第三章 随机变量与随机向量

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二、随机变量的概率分布函数与概率密度函数 1、概率分布函数定义 描述了X(s)小于等于
FX ( x) PX ( s) x
x这一事件的概率
性质1 区间概率特性（随机变量出现在某区间的概 率）
Pa X b F (b) F (a)
X
F (b) PX b
F ( a ) P X a



( x)dx 1
x0 其它
13
1 U ( x) 0

例3.3 离散型随机变量X的概率密度函数为
f ( x) 0.2 ( x x1 ) 0.3 ( x x2 ) 0.1 ( x x3 ) 0.4 ( x x4 )
F ( x) 0.2U ( x x1 ) 0.3U ( x x2 ) 0.1U ( x x3 ) 0.4U ( x x4 )

FX ( x) F (
x aX
X
)
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则
175 169 .7 P X 175 1 F ( ) 1 F (1.293 ) 4 .1
查表
1 0.9015 0.0985
（2）设5人中至少有Y人身高大于175cm，则Y是 服从（5,p）的二项式分布，p=0.0985
f (x)
0.3 0.2
0.4
0.1
x
x1
x2
x3
F (x)
x4
1.0 0.6 0.5 0.2
x
x1
x2
x3
x4
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三、 典型的概率密度函数
1、二项式分布 每次实验结果互不影响
进行n次独立实验，每次观察事件B是否出现， 设事件B出现的概率为p，不出现的概率为q=1-p， n次独立实验中，事件B出现的次数K是随机的，则 K是二项式分布的随机变量。K=k的概率为
3、均匀分布 随机变量X，取值 x a, b 。若X在 a, b 范围内 各处出现的可能性相同，则称X在 a, b 均匀分布。
1 f ( x) b a 0 x a, b 其它
1 ba
f (x)
x
a
b
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4、指数分布 指数分布随机变量X，其概率密度函数为
0.0036


例3.6 判断下面的函数可否作为概率分布函数。
x 1 exp( ) G ( x) 2 0 x0 x0
解：函数G(x)作为概率分布函数必须要满足4个条件： G （1） () 1 (2) G() 0 x （3）1 x2 , 则G( x1 ) G( x2 ) G （4） ( x 0) G( x)
x
x0
（2） PX 1 1

1 x 1 1 e dx e 2 2
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离散型随机变量的概率密度函数和分布函数
f ( x) pi ( x xi ) pi P X xi
K k 1 i 1 K
i 1, 2, K
F ( x) P X x piU ( x xi ) ( x) 0 x0 其它
PK k C5k (0.3) k (0.7)5k PX 0.6k
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（2）
P系统过载 Pk 4 Pk 5
5 C54 (0.3) 4 (0.7)1 C5 (0.3) 5 (0.7) 0
X 0.6k , X 2W , k 4,5
Ps s2 40 100 0.4
Ps s3 15 100 0.15
Ps s4 15 100 0.15
5

（2）
E V R r0 R
RV 2.0V ,3.4V ,6.0V ,8.0V
随机变量V取各值的概率，就等于选取相应的 电阻值的概率
PY 1 1 PY 0 1 (1 p)5 0.4046
1 PY 1 C5 p1 (1 p) 4 0.3253
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6、瑞利分布 随机变量R若是瑞利分布的，其概率密度函数为
r b exp( r 2 2b) f (r ) 0 r0 其它
例3.1 一个盒子里装有电阻器，阻值如下表示。若 随意地选取一个电阻器作为R接入如图所示的分压 器中，试确定： （1）从盒子中任意选取一电阻器作为R的实验中， 样本空间S及其各基本实验结果出现的概率。 （2）经过分压器变换之后，随机变量V的值域空间 Rv和各基本结果的概率。

500 阻值（ ） 100 200 500 电阻器个数 30 40 15 15
标准正态分布
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f x
5
5
f x
0.5
0.798
0.399 0.266
1.0 1.5
0
a
a1
x
0
a
x
1. f ( x)关于x a对称 2. f max ( x) f (a ) 3. lim f ( x) 0
x a
1 2
称 a 为位置参数（决定对称轴的位置） 为形状曲线（决定曲线形状）
第三章 随机变量与 随机向量
关键词：随机变量
随机向量
概率分布函数
概率密度函数
随机变量的函数 随机变量的数字特征
1
§3.1 随机变量、随机向量及其概率分布

一、随机变量与随机向量
随机变量的定义 进行一个随机实验E ,观察实验结果。我们用s 表示基本可能实验结果，用S表示实验的样本空间。 若有实函数X(s)，将基本可能实验结果s与一个实 数x对应起来，且具有函数关系：X(s)=x，X(s)称 为该随机实验E的随机变量。
ae ax f ( x) 0 x0 其它
a
a e
f (x)
x
1 5、正态（高斯）分布 正态分布的随机变量X，其均值为 a ，方差 为 2 ，其概率密度函数为
f ( x)
( x a) 2 exp 2 2 2 2 1
f ( x)
1 x2 e 2
A, A, P A 1 6
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2、泊松分布 观察二项式分布的随机变量K的n次独立实验 中，若n无限增大，每次独立实验中，事件B出现的 概率p无限减小。但 np 不变，那么事件B出现 的次数K=k的概率为
P(k )

k
k!
e , f ( x)
k 0

k
k!
e ( x k )
中心问题：将实验结果数量化
2
2.通过随机变量，基本可能 结果给定的事件及其概率， 变成了随机变量取值给定的 事件及其概率
样本空间 S 随机变量 s1
随机变量值域RV x1 x2 xi
s2 si
X (s)
1.通过随机变量， 样本空间S映射成 了随机变量的值 域Rv
3

常见的两类随机变量：离散型与连续型
4

+
12V E
r0
R
V _
1000
解（1）基本可能结果有4个，
s1 ( R 100 ), s2 ( R 200 ), s3 ( R 500 ), s4 ( R 1000 )
样本空间

S s1 , s2 , s3 , s4
基本实验结果出现的概率为
Ps s1 30 100 0.3
实验在相同的条件下进行
Pn (k ) C p q
k n k n nk
n! p k q nk k!(n k )!
n k 0
k f ( x) Pn (k ) ( x k ) Cn p k q n k ( x k ) k 0
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例如： 1.独立重复地投掷n次硬币，每次只有两种可能结 果： 正面，反面， P出现正面 1 2 2.将一颗骰子投掷n次，设A为出现1点的事件， 则每次实验只有两个结果：


阴影面积 为1

f ( x)dx 1
x
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一个很有用的比喻
将“概率”比喻成“质量” 在一条直线上分布总质量为1的物质 概率分布函数

分布在x左边的总质量

概率密度函数
在x处的概率的密度
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例3.2 已知随机变量X的概率密度函数为
1 x f ( x) e , x 2
PV 2.0V Ps s1 0.3
PV 3.4V Ps s2 0.4
PV 6.0V Ps s3 0.15
PV 8.0V Ps s4 0.15
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随机向量 随机实验的基本可能结果s，经过一个映射， 就是随机变量，那么经过两个或两个以上的实函数 映射，得到两个或两个以上的随机变量，这些随机 变量就组成了随机向量。
求（1）X的分布函数F(x); （2） PX 1 解（1） x F ( x) f ( )d

1 1 x F ( x) e d e x0 2 2 0 1 x1 1 F ( x) e d e d 1 e x 2 0 2 2
X( s) ( X 1 ( s), X 2 ( s), X k ( s))
注意：随机向 量都定义在同 一样本空间上
例如：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。
a
b
F (b) F (a ) PX b PX a Pa X b
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性质2 单调递增性。 性质3 极限特性。
F () PX 1 F () PX 0
性质1 2 3是概率分布 性质4 右连续性。 函数必须具备的特性。
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X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。 当固定a时，σ 越大，曲线的峰越低，落在a附

近的概率越小，取值就越分散， ∴ σ 是反映X的取值分散性的一个指标。
在自然现象和社会现象中，大量随机变量 服从或近似服从正态分布。
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例3.4 设某地区男子身高 X (cm) ~ N (169 .7,4.12 ) ， （1）从该地区随机找一男子测身高，求他的身高 大于175cm的概率。 （2）若从中随机找5个男子测身高,问至少有一人 身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于 175cm的概率为多少？ 解：（1） X 175 1 PX 175 1 FX (175) P 为了用书末的概率积分表计算 FX (x) ，需要对 X F 归一化， (x)是归一化的正态概率密度函数。
r
f (r )
0 .6 b
7 、柯西分布 b 随机变量Z若是柯西分布的，其概率密度函数为
1 f ( z) 2 2 a z a a0
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例 3.5 一个电子服务系统为5个用户服务。若一个 用户使用系统时，系统输出功率为0.6W，而且各 用户独立使用系统，使用概率均为0.3。 （1）求电子服务系统输出功率的概率； （2）系统输出大于2W时，系统过载，求其过载概 率。 解（1）设输出功率为X，与使用系统的用户数有 关，且X=0.6K ,K取0，1，2，3，4，5，则输出功 率也相应的为0W，0.6W，1.2W，1.8W，2.4W， 3.0W 。输出功率X的概率等于使用系统的用户数K 的概率。在该系统中，使用的用户数K是一个二项 式分布的随机变量。
P X A

( A)
f ( x)dx
b
Pa X b F (b) F (a )
b
f ( x)dx
a

f ( x)dx
f ( x)dx

a
f ( x)dx f ( x)dx
a
b
性质2 非负性。 性质3 归一性。
f (x)
2、概率密度函数定义 概率分布函数为 F (x) 的随机变量 X ，其概率 密度函数是满足 的 f (x)
F ( x) f ( x)dx
x
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dF ( x) PX ( x, x x) f ( x) lim x 0 dx x x 0
描述的是 x 点附近单位长度所占有的概率，或者说 是概率在 x 点处的概率的密集程度。 性质1 区间概率特性。