数列通项公式的常见求法(教师版)
求数列通项公式的十种方法(教师版)
专题----通项公式的求法总述：求数列通项的方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、一、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+转换成1()n n a a f n +-=，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解；由1231nn n a a +=+⨯+得1231nn n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n 练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和 n a n 12-=二、累乘法1.适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列2．若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a af f f n a a a +=== ，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏例3 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
数列通项公式的常见求法
数列通项公式的常见求法数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的。
通项公式是描述数列中每一项之间的关系的公式。
在数学中，求解数列通项公式的方法有多种。
下面将介绍一些常见的求解数列通项公式的方法。
1.列举法：列举法是最直观也最简单的一种方法。
通过列举数列中的前几项，观察其中的规律，然后尝试推导出通项公式。
这种方法适用于数列规律较为简单的情况。
例如，观察以下数列：1,4,9,16,25,...我们可以发现，该数列的每一项都是前一项的平方。
因此，可以推测该数列的通项公式为 an = n^2，其中 n 表示项数。
2.递推法：递推法是通过已知数列的前几项推导出后面的项，进而求解通项公式的方法。
递推法常用于数列项与前一项之间存在较为简单的递推关系的情况。
例如，观察以下数列：2,4,8,16,32,...我们可以发现，该数列的每一项都是前一项乘以2、因此，可以得到递推关系 an = 2 * an-1、通过这个递推关系，我们可以利用已知的项数求解出后面的项，并进一步推导出通项公式。
3.等差数列通项公式：等差数列是指数列中每一项与前一项之间的差值相等的数列。
等差数列的通项公式可以通过递推法或利用其性质推导得出。
例如，观察以下等差数列：3,6,9,12,15,...可以发现，该等差数列的公差为3，即每一项与前一项之间的差值为3、利用等差数列的性质，可以推导出通项公式为 an = a1 + (n - 1)d，其中 a1 表示首项，d 表示公差，n 表示项数。
对于上述数列来说，首项a1 为3，公差 d 为3，所以通项公式为 an = 3 + (n - 1)34.等比数列通项公式：等比数列是指数列中每一项与前一项之间的比值相等的数列。
等比数列的通项公式可以通过递推法或利用其性质推导得出。
例如，观察以下等比数列：2,6,18,54,162,...可以发现，该等比数列的公比为3，即每一项与前一项之间的比值为3、利用等比数列的性质，可以推导出通项公式为 an = a1 * r^(n - 1)，其中 a1 表示首项，r 表示公比，n 表示项数。
数列通项公式
数列通向公式的求解1、公式法：2、累加法：3、累乘法：4、a n与S n的关系：5、构造法：（1）、待定系数法：（2）、同除+待定系数：（3）、取倒数+待定系数：（4）、取对数+待定系数：（5）、连续三项：6、无穷递推关系式：（减去前n-1项剩下最后一项）7、连续两项：8、不动点法：→不动点：方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。
数列通项公式典例分析:1、已知数列{a n}满足_________________2、已知数列{a n}满足_________________3、已知数列{a n}满足___________;___________4、已知数列{a n}满足__________________5、已知数列{a n}满足_________________6、已知数列{a n}满足_____________7、已知数列{a n}满足________________8、已知数列{a n}满足______________9、已知数列{a n}满足_________________10、已知数列{a n}满足__________11、已知数列{a n}满足__________________12、已知数列{a n}满足_________________13、已知数列{a n}满足__________________14、已知数列{a n}满足__________________15、已知数列{a n}满足_____________________16、已知数列满足，，则=________17、设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则=________18、在数列中，，，．则=______________19、数列中，，（n≥2）,则=______________20、已知数列的首项，，则=__________________21、设数列｛an｝满足,则=_______________22、已知数列满足且,则=___________23、设数列满足,则=______________。
求数列通项公式的十种常用方法
求数列通项公式的十种常用方法一、构造法构造法是最常见的求解数列通项公式的方法，是根据已知的数列的前几项逐步构造出数列的通项公式的过程，主要包括归纳法、设数据项法、递推法等。
1.归纳法归纳法是根据已知数列中前几项，把同一个数列中的每一项视为全体项的一部分，由以已知项为特例，讨论出全体项的总体规律。
2.设数据项法设数据项法是根据数列的某项与它的前面几项的关系来建立通项公式的方法。
设数据项始终指代着形式未知却已给出它跟前几项关系的某一项，而根据设数据项得出的数列形式叫做设数据项形式，其通项公式就是设数据项形式的通项公式。
3.递推法递推法是根据数列中任一项与它的后面几项的关系，从已知项不断向前推出未知项，从而推出数列的通项公式的方法。
二、方程法方程法是利用数列的某一项与此数列的其它项的关系式组成的线性方程组或者非线性方程组，求解通项公式的概念，虽然它给出的通项公式也不易求解，但是它与构造法相比，可能会在某些情况下得到更简洁的通项公式，所以它也成为了求解数列通项公式常用的方法之一。
三、数学归纳法数学归纳法是一种利用一般性原理来更加正规地寻求数列通项公式的方法，它具有比构造法更多的优点，比如说，它可以处理更加复杂的情形（例如次通项不是已知项的一个常数倍）。
四、分析法分析法是指用分析几何和代数几何方法，通过考察数列中某几个项的构成方式，来推导出整个数列的通项公式的抽象方法。
五、导数比导数比是指根据数列的前几项来推算下一项的一种技巧，以项数为横坐标，相邻两项的比值为纵坐标构成一幅函数图象，然后根据曲线图象分析可以推出数列的某种规律，从而推出数列的通项公式。
六、逆序法逆序法是反其道而行之，以数列的最后一项为起点，根据已知的数列的前几项和最后一项的运算关系，得出最后一项的前一项，以此类推，一直到起始项，从而得出数列的通项公式的一种方法。
七、特殊函数解特殊函数解法是指利用特殊函数及其组合函数构成的数列通项公式的解法，在实际问题中，特殊函数有对数函数、指数函数、三角函数等，使用这些函数可以构成一种数列，从而求出数列的通项公式。
(完整版)求数列通项公式常用的七种方法
求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解.例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式.分析：设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧-=+=+54111d a d a 解得⎩⎨⎧-==231d a∴ ()5211+-=-+=n d n a a n二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =()()32321----n n=12-n而111-==s a 不适合上式，()()⎩⎨⎧≥=-=∴-22111n n a n n三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311=+，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a即 341=+n n a a ()2≥n 又1123131a s a ==不适合上式∴ 数列{}n a 从第2项起是以34为公比的等比数列 ∴ 222343134--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=n n n a a ()2≥n ∴()()⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛==-23431112n n a n n注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与1-n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项.四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例4：()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a┅ 321-=--n a a n n ()2≥n以上各式相加得()()211327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n又01=a ，所以()21-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()21-=n a n ()*∈Nn五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例5：111,1n n na a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a分析：11n n n a a n -=- ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N *≥∈故3241123123411231n n n a a a a na a n a a a a n -===- ()2,n n N *≥∈ 而11a =也适合上式，所以()n a n n N *=∈ 六、构造法：㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+ ∴()1b k m =- 即1b m k =- 故111n n b b a k a k k -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭∴数列11n b a k -⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 为公比的等比数列，借助它去求n a例6：已知111,21n n a a a -==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a分析：121n n a a -=+ ∴()1112221n n n a a a --+=+=+∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列 ∴()111122n n n a a -+=+⋅= 故21n n a =- ㈡、取倒数法：这种方法适用于11n n n ka a ma p--=+()2,n n N *≥∈（,,k m p 均为常数0m ≠）， 两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n n a ka b -=+的式子. 例7：已知11122,2n n n a a a a --==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a1122n n n a a a --=+ ∴111211122n n n n a a a a ---+==+ 即11112n n a a --= ()2,n n N *≥∈ ∴ 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公差的等差数列∴()1111222n n n a =+-⋅= ∴2n a n= ㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数） 例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a >∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得 211lg lg 2lg n n n a aa --==即1lg 2lg nn a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列故112lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -=七、“m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a .例9：设数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知*11,3,N n s a a a n n n ∈+==+，求通项n a . 解：n n n s a 31+=+ 113--+=∴n n n s a ()2≥n两式相减得 1132-+⋅+=-n n n n a a a 即 11322-+⋅+=n n n a a上式两边同除以13+n 得92332311+⋅=++n n n n a a （这一步是关键） 令nnn a c 3=得 92321+=+n n c c ⎪⎭⎫⎝⎛-=-∴+3232321n n c c ()2≥n （想想这步是怎么得来的） ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32n c 从第2项起，是以93322-=-a c 为首项，以32为公比的等比数列故 ()n n n n n a a c c 32332933232322222----=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-()323232+-=∴-n n n a c 又n n n a c 3=，所以()123223--⋅+⋅-=n n n a a a a =1 不适合上式 ()()()⎩⎨⎧≥⋅+⋅-==∴--23223112n a n a a n n n 注：求m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项公式的方法是等式的两边同除以1+n c ，得到一个“1n n a ka b -=+”型的数列，再用上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出n n ca 的通式，从而求出n a .另外本题还可以由n n n s a 31+=+得到nn n n s s s 31+=-+即 n n n s s 321+=+,按照上面求n a 的方法同理可求出n s ,再求n a .您不不妨试一试.除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握.。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法求解数列的通项公式是高中数学中的一个重要问题，通常需要运用数学分析方法、递推关系、差分方法等多种技巧。
下面将列举十种常见的方法来求解数列的通项公式。
方法一：等差数列的通项公式对于等差数列 an = a1 + (n - 1) * d，其中 a1 为首项，n 为项数，d 为公差。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法二：等差数列的求和公式对于等差数列 S = (n / 2) * (a1 + an)，其中 S 为前 n 项和，a1 为首项，an 为末项，n 为项数。
可以通过求和公式推导出等差数列的通项公式。
方法三：等比数列的通项公式对于等比数列 an = a1 * r^(n - 1)，其中 a1 为首项，r 为公比，n 为项数。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法四：等比数列的求和公式对于等比数列S=(a1*(r^n-1))/(r-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
可以通过求和公式推导出等比数列的通项公式。
方法五：递推关系法对于一些递推关系的数列，可以通过寻找规律，构建递推关系来求解数列的通项公式。
例如斐波那契数列就可以通过递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1，来求解通项公式。
方法六：二项式展开法对于一些满足二项式展开的数列，可以通过展开得到二项式系数，然后通过系数的通项公式来求解数列的通项公式。
例如二项式数列(x+1)^n的展开系数就是通过n阶二项展开推导出来的。
方法七：差分法通过对数列进行差分操作，找到规律来求解数列的通项公式。
例如，如果差分的结果是一个等差数列，那么原数列就是一个二次或高次多项式。
方法八：线性递推法对于一些线性递推关系的数列，可以通过构建矩阵形式或特征方程的方法来求解数列的通项公式。
例如，对于一阶线性递推数列a(n)=p*a(n-1)+q，可以通过特征方程x-p*x-q=0来求解通项公式。
方法九：插值法通过给定数列中的若干项，利用 Lagrange 插值公式来推导数列的通项公式。
(完整版)求数列通项公式常用的七种方法
求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列na 为等差或等比数列，根据通项公式d n a a n11或11n n qa a 进行求解.例1：已知n a 是一个等差数列，且5,152a a ，求n a 的通项公式.分析：设数列n a 的公差为d ，则54111da d a 解得231da 5211ndn a a n二、前n 项和法：已知数列n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .例2：已知数列n a 的前n 项和12nns ，求通项n a .分析：当2n 时，1n nns s a =32321n n=12n 而111s a 不适合上式，22111n n a n n三、n s 与n a 的关系式法：已知数列n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .例3：已知数列n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311，其中11a ，求n a .分析：13n na s ①nna s 312n②①-②得n n n a a a 331134nn a a 即341nn a a 2n又1123131a s a 不适合上式数列n a 从第2项起是以34为公比的等比数列222343134n n n a a 2n23431112n na n n注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1na 与1ns 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项.四、累加法：当数列n a 中有n f a a nn1，即第n 项与第1n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 例4：12,011n a a a nn，求通项na 分析：121n a a n n112a a 323a a 534a a ┅321n a a nn2n以上各式相加得211327531n n a a n 2n 又01a ，所以21n a n 2n，而01a 也适合上式，21n a n Nn 五、累乘法：它与累加法类似，当数列n a 中有1n na f n a ，即第n 项与第1n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例5：111,1nnn a a a n 2,n n N求通项na 分析：Q 11nnna a n 11nn a na n 2,n n N故3241123123411231n nn a a a a na a n a a a a n g g g g L g g g g L g 2,n n N而11a 也适合上式，所以na n n N六、构造法：㈠、一次函数法：在数列n a 中有1nna kab （,k b 均为常数且0k ），从表面形式上来看n a 是关于1n a 的“一次函数”的形式，这时用下面的方法: 一般化方法：设1nna mk a m则11nna ka k m而1nn a ka b1bk m 即1bmk 故111n nb ba k a k k数列11nba k 是以k 为公比的等比数列，借助它去求na 例6：已知111,21n n a a a 2,n n N求通项na 分析：Q 121nna a 1112221n nna a a 数列1n a 是以2为首项，2为公比的等比数列111122n nna a 故21nna ㈡、取倒数法：这种方法适用于11n nnka a ma p2,n n N （,,k m p 均为常数0m），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n na kab 的式子.例7：已知11122,2n nna a a a 2,nnN求通项na Q 1122n nna a a 111211122nnnna a a a 即11112nna a 2,n n N数列1n a 是以12为首项，以12为公差的等差数列1111222nn n a 2na n㈢、取对数法：一般情况下适用于1klnn a a （,k l 为非零常数）例8：已知2113,2nn a a a n 求通项na 分析：由2113,2nn a a an知0n a 在21n na a 的两边同取常用对数得211lg lg 2lg n n n a a a 即1lg 2lg n na a 数列lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列故112lg 2lg3lg3nn na 123nna 七、“mnnc ba a 1（c b,为常数且不为0，*,N nm ）”型的数列求通项n a .例9：设数列n a 的前n 项和为n s ，已知*11,3,N ns a a a nn n ，求通项n a .解：nn n s a 31113n nns a 2n两式相减得1132n n nn a a a 即11322n nna a 上式两边同除以13n 得92332311nn n n a a （这一步是关键）令nn na c 3得92321nn c c 3232321n nc c 2n（想想这步是怎么得来的）数列32nc 从第2项起，是以93322a c 为首项，以32为公比的等比数列故nn n n na a c c 32332933232322222323232nn nac 又nn na c 3，所以123223n n na a a a 1不适合上式23223112n a n a a n n n注：求mnnc ba a 1（c b,为常数且不为0，*,N nm ）”型的数列求通项公式的方法是等式的两边同除以1n c ，得到一个“1nna kab ”型的数列，再用上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出nn ca 的通式，从而求出n a .另外本题还可以由nnns a 31得到n nn ns s s 31即nn ns s 321,按照上面求n a 的方法同理可求出n s ,再求n a .您不不妨试一试.除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握.。
求数列通项公式的十种办法
求数列通项公式的十种办法求数列的通项公式是数学中的一项重要工作。
下面列举了十种常用的求解数列通项公式的方法：1.递推法：这是最常见的一种方法。
通过观察数列中的规律，找出前一项与后一项之间的关系，并将其表达成递推公式，从而求得数列的通项。
例如斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n项，F(n-1)表示第n-1项，F(n-2)表示第n-2项。
2.数列差法：如果数列的前后两项之间的差值有规律可循，可以通过观察差的变化规律来得到通项公式。
例如等差数列：a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，d表示公差。
3.数列比法：如果数列的前后两项之间的比值有规律可循，可以通过观察比的变化规律来得到通项公式。
例如等比数列：a(n)=a(1)*r^(n-1)，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，r表示公比。
4.代数方程法：数列中的数可以看作方程中的未知数，通过列方程组求解，得到方程的解即为数列的通项公式。
例如斐波那契数列可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。
5.数列求和法：如果数列是由一个个项的和组成的，可以通过数列的求和公式求得通项公式。
例如等差数列的前n项和：S(n)=[n/2]*[2a(1)+(n-1)d]，其中[n/2]表示n除以2的整数部分，a(1)表示首项，d表示公差。
6.数列积法：如果数列可以表达为一系列项的连乘积的形式，可以通过求取连乘积的对数，再利用对数运算得到通项公式。
例如等比数列的前n项积：P(n)=a(1)^n*(r^n-1)/(r-1)，其中a(1)表示首项，r表示公比。
7.查表法：如果数列的部分项已知，可以通过列出表格的方式观察规律，推测出通项公式。
例如自然数列：1,2,3,...，通过观察可得到通项公式：a(n)=n。
8.数学归纳法：数学归纳法是一种证明方法，但也可以用来求数列的通项公式。
首先证明数列的通项公式对n=1成立，然后假设对n=k也成立，通过数学归纳法证明对n=k+1也成立，从而得到通项公式。
求数列通项公式的三种常用方法
在数列问题中，求数列的通项公式问题比较常见，但有些求数列的通项公式的问题较为复杂，利用等差、等比数列公式很难直接求得结果，需要采用一些方法，如累加法、累乘法和构造法，才能使问题得解.下面我们来探讨一下累加法、累乘法和构造法在解题中的应用.一、累加法有些数列的递推式可以转化为a n +1=a n +f (n )或a n +1-a n =f ()n 的形式，我们就可以采用累加法来求解，将n =1，2，3，…，n 时f (n )的式子表示出来，然后将左边与左边的式子相加，右边与右边的式子相加，通过正负抵消求出a n ，便可得到数列的通项公式.累加法也称为逐差相加法，这种方法是比较简单、比较基础的，操作起来也比较容易.例1.设数列{}a n 满足a 1=1，且a n +1=a n +n +1(n ∈N *)，则数列{}a n 的通项公式为_____.分析：题目中给出的递推式形如a n +1=a n +f (n )，可运用累加法来求解，逐一列出各项，并将其累加，便可求出数列的通项公式.解：由题意知a 2=a 1+2，a 3=a 2+3，a 4=a 3+4，…，a n =a n -1+n (n ≥2)，将以上各式进行相加可得a n =a 1+2+3+…+n ，又a 1=1，所以a n =1+2+3+…+n =n 2+n 2(n ≥2)，当n =1时也满足上式，所以数列{}a n 的通项公式为a n =n 2+n 2(n ∈N *).在运用累加法求和时，很多同学们经常忽略了n =1的情况，因此在求出了a n 之后，必须要检验a 1是否满足所求的通项公式.二、累乘法当遇到形如a n +1a n=f ()n 或a n +1=f ()n a n 的递推式，我们可以采用累乘法来求解.首先列出n =1，2，3，…，n 时f (n )的表达式，然后将每项的左边与左边，右边与右边相乘，通过约分就可以求出a n .需要注意的是，在使用这种方法求数列的通项公式时，不要把a n 与f ()n 、f ()n -1、f ()n +1的对应项弄混.例2.设数列{}a n 满足a 1=1，且a n =n -1n a n -1(n ≥2)，则数列{}a n 的通项公式为_____.分析：题目中给出的递推公式为a n =n -1n an -1，即a n a n -1=n -1，形如a n +1a n =f ()n ，运用累乘法求解比较简便.解：∵a n =n -1n a n -1(n ≥2)，∴a n -1=n -2n -1a n -2，a n -2=n -3n -2a n -3，…，a 2=2a 1.将上述n -1个式子相乘后可得a n =a 1⋅12⋅23⋅34⋅…⋅n -1n =a1n =1n，当n =1时，a 1=1，满足上式，∴a n =1n(n ∈N *).三、构造法对于一些形如a n +1=pa n +q (p ≠0、1,q ≠0)的递推式，我们一般采用构造法来求数列的通项公式.可首先设a n +c =k (a n -1+c )，然后利用待定系数法求出相关k ,c 的值，这样便构造出等比数列{}a n +c ，运用等比数列的通项公式求得{}a n +c 的通项公式，进而得到{}a n 的通项公式.例3.已知数列{}a n 满足a 1=1，且a n +1=3a n +2，则数列{}a n 的通项公式为_____.分析：题目中给出的递推式形如a n +1=pa n +q ，结合已知条件可构造出新的等比数列，然后利用等比数列的通项公式来求解.解：∵a n +1=3a n +2，∴a n +1+1=3a n +2+1，即a n +1+1=3a n +3=3(a n +1)，∴a n +1+1a n +1=3，∴数列{}a n +1为q =3的等比数列，又a 1+1=2，∴a n +1+1=2∙3n -1，∴a n =2∙3n -1-1(n ∈N *).以上三种方法都是求数列通项公式的常用方法，同学们要扎实掌握.求数列的通项公式问题并没有同学们想象中的那么难，只要同学们能够熟练掌握常用的解题方法和技巧，学会举一反三，就能在掌握精髓的基础之上破解此类问题.（作者单位：安徽省宣城中学）方法集锦47Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
数列通项公式的求法(常见)
数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 练习：1、若数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，求该数列的通项公式。
答案：⎩⎨⎧=-122n n a )2()1(≥=n n2、若数列}{n a 的前n 项和323-=n n a S ，求该数列的通项公式。
答案：n n a 32⨯=2.形如)(1n f a a n n =-+型（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.例 1. （2003天津文） 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a 证明：由已知得：故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=.213133321-=++++--n n n ∴213-=n n a .例2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：na n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
求数列的通项公式(教师版)
求数列的通项公式(教师版)1、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2、数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1或a n +1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．3、由数列的递推公式求数列的通项公式的常见方法(1)待定系数法：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项；(2)倒数法：形如a n ＋1＝pa nqa n ＋r的数列求通项可用倒数法；(3)累加法：形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列求通项可用累加法；(4)累乘法：形如a n ＋1a n＝f (n )的数列求通项可用累乘法；(5) “S n ”法：数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.；S n 与a n 的混合关系式有两个思路：①消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；②消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .考向一 待定系数法例1—1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求数列{a n }的通项公式。
解：设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )即a n ＋1＝2a n －t ⇒t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n＋3)，令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列，则b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.例1—2 在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n ，数列{a n }的通项公式。
求数列通项公式的十种方法(2)
求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯,12a =,求数列{}n a 的通项公式.解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +,得113222n n n n a a ++=+,那么113222n n n n a a ++-=,故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项,以23为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-.评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式.二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式. 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+那么所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+,进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+,即得数列{}n a 的通项公式.例3 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式.解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+那么11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.nn a n =+-评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为1231nn n a a +-=⨯+,进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+,即得数列{}n a 的通项公式.例4 已知数列{}n a 满足1132313nn n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式.解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +,得111213333n n n n n a a +++=++, 那么111213333n n n n n a a +++-=+,故 因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯, 那么21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nn n a a +=+⨯+转化为111213333n n n n n a a +++-=+,进而求出112232111122321()()()()333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+,即得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,最后再求数列{}n a 的通项公式. 三、累乘法例5 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式.解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，,所以0n a ≠,那么12(1)5n n na n a +=+,故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nn n a n a +=+⨯转化为12(1)5n n na n a +=+,进而求出13211221n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅,即得数列{}n a 的通项公式. 例6 〔2004年全国I 第15题,原题是填空题〕已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，,求{}n a 的通项公式. 解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥①所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+②用②式－①式得1.n n n a a na +-= 那么1(1)(2)n n a n a n +=+≥故11(2)n na n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=③ 由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥,21222n a a a ==+取得,那么21a a =,又知11a =,那么21a =,代入③得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=. 所以,{}n a 的通项公式为!.2n n a =评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为11(2)n na n n a +=+≥,进而求出132122n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅,从而可得当2n n a ≥时，的表达式,最后再求出数列{}n a 的通项公式. 四、待定系数法例7 已知数列{}n a 满足112356nn n a a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式.解：设1152(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯④将1235n n n a a +=+⨯代入④式,得12355225n n nn n a x a x ++⨯+⨯=+⨯,等式两边消去2n a ,得135525n n n x x +⋅+⋅=⋅,两边除以5n ,得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-⑤由1156510a -=-=≠及⑤式得50nn a -≠,那么11525n n nn a a ++-=-,那么数列{5}n n a -是以1151a -=为首项,以2为公比的等比数列,那么152n n n a --=,故125n n n a -=+.评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+⨯转化为1152(5)n nn n a a ++-=-,从而可知数列{5}n n a -是等比数列,进而求出数列{5}nn a -的通项公式,最后再求出数列{}n a 的通项公式.例8 已知数列{}n a 满足1135241nn n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式.解：设1123(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+⑥将13524nn n a a +=+⨯+代入⑥式,得整理得(52)24323n nx y x y +⨯++=⨯+.令52343x x y y +=⎧⎨+=⎩,那么52x y =⎧⎨=⎩,代入⑥式得115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+⑦由11522112130a +⨯+=+=≠及⑦式,得5220nn a +⨯+≠,那么115223522n n n n a a +++⨯+=+⨯+,故数列{522}n n a +⨯+是以1152211213a +⨯+=+=为首项,以3为公比的等比数列,因此1522133n n n a -+⨯+=⨯,那么1133522n n n a -=⨯-⨯-.评注：本题解题的关键是把递推关系式13524nn n a a +=+⨯+转化为115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+,从而可知数列{522}n n a +⨯+是等比数列,进而求出数列{522}nn a +⨯+的通项公式,最后再求数列{}n a 的通项公式.例9 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，,求数列{}n a 的通项公式.解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++⑧将212345n n a a n n +=+++代入⑧式,得2222345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++,那么等式两边消去2n a ,得22(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++,解方程组3224252x x x y y x y z z +=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩,那么31018x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,代入⑧式,得2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++⑨由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠及⑨式,得2310180n a n n +++≠那么2123(1)10(1)18231018n n a n n a n n ++++++=+++,故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +⨯+⨯+=+=为首项,以2为公比的等比数列,因此2131018322n n a n n -+++=⨯,那么42231018n n a n n +=---.评注：本题解题的关键是把递推关系式212345n n a a n n +=+++转化为2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++,从而可知数列2{31018}n a n n +++是等比数列,进而求出数列2{31018}n a n n +++的通项公式,最后再求出数列{}n a 的通项公式. 五、对数变换法例10 已知数列{}n a 满足5123n n n a a +=⨯⨯,17a =,求数列{}n a 的通项公式.解：因为511237n n n a a a +=⨯⨯=，,所以100n n a a +>>，.在5123n n n a a +=⨯⨯式两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++⑩ 设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++错误!将⑩式代入错误!式,得5lg lg 3lg 2(1)5(lg )n n a n x n y a xn y +++++=++,两边消去5lg n a 并整理,得(lg3)lg 255x n x y xn y ++++=+,那么lg35lg 25x x x y y +=⎧⎨++=⎩,故lg 34lg 3lg 2164x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入错误!式,得1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (1)5(lg )41644164n n a n a n +++++=+++错误! 由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg 1lg 71041644164a +⨯++=+⨯++≠及错误!式,得lg3lg3lg 2lg 04164n a n +++≠, 那么1lg3lg3lg 2lg (1)41645lg3lg3lg 2lg 4164n n a n a n +++++=+++, 所以数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是以lg3lg3lg 2lg 74164+++为首项,以5为公比的等比数列,那么1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164n n a n -+++=+++,因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)54164464(lg 7lg 3lg 3lg 2)5lg 3lg 3lg 2[lg(7332)]5lg(332)lg(7332)5lg(332)lg(733n n n n n n n n n n n n a n ---------=+++---=+++---=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅1115116454151511642)lg(732)n n n n n -------⋅=⋅⋅那么11541515164732n n n n n a -----=⨯⨯.评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5123n n n a a +=⨯⨯转化为1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (1)5(lg )41644164n n a n a n +++++=+++,从而可知数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是等比数列,进而求出数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++的通项公式,最后再求出数列{}n a 的通项公式. 六、迭代法例11 已知数列{}n a 满足3(1)2115nn n n a a a ++==，,求数列{}n a 的通项公式.解：因为3(1)21nn n na a ++=,所以121323(1)23212[]n n n n n n n n n a a a ---⋅-⋅⋅--== 又15a =,所以数列{}n a 的通项公式为(1)123!25n n n n n a --⋅⋅=.评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式.即先将等式3(1)21nn n na a ++=两边取常用对数得1lg 3(1)2lg nn n a n a +=+⨯⨯,即1lg 3(1)2lg n n na n a +=+,再由累乘法可推知(1)123!213211221lg lg lg lg lg lg lg5lg lg lg lg n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --⋅⋅---=⋅⋅⋅⋅⋅=,从而1(1)3!225n n n n n a --⋅⋅=.七、数学归纳法例12 已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，,求数列{}n a 的通项公式. 解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++及189a =,得 由此可猜测22(21)1(21)n n a n +-=+,往下用数学归纳法证明这个结论.〔1〕当1n =时,212(211)18(211)9a ⨯+-==⨯+,所以等式成立. 〔2〕假设当n k =时等式成立,即22(21)1(21)k k a k +-=+,那么当1n k =+时,由此可知,当1n k =+时等式也成立.根据〔1〕,〔2〕可知,等式对任何*n N ∈都成立.评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明. 八、换元法例13 已知数列{}n a 满足111(14116n n a a a +=+=，,求数列{}n a 的通项公式.解：令n b =那么21(1)24n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=-,代入11(1416n n a a +=+得 即2214(3)n n b b +=+因为0n b =≥,故10n b +=≥ 那么123n n b b +=+,即11322n n b b +=+, 可化为113(3)2n n b b +-=-, 所以{3}n b -是以13332b -===为首项,以21为公比的等比数列,因此121132()()22n n n b ---==,那么21()32n n b -=+,21()32n -=+,得 2111()()3423n n n a =++.n b ,使得所给递推关系式转化11322n n b b +=+形式,从而可知数列{3}n b -为等比数列,进而求出数列{3}n b -的通项公式,最后再求出数列{}n a 的通项公式. 九、不动点法例14 已知数列{}n a 满足112124441n n n a a a a +-==+，,求数列{}n a 的通项公式.解：令212441x x x -=+,得2420240x x -+=,那么1223x x ==，是函数2124()41x f x x -=+的两个不动点.因为112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+.所以数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是以112422343a a --==--为首项,以913为公比的等比数列,故12132()39n n n a a --=-,那么113132()19n n a -=+-.评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41x f x x -=+的不动点,即方程212441x x x -=+的两个根1223x x ==，,进而可推出112213393n n n n a a a a ++--=⋅--,从而可知数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为等比数列,再求出数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的通项公式,最后求出数列{}n a 的通项公式.例15 已知数列{}n a 满足1172223n n n a a a a +-==+，,求数列{}n a 的通项公式.解：令7223x x x -=+,得22420x x -+=,那么1x =是函数31()47x f x x -=+的不动点.因为17255112323n n n n n a a a a a +---=-=++,所以2111()()3423n n n a =++.n b ,使得所给递推关系式转化11322n n b b +=+形式,从而可知数列{3}n b -为等比数列,进而求出数列{3}n b -的通项公式,最后再求出数列{}n a 的通项公式. 九、不动点法例14 已知数列{}n a 满足112124441n n n a a a a +-==+，,求数列{}n a 的通项公式.解：令212441x x x -=+,得2420240x x -+=,那么1223x x ==，是函数2124()41x f x x -=+的两个不动点.因为112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341n n n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+.所以数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是以112422343a a --==--为首项,以913为公比的等比数列,故12132()39n n n a a --=-,那么113132()19n n a -=+-.11 / 11 评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41x f x x -=+的不动点,即方程212441x x x -=+的两个根1223x x ==，,进而可推出112213393n n n n a a a a ++--=⋅--,从而可知数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为等比数列,再求出数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的通项公式,最后求出数列{}n a 的通项公式. 例15 已知数列{}n a 满足1172223n n n a a a a +-==+，,求数列{}n a 的通项公式. 解：令7223x x x -=+,得22420x x -+=,那么1x =是函数31()47x f x x -=+的不动点. 因为17255112323n n n n n a a a a a +---=-=++,所以。
数列通项公式的十种求法(非常经典)
数列通项公式的十种求法（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
求通项公式的常用方法
求通项公式的常用方法通项公式是数列中每一项与序号n之间的关系式，可通过递推关系和数列特点来确定。
下面将介绍几种常用的方法来求解通项公式。
一、等差数列等差数列是一种公差固定的数列，通项公式可以通过公差和首项求得。
1.递推法：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则通项公式为an = a₁ + (n -1)d。
2.求和法：对于等差数列，可以根据前n项和与首项之间的关系来求解通项公式。
设前n项和为Sn，首项为a₁，公差为d，则有等差数列求和公式Sn =n/2(a₁ + an)。
二、等比数列等比数列是一种比值固定的数列，通项公式可以通过公比和首项求得。
1.递推法：设等比数列的首项为a₁，公比为r，则通项公式为an = a₁ * r^(n -1)。
2.求和法：对于等比数列，可以根据前n项和与首项之间的关系来求解通项公式。
设前n项和为Sn，首项为a₁，公比为r，则有等比数列求和公式Sn=a₁(r^n-1)/(r-1)。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，之后的每一项都是前两项的和。
1.递推法：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则通项公式为F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=12.通项公式法：利用通项公式公式Fn = (Phi^n - (-Phi)^(-n))/sqrt(5)，其中Phi是黄金分割比(约为1.618）。
四、多项式数列多项式数列是指通项由多项式表达的数列。
1.解线性递推关系：对于多项式数列，可以根据给定的递推关系式来推导通项公式。
具体的方法可以通过代入法、特征根法、辅助方程法等来求解。
2.拉格朗日插值法：对于已知部分数列项的数值，可以利用拉格朗日插值法求解通项公式。
该方法需要确定数列项数目与已知项数目一致。
以上是一些常见的求通项公式的方法，不同的数列类型可能需要不同的方法来求解。
在实际问题中，还可以根据数列性质和给定条件等将其转化为已知的数列类型，从而应用相应的求解方法。
数列通项公式—常见9种求法
数列通项公式—常见9种求法数列通项公式是指能够直接给出数列中任意一项的公式。
找到数列通项公式可以帮助我们快速计算数列中的任意项，同时也能更好地理解数列的性质和规律。
在数学中，有多种方法可以求解数列通项公式，下面我们将介绍其中的9种常见方法。
1.递推关系法递推关系法是求解数列通项公式最常见的方法之一、当我们可以找到数列中每一项与前几项之间的关系时，可以利用递推关系求出通项公式。
例如，斐波那契数列中每一项都等于前两项的和，可以用递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)来求解。
2.等差数列通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
3.等比数列通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项的比都相等的数列。
等比数列通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r 表示公比。
4.幂数列通项公式幂数列是指数列中每一项都是一个幂函数的形式。
幂数列通项公式为an = ar^(n-1)，其中an表示第n项，a表示一些常数，r表示递增的比值。
5.组合数列通项公式组合数列是指数列中每一项都是由组合数形成的数列。
组合数列通项公式可以通过求解组合数来获得。
6.一元多项式数列通项公式一元多项式数列是指数列中的每一项都是由一元多项式形成的数列。
可以利用多项式的相关性质和求解方法获得数列通项公式。
7.递推与线性常系数齐次差分方程法递推与线性常系数齐次差分方程法是利用递推关系和差分方程的性质求解数列通项公式的方法。
8.高阶递推关系法当数列中每一项与前面多个项之间有复杂的关系时，可以利用高阶递推关系进行求解。
9.查找数列在数学常数表中的表达式有些数列的通项公式可以在数学常数表中找到，例如斐波那契数列中的通项公式可以在黄金分割数相关的公式中找到。
以上是数列通项公式的9种常见求法，每种方法都可以根据不同的数列规律和特点进行选择和运用。
(完整版)求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全，归纳细)总述：一．利用递推关系式求数列通项的11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
、累加法1．适用于：a n 1 a n f (n) ------------------ 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2．若a n 1 a n f (n) (n 2) ，a2 a1 f (1)a3 a2 f (2) LLa n 1 a n f ( n)n两边分别相加得a n 1 a1 f (n )k1例1已知数列｛a n ｝满足a n 1a n 2n 1, a i 1，求数列｛a n ｝的通项公式。
解：由 a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1 则a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2) L @3a 2) (a 2 aja 1 [2( n 1) 1] [2( n 2) 1]L (2 21) (2 11) 12[(n 1) (n 2) L 2 1] (n 1) 1 (n 1)n 2 (n 1) 12(n 1)( n 1) 1 2n2所以数列｛a n ｝的通项公式为a n n 。
例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2 3n 1，印3，求数列 佝｝的通项公式。
解法一：由a n 1 a n n 2 31 得 a n 1a n n2 31则a n (a * an 1)(a n 1 a n 2) L(a 3 a 2) (a 2 a 1) a 1n (2 3 1 1) (2 3n 21)L (2 32 31 1) (2 31) 312(33n2L 32 ；31)(n 1)3「(1 3n1)2(n 1) 31 3n3 3 n 133 n1所以a n 3n n 1.解法二：时3an 2 3 1两边除以3n1，得鄴J 3 3a n 2 n3 32132)3 32 3a3na n 3a n 1)a n 1(an 1a n 1a n 2) (a n 2(尹z a2 q 色(3231)33n )1)12门22(n 1)313n 3n13n2Lan 13n22答案：n数、分式函数，求通项 an .① 若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ② 若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 ； ③ 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ④ 若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
数列通项公式常见求法
数列通项公式常见求法数列通项公式是指数列的一般项的表达式。
在数学问题中，求得数列通项公式可以帮助我们更方便地计算数列中的任意一项数值，解决各种与数列相关的问题。
本文将介绍数列通项公式的常见求法，包括递推法、通项公式和生成函数。
一、递推法递推法是一种通过已知数列的前几项来推导出数列通项公式的方法。
递推法的基本思路是找出数列每一项与前几项之间的关系式。
常见的递推法有差分法、倒推法、倍增法和特殊递推法。
1.差分法差分法是一种通过数列中相邻两项之间的差值来推导出通项公式的方法。
对于一个数列 {an}，用 a(n+1) - an 的差来表示，通过不断地进行差分运算，直到差分为常数时，就可以得到数列的通项公式。
以斐波那契数列为例，我们知道斐波那契数列的通项公式是 fn = fn-1 + fn-2，其中 f0 = 0，f1 = 1、通过差分法可以推导出这个通项公式。
2.倒推法倒推法是一种逆序求解数列问题的方法，即从数列的最后一项逐步向前推导出每一项的值。
通过找出数列每一项与后几项之间的关系，从最后一项开始计算，并倒序得到数列的每一项的值。
以等差数列为例，设数列通项公式为 an = a + (n-1)d，其中 a 为首项，d 为公差。
已知 a1 和 an 的值，可以通过倒推法求得数列的通项公式。
3.倍增法倍增法是一种通过将数列每一项扩大或缩小倍数，使得这些倍数值之间构成等差或等比数列的方法。
通过找出数列每一项与前几项之间的倍关系，可以得到数列的通项公式。
以 2 的幂次方数列为例，我们知道这个数列的通项公式是 an = 2^n，其中 n >= 0。
通过倍增法可以推导出这个通项公式。
4.特殊递推法特殊递推法是对一些特殊的数列使用递推法求解通项公式的方法。
这类数列往往具有一些特殊的性质或规律，通过观察和分析这些特点，可以推导出数列的通项公式。
以全为奇数或全为偶数的等差数列为例，可以通过特殊递推法得到数列的通项公式。
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数列通项公式的常见求法数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。
一.公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。
1、等差数列公式例1、已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式例2.设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。
求{}n a 的通项公式 解：设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得，即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q = 所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=⋅=∈ 3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n 求解。
一般先求出11s a =，若计算出的n a 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式。
解：011==s a ，当2≥n 时12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n由于1a 不适合于此等式 。
∴⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和1-n a 的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法 1、叠加法一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++ 的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。
即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥；例4、数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则32b =-，1012b =，则8a =（ ）A ．0B ．3C ．8D ．11解：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==例5、 已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n+==++，求数列{}n a 的通项公式。
解：（1）由题知：121111(1)1n n a a n n n n n n +-===-+++ 11221()())n n n n n a a a a a +(a -a a---∴=-+-++……1111111()()()121122n n n n =-+-++-+--- (31)2n=- 2、叠乘法一般地对于形如“已知1a ，且)(1n f a a nn =+（)(n f 为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。
即：121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥； 例6、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。
解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得11+=+n na a n n ， 1a a n =12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a=n n n 11433221=-⋅⋅所以n a n 1= 3、构造法当数列前一项和后一项即n a 和1-n a 的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。
具体有以下几种常见方法。
（1）、待定系数法①、一般地对于m a a n n +=-1k (k 、m 为常数）型，可化为的形式）λλ+=+-1(n n a k a .重新构造出一个以k 为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求n a 。
例7、设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ，11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.求数列{}n a 的通项公式； 解：112(1)n n n a ba n a n --=+-，得1112(1)121n n n n a n n n a ba b b a ---+--==+⋅， 设n nnb a =，则121n n b b b b -=⋅+(2)n ≥，（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，12为公差的等差数列， 即111(1)222n b n n =+-⨯=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，设12()n n b b b λλ-+=⋅+，则122(1)n n b b b bλ-=⋅+-， 令21(1)b b λ-=，得12b λ=-，1121()22n n b b b b b-∴+=⋅+--(2)n ≥， 知12n b b +-是等比数列，11112()()22n n b b b b b-∴+=+⋅--，又11b b =， 12112()222n nn n nb b b b b b b-∴=⋅-=⋅---，(2)2n n n n nb b a b -∴=-． ②、对于1()(n n a pa f n +=+其中p 为常数)这种形式,一般我们讨论两种情况：i 、当)(n f 为一次多项式时，即数列的递推关系为C Bn Aa a n n ++=+1型，可化为])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n 的形式来求通项。
例8. 设数列{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式。
解：设1(1)3()n n a A n B a An B ++++=++1322n n a a An B A +∴=++- 与原式比较系数得：221211A A B A B ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ 即1(1)13(1)n n a n a n ++++=++ 令1,n n b a n =++n+1n 11则b =3b 且b =a +1+1=3 {}n b ∴1是b =3为首项，公比q=3的等比数列133331n n n nn b a n -∴=⋅==--即:n B 、C 为常数，）型，可化为11++⋅+n n C a λ=n n C a A ⋅+λ(）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求n a例9. 设0a 为常数，且1123---=n n n a a （*N n ∈），证明：对任意n ≥1，02)1(]2)1(3[51a a n n n n n ⋅⋅-+⋅-+=解：证明：设)3(2311--⋅--=⋅-n n n n t a t a 用1123---=n n n a a 代入可得51=t ∴ {}53nn a -是公比为2-，首项为531-a 的等比数列，∴ 10)2()5321(53--⋅--=-n n n a a （*N n ∈），即：012)1(52)1(3a a n n nn n n ⋅⋅-+⋅-+=- 当然对于B Aa a n n +=+1n C ⋅这种形式递推关系求n a 时，当A=C 时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以1c +n ，重新构造数列，来求n a 。
例10、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>． 求数列{}n a 的通项公式；解：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21nn n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+． （2）、倒数法一般地形如11n n n a a ka b--=+、n n n n a a a a -=⋅--11等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。
例11.已知数列{}n a 满足：1111,31n nn a a aa --==+，求{}n a 的通项公式。
解：原式两边取倒数得：11113113n n n n a a a a ---+==+ 1,1na n n n-11设b =则b -b =3,且b = {}13n b ∴1是b =为首项，公差d=2的等差数列1(1)332b n n n ∴=+-⋅=- 即132n a n =- 例12、 在数列{n a }中，311=a ，并且对任意2,≥∈*n N n 都有n n n n a a a a -=⋅--11成立，令)(1*∈=N n a b nn ．求数列{n b }的通项公式 ；解：当n=1时，3111==a b ,当2≥n 时， 由n n n n a a a a -=⋅--11 ，等式两边取倒数得：,1111=--n n a a 所以11=--n n b b 所以数列}{n b 是首项为3，公差为1的等差数列， 所以数列}{n b 的通项公式为2+=n b n （3）、对数法当数列n a 和a n-1的递推关系涉及到高次时，形如：qn pn ma a 1-=（其中m 、p 、q 为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。
例13、 已知a 1=2，点),(1+n n a a 在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；解： 由已知212n n n a a a +=+，211(1)n n a a +∴+=+12a =11n a ∴+>，两边取对数得 1l g (1)2l g (1)n n a a ++=+， 即1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+ {l g (1)}n a ∴+是公比为2的等比数列. 例14、 若数列{n a }中，1a =3且21n n a a =+（n 是正整数），则它的通项公式是n a =▁▁▁.解： 由题意知n a ＞0，将21n n a a =+两边取对数得n n a a lg 2lg 1=+， 即2lg lg 1=+nn a a ，所以数列}{lg n a 是以1lg a =3lg 为首项，公比为2的等比数列， 12113lg 2lg lg -=⋅=-n n n a a ，即123-=n n a .（4）、特征方程法①、一般地对于形如已知1122,,a m a m ==n n n Ba Aa a +=++12 (A 、B 是常数）的二阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。