随机向量

Y
P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy

2x 3y 6
f(x, y)dxdy
3 1 ( 6 2 x ) 3 0
2 x
D
2
2x+3y=6
dx
0
6e
( 2 x 3 y )
6 e
0
3
1 3 y ( e 3
dy 1 ( 6 2x ) )3 dx 0
2/5
1 2/5
P
3/5
2/5
P{X=xi,Y=yj) ≠P(X=xi)P(Y=yj )
不独立
P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj )
独立
例2 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
X Y -1 0 0.05 1 0.1 2 0.1
求:(1)常数a的取值;
0
1
0.1
a
0.2
0.2

x
1

联合分布函数与边缘分布函数的关系 定义 则称 设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为 F(x,y),
FX ( x) F ( x,) P( X x, Y ) P( X x)

f (s, t )dtds ( f (s, t )dt )ds f
x
2 s
ds e
1 2 s x 1 3t y ( 1 e 2 x )( 1 e 3 y ) dt 6( e ) ( e ) 0 3 0 2
(1 e 2 x )(1 e 3 y ) 即: P ( X x , Y y ) 0
x 0, y 0 其它
以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。 2. 二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布 定义 如果二维随机向量（X,Y）的全部取值数对为有限 个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。 易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与Y分别都是一维离散型的。
联合概率分布 称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,…,)为(X,Y)的联合概率分布.其 中E={(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下: Y X x1 x2 … xi …
X Y -1 0 1 0 0.05 0.1 0.1 1 0.1 0.2 0.2 2 0.1 0.1 0.05
求:(1)X,Y的边缘分布; (2)X+Y的概率分布. 解 (1)由分析得:
X P Y -1 0.25 0 0 0.4 1 1 0.35 2
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3, P 0.25 0.5 0.25 P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05 P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2 P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4 同理,P(X+Y=2)=0.3, P(X+Y=3)=0.05 所以
特别
其中D为任意可度量区域.
在f(x,y)的连续点有
F ( x, y ) f ( x, y ) xy
2
Ae ( 2 x 3 y ) , x 0 , y 0 例5设(X,Y)～f ( x , y ) 0, 其它 试求:(1)常数 A ;(2)P{ X<2, Y<1};
P. i
.
x1 x2 xi P. j
p1. p 2. pi.
p.1 p.2 p. j
独立性 若(X,Y)的联合概率分布满足 P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj )
称X与Y独立。 例1 某盒子中有形状相同的2个白球， 3个黑球。从中 一个个取球，令 第i次取白球 1 Yi i 1,2 第i次取黑球 0 分放回或不放回情形
第3章 随机向量
•随机向量及其分布 •随机向量的联合分布函数 •随机向量的数字特征 •随机变量函数的分布
第3.1节 随机向量及其分布
例如射击一次.问击中否?击中几环?击中点的坐标?击中 点到靶心的距离? 1. n 维随机向量 以 n 个随机变量 X1，X2，…，Xn 为分量的向量 X=(X1,X2,…,Xn)称为n维随机向量。
y1
(x1,y1)
x1
(x2,y1)
x2 X
3. 连续型随机向量的联合概率密度
F(x, y) P{X x, Y y}
性质
x


y
f ( s ,t ) dtds
(1) f(x,y)≥0 ，(x,y)∈R2

D


f ( x , y )dxdy 1
(3) P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy
F(x,y )=P{X≤x,Y≤y} (x,y)∈R2
二维联合分布函数区域演示图:
Y
y
(x,y)
{ X≤x
, Y≤y
}
x
X
联合分布函数性质
(1) 0 F ( x, y) 1;
( 2) F ( ,) 1, F (,) F ( , y ) F ( x ,) 0;


f 1 ( x )dx 所以,f1(x)是X的概率密度,同理可证f2(y). a
ds
0
x
y
0
x2 y2 4stdt
x 04stdt 0 x 2 0 ds 或y (4)0≤x≤1,y>1时,F(x,y)= 2 20 0 x y 1 0 xy 1,0 y 1 综合即得: F ( x, y ) x 2 ds x 1, y 1 y 2 0 4stdt (5)x>1,0≤y≤1时,F(x,y)= 0 2 0 x 1,0 y 1 y 1 x 1, y 1
则 F(x,y)=P{X≤x，Y≤y}=
xi x y j y
p
ij
(3) P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) Y y2 (x1,y2) (x2,y2)
(3)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6. (4) P（X≤x,Y≤y）. 解 (1)

0
b d a c
0
Ae
( 2 x 3 y )
dxdy
d c

0

0
Ae e
2 x 3 y
dxdy
据 dx f ( x )g( y )dy f ( x )dx g( y )dy得
y1 p11 p21 … pi1 …
y2 p12 p22 … pi2 …
… … … … … …
yj … p1j … p2j … … … p ij … … …
联合概率分布性质 ① pij≥0 ;i,j=1,2,… ③P{(X,Y)∈D } =
②∑∑pij = 1;
( xi , y j )D
p
ij
边缘概率分布 (1) 定义 随机向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一个Xi的分布， 称为X关于Xi的边缘分布。 (2) 边缘分布列 对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为 边缘分布列。 若(X,Y)的联合概率分布为pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则 (i=1,2,...) j P{( X xi ) ( Y y j )} P( X xi ,Y y j ) pij
4 xy 例6 设(X,Y)~f ( x , y ) 0
0 x 1,0 y 1 其它
求(X,Y)的联合分布函数. 解 (1)x<0,或y<0时,F(x,y)=0
Y 1 y
(2)x≥1,y≥1时,F(x,y)=1
(3)0≤x≤1,0≤y≤1时,
4xy
x 1 X
F(x,y)=
(3)P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)
+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75
二维随机向量区域概率图: Y
2
1
P(X≤1,Y≤1} P{X≥0,Y≤1}
-1
0
1
X
例3 设(X,Y)的联合概率分布为:
j
P(X=xi)= P{( X xi ) [ ( Y y j )]}
同理
P( Y y j ) pij
i
j
j
(j=1,2,...) P(Y=yj) P. j
一般地,记: P(X=xi)
Pi .
概率分布表如下:
Y X
y1 y2 y j
p11 p12 p1 j p 21 p 22 p 2 j pi 1 pi 2 pij
(t )dt
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
边缘密度函数 对于连续型随机向量(X,Y)～f(x,y),分量X,Y的密度函数称 为边缘密度函数。 已知联合密度函数，容易求出边缘密度函数。

f X ( x) f1 ( x) f Y ( y) f 2 ( y)


f ( x, y ) dy f ( x, y ) dx
(3) P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )