第三章 随机向量

(4) F(x,y)对每个变元是右连续的
例3.1.1
已知 ( X ,Y ) 的联合分布函数是：
x y , 当 0 ＜ x ,y ＜ 1 x ， 当 0 ＜ x ＜ 1，y ≥ 1 y ， 当 0 ＜ y ＜ 1，x ≥ 1 1， 当 x≥1，y≥1 0， 其它
F ( x,y ) =
问 X、Y 至少有一个不大于 0.4 的概率。 解. 分析， 要计算 p = P { (X ≤0.4)∪(Y ≤0.4) }，利用加法公式，
随机变量 ( X ,Y ) 的概率性质除了与每一个分量
有关外，还依赖于这两个分量之间的相互关系。
二.
1.
联合分布函数
联合分布函数的定义
定义3.1.1 设( X ,Y ) 是二维随机变量，对于任意
的两个实数 x、y ，二元函数
F (x ,y) = P { X ≤ x , Y ≤ y } 称为随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数，或者也称 随机变量 X、Y 的联合分布函数 联合分布函数是对随机变量性质的完整刻划， 本质上是两个随机事件交事件的概率。
例3.2.1 对于例3.1.2中的(X,Y)，求关于X和关于 Y的边缘分布律。
三. 二维连续随机变量的边缘分布
设( X ,Y )是二维连续随机变量，其联合密度函数为
f (x,y)， – ∞ ＜ x ，y ＜ + ∞ 1 X 的边缘密度函数 fX (x)
f X ( x)
2


f ( x, y )dy, x ,

f (u , u , u )du du du
1 2 n 1 2
xn
n
f ( x1 , x2 , xn ) 则称 ( X1 , X 2 , 是 维连续型随机变量. Xn n) Xn ) X的联合 称为 ( X1 , X 2 ,的密度函数，或称为 1 , X 2 , X n 密度函数。
1. 离散随机向量的联合分布律
定义3.1.2 设二维离散型随机变量(X,Y)的可能的 取值为 ( xi , y j ), i , j 1,2, , 且取这些值的概率为
pij P{ X xi ,Y y j }, i , j 1,2,
则称 pij 为(X,Y)的联合概率函数或联合分布律 （或联合分布）
① 联合分布律实质上仍然是随机事件交事件的概率， ② { X = xi ，i ≥ 1 } 与 { Y = yj ，j ≥ 1 } 分别都是对
样本空间的划分。
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2. 二维联合分布律的表格形式 X Y x1 … xi … y1 p11 … pi1 … … … … … … pij … yj p1 j … … … …
二. 二维离散随机变量的边缘分布
设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其概率分布为：
P { X = ai ,Y = bj } = p i j ，i、j = 1，2，…. 。 X 的边缘分布律 { p i ·，i ≥1}
1
P { X = ai }= ∑j ≥1 P { X = ai ,Y = bj } = ∑j ≥1 pi j = p i · 2 Y 的边缘分布律 { p ·j ，j ≥1} P { Y = bj }= ∑i ≥1 P { X = ai ,Y = bj } = ∑i ≥1 pi j= p ·j
解：圆域x 2 y 2 4的面积d 4，因此( X , Y )的概率 密度函数为 1 2 2 ,当x y 4时， f ( x , y ) 4 0， 当x 2 y 2 4时. 则有， 1 1 P{( X , Y ) A} dxdy 4 4 A
D o x
例3.1.2 设(X,Y)的概率密度函数为
ce ( x y ) , x 0, y 0 f ( x, y) 0, 其它
其中c是常数。 (1) 求常数c； (2) 计算P{0<X<1,0<Y<1}.
3. 常见的二维连续型随机变量 1） 二维均匀分布 定义3.1.3：设D为平面上有界区域，其面积A>0 ，若二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为
p = P { X ≤0.4 } + P { Y ≤0.4 } – P { X ≤0.4∩Y ≤0.4 }
= F (0.4,+ ∞) + F (+ ∞,0.4 ) – F ( 0.4,0.4 ) = 0.4 + 0.4 – 0.4×0.4 = 0.64 .
□
三、二维离散型随机变量 如果二维随机变量 ( X ,Y ) 的每个分量都 是离散型随机变量，则称 ( X ,Y ) 是一个离 散型二维随机变量。二维随机变量 ( X ,Y ) 所有可能的取值是有限对或者无穷多对数.
2. 利用联合分布函数计算概率 P { x1 ＜ X ≤ x2 , y1 ＜ Y ≤ y2 } = F (x2 , y2 ) + F (x1 ,y1 ) – F (x1 ,y2 ) – F (x2 ,y1 ) 思考1
y y2 y1 o – + x1 + – x2 x
{ X ≤ x,Y ≤ y } 的对立事件是否{ X ＞ x,Y ＞ y }？ 思考2 从 F (x , y ) 能不能计算出 P { x1 ＜ X ≤ x2 }？
第三节 条件分布
两个随机变量之间的随机相依关系 身高 X 与体重 Y 的关系； 条件分布主要用来研究随机变量的相依关系
一. 离散型随机变量的条件分布
定义3.3.1 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为 P { X = ai ,Y = bj } = p i j ，i、j = 1，2，…. 。 p. j 0 若对固定的j(j=1,2,…),有边缘分布 P{Y b j },称 pij P{ X ai | Y b j } , i 1,2, p j b j X的条件分布律。 为在 Y 条件下 P{X ai } pi . 0 类似地,若对固定的i,(i=1,2,…),有 pij 称 P{Y b j | X ai } , j 1,2, pi 为在 X 条件下 Y的条件分布律。 ai

定理3.1.1 (联合分布函数的性质) 设F(x,y)是任 一随机向量(X,Y)的分布函数，则 (1) 0 F ( x, y ) 1
(2) F(x,y)分别关于x及y单调不减，即当 x1 x2 F ( x1 , y) F ( x2 , y), 当 y1 y2，F ( x, y1 ) F ( x, y2 ) 时， (3) F (,) F (, y) F ( x,) 0, F (,) 1
第一节
二维随机变量
一. 随机变量的定义
随机向量主要用来描述用一维随机变量不能 完全刻划的随机现象。 例如，炼钢时，每炉钢含碳量，含硫量，硬度 三个指标组成的三维随机向量 ； 导弹的落点与目标之间的误差：由两个连续随 机变量组成的二维随机向量 ；
以及更一般的多维随机向量 。
二维随机变量 如果 X 、Y 都是定义在同一个样本空间中的 随机变量，则它们构成的向量 ( X ,Y ) 就称为一个 二维随机变量。

条件分布的性质 1）非负性 0 P{ X ai | Y bj } 1, 0 P{Y bj | X ai } 1
,
x ,
Y的边缘密度函数为
fY ( y ) 1 2 2
( x 2 )2 2 2 2
e
,
y ,
定理3.2.2 ：设 ( X ,Y ) ~ N (1 , 2 , 12 , 22 , ) ,则X及 2 Y ~ N ( 2 , 2 ). Y的边缘分布有 X ~ N (1 , 12 )， 该定理说明：随机向量(X,Y)的联合密度一 般不能由其两个边缘密度唯一确定.
x


y
f (u, v )dudv.
则称( X ,Y )为二维连续型随机变量，称f (x,y) 为二维 连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度函数，简称概率 密度。
2. 联合密度函数的基本性质
(1) f (x,y) ≥ 0 ；
(2)



f ( x, y )dxdy 1.

则对任一实数对（x,y），有
F ( x, y)
xi x y j y
p
ij
例3.1.1 p77例1。
四、 二维连续型随机变量
1. 联合密度函数的定义 定义3.1.3 对于二维随机变量( X ,Y )，如果存在一个 非负可积的函数 f (x,y) ，使得对任意的实数 x、y有，
F ( x, y )
Y 的边缘密度函数 fY (y)
fY ( y )


f ( x, y )dx, y .
例3.2.2 设(X,Y)是二维正态随机向量，求它的分 量X和Y的边缘密度函数。 结论：X的边缘密度函数为
f X ( x)
1 e 2 1 ( x 1 ) 2 2 1 2

F ( x1 , x2 , , xn ) P{ X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn }
xn ) 定义3.1.6 如果存在非负可积函数 f ( x1 , x2 , ， 使得,

F ( x1 , x2 , xn )
x1 x 2
第二节 边缘分布
一. 边缘分布函数
随机变量 ( X ,Y ) 的两个分量 X、Y 都是一维随机 变量，它们自身所具有的概率分布就称为是( X ,Y ) 关 于 X 与Y 的边缘分布。 显然，边缘分布函数被联合分布函数唯一地确定
FX (x) = F ( x,+ ∞ )， FY (y) = F (+ ∞,y)
则称(X,Y)服从参数为 1 , 2 , 12 , 22 , 的二维正态分布 记为( X ,Y ) ~ N (1 , 2 , 12 , 22 , ) 。其中，(1 , 2 ) R, 1 0,
2 0, | | 1.
4. n维随机变量
Xn 定义3.1.5：设 X1 , X 2 ,是定义在同一概率 P ) n个随机变量，则称 空间 ( S , F ,上的 ( X1 , X 2 , X n ) 是n维随机变量。 Xn ) n维随机变量 ( X1 , X 2 ,的联合分布函数为
1 , 当( x , y ) D , f ( x, y) A 0, 当( x , y ) D ,
则称(X,Y)服从D上的(二维)均匀分布.
2 2 x y 4上的均匀分布， 例3.1.3 设(X,Y)服从圆域
计算 P{( X ,Y ) A}，这里A是图3.3.1中阴影部分的 区域。
3.
联合分布律的两个性质
(1) 对任意的 i、j，都有 pi j ≥ 0 , (2)
p
j 1 i 1
ij
1
(3) 二维离散型随机向量的分布函数与概率分布的关系: 一般地，若(X,Y)是离散型的，有分布律
P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,,
(3) 如果联合密度函数在点 (x,y) 连续，则有 2 F (x,y) f (x,y) = —————— x y
(4) 假设 D 是平面上的任意一个区域，则点( X ,Y )
落在 D 内的概率，
P {( X , Y ) D } f ( x , y )dxdy .
D
f (x,y) y
dx
0
1
1 x
0
1 dy . 8
2） 二维正态分布 定义3.1.4：若二维随机变量(X,Y)的密度函数为
f ( x, y) 1 2 1 2 1 e xp 2 2 2 ( 1 ) 1
( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 2 , 2 2 1 2 2 1 x , y .