第三章 随机向量

y
F ( , ) x lim F ( x , y ) 0,
y
F ( , ) x lim F ( x , y ) 1.
y
3o F ( x , y ) F ( x 0, y ), F ( x , y ) F ( x , y 0 ), 即 F ( x , y ) 关于 x 右连续 , 关于 y 也右连续 .
3 128
二、二维离散型随机变量
1. 定义
若随机向量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对 或无限可列多对, 则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机 变量. 二维离散型 ( X, Y )的每一个分量都是离散型 随机变量.
2. 二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i , j 1, 2,, 记 P { X xi , Y y j } pij , i , j 1, 2,, 称此为二维离散型随机 变量 ( X ,Y ) 的分布律 , 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律 .
回顾 X 的分布函数 F ( x ) P( X x )
类似定义 n 维随机变量（X1，X2，…，Xn)的分 布函数:设（X1，X2，…，Xn）是n维随机变量，对 任意实数x1，x2，…，xn，称n元函数F(x1,x2,…,xn)= P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}为n维随机变量(X1，X2， …，Xn)的联合分布函数。
即联合分布律为 Y X 0 0
a(a 1) (a b)(a b 1)
1
ab ( a b )( a b 1)
1
ab ( a b )( a b 1)
b(b 1) (a b)(a b 1)
P59例2 设二维离散型随机变量（X，Y）的分布律 如下表所示： X Y 1 2 3 4 0.1 0 0.1 0 0.3 0 0.1 0.2 0 0.2 0 0 1 2 3
——联合分布函数
( X,Y ) 中的 X、Y 都是随机变量，因
而也有各自的分布函数 FX (x )、FY (y). ——边缘分布函数 关于随机变量 X 与Y 的分布称为边缘 分布，是相对于( X,Y )的联合分布而言的.
问题 :已知 ( X ,Y ) 的分布 , 如何确定 X ,Y 的分布 ?
F ( x , y ) P { X x ,Y y } , F ( x ) P { X x },
(2) X: 0 , 1, Y: 0 , 1
P( X 0, Y 0) P( X 0) P(Y 0 X 0) a a -1 a(a 1) a b a b 1 (a b)(a b 1) P( X 0, Y 1) P( X 0) P(Y 1 X 0) ab a b a b a b 1 (a b)(a b 1)
4 对于任意 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), x1 x 2 , y1 y 2 ,
o
P{ x1 X x2 , y1 Y y2 }
F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ).
F ( x , y ) 的函数值就是随机点落 在如图所示区 域内的概率 .
y
( x, y)
X x ,Y y
o
x
F ( x, y ) P{ X x, Y y}
(2) 分布函数 F ( x, y ) P{ X x, Y y} 的性质
1o F ( x , y ) 是 x 和 y 的不减函数 . 即
练习
设 ( X, Y ) 的分布函数为
1 2 x 2 y 2 x y , x 0, y 0 F ( x, y ) 其它 0,
求 P{1 X 2, 3 Y 5}.
答案:
P(1 X 2,3 Y 5) F (2,5) F (1,3) F (1,5) F (2,3)
0 Y 1
如果第二次取出的是正品 如果第二次取出的是次品
第一次取出的产品仍放回去; 第一次取出的产品不放回去; 在上述两种情况下分别求出二维随机变量(X, Y)的 联合分布律. 解 (1) X: 0 , 1, Y: 0 , 1
P ( X 0, Y 0) P ( X 0) P (Y 0 X 0) a a a a b a b (a b) 2
求P{X＞1，Y≥3}及 P{X=1}.
解 P{X＞1，Y ≥3} = P{X =2，Y =3}+P{X =2，Y =4} +P{X =3，Y =3}+P{X =3，Y =4} = 0.3； P{X=1} = P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2} +P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4} = 0.2.
j 1
i 1,2, , j 1,2, ,
p j pij P {Y y j },
i 1
分别称 pi ( i 1,2,) 和 p j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 .
Y
X
x1
x2

xi

y1 y2 yj
P( X 1, Y 1) P ( X 1) P (Y 1 X 1) b b b2 2 a b a b ( a b)
即联合分布律为 Y X 0 1 0 1
a2 ( a b) 2
ab ( a b) 2
ab (a b)2
b2 ( a b) 2
X (e )
图示

e
Y (e )
实例1 炮弹的弹着点 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量.
实例2 考查儿童的发育情况 , 则身高 H 和体重 W 就构成二维 随机变量 ( H, W ). 说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于X 、Y的相互关系.
P { X x } P { X x , Y } F ( x , ) FX ( x )
( X ,Y )关于 X的边缘分布函数 .
1、定义 设 F ( x , y ) 为随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 ,
则
F ( x , y ) P { X x ,Y y } .
y , 当 x2 x1 时 F ( x2 , y ) F ( x1 , y ),
x , 当 y 2 y1时 F ( x , y 2 ) F ( x , y1 ).
2o 0 F ( x , y ) 1,
且有
x
对于任意固定的 y , F (, y) lim F ( x, y) 0, 对于任意固定的 x , F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
p 11 p 12 p1 j
p 21 p 22 p2 j


p i1 pi2 p ij





P { X xi }
p ij , i 1 , 2 , ; j 1


P{Y y j } pij , j 1,2,.
i 1
因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分 布函数分别为
练习：p75 1、2、3 p77 16(1)
说明 离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为
F ( x, y) pij , x x y y
i j
其中和式是对一切满足 x i x , y j y 的 i , j 求和.
第二节 边缘分布
( X,Y ) 的分布函数 F( X,Y ).
2
P ( X 1, Y 0) P ( X 1) P (Y 0 X 1) b a ab a b a b ( a b) 2
P( X 0, Y 1) P( X 0) P(Y 1 X 0) a b ab a b a b ( a b) 2
令 y , 称 P { X x } P { X x ,Y } F ( x , ) 为随机变量 ( X ,Y ) 关于 X的边缘分布函数 .
记为 FX ( x ) F ( x , ).
同理令 x , FY ( y ) F ( , y ) P{ X ,Y y } P {Y y }
( X,Y ) 的分布律也可表示为
Y
y1 y2 yj
X
x1 p 11
p 12
x2 p 21
p 22



xi pi1
pi2



p1 j

p2 j


p ij


其中 pij 0,
pij 1. i 1 j 1


P58 例1 箱子里装有a件正品和b件次品.每次从箱 子中任取一件产品,共取两次.设随机变量X和Y的定义 如下: 如果第一次取出的是正品 0 X Biblioteka Baidu 如果第一次取出的是次品 1
为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
一、二维离散型随机变量的边缘分布
定义
律为 记 设二维离散型随机变量 ( X ,Y )的联合分布 P { X x i ,Y y j } pij , i , j 1,2, . pi pij P { X x i },
二、二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义
设 ( X , Y ) 是二维随机变量 , 对于任意实数 x, y , 二元函数
F ( x, y ) P{( X x ) (Y y )} P{ X x, Y y}
称为 ( X , Y ) 的分布函数 , 或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数 .
x1 X x2 , y1 Y y2
y
X x1 , Y y2
y2 y1
X x2 , Y y 2 X x2 , Y y1
o
x1
x2
x
P { x1 X x2 , y1 Y y2 }
F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 )
P( X 1, Y 0) P( X 1) P(Y 0 X 1) b a ab a b a b 1 (a b)(a b 1)
P ( X 1, Y 1) P ( X 1) P (Y 1 X 1) b b 1 b(b 1) a b a b 1 ( a b)( a b 1)
类似地定义n维随机向量或n维随机变量（n>2）. 设E是一个随机试验，它的样本空间是Ω ={e}，设 随机变量X1（e），X2（e），…，Xn(e)是定义在同 一个样本空间Ω上的n个随机变量，则称向量（X1 （e），X2（e），…，Xm(e))为Ω上的n维随机向量 或n维随机变量.简记为（X1，X2，…，Xn）.
第一节 多维随机变量及其分布函数
一、二维随机变量 二、二维离散型随机变量其分布函数
实际中，很多随机现象涉及到 多个随机变量，因而仅用一个随机 变量来描述它，显然是不够的. 对于同一随机试验所涉及到的 多个随机变量，各自反映试验的某 个侧面，它们之间是有联系的,不能 孤立看待. ——n维随机向量或n维随机变量.
一、二维随机变量
设 E 是一个随机试验 , 它的样本空间是 {e} , 定义 设 X X (e) 和 Y Y (e) 是定义在 上的随机变量 , 由它们构成的一个向量 ( X , Y ) , 叫作二维随机向量.
例如 考查成年人的身高体重 e , 就要用二维随机变量 ( X, Y )描述.