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r—1阶子式全为0C。
至少有一个r阶子式不等于0 D。
所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1,η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（) A。
η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解C.η1—η2是Ax=0的一个解D.2η1—η2是Ax=b的一个解9。
设n阶方阵A不可逆，则必有（)A。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《线性代数》综合练习一、选择题（每小题3分，共15分）:<1>设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（ ）。
（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010； （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010； （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。
<2>设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。
<3>下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量；（C ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。
<4>设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（ ）。
（A ）34； （B ）43； （C ）21； （D ）41。
<5>任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。
（A ）合同； （B ）相似； （C ）等价； （D ）以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分） <1>设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA *=2BA *+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|= 。
<2>已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。
<3>若A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100021021b a 为正交矩阵，则a = ，b = 。
<4>设A 为n 阶矩阵，且|A|≠0，A *为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵。
若A 有特征值λ，则（A *）2+E 必有特征值 。
<5>若二次型f = 2x 12+x 22+x 32+2 x 1 x 2+t x 2 x 3是正定的，则t 的取值范围是 。
三、（15分）设有齐次线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++0)4(44403)3(33022)2(20)1(4321432143214321x a x x x x x a x x x x x a x x x x x a试问a 取何值时，该方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解。
四、（10分）设R 3的两组基为：T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ξξξ和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===ηηη，向量α=（2，3，3）T（1）求基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵；（2）求α关于这两组基的坐标。
五、（15分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ 1 = -2，λ 2 = 1（2重），α1=（1，1，1）T是属于λ1 = -2的特征向量。
试求：（1）属于λ 2 = 1（2重）的特征向量；（2）A 的伴随矩阵A *。
六、（10分）设二次型323121232221222x bx x x x ax x x x f +++++=通过正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y P x x x 化为：23222y y f +=，求a 、b 。
七、（10分）已知A ，B 为n 阶可逆方阵，且满足2A -1B=B-4E ，其中E 是n 阶单位矩阵，试证：A-2E 可逆。
并求出（A-2E ）-1=？八、（10分）设A 为n 阶矩阵，且1,1)(2211=+⋯++-=nn A A A n A r ，其中ii A 是A 中元素ii a 的代数余子式（i =1，2，…，n ）。
试证：A 的伴随矩阵A *的特征值是0和1，并说明各个特征值的重数。
《线性代数》综合练习参考答案一、选择题：<1>（D ）；<2>（A ）；<3>（A ）；<4>（B ）；<5>（C ）； 二、填空题：<1>91；<2>-1；<3> ±21， 21；<4>1||2+⎪⎭⎫ ⎝⎛λA ；<5>-22<<t三、解：A=B a aa a a a aa a a a =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++00400300211114444333322221111行 （1）当a =0时，r(A)=1<4，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：x 1+x 2+x 3+ x 4=0由此得一基础解系为：TT Ty y y )1,0,0,1()0,1,0,1()0,0,1,1(321-=-=-=， 故全部解为：332211y C y C y C X ++=（其中321,,C C C 为任意常数）……（7分）（2）当a ≠0时，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+→1004010********101004010300121111a aB 当a =-10时，r （A ）=3<4，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-040302413121x xx x x x ，解之，可得一个基础解系为：y=（1，2，3，4）T ，故全部解为：X=ky （其中k 为任意常数）……（15分）备注：此题也可另解 ∵|A|=（a +10）a 3∴当|A|=0时，即a =0或a =-10时，齐次线性方程组有无穷解。
四、解：（1）记B=（321,,ξξξ）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101110011，C=（321,,ηηη）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121211111则有：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11211001021100121001121101211110111011 从而，由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵为：A=B -1C=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡112110210121………………………（5分） （2）设α关于基321,,ηηη的坐标为（321,,y y y ） 即：0332211=++ηηηy y y由此可得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++32322321321321y y y y y y y y y ，解之得：1,1,0321===y y y ，故α关于基321,,ηηη的坐标为（0，1，1），又∵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y A x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡112110210121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211110 即α关于基321,,ξξξ的坐标为（1，1，2）…………………………（10分） 五、解：（1）设A 的属于特征值λ2=1（2重）的特征向量为（x 1，x 2，x 3）T ， 则∵A 是实对称矩阵，∴（x 1，x 2，x 3）T 与α1正交，即有：（x 1，x 2，x 3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111=0， 也即：x 1+x 2+x 3=0， 解之：α2=（-1，1，0）Tα3=（-1，0，1）T∴A 的属于λ2=1的全部特征向量为：k 1α2+ k 2α3（k 1，k 2不同时为0）………………（5分）（2） ∵A *=|A|A -1∴A *的特征值为：|A|·（-21），|A|·1（2重） 又∵|A|=-2∴A *的特征值为：1，-2（2重）………………………………（10分）A *（α1，α2，α3）=（α1，α2，α3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--221A *=（α1，α2，α3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--200020001（α1，α2，α3）-1 =1101011111200020001101011111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--323131313231313131200020001101011111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3333333333121112111120102122131 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111111111……………………………………………（15分） 六、解：f 的正交变换前后的矩阵分别为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A 和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B于是，A 、B 相似，从而有相同的特征多项式即：|λE-A|=|λE-B|…………（5分）也即：λ3-3λ2+（2-a 2-b 2）λ+（a -b ）2=λ3-3λ2+2λ，比较上式等号两边的λ各幂次项系数有：⎩⎨⎧=--=-220)(222b a b a ∴⎩⎨⎧==00b a ………………………………………………………（10分） 七、证明：∵2A -1B=B-4E左乘A ，得：2B=AB-4A …………………………………………（5分） 即：AB-2B-4A=0 ∴（A-2E ）（B-4E ）=8E 故A-2E 可逆，且（A-2E ）-1=81（B-4E ）……………………………………（10分）八、证明：∵r （A ）=n-1∴r （A *）=1………………………………………………………（2分）又∵齐次线性方程组（0E-A *）X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量， ∴0是A *的特征值，其重数不小于n-1…………………………………（5分） 另外，tr （A *）= A 11+A 22+…A nn=λ1+λ2+…λn-1+λn=1…………………………………………………………（8分）故有：1是A *的单特征值；0是A *的n-1重特征值。
………………………………………（10分）。