第三章 随机向量及其独立性

联合分布律的性 质 ≥ 0, i, j = 1,2,L (1) p .
ij
(2)∑pi j = 1.
i, j
第三章
随机向量及其独立性
二维离散型随机向量的联合分布律全面 地反映了向量(X,Y)的取值及其概率规律 的取值及其概率规律. 地反映了向量 的取值及其概率规律 而单个随机变量X,Y也具有自己的概率 也具有自己的概率 而单个随机变量 分布. 分布 那么要问:二者之间有什么关系呢 那么要问 二者之间有什么关系呢? 二者之间有什么关系呢
第三章
随机向量及其独立性
实例2 实例
在平面坐标系中， 在平面坐标系中，一门大炮向目标发射 一发炮弹. 一发炮弹 炮弹落点位置由它的横坐标X和纵坐标 炮弹落点位置由它的横坐标 和纵坐标Y 和纵坐标 来确定. 来确定 X,Y 都是随机变量，称(X,Y )是二维随机 都是随机变量， 是二维随机 向量. 向量
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随机向量及其独立性
二 离 型 机 量 设 维 散 随 向 (X,Y)的 有 所 可 取 值 (xi , yj ), i = 1,2,L j = 1,2,L 能 的 为 , .
记 pij = P{X = xi ,Y = yj }, i = 1,2,L j = 1,2,L , .
的联合分布律， 称上式为随机向量 ( X,Y ) 的联合分布律，也 称为概率分布. 称为概率分布 若随机向量 ( X,Y ) 的的概率分布的规律 性不强，或者不能用上式表示时， 性不强，或者不能用上式表示时，还可以用 表格的形式表示如下. 表格的形式表示如下
F(x1, x2,L xn ) = P{X1 ≤ x1, X2 ≤ x2,L Xn ≤ xn} , ,
x1 , x 2 , L , x n 为任意实数
的联合分布函数, 为 X = (X1, X2, …, Xn ) 的联合分布函数 简称 联合分布. 联合分布
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随机向量及其独立性
设 n 维随机向量 ( X 1 , X 2 , L , X n )的联合分布 函数为 F ( x1 , x 2 , L , x n ).
( X , Y )关于 的边缘分布函数 . 关于Y
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随机向量及其独立性
二、相互独立的随机变量
定义1.1 定义 如果对任何实数 x, y， ，
事件{ X ≤ x }与{Y ≤ y }独立,
则称随机变量X,Y独立. 则称随机变量X,Y独立. 独立 随机变量X,Y独立 的充分必要条件是对 独立 随机变量 任何实数x,y， 任何实数 ， ( X ≤ x,Y ≤ y) = P( X ≤ x)P(Y ≤ y), P 或等价地 F( x, y) = FX ( x)FY ( y).
F ( x,−∞) = lim F ( x, y) = 0
y→−∞
F (+∞,+∞) = lim F ( x, y ) = 1
x → +∞ y → +∞
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随机向量及其独立性
(3) 对于 和y，F(x, y)都是右连续的 即对 对于x 都是右连续的，即对 都是右连续的 任意的实数x 均有 任意的实数 0和y0，均有
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随机向量及其独立性
下面将两个随机变量相互独立的定义推广 到多个随机变量的情况. 到多个随机变量的情况 定义1.2 设X 1 , X 2 , L , X n， 是随机变量. 定义 L
(1)若对于所有的 x1 , x2 , L , x n 有
P(X1 ≤ x1, X2 ≤ x2,L Xn ≤ xn ) , = P(X1 ≤ x1)P(X2 ≤ x2 )LP(Xn ≤ xn )
(1)对数集 A1 , A2 , L , An , 事件
{X1 ∈A } {X2 ∈A } L {Xn ∈A } 1 ， 2 ， ， n
相互独立. 相互独立.
(2)对 一 函 g1(x1), g2(x2 ),L gn(xn ), , 于 元 数 机 量 随 变 Y = g1(X1),Y = g2(X2 ),L Y = gn(Xn ) , n 1 2
相互独立. 相互独立
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(3)对 k元 数 (x1, x2 ,L xk ), , 于 函 ϕ 机 量 随 变 ϕ(X1, X2,L Xk ), Xk+1, Xk+2,L Xn , ,
相互独立. 相互独立
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三、 n 维随机向量
定义1.3 设X = (X1, X2, …, Xn) 是n维随机向量， 维随机向量， 定义 维随机向量 n 上的n元函数 称 R 上的 元函数
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随机向量及其独立性
二 离 型 机 量 设 维 散 随 向 (X,Y)的 有 所 能 的 为 , . 可 取 值 (xi , yj ), i = 1,2,L j = 1,2,L
pi, j = P{X = xi ,Y = yj } =, i = 1,2,L j = 1,2,L , .
随机变量 X 的概率分布为
( X , Y )关于 的边缘分布函数 . 关于X
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随机向量及其独立性
知 已 (X,Y)的 布 如 确 Y 的 布 分 , 何 定 分 ?
F ( x, y ) = P ( X ≤ x, Y ≤ y ) ,
FY ( y ) = P(Y ≤ y )
P(Y ≤ y) = P ( X < +∞, Y ≤ y ) = F ( +∞ , y ) = FY ( y )
第三章
随机向量确 X 的 布 分 何 定 分 ?
F ( x, y ) = P ( X ≤ x, Y ≤ y ) ,
FX ( x ) = P( X ≤ x )
P( X ≤ x) = P ( X ≤ x, Y < +∞)= F ( x ,+∞ ) = FX ( x )
对于任意固定的 x ,当 y 2 > y1时, F ( x , y 2 ) ≥ F ( x , y1 ).
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随机向量及其独立性
( 2) 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1, 且
对于任意固定的 y ,
F (−∞, y ) = lim F ( x, y ) = 0
x →−∞
对于任意固定的 x ,
一、二维离散型随机向量及其分布
一般地，如果X,Y都是离散型随机变量， 都是离散型随机变量， 一般地，如果 都是离散型随机变量 就称(X,Y)是二维离散型随机向量 是二维离散型随机向量. 就称 是二维离散型随机向量 二维离散型随机变量(X,Y)全部可能取到 全部可能取到 二维离散型随机变量 的不相同的值是有限对或可列无穷多对. 的不相同的值是有限对或可列无穷多对
则称 X 1 , X 2 , L , X n 是相互独立的 .
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随机向量及其独立性
如果对任何 n, X 1 , X 2 , L , X n 相互独立 ,
就称随机变量序列 { X j } = { X 1 , X 2 , L , X n , L}
此时称{X 是独立序列 是独立序列. 相互独立 . 此时称 j}是独立序列
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实例1 实例 为了研究某一地区 6 岁
儿童的发育状况， 儿童的发育状况，对这一地区 的儿童进行抽查. 的儿童进行抽查 对这一地区的每一个6 对这一地区的每一个 岁儿童 都能观测到他的身高H和体重 和体重W， 都能观测到他的身高 和体重 ， 身高H和体重 都是随机变量， 身高 和体重W 都是随机变量， 和体重 是二维随机向量. 则 (H, W )是二维随机向量 是二维随机向量
F ( x, y) = P ( X ≤ x,Y ≤ y)
的联合概率分布函数， 为(X,Y)的联合概率分布函数，简称联合分布 的联合概率分布函数 简称联合分布.
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随机向量及其独立性
F ( x, y) = P ( X ≤ x,Y ≤ y)
若将( X , Y )看成是平面上随机点的 坐标, 则分布函数 F ( x , y ) 在点( x , y ) 处的函数值就
x → x0 y → y0
lim+ F ( x , y ) = F ( x 0 , y )
lim+ F ( x , y ) = F ( x , y0 )
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随机向量及其独立性
3. 二维随机向量的边缘分布函数
分别称 X的分布函数 FX ( x ), Y的分布函数 FY ( y )为( X , Y )关于 X和关于 Y的边缘分布函数 .
是随机点落在以点 ( x , y )为顶点的左下方 无穷矩形区域内的概率 .
y
( x, y) •
{X ≤ x,Y ≤ y}
o x
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2. 分布函数的性质
(1) F ( x , y ) 是变量 x 和 y 的不减函数 .
对于任意固定的 y, 当 x2 > x1 时, F ( x2 , y ) ≥ F ( x1 , y ),
说明
二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关 而且还依赖于这两个随机变量 有关,而且还依赖于这两个随机变量 的相互关系. 的相互关系
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随机向量及其独立性
一般地， 都是随机变量， 一般地， 若X1, X2, …，Xn都是随机变量， 维随机向量， 则称 X = (X1, X2, …，Xn) 为n维随机向量， 维随机向量 简称随机向量. 简称随机向量
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随机向量及其独立性
对随机事件 A , B , A1， A2， ， An， 以后用 L
{ A , B }表示 AB ,
n
{ A1， A2， ， An }表示 I Ai . L
i =1
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一、二维随机向量及其 联合概率分布函数
1. 对于随机向量 对于随机向量(X,Y),称 称
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随机向量及其独立性
容易理解， 容易理解， 当X 1 , X 2 , L , X n是来自相互
随机变量时， 独立进行的随机试验的 随机变量时，
它们相互独立 . 常数与任何随机变量相互独立. 常数与任何随机变量相互独立
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定理1.1 定理
设X 1 , X 2 , L , X n相互独立 .
pi = P { X = x i }
设FX i ( x i )为 X i 的边缘分布函数 , i = 1,2, L , n.
则 X 1 , X 2 , L , X n 相互独立的充分必要条 件 是
F(x1, x2,L xn ) = FX1 (x1)FX2 (x2 )L Xn (xn ). , F
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§ 3.2
离散型随机向量及其分布
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随机向量及其独立性
联合分布和边缘分布的关系
由联合分布可以确定边缘分布; 由联合分布可以确定边缘分布 但由边缘分布一般不能确定联合分布. 但由边缘分布一般不能确定联合分布 两个随机变量相互独立时，它们的联合 两个随机变量相互独立时， 相互独立时 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积. 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 在两个随机变量相互独立的情况下， 在两个随机变量相互独立的情况下，由 边缘分布可以唯一确定联合分布. 边缘分布可以唯一确定联合分布
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随机向量及其独立性
第 3 章 随机向量及其独立性
从本讲起，我们开始第三章的学习 从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广. 它是第二章内容的推广 一维随机变量及其分布
n 维随机变量及其分布
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§ 3.1 随机向量及其联合分布
到现在为止， 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量 及其分布. 及其分布 但有些随机现象用一个随机变量来 描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 描述还不够，而需要用几个随机变量来描述
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随机向量及其独立性
二维随机向量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
Y
y1 y2 M yj M
X
x1
p 11
p 12 M
x2
p 21
p 22 M
L
L
L
xi
pi1
pi2 M
L
L
L
p1 j
p2 j
L
p ij
L
M
M
M
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随机向量及其独立性
设离散型随机向量 ( X , Y )的概率分布为 P { X = x i , Y = y j } = pij , i , j = 1,2 , L .
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实例3 实例
在三维空间中， 在三维空间中，飞机的重心 在空中的位置是由三个随机变量 (三个坐标 三个坐标X,Y,Z ）来确定的 来确定的. 三个坐标 X,Y,Z 都是随机变量，则称 都是随机变量，则称(X,Y,Z )是三 是三 维随机向量. 维随机向量
第三章
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